الدوال الأصلية والحساب التكاملي

3. التكامل: تعريف وخواصّ

3.1 التعريف

لتكن \(f\) مستمرّة على مجال \(I\) و \(F\) دالة أصلية لها. من أجل \(a\) و \(b\) من \(I\):

\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

ويُكتب اختصاراً:

\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} \]

> القيمة لا تتعلّق باختيار الدالة الأصلية، لأنّ الثابت يُحذف عند الطرح.

3.2 الخواصّ

\[ \int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0 \]

\[ \int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx \]

الخطّية:

\[ \int_{a}^{b} \left[f(x) + g(x)\right] dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx \]

\[ \int_{a}^{b} k\,f(x)\,dx = k \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]

علاقة شال:

\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx \]

3.3 الترتيب والحصر

من أجل \(a \le b\):

• إذا كان \(f(x) \ge 0\) على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge 0\).
• إذا كان \(f(x) \le g(x)\) على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \le \int_{a}^{b} g(x)\,dx\).
• إذا كان \(m \le f(x) \le M\) على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ:

\[ m(b - a) \le \int_{a}^{b} f(x)\,dx \le M(b - a) \]

وهذا الحصر يُستعمل كثيراً لتأطير قيمة تكامل دون حسابه.

---

4. القيمة المتوسّطة

القيمة المتوسّطة للدالة \(f\) على المجال \(\left[a ; b\right]\) هي:

\[ \mu = \dfrac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]

وإذا كانت \(f\) مستمرّة على \(\left[a ; b\right]\) فإنّه يوجد \(c\) من \(\left[a ; b\right]\) بحيث:

\[ f(c) = \mu \]

التفسير الهندسي: إذا كانت \(f\) موجبة و \(a < b\) فإنّ مساحة المستطيل الذي طوله \(b - a\) وعرضه \(\mu\) تساوي المساحة تحت المنحنى.

---

5. التكامل بالتجزئة

إذا كانت \(u\) و \(v\) قابلتين للاشتقاق ومشتقّتاهما مستمرّتان على \(\left[a ; b\right]\):

\[ \int_{a}^{b} u(x) v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x)\,dx \]

متى تُستعمل؟ عندما يكون المُكامَل جداء دالّتين من طبيعتين مختلفتين، مثل:

| الشكل | نختار \(u\) | نختار \(v'\) | | :---- | :---------- | :----------- | | كثير حدود \(\times\ e^{x}\) | كثير الحدود | \(e^{x}\) | | كثير حدود \(\times \sin x\) | كثير الحدود | \(\sin x\) | | كثير حدود \(\times \ln x\) | \(\ln x\) | كثير الحدود |

> القاعدة: نختار \(u\) الدالة التي تبسُط باشتقاقها (كثير الحدود، أو \(\ln x\))، و \(v'\) الدالة التي نعرف دالتها الأصلية.

مثال محلول: احسب \(\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx\).

نضع \(u(x) = x\) و \(v'(x) = e^{x}\)، ومنه \(u'(x) = 1\) و \(v(x) = e^{x}\):

\[ \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = \left[x e^{x}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\,dx \]

\[ = e - \left[e^{x}\right]_{0}^{1} \]

\[ = e - (e - 1) = 1 \]

---

6. حساب المساحات

6.1 دالة موجبة

إذا كانت \(f\) مستمرّة وموجبة على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ مساحة الحيّز المحصور بين \((C_f)\) ومحور الفواصل والمستقيمين \(x = a\) و \(x = b\) هي:

\[ \mathcal{A} = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]

وتُقاس بوحدة المساحة \(u.a\)، وإذا كان المعلم بوحدتَي \(i\) و \(j\) بالسنتيمتر فإنّ:

\[ 1 \ u.a = \lVert \vec{\imath} \rVert \times \lVert \vec{\jmath} \rVert \]

6.2 دالة سالبة

إذا كانت \(f\) سالبة على \(\left[a ; b\right]\):

\[ \mathcal{A} = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} \left(-f(x)\right) dx \]

6.3 دالة تغيّر إشارتها

نقسّم المجال عند أصفار \(f\) ونجمع المساحات، أو نكتب مباشرةً:

\[ \mathcal{A} = \int_{a}^{b} \left\lvert f(x) \right\rvert dx \]

6.4 المساحة بين منحنيين

إذا كان \(f(x) \ge g(x)\) على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ المساحة المحصورة بين المنحنيين هي:

\[ \mathcal{A} = \int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right] dx \]

> الخطوة التي تُنسى: قبل الحساب يجب تحديد أيّ المنحنيين فوق الآخر بدراسة إشارة الفرق، وإلاّ خرجت المساحة سالبة.

مثال محلول: احسب مساحة الحيّز المحصور بين \((C_f)\) ومحور الفواصل من أجل \(f(x) = x^{2} - 1\) على \(\left[0 ; 1\right]\).

على \(\left[0 ; 1\right]\) يكون \(f(x) \le 0\)، إذن:

\[ \mathcal{A} = -\int_{0}^{1} \left(x^{2} - 1\right) dx \]

\[ = -\left[\dfrac{x^{3}}{3} - x\right]_{0}^{1} \]

\[ = -\left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} \ u.a \]

---

7. حساب حجوم مجسّمات بسيطة

إذا كان مجسّم محصوراً بين المستويين \(z = a\) و \(z = b\)، ومساحة مقطعه عند الارتفاع \(z\) هي \(S(z)\)، فإنّ حجمه:

\[ \mathcal{V} = \int_{a}^{b} S(z)\,dz \]

حجم مجسّم دوران حول محور الفواصل، النّاتج عن دوران \((C_f)\) على \(\left[a ; b\right]\):

\[ \mathcal{V} = \pi \int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^{2} dx \]

تطبيقات مباشرة:

| المجسّم | الحجم | | :------ | :---- | | أسطوانة نصف قطرها \(R\) وارتفاعها \(h\) | \(\pi R^{2} h\) | | مخروط نصف قطره \(R\) وارتفاعه \(h\) | \(\dfrac{1}{3}\pi R^{2} h\) | | كرة نصف قطرها \(R\) | \(\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\) |

---

8. المتتاليات المعرّفة بتكامل

كثيراً ما يُطرح في البكالوريا تمرين حول متتالية من الشكل:

\[ I_n = \int_{a}^{b} f_n(x)\,dx \]

المنهجية:

• **الإشارة:** إذا كان \(f_n \ge 0\) على المجال فإنّ \(I_n \ge 0\).
• **الرتابة:** ندرس إشارة \(I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_{a}^{b} \left[f_{n+1}(x) - f_n(x)\right] dx\).
• **الحصر:** نؤطّر \(f_n\) بين قيمتين ثم نُكامل الحصر.
• **التقارب:** متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل متقاربة.
• **علاقة تراجعية:** تُستخرج غالباً بالتكامل بالتجزئة.

---

9. الدالة الأصلية التي تأخذ قيمة معلومة والمعادلتان \(y' = f(x)\) و \(y'' = f(x)\)

الوحدانية: لماذا توجد دالة أصلية واحدة فقط؟

لتكن \(f\) مستمرة على مجال \(I\)، و \(x_0 \in I\) و \(y_0\) عدد حقيقي. إذا كانت \(F\) و \(G\) دالتين أصليتين لـ \(f\) على \(I\) تحقّقان \(F(x_0) = G(x_0) = y_0\)، فإنّ \(G - F\) مشتقّتها معدومة على المجال \(I\)، فهي ثابتة: \(G(x) - F(x) = c\). وبالتعويض بـ \(x_0\) نجد \(c = y_0 - y_0 = 0\)، إذن \(G = F\).

كلمة «مجال» أساسية: على اتحاد مجالين منفصلين يمكن أن يختلف الثابت من مجال إلى آخر.

أمثلة محلولة

مثال 1: الدالة الأصلية لـ \(f(x) = 3x^{2} - 4x + 1\) على \(\mathbb{R}\) التي تأخذ القيمة \(1\) عند \(2\).

\[ F(x) = x^{3} - 2x^{2} + x + c \]

\[ F(2) = 8 - 8 + 2 + c = 2 + c \]

الشرط \(F(2) = 1\) يعطي \(c = -1\)، ومنه \(F(x) = x^{3} - 2x^{2} + x - 1\).

مثال 2: الدالة الأصلية لـ \(f(x) = e^{2x}\) التي تنعدم عند \(0\): \(F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + c\)، والشرط \(F(0) = \dfrac{1}{2} + c = 0\) يعطي:

\[ F(x) = \dfrac{1}{2}\left(e^{2x} - 1\right) \]

المعادلة التفاضلية \(y' = f(x)\)

حلولها على مجال \(I\) هي بالضبط الدوال الأصلية لـ \(f\): \(y = F(x) + c\). والشرط الابتدائي يعيّن حلاً وحيداً. مثال: \(y' = \dfrac{1}{x}\) على \(\left]0 ; +\infty\right[\) مع \(y(1) = 2\) حلّها \(y = \ln x + 2\).

المعادلة التفاضلية \(y'' = f(x)\)

نبحث عن الدالة الأصلية مرّتين، فيظهر ثابتان: إذا كانت \(F\) أصلية لـ \(f\) و \(G\) أصلية لـ \(F\) فإنّ \(y' = F(x) + c_1\) و \(y = G(x) + c_1 x + c_2\). ونحتاج شرطين لتعيين الثابتين.

مثال 3: حلّ \(y'' = 6x - 2\) مع \(y(0) = 1\) و \(y'(0) = 3\).

\[ y' = 3x^{2} - 2x + c_1 \]

الشرط \(y'(0) = 3\) يعطي \(c_1 = 3\). ثم:

\[ y = x^{3} - x^{2} + 3x + c_2 \]

والشرط \(y(0) = 1\) يعطي \(c_2 = 1\)، إذن \(y = x^{3} - x^{2} + 3x + 1\). تحقّق: \(y'' = 6x - 2\).

تطبيق فيزيائي

في الفيزياء نكتب \(\dfrac{dv}{dt} = a(t)\) و \(\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = a(t)\). جسم يُقذف شاقولياً نحو الأعلى بسرعة \(20\) متراً في الثانية، مع تسارع ثابت \(-10\):

\[ v(t) = -10t + 20 \]

\[ x(t) = -5t^{2} + 20t \]

باعتبار \(x(0) = 0\). يبلغ الجسم أقصى ارتفاع عندما \(v(t) = 0\)، أي عند \(t = 2\)، والارتفاع \(x(2) = 20\) متراً.

> في الامتحان: اكتب أولاً مجموعة الحلول بالثوابت، ثم عوّض الشروط واحداً واحداً، وتحقّق في النهاية بالاشتقاق.

10. مقاربة التكامل بحساب المساحات

مساحة الحيّز تحت منحنى

لتكن \(f\) دالة مستمرة وموجبة على \(\left[a ; b\right]\) مع \(a < b\). نسمّي الحيّز تحت المنحنى مجموعة النقط \(M(x ; y)\) التي تحقّق \(a \le x \le b\) و \(0 \le y \le f(x)\). مساحة هذا الحيّز، مقيسة بوحدة المساحة، هي التكامل:

\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = G(b) - G(a) \]

حيث \(G\) دالة أصلية لـ \(f\). يُقرأ هذا الرمز: «التكامل من \(a\) إلى \(b\) لـ \(f(x)\) تفاضل \(x\)». المتغيّر \(x\) «صامت»: يمكن تعويضه بأيّ حرف آخر، فـ \(\int_{a}^{b} f(t)\,dt\) هو العدد نفسه.

أشكال معروفة

• **مستطيل:** إذا كانت \(f(x) = k\) ثابتة موجبة فإنّ \(\int_{a}^{b} k\,dx = k(b - a)\).
• **مثلث:** من أجل \(b > 0\)، \(\int_{0}^{b} x\,dx = \dfrac{b^{2}}{2}\)، وهي مساحة مثلث قائم ضلعاه \(b\) و \(b\).
• **شبه منحرف:** إذا كانت \(f\) تآلفية وموجبة على \(\left[a ; b\right]\):

\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \dfrac{f(a) + f(b)}{2}\,(b - a) \]

مثال محلول: \(f(x) = 2x + 1\) على \(\left[1 ; 3\right]\). بشبه المنحرف: \(f(1) = 3\) و \(f(3) = 7\)، فالمساحة \(\dfrac{3 + 7}{2} \times 2 = 10\). وبالدالة الأصلية \(G(x) = x^{2} + x\):

\[ G(3) - G(1) = 12 - 2 = 10 \]

النتيجتان متطابقتان، وهذا ما يبرّر التعريف.

مثال آخر: \(\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}}\,dx = \dfrac{\pi}{2}\)، لأنّ المنحنى نصف دائرة مركزها المبدأ ونصف قطرها \(1\)، فالمساحة نصف مساحة القرص.

مقاربة تكامل لا نعرف قيمته بعد

نقارب \(\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x}\,dx\) بتقسيم \(\left[1 ; 2\right]\) إلى مجالين طول كل منهما \(0{,}5\). الدالة متناقصة، فالمستطيلات التي ارتفاعها القيمة عند الطرف الأيمن تقع تحت المنحنى، والتي ارتفاعها القيمة عند الطرف الأيسر تقع فوقه:

\[ 0{,}5\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right) \approx 0{,}583 \]

\[ 0{,}5\left(1 + \dfrac{2}{3}\right) \approx 0{,}833 \]

إذن \(0{,}583 \le \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x}\,dx \le 0{,}833\). وطريقة أشباه المنحرف تعطي متوسط القيمتين \(\approx 0{,}708\)، والقيمة الحقيقية \(\ln 2 \approx 0{,}693\).

> ملاحظة: كلما زاد عدد التقسيمات اقترب المجموعان من التكامل؛ هذه هي فكرة المتتاليتين المتجاورتين في درس المتتاليات.

11. خواص التكامل وإشارته: أمثلة تطبيقية

علاقة شال مع القيمة المطلقة

لحساب \(\int_{0}^{3} \left\lvert x - 1 \right\rvert dx\) نفصل عند \(1\) حيث تتغيّر الإشارة:

\[ \int_{0}^{1} (1 - x)\,dx = \left[x - \dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} \]

\[ \int_{1}^{3} (x - 1)\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - x\right]_{1}^{3} = 2 \]

وبعلاقة شال: \(\int_{0}^{3} \left\lvert x - 1 \right\rvert dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}\).

الخطية: حساب تكاملين معاً

ليكن \(I = \int_{0}^{\pi} \cos^{2} x\,dx\) و \(J = \int_{0}^{\pi} \sin^{2} x\,dx\). بالخطية:

\[ I + J = \int_{0}^{\pi} 1\,dx = \pi \]

\[ I - J = \int_{0}^{\pi} \cos 2x\,dx = \left[\dfrac{\sin 2x}{2}\right]_{0}^{\pi} = 0 \]

ومنه \(I = J = \dfrac{\pi}{2}\).

إشارة التكامل

• إذا كان \(a \le b\) و \(f \ge 0\) على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge 0\)، وإذا كان \(f \le 0\) فالتكامل سالب.
• إذا كان \(a > b\) تنقلب الإشارة: \(\int_{2}^{1} x^{2}\,dx = -\dfrac{7}{3}\) رغم أنّ \(x^{2} \ge 0\).
• إذا كانت \(f\) سالبة على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} \left\lvert f(x) \right\rvert dx\).
• إذا غيّرت \(f\) إشارتها، فالتكامل «مساحة جبرية»: الأجزاء فوق محور الفواصل تُحسب موجبة والأجزاء تحته سالبة. مثلاً \(\int_{-1}^{2} x\,dx = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)، بينما المساحة الهندسية \(\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}\).

المقارنة: حصر تكامل لا نحسبه

ليكن \(I_n = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x}\,dx\). على \(\left[0 ; 1\right]\) لدينا \(1 \le e^{x} \le e\) و \(x^{n} \ge 0\)، إذن \(x^{n} \le x^{n} e^{x} \le e\,x^{n}\)، وبالمكاملة:

\[ \dfrac{1}{n+1} \le I_n \le \dfrac{e}{n+1} \]

وبالحصر نستنتج \(\lim I_n = 0\).

القيمة المتوسطة وحصرها

إذا كان \(m \le f(x) \le M\) على \(\left[a ; b\right]\) مع \(a 0\):

\[ m \le \mu \le M \]

مثال: القيمة المتوسطة لـ \(f(x) = x^{2}\) على \(\left[0 ; 3\right]\) هي \(\mu = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3\)، وهي محصورة بين \(f(0) = 0\) و \(f(3) = 9\)، وتُبلغ عند \(c = \sqrt{3}\).

> طريقة: لحصر تكامل نحصر المُكامَل أولاً على المجال، ثم نُكامل مع التأكّد أنّ الحدّ الأدنى أصغر من الحدّ الأعلى.

12. الدالة \(x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\,dt\)

المبرهنة

لتكن \(f\) دالة مستمرة على مجال \(I\)، و \(a\) عدداً من \(I\). الدالة \(F\) المعرّفة على \(I\) بـ:

\[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt \]

هي الدالة الأصلية الوحيدة لـ \(f\) على \(I\) التي تنعدم عند \(a\). أي:

\[ F'(x) = f(x) \quad ; \quad F(a) = 0 \]

التبرير: إذا كانت \(G\) دالة أصلية ما لـ \(f\) فإنّ \(F(x) = G(x) - G(a)\)، وهي أصلية لـ \(f\) (تختلف عن \(G\) بثابت) وتنعدم عند \(a\). والوحدانية سبق إثباتها.

لاحظ الفرق بين المتغيّرين: \(t\) متغيّر التكامل (صامت)، و \(x\) هو متغيّر الدالة \(F\) ويظهر في الحدّ الأعلى.

نتائج مباشرة

• إشارة \(f\) تعطي اتجاه تغيّر \(F\): إذا كانت \(f > 0\) على \(I\) فإنّ \(F\) متزايدة تماماً.
• معادلة المماس لمنحنى \(F\) عند \(a\) هي \(y = f(a)(x - a)\) لأنّ \(F(a) = 0\) و \(F'(a) = f(a)\).

أمثلة محلولة

مثال 1: من أجل \(x > 0\):

\[ \int_{1}^{x} \dfrac{1}{t}\,dt = \ln x - \ln 1 = \ln x \]

فالدالة \(\ln\) هي الدالة الأصلية لـ \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) على \(\left]0 ; +\infty\right[\) التي تنعدم عند \(1\).

مثال 2: \(F(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt\). لا نعرف عبارة صريحة لها، ومع ذلك ندرسها:

• \(F\) معرّفة وقابلة للاشتقاق على \(\mathbb{R}\)، و \(F'(x) = e^{-x^{2}} > 0\)، فهي متزايدة تماماً، و \(F(0) = 0\).
• من أجل \(x \ge 0\): \(e^{-t^{2}} \le 1\) على \(\left[0 ; x\right]\)، إذن \(F(x) \le x\).
• من أجل \(t \ge 1\): \(t^{2} \ge t\) فـ \(e^{-t^{2}} \le e^{-t}\). ومنه من أجل \(x \ge 1\):

\[ F(x) \le F(1) + \int_{1}^{x} e^{-t}\,dt \le 1 + \dfrac{1}{e} \]

\(F\) متزايدة ومحدودة من الأعلى على \(\left[1 ; +\infty\right[\)، فلها نهاية منتهية عند \(+\infty\).

مثال 3: \(G(x) = \int_{2}^{x} \sqrt{t^{2} + 5}\,dt\). لدينا \(G(2) = 0\) و \(G'(2) = \sqrt{9} = 3\)، فمعادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة \(2\) هي:

\[ y = 3x - 6 \]

> في الامتحان: إذا طُلب «اتجاه تغيّر \(F\)» فلا تحاول حساب التكامل: اشتق مباشرة \(F'(x) = f(x)\) وادرس إشارته.

13. حساب الحجوم والمسافة المقطوعة: أمثلة محلولة

حجم مجسّم دوراني

إذا دار الحيّز تحت منحنى دالة مستمرة \(f\) على \(\left[a ; b\right]\) دورة كاملة حول محور الفواصل، فإنّ كل مقطع عمودي على المحور عند الفاصلة \(x\) قرص نصف قطره \(\left\lvert f(x) \right\rvert\) ومساحته \(\pi f(x)^{2}\). ومنه الحجم بوحدة الحجوم:

\[ \mathcal{V} = \int_{a}^{b} \pi \left[f(x)\right]^{2} dx \]

مثال 1 (المخروط): \(f(x) = \dfrac{R}{h}x\) على \(\left[0 ; h\right]\) مع \(R > 0\) و \(h > 0\):

\[ \mathcal{V} = \pi \dfrac{R^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2}\,dx = \pi \dfrac{R^{2}}{h^{2}} \times \dfrac{h^{3}}{3} \]

ومنه \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\pi R^{2} h\)، وهو دستور حجم المخروط المعروف.

مثال 2 (الكرة): \(f(x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}}\) على \(\left[-R ; R\right]\):

\[ \mathcal{V} = \pi \left[R^{2}x - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left(2R^{3} - \dfrac{2R^{3}}{3}\right) \]

أي \(\mathcal{V} = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\).

مثال 3: \(f(x) = \sqrt{x}\) على \(\left[0 ; 4\right]\): \(\mathcal{V} = \pi \int_{0}^{4} x\,dx = 8\pi\) وحدة حجوم.

> تنبيه: نُكامل مربّع الدالة، لا مربّع التكامل: \(\pi \int f^{2}\) يختلف عموماً عن \(\pi \left(\int f\right)^{2}\).

المسافة المقطوعة انطلاقاً من السرعة

متحرّك على مستقيم سرعته اللحظية \(v(t)\) دالة مستمرة. بما أنّ الموضع \(x(t)\) دالة أصلية للسرعة:

• **الانتقال** بين اللحظتين \(t_1\) و \(t_2\) هو \(x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt\).
• **المسافة المقطوعة** هي \(\int_{t_1}^{t_2} \left\lvert v(t) \right\rvert dt\)، وتساوي الانتقال إذا كانت \(v \ge 0\).
• **السرعة المتوسطة** هي القيمة المتوسطة للسرعة: \(\dfrac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt\).

مثال 4: \(v(t) = 3t^{2} + 2\) (بالمتر في الثانية) على \(\left[0 ; 2\right]\). السرعة موجبة، فالمسافة:

\[ d = \left[t^{3} + 2t\right]_{0}^{2} = 12 \]

أي \(12\) متراً.

مثال 5: \(v(t) = 4 - 2t\) على \(\left[0 ; 3\right]\). السرعة موجبة على \(\left[0 ; 2\right]\) وسالبة على \(\left[2 ; 3\right]\) (المتحرّك يرجع). الانتقال \(\left[4t - t^{2}\right]_{0}^{3} = 3\) أمتار، أمّا المسافة:

\[ \int_{0}^{2} (4 - 2t)\,dt = 4 \]

\[ \int_{2}^{3} (2t - 4)\,dt = 1 \]

فالمسافة المقطوعة \(5\) أمتار، والسرعة المتوسطة \(\dfrac{3}{3} = 1\) متر في الثانية.

14. منهجية حساب تكامل

• **هل المُكامَل من الأشكال المألوفة؟** طبّق جدول الدوالّ الأصلية مباشرةً.
• **هل يظهر الشكل \(u'u^{n}\) أو \(\dfrac{u'}{u}\) أو \(u'e^{u}\)؟** استعمل جدول الدوالّ المركّبة.
• **هل المُكامَل جداء دالّتين مختلفتي الطبيعة؟** استعمل التكامل بالتجزئة.
• **هل المُكامَل دالة ناطقة؟** حاول تفكيكها بالقسمة الإقليدية إلى كثير حدود زائد كسر بسيط.
• **هل المطلوب مساحة؟** حدّد الإشارة أو الوضع النسبي أولاً.

---

15. تمارين نموذجية محلولة

10.1 تكامل بالشكل \(\dfrac{u'}{u}\)

\[ \int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^{2} + 1}\,dx = \left[\ln\left(x^{2}+1\right)\right]_{0}^{1} \]

\[ = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \]

10.2 تكامل بالتجزئة مع اللوغاريتم

احسب \(\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x\,dx\).

نضع \(u(x) = \ln x\) و \(v'(x) = 1\)، ومنه \(u'(x) = \dfrac{1}{x}\) و \(v(x) = x\):

\[ \int_{1}^{e} \ln x\,dx = \left[x \ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1\,dx \]

\[ = e - \left[x\right]_{1}^{e} \]

\[ = e - (e - 1) = 1 \]

10.3 مساحة بين منحنيين

احسب مساحة الحيّز المحصور بين \(f(x) = x\) و \(g(x) = x^{2}\) على \(\left[0 ; 1\right]\).

على \(\left[0 ; 1\right]\) يكون \(x \ge x^{2}\)، إذن:

\[ \mathcal{A} = \int_{0}^{1} \left(x - x^{2}\right) dx \]

\[ = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} \]

\[ = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \ u.a \]

---

16. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

• الخلط بين الدالة الأصلية والمشتقّة: \(F' = f\) وليس العكس.
• نسيان الثابت \(c\) عند كتابة **مجموعة** الدوالّ الأصلية.
• كتابة \(\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln x\) بدل \(\ln \lvert x \rvert\).
• الاعتقاد أنّ تكامل جداء يساوي جداء التكاملين — لا توجد قاعدة كهذه، والحلّ هو التكامل بالتجزئة.
• حساب مساحة بتكامل دالة **سالبة** دون وضع الإشارة السالبة أمامه، فتخرج المساحة سالبة.
• نسيان تحديد الوضع النسبي للمنحنيين قبل حساب المساحة بينهما.
• الخلط بين حدّي التكامل: \(\displaystyle\int_{b}^{a} = -\int_{a}^{b}\).
• تطبيق \(\left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(a) - F(b)\) — الصحيح \(F(b) - F(a)\).
• نسيان \(u'\) عند التعرّف على الشكل \(u' e^{u}\): فـ \(\displaystyle\int e^{2x} dx = \dfrac{1}{2}e^{2x}\) لا \(e^{2x}\).
• إهمال وحدة المساحة \(u.a\) في الجواب النهائي عندما يطلبها التمرين.