مفهوم الموجة

2. الموجات العرضية والطولية وأبعاد الانتشار

الموجة العرضية

> تكون الموجة عرضية إذا كان اتجاه الاضطراب (اتجاه حركة نقاط الوسط) عمودياً على اتجاه الانتشار.

أمثلة: موجة على حبل مشدود أفقي نحرّك طرفه شاقولياً، والموجة على سطح الماء (نقاط السطح تصعد وتنزل والموجة تنتشر أفقياً)، وموجة نحدثها بهزّ نابض عرضياً.

الموجة الطولية

> تكون الموجة طولية إذا كان اتجاه الاضطراب موازياً لاتجاه الانتشار.

أمثلة: نضغط بعض حلقات نابض أفقي ثم نتركها، فتنتشر على طوله مناطق انضغاط (حلقات متقاربة) ومناطق تمدّد (حلقات متباعدة)، وكلّ حلقة تتحرّك ذهاباً وإياباً على محور النابض نفسه. والصوت في الهواء موجة طولية: طبقات الهواء تنضغط وتتمدّد في اتجاه الانتشار.

| الموجة | اتجاه حركة نقاط الوسط | النوع | |---|---|---| | حبل يُهزّ طرفه شاقولياً | عمودي على الحبل | عرضية | | نابض تُضغط حلقاته | على محور النابض | طولية | | سطح الماء | شاقولي والانتشار أفقي | عرضية | | الصوت في الهواء | في اتجاه الانتشار | طولية |

ملاحظة: النابض الواحد يمكن أن تنتشر فيه موجة عرضية أو طولية حسب طريقة إحداث الاضطراب، فالنوع تحدّده العلاقة بين الاتجاهين لا الوسط وحده.

أبعاد الانتشار

• **موجة في بعد واحد:** تنتشر في اتجاه واحد على طول الوسط: الحبل، النابض.
• **موجة في بعدين:** تنتشر في مستوٍ: سطح الماء. قطرة تسقط في نقطة تولّد موجة دائرية، ومسطرة تهتزّ على السطح تولّد موجة مستقيمة.
• **موجة في ثلاثة أبعاد:** تنتشر في كلّ اتجاهات الفضاء: الصوت في الهواء، ومقدمة موجته كروية حول منبع نقطي.

في البعدين والثلاثة أبعاد تتوزّع الطاقة على دوائر أو كرات يكبر محيطها أو مساحتها مع البعد، فتتناقص سعة الاهتزاز كلّما ابتعدنا عن المنبع حتى لو أهملنا الاحتكاك.

مثال محلول (تطبيق على سرعة الانتشار)

للاطّلاع: ينتج الزلزال موجتين في باطن الأرض: موجة $P$ طولية سرعتها $v_P = 6\ km/s$ وموجة $S$ عرضية سرعتها $v_S = 3{,}5\ km/s$. سجّلت محطة رصد وصول الموجة $S$ بعد الموجة $P$ بمدّة $\Delta t = 20\ s$. ما بُعد المحطة عن مركز الزلزال؟

نكتب مدّتي الوصول بالمسافة نفسها $d$:

$\frac{d}{v_S} - \frac{d}{v_P} = \Delta t$

$d \left(\frac{1}{3{,}5} - \frac{1}{6}\right) = 20 \Rightarrow d \cdot \frac{2{,}5}{21} = 20$

$d = \frac{20 \times 21}{2{,}5} = 168\ km$

ملاحظة للامتحان

لتحديد نوع الموجة قارن اتجاهين: اتجاه حركة نقطة من الوسط واتجاه انتشار الموجة. ولا تقل إنّ موجة سطح الماء أحادية البعد لأنها على «سطح»: السطح مستوٍ ذو بعدين.

3. سرعة الانتشار والتأخر الزمني

سرعة انتشار الموجة

ينتشر الاضطراب في وسط متجانس بسرعة ثابتة تسمّى سرعة الانتشار (أو السرعة) $v$. إذا قطعت مقدمة الموجة المسافة $d$ خلال المدّة $\Delta t$:

$v = \frac{d}{\Delta t}$

وحدتها في الجملة الدولية $m/s$، والمسافة بالمتر $m$ والمدّة بالثانية $s$.

التأخر الزمني

نقطة $M$ تبعد عن المنبع بالمسافة $d = SM$ لا تبدأ حركتها إلا بعد أن يصلها الاضطراب، أي بعد مدّة تسمّى التأخر الزمني $\tau$:

$\tau = \frac{d}{v}$

والنقطة $M$ تعيد حركة المنبع بالضبط لكن متأخرة بـ $\tau$، أي أنّ مطالها في اللحظة $t$ يساوي مطال المنبع في اللحظة $t - \tau$:

$y_M(t) = y_S(t - \tau)$

وإذا دام اضطراب المنبع مدّة $\Delta t$ فإنّ طول الجزء المضطرب من الحبل هو $\ell = v \cdot \Delta t$.

العوامل المؤثرة في سرعة الانتشار

السرعة خاصية للوسط:

• **طبيعة الوسط:** الصوت في الهواء حوالي $340\ m/s$، وفي الماء حوالي $1500\ m/s$، وفي الفولاذ حوالي $5000\ m/s$.
• **توتر الحبل:** كلّما شددنا الحبل أكثر زادت سرعة الانتشار.
• **الكتلة الخطية للحبل** (كتلة وحدة الطول): الحبل الأثقل لنفس التوتر تكون فيه السرعة أصغر.
• **عمق الماء** بالنسبة لأمواج السطح، و**درجة الحرارة** بالنسبة للصوت.

ولا تتعلّق السرعة بسعة الاضطراب ولا بشكله (في حدود الاضطرابات الصغيرة). وإذا تقاطع اضطرابان ينتشران في اتجاهين متعاكسين على حبل فإنهما يتراكبان لحظة التقاطع ثم يواصل كلّ منهما انتشاره بشكله وسرعته كأنّ الآخر لم يكن.

أمثلة محلولة

مثال 1 (صورتان للحبل): في اللحظة $t_1 = 0{,}2\ s$ كانت مقدمة الاضطراب على بعد $1{,}0\ m$ من المنبع، وفي اللحظة $t_2 = 0{,}5\ s$ على بعد $2{,}5\ m$:

$v = \frac{2{,}5 - 1{,}0}{0{,}5 - 0{,}2} = \frac{1{,}5}{0{,}3} = 5\ m/s$

مثال 2 (التأخر): النقطة $M$ تبعد $SM = 150\ cm = 1{,}5\ m$:

$\tau = \frac{1{,}5}{5} = 0{,}3\ s$

فإذا بدأ المنبع حركته في $t = 0$ بدأت $M$ حركتها في $t = 0{,}3\ s$. وإذا دام اضطراب المنبع $\Delta t = 0{,}1\ s$ فطول الجزء المضطرب $\ell = 5 \times 0{,}1 = 0{,}5\ m$، وفي اللحظة $t = 0{,}5\ s$ يكون الاضطراب ممتدّاً بين $2{,}0\ m$ و $2{,}5\ m$ من المنبع.

مثال 3 (الرعد): رأينا البرق وسمعنا الرعد بعده بـ $3\ s$. الضوء يصل شبه لحظياً، فالمسافة إلى الصاعقة $d = 340 \times 3 = 1020\ m$.

ملاحظة للامتحان

حوّل المسافات إلى المتر قبل الحساب ($cm$ إلى $m$)، والمدد إلى الثانية ($ms$ إلى $s$). وحين يُطلب «متى تبدأ النقطة حركتها» فالجواب هو $\tau$ إذا بدأ المنبع في $t = 0$. وتذكّر أنّ زيادة سعة الاضطراب لا تسرّع الموجة.

4. الموجة المتقدمة المتواترة والجيبية وطول الموجة

الموجة المتواترة (الدورية)

إذا أحدث المنبع اضطرابات تتكرّر بانتظام خلال مدّة ثابتة $T$ (هزّاز، شفرة مهتزّة، مكبّر صوت)، تنتشر في الوسط موجة متقدمة متواترة. و$T$ هو الدور بالثانية، والتواتر $f$ هو عدد الاهتزازات في الثانية بالهرتز $Hz$:

$f = \frac{1}{T}$

وإذا كانت حركة المنبع جيبية، مثلاً $y_S(t) = Y_m \sin(2\pi f t)$، سُمّيت الموجة جيبية.

طول الموجة

> طول الموجة $\lambda$ هو المسافة التي تقطعها الموجة خلال دور واحد، وهو أيضاً أصغر مسافة بين نقطتين من الوسط تهتزّان على توافق في الطور.

$\lambda = v \cdot T = \frac{v}{f}$

وحدته المتر $m$. التواتر يحدّده المنبع، والسرعة يحدّدها الوسط، وطول الموجة نتيجة لهما. فحين تنتقل موجة من وسط إلى آخر يبقى تواترها ثابتاً ويتغيّر طول موجتها مع سرعتها.

الدورية المضاعفة

• **دورية زمانية (الدور $T$):** كلّ نقطة من الوسط تعيد حالة اهتزازها كلّ $T$. منحنى $y_M(t)$ تفصل بين قمّتين متتاليتين فيه المدّة $T$.
• **دورية مكانية (طول الموجة $\lambda$):** في لحظة معيّنة يتكرّر شكل الوسط كلّ $\lambda$. في «صورة» الحبل $y(x)$ تفصل بين قمّتين متتاليتين المسافة $\lambda$.

التوافق والتعاكس في الطور

نقطتان $M$ و $N$ على اتجاه الانتشار نفسه تفصل بينهما المسافة $d$:

• **على توافق في الطور** (تهتزّان بالكيفية نفسها في كلّ لحظة) إذا كان $d = k\lambda$ حيث $k \in \mathbb{N}^*$.
• **على تعاكس في الطور** (حين تكون إحداهما في قمّة تكون الأخرى في قعر) إذا كان $d = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$ حيث $k \in \mathbb{N}$.

للاطّلاع: بتطبيق $y_M(t) = y_S(t - \tau)$ على المنبع الجيبي نجد $y_M(t) = Y_m \sin(2\pi f t - \frac{2\pi d}{\lambda})$ من اللحظة $\tau$ فصاعداً، فالفرق في الطور $\frac{2\pi d}{\lambda}$ يعطي الشرطين السابقين.

أمثلة محلولة

مثال 1: هزّاز تواتره $f = 50\ Hz$ والسرعة $v = 10\ m/s$:

$T = \frac{1}{50} = 0{,}02\ s = 20\ ms$

$\lambda = \frac{10}{50} = 0{,}2\ m = 20\ cm$

• نقطة على بعد $60\ cm$: $\frac{d}{\lambda} = 3$ عدد صحيح، فهي على توافق مع المنبع.
• نقطة على بعد $50\ cm$: $\frac{d}{\lambda} = 2{,}5$، فهي على تعاكس معه.
• نقطة على بعد $35\ cm$: $\frac{d}{\lambda} = 1{,}75$، فلا توافق ولا تعاكس.

مثال 2: في صورة لحبل تفصل بين 5 قمم متتالية المسافة $32\ cm$. بين 5 قمم أربعة أطوال موجة: $4\lambda = 32\ cm$ ومنه $\lambda = 8\ cm = 0{,}08\ m$. وإذا كان $f = 25\ Hz$ فإنّ $v = \lambda f = 0{,}08 \times 25 = 2\ m/s$.

مثال 3: $y_S(t) = 2\sin(40\pi t)$ بالمليمتر و $v = 4\ m/s$، إذن $f = 20\ Hz$ و $\lambda = 0{,}2\ m$. النقطة $M$ على بعد $0{,}5\ m$: $\tau = \frac{0{,}5}{4} = 0{,}125\ s$، و $\frac{d}{\lambda} = 2{,}5$ فهي على تعاكس مع المنبع:

$y_M(t) = 2\sin(40\pi t - 5\pi) = -2\sin(40\pi t)$

صالحة من $t = 0{,}125\ s$، وقبلها $y_M = 0$.

ملاحظة للامتحان

لا تخلط بين $T$ و $f$ ولا بين $\lambda$ و $v$. وعدد المسافات بين $n$ قمّة متتالية هو $n - 1$. والمنحنى $y_M(t)$ يعطي الدور، والصورة $y(x)$ تعطي طول الموجة.

5. الوماض (الستروبوسكوب)

مبدأ الوماض

الحركات الدورية السريعة (شفرة تهتزّ بـ $50\ Hz$، أمواج على سطح الماء) لا تتابعها العين. الوماض جهاز يصدر ومضات ضوئية قصيرة جدّاً ودورية، تواترها $f_e$ (ودورها $T_e = \frac{1}{f_e}$) قابل للضبط. لا نرى الجسم إلا لحظة الومضة، فنرى سلسلة «صور» متتالية له.

التوقف (السكون) الظاهري

إذا كان دور الومضات مضاعفاً صحيحاً لدور الحركة، يجد الجسم نفسه في الحالة نفسها عند كلّ ومضة فيبدو ساكناً:

$T_e = k \cdot T \quad \Leftrightarrow \quad f = k \cdot f_e$

حيث $k \in \mathbb{N}^*$. أكبر تواتر للوماض يعطي سكوناً ظاهرياً بصورة واحدة هو $f_e = f$، وهو ما نستعمله لقياس تواتر هزّاز مجهول: نزيد $f_e$ تدريجياً ونسجّل أكبر قيمة يبدو عندها الجسم ساكناً بصورة واحدة.

وإذا كان $f_e = 2f$ فإنّ الجسم يُضاء مرّتين في كلّ دور، فيبدو الحبل الجيبي مضاعفاً: صورتان ساكنتان متعاكستان.

الحركة البطيئة الظاهرية

• إذا كان $f_e$ **أصغر بقليل** من $f$: بين ومضتين تنجز الموجة أكثر بقليل من دور، فنرى **حركة بطيئة ظاهرية في جهة الانتشار الحقيقية**.
• إذا كان $f_e$ **أكبر بقليل** من $f$: تنجز الموجة أقلّ بقليل من دور، فنرى **حركة بطيئة ظاهرية في الجهة المعاكسة**.

وتواتر الحركة الظاهرية في الحالتين $f_a = \lvert f - f_e \rvert$.

قياس طول الموجة بالوماض

في حالة السكون الظاهري نقيس على «الصورة الساكنة» المسافة بين عدّة قمم متتالية (أو خطوط متتالية على سطح الماء)، فنحصل على $\lambda$، ثم نحسب السرعة بـ $v = \lambda f$.

أمثلة محلولة

مثال 1: شفرة تهتزّ بتواتر $f = 50\ Hz$. يبدو الحبل ساكناً بصورة واحدة عند $f_e = \frac{50}{k}$: أي $50\ Hz$ و $25\ Hz$ و $16{,}7\ Hz$ و $12{,}5\ Hz$… وعند $f_e = 100\ Hz$ يبدو مضاعفاً. وعند $f_e = 49\ Hz$ نرى حركة بطيئة في جهة الانتشار بتواتر ظاهري $1\ Hz$، أي اهتزازة ظاهرية كلّ ثانية.

مثال 2 (حوض الأمواج): هزّاز تواتره $20\ Hz$ والوماض مضبوط على $20\ Hz$. نقيس المسافة بين الخطّ الأوّل والخطّ الخامس من الخطوط المضيئة المتتالية فنجد $6{,}0\ cm$:

$4\lambda = 6{,}0\ cm \Rightarrow \lambda = 1{,}5\ cm = 0{,}015\ m$

$v = \lambda f = 0{,}015 \times 20 = 0{,}30\ m/s$

مثال 3: موجة تواترها $f = 50\ Hz$ ووماض بـ $f_e = 48\ Hz$: الحركة الظاهرية في جهة الانتشار، تواترها $f_a = 2\ Hz$ ودورها الظاهري $0{,}5\ s$.

ملاحظة للامتحان

السكون الظاهري لا يعني أنّ الموجة توقّفت، بل أنّ العين ترى الحالة نفسها في كلّ ومضة. ولتحديد $f$ بالوماض خذ أكبر تواتر يعطي صورة واحدة ساكنة، فالقيم الأصغر منه ($\frac{f}{2}$ و $\frac{f}{3}$…) تعطي السكون أيضاً.

6. انعراج الموجات الميكانيكية وظاهرة التبدّد

تجربة حوض الأمواج

نولّد في حوض الأمواج موجة مستقيمة متواترة طول موجتها $\lambda$، ونضع في طريقها حاجزاً فيه فتحة عرضها $a$:

• **إذا كان $a$ أكبر بكثير من $\lambda$:** تعبر الموجة الفتحة وتبقى مستقيمة تقريباً، ولا يتغيّر إلا جزء صغير منها عند حافتي الفتحة.
• **إذا كان $a$ من رتبة $\lambda$ أو أصغر منه:** تخرج من الفتحة موجة **دائرية** مركزها الفتحة، وكأنّ الفتحة صارت منبعاً جديداً. هذه هي **ظاهرة الانعراج**.

> الانعراج تغيّر اتجاه انتشار الموجة عند مرورها بفتحة أو بجوار حاجز أبعاده من رتبة طول الموجة. وهو ظاهرة تميّز الموجات.

خصائص الموجة المنعرجة

الموجة المنعرجة تنتشر في الوسط نفسه، فلها:

• **نفس التواتر** $f$ (يحدّده المنبع)،
• **نفس السرعة** $v$ (يحدّدها الوسط)،
• إذن **نفس طول الموجة** $\lambda = \frac{v}{f}$،
• وتتغيّر **مقدمة الموجة** (من مستقيمة إلى دائرية) وتنقص **السعة** لأنّ جزءاً فقط من الطاقة يعبر الفتحة.

أمثلة محلولة

مثال 1: في حوض أمواج $f = 20\ Hz$ و $v = 0{,}30\ m/s$، إذن $\lambda = \frac{0{,}30}{20} = 0{,}015\ m = 1{,}5\ cm$.

• فتحة $a = 1\ cm$: $a < \lambda$، انعراج واضح وموجة دائرية طول موجتها $1{,}5\ cm$.
• فتحة $a = 10\ cm$: $a$ أكبر بكثير من $\lambda$، تبقى الموجة مستقيمة تقريباً.

مثال 2 (الصوت): صوت تواتره $340\ Hz$ في الهواء: $\lambda = \frac{340}{340} = 1\ m$. باب عرضه $0{,}9\ m$ من رتبة طول الموجة، فينعرج الصوت ونسمع شخصاً يتكلّم في الغرفة المجاورة دون أن نراه. الضوء طول موجته نحو $0{,}5\ \mu m$، أصغر بكثير من عرض الباب، فلا يظهر انعراجه.

ظاهرة التبدّد

> يكون الوسط مبدّداً إذا كانت سرعة انتشار الموجة فيه تتعلّق بتواترها.

مثال 3: قياسات في حوض أمواج:

| $f$ | $\lambda$ | $v = \lambda f$ | |---|---|---| | $10\ Hz$ | $2{,}4\ cm$ | $0{,}24\ m/s$ | | $40\ Hz$ | $0{,}70\ cm$ | $0{,}28\ m/s$ |

السرعة تغيّرت مع التواتر، فسطح الماء وسط مبدّد. أمّا الهواء فغير مبدّد للصوت عملياً: لو كان مبدّداً لوصلتنا أصوات الآلات الموسيقية البعيدة مشوّهة، الحادّة قبل الغليظة أو العكس.

نتيجة: في الوسط المبدّد يتشوّه الاضطراب غير الجيبي أثناء انتشاره، لأنّ مركّباته ذات التواترات المختلفة لا تسير بالسرعة نفسها.

ملاحظة للامتحان

حين يُطلب وصف الموجة المنعرجة اذكر: شكلها (دائرية مركزها الفتحة) ونفس $f$ ونفس $\lambda$ ونفس $v$. وشرط الانعراج الواضح: عرض الفتحة من رتبة طول الموجة أو أصغر. وعند دراسة التبدّد احسب $v = \lambda f$ لكلّ تواتر ثم قارن السرعات، لا أطوال الموجة.

7. الضوء موجة: انعراج الضوء

تجربة انعراج الضوء

نسلّط حزمة ضوء ليزر على شقّ رفيع عرضه $a$، ونستقبل الضوء على شاشة تبعد $D$ عن الشقّ. نلاحظ على الشاشة:

• **بقعة مركزية** مضيئة عريضة، وعلى جانبيها بقع أقلّ إضاءة وأضيق، تفصل بينها مناطق مظلمة.
• البقع تمتدّ في **اتجاه عمودي على الشقّ**: شقّ شاقولي يعطي بقعاً موزّعة أفقياً.
• كلّما **ضاق** الشقّ **اتّسعت** البقعة المركزية.

الانعراج خاصية للموجات، إذن للضوء طبيعة موجية. وبما أنّ الضوء ينتشر في الفراغ فهو ليس موجة ميكانيكية (هو موجة كهرومغناطيسية، والتسمية للاطّلاع). ونحصل على الشكل نفسه إذا عوّضنا الشقّ بسلك قطره $a$، وهذا ما يسمح بقياس قطر شعرة أو سلك رفيع.

الفرق الزاوي

الفرق الزاوي $\theta$ هو الزاوية بين منتصف البقعة المركزية وأوّل منطقة مظلمة، كما يُرى من الشقّ:

$\theta = \frac{\lambda}{a}$

$\theta$ بالراديان $rad$، و $\lambda$ و $a$ بالمتر. وإذا كان عرض البقعة المركزية على الشاشة $L$ فإنّ الهندسة تعطي (الزاوية صغيرة):

$\tan\theta = \frac{L}{2D} \approx \theta$

$L = \frac{2\lambda D}{a}$

طول الموجة والتواتر

يتميّز الإشعاع الضوئي بتواتره $\nu$، وطول موجته في الفراغ (والهواء تقريباً):

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

حيث $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ m/s$ سرعة الضوء في الفراغ.

• **الضوء أحادي اللون:** إشعاع بتواتر واحد، كضوء الليزر تقريباً.
• **الضوء الأبيض:** ضوء متعدّد الألوان يضمّ كلّ إشعاعات المجال المرئي، وانعراجه يعطي بقعة مركزية بيضاء حوافها ملوّنة، لأنّ لكلّ لون $\theta$ خاصاً به.
• **المجال المرئي:** تقريباً من $400\ nm$ (البنفسجي) إلى $800\ nm$ (الأحمر)، و $1\ nm = 10^{-9}\ m$.

ما يدخل في المنهاج وما هو للاطّلاع

• **في المنهاج:** انعراج الضوء دليلاً على طبيعته الموجية، العلاقة $\theta = \frac{\lambda}{a}$ واستعمالها مع الشاشة، $\lambda = \frac{c}{\nu}$، الضوء أحادي اللون والضوء الأبيض، حدود المجال المرئي.
• **للاطّلاع:** تواتر الإشعاع لا يتغيّر حين ينتقل من وسط شفّاف إلى آخر، بينما تنقص سرعته فيه وينقص طول موجته. الزجاج وسط مبدّد للضوء، ولهذا يحلّل الموشور الضوء الأبيض إلى ألوانه. وخارج المجال المرئي: فوق البنفسجي ($\lambda 800\ nm$).

أمثلة محلولة

مثال 1: ليزر $\lambda = 633\ nm$، شقّ $a = 0{,}10\ mm$، شاشة $D = 2{,}0\ m$:

$\theta = \frac{633 \times 10^{-9}}{0{,}10 \times 10^{-3}} = 6{,}33 \times 10^{-3}\ rad$

$L = 2\theta D = 2 \times 6{,}33 \times 10^{-3} \times 2{,}0 = 2{,}5 \times 10^{-2}\ m$

أي $L \approx 2{,}5\ cm$. وتواتر هذا الإشعاع $\nu = \frac{3{,}00 \times 10^{8}}{633 \times 10^{-9}} = 4{,}74 \times 10^{14}\ Hz$.

مثال 2 (قطر شعرة): نعوّض الشقّ بشعرة: $\lambda = 650\ nm$ و $D = 1{,}5\ m$ و $L = 3{,}0\ cm$:

$a = \frac{2\lambda D}{L} = \frac{2 \times 650 \times 10^{-9} \times 1{,}5}{3{,}0 \times 10^{-2}} = 6{,}5 \times 10^{-5}\ m$

أي $a = 65\ \mu m$.

ملاحظة للامتحان

حوّل $nm$ و $mm$ و $\mu m$ و $cm$ إلى المتر قبل التعويض. $L$ هو العرض الكلّي للبقعة المركزية، لذلك يظهر العدد 2 في $L = \frac{2\lambda D}{a}$. و $\theta$ بالراديان لا بالدرجة.

8. تمارين نموذجية محلولة بنمط البكالوريا

التمرين الأول: موجة على حبل

يُحدث منبع $S$ في اللحظة $t = 0$ اضطراباً على حبل أفقي مرن طويل، يدوم $\Delta t = 0{,}2\ s$. صورة الحبل في اللحظة $t_1 = 0{,}5\ s$ تبيّن أنّ مقدمة الاضطراب على بعد $2{,}0\ m$ من $S$.

• هل الموجة عرضية أم طولية؟ (نقاط الحبل تتحرّك شاقولياً والانتشار أفقي).
• احسب سرعة الانتشار وطول الجزء المضطرب.
• متى تبدأ النقطة $M$ ($SM = 6{,}0\ m$) حركتها ومتى تتوقّف؟
• في اللحظة $t = 1{,}0\ s$، هل النقطة $N$ ($SN = 3{,}5\ m$) في حركة؟

الحلّ:

• اتجاه الاضطراب عمودي على اتجاه الانتشار: **موجة عرضية** أحادية البعد.
• السرعة وطول الجزء المضطرب:

$v = \frac{2{,}0}{0{,}5} = 4\ m/s$

$\ell = v \cdot \Delta t = 4 \times 0{,}2 = 0{,}8\ m$

• $\tau = \frac{6{,}0}{4} = 1{,}5\ s$: تبدأ $M$ حركتها في $t = 1{,}5\ s$ وتتوقّف في $t = 1{,}7\ s$.
• في $t = 1{,}0\ s$ المقدمة على $4 \times 1{,}0 = 4{,}0\ m$ والذيل على $4{,}0 - 0{,}8 = 3{,}2\ m$. بما أنّ $3{,}2 < 3{,}5 < 4{,}0$ فإنّ $N$ **في حركة**.

التمرين الثاني: حوض الأمواج والوماض

هزّاز يولّد موجة على سطح الماء. بالوماض نلاحظ سكوناً ظاهرياً بصورة واحدة عند $f_e = 25\ Hz$ و $12{,}5\ Hz$ و $8{,}3\ Hz$، وصورة مضاعفة عند $50\ Hz$. المسافة بين 6 خطوط مضيئة متتالية $5{,}0\ cm$.

• استنتج تواتر الهزّاز.
• احسب طول الموجة وسرعة الانتشار.
• نقطتان $M$ و $N$ على شعاع انتشار واحد: $SM = 2{,}0\ cm$ و $SN = 3{,}5\ cm$. قارن حالتيهما الاهتزازيتين.
• ماذا نشاهد إذا ضبطنا الوماض على $24\ Hz$؟
• نضع حاجزاً فيه فتحة عرضها $0{,}8\ cm$. صف الموجة بعد الحاجز.

الحلّ:

• أكبر تواتر يعطي صورة واحدة ساكنة: $f = 25\ Hz$ (والقيم الأخرى $\frac{25}{2}$ و $\frac{25}{3}$، و $50\ Hz = 2f$ تعطي الصورة المضاعفة).
• بين 6 خطوط خمسة أطوال موجة:

$5\lambda = 5{,}0\ cm \Rightarrow \lambda = 1{,}0\ cm$

$v = \lambda f = 0{,}010 \times 25 = 0{,}25\ m/s$

• $MN = 3{,}5 - 2{,}0 = 1{,}5\ cm = 1{,}5\lambda = 3 \cdot \frac{\lambda}{2}$: مضاعف فردي لنصف طول الموجة، فالنقطتان **على تعاكس في الطور**.
• $f_e$ أصغر بقليل من $f$: حركة بطيئة ظاهرية في جهة الانتشار، تواترها $25 - 24 = 1\ Hz$.
• $a = 0{,}8\ cm$ أصغر من $\lambda = 1{,}0\ cm$: انعراج واضح، موجة دائرية مركزها الفتحة، لها $f = 25\ Hz$ و $\lambda = 1{,}0\ cm$ و $v = 0{,}25\ m/s$.

التمرين الثالث: انعراج ضوء الليزر

نضيء شقوقاً مختلفة العرض بليزر، والشاشة على بعد $D = 1{,}50\ m$، ونقيس عرض البقعة المركزية:

| $a$ | $\frac{1}{a}$ | $L$ | |---|---|---| | $0{,}05\ mm$ | $2{,}0 \times 10^{4}\ m^{-1}$ | $3{,}90\ cm$ | | $0{,}10\ mm$ | $1{,}0 \times 10^{4}\ m^{-1}$ | $1{,}95\ cm$ | | $0{,}20\ mm$ | $5{,}0 \times 10^{3}\ m^{-1}$ | $0{,}98\ cm$ |

• بيّن أنّ $L$ يتناسب مع $\frac{1}{a}$ واحسب معامل التناسب.
• استنتج طول موجة الليزر وتواتره، وهل هو مرئي؟
• نعوّض الشقّ بشعرة فنجد $L = 2{,}6\ cm$. احسب قطرها.

الحلّ:

• البيان $L = f\left(\frac{1}{a}\right)$ مستقيم يمرّ بالمبدأ، معامل توجيهه:

$k = \frac{3{,}90 \times 10^{-2}}{2{,}0 \times 10^{4}} = 1{,}95 \times 10^{-6}\ m^{2}$

• بالمقارنة مع $L = \frac{2\lambda D}{a}$ نجد $k = 2\lambda D$:

$\lambda = \frac{k}{2D} = \frac{1{,}95 \times 10^{-6}}{3{,}00} = 6{,}5 \times 10^{-7}\ m = 650\ nm$

$\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3{,}00 \times 10^{8}}{6{,}5 \times 10^{-7}} = 4{,}6 \times 10^{14}\ Hz$

القيمة $650\ nm$ بين $400$ و $800\ nm$: إشعاع مرئي أحمر.

• $a = \frac{k}{L} = \frac{1{,}95 \times 10^{-6}}{2{,}6 \times 10^{-2}} = 7{,}5 \times 10^{-5}\ m = 75\ \mu m$.

ملاحظة للامتحان

في التمارين البيانية اربط معامل التوجيه بالعلاقة النظرية قبل الحساب، واكتب الوحدة ($m^{2}$ هنا). وفي كلّ سؤال عن نقطتين احسب المسافة بينهما لا بُعد كلّ منهما عن المنبع.

9. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

أخطاء المفاهيم

• **«الموجة تنقل المادة»:** خطأ. نقاط الوسط تهتزّ حول مواضع توازنها، والذي ينتقل هو الاضطراب والطاقة.
• **«السعة الأكبر تنتشر أسرع»:** خطأ. السرعة يحدّدها الوسط (طبيعته، توتره، كتلته الخطية، عمق الماء…) لا السعة ولا شكل الاضطراب.
• **«تغيير التواتر يغيّر السرعة»:** خطأ في الوسط غير المبدّد. التواتر يحدّده المنبع والسرعة يحدّدها الوسط، و$\lambda$ هو الذي يتغيّر. والاستثناء هو الوسط المبدّد كسطح الماء.
• **«الموجة على سطح الماء أحادية البعد»:** خطأ، هي ثنائية البعد. والصوت ثلاثي الأبعاد وطولي.
• **«السكون الظاهري يعني توقّف الموجة»:** خطأ، الوماض يُرينا الحالة نفسها في كلّ ومضة فقط.

أخطاء العلاقات

• **قلب العلاقات:** $\tau = \frac{d}{v}$ لا $\frac{v}{d}$، و $\lambda = \frac{v}{f}$ لا $\frac{f}{v}$، و $\theta = \frac{\lambda}{a}$ لا $\frac{a}{\lambda}$. فحص الوحدات يكشف الخطأ: $\frac{m}{m/s}$ تعطي ثانية.
• **علاقة التأخر بالإشارة الخاطئة:** $y_M(t) = y_S(t - \tau)$، فالنقطة تتأخّر عن المنبع ولا تسبقه.
• **نسيان العدد 2:** $L$ هو العرض الكلّي للبقعة المركزية، ومنه $L = \frac{2\lambda D}{a}$، بينما $\theta = \frac{L}{2D}$ لا $\frac{L}{D}$.
• **شرط التعاكس:** نقطتان تفصل بينهما $\lambda$ على **توافق** لا تعاكس؛ التعاكس يكون عند $\frac{\lambda}{2}$ و $\frac{3\lambda}{2}$…

أخطاء الحساب والوحدات

| المعطى | التحويل الصحيح | |---|---| | $25\ cm$ | $0{,}25\ m$ | | $4\ ms$ | $4 \times 10^{-3}\ s$ | | $633\ nm$ | $6{,}33 \times 10^{-7}\ m$ | | $0{,}1\ mm$ | $10^{-4}\ m$ | | $65\ \mu m$ | $6{,}5 \times 10^{-5}\ m$ | | $40\ kHz$ | $4 \times 10^{4}\ Hz$ |

• **عدّ القمم:** بين $n$ قمّة (أو خطّاً) متتالية $n - 1$ طول موجة. مثال: 8 قمم متتالية على $14\ cm$ تعطي $7\lambda = 14\ cm$ ومنه $\lambda = 2\ cm$، لا $1{,}75\ cm$.
• **الخلط بين المنحنيين:** في منحنى $y_M(t)$ المسافة بين قمّتين على محور الزمن هي **الدور** $T$؛ وفي صورة الحبل $y(x)$ المسافة بين قمّتين هي **طول الموجة** $\lambda$. مثال: إذا قرأنا $20\ ms$ على منحنى $y_M(t)$ فهذا $T = 0{,}02\ s$ و $f = 50\ Hz$، وبسرعة $5\ m/s$ يكون $\lambda = 0{,}1\ m$.
• **الراديان:** $\theta$ المحسوب بـ $\frac{\lambda}{a}$ بالراديان، ولا نحوّله إلى درجات إلا إذا طُلب ذلك.

ملاحظة للامتحان

قبل تسليم أيّ نتيجة اسأل نفسك: هل الرتبة معقولة؟ سرعة أمواج سطح الماء في الحوض من رتبة عشرات السنتيمترات في الثانية، والصوت في الهواء نحو $340\ m/s$، وطول موجة الضوء المرئي مئات النانومترات، وعرض البقعة المركزية من رتبة السنتيمتر. نتيجة مثل $30\ m/s$ لأمواج الحوض أو $10\ rad$ لزاوية الانعراج تدلّ على تحويل منسي.