الأعداد المركبة

4. عمدة عدد مركب

4.1 تعريف

نسمّي عمدة للعدد المركب غير المعدوم \(z\) كل قياس بالراديان للزاوية الموجّهة \(\left(\vec{u} ; \overrightarrow{OM}\right)\) حيث \(M\) صورة \(z\)، ونكتب \(\arg(z) = \theta\).

إذا كانت \(\theta\) عمدة لـ \(z\) فإن كل عدد من الشكل \(\theta + 2k\pi\) مع \(k \in \mathbb{Z}\) هو أيضاً عمدة لـ \(z\)، ونكتب:

\[ \arg(z) = \theta + 2k\pi \]

\[ k \in \mathbb{Z} \]

> تنبيه: \(\arg(0)\) غير معرّف، لأن الشعاع المعدوم لا يحدّد اتجاهاً.

4.2 العلاقة مع الطويلة

إذا كان \(z = x + i\,y \ne 0\) و \(r = |z|\) فإن:

\[ \cos\theta = \dfrac{x}{r} \]

\[ \sin\theta = \dfrac{y}{r} \]

\[ \tan\theta = \dfrac{y}{x} \quad (x \ne 0) \]

4.3 خواص العمدة

\[ \arg(z \times w) = \arg(z) + \arg(w) \]

\[ \arg\!\left(\dfrac{z}{w}\right) = \arg(z) - \arg(w) \]

\[ \arg\!\left(\overline{z}\right) = -\arg(z) \]

\[ \arg(-z) = \arg(z) + \pi \]

\[ \arg\!\left(z^{\,n}\right) = n\,\arg(z) \]

---

5. الشكل المثلثي والشكل الأسي

5.1 الشكل المثلثي

كل عدد مركب غير معدوم يُكتب:

\[ z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \]

\[ r = |z| \ , \ \theta = \arg(z) \]

5.2 ترميز أويلر

\[ e^{\,i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

وهو عدد مركب طويلته \(1\) وعمدته \(\theta\).

5.3 الشكل الأسي

\[ z = r\,e^{\,i\theta} \]

\[ r = |z| > 0 \]

5.4 الانتقال بين الأشكال

| المطلوب | الطريقة | | :------ | :------ | | من الجبري إلى الأسي | نحسب \(r = \sqrt{x^2+y^2}\) ثم \(\theta\) من \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) و \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\) | | من الأسي إلى الجبري | \(x = r\cos\theta\) و \(y = r\sin\theta\) |

---

6. دستور موافر ونتائجه

لكل \(\theta \in \mathbb{R}\) ولكل \(n \in \mathbb{Z}\):

\[ \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \]

\[ \left(e^{\,i\theta}\right)^{n} = e^{\,i n\theta} \]

6.1 نتائج على الشكل الأسي

ليكن \(z = |z|\,e^{\,i\theta}\) و \(w = |w|\,e^{\,i\alpha}\) عددين غير معدومين:

\[ z \times w = |z||w|\,e^{\,i(\theta + \alpha)} \]

\[ \dfrac{z}{w} = \dfrac{|z|}{|w|}\,e^{\,i(\theta - \alpha)} \]

\[ \dfrac{1}{w} = \dfrac{1}{|w|}\,e^{-i\alpha} \]

\[ \overline{z} = |z|\,e^{-i\theta} \]

\[ z^{\,n} = |z|^{\,n}\,e^{\,i n\theta} \]

6.2 الجذور النونية

جذور العدد \(z = r\,e^{\,i\theta}\) من الدرجة \(n\) هي الأعداد:

\[ z_k = \sqrt[n]{r}\; e^{\,i\frac{\theta + 2k\pi}{n}} \]

\[ k \in \{0, 1, \dots, n-1\} \]

وصورها \(n\) نقطاً تشكّل مضلّعاً منتظماً مركزه \(O\).

6.3 هويات أويلر

\[ \cos\theta = \dfrac{e^{\,i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \]

\[ \sin\theta = \dfrac{e^{\,i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \]

\[ e^{\,i\frac{\pi}{2}} = i \]

\[ e^{-i\frac{\pi}{2}} = -i \]

\[ e^{\,i\,2k\pi} = 1 \]

\[ e^{\,i(2k+1)\pi} = -1 \]

---

7. طبيعة العدد المركب بدلالة عمدته

ليكن \(z\) عدداً مركباً غير معدوم عمدته \(\theta\):

| الشرط | طبيعة \(z\) | | :---- | :---------- | | \(\sin\theta = 0\) | حقيقي | | \(\sin\theta = 0\) و \(\cos\theta > 0\) | حقيقي موجب | | \(\sin\theta = 0\) و \(\cos\theta < 0\) | حقيقي سالب | | \(\cos\theta = 0\) | تخيلي صرف | | \(\cos\theta = 0\) و \(\sin\theta > 0\) | تخيلي صرف موجب | | \(\cos\theta = 0\) و \(\sin\theta < 0\) | تخيلي صرف سالب |

ولتحديد طبيعة \(z^{\,n}\) نستعمل \(\arg\!\left(z^{\,n}\right) = n\,\arg(z)\).

---

8. نتائج مثلثية مفيدة

\[ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \]

\[ \cos(\theta \pm \alpha) = \cos\theta\cos\alpha \mp \sin\theta\sin\alpha \]

\[ \sin(\theta \pm \alpha) = \sin\theta\cos\alpha \pm \cos\theta\sin\alpha \]

\[ \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta \]

\[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \]

ومن الدائرة المثلثية، لكل \(k \in \mathbb{Z}\):

\[ \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right) = 0 \]

\[ \sin(k\pi) = 0 \]

\[ \cos(k\pi) = (-1)^k \]

---

9. المرجّح في المستوي المركب

لتكن \(A, B, C\) نقطاً من المستوي و \(\alpha, \beta, \gamma\) أعداداً حقيقية بحيث \(\alpha + \beta + \gamma \ne 0\). توجد نقطة وحيدة \(G\) تحقّق:

\[ \alpha\,\overrightarrow{GA} + \beta\,\overrightarrow{GB} + \gamma\,\overrightarrow{GC} = \vec{0} \]

وتسمّى مرجّح الجملة \(\{(A;\alpha), (B;\beta), (C;\gamma)\}\).

9.1 خواص المرجّح

• إذا كانت المعاملات متساوية فإن \(G\) هو **مركز ثقل** الجملة؛ ومن أجل نقطتين يكون \(G\) منتصف \([AB]\).
• ضرب كل المعاملات في عدد حقيقي \(k \ne 0\) لا يغيّر المرجّح.
• إذا كان \(\alpha + \beta + \gamma = 0\) فإن المرجّح غير معرّف.

9.2 لاحقة المرجّح

\[ z_G = \dfrac{\alpha\,z_A + \beta\,z_B + \gamma\,z_C}{\alpha + \beta + \gamma} \]

---

10. الدائرة في المستوي المركب

10.1 المعادلة المركّبة

الدائرة التي مركزها \(\Omega(z_\Omega)\) ونصف قطرها \(R > 0\) هي مجموعة النقط \(M(z)\) التي تحقّق:

\[ |z - z_\Omega| = R \]

10.2 المعادلة الديكارتية

إذا كان \(\Omega(a ; b)\) و \(z = x + i\,y\) فإن المعادلة السابقة تكافئ:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \]

وبنشرها:

\[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - R^2 = 0 \]

10.3 الدائرة ذات القطر \([AB]\)

الدائرة التي قطرها \([AB]\) مركزها منتصف \([AB]\) ونصف قطرها \(\dfrac{AB}{2}\):

\[ z_\Omega = \dfrac{z_A + z_B}{2} \]

\[ R = \dfrac{|z_B - z_A|}{2} \]

وتتميّز نقطها بالخاصية:

\[ M \in \mathcal{C} \setminus \{A ; B\} \iff \arg\!\left(\dfrac{z_B - z}{z_A - z}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \]

10.4 نقط متدائرة

النقط \(A, B, C\) تنتمي إلى دائرة مركزها \(\Omega\) إذا وفقط إذا:

\[ |z_A - z_\Omega| = |z_B - z_\Omega| = |z_C - z_\Omega| \]

وأربع نقط \(A, B, C, D\) متدائرة إذا وفقط إذا كانت النسبة التالية حقيقية:

\[ \dfrac{z_C - z_A}{z_C - z_B} \times \dfrac{z_D - z_B}{z_D - z_A} \in \mathbb{R}^{*} \]

بشرط ألّا تكون النقط الأربع على استقامة واحدة: فالنسبة حقيقية أيضاً عندما تكون النقط المتمايزة على مستقيم واحد.

---

11. المستقيم في المستوي المركب

11.1 المعادلات الديكارتية

• المعادلة المختصرة: \(y = ax + b\)، حيث \(a\) معامل التوجيه و \(b\) الترتيبة عند المبدأ.
• ميل المستقيم \((AB)\):

\[ a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad (x_A \ne x_B) \]

• مستقيم يوازي محور الفواصل ويمرّ بـ \(A\): \(y = y_A\).
• مستقيم يوازي محور التراتيب ويمرّ بـ \(A\): \(x = x_A\).

شرط التوازي: تساوي معاملي التوجيه. شرط التعامد: \(a \times a' = -1\).

11.2 بلغة الأعداد المركبة

\[ (AB) \parallel (CD) \iff \dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}^{*} \]

\[ (AB) \perp (CD) \iff \dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in i\,\mathbb{R}^{*} \]

وتكون النقط \(A, B, C\) على استقامة واحدة إذا وفقط إذا:

\[ \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}^{*} \]

---

12. طبيعة المثلث باستعمال الأعداد المركبة

لتكن \(A, B, C\) ثلاث نقط متمايزة، ونضع:

\[ Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \]

فإن \(|Z| = \dfrac{AC}{AB}\) و \(\arg(Z) = \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)\)، ومنه:

| الشرط على \(Z\) | طبيعة المثلث \(ABC\) | | :-------------- | :------------------- | | \(Z \in i\,\mathbb{R}^{*}\) | قائم في \(A\) | | \(\lvert Z\rvert = 1\) | متساوي الساقين رأسه \(A\) | | \(Z = \pm i\) | قائم ومتساوي الساقين في \(A\) | | \(\lvert Z\rvert = 1\) و \(\arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{3}\) | متقايس الأضلاع | | \(Z \in \mathbb{R}^{*}\) | النقط على استقامة واحدة (ليس مثلثاً) |

---

13. طبيعة الرباعي

لتكن \(A, B, C, D\) أربع نقط.

13.1 متوازي أضلاع

يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع إذا وفقط إذا:

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff z_B - z_A = z_C - z_D \]

أو بتكافؤ: تناصف القطرين

\[ \dfrac{z_A + z_C}{2} = \dfrac{z_B + z_D}{2} \]

13.2 معيّن ومستطيل ومربّع

انطلاقاً من متوازي أضلاع \(ABCD\):

| الشرط الإضافي | النوع | | :------------ | :---- | | \(\lvert z_B - z_A\rvert = \lvert z_D - z_A\rvert \) | معيّن | | \(\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A} \in i\,\mathbb{R}^{*}\) | مستطيل | | الشرطان معاً، أي \(\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A} = \pm i\) | مربّع |

---

14. المعادلات من الدرجة الثانية في \(\mathbb{C}\)

14.1 المعادلة \(z^2 = a\) حيث \(a \in \mathbb{R}^{*}\)

\[ a > 0 \ \Longrightarrow \ z = \pm\sqrt{a} \]

\[ a < 0 \ \Longrightarrow \ z = \pm i\sqrt{-a} \]

14.2 المعادلة \(az^2 + bz + c = 0\) بمعاملات حقيقية

ليكن \(a, b, c \in \mathbb{R}\) مع \(a \ne 0\)، والمميّز:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

| إشارة \(\Delta\) | الحلول | | :--------------- | :----- | | \(\Delta > 0\) | حلّان حقيقيان: \(z = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) | | \(\Delta = 0\) | حلّ حقيقي مضاعف: \(z = \dfrac{-b}{2a}\) | | \(\Delta < 0\) | حلّان مركّبان مترافقان: \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) |

14.3 نتائج

\[ az^2 + bz + c = a\,(z - z_1)(z - z_2) \]

\[ z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a} \]

\[ z_1 \times z_2 = \dfrac{c}{a} \]

> ملاحظة: إذا كان \(\Delta < 0\) فإن الحلّين مترافقان، أي \(z_2 = \overline{z_1}\). هذه الخاصية صحيحة فقط عندما تكون المعاملات حقيقية.

---

15. الجذران التربيعيان لعدد مركب: حلّ المعادلة \(z^2 = z_0\)

تعريف

ليكن \(z_0\) عدداً مركباً. نسمّي جذراً تربيعياً لـ \(z_0\) كل عدد مركب \(z\) يحقّق \(z^2 = z_0\).

خاصية: كل عدد مركب غير معدوم له في \(\mathbb{C}\) جذران تربيعيان متعاكسان \(z\) و \(-z\). (العدد \(0\) جذره الوحيد هو \(0\).)

> تنبيه: لا نستعمل الرمز \(\sqrt{\ }\) مع عدد مركب غير حقيقي موجب؛ نكتب «الجذران التربيعيان لـ \(z_0\) هما …».

الطريقة بالشكل الجبري

نضع \(z_0 = a + ib\) و \(z = x + iy\) مع \(x, y\) حقيقيين. لدينا:

\[ z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy \]

والمساواة \(z^2 = z_0\) تعطي، مع تساوي الطويلتين \(\lvert z \rvert^2 = \lvert z_0 \rvert\):

\[ x^2 - y^2 = a \]

\[ x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} \]

\[ 2xy = b \]

نجمع ونطرح المعادلتين الأوليين فنجد \(x^2\) و \(y^2\)، ثم تحدّد إشارة \(b\) هل لـ \(x\) و \(y\) الإشارة نفسها (\(b > 0\)) أم إشارتان مختلفتان (\(b < 0\)).

مثال محلول 1

حلّ في \(\mathbb{C}\) المعادلة \(z^2 = 3 + 4i\).

\[ \lvert 3 + 4i \rvert = \sqrt{9 + 16} = 5 \]

\[ x^2 - y^2 = 3 \]

\[ x^2 + y^2 = 5 \]

بالجمع \(2x^2 = 8\) أي \(x^2 = 4\)، وبالطرح \(2y^2 = 2\) أي \(y^2 = 1\). وبما أنّ \(2xy = 4 > 0\) فإنّ \(x\) و \(y\) من الإشارة نفسها:

\[ z = 2 + i \]

\[ z = -2 - i \]

التحقّق: \((2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i\).

مثال محلول 2

حلّ في \(\mathbb{C}\) المعادلة \(z^2 = 8 - 6i\).

\[ \lvert 8 - 6i \rvert = \sqrt{64 + 36} = 10 \]

نحصل على \(x^2 - y^2 = 8\) و \(x^2 + y^2 = 10\)، ومنه \(x^2 = 9\) و \(y^2 = 1\). وبما أنّ \(2xy = -6 < 0\) فإنّ \(x\) و \(y\) من إشارتين مختلفتين، فالحلّان:

\[ z = 3 - i \]

\[ z = -3 + i \]

التحقّق: \((3 - i)^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i\).

مثال محلول 3: حالة تخيلي صرف

\(z^2 = 2i\): هنا \(a = 0\) و \(b = 2\)، فـ \(x^2 - y^2 = 0\) و \(x^2 + y^2 = 2\)، ومنه \(x^2 = y^2 = 1\)، و \(2xy = 2 > 0\). الجذران: \(1 + i\) و \(-1 - i\).

ملاحظة: بالشكل الأسي

إذا كان \(z_0 = r\,e^{i\theta}\) مع \(r > 0\) فإنّ جذريه التربيعيين هما:

\[ z = \sqrt{r}\,e^{i\frac{\theta}{2}} \]

\[ z = -\sqrt{r}\,e^{i\frac{\theta}{2}} \]

مثلاً \(2i = 2e^{i\frac{\pi}{2}}\) فجذراه \(\pm\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} = \pm(1 + i)\)، وهي النتيجة نفسها. الطريقة الجبرية مفضّلة عندما لا تكون العمدة زاوية مألوفة، كما في المثال 1.

16. معادلات من الدرجة الثانية ومعادلات يؤول حلّها إليها: أمثلة محلولة

مثال محلول 1: معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات حقيقية

حلّ في \(\mathbb{C}\) المعادلة \(z^2 - 4z + 13 = 0\).

\[ \Delta = 16 - 52 = -36 = (6i)^2 \]

\[ z_1 = \dfrac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i \]

\[ z_2 = \dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i \]

التحقّق السريع بالمجموع والجداء: \(z_1 + z_2 = 4 = -\dfrac{b}{a}\) و \(z_1 z_2 = 4 + 9 = 13 = \dfrac{c}{a}\).

مثال محلول 2: معادلة من الدرجة الثالثة لها جذر معلوم

ليكن \(P(z) = z^3 + z^2 + 2z - 4\).

1) جذر ظاهر: \(P(1) = 1 + 1 + 2 - 4 = 0\)، إذن \(P(z)\) يقبل القسمة على \(z - 1\).

2) التحليل بالمطابقة: نبحث عن \(a\) و \(b\) بحيث:

\[ P(z) = (z - 1)(z^2 + az + b) \]

بالنشر:

\[ (z - 1)(z^2 + az + b) = z^3 + (a - 1)z^2 + (b - a)z - b \]

وبمطابقة المعاملات: \(a - 1 = 1\) و \(b - a = 2\) و \(-b = -4\)، ومنه \(a = 2\) و \(b = 4\).

3) حلّ المعادلة من الدرجة الثانية: \(z^2 + 2z + 4 = 0\):

\[ \Delta = 4 - 16 = -12 = \left(2\sqrt{3}\,i\right)^2 \]

\[ z = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}\,i}{2} = -1 \pm i\sqrt{3} \]

حلول \(P(z) = 0\) هي: \(1\) و \(-1 + i\sqrt{3}\) و \(-1 - i\sqrt{3}\). (يمكن أيضاً إيجاد \(a\) و \(b\) بالقسمة الإقليدية أو بطريقة هورنر.)

مثال محلول 3: معادلة مضاعفة التربيع

حلّ في \(\mathbb{C}\) المعادلة \(z^4 + 5z^2 - 36 = 0\).

نضع \(Z = z^2\) فنحصل على \(Z^2 + 5Z - 36 = 0\):

\[ \Delta = 25 + 144 = 169 = 13^2 \]

\[ Z = \dfrac{-5 + 13}{2} = 4 \]

\[ Z = \dfrac{-5 - 13}{2} = -9 \]

نعود إلى \(z\): \(z^2 = 4\) تعطي \(z = 2\) أو \(z = -2\)، و \(z^2 = -9\) تعطي \(z = 3i\) أو \(z = -3i\). للمعادلة أربعة حلول.

طريقة

| شكل المعادلة | الطريقة | | :----------- | :------ | | درجة ثانية بمعاملات حقيقية | المميّز \(\Delta\)؛ إذا \(\Delta < 0\) نكتب \(\Delta = \left(i\sqrt{-\Delta}\right)^2\) | | درجة ثالثة \(P(z) = 0\) | جذر ظاهر \(\alpha\) (غالباً يُعطى أو يُطلب إثباته)، ثم \(P(z) = (z - \alpha)\,Q(z)\) | | \(az^4 + bz^2 + c = 0\) | نضع \(Z = z^2\) ثم نحلّ \(z^2 = Z\) لكل حلّ |

> في الامتحان، إذا طُلب «إثبات أنّ المعادلة تقبل حلاً تخيلياً صرفاً» نضع \(z = iy\) مع \(y\) حقيقي، ثم نفصل الجزء الحقيقي والجزء التخيلي ونجعل كلاً منهما معدوماً.

17. الشكل الأسي ودستور موافر: تطبيقات محلولة

مثال محلول 1: الانتقال إلى الشكل الأسي

ليكن \(z = 1 + i\sqrt{3}\) و \(w = 1 - i\).

\[ \lvert z \rvert = \sqrt{1 + 3} = 2 \]

\(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) و \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)، فـ \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\):

\[ z = 2\,e^{i\frac{\pi}{3}} \]

و \(\lvert w \rvert = \sqrt{2}\)، \(\cos\theta' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) و \(\sin\theta' = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ w = \sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}} \]

> تنبيه: لا نكتفي بـ \(\tan\theta\)، فهي لا تميّز بين \(\theta\) و \(\theta + \pi\). نحدّد الربع بإشارتَي \(\cos\theta\) و \(\sin\theta\).

مثال محلول 2: استنتاج قيم مثلثية

\[ z \times w = 2\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)} = 2\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}} \]

ومن جهة أخرى بالشكل الجبري:

\[ z \times w = (1 + \sqrt{3}) + i(\sqrt{3} - 1) \]

بمطابقة الجزأين الحقيقيين والتخيليين:

\[ \cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

\[ \sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

مثال محلول 3: قوى عدد مركب بدستور موافر

\[ z^6 = 2^6\,e^{i\frac{6\pi}{3}} = 64\,e^{2i\pi} = 64 \]

متى يكون \(z^n\) حقيقياً؟ عمدة \(z^n\) هي \(\dfrac{n\pi}{3}\). يكون \(z^n\) حقيقياً إذا وفقط إذا \(\dfrac{n\pi}{3} = k\pi\) مع \(k \in \mathbb{Z}\)، أي \(n\) مضاعف للعدد \(3\). ويكون حقيقياً موجباً إذا كان \(n\) مضاعفاً للعدد \(6\).

متى يكون تخيلياً صرفاً؟ يجب \(\dfrac{n\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\)، أي \(2n = 3 + 6k\): الطرف الأيسر زوجي والأيمن فردي، فلا يوجد أيّ \(n\).

مثال محلول 4: دساتير مثلثية من دستور موافر

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos 2\theta + i\sin 2\theta \]

وبنشر الطرف الأيسر: \(\cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta\). بالمطابقة نجد \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\) و \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\).

وبالطريقة نفسها مع الأسّ \(3\) يعطي الجزء الحقيقي:

\[ \cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta \]

\[ \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \]

فخّ شائع

الكتابة \(-2\,e^{i\frac{\pi}{3}}\) ليست شكلاً أسياً لأنّ المعامل سالب. بما أنّ \(-1 = e^{i\pi}\):

\[ -2\,e^{i\frac{\pi}{3}} = 2\,e^{i\frac{4\pi}{3}} \]

فطويلته \(2\) وعمدته \(\dfrac{4\pi}{3}\) (أو \(-\dfrac{2\pi}{3}\)).

18. التفسير الهندسي: الدائرة ونصف المستقيم \(z = z_0 + k\,e^{i\theta}\) والعدد \((z_A - z_B)/(z_C - z_D)\)

المجموعة \(z = z_0 + k\,e^{i\theta}\)

لتكن \(\Omega\) النقطة ذات اللاحقة \(z_0\) و \(M\) النقطة ذات اللاحقة \(z\). العدد \(z - z_0\) هو لاحقة الشعاع \(\overrightarrow{\Omega M}\)، فإذا كان \(z - z_0 = k\,e^{i\theta}\) مع \(k > 0\):

\[ \Omega M = k \]

\[ \left(\vec{u} ; \overrightarrow{\Omega M}\right) = \theta \]

ومنه ثلاث حالات حسب ما يتغيّر:

| ما يتغيّر | مجموعة النقط \(M\) | | :-------- | :----------------- | | \(\theta\) يمسح \(\mathbb{R}\) و \(k > 0\) ثابت | الدائرة التي مركزها \(\Omega\) ونصف قطرها \(k\) | | \(k\) يمسح \(]0 ; +\infty[\) و \(\theta\) ثابت | نصف المستقيم الذي مبدؤه \(\Omega\) (محروماً من \(\Omega\)) وتوجيهه \(e^{i\theta}\) | | \(k\) يمسح \(\mathbb{R}\) و \(\theta\) ثابت | المستقيم المارّ بـ \(\Omega\) وشعاع توجيهه لاحقته \(e^{i\theta}\) |

أمثلة محلولة

1) \(z = 1 - i + 2\,e^{i\theta}\) مع \(\theta \in \mathbb{R}\): لدينا \(\lvert z - (1 - i) \rvert = 2\lvert e^{i\theta} \rvert = 2\)، فالمجموعة هي الدائرة التي مركزها \(\Omega(1 ; -1)\) ونصف قطرها \(2\).

2) \(z = 2 + k\,e^{i\frac{\pi}{4}}\) مع \(k > 0\): بوضع \(z = x + iy\):

\[ x = 2 + k\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ y = k\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

فـ \(y = x - 2\) مع \(x > 2\): نصف المستقيم المفتوح الذي مبدؤه \(A(2 ; 0)\) ويصنع زاوية \(\dfrac{\pi}{4}\) مع \(\vec{u}\). وهي أيضاً مجموعة النقط التي تحقّق \(\arg(z - 2) = \dfrac{\pi}{4}\).

تفسير \(z_A - z_B\) والحاصل \(\dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_D}\)

العدد \(z_A - z_B\) هو لاحقة الشعاع \(\overrightarrow{BA}\)، ومنه \(\lvert z_A - z_B \rvert = AB\) و \(\arg(z_A - z_B) = \left(\vec{u} ; \overrightarrow{BA}\right)\).

إذا كان \(A \ne B\) و \(C \ne D\) ووضعنا \(Z = \dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_D}\) فإنّ:

\[ \lvert Z \rvert = \dfrac{AB}{CD} \]

\[ \arg(Z) = \left(\overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{AB}\right) \]

نتائج: \(Z\) حقيقي غير معدوم يكافئ \((AB) \parallel (CD)\)، و \(Z\) تخيلي صرف غير معدوم يكافئ \((AB) \perp (CD)\).

مثال محلول 3

\(A(1 + i)\) و \(B(3 + 2i)\) و \(C(-1 + 2i)\) و \(D(0)\). نحسب:

\[ Z = \dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_D} = \dfrac{-2 - i}{-1 + 2i} \]

نضرب في مرافق المقام \(-1 - 2i\):

\[ (-2 - i)(-1 - 2i) = 2 + 4i + i - 2 = 5i \]

\[ (-1 + 2i)(-1 - 2i) = 1 + 4 = 5 \]

فـ \(Z = i\): \(\lvert Z \rvert = 1\) أي \(AB = CD\)، و \(\arg(Z) = \dfrac{\pi}{2}\) أي \((AB) \perp (CD)\). تحقّق: \(\overrightarrow{AB}(2 ; 1)\) و \(\overrightarrow{DC}(-1 ; 2)\)، طولاهما \(\sqrt{5}\) وجداؤهما السلمي \(-2 + 2 = 0\).

19. مجموعات النقط في المستوي المركب

لتكن \(A(z_A)\) و \(B(z_B)\) نقطتين ثابتتين و \(M(z)\) نقطة متغيّرة.

15.1 \(|z - z_A| = R\)

الدائرة التي مركزها \(A\) ونصف قطرها \(R\)؛ وإذا كان \(R = 0\) تُختزل إلى النقطة \(A\) وحدها.

15.2 \(|z - z_A| = |z - z_B|\)

محور القطعة \([AB]\)، أي المستقيم العمودي على \([AB]\) في منتصفها.

15.3 \(|z - z_A| = k\,|z - z_B|\) مع \(k > 0\)

• إذا \(k = 1\): محور القطعة \([AB]\) (الحالة السابقة).
• إذا \(k \ne 1\): **دائرة أبولونيوس**، وهي الدائرة التي قطرها \([PQ]\) حيث \(P\) و \(Q\) هما النقطتان اللتان تقسمان \([AB]\) داخلياً وخارجياً بالنسبة \(k\):

\[ z_P = \dfrac{z_A + k\,z_B}{1 + k} \]

\[ z_Q = \dfrac{z_A - k\,z_B}{1 - k} \]

15.4 \(\left(z - z_A\right)\left(\overline{z} - \overline{z_A}\right) = R^2\)

تكافئ \(|z - z_A|^2 = R^2\)، أي الدائرة التي مركزها \(A\) ونصف قطرها \(R\).

15.5 \(\arg\!\left(\dfrac{z - z_A}{z - z_B}\right) = \theta\)

| قيمة \(\theta\) | المجموعة | | :-------------- | :------- | | \(0 \ [2\pi]\) | المستقيم \((AB)\) محروماً من القطعة \([AB]\) | | \(\pi \ [2\pi]\) | القطعة \(]AB[\) | | \(0 \ [\pi]\) | المستقيم \((AB)\) محروماً من \(A\) و \(B\) | | \(\dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\) | الدائرة ذات القطر \([AB]\) محرومة من \(A\) و \(B\) |

15.6 مجموعات أخرى شائعة

• \(\operatorname{Re}(z) = a\): مستقيم يوازي محور التراتيب.
• \(\operatorname{Im}(z) = b\): مستقيم يوازي محور الفواصل.
• \(\dfrac{z - z_A}{z - z_B} \in \mathbb{R}^{*}\): المستقيم \((AB)\) محروماً من \(A\) و \(B\).

---

20. التحويلات النقطية في المستوي المركب

التحويل النقطي \(f\) يربط كل نقطة \(M(z)\) بنقطة \(M'(z')\) وفق العبارة:

\[ z' = a\,z + b \]

\[ a, b \in \mathbb{C} \ , \ a \ne 0 \]

16.1 أنواع التحويلات

| الشرط على \(a\) | التحويل | العناصر المميّزة | | :-------------- | :------ | :--------------- | | \(a = 1\) | انسحاب | شعاعه \(\vec{v}\) لاحقته \(b\) | | \(a \in \mathbb{R}^{*} \setminus \{1\}\) | تحاكٍ | نسبته \(k = a\) ومركزه \(\Omega\) | | \(\lvert a\rvert = 1\) و \(a \ne 1\) | دوران | زاويته \(\theta = \arg(a)\) ومركزه \(\Omega\) | | \(\lvert a\rvert \ne 1\) و \(a \notin \mathbb{R}\) | تشابه مباشر | نسبته \(\lvert a\rvert \)، زاويته \(\arg(a)\)، مركزه \(\Omega\) |

ولاحقة المركز \(\Omega\) في كل الحالات عدا الانسحاب:

\[ z_\Omega = \dfrac{b}{1 - a} \]

16.2 الكتابة المركّبة المختصرة

| التحويل | الكتابة المركّبة | | :------ | :--------------- | | تحاكٍ | \(z' - z_\Omega = k\,(z - z_\Omega)\) | | دوران | \(z' - z_\Omega = e^{\,i\theta}\,(z - z_\Omega)\) | | تشابه مباشر | \(z' - z_\Omega = k\,e^{\,i\theta}\,(z - z_\Omega)\) |

16.3 تعيين تحويل من صورتين

إذا كان \(f\) يحوّل \(A\) إلى \(B\) و \(C\) إلى \(D\):

\[ \begin{cases} z_B = a\,z_A + b \\ z_D = a\,z_C + b \end{cases} \ \Longrightarrow \ a = \dfrac{z_B - z_D}{z_A - z_C} \]

ثم نعوّض في إحدى المعادلتين لإيجاد \(b\)، ومنه نحدّد طبيعة التحويل ومركزه.

---

21. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

• كتابة \(\sqrt{-1} = i\): الرمز \(\sqrt{\ }\) معرّف للأعداد الحقيقية الموجبة فقط.
• استعمال ترتيب في \(\mathbb{C}\): لا معنى لـ \(z_1 < z_2\) بين عددين مركبين.
• نسيان شرط \(z \ne 0\) عند الحديث عن العمدة.
• الخلط بين \(|z|^2\) و \(z^2\)؛ الصحيح أن \(|z|^2 = z\,\overline{z}\).
• تطبيق \(z_2 = \overline{z_1}\) على معادلة من الدرجة الثانية **بمعاملات مركّبة** — الخاصية للمعاملات الحقيقية فقط.
• إهمال \(2k\pi\) عند كتابة العمدة، فتضيع حلول في المعادلات المثلثية.