الهندسة في الفضاء

3. الجداء السلمي في الفضاء

3.1 التعاريف

بالإحداثيات في معلم متعامد ومتجانس، من أجل \(\vec{u}\,(x ; y ; z)\) و \(\vec{v}\,(x' ; y' ; z')\):

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' \]

بالطويلة والزاوية:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert \times \cos\theta \]

3.2 الخواصّ

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \]

\[ \vec{u} \cdot \left(\vec{v} + \vec{w}\right) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \]

\[ \vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert^{2} \]

3.3 التعامد

الشعاعان غير المعدومين \(\vec{u}\) و \(\vec{v}\) متعامدان إذا وفقط إذا:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]

| المطلوب إثباته | الشرط | | :-------------- | :---- | | تعامد مستقيمين | تعامد شعاعَي توجيههما | | تعامد مستقيم ومستوٍ | شعاع توجيه المستقيم ناظمي للمستوي | | تعامد مستويين | تعامد شعاعَيهما الناظميين |

3.4 حساب زاوية

\[ \cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert} \]

---

4. المستوي في الفضاء

4.1 المعادلة الديكارتية

كل مستوٍ \((P)\) له معادلة من الشكل:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

مع \(\left(a ; b ; c\right) \ne \left(0 ; 0 ; 0\right)\)، والشعاع:

\[ \vec{n}\,(a ; b ; c) \]

هو شعاع ناظمي للمستوي، أي عمودي عليه.

4.2 تعيين معادلة مستوٍ

بمعلومية نقطة وشعاع ناظمي: المستوي المارّ بـ \(A\left(x_A ; y_A ; z_A\right)\) والذي شعاعه الناظمي \(\vec{n}\,(a;b;c)\) هو مجموعة النقط \(M(x;y;z)\) التي تحقّق:

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \]

ومنه:

\[ a\left(x - x_A\right) + b\left(y - y_A\right) + c\left(z - z_A\right) = 0 \]

بمعلومية ثلاث نقط غير في استقامية: نحسب \(\overrightarrow{AB}\) و \(\overrightarrow{AC}\)، ثم نبحث عن \(\vec{n}\) عمودي عليهما بحلّ الجملة:

\[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \]

\[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \]

ثم نطبّق الحالة السابقة.

4.3 المستويات الخاصّة

| المستوي | معادلته | شعاع ناظمي | | :------ | :------ | :---------- | | \(\left(xOy\right)\) | \(z = 0\) | \(\vec{k}\,(0;0;1)\) | | \(\left(xOz\right)\) | \(y = 0\) | \(\vec{\jmath}\,(0;1;0)\) | | \(\left(yOz\right)\) | \(x = 0\) | \(\vec{\imath}\,(1;0;0)\) | | موازٍ لـ \(\left(xOy\right)\) | \(z = k\) | \(\vec{k}\) |

4.4 المسافة من نقطة إلى مستوٍ

إذا كان \((P) : ax + by + cz + d = 0\) و \(A\left(x_A ; y_A ; z_A\right)\):

\[ d\left(A ; (P)\right) = \dfrac{\left\lvert a x_A + b y_A + c z_A + d \right\rvert}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \]

---

5. المستقيم في الفضاء

5.1 التمثيل الوسيطي

المستقيم المارّ بالنقطة \(A\left(x_A ; y_A ; z_A\right)\) والذي شعاع توجيهه \(\vec{u}\,(\alpha ; \beta ; \gamma)\) هو مجموعة النقط \(M(x ; y ; z)\) التي تحقّق \(\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}\)، أي:

\[ x = x_A + \alpha t \]

\[ y = y_A + \beta t \]

\[ z = z_A + \gamma t \]

حيث \(t\) وسيط يمسح \(\mathbb{R}\).

> في الفضاء لا يُمثَّل المستقيم بمعادلة ديكارتية واحدة كما في المستوي، بل بتمثيل وسيطي، أو كتقاطع مستويين.

5.2 انتماء نقطة إلى مستقيم

النقطة \(M\) تنتمي إلى المستقيم إذا وُجدت قيمة واحدة للوسيط \(t\) تحقّق المعادلات الثلاث معاً.

5.3 المستقيم كتقاطع مستويين

جملة معادلتَي مستويين غير متوازيين تُمثّل مستقيماً:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

\[ a'x + b'y + c'z + d' = 0 \]

وللانتقال إلى التمثيل الوسيطي نضع أحد المتغيّرات مساوياً للوسيط \(t\) ونحلّ الجملة بدلالته.

---

6. الأوضاع النسبية

6.1 مستقيم ومستوٍ

ليكن \(\vec{u}\) شعاع توجيه المستقيم و \(\vec{n}\) شعاعاً ناظمياً للمستوي.

| الوضع | الشرط | | :---- | :---- | | المستقيم يوازي المستوي | \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\) والمستقيم غير محتوى فيه | | المستقيم محتوى في المستوي | \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\) ونقطة منه تنتمي إليه | | يتقاطعان في نقطة | \(\vec{u} \cdot \vec{n} \ne 0\) | | المستقيم عمودي على المستوي | \(\vec{u}\) و \(\vec{n}\) مترافقان |

تعيين نقطة التقاطع: نعوّض التمثيل الوسيطي للمستقيم في معادلة المستوي، فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى في \(t\).

6.2 مستويان

ليكن \(\vec{n}\) و \(\vec{n}'\) شعاعيهما الناظميين.

| الوضع | الشرط | | :---- | :---- | | متوازيان | \(\vec{n}\) و \(\vec{n}'\) مترافقان | | منطبقان | مترافقان ونقطة من أحدهما تنتمي إلى الآخر | | يتقاطعان وفق مستقيم | غير مترافقين | | متعامدان | \(\vec{n} \cdot \vec{n}' = 0\) |

6.3 مستقيمان

| الوضع | الشرط | | :---- | :---- | | متوازيان | شعاعا التوجيه مترافقان | | متقاطعان | غير مترافقين ولهما نقطة مشتركة | | متخالفان | غير مترافقين ولا نقطة مشتركة | | متعامدان | \(\vec{u} \cdot \vec{u}' = 0\) |

> الوضع المتخالف خاصّ بالفضاء ولا وجود له في المستوي، ونسيانه من أكثر أخطاء التمرين الهندسي.

---

7. السطح الكروي

7.1 المعادلة

السطح الكروي الذي مركزه \(\Omega\left(a ; b ; c\right)\) ونصف قطره \(R\) هو مجموعة النقط \(M\) التي تحقّق \(\Omega M = R\)، أي:

\[ (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} \]

7.2 الشكل المنشور

بنشر المعادلة نحصل على شكل من نوع:

\[ x^{2} + y^{2} + z^{2} + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 \]

وللرجوع إلى المركز ونصف القطر نُكمل المربّعات الثلاثة. ويكون السطح الكروي موجوداً فعلاً إذا كان الطرف الناتج موجباً تماماً.

7.3 السطح الكروي ذو القطر \(\left[AB\right]\)

هو مجموعة النقط \(M\) التي تحقّق:

\[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \]

7.4 الوضع النسبي لمستوٍ وسطح كروي

نحسب \(d = d\left(\Omega ; (P)\right)\) ونقارنه بـ \(R\):

| المقارنة | الوضع | التقاطع | | :-------- | :---- | :------- | | \(d > R\) | لا يتقاطعان | — | | \(d = R\) | المستوي مماسّ | نقطة واحدة | | \(d < R\) | يتقاطعان | دائرة نصف قطرها \(r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}\) |

---

8. مجموعات النقط

| المجموعة | المعادلة أو الشرط | الشكل | | :-------- | :----------------- | :---- | | \(MA = MB\) | \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{IM} = 0\) مع \(I\) منتصف \(\left[AB\right]\) | المستوي المحوري لـ \(\left[AB\right]\) | | \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) | — | السطح الكروي ذو القطر \(\left[AB\right]\) | | \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\) | — | المستوي المارّ بـ \(A\) وناظمه \(\vec{n}\) | | \(\Omega M = R\) | — | السطح الكروي |

---

9. الاستقامية والأشعة من نفس المستوي والتمثيل الوسيطي لمستوٍ

إثبات استقامية ثلاث نقط

النقط \(A\) و \(B\) و \(C\) على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كان الشعاعان \(\overrightarrow{AB}\) و \(\overrightarrow{AC}\) مرتبطين خطياً (مترافقين).

مثال: \(A(1 ; 2 ; -1)\) و \(B(3 ; 1 ; 0)\) و \(C(7 ; -1 ; 2)\).

\[ \overrightarrow{AB}\,(2 ; -1 ; 1) \]

\[ \overrightarrow{AC}\,(6 ; -3 ; 3) \]

نلاحظ أنّ \(\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}\)، فالنقط الثلاث على استقامة واحدة. أمّا مع \(D(5 ; 0 ; 2)\) فلدينا \(\overrightarrow{AD}\,(4 ; -2 ; 3)\)، والنسب \(\dfrac{4}{2} = 2\) و \(\dfrac{-2}{-1} = 2\) لكن \(\dfrac{3}{1} = 3\): الإحداثيات غير متناسبة، فـ \(A\) و \(B\) و \(D\) ليست على استقامة واحدة.

إثبات أنّ ثلاثة أشعة من نفس المستوي

ليكن \(\vec{u}\,(1 ; 0 ; 2)\) و \(\vec{v}\,(0 ; 1 ; -1)\) و \(\vec{w}\,(2 ; 3 ; 1)\). الشعاعان \(\vec{u}\) و \(\vec{v}\) غير مرتبطين خطياً. نبحث عن \(a\) و \(b\) بحيث \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\):

\[ 2 = a \]

\[ 3 = b \]

\[ 1 = 2a - b \]

من المعادلتين الأوليين \(a = 2\) و \(b = 3\)، والثالثة محقّقة: \(2 \times 2 - 3 = 1\). إذن \(\vec{w} = 2\,\vec{u} + 3\,\vec{v}\): الأشعة الثلاثة من نفس المستوي. ولو كانت المعادلة الثالثة غير محقّقة لكانت الأشعة ليست من نفس المستوي.

التمثيل الوسيطي لمستوٍ

المستوي المارّ بالنقطة \(A(x_A ; y_A ; z_A)\) والموجّه بشعاعين غير مرتبطين خطياً \(\vec{u}\,(\alpha ; \beta ; \gamma)\) و \(\vec{v}\,(\alpha' ; \beta' ; \gamma')\) هو مجموعة النقط \(M\) التي تحقّق \(\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} + s\,\vec{v}\) مع \(t, s \in \mathbb{R}\):

\[ x = x_A + \alpha t + \alpha' s \]

\[ y = y_A + \beta t + \beta' s \]

\[ z = z_A + \gamma t + \gamma' s \]

من التمثيل الوسيطي إلى معادلة ديكارتية: المستوي المارّ بـ \(A(1 ; 0 ; 2)\) والموجّه بـ \(\vec{u}\) و \(\vec{v}\) السابقين:

\[ x = 1 + t \ , \ y = s \ , \ z = 2 + 2t - s \]

نحذف الوسيطين: \(t = x - 1\) و \(s = y\)، فـ \(z = 2 + 2(x - 1) - y = 2x - y\)، أي:

\[ 2x - y - z = 0 \]

تحقّق: \(\vec{n}\,(2 ; -1 ; -1)\) يعامد \(\vec{u}\) لأنّ \(2 + 0 - 2 = 0\)، ويعامد \(\vec{v}\) لأنّ \(0 - 1 + 1 = 0\).

من معادلة ديكارتية إلى تمثيل وسيطي: للمستوي \(x + 2y - z + 3 = 0\) نعبّر عن \(z\): \(z = x + 2y + 3\)، ونضع \(x = t\) و \(y = s\):

\[ x = t \ , \ y = s \ , \ z = 3 + t + 2s \]

وهو المستوي المارّ بـ \((0 ; 0 ; 3)\) والموجّه بالشعاعين \((1 ; 0 ; 1)\) و \((0 ; 1 ; 2)\).

المستويات الموازية لمستويات الإحداثيات

| المعادلة | المستوي | شعاع ناظمي | | :------- | :------ | :---------- | | \(x = a\) | موازٍ لـ \((yOz)\) | \(\vec{\imath}\) | | \(y = b\) | موازٍ لـ \((xOz)\) | \(\vec{\jmath}\) | | \(z = c\) | موازٍ لـ \((xOy)\) | \(\vec{k}\) |

مثال: المستوي المارّ بـ \(A(2 ; -1 ; 5)\) والموازي لـ \((xOz)\) معادلته \(y = -1\): كل نقطه لها الترتيب \(-1\) نفسه.

10. المسقط العمودي والمسافة بين نقطة ومستوٍ، ومجموعة النقط \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = k\)

المسقط العمودي لنقطة على مستوٍ

ليكن \((P) : ax + by + cz + d = 0\) وشعاعه الناظمي \(\vec{n}\,(a ; b ; c)\)، و \(A\) نقطة. المسقط العمودي لـ \(A\) على \((P)\) هو النقطة \(H\) من \((P)\) بحيث \(\overrightarrow{AH}\) يوازي \(\vec{n}\).

لتعيينه: نكتب تمثيلاً وسيطياً للمستقيم المارّ بـ \(A\) وشعاع توجيهه \(\vec{n}\)، ثم نعوّضه في معادلة \((P)\).

المسافة بين \(A\) و \((P)\) هي أصغر مسافة بين \(A\) ونقط \((P)\)، وهي \(AH\):

\[ d\left(A ; (P)\right) = AH = \dfrac{\lvert a x_A + b y_A + c z_A + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

مثال محلول 1

\((P) : x + 2y - 2z - 1 = 0\) و \(A(4 ; 2 ; -1)\).

\[ d = \dfrac{\lvert 4 + 4 + 2 - 1 \rvert}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \dfrac{9}{3} = 3 \]

المستقيم المارّ بـ \(A\) والعمودي على \((P)\):

\[ x = 4 + t \ , \ y = 2 + 2t \ , \ z = -1 - 2t \]

بالتعويض في معادلة \((P)\):

\[ (4 + t) + 2(2 + 2t) - 2(-1 - 2t) - 1 = 0 \]

\[ 9 + 9t = 0 \]

ومنه \(t = -1\) و \(H(3 ; 0 ; 1)\). تحقّق: \(AH = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\)، وهي المسافة نفسها.

تطبيق: السطح الكروي الذي مركزه \(A\) ويمسّ \((P)\) نصف قطره \(R = d(A ; (P)) = 3\)، ونقطة التماس هي \(H(3 ; 0 ; 1)\).

المسافة بين مستويين متوازيين: \((P')\) : \(x + 2y - 2z + 5 = 0\) يوازي \((P)\). نأخذ نقطة من \((P)\) مثل \(B(1 ; 0 ; 0)\):

\[ d\left(B ; (P')\right) = \dfrac{\lvert 1 + 5 \rvert}{3} = 2 \]

مجموعة النقط \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = k\)

لتكن \(A\) نقطة و \(\vec{u}\,(a ; b ; c)\) شعاعاً غير معدوم و \(k\) عدداً حقيقياً. الشرط \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = k\) يُكتب:

\[ a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = k \]

وهي معادلة من الشكل \(ax + by + cz + d' = 0\): المجموعة مستوٍ شعاعه الناظمي \(\vec{u}\)، ويمرّ بـ \(A\) إذا وفقط إذا كان \(k = 0\). وبُعد \(A\) عنه يساوي \(\dfrac{\lvert k \rvert}{\lVert \vec{u} \rVert}\).

مثال محلول 2

\(A(1 ; 1 ; 1)\) و \(B(2 ; 3 ; 3)\). عيّن مجموعة النقط \(M\) التي تحقّق \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = 9\).

\(\overrightarrow{AB}\,(1 ; 2 ; 2)\)، فالشرط يُكتب:

\[ (x - 1) + 2(y - 1) + 2(z - 1) = 9 \]

\[ x + 2y + 2z - 14 = 0 \]

مستوٍ عمودي على \((AB)\). وبما أنّ \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2 = 9\) فإنّ \(B\) تنتمي إليه: \(2 + 6 + 6 - 14 = 0\). إذن المجموعة هي المستوي العمودي على \((AB)\) في \(B\).

11. مجموعة النقط \(\alpha MA^2 + \beta MB^2 = k\)

الطريقة التحليلية (الأضمن)

نكتب \(MA^2\) و \(MB^2\) بالإحداثيات وننشر، ثم نحدّد طبيعة المعادلة الناتجة:

• إذا كان \(\alpha + \beta \ne 0\) تبقى الحدود \(x^2 + y^2 + z^2\): نُكمل المربّعات، فالمجموعة **سطح كروي** أو **نقطة** أو **مجموعة خالية** حسب إشارة الطرف الثاني.
• إذا كان \(\alpha + \beta = 0\) تختفي المربّعات: المعادلة من الدرجة الأولى، فالمجموعة **مستوٍ** عمودي على \((AB)\).

الطريقة الشعاعية

إذا كان \(\alpha + \beta \ne 0\) ننسب إلى \(G\) مرجّح الجملة \(\{(A ; \alpha) , (B ; \beta)\}\)، فنجد من أجل كل نقطة \(M\):

\[ \alpha MA^2 + \beta MB^2 = (\alpha + \beta)\,MG^2 + \alpha GA^2 + \beta GB^2 \]

وفي الحالة \(\alpha = \beta = 1\) يكون \(G = I\) منتصف \([AB]\):

\[ MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \dfrac{AB^2}{2} \]

وإذا كان \(\alpha + \beta = 0\) نستعمل:

\[ MA^2 - MB^2 = 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{IM} \]

فنرجع إلى مجموعة من الشكل \(\overrightarrow{IM} \cdot \vec{u} = k\) (مستوٍ).

مثال محلول 1: \(MA^2 + MB^2 = 20\)

\(A(2 ; 0 ; 1)\) و \(B(0 ; 2 ; -1)\). منتصف \([AB]\) هو \(I(1 ; 1 ; 0)\)، و \(AB^2 = 4 + 4 + 4 = 12\).

\[ 2\,MI^2 + 6 = 20 \]

\[ MI^2 = 7 \]

المجموعة هي السطح الكروي الذي مركزه \(I(1 ; 1 ; 0)\) ونصف قطره \(\sqrt{7}\).

تحقّق تحليلي: بالنشر نجد \(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4x - 4y + 10 = 20\)، أي:

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 5 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 7 \]

مثال محلول 2: \(MA^2 - MB^2 = 8\)

بالنقطتين نفسيهما. بالنشر تختفي المربّعات:

\[ (x - 2)^2 - x^2 = -4x + 4 \]

\[ y^2 - (y - 2)^2 = 4y - 4 \]

\[ (z - 1)^2 - (z + 1)^2 = -4z \]

فالشرط يصير \(-4x + 4y - 4z = 8\)، أي:

\[ x - y + z + 2 = 0 \]

مستوٍ شعاعه الناظمي \((1 ; -1 ; 1)\) يوازي \(\overrightarrow{AB}\,(-2 ; 2 ; -2)\): المستوي عمودي على \((AB)\). (ومن أجل \(k = 0\) نجد \(x - y + z = 0\): المستوي المحوري لـ \([AB]\) المارّ بـ \(I\).)

مثال محلول 3: \(2MA^2 - MB^2 = 6\)

\(A(1 ; 1 ; 0)\) و \(B(0 ; 1 ; 2)\). هنا \(\alpha + \beta = 1 \ne 0\)، والمرجّح:

\[ \overrightarrow{OG} = \dfrac{2\,\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}}{2 - 1} \]

ومنه \(G(2 ; 1 ; -2)\).

\(\overrightarrow{GA}\,(-1 ; 0 ; 2)\) فـ \(GA^2 = 5\)، و \(\overrightarrow{GB}\,(-2 ; 0 ; 4)\) فـ \(GB^2 = 20\):

\[ 2MA^2 - MB^2 = MG^2 + 10 - 20 \]

\[ MG^2 - 10 = 6 \]

\(MG^2 = 16\): السطح الكروي الذي مركزه \(G(2 ; 1 ; -2)\) ونصف قطره \(4\).

> للامتحان: إذا وجدت \(MG^2 = c\) فناقش: \(c > 0\) سطح كروي نصف قطره \(\sqrt{c}\)، و \(c = 0\) النقطة \(G\) وحدها، و \(c < 0\) المجموعة خالية.

12. المستقيم كتقاطع مستويين، الوضع النسبي لمستقيمين، وتقاطع ثلاثة مستويات

من جملة معادلتين إلى تمثيل وسيطي

\((P_1) : x + y - z - 1 = 0\) و \((P_2) : 2x - y + z - 2 = 0\). الشعاعان الناظميان \((1 ; 1 ; -1)\) و \((2 ; -1 ; 1)\) غير مترافقين، فالمستويان يتقاطعان وفق مستقيم \((\Delta)\). نضع \(z = t\):

\[ x + y = 1 + t \]

\[ 2x - y = 2 - t \]

بالجمع \(3x = 3\) أي \(x = 1\)، ثم \(y = t\). إذن:

\[ x = 1 \ , \ y = t \ , \ z = t \]

\((\Delta)\) يمرّ بـ \((1 ; 0 ; 0)\) وشعاع توجيهه \((0 ; 1 ; 1)\)، وهو يعامد الناظمين معاً كما يجب.

والعكس: من التمثيل \(x = 1 + 2t\) ، \(y = -t\) ، \(z = 3 + t\) نحذف \(t = -y\) فنجد \(x + 2y - 1 = 0\) و \(y + z - 3 = 0\): جملة معادلتي مستويين تمثّل المستقيم.

الوضع النسبي لمستقيمين: الطريقة

• نقارن شعاعي التوجيه: إذا كانا مترافقين فالمستقيمان متوازيان (تماماً أو منطبقان).
• وإلا نحلّ جملة المعادلات الثلاث بالمجهولين \(t\) و \(s\): إذا وُجد حلّ فهما متقاطعان، وإلا فهما **متخالفان**.

مثال: \((D_1) : x = 1 + t , y = 2t , z = -1 + t\) و \((D_2) : x = 2 + s , y = 1 - s , z = s\). الشعاعان \((1 ; 2 ; 1)\) و \((1 ; -1 ; 1)\) غير مترافقين. نحلّ:

\[ 1 + t = 2 + s \]

\[ 2t = 1 - s \]

\[ -1 + t = s \]

الأولى والثالثة تعطيان \(t = 1 + s\)، والثانية \(2 + 2s = 1 - s\) أي \(s = -\dfrac{1}{3}\) و \(t = \dfrac{2}{3}\). المستقيمان يتقاطعان في \(\left(\dfrac{5}{3} ; \dfrac{4}{3} ; -\dfrac{1}{3}\right)\).

لو كان \((D_2) : x = 2 + s , y = 1 - s , z = 1 + s\) لأعطت الأولى \(t = 1 + s\) والثالثة \(t = 2 + s\): تناقض، فالمستقيمان متخالفان (غير متوازيين وغير متقاطعين).

تقاطع ثلاثة مستويات

نحلّ جملة ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل. الحالات الممكنة: نقطة وحيدة، أو مستقيم، أو مستوٍ (إذا انطبقت المستويات)، أو مجموعة خالية.

مثال 1: \(x + y + z = 6\) و \(x - y + z = 2\) و \(2x + y - z = 1\). بطرح الثانية من الأولى \(2y = 4\) أي \(y = 2\). تبقى \(x + z = 4\) و \(2x - z = -1\)، وبالجمع \(3x = 3\):

\[ x = 1 \ , \ y = 2 \ , \ z = 3 \]

التقاطع هو النقطة \((1 ; 2 ; 3)\).

مثال 2: \((P_1)\) و \((P_2)\) السابقان و \((P_3) : x - 1 = 0\). نعوّض تمثيل \((\Delta)\) في \((P_3)\): \(1 - 1 = 0\) محقّقة من أجل كل \(t\)، فـ \((\Delta) \subset (P_3)\) والتقاطع هو المستقيم \((\Delta)\).

مثال 3: مع \((P_3') : x = 2\) يعطي التعويض \(1 = 2\): مستحيل، فالتقاطع خالٍ (المستقيم \((\Delta)\) يوازي \((P_3')\) تماماً).

> طريقة عملية: نعيّن تقاطع مستويين (مستقيم بتمثيل وسيطي)، ثم نعوّض في معادلة الثالث: حلّ وحيد لـ \(t\) يعطي نقطة، ومساواة محقّقة دائماً تعطي مستقيماً، ومساواة مستحيلة تعطي مجموعة خالية.

13. منهجية التمرين الهندسي

• **ارسم شكلاً تقريبياً** ولو بسيطاً؛ فهو يوجّه الحلّ ويكشف الأوضاع النسبية.
• **احسب الأشعّة** المطلوبة بالإحداثيات قبل أيّ شيء.
• **لإثبات التعامد:** جداء سلمي معدوم. **وللتوازي:** ترافق الشعاعين.
• **لكتابة معادلة مستوٍ:** ابحث عن شعاع ناظمي ثم استعمل نقطة منه.
• **لتقاطع مستقيم ومستوٍ:** عوّض التمثيل الوسيطي في معادلة المستوي.
• **لحساب المسافة بين نقطة ومستوٍ:** استعمل دستور المسافة مباشرة بدل تعيين المسقط العمودي ثم حساب الطول.
• **تحقّق دائماً** من انتماء النقط الناتجة بتعويضها في المعادلات.

---

14. تمارين نموذجية محلولة

10.1 معادلة مستوٍ بثلاث نقط

ليكن \(A(1 ; 0 ; 0)\) و \(B(0 ; 2 ; 0)\) و \(C(0 ; 0 ; 3)\). عيّن معادلة المستوي \((ABC)\).

\[ \overrightarrow{AB}\,(-1 ; 2 ; 0) \]

\[ \overrightarrow{AC}\,(-1 ; 0 ; 3) \]

نبحث عن \(\vec{n}\,(a ; b ; c)\) يحقّق \(-a + 2b = 0\) و \(-a + 3c = 0\). بأخذ \(a = 6\) نجد \(b = 3\) و \(c = 2\)، إذن \(\vec{n}\,(6 ; 3 ; 2)\).

والمعادلة المارّة بـ \(A\):

\[ 6(x - 1) + 3y + 2z = 0 \]

\[ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 \]

10.2 تقاطع مستقيم ومستوٍ

ليكن \((D)\) المارّ بـ \(A(1 ; 1 ; 0)\) وشعاع توجيهه \(\vec{u}\,(1 ; -1 ; 2)\)، و \((P) : x + y + z - 4 = 0\).

التمثيل الوسيطي:

\[ x = 1 + t \]

\[ y = 1 - t \]

\[ z = 2t \]

بالتعويض في معادلة المستوي:

\[ (1 + t) + (1 - t) + 2t - 4 = 0 \]

\[ 2t - 2 = 0 \]

ومنه \(t = 1\)، فنقطة التقاطع هي \(I(2 ; 0 ; 2)\).

10.3 مسافة وسطح كروي

احسب \(d\left(\Omega ; (P)\right)\) من أجل \(\Omega(1 ; 2 ; -1)\) و \((P) : 2x - y + 2z + 3 = 0\)، ثم عيّن طبيعة تقاطع \((P)\) مع السطح الكروي الذي مركزه \(\Omega\) ونصف قطره \(R = 2\).

\[ d = \dfrac{\left\lvert 2 - 2 - 2 + 3 \right\rvert}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{1}{3} \]

وبما أنّ \(d < R\) فإنّ التقاطع دائرة نصف قطرها:

\[ r = \sqrt{4 - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{\sqrt{35}}{3} \]

---

15. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

• محاولة كتابة **معادلة ديكارتية واحدة لمستقيم** في الفضاء — المستقيم يُمثَّل وسيطياً أو كتقاطع مستويين.
• الخلط بين **شعاع التوجيه** (يوازي المستقيم) و**الشعاع الناظمي** (عمودي على المستوي).
• نسيان الوضع **المتخالف** بين مستقيمين، والاكتفاء بالتوازي والتقاطع كما في المستوي.
• استعمال إحداثيّتين فقط بدل ثلاث عند حساب الجداء السلمي أو المسافة.
• نسيان **القيمة المطلقة** في بسط دستور المسافة من نقطة إلى مستوٍ، أو نسيان الجذر في مقامه.
• الاستنتاج أنّ كل معادلة من الشكل \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\dots = 0\) تُمثّل سطحاً كروياً دون التحقّق من أنّ نصف القطر المربّع **موجب تماماً**.
• إثبات انتماء نقطة إلى مستقيم بإيجاد قيمة للوسيط تحقّق معادلتين فقط من الثلاث.
• الخلط بين تعامد مستقيم ومستوٍ (ترافق \(\vec{u}\) و \(\vec{n}\)) وتوازيهما (\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\)) — الشرطان معكوسان تماماً.
• حساب نصف قطر دائرة التقاطع بـ \(R - d\) بدل \(\sqrt{R^{2} - d^{2}}\).