الظواهر الكهربائية

المكثفات وثنائي القطب RC ــ شحن المكثفة

المكثفات و ثنائي القطب RC ( المعادلات التفاضلية )

1. كيفية إيجاد المعادلات التفاضلية في حالة شحن المكثفة $u_c(t)$

1. المعادلة التفاضلية للتوتر بين طرفي المكثفة $u_c(t)$

• البادئة $K$ في الوضع 1: تشحن المكثفة.
• **المعادلة التفاضلية:** بتطبيق قانون جمع التوترات ($ق \, ج \, ت$):

$u_R + u_C = E \Rightarrow R \cdot i + u_C = E$ بما أن $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$: $\Rightarrow R \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ $\Rightarrow \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot u_C = \frac{E}{R \cdot C}$

• **حل المعادلة التفاضلية:** $u_C(t) = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
• **القيمة العظمى:** $U_{C\text{ max}} = E$
• **جدول القيم ومنحنى التطور:**
• عند $t = 0$: $u_C = 0$
• عند $t = \tau$: $u_C = 0{,}63E$
• عند $t = 5\tau$: $u_C = 0{,}99E$
• عند $t = \infty$: $u_C = E$

---

2. المعادلة التفاضلية لكمية الشحنة الكهربائية في المكثفة $q(t)$

• **المعادلة التفاضلية:** بتطبيق قانون جمع التوترات:

$u_R + u_C = E \Rightarrow R \cdot i + \frac{1}{C} \cdot q = E$ بما أن $i = \frac{dq}{dt}$: $\Rightarrow R \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} \cdot q = E$ $\Rightarrow \frac{dq}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot q = \frac{E}{R}$

• **حل المعادلة التفاضلية:** $q(t) = C \cdot E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
• **القيمة العظمى:** $Q_{\text{max}} = C \cdot E$
• **جدول القيم:**
• عند $t = 0$: $q = 0$
• عند $t = \tau$: $q = 0{,}63CE$
• عند $t = 5\tau$: $q = 0{,}99CE$
• عند $t = \infty$: $q = CE$

---

3. المعادلة التفاضلية لشدة التيار الكهربائي $i(t)$

• **المعادلة التفاضلية:** بتطبيق قانون جمع التوترات:

$u_R + u_C = E \Rightarrow R \cdot i + \frac{1}{C} \cdot q = E$ بعد الاشتقاق بالنسبة للزمن: $R \cdot \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \cdot \frac{dq}{dt} = 0$ بما أن $\frac{dq}{dt} = i$: $\Rightarrow R \cdot \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \cdot i = 0$ $\Rightarrow \frac{di}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot i = 0$

• **حل المعادلة التفاضلية:** $i(t) = \frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
• **القيمة العظمى (الابتدائية):** $I_0 = \frac{E}{R}$
• **جدول القيم:**
• عند $t = 0$: $i = \frac{E}{R}$
• عند $t = \tau$: $i = 0{,}37\frac{E}{R}$
• عند $t = 5\tau$: $i = 0{,}01\frac{E}{R}$
• عند $t = \infty$: $i = 0$

---

4. المعادلة التفاضلية للتوتر بين طرفي الناقل الأومي $u_R(t)$

• **المعادلة التفاضلية:** بتطبيق قانون جمع التوترات:

$u_R + u_C = E \Rightarrow u_R + \frac{1}{C} \cdot q = E$ بعد الاشتقاق بالنسبة للزمن: $\frac{du_R}{dt} + \frac{1}{C} \cdot \frac{dq}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{du_R}{dt} + \frac{1}{C} \cdot i = 0$ بما أن $u_R = R \cdot i \Rightarrow i = \frac{u_R}{R}$: $\Rightarrow \frac{du_R}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot u_R = 0$

• **حل المعادلة التفاضلية:** $u_R(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
• **القيمة العظمى (الابتدائية):** $U_{R0} = E$
• **جدول القيم:**
• عند $t = 0$: $u_R = E$
• عند $t = \tau$: $u_R = 0{,}37E$
• عند $t = 5\tau$: $u_R = 0{,}01E$
• عند $t = \infty$: $u_R = 0$

المكثفات وثنائي القطب RC ــ تفريغ المكثفة

كيفية إيجاد المعادلات التفاضلية في حالة تفريغ المكثفة $u_c(t)$

• البادئة $K$ في الوضع 2: تُفرَّغ المكثفة.

1. المعادلة التفاضلية للتوتر بين طرفي المكثفة $u_c(t)$

• **المعادلة التفاضلية:** $u_R + u_C = 0 \Rightarrow R \cdot i + u_C = 0 \Rightarrow R \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$
• **الصيغة المبسطة:** $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot u_C = 0$
• **حل المعادلة التفاضلية:** $u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
• **القيمة الأعظمية الابتدائية:** $U_{C0} = E$
• **جدول القيم:**
• عند $t = 0$: $u_C = E$
• عند $t = \tau$: $u_C = 0{,}37E$
• عند $t = 5\tau$: $u_C = 0{,}01E$
• عند $t = \infty$: $u_C = 0$

---

2. المعادلة التفاضلية لكمية الكهرباء في المكثفة $q(t)$

• **المعادلة التفاضلية:** $u_R + u_C = 0 \Rightarrow R \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} \cdot q = 0 \Rightarrow \frac{dq}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot q = 0$
• **حل المعادلة التفاضلية:** $q(t) = C \cdot E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
• **القيمة الأعظمية:** $Q_0 = C \cdot E$
• **جدول القيم:**
• عند $t = 0$: $q = CE$
• عند $t = \tau$: $q = 0{,}37CE$
• عند $t = 5\tau$: $q = 0{,}01CE$
• عند $t = \infty$: $q = 0$

---

3. المعادلة التفاضلية لشدة التيار الكهربائي $i(t)$

• **المعادلة التفاضلية:** $u_R + u_C = 0 \Rightarrow R \cdot i + \frac{1}{C} \cdot q = 0$

بالاشتقاق: $R \cdot \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \cdot i = 0 \Rightarrow \frac{di}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot i = 0$

• **حل المعادلة التفاضلية:** $i(t) = -\frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
• **القيمة الابتدائية:** $I_0 = -\frac{E}{R}$
• **جدول القيم:**
• عند $t = 0$: $i = -\frac{E}{R}$
• عند $t = \tau$: $i = -0{,}37\frac{E}{R}$
• عند $t = 5\tau$: $i = -0{,}01\frac{E}{R}$
• عند $t = \infty$: $i = 0$

---

4. المعادلة التفاضلية للتوتر بين طرفي الناقل الأومي $u_R(t)$

• **المعادلة التفاضلية:** $u_R + u_C = 0 \Rightarrow u_R + \frac{1}{C} \cdot q = 0$

بالاشتقاق: $\frac{du_R}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot u_R = 0$

• **حل المعادلة التفاضلية:** $u_R(t) = -E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
• **القيمة الابتدائية:** $U_{R0} = -E$
• **جدول القيم:**
• عند $t = 0$: $u_R = -E$
• عند $t = \tau$: $u_R = -0{,}37E$
• عند $t = 5\tau$: $u_R = -0{,}01E$
• عند $t = \infty$: $u_R = 0$

المكثفات وثنائي القطب RC ــ الطاقة

المكثفات و ثنائي القطب RC ( الطاقة )

1. الطاقة المخزنة في المكثفة في حالة شحن المكثفة

الطاقة المخزنة في المكثفة $E_C$ عند لحظة $t$:

• $\begin{cases} E_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2 \\ u_C = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \end{cases} \Rightarrow E_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$
• $E_C = E_{C\text{ max}} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$

الطاقة المخزنة الأعظمية $E_{C\text{ max}}$ (عند نهاية الشحن):

• $E_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$
• عند اللحظة $t = \infty$:

$E_{C\text{ max}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \left(1 - e^{-\frac{\infty}{\tau}}\right)^2$ $\Rightarrow E_{C\text{ max}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2$

---

2. الطاقة المخزنة في المكثفة في حالة تفريغ المكثفة

الطاقة المخزنة في المكثفة $E_C$ عند لحظة $t$:

• $\begin{cases} E_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2 \\ u_C = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \end{cases} \Rightarrow E_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \left(e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$
• $E_C = E_{C0} \cdot e^{-2\frac{t}{\tau}}$

الطاقة المخزنة الأعظمية $E_{C0}$ (عند بداية التفريغ):

• $E_C = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \left(e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$
• عند اللحظة $t = 0$:

$E_{C0} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \left(e^{-\frac{0}{\tau}}\right)^2$ $\Rightarrow E_{C0} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2$

---

3. زمن تناقص الطاقة إلى النصف $t_{\frac{1}{2}}$

• **تعريف زمن تناقص الطاقة إلى النصف $t_{\frac{1}{2}}$:** هو الزمن اللازم لتناقص الطاقة المخزنة في المكثفة إلى نصف طاقتها الابتدائية $E_C = \frac{E_{C0}}{2}$.
• **العبارة الرياضية:**

$t_{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \tau \cdot \ln 2$

• **الرموز والوحدات:**
• $t_{\frac{1}{2}}$: زمن تناقص الطاقة إلى النصف $(s)$
• $\tau$: ثابت الزمن $(s)$

المكثفات وثنائي القطب RC ــ البراهين

I. المكثفات و ثنائي القطب RC ( البراهين )

1. إثبات أن: $u_c(t) = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}}\right)$ حل للمعادلة التفاضلية في حالة الشحن

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$u_c(t) = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}}\right) \quad \text{--- (1)}$

• **نشتق حل المعادلة التفاضلية:**

$\frac{du_c(t)}{dt} = \frac{E}{R \cdot C} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}} \quad \text{--- (2)}$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{du_c}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot u_c = \frac{E}{R \cdot C} \quad \text{--- (3)}$

• **تعويض (1) و (2) في (3) نجد:**

$\frac{E}{R \cdot C} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot \left(E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}}\right)\right) = \frac{E}{R \cdot C}$ $\Rightarrow \left(\frac{E}{R \cdot C} - \frac{E}{R \cdot C}\right) \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}} + \left(\frac{E}{R \cdot C} - \frac{E}{R \cdot C}\right) = 0$ $\Rightarrow 0 = 0$

• **ومنه:** حل $u_c(t) = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}}\right)$ هو حل للمعادلة التفاضلية.

---

2. أوجد الثوابت: $A, \alpha, B$ علماً أن حل المعادلة التفاضلية في حالة الشحن هو من الشكل: $u_c(t) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t}$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$u_c(t) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t} \quad \text{--- (1)}$

• **نشتق حل المعادلة التفاضلية:**

$\frac{du_c(t)}{dt} = -\alpha \cdot B \cdot e^{-\alpha \cdot t} \quad \text{--- (2)}$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{du_c}{dt} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot u_c = \frac{E}{R \cdot C} \quad \text{--- (3)}$

• **تعويض (1) و (2) في (3) نجد:**

$-\alpha \cdot B \cdot e^{-\alpha \cdot t} + \frac{1}{R \cdot C} \cdot \left(A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t}\right) = \frac{E}{R \cdot C}$ $\Rightarrow \left(\frac{B}{R \cdot C} - \alpha \cdot B\right) \cdot e^{-\alpha \cdot t} + \left(\frac{A}{R \cdot C} - \frac{E}{R \cdot C}\right) = 0$

• $\begin{cases} \frac{B}{R \cdot C} - \alpha \cdot B = 0 \\ \frac{A}{R \cdot C} - \frac{E}{R \cdot C} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = \frac{1}{R \cdot C} \\ A = E \end{cases}$
• **من الشروط الابتدائية لما $t = 0$ فإن $u_c(0) = 0$:**

$u_c(0) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot (0)} \Rightarrow 0 = A + B \Rightarrow B = -E$

• **ومنه الحل هو:**

$u_c(t) = E - E \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}} \Rightarrow u_c(t) = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}}\right)$

---

3. برهن على أن المماس عند اللحظة $t = 0$ يقطع محور الأزمنة عند نقطة فاصلتها $t = \tau$ خلال مرحلة تفريغ المكثفة

• **معادلة المماس:** المماس خط مستقيم لا يمر من المبدأ معادلته $y = A \cdot x + B$
• **$B$ هو نقطة تقاطع المماس مع محور التراتيب:**

عند اللحظة $t = 0$: $B = u_c(0) = E$

• **حل المعادلة التفاضلية أثناء التفريغ:**

$u_c(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

• **$A$ هو معامل توجيه المماس:**

مشتق حل المعادلة التفاضلية: $\frac{du_c(t)}{dt} = -\frac{E}{\tau} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ عند اللحظة $t = 0$: $A = \frac{du_c(0)}{dt} = -\frac{E}{\tau}$

• **ومنه معادلة المماس هي:**

$u_c = -\frac{E}{\tau} \cdot t + E$

• **عندما يقطع المماس محور الأزمنة فإن $u_c = 0$:**

$u_c = 0 \Rightarrow 0 = -\frac{E}{\tau} \cdot t + E \Rightarrow t = \tau$

الوشائع وثنائي القطب RL ــ العلاقات والقوانين

الوشائع و ثنائي القطب RL ( العلاقات و القوانين )

1. المولد $E$

• **التوتر بين طرفي مولد التوتر المثالي:** $u_G = E$
• $u_G$: فرق الكمون بين طرفي المولد $(V)$
• $E$: القوة المحركة للمولد $(V)$

---

2. الناقل الأومي ( المقاومة ) $R$

• **أ. التوتر بين طرفي المقاومة (قانون أوم):** $u_R = R \cdot i$
• $u_R$: التوتر بين طرفي المقاومة $(V)$
• $R$: المقاومة $(\Omega)$
• $i$: شدة التيار الكهربائي $(A)$

• **ب. جمع المقاومات على التسلسل:** $R_{eq} = R_1 + R_2$
• $R_{eq}$: المقاومة المكافئة $(\Omega)$
• $R_1$: المقاومة الأولى $(\Omega)$
• $R_2$: المقاومة الثانية $(\Omega)$

• **ج. جمع المقاومات على التفرع:** $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

---

3. الوشيعة $(L, r)$

أ. تعريف الوشيعة:

• عبارة عن سلك معدني محاط بعازل كهربائي ملفوف على شكل حلقات.
• تتميز الوشيعة بذاتية $L$ وحدتها الهنري $(H)$ ومقاومة داخلية $r$ وحدتها الأوم $(\Omega)$.

ب. الوشيعة الصرفة (الصافية):

• هي وشيعة ذاتيتها $L$ ومقاومتها الداخلية مهملة $r = 0$.

ج. التوتر بين طرفي الوشيعة $u_L$:

• **التوتر بين طرفي الوشيعة:** $u_L = L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i$
• $u_L$: التوتر بين طرفي الوشيعة $(V)$
• $L$: ذاتية الوشيعة $(H)$
• $r$: المقاومة الداخلية للوشيعة $(\Omega)$
• $i$: شدة التيار الكهربائي $(A)$
• $\frac{di}{dt}$: مشتق شدة التيار الكهربائي $(A/s)$ أو $(A \cdot s^{-1})$

• **التوتر بين طرفي الوشيعة الصرفة ($r = 0$):** $u_L = L \cdot \frac{di}{dt}$

د. الطاقة المخزنة في الوشيعة $E_L$:

• **الطاقة المخزنة في الوشيعة:** $E_L = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2$
• $E_L$: الطاقة المخزنة في الوشيعة $(J)$
• $L$: ذاتية الوشيعة $(H)$
• $i$: شدة التيار الكهربائي $(A)$
• **الطاقة المخزنة الأعظمية:** $E_{L\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_0^2$
• $E_{L\text{max}}$: الطاقة المخزنة الأعظمية $(J)$
• $I_0$: شدة التيار الكهربائي الأعظمي $(A)$

الوشائع وثنائي القطب RL ــ المفاهيم الأساسية

الوشائع و ثنائي القطب RL ( المفاهيم الأساسية )

1. ثابت الزمن $\tau$

• **عبارة ثابت الزمن $\tau$ للوشيعة $(L, r)$:** $\tau = \frac{L}{R + r}$
• **ثابت الزمن $\tau$ للوشيعة الصافية ($r = 0$):** $\tau = \frac{L}{R}$
• **الرموز والوحدات:**
• $\tau$: ثابت الزمن $(s)$
• $L$: ذاتية الوشيعة $(H)$
• $r$: المقاومة الداخلية للوشيعة $(\Omega)$
• $R$: مقاومة الناقل الأومي $(\Omega)$
• **تعريف ثابت الزمن $\tau$:** هو الزمن اللازم لبلوغ شدة التيار $63\%$ من شدة التيار العظمى $I_0$.
• **علاقة $\tau$ بـ $L$ و $r$ و $R$:** ثابت الزمن $\tau$ يتناسب طردا مع الذاتية $L$ وعكسيا مع المقاومة $R$ و $r$.
• **زمن التحريض العملي للوشيعة:** هو $t = 5\tau$.
• **التحليل البعدي لثابت الزمن $\tau$:**
• $[\tau] = \frac{[L]}{[R_T]} = \frac{[U] \times [T]}{[I]} \times \frac{[I]}{[U]} = [T] = s$

---

2. سلوك الوشيعة

• **سلوك الوشيعة في النظام الانتقالي:** الوشيعة تعرقل مرور التيار الكهربائي لوقت قصير بسبب ظاهرة التحريض.
• **سلوك الوشيعة في النظام الدائم:**
• الوشيعة تتحرض كليا $\frac{di}{dt} = 0$ وبالتالي تسلك سلوك ناقل أومي: $u_L = r \cdot i$
• سلوك الوشيعة الصافية ($r = 0$) في النظام الدائم: الوشيعة تتحرض كليا $\frac{di}{dt} = 0$ وبالتالي تسلك سلوك سلك ناقل: $u_L = 0$
• **دور الصمام الثنائي ( الديود ):** 1) يمرر التيار الكهربائي في اتجاه واحد. 2) حماية الدارة من فرط التوتر.

---

3. كيفية ربط راسم الاهتزاز المهبطي ( الأوسيليوسكوب )

• راسم الاهتزاز المهبطي يعطينا منحنى تطور فرق الكمون $u$ بدلالة الزمن $t$: $u = f(t)$
• يتكون راسم الاهتزاز المهبطي من مدخلين $Y_1$ و $Y_2$ و أرضي مشترك.
• يربط راسم الاهتزاز المهبطي على التفرع.

| | أ. الربط لمشاهدة $u_R$ | ب. الربط لمشاهدة $u_b$ | ج. الربط لمشاهدة $u_b$ و $u_R$ | د. الربط لمشاهدة $E$ و $u_R$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | كيفية الربط | | | | | | المنحنيات الناتجة | | | | |

الوشائع وثنائي القطب RL ــ ظهور التيار

II. الوشائع و ثنائي القطب RL ( المعادلات التفاضلية )

---

أ. كيفية إيجاد المعادلات التفاضلية في حالة: القاطعة $K$ مغلقة (ظهور التيار)

1. كيفية إيجاد المعادلة التفاضلية لتطور شدة التيار الكهربائي $i(t)$

• **بتطبيق قانون جمع التوترات:**

$u_b + u_R = E \Rightarrow L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i + R \cdot i = E \Rightarrow L \cdot \frac{di}{dt} + (R + r) \cdot i = E$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot i = \frac{E}{L}$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$i(t) = \frac{E}{R + r} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

• **القيمة العظمى (النظام الدائم):**

$I_0 = \frac{E}{R + r}$

---

2. كيفية إيجاد المعادلة التفاضلية لتطور التوتر بين طرفي المقاومة $u_R(t)$

• **بتطبيق قانون جمع التوترات:**

$u_b + u_R = E \Rightarrow L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i + u_R = E$

• **لدينا $i = \frac{u_R}{R}$ وبالتعويض نجد:**

$L \cdot \frac{d\left(\frac{u_R}{R}\right)}{dt} + (R + r) \cdot \frac{u_R}{R} = E \Rightarrow \frac{L}{R} \cdot \frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{R} \cdot u_R = E$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R = \frac{E \cdot R}{L}$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$u_R(t) = R \cdot \frac{E}{R + r} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

• **القيمة العظمى:**

$U_{R\text{ max}} = R \cdot \frac{E}{R + r} = R \cdot I_0$

---

3. كيفية إيجاد المعادلة التفاضلية لتطور التوتر بين طرفي الوشيعة $u_b(t)$

• **بتطبيق قانون جمع التوترات:**
• $u_b + R \cdot i = E \Rightarrow i = \frac{E - u_b}{R}$
• $u_b = L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i \Rightarrow \frac{di}{dt} = \frac{u_b}{L} - \frac{r}{L} \cdot i \Rightarrow \frac{di}{dt} = \frac{u_b}{L} - \frac{r}{L} \cdot \left(\frac{E - u_b}{R}\right)$
• $u_b + R \cdot i = E \Rightarrow \frac{du_b}{dt} + R \cdot \frac{di}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{du_b}{dt} + R \left(\frac{u_b}{L} - \frac{r}{RL}(E - u_b)\right) = 0$
• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{du_b}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_b = \frac{E \cdot r}{L}$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$u_b(t) = (E - r \cdot I_0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + r \cdot I_0$

• **القيمة العظمى:**

$U_{b\text{ max}} = E$

---

4. الطاقة المخزنة في الوشيعة $E_L(t)$

• **الطاقة المخزنة في الوشيعة:**

$\begin{cases} E_L = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2 \\ i = I_0 \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \end{cases} \Rightarrow E_L = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_0^2 \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$ $\Rightarrow E_L = E_{L\text{ max}} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$

• **الطاقة المخزنة الأعظمية:**

$E_{L\text{ max}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_0^2$

الوشائع وثنائي القطب RL ــ انقطاع التيار

كيفية إيجاد المعادلات التفاضلية في حالة: القاطعة $K$ مفتوحة (انقطاع التيار)

1. كيفية إيجاد المعادلة التفاضلية لتطور شدة التيار الكهربائي $i(t)$

• **بتطبيق قانون جمع التوترات:**

$u_b + u_R = 0 \Rightarrow L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i + R \cdot i = 0 \Rightarrow L \cdot \frac{di}{dt} + (R + r) \cdot i = 0$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot i = 0$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$i(t) = \frac{E}{R + r} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

• **القيمة العظمى (الابتدائية):**

$I_0 = \frac{E}{R + r}$

---

2. كيفية إيجاد المعادلة التفاضلية لتطور التوتر بين طرفي المقاومة $u_R(t)$

• **بتطبيق قانون جمع التوترات:**

$u_b + u_R = 0 \Rightarrow L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i + R \cdot i = 0$

• **لدينا $i = \frac{u_R}{R}$ وبالتعويض نجد:**

$\frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R = 0$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$u_R(t) = R \cdot \frac{E}{R + r} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

• **القيمة العظمى (الابتدائية):**

$U_{R0} = R \cdot \frac{E}{R + r} = R \cdot I_0$

---

3. كيفية إيجاد المعادلة التفاضلية لتطور التوتر بين طرفي الوشيعة $u_b(t)$

• **بتطبيق قانون جمع التوترات:**

$u_b + u_R = 0$

• $u_b + R \cdot i = 0 \Rightarrow i = \frac{-u_b}{R} \quad \text{--- (1)}$
• $\frac{di}{dt} = -\frac{1}{R} \cdot \frac{du_b}{dt} \quad \text{--- (2)}$
• **بتعويض (1) و (2) في معادلة الوشيعة ($u_b = L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i$):**

$u_b = L \cdot \left(-\frac{1}{R} \cdot \frac{du_b}{dt}\right) + r \cdot \left(-\frac{u_b}{R}\right)$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{du_b}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_b = 0$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$u_b(t) = -R \cdot \frac{E}{R + r} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} = -R \cdot I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

• **القيمة الابتدائية:**

$U_{b\text{ max}} = -R \cdot \frac{E}{R + r} = -R \cdot I_0$

---

4. الطاقة المخزنة في الوشيعة $E_L(t)$ في حالة التفريغ

• **الطاقة المخزنة:**

$\begin{cases} E_L = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2 \\ i = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \end{cases} \Rightarrow E_L = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_0^2 \cdot \left(e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2$ $\Rightarrow E_L = E_{L0} \cdot e^{-2\frac{t}{\tau}}$

• **الطاقة المخزنة الأعظمية (عند اللحظة $t = 0$):**

$E_{L0} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_0^2$

الوشائع وثنائي القطب RL ــ البراهين

II. الوشائع و ثنائي القطب RL ( البراهين )

1. إيجاد الثوابت $A$ و $\alpha$ و $B$ علماً أن حل المعادلة التفاضلية $\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot i = \frac{E}{L}$ هو من الشكل: $i(t) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t}$

• **حل المعادلة التفاضلية:**

$i(t) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t} \quad \text{--- (1)}$

• **نشتق حل المعادلة التفاضلية:**

$\frac{di(t)}{dt} = -\alpha \cdot B \cdot e^{-\alpha \cdot t} \quad \text{--- (2)}$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot i = \frac{E}{L} \quad \text{--- (3)}$

• **تعويض (1) و (2) في (3) نجد:**

$-\alpha \cdot B \cdot e^{-\alpha \cdot t} + \frac{(R + r)}{L} \cdot \left(A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t}\right) = \frac{E}{L}$ $\Rightarrow \left(\frac{(R + r)}{L} - \alpha\right) \cdot B \cdot e^{-\alpha \cdot t} + \left(\frac{(R + r)}{L} \cdot A - \frac{E}{L}\right) = 0$

• **مطابقة الحدود:**

$\begin{cases} \frac{(R + r)}{L} - \alpha = 0 \\ \frac{(R + r)}{L} \cdot A - \frac{E}{L} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = \frac{(R + r)}{L} \\ A = \frac{E}{R + r} \end{cases}$

• **من الشروط الابتدائية لما $t = 0$ فإن $i(0) = 0$:**

$i(0) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot (0)} \Rightarrow 0 = A + B \Rightarrow B = -A$ $\Rightarrow B = -\frac{E}{R + r}$

• **الحل هو:**

$i(t) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t} \Rightarrow i(t) = \frac{E}{R + r} + \left(-\frac{E}{R + r}\right) \cdot e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t}$ $\Rightarrow i(t) = \frac{E}{R + r} \cdot \left(1 - e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t}\right)$

---

2. إثبات أن: $i(t) = \frac{E}{R + r} \cdot \left(1 - e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t}\right)$ حل للمعادلة التفاضلية

• **معادلة تفاضلية:** $\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot i = \frac{E}{L}$
• **حل المعادلة التفاضلية:**

$i(t) = \frac{E}{R + r} \cdot \left(1 - e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t}\right) \quad \text{--- (1)}$

• **نشتق حل المعادلة التفاضلية:**

$\frac{di(t)}{dt} = \frac{E}{L} \cdot e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t} \quad \text{--- (2)}$

• **المعادلة التفاضلية:**

$\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot i = \frac{E}{L} \quad \text{--- (3)}$

• **تعويض (1) و (2) في (3) نجد:**

$\frac{E}{L} \cdot e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t} + \frac{(R + r)}{L} \cdot \left(\frac{E}{R + r} \cdot \left(1 - e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t}\right)\right) = \frac{E}{L}$ $\Rightarrow \left(\frac{E}{L} \cdot e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t} - \frac{E}{L} \cdot e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t}\right) + \left(\frac{E}{L} - \frac{E}{L}\right) = 0$ $\Rightarrow 0 = 0$

• **ومنه:** $i(t) = \frac{E}{R + r} \cdot \left(1 - e^{-\frac{(R + r)}{L} \cdot t}\right)$ هو حل للمعادلة التفاضلية.