تطور جملة ميكانيكية

القوى والعلاقات الأساسية في السقوط الشاقولي

القوى والعلاقات الأساسية في السقوط الشاقولي

1. القوى المؤثرة على الجسم

أ. قوة الثقل $\vec{P}$

■ قوّة الثّقل $\vec{P}$

$\vec{P} = m \cdot \vec{g}$

■ قوّة الثّقل $P$

$P = m \cdot g$

• **الرموز والوحدات:**
• $P$: شدة قوة الثقل $(N)$
• $m$: كتلة الجسم $(kg)$
• $g$: الجاذبية الأرضية $(N/kg)$ أو $(m/s^2)$

ب. قوة دافعة أرخميدس $\vec{\Pi}$

• قوة دافعة أرخميدس $\vec{\Pi}$: $\vec{\Pi} = -\rho_f \cdot V_s \cdot \vec{g}$
• شدة دافعة أرخميدس $\Pi$: $\Pi = \rho_f \cdot V_s \cdot g$
• **الرموز والوحدات:**
• $\Pi$: شدة قوة دافعة أرخميدس $(N)$
• $\rho_f$: الكتلة الحجمية للمائع $(kg/m^3)$
• $V_s$: حجم الجسم الصلب المغمور في المائع $(m^3)$
• $g$: الجاذبية الأرضية $(N/kg)$ أو $(m/s^2)$

ج. قوة الاحتكاك $\vec{f}$

• **حالة السرعات الصغيرة:**
• شعاع الاحتكاك: $\vec{f} = -k \cdot \vec{v}$
• شدة قوة الاحتكاك: $f = k \cdot v$
• **حالة السرعات الكبيرة:**
• شعاع الاحتكاك: $\vec{f} = -k' \cdot v \cdot \vec{v}$ (شدّته $k' \cdot v^2$)
• شدة قوة الاحتكاك: $f = k' \cdot v^2$
• **الرموز والوحدات:**
• $f$: شدة قوة الاحتكاك $(N)$
• $k$: ثابت قوة الاحتكاك $(kg/s)$
• $k'$: ثابت قوة الاحتكاك $(kg/m)$
• $v$: سرعة الجسم $(m/s)$

---

التحليل البعدي للثابتين $k$ و $k'$

• **حالة السرعات الصغيرة:**
• $f = k \cdot v \Rightarrow k = \frac{f}{v} \Rightarrow [k] = \frac{[f]}{[v]} \Rightarrow [k] = \frac{[m][a]}{[v]} \Rightarrow [k] = \frac{kg \cdot m \cdot s^{-2}}{m \cdot s^{-1}} = kg \cdot s^{-1}$
• **حالة السرعات الكبيرة:**

$f = k' \cdot v^2 \Rightarrow k' = \frac{f}{v^2} \Rightarrow [k'] = \frac{[f]}{[v]^2} \Rightarrow [k'] = \frac{[m] \cdot [a]}{[v]^2} \Rightarrow [k'] = \frac{\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}} = \text{kg} \cdot \text{m}^{-1}$

---

2. القانون الثاني لنيوتن

• القانون الثاني لنيوتن: $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}$
• **الرموز والوحدات:**
• $\sum \vec{F}_{ext}$: المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على الجسم $(N)$
• $m$: كتلة الجسم $(kg)$
• $\vec{a}$: شعاع تسارع الجسم $(m/s^2)$

3. التسارع المماسي

• التسارع المماسي: $a_T = \frac{dv}{dt}$
• **الرموز والوحدات:**
• $a_T$: التسارع المماسي $(m/s^2)$
• $dv$: مشتق السرعة $(m/s)$
• $dt$: مشتق الزمن $(s)$

4. الكتلة الحجمية

• الكتلة الحجمية للمائع: $\rho_f = \frac{m_f}{V_f}$
• الكتلة الحجمية للجسم: $\rho_s = \frac{m_s}{V_s}$
• **الرموز والوحدات:**
• $\rho_f$: الكتلة الحجمية للمائع $(kg/m^3)$
• $m_f$: كتلة المائع $(kg)$
• $V_f$: حجم المائع $(m^3)$
• $\rho_s$: الكتلة الحجمية للجسم الصلب $(kg/m^3)$

5. حجم الكرة

• حجم الكرة: $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$
• **الرموز والوحدات:**
• $V$: حجم الكرة $(m^3)$
• $R$: نصف قطر الكرة $(m)$

--- *الجاذبية الأرضية: $g = 9,81 m \cdot s^{-2}$*

السقوط الشاقولي الحر

السقوط الشاقولي الحر

نترك جسماً صلباً $(s)$ كتلته $m$ يسقط شاقوليا بدون سرعة ابتدائية ($v_0 = 0$) في الفراغ أو في الهواء مع إهمال تأثير الهواء ($\Pi = 0, f = 0$).

1. تعريف السقوط الحر

• **السقوط الحر:** هو سقوط جسم لا يخضع أثناء حركته إلا لقوة ثقله $\vec{P}$.

2. إحصاء القوى المؤثرة على الجسم ثم تمثيلها

• القوى المؤثرة على الجسم هي: **قوة الثقل $\vec{P}$**.

3. إيجاد تسارع الجسم $a$ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن

• **بتطبيق القانون الثاني لنيوتن:**

$\sum \vec{F} = m \cdot \vec{a} \Rightarrow \vec{P} = m \cdot \vec{a}$

• **بالإسقاط على المحور $(OZ)$:**

$P = m \cdot a \Rightarrow m \cdot g = m \cdot a \Rightarrow a = g$

• **نتيجة:** تسارع الجسم لا يتعلق بكتلة الجسم أثناء حركته.

---

4. أوجد طبيعة حركة الجسم

• بما أن $a = g = \text{ثابت}$ و المسار مستقيم ومنه: **حركة الجسم مستقيمة متغيرة بانتظام**.

---

5. أعطِ المعادلات التفاضلية للحركة

• **المعادلة التفاضلية للسرعة:**
• معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى:

$a = \frac{dv}{dt} \Rightarrow \frac{dv}{dt} = g$

• **المعادلة التفاضلية للفاصلة:**
• معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية:

$\begin{cases} a = \frac{dv}{dt} \\ v = \frac{dz}{dt} \end{cases} \Rightarrow a = \frac{d^2z}{dt^2} \Rightarrow \frac{d^2z}{dt^2} = g$

---

6. أعطِ المعادلات الزمنية للحركة

أ. معادلة الموضع:

• $z = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + z_0$
• **الشروط الابتدائية:**
• مبدأ الأزمنة هو مبدأ الفواصل: $z_0 = 0$
• السرعة الابتدائية معدومة: $v_0 = 0$
• التسارع: $a = g$
• **المعادلة النهائية:**

$z = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

ب. معادلة السرعة:

• $v = a \cdot t + v_0$
• **الشروط الابتدائية:**
• السرعة الابتدائية معدومة: $v_0 = 0$
• التسارع: $a = g$
• **المعادلة النهائية:**

$v = g \cdot t$

ج. المعادلة المستقلة عن الزمن:

• $v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot (z - z_0)$
• **الشروط الابتدائية:**
• السرعة الابتدائية معدومة: $v_0 = 0$
• التسارع: $a = g$
• $z_0 = 0$
• **المعادلة النهائية:**

$v^2 = 2 \cdot g \cdot z$

---

7. المنحنيات البيانية للحركة

أ. مخطط التسارع $a = f(t)$

• **الخصائص:** خط مستقيم يوازي محور الزمن.
• **الاستنتاج:**
• إيجاد التسارع: $a = g = \text{ثابت}$
• استنتاج طبيعة الحركة: حركة مستقيمة متغيرة بانتظام متسارعة.

ب. مخطط السرعة $v = g(t)$

• **الخصائص:** خط مستقيم ميله $\alpha$.
• **الاستنتاج:**
• إيجاد التسارع: $a = \text{الميل} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \text{ثابت}$
• إيجاد المسافة: $d = \text{مساحة شبه منحرف}$
• إيجاد السرعة الابتدائية $v_0$: نقطة تقاطع المنحنى مع محور التراتيب.

ج. مخطط الفاصلة $z = h(t)$

• **الخصائص:** منحنى بياني متصاعد (قطع مكافئ).
• **الاستنتاج:**
• إيجاد الموضع الابتدائي $z_0$: نقطة تقاطع المنحنى مع محور التراتيب.
• استنتاج طبيعة الحركة: حركة مستقيمة متغيرة بانتظام متسارعة.

السقوط الشاقولي الحقيقي

السقوط الشاقولي الحقيقي

نترك جسماً صلباً $(s)$ كتلته $m$ يسقط شاقوليا بدون سرعة ابتدائية ($v_0 = 0$) في مائع (غاز أو سائل) كتلته الحجمية $\rho_f$.

1. إحصاء القوى المؤثرة على الجسم

• قوة الثقل: $\vec{P}$
• قوة دافعة أرخميدس: $\vec{\Pi}$
• قوة الاحتكاك: $\vec{f}$

2. تمثيل القوى المؤثرة على الجسم أثناء مراحل الحركة

• **أ. الحالة الابتدائية ($t_0 = 0$):**
• $v_0 = 0$ ومنه $f = 0$
• الشرط: $\Pi < P$

• **ب. النظام الانتقالي ($0 < t < 5\tau$):**
• $v \neq 0$ ومنه $f \neq 0$
• الشرط: $\Pi + f < P$

• **ج. النظام الدائم ($t \ge 5\tau$):**
• $v = v_{\text{lim}} = \text{ثابت}$ ومنه $\frac{dv_{\text{lim}}}{dt} = 0$
• الشرط: $\Pi + f = P$

---

3. إيجاد التسارع الابتدائي $a_0$ في اللحظة $t_0 = 0$

• **بتطبيق القانون الثاني لنيوتن:**

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}$ $\vec{P} + \vec{\Pi} = m \cdot \vec{a}_0$

• **بالإسقاط على المحور $(OZ)$:**

$P - \Pi = m \cdot a_0 \Rightarrow m \cdot g - \rho_f \cdot V \cdot g = m \cdot a_0$ $a_0 = g - \frac{\rho_f \cdot V \cdot g}{m}$ $\Rightarrow a_0 = g \cdot \left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_s}\right)$

---

4. إيجاد المعادلة التفاضلية للسرعة (النظام الانتقالي)

• **بتطبيق القانون الثاني لنيوتن:**

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}$ $\vec{P} + \vec{\Pi} + \vec{f} = m \cdot \vec{a}$

• **بالإسقاط على المحور $(OZ)$:**

$P - \Pi - f = m \cdot a$

• **في حالة السرعات الصغيرة:** $f = k \cdot v$

$m \cdot g - \rho_f \cdot V \cdot g - k \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt}$ $\Rightarrow \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} \cdot v = g \cdot \left(1 - \frac{\rho_f \cdot V}{m}\right)$ $\Rightarrow \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} \cdot v = g \cdot \left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_s}\right)$

• **الاستنتاج في حالة السرعات الكبيرة ($f = k' \cdot v^2$):**

$\frac{dv}{dt} + \frac{k'}{m} \cdot v^2 = g \cdot \left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_s}\right)$

---

5. حل المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى حلها من الشكل: $v(t) = v_{\text{lim}} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

---

6. تعريف السرعة الحدية $v_{\text{lim}}$

• هي السرعة التي يبلغها الجسم عندما تصبح حركته مستقيمة منتظمة.
• $v = v_{\text{lim}} = \text{ثابت} \Rightarrow \frac{dv_{\text{lim}}}{dt} = 0$

---

7. عبارة السرعة الحدية في حالة السرعات الصغيرة

$\frac{dv_{\text{lim}}}{dt} + \frac{k}{m} \cdot v_{\text{lim}} = g \cdot \left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_s}\right)$ $\Rightarrow v_{\text{lim}} = g \cdot \frac{m}{k} \cdot \left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_s}\right)$

---

8. عبارة السرعة الحدية في حالة السرعات الكبيرة

$\frac{dv_{\text{lim}}}{dt} + \frac{k'}{m} \cdot v_{\text{lim}}^2 = g \cdot \left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_s}\right)$ $\Rightarrow v_{\text{lim}} = \sqrt{g \cdot \frac{m}{k'} \cdot \left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_s}\right)}$

---

9. الزمن المميز $\tau$ في حالة السرعات الصغيرة

• **تعريف الزمن المميز $\tau$:** هو الزمن اللازم لبلوغ السرعة $63\%$ من السرعة الحدية $v_{\text{lim}}$ وحدته الثانية $(s)$.
• $\tau = \frac{m}{k}$
• **الوحدات:**
• $\tau$: ثابت الزمن $(s)$
• $m$: كتلة الجسم $(kg)$
• $k$: ثابت قوة الاحتكاك $(kg/s)$

---

10. مخطط السرعة $v = f(t)$

• يوضح المنحنى البياني للسرعة بدلالة الزمن في حالة السقوط الحقيقي، حيث تتزايد السرعة تدريجياً حتى تبلغ قيمتها الأعظمية والثابتة $v_{\text{lim}}$ عند النظام الدائم.

دراسة حركة قذيفة

1. قوة الثقل

• **قوة الثقل:**

$\vec{P} = m \cdot \vec{g}$

• **شدة قوة الثقل:**

$P = m \cdot g$

حيث:

• $P$ : شدة قوة الثقل بالنيوتن ($N$)
• $m$ : كتلة الجسم المقذوف بالكيلوغرام ($kg$)
• $g$ : الجاذبية الأرضية بـ ($m/s^2$) أو ($N/kg$) ، وتُعطى: $g = 9.8 \text{ m/s}^2$

---

2. القانون الثاني لنيوتن

$\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}$

حيث:

• $\sum \vec{F}_{ext}$ : المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على الجسم ($N$)
• $m$ : كتلة الجسم المتحرك ($kg$)
• $\vec{a}$ : شعاع تسارع الجسم ($m/s^2$)

---

3. المعادلات الزمنية للحركة

على المحور $(Ox)$ : الحركة المستقيمية المنتظمة ($a_x = 0$)

• **معادلة المسافة:**

$x = v_{0x} \cdot t + x_0$

• **معادلة السرعة:**

$v_x = \text{ثابت}$

حيث:

• $x$ : موضع الجسم في لحظة $t$ بـ ($m$)
• $x_0$ : موضع الجسم في لحظة $t_0$ بـ ($m$)
• $v_x$ : سرعة الجسم في لحظة $t$ بـ ($m/s$)
• $v_{0x}$ : سرعة الجسم في لحظة $t_0$ بـ ($m/s$)
• $a_x$ : تسارع الجسم بـ ($m/s^2$)
• $t$ : الزمن بـ ($s$)

---

على المحور $(Oz)$ : الحركة المستقيمية المتغيرة بانتظام ($a_z = \text{ثابت}$)

• **معادلة المسافة:**

$z = \frac{1}{2} \cdot a_z \cdot t^2 + v_{0z} \cdot t + z_0$

• **معادلة السرعة:**

$v_z = a_z \cdot t + v_{0z}$

• **المعادلة المستقلة عن الزمن:**

$v_z^2 - v_{0z}^2 = 2 \cdot a_z \cdot (z - z_0)$

حيث:

• $z$ : موضع الجسم في لحظة $t$ بـ ($m$)
• $z_0$ : موضع الجسم في لحظة $t_0$ بـ ($m$)
• $v_z$ : سرعة الجسم في لحظة $t$ بـ ($m/s$)
• $v_{0z}$ : سرعة الجسم في لحظة $t_0$ بـ ($m/s$)
• $a_z$ : تسارع الجسم بـ ($m/s^2$)
• $t$ : الزمن بـ ($s$)

---

4. معادلة المسار

هي معادلة مستقلة عن الزمن، حيث: $z = f(x)$

---

5. الذروة (S)

هي أعلى نقطة يبلغها الجسم المقذوف، حيث: $v_z = 0$

---

6. المدى (P)

هي أبعد مسافة أفقية يبلغها الجسم المقذوف، حيث: $z = 0$

---

7. مبدأ انحفاظ الطاقة الميكانيكية

• **الطاقة الحركية:**

$E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

• **الطاقة الكامنة الثقالية:**

$E_{pp} = m \cdot g \cdot h$

• **الطاقة الميكانيكية:**

$E_m = E_c + E_p$

مبدأ انحفاظ الطاقة الميكانيكية (الجملة: أرض + جسم / جملة معزولة):

الطاقة محفوظة: $E_{mB} = E_{mA}$

---

رموز وحدات قياس الطاقة والمقادير:

• $E_c$ : الطاقة الحركية بـ الجول ($J$)
• $m$ : كتلة الجسم المقذوف بـ ($kg$)
• $v$ : سرعة الجسم المقذوف بـ ($m/s$)
• $E_p$ : الطاقة الكامنة بـ ($J$)
• $E_{pp}$ : الطاقة الكامنة الثقالية بـ ($J$)
• $g$ : الجاذبية الأرضية بـ ($N/kg$)
• $h$ : ارتفاع الجسم المقذوف عن سطح الأرض بـ ($m$)
• $E_m$ : الطاقة الميكانيكية بـ ($J$)
• $E_{mB}$ : الطاقة الميكانيكية في الوضع $B$ بـ ($J$)
• $E_{mA}$ : الطاقة الميكانيكية في الوضع $A$ بـ ($J$)

دراسة حركة قذيفة

مثال: لاعب كرة قدم يقذف كرة $(s)$ كتلتها $m$ بسرعة ابتدائية $v_0$ تصنع مع خط الأفق زاوية $\alpha$ مبدأ الأزمنة هو مبدأ الفواصل ، مع إهمال تأثير الهواء ($\Pi = 0, f = 0$).

1. الشروط الابتدائية (عند اللحظة: $t_0 = 0$)

• **تحليل $\vec{v}_0$ إلى مركبتين:**
• المقابل: $v_{0z} = v_0 \cdot \sin\alpha$
• المجاور: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos\alpha$
• **السرعة الابتدائية:**
• $v_{0x} = v_0 \cdot \cos\alpha$
• $v_{0z} = v_0 \cdot \sin\alpha$
• **الفاصلة الابتدائية:**
• $x_0 = 0$
• $z_0 = 0$

---

2. القوى المؤثرة على الجسم $(s)$

• قوة الثقل: $\vec{P}$

---

3. إيجاد تسارع الجسم $(s)$

• **بتطبيق القانون الثاني لنيوتن:** $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \Rightarrow \vec{P} = m \cdot \vec{a}$
• **بالإسقاط على المحور $(ox)$:**
• $0 = m \cdot a_x \Rightarrow a_x = 0$
• **بالإسقاط على المحور $(oz)$:**
• $-P = m \cdot a_z \Rightarrow -m \cdot g = m \cdot a_z \Rightarrow a_z = -g$

---

4. إيجاد طبيعة حركة الجسم $(s)$

• **على $(ox)$:** الحركة مستقيمة منتظمة، لأن $a_x = 0$.
• **على $(oz)$:** الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام، لأن $a_z = -g = \text{ثابت}$.

---

5. إيجاد المعادلات التفاضلية للحركة

• **على $(ox)$:**
• $a_x = 0 \Rightarrow \frac{dv_x}{dt} = 0$
• **على $(oz)$:**
• $a_z = -g \Rightarrow \frac{dv_z}{dt} = -g$

---

6. إيجاد المعادلات الزمنية

أ. معادلة المسافة على $(ox)$: $x = f(t)$

• $x = v_{0x} \cdot t + x_0$
• بتعويض الشروط الابتدائية: $x = (v_0 \cdot \cos\alpha) \cdot t$

ب. معادلة السرعة على $(ox)$: $v_x = f(t)$

• $v_x = v_{0x} = \text{ثابت}$
• بتعويض الشروط الابتدائية: $v_x = v_0 \cdot \cos\alpha$

ج. معادلة المسافة على $(oz)$: $z = f(t)$

• $z = \frac{1}{2} \cdot a_z \cdot t^2 + v_{0z} \cdot t + z_0$
• بتعويض الشروط الابتدائية: $z = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin\alpha) \cdot t$

د. معادلة السرعة على $(oz)$: $v_z = f(t)$

• $v_z = a_z \cdot t + v_{0z}$
• بتعويض الشروط الابتدائية: $v_z = -g \cdot t + (v_0 \cdot \sin\alpha)$

---

7. معادلة المسار: $z = f(x)$ (المسار عبارة عن قطع مكافئ)

• نستخرج الزمن $t$ من المعادلة الزمنية لـ $x$ :

$x = (v_0 \cdot \cos \alpha) \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{x}{v_0 \cdot \cos \alpha}$

• نعوض الزمن $t$ في المعادلة الزمنية لـ $z$ :

$\Rightarrow z = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( \frac{x}{v_0 \cdot \cos \alpha} \right)^2 + (v_0 \cdot \sin \alpha) \cdot \frac{x}{v_0 \cdot \cos \alpha}$

$\Rightarrow z = -\frac{g}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha} \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x$

---

8. إحداثيات الذروة $S \, (x_s \,,\, z_s)$

• عند الوصول إلى الذروة سرعة الصعود نحو الأعلى تنعدم :

$v_z = 0$

• من معادلة السرعة على المحور $z$ :

$\Rightarrow -g \cdot t + (v_0 \cdot \sin \alpha) = 0 \Rightarrow t_S = \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g}$

• نعوض الزمن $t$ في المعادلة الزمنية لـ $x$ :

$x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} \Rightarrow x = \frac{v_0^2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{g}$

تذكير : $\sin 2\alpha = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$

$\Rightarrow x_S = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{2g}$

• نعوض الزمن $t$ في المعادلة الزمنية لـ $z$ :

$z = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} \right)^2 + (v_0 \cdot \sin \alpha) \cdot \left( \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} \right)$

$\Rightarrow z_S = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \alpha}{2 \cdot g}$

ملاحظة : نستطيع كذلك تعويض $x$ في معادلة المسار لإيجاد $z$ ---

9. إحداثيات المدى $p \, (x_p \,,\, 0)$

• عند الوصول إلى المدى الارتفاع معدوم أي :

$z = 0$

• من معادلة المسار :

$\Rightarrow -\frac{g}{(2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha)} \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x = 0$

$\Rightarrow x \cdot \left( -\frac{g}{(2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha)} \cdot x + (\tan \alpha) \right) = 0$

$\Rightarrow -\frac{g}{(2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha)} \cdot x + (\tan \alpha) = 0$

$x_P = \frac{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{g}$

تذكير : $\sin 2\alpha = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$

$x_P = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{g}$

---

10. مخططات الحركة

أ. مخططات المسافة

• **على المحور $(ox)$:** منحنى خط مستقيم يمر من المبدأ ميله موجب معادلته: $x = (v_0 \cdot \cos\alpha) \cdot t$

• **على المحور $(oz)$:** منحنى عبارة عن قطع مكافئ لا يمر من المبدأ معادلته: $z = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin\alpha) \cdot t$

ب. مخططات السرعة

• **على المحور $(ox)$:** منحنى خط مستقيم موازي لمحور الأزمنة معادلته: $v_x = v_0 \cdot \cos\alpha$

• **على المحور $(oz)$:** منحنى خط مستقيم لا يمر من المبدأ وميله سالب معادلته: $v_z = -g \cdot t + (v_0 \cdot \sin\alpha)$

---

11. إيجاد سرعة الجسم في لحظة $t$ (مثلا: لحظة الاصطدام بسطح الأرض)

• **الطريقة 1: استعمال معادلات الحركة**
• على المحور $(ox)$: $v_x = v_{0x} = v_0 \cdot \cos\alpha \Rightarrow v_x^2 = v_0^2 \cdot \cos^2\alpha$
• على المحور $(oz)$: $v_z^2 - v_{0z}^2 = 2 \cdot a_z \cdot h \Rightarrow v_z^2 = v_{0z}^2 - 2 \cdot g \cdot h$
• إذن: $v = \sqrt{v_x^2 + v_z^2} = \sqrt{v_0^2 \cdot \cos^2\alpha + v_0^2 \cdot \sin^2\alpha - 2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h}$

• **الطريقة 2: استعمال مبدأ انحفاظ الطاقة الميكانيكية**
• **الجملة:** (الكرة + الأرض) - **الجملة معزولة** (الطاقة الميكانيكية محفوظة).
• $E_{mB} = E_{mA} \Rightarrow E_{CB} + E_{pPB} = E_{CA} + E_{pPA}$
• $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 + m \cdot g \cdot h_0$ (حيث $h_0 = 0$)
• $\frac{1}{2} \cdot v^2 + g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v_0^2 \Rightarrow v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h \Rightarrow v = \sqrt{v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h}$

---

12. مختلف حالات حركة قذف جسم

أ. القذف بزاوية ميل α

الحالة الأولى (القذف من مبدأ الإحداثيات):

• السرعة الابتدائية: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos \alpha$ , $v_{0z} = v_0 \cdot \sin \alpha$
• الفاصلة الابتدائية: $x_0 = 0$ , $z_0 = 0$

الحالة الثانية (القذف من ارتفاع ابتدائي h):

• السرعة الابتدائية: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos \alpha$ , $v_{0z} = v_0 \cdot \sin \alpha$
• الفاصلة الابتدائية: $x_0 = 0$ , $z_0 = h$

الحالة الثالثة (القذف من أعلى مبنى أو جرف، والمبدأ عند نقطة القذف):

• السرعة الابتدائية: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos \alpha$ , $v_{0z} = v_0 \cdot \sin \alpha$
• الفاصلة الابتدائية: $x_0 = 0$ , $z_0 = 0$

ب. القذف الأفقي (α = 0)

• الحالة الأولى (القذف من ارتفاع $h$):

• السرعة الابتدائية: $v_{0x} = v_0$ , $v_{0z} = 0$
• الفاصلة الابتدائية: $x_0 = 0$ , $z_0 = h$

• الحالة الثانية (القذف من المبدأ):

• السرعة الابتدائية: $v_{0x} = v_0$ , $v_{0z} = 0$
• الفاصلة الابتدائية: $x_0 = 0$ , $z_0 = 0$

المستوى الأفقي والمستوى المائل ــ القوى والعلاقات

المستوى الأفقي والمستوى المائل

1. تمثيل القوى

أ. تمثيل القوى المؤثرة على الجسم الصلب $(s)$ في المستوى الأفقي:

• **قوة الثقل $\vec{P}$:** عمودية نحو مركز الأرض.

• **قوة رد فعل المستوى $\vec{R}$:** عمودية على المستوي نحو الأعلى.

• **قوة الدفع أو الجر $\vec{F}$:** تصنع زاوية $\beta$ مع جهة الحركة.

• **قوة الاحتكاك مع السطح $\vec{f}$:** عكس جهة الحركة.

• **قوة شد الخيط $\vec{T}$:** في جهة الحركة.

ب. تمثيل القوى المؤثرة على الجسم الصلب $(s)$ في المستوى المائل:

• **قوة الثقل $\vec{P}$:** عمودية نحو مركز الأرض.

• **قوة رد فعل المستوى $\vec{R}$:** عمودية على المستوي المائل.

• **قوة الدفع أو الجر $\vec{F}$:** تصنع زاوية $\beta$ مع جهة الحركة على المائل.

• **قوة الاحتكاك مع السطح $\vec{f}$:** عكس جهة الحركة موازية للمستوي.

• **قوة شد الخيط $\vec{T}$:** في جهة الحركة نحو الأعلى.

---

2. خصائص (مميزات) أشعة القوى

• **قوة الثقل $\vec{P}$:**
• نقطة التأثير: مركز العطالة $G$
• الحامل: الشاقول
• الجهة: نحو مركز الأرض
• الشدة: $P = m \cdot g$
• **قوة رد فعل المستوى $\vec{R}$:**
• نقطة التأثير: مركز العطالة $G$ (أو مركز السطح)
• الحامل: عمودي على المستوي
• الجهة: نحو الأعلى، بعيداً عن المستوي
• الشدة: $R$
• **قوة الدفع أو الجر $\vec{F}$:**
• نقطة التأثير: مركز العطالة $G$
• الحامل: يصنع زاوية $\beta$
• الجهة: مع جهة الحركة
• الشدة: $F$
• **قوة الاحتكاك مع السطح $\vec{f}$:**
• نقطة التأثير: المستوي مقابل $G$
• الحامل: موازي للمستوي
• الجهة: عكس جهة الحركة
• الشدة: $f$
• **قوة شد الخيط $\vec{T}$:**
• نقطة التأثير: تلامس الخيط بالجسم
• الحامل: الخيط
• الجهة: جهة الخيط
• الشدة: $T$

---

3. القانون الثاني لنيوتن

• **النص:** المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على الجسم يساوي كتلة الجسم جداء شعاع تسارعه.
• **العلاقة:** $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a}$

---

4. السرعة

• **العبارة اللحظية:** $v = \frac{dx}{dt}$
• **العبارة الاستمرارية (التجريبية):** $v_n = \frac{M_{n-1}M_{n+1}}{2 \cdot \tau}$
• **الرموز والوحدات:**
• $v$: السرعة وحدتها $(m/s)$
• $x$: الموضع وحدته $(m)$
• $t$: الزمن وحدته $(s)$

---

5. التسارع

• **العبارة:** $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$
• **الوحدات:**
• $a$: التسارع وحدته $(m/s^2)$
• $v$: السرعة وحدته $(m/s)$
• $x$: الموضع وحدته $(m)$
• $t$: الزمن وحدته $(s)$

---

6. طبيعة حركة الجسم

• إذا كان $a = 0 \Rightarrow$ الحركة مستقيمة منتظمة.

• إذا كان $a = \text{ثابت} \Rightarrow$ الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام.

---

7. المعادلات الزمنية للحركة

أ. حركة مستقيمة منتظمة:

• التسارع: $a = 0$
• معادلة السرعة: $v = \text{ثابت}$
• معادلة الموضع: $x = v \cdot t + x_0$

ب. حركة مستقيمة متغيرة بانتظام:

• التسارع: $a = \text{ثابت}$
• معادلة السرعة: $v = a \cdot t + v_0$
• معادلة الموضع: $x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0$
• المعادلة المستقلة عن الزمن: $v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot (x - x_0)$

---

8. مخططات الحركة

---

أ. حركة مستقيمة منتظمة

1. مخطط التسارع $a(t)$

• **المعادلة:** $a = 0$
• **إيجاد التسارع:** $a = 0$

2. مخطط السرعة $v(t)$

• **المعادلة:** $v = \text{ثابت}$
• **إيجاد السرعة:** $v = \text{ثابت}$
• **إيجاد المسافة:**
• $d = \text{مساحة المستطيل}$
• $d = v \cdot \Delta t$

3. مخطط الموضع $x(t)$

• **المعادلة:** $x = v \cdot t + x_0$
• **إيجاد السرعة:** $v = \text{الميل} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \text{ثابت}$
• **إيجاد الموضع الابتدائي $x_0$:** نقطة تقاطع المنحنى مع محور التراتيب.

---

ب. حركة مستقيمة متغيرة بانتظام

1. مخطط التسارع $a(t)$

• **المعادلة:** $a = \text{ثابت}$
• **إيجاد التسارع:** $a = \text{ثابت}$

2. مخطط السرعة $v(t)$

• **المعادلة:** $v = a \cdot t + v_0$
• **إيجاد التسارع:** $a = \text{الميل} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \text{ثابت}$
• **إيجاد المسافة:**
• $d = \text{مساحة شبه منحرف}$
• $d = \frac{(v_1 + v_2) \cdot \Delta t}{2}$
• **إيجاد السرعة الابتدائية $v_0$:** نقطة تقاطع المنحنى مع محور التراتيب.

3. مخطط الموضع $x(t)$

• **المعادلة:** $x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0$
• **إيجاد الموضع الابتدائي $x_0$:** نقطة تقاطع المنحنى مع محور التراتيب.

9. مبدأ انحفاظ الطاقة

• **الطاقة الميكانيكية محفوظة:** $E_{mB} = E_{mA}$ (الطاقة النهائية للجملة = الطاقة الابتدائية للجملة)
• **الطاقة الميكانيكية غير محفوظة:** $E_{mB} = E_{mA} - |W(\vec{f})|$ (ما تفقده الجملة من طاقة ميكانيكية هو ما تبدّده قوة الاحتكاك)

دراسة حركة جسم على المستوى الأفقي

دراسة حركة جسم على المستوى الأفقي

ندفع جسم صلب $(s)$ كتلته $m$ بقوة $\vec{F}$ ثابتة تصنع زاوية $\beta$ مع خط الأفق على مستوي أفقي $(AB)$ خشن، يخضع لقوة احتكاك $\vec{f}$ ثابتة على طول هذا المسار، نهمل تأثير الهواء ($f_{\text{air}} = 0, \Pi = 0$).

أ. إحصاء القوى المؤثرة على الجسم $(s)$:

• قوة الثقل: $\vec{P}$
• قوة رد فعل السطح: $\vec{R}$
• قوة الاحتكاك مع السطح: $\vec{f}$
• قوة الدفع: $\vec{F}$

تمثيل القوى

ب. إيجاد تسارع الجسم $(s)$: $a$

• **بتطبيق القانون الثاني لنيوتن في معلم عطالي:**

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \Rightarrow \vec{P} + \vec{R} + \vec{F} + \vec{f} = m \cdot \vec{a}$

• **بالإسقاط على محور الحركة $(x'x)$:**

$F_x - f = m \cdot a \Rightarrow a = \frac{F_x - f}{m}$

• بما أن $F_x = F \cdot \cos\beta \Rightarrow a = \frac{F \cdot \cos\beta - f}{m}$

ج. استنتاج طبيعة حركة الجسم $(s)$:

• إذا كان: $F \cdot \cos\beta - f = 0 \Rightarrow$ الحركة مستقيمة منتظمة.
• إذا كان: $F \cdot \cos\beta - f > 0 \Rightarrow$ الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام متسارعة.
• إذا كان: $F \cdot \cos\beta - f < 0 \Rightarrow$ الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام متباطئة.

دراسة حركة جسم على المستوى المائل

دراسة حركة جسم على المستوى المائل

ينزلق جسم صلب $(s)$ كتلته $m$ بدون سرعة ابتدائية من النقطة $A$ على مستوي $(AB)$ خشن و مائل بزاوية $\alpha$ عن سطح الأرض يخضع لقوة احتكاك $\vec{f}$ ثابتة على طول هذا المسار ليصل إلى النقطة $B$ بسرعة $v_B$، نهمل تأثير الهواء.

1. إحصاء القوى المؤثرة على الجسم $(s)$:

• قوة الثقل: $\vec{P}$
• قوة رد فعل السطح: $\vec{R}$
• قوة الاحتكاك مع السطح: $\vec{f}$

2. تمثيل القوى :

3. إيجاد تسارع الجسم $(s)$: $a$

• **بتطبيق القانون الثاني لنيوتن:**

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \Rightarrow \vec{P} + \vec{R} + \vec{f} = m \cdot \vec{a}$

• **بالإسقاط على محور الحركة $(x'x)$:**

$P_x - f = m \cdot a \Rightarrow a = \frac{P_x - f}{m}$

• بما أن $P_x = P \cdot \sin\alpha = m \cdot g \cdot \sin\alpha \Rightarrow a = g \cdot \sin\alpha - \frac{f}{m}$

4. استنتاج طبيعة حركة الجسم $(s)$ في حالة إهمال الاحتكاك (سطح أملس $f = 0$)

• **بما أن:** $a = g \cdot \sin \alpha = \text{ثابت}$
• **فإن:** الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام متسارعة

---

5. المعادلات الزمنية للحركة في حالة إهمال الاحتكاك (سطح أملس $f = 0$)

• **معادلة السرعة:**
• $v = a \cdot t + v_0$
• $v = g \cdot \sin \alpha \cdot t$

• **معادلة الموضع:**
• $x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0$
• $x = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin \alpha \cdot t^2$

6. إيجاد سرعة الجسم في لحظة الوصول إلى النقطة $B$ ($v_B$):

• **الطريقة 1: استعمال معادلات الحركة:**

$v_B^2 - v_A^2 = 2 \cdot a \cdot AB$ (حيث $v_A = 0$) $\Rightarrow v_B = \sqrt{2 \cdot AB \cdot \left(g \cdot \sin\alpha - \frac{f}{m}\right)}$

• **الطريقة 2: استعمال مبدأ انحفاظ الطاقة الميكانيكية (الجملة: الجسم $s$):**

$E_{mB} - E_{mA} = -|W(\vec{f})|$ $\Rightarrow m \cdot g \cdot h - f \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_B^2$ (بما أن $h = AB \cdot \sin\alpha$) $\Rightarrow v_B = \sqrt{2 \cdot AB \cdot \left(g \cdot \sin\alpha - \frac{f}{m}\right)}$