الاحتمالات

3. المتغيّر العشوائي

3.1 تعريف

المتغيّر العشوائي \(X\) دالة ترفق بكل نتيجة عدداً حقيقياً. إذا كانت قيمه \(x_1, x_2, \dots, x_n\) فإن قانون احتماله يُعطى بـ:

\[ p_i = P(X = x_i) \]

\[ \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 \]

ويُمثَّل في جدول:

| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\dots\) | \(x_n\) | | :------ | :------ | :------ | :-------- | :------ | | \(P(X = x_i)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\dots\) | \(p_n\) |

3.2 الأمل الرياضياتي

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\,p_i \]

\[ E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n \]

3.3 التباين والانحراف المعياري

\[ V(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^{\,2}\,p_i - \left(E(X)\right)^2 \]

أو بالصيغة المكافئة:

\[ V(X) = \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - E(X)\right)^2 p_i \]

والانحراف المعياري:

\[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \]

3.4 خواص

من أجل \(a, b \in \mathbb{R}\):

\[ E(aX + b) = a\,E(X) + b \]

\[ V(aX + b) = a^2\,V(X) \]

\[ \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X) \]

---

4. المبدأ الأساسي للعدّ

4.1 مبدأ المجموع

إذا قُسّمت مجموعة منتهية \(E\) إلى أجزاء \(A_1, A_2, \dots, A_k\) متنافية مثنى مثنى:

\[ \operatorname{card}(E) = \operatorname{card}(A_1) + \operatorname{card}(A_2) + \dots + \operatorname{card}(A_k) \]

ومن أجل جزأين كيفيين:

\[ \operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) - \operatorname{card}(A \cap B) \]

4.2 مبدأ الجداء

إذا تكوّنت تجربة من \(p\) مراحل، وللمرحلة \(i\) عدد \(n_i\) من الإمكانيات، فإن عدد الإمكانيات الكلّي:

\[ n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p \]

مثال: رمي قطعة نقود ثلاث مرات: \(2 \times 2 \times 2 = 8\) إمكانيات.

4.3 العاملي

\[ n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 \]

\[ 0! = 1 \]

\[ n! = n \times (n-1)! \]

أمثلة: \(3! = 6\) و \(6! = 720\).

---

5. القوائم والترتيبات والتوفيقات

5.1 القائمة

القائمة ذات \(p\) عنصر من مجموعة \(E\) عددها \(n\): متتالية مرتّبة يُسمح فيها بالتكرار. عددها:

\[ n^{\,p} \]

مثال: عدد الأرقام السرّية ذات 3 خانات من \(\{2 ; 3 ; 5 ; 9\}\) هو \(4^3 = 64\).

5.2 الترتيبة

الترتيبة ذات \(p\) عنصر: متتالية مرتّبة من عناصر متمايزة، مع \(1 \le p \le n\). عددها:

\[ A_n^{\,p} = n \times (n-1) \times \dots \times (n - p + 1) = \dfrac{n!}{(n-p)!} \]

مثال: \(A_5^{\,4} = 120\) و \(A_{10}^{\,3} = 720\).

حالة العناصر المكرّرة

إذا كان لدينا \(n\) عنصراً موزّعة على \(k\) أنواع، بالنوع \(i\) عدد \(n_i\) عنصراً، فإن عدد الترتيبات المتمايزة:

\[ \dfrac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!} \]

5.3 التوفيقة

التوفيقة ذات \(p\) عنصر: جزء من \(E\) بـ \(p\) عنصراً متمايزاً، الترتيب غير مهمّ، مع \(0 \le p \le n\). عددها:

\[ C_n^{\,p} = \dfrac{A_n^{\,p}}{p!} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!} \]

مثال: \(C_{36}^{\,2} = 630\) و \(C_{21}^{\,3} = 1330\).

خواص:

\[ C_n^{\,0} = C_n^{\,n} = 1 \]

\[ C_n^{\,1} = n \]

\[ C_n^{\,p} = C_n^{\,n-p} \]

---

6. اختيار طريقة العدّ

| نوع السحب | الترتيب | التكرار | العدد | | :-------- | :------ | :------ | :---- | | على التوالي مع الإرجاع | مهمّ | مسموح | \(n^{\,p}\) | | على التوالي بدون إرجاع | مهمّ | ممنوع | \(A_n^{\,p}\) | | في آن واحد | غير مهمّ | ممنوع | \(C_n^{\,p}\) |

تطبيق على اللجان: إذا ذُكرت وظائف الأعضاء (رئيس، نائب…) نستعمل \(A_n^{\,p}\)؛ وإذا لم تُذكر نستعمل \(C_n^{\,p}\).

تطبيق على تشكيل الأعداد: إذا سُمح بتكرار الأرقام نستعمل \(n^{\,p}\)، وإلا \(A_n^{\,p}\).

---

7. دستور ثنائي الحدّ (ثنائي نيوتن)

من أجل \(a, b \in \mathbb{R}\) و \(n \in \mathbb{N}^{*}\):

\[ (a + b)^n = \sum_{p=0}^{n} C_n^{\,p}\; a^{\,n-p}\; b^{\,p} \]

أي:

\[ (a + b)^n = C_n^{\,0} a^{\,n} + C_n^{\,1} a^{\,n-1} b + \dots + C_n^{\,n} b^{\,n} \]

مثال:

\[ (x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \]

---

8. الاحتمال الشرطي

8.1 تعريف

إذا كانت \(A\) حادثة بحيث \(P(A) \ne 0\)، فإن احتمال \(B\) علماً أن \(A\) محقّقة هو:

\[ P_A(B) = P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

ومنه دستور الجداء:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A) \]

> تمييز مهمّ: \(A \cap B\) تعني تحقّق الحادثتين معاً، أمّا \(P(B \mid A)\) فهي احتمال \(B\) بعد العلم بتحقّق \(A\).

8.2 خواص

\[ 0 \le P_A(B) \le 1 \]

\[ P_A\!\left(\overline{B}\right) = 1 - P_A(B) \]

---

9. شجرة الاحتمالات

الشجرة أداة لتمثيل تجربة تتمّ على عدّة مراحل، وتخضع لقواعد:

• كل مسار كامل يمثّل **تقاطع** الحوادث الواقعة عليه.
• مجموع احتمالات الفروع الخارجة من العقدة نفسها يساوي \(1\).
• احتمال مسار = **جداء** احتمالات فروعه.
• احتمال حادثة = **مجموع** احتمالات المسارات المؤدّية إليها.

فعلى مسار \(A \to B \to C\):

\[ P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P_A(B) \times P_{A \cap B}(C) \]

---

10. الحوادث المستقلّة

الحادثتان \(A\) و \(B\) مستقلّتان إذا كان تحقّق إحداهما لا يؤثّر في احتمال الأخرى، ويكافئ ذلك:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

وبتكافؤ آخر، إذا كان \(P(A) \ne 0\):

\[ P_A(B) = P(B) \]

> تنبيه: الاستقلال يختلف عن عدم التلاؤم. حادثتان غير متلائمتين واحتمالهما غير معدوم تكونان غير مستقلّتين بالضرورة، لأن \(P(A \cap B) = 0 \ne P(A)P(B)\).

---

11. دستور الاحتمالات الكلّية

لتكن \(A_1, A_2, \dots, A_n\) حوادث غير خالية، متنافية مثنى مثنى، وتشكّل تجزئة لـ \(\Omega\):

\[ \Omega = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n \]

\[ A_i \cap A_j = \varnothing \ \ (i \ne j) \]

فمن أجل كل حادثة \(B\):

\[ P(B) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k \cap B) \]

\[ P(B) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k) \times P_{A_k}(B) \]

وفي الحالة البسيطة بحادثة ومتمّمتها:

\[ P(B) = P(A) \times P_A(B) + P\!\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(B) \]

الترجمة على الشجرة: احتمال \(B\) هو مجموع احتمالات كل المسارات المنتهية بـ \(B\).

---

12. المتغيّر العشوائي بالتطبيق: قانون الاحتمال والأمل والتباين

تذكير بالخطوات

لدراسة متغيّر عشوائي \(X\) في تمرين نتّبع دائماً الترتيب نفسه:

• نعيّن **القيم الممكنة** لـ \(X\) (لا ننسى أيّ قيمة).
• نحسب \(P(X = x_i)\) لكل قيمة، ونرتّب النتائج في جدول هو **قانون احتمال** \(X\).
• نتحقّق أنّ مجموع الاحتمالات يساوي \(1\).
• نحسب الأمل \(E(X)\)، ثم \(V(X)\) بالدستور \(V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\)، ثم \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).

الأمل الرياضياتي هو المتوسط الحسابي لقيم \(X\) مرفقة باحتمالاتها: إذا كرّرنا التجربة عدداً كبيراً من المرّات فإنّ متوسط القيم المحصّل عليها يقترب من \(E(X)\). أمّا الانحراف المعياري فيقيس تشتّت القيم حول هذا المتوسط.

مثال محلول 1

كيس به \(5\) كريات لا نفرّق بينها باللمس: \(3\) حمراء و \(2\) بيضاء. نسحب عشوائياً وفي آن واحد كريتين، و \(X\) عدد الكريات الحمراء المسحوبة.

السحب في آن واحد، فعدد الإمكانيات:

\[ \operatorname{card}(\Omega) = C_5^{\,2} = 10 \]

القيم الممكنة: \(0\) و \(1\) و \(2\).

\[ P(X = 0) = \dfrac{C_2^{\,2}}{10} = \dfrac{1}{10} \]

\[ P(X = 1) = \dfrac{C_3^{\,1} \times C_2^{\,1}}{10} = \dfrac{6}{10} \]

\[ P(X = 2) = \dfrac{C_3^{\,2}}{10} = \dfrac{3}{10} \]

| \(x_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | | :------ | :---- | :---- | :---- | | \(P(X = x_i)\) | \(\dfrac{1}{10}\) | \(\dfrac{6}{10}\) | \(\dfrac{3}{10}\) |

التحقّق: \(\dfrac{1}{10} + \dfrac{6}{10} + \dfrac{3}{10} = 1\).

\[ E(X) = 0 \times \dfrac{1}{10} + 1 \times \dfrac{6}{10} + 2 \times \dfrac{3}{10} \]

\[ E(X) = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5} \]

\[ E(X^2) = 0 + 1 \times \dfrac{6}{10} + 4 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{5} \]

\[ V(X) = \dfrac{9}{5} - \dfrac{36}{25} = \dfrac{9}{25} \]

\[ \sigma(X) = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} \]

وإذا وضعنا \(Y = 2X - 1\) فإنّ \(E(Y) = 2 \times \dfrac{6}{5} - 1 = \dfrac{7}{5}\) و \(V(Y) = 4 \times \dfrac{9}{25} = \dfrac{36}{25}\) و \(\sigma(Y) = \dfrac{6}{5}\)، دون إعادة كتابة قانون \(Y\).

مثال محلول 2: لعبة عادلة

نرمي نرداً متوازناً مرقّماً من \(1\) إلى \(6\). إذا ظهر \(6\) يربح اللاعب \(6\) دنانير، وإذا ظهر \(4\) أو \(5\) يربح \(3\) دنانير، وإلا يخسر \(3\) دنانير. ليكن \(G\) ربح اللاعب (الخسارة ربح سالب).

| \(g_i\) | \(6\) | \(3\) | \(-3\) | | :------ | :---- | :---- | :----- | | \(P(G = g_i)\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{2}{6}\) | \(\dfrac{3}{6}\) |

\[ E(G) = \dfrac{6 + 6 - 9}{6} = \dfrac{1}{2} \]

الأمل موجب، فاللعبة في صالح اللاعب: يربح في المتوسط نصف دينار في كل رمية. نقول إنّ اللعبة عادلة إذا كان \(E(G) = 0\). لو كانت الخسارة \(a\) ديناراً بدل \(3\) لكان:

\[ E(G) = \dfrac{6 + 6 - 3a}{6} = 2 - \dfrac{a}{2} \]

فتكون اللعبة عادلة من أجل \(a = 4\).

ملاحظة للامتحان

• \(V(X) \ge 0\) دائماً؛ إذا وجدت تبايناً سالباً فهناك خطأ في الحساب.
• لا تخلط بين \(E(X^2)\) و \(\left(E(X)\right)^2\).
• في \(\sigma(aX + b) = \lvert a \rvert\,\sigma(X)\) لا يؤثّر العدد \(b\) في التشتّت.

13. أنواع السحب الثلاثة ودستور ثنائي الحدّ: أمثلة محلولة

كيس واحد وثلاث طرائق للسحب

كيس به \(7\) كريات لا نفرّق بينها باللمس: \(4\) حمراء و \(3\) خضراء. نسحب \(3\) كريات، ونعتبر الحادثة \(A\): «الحصول على كريتين حمراوين بالضبط»، أي حمراوين وخضراء واحدة.

1) السحب في آن واحد: الترتيب غير مهمّ ولا تكرار.

\[ \operatorname{card}(\Omega) = C_7^{\,3} = 35 \]

\[ \operatorname{card}(A) = C_4^{\,2} \times C_3^{\,1} = 6 \times 3 = 18 \]

\[ P(A) = \dfrac{18}{35} \]

2) السحب على التوالي دون إرجاع: الترتيب مهمّ ولا تكرار.

\[ \operatorname{card}(\Omega) = A_7^{\,3} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \]

الكرية الخضراء قد تكون الأولى أو الثانية أو الثالثة: \(3\) مواضع. لكل موضع: \(A_4^{\,2} = 12\) طريقة للحمراوين و \(3\) طرائق للخضراء.

\[ \operatorname{card}(A) = 3 \times 12 \times 3 = 108 \]

\[ P(A) = \dfrac{108}{210} = \dfrac{18}{35} \]

نجد الاحتمال نفسه: إذا كانت الحادثة لا تتعلّق بالترتيب فإنّ السحب على التوالي دون إرجاع والسحب في آن واحد يعطيان الاحتمال نفسه. أمّا حادثة مثل «الأولى حمراء والثانية خضراء» فلا معنى لها إلا في السحب على التوالي.

3) السحب على التوالي مع الإرجاع: الترتيب مهمّ والتكرار مسموح.

\[ \operatorname{card}(\Omega) = 7^3 = 343 \]

\[ \operatorname{card}(A) = 3 \times 4^2 \times 3 = 144 \]

\[ P(A) = \dfrac{144}{343} \]

الحادثة العكسية

لحساب احتمال «الحصول على كرية خضراء على الأقل» في السحب في آن واحد، نمرّ بالعكسية «الكريات الثلاث حمراء»:

\[ P = 1 - \dfrac{C_4^{\,3}}{35} = 1 - \dfrac{4}{35} = \dfrac{31}{35} \]

مثلث باسكال

من أجل \(1 \le p \le n\) لدينا علاقة باسكال:

\[ C_{n}^{\,p-1} + C_{n}^{\,p} = C_{n+1}^{\,p} \]

فكلّ عدد في الجدول (عدا الطرفين) هو مجموع العدد الواقع فوقه مباشرة في السطر السابق والعدد الواقع على يسار هذا الأخير:

| \(n\) | \(p=0\) | \(p=1\) | \(p=2\) | \(p=3\) | \(p=4\) | \(p=5\) | | :---- | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | | \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | | | | | \(3\) | \(1\) | \(3\) | \(3\) | \(1\) | | | | \(4\) | \(1\) | \(4\) | \(6\) | \(4\) | \(1\) | | | \(5\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(10\) | \(5\) | \(1\) |

تطبيقات دستور ثنائي الحدّ

\[ (1 + x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5 \]

ومع \(a = 2x\) و \(b = -1\) (لا ننسى الإشارة):

\[ (2x - 1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \]

ولإيجاد معامل \(x^2\) في نشر \((1 + 2x)^6\) نأخذ الحدّ \(C_6^{\,2}\,(2x)^2\):

\[ C_6^{\,2} \times 2^2 = 15 \times 4 = 60 \]

وبوضع \(a = b = 1\) نحصل على النتيجة المفيدة:

\[ C_n^{\,0} + C_n^{\,1} + \dots + C_n^{\,n} = 2^n \]

وهو عدد كل الأجزاء الممكنة لمجموعة ذات \(n\) عنصراً.

14. الاحتمال الشرطي والاستقلال والاحتمالات الكلية: مسائل محلولة

السحب من وعاءين: مسألة نموذجية

وعاء \(U_1\) فيه \(3\) كريات بيضاء و \(2\) سوداء، ووعاء \(U_2\) فيه كرية بيضاء و \(3\) سوداء. نرمي نرداً متوازناً: إذا ظهر مضاعف للعدد \(3\) نسحب كرية من \(U_1\)، وإلا نسحبها من \(U_2\).

نسمّي \(U_1\) الحادثة «السحب من الوعاء الأوّل» و \(B\) الحادثة «الكرية المسحوبة بيضاء».

الشجرة: المضاعفات هي \(3\) و \(6\)، فـ \(P(U_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) و \(P(U_2) = \dfrac{2}{3}\). ومن تركيب الوعاءين:

\[ P_{U_1}(B) = \dfrac{3}{5} \]

\[ P_{U_2}(B) = \dfrac{1}{4} \]

احتمال مسار: جداء احتمالات فروعه.

\[ P(U_1 \cap B) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{5} \]

\[ P(U_2 \cap B) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6} \]

دستور الاحتمالات الكلية: الحادثتان \(U_1\) و \(U_2\) تشكّلان تجزئة لـ \(\Omega\)، ومنه:

\[ P(B) = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{30} \]

الاحتمال العكسي: علماً أنّ الكرية بيضاء، ما احتمال أن تكون من \(U_1\)؟

\[ P_B(U_1) = \dfrac{P(U_1 \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/5}{11/30} = \dfrac{6}{11} \]

لاحظ أنّ \(P_B(U_1) \ne P_{U_1}(B)\): الشرط والحادثة لا يتبادلان.

هل \(B\) و \(U_1\) مستقلّتان؟ لدينا \(P_{U_1}(B) = \dfrac{3}{5}\) بينما \(P(B) = \dfrac{11}{30}\). العددان مختلفان، فمعرفة الوعاء تغيّر احتمال البياض: الحادثتان غير مستقلّتين.

إثبات الاستقلال حسابياً

نرمي نرداً متوازناً. لتكن \(A\): «الرقم زوجي» \(=\{2;4;6\}\)، و \(C\): «الرقم أصغر من أو يساوي \(4\)» \(=\{1;2;3;4\}\)، و \(D\): «الرقم أصغر من أو يساوي \(3\)».

\[ P(A \cap C) = P(\{2;4\}) = \dfrac{1}{3} \]

\[ P(A) \times P(C) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \]

إذن \(A\) و \(C\) مستقلّتان. أمّا \(A \cap D = \{2\}\) فاحتمالها \(\dfrac{1}{6}\) بينما \(P(A) \times P(D) = \dfrac{1}{4}\)، فـ \(A\) و \(D\) غير مستقلّتين.

خاصية: إذا كانت \(A\) و \(B\) مستقلّتين فإنّ \(A\) و \(\overline{B}\) مستقلّتان، وكذلك \(\overline{A}\) و \(\overline{B}\).

طريقة

• اقرأ النصّ: عبارة «علماً أنّ» أو «إذا كانت … فما احتمال» تدلّ على احتمال شرطي.
• ارسم الشجرة واكتب على فروع المستوى الثاني احتمالات **شرطية**.
• احتمال حادثة في نهاية الشجرة = مجموع المسارات المؤدّية إليها (الاحتمالات الكلية).
• لإثبات الاستقلال قارن \(P(A \cap B)\) بـ \(P(A) \times P(B)\)، ولا تكتفِ بالحدس.

15. النمذجة والمحاكاة: التواتر وتلاؤم معطيات مع نموذج متساوي الاحتمال

نمذجة وضعية بتجربة مرجعية

نمذجة وضعية عشوائية تعني اختيار تجربة مرجعية بسيطة لها النتائج نفسها والاحتمالات نفسها:

• جنس مولود مع فرضية تساوي الحظوظ: رمي **قطعة نقدية** متوازنة.
• اختيار يوم من أيام الأسبوع عشوائياً: **سحب** كرية من كيس فيه \(7\) كريات مرقّمة.
• إجابة عشوائية على سؤال فيه \(6\) اقتراحات: رمي **حجر نرد** متوازن.

التواتر واستقراره

إذا كرّرنا تجربة \(n\) مرّة وظهر المخرج \(x_i\) عدد \(n_i\) من المرّات، فإنّ تواتره هو:

\[ f_i = \dfrac{n_i}{n} \]

ومجموع التواترات يساوي \(1\). نقبل أنّه كلّما كبر \(n\) فإنّ التواترات تستقرّ حول احتمالات المخارج. لكنّ تواتر سلسلة واحدة ليس هو الاحتمال: رمي قطعة متوازنة \(100\) مرّة لا يعطي بالضرورة \(50\) وجهاً.

المحاكاة

المحاكاة هي تعويض التجربة الحقيقية بتوليد أعداد عشوائية بالآلة الحاسبة أو بالمجدول، مثل `=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)` في المجدول (أو `=RANDBETWEEN(1,6)` في النسخة الإنجليزية) لمحاكاة رمي نرد. نعيد المحاكاة آلاف المرّات بسرعة، ونستعمل تواتر كل مخرج تقديراً لاحتماله.

تلاؤم معطيات تجربة مع نموذج متساوي الاحتمال

نريد أن نحكم: هل النرد متوازن؟ نرميه \(n\) مرّة ونحسب تواترات وجوهه الستّة، ثم نقيس ابتعادها عن \(\dfrac{1}{6}\) بالعدد:

\[ d^2 = \sum_{i=1}^{6} \left(f_i - \dfrac{1}{6}\right)^2 \]

حتى مع نرد متوازن لا يكون \(d^2\) معدوماً بسبب تذبذب العيّنات. لذلك نحاكي عدداً كبيراً من السلاسل ذات \(n\) رمية لنرد متوازن، ونحسب \(d^2\) لكلّ سلسلة، ثم نعيّن العشير التاسع \(D_9\) لهذه القيم (\(90\%\) منها أصغر منه). القاعدة:

• إذا كان \(d^2 \le D_9\): المعطيات **تتلاءم** مع النموذج المتساوي الاحتمال بمخاطرة \(10\%\).
• إذا كان \(d^2 > D_9\): **نرفض** النموذج بمخاطرة \(10\%\).

المخاطرة \(10\%\) هي احتمال أن نرفض خطأً نرداً متوازناً فعلاً.

مثال محلول

رُمي نرد \(200\) مرّة فكانت تكرارات الوجوه من \(1\) إلى \(6\): \(30\) و \(38\) و \(32\) و \(34\) و \(36\) و \(30\). محاكاة \(100000\) سلسلة من \(200\) رمية لنرد متوازن أعطت \(D_9 \approx 0{,}0077\).

لتسهيل الحساب نكتب:

\[ f_i - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3n_i - 100}{600} \]

قيم \(3n_i - 100\) هي: \(-10\) و \(14\) و \(-4\) و \(2\) و \(8\) و \(-10\)، ومجموع مربّعاتها:

\[ 100 + 196 + 16 + 4 + 64 + 100 = 480 \]

\[ d^2 = \dfrac{480}{360000} \approx 0{,}0013 \]

بما أنّ \(d^2 \le D_9\) فالمعطيات تتلاءم مع فرضية نرد متوازن بمخاطرة \(10\%\).

لو كانت التكرارات \(20\) و \(25\) و \(28\) و \(30\) و \(37\) و \(60\) لوجدنا بالطريقة نفسها \(d^2 = \dfrac{9102}{360000} \approx 0{,}0253\)، وهو أكبر من \(D_9\): نرفض فرضية تساوي الاحتمال، والنرد مزيّف على الأرجح.

16. الحساب بالآلة الحاسبة

| المطلوب | الطريقة الشائعة | | :------ | :--------------- | | العاملي \(n!\) | إدخال \(n\) ثم مفتاح \(x!\) (غالباً `SHIFT` ثم \(x^{-1}\)) | | التوفيقة \(C_n^{\,p}\) | إدخال \(n\) ثم `nCr` ثم \(p\) | | الترتيبة \(A_n^{\,p}\) | إدخال \(n\) ثم `nPr` ثم \(p\) |

أمثلة: \(5! = 120\) و \(C_5^{\,2} = 10\) و \(A_5^{\,2} = 20\).

> تختلف مواضع المفاتيح باختلاف نوع الآلة؛ راجع دليل آلتك عند الحاجة.

---

17. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

• الخلط بين **عدم التلاؤم** \(\left(A \cap B = \varnothing\right)\) و**الاستقلال** \(\left(P(A \cap B) = P(A)P(B)\right)\).
• استعمال \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) دون التأكّد من أن \(A \cap B = \varnothing\).
• الخلط بين الترتيبة والتوفيقة: السؤال «هل الترتيب مهمّ؟» هو الفاصل.
• تطبيق \(P(A) = \dfrac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}\) في تجربة **غير** متساوية الإمكانيات.
• الخلط بين \(P(B \mid A)\) و \(P(A \cap B)\).
• نسيان أن مجموع احتمالات الفروع الخارجة من العقدة نفسها يساوي \(1\).