الدالتان الأسية واللوغاريتمية

3. الدالتان \(e^{u}\) و \(e^{kx}\)

3.1 اشتقاق \(e^{u}\)

إذا كانت \(u\) قابلة للاشتقاق على مجال \(I\) فإنّ:

\[ \left(e^{u}\right)' = u' \, e^{u} \]

وبما أنّ \(e^{u} > 0\) فإنّ إشارة \(\left(e^{u}\right)'\) هي إشارة \(u'\)، أي أنّ \(e^{u}\) لها نفس اتجاه تغيّر \(u\).

3.2 نهاية \(e^{u}\)

| \(\lim u(x)\) | \(\lim e^{u(x)}\) | | :------------- | :----------------- | | \(+\infty\) | \(+\infty\) | | \(-\infty\) | \(0\) | | \(\ell\) منتهٍ | \(e^{\ell}\) |

3.3 الدالة \(x \mapsto e^{kx}\)

من أجل \(k\) عدداً حقيقياً غير معدوم:

\[ \left(e^{kx}\right)' = k \, e^{kx} \]

| إشارة \(k\) | اتجاه التغيّر | \(\lim\limits_{x \to +\infty}\) | \(\lim\limits_{x \to -\infty}\) | | :----------- | :------------- | :--- | :--- | | \(k > 0\) | متزايدة تماماً | \(+\infty\) | \(0\) | | \(k < 0\) | متناقصة تماماً | \(0\) | \(+\infty\) |

> هذه الدالة أساس النمو والتناقص الأسّي في الفيزياء والكيمياء وعلوم الطبيعة.

---

4. المعادلات والمتراجحات الأسية

4.1 القواعد

| المعادلة أو المتراجحة | تكافئ | | :--------------------- | :---- | | \(e^{A} = e^{B}\) | \(A = B\) | | \(e^{A} < e^{B}\) | \(A < B\) | | \(e^{A} = k\) مع \(k > 0\) | \(A = \ln k\) | | \(e^{A} = k\) مع \(k \le 0\) | لا حلّ |

4.2 المعادلات التي تُردّ إلى الدرجة الثانية

نضع \(X = e^{x}\) بشرط \(X > 0\).

مثال محلول: حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة:

\[ e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0 \]

نضع \(X = e^{x}\) مع \(X > 0\)، فتصبح:

\[ X^{2} - 3X + 2 = 0 \]

\[ \Delta = 9 - 8 = 1 \]

ومنه \(X_1 = 1\) و \(X_2 = 2\)، وكلاهما موجب. إذن \(e^{x} = 1\) أو \(e^{x} = 2\)، ومنه مجموعة الحلول:

\[ S = \left\{0 \ ; \ \ln 2\right\} \]

> تنبيه: لا تنسَ إهمال الحلول السالبة أو المعدومة لـ \(X\)، لأنّ \(e^{x} > 0\) دائماً.

---

5. الدالة اللوغاريتمية النيبيرية: تعريف وخواصّ

5.1 التعريف

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية \(\ln\) هي الدالة العكسية للدالة الأسية، معرّفة على \(\left]0 ; +\infty\right[\):

\[ y = \ln x \iff x = e^{y} \]

مع \(x > 0\) و \(y \in \mathbb{R}\).

ومنه العلاقتان الأساسيتان:

\[ \ln\left(e^{x}\right) = x \quad \left(x \in \mathbb{R}\right) \]

\[ e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \]

5.2 الخواصّ الجبرية

من أجل \(a > 0\) و \(b > 0\) و \(n \in \mathbb{Z}\):

\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b \]

\[ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \]

\[ \ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln b \]

\[ \ln\left(a^{n}\right) = n \ln a \]

\[ \ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a \]

\[ \ln 1 = 0 \]

\[ \ln e = 1 \]

5.3 خواصّ أساسية

• \(\ln a = \ln b \iff a = b\) (مع \(a > 0\) و \(b > 0\))
• \(\ln a < \ln b \iff a < b\)
• \(\ln x > 0 \iff x > 1\)
• \(\ln x < 0 \iff 0 < x < 1\)

> تنبيه: \(\ln(a + b) \ne \ln a + \ln b\). اللوغاريتم يحوّل الجداء إلى مجموع، لا المجموع.

---

6. دراسة الدالة \(\ln\) وتمثيلها

6.1 النهايات

\[ \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \]

\[ \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \]

ومنه المستقيم \(x = 0\) (محور التراتيب) مقارب شاقولي للمنحنى.

6.2 الاشتقاق واتجاه التغيّر

\[ \left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x} > 0 \quad (x > 0) \]

فالدالة \(\ln\) متزايدة تماماً على \(\left]0 ; +\infty\right[\).

| \(x\) | \(0\) | | \(+\infty\) | | :---- | :---- | :--- | :---------- | | \(f'(x)\) | \(\parallel\) | \(+\) | | | \(f(x)\) | \(-\infty\) | متزايدة | \(+\infty\) |

6.3 المماس والتقريب الخطي

معادلة المماس عند \(x_0 = 1\):

\[ y = x - 1 \]

ومنه المتراجحة:

\[ \ln x \le x - 1 \quad (x > 0) \]

فالمنحنى يقع دائماً تحت هذا المماس.

6.4 التناظر مع الدالة الأسية

منحنيا \(\ln\) و \(\exp\) متناظران بالنسبة إلى المستقيم \(y = x\) في معلم متعامد ومتجانس، لأنّ كلاّ منهما الدالة العكسية للأخرى.

6.5 نقاط مرجعية

| \(x\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(e\) | | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | | \(\ln x\) | \(\approx -0{,}69\) | \(0\) | \(\approx 0{,}69\) | \(1\) |

---

7. الدالة \(\ln u\) واللوغاريتم العشري

7.1 مجال التعريف

الدالة \(x \mapsto \ln\left(u(x)\right)\) معرّفة إذا وفقط إذا:

\[ u(x) > 0 \]

> تحديد مجال التعريف هو الخطوة الأولى دائماً في دراسة دالة لوغاريتمية، وإهماله من أكثر أسباب الخطأ.

7.2 الاشتقاق

\[ \left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u} \]

وبما أنّ \(u > 0\) على مجال التعريف فإنّ إشارة المشتقّة هي إشارة \(u'\).

7.3 النهايات

| \(\lim u(x)\) | \(\lim \ln\left(u(x)\right)\) | | :------------- | :---------------------------- | | \(+\infty\) | \(+\infty\) | | \(0^{+}\) | \(-\infty\) | | \(\ell > 0\) | \(\ln \ell\) |

7.4 اللوغاريتم العشري

\[ \log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10} \quad (x > 0) \]

وله نفس خواصّ \(\ln\)، مع:

\[ \log 10 = 1 \]

\[ \log\left(10^{n}\right) = n \]

ويُستعمل في الكيمياء لحساب \(pH\) وفي قياس شدّة الصوت.

---

8. المعادلات والمتراجحات اللوغاريتمية

8.1 القواعد

| المعادلة أو المتراجحة | تكافئ | الشرط | | :--------------------- | :---- | :---- | | \(\ln A = \ln B\) | \(A = B\) | \(A > 0\) و \(B > 0\) | | \(\ln A 0\) و \(B > 0\) | | \(\ln A = k\) | \(A = e^{k}\) | \(A > 0\) | | \(\ln A 0\) |

> قاعدة ثابتة: كل معادلة لوغاريتمية تبدأ بتحديد شروط الوجود، وتنتهي بالتحقّق من انتماء الحلول إليها.

8.2 مثال محلول

حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة:

\[ \ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 3 \]

شروط الوجود: \(x - 1 > 0\) و \(x + 1 > 0\)، أي \(x > 1\).

بتحويل المجموع إلى جداء:

\[ \ln\left[(x-1)(x+1)\right] = \ln 3 \]

\[ x^{2} - 1 = 3 \]

\[ x^{2} = 4 \]

ومنه \(x = 2\) أو \(x = -2\). والقيمة \(-2\) مرفوضة لأنّها لا تحقّق \(x > 1\)، إذن:

\[ S = \left\{2\right\} \]

---

9. القوى والجذور النونية والدوال الأسية ذات الأساس \(a\)

9.1 القوّة ذات الأسّ الحقيقي

من أجل \(a > 0\) و \(b\) عدداً حقيقياً:

\[ a^{b} = e^{\,b \ln a} \]

وتُحفظ الخواصّ الجبرية للقوى نفسها.

9.2 الجذر النوني

من أجل \(a \ge 0\) و \(n \in \mathbb{N}^{*}\):

\[ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n}\ln a} \quad (a > 0) \]

\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^{n} = a \]

\[ \ln\left(\sqrt[n]{a}\right) = \dfrac{1}{n}\ln a \]

9.3 الدالة \(x \mapsto a^{x}\)

من أجل \(a > 0\) و \(a \ne 1\):

\[ \left(a^{x}\right)' = a^{x} \ln a \]

| الحالة | اتجاه التغيّر | | :----- | :------------- | | \(a > 1\) | متزايدة تماماً | | \(0 < a < 1\) | متناقصة تماماً |

9.4 دالة القوّة \(x \mapsto x^{\alpha}\)

من أجل \(x > 0\) و \(\alpha\) عدداً حقيقياً:

\[ x^{\alpha} = e^{\,\alpha \ln x} \]

\[ \left(x^{\alpha}\right)' = \alpha \, x^{\,\alpha - 1} \]

---

10. التزايد المقارن

هذه النهايات تُحفظ، وهي مفتاح رفع حالات عدم التعيين في المسألة الكبرى:

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x} = +\infty \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^{n}} = +\infty \]

\[ \lim_{x \to -\infty} x \, e^{x} = 0 \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{n}} = 0 \]

\[ \lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0 \]

نهايتان تُستنتجان من تعريف العدد المشتقّ:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = 1 \]

\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1} = 1 \]

> القاعدة التي تلخّصها كلّها: الدالة الأسّية تغلب كثير الحدود، وكثير الحدود يغلب اللوغاريتم. فعند \(+\infty\) يفوز \(e^{x}\) على \(x^{n}\)، ويفوز \(x^{n}\) على \(\ln x\).

---

11. المعادلات التفاضلية

11.1 المعادلة \(y' = ay\)

حلولها على \(\mathbb{R}\) هي الدوال:

\[ y(x) = k \, e^{ax} \]

حيث \(k\) ثابت حقيقي.

11.2 المعادلة \(y' = ay + b\)

مع \(a \ne 0\)، حلولها هي:

\[ y(x) = k \, e^{ax} - \dfrac{b}{a} \]

حيث \(k\) ثابت حقيقي. والدالة الثابتة \(y = -\dfrac{b}{a}\) هي الحلّ الخاصّ.

11.3 الحلّ المحقّق لشرط ابتدائي

يُعيَّن الثابت \(k\) بتعويض الشرط المعطى، مثل \(y(0) = y_0\).

مثال محلول: حلّ المعادلة \(y' = 2y + 6\) ثم عيّن الحلّ الذي يحقّق \(y(0) = 1\).

الحلّ العام:

\[ y(x) = k \, e^{2x} - 3 \]

وبتعويض \(x = 0\):

\[ k - 3 = 1 \]

ومنه \(k = 4\)، فالحلّ المطلوب هو:

\[ y(x) = 4 e^{2x} - 3 \]

---

12. الدالة الأسية حلاً للمعادلة \(y' = y\): طريقة أولر والخواص، وتطبيقات \(y' = ay + b\)

المسألة

نبحث عن دالة \(f\) قابلة للاشتقاق على \(\mathbb{R}\) تحقّق:

\[ f' = f \]

\[ f(0) = 1 \]

حلّ تقريبي بطريقة أولر

من أجل خطوة صغيرة \(h\): \(f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x)\)، وبما أنّ \(f' = f\):

\[ f(x + h) \approx (1 + h)\,f(x) \]

وانطلاقاً من \(f(0) = 1\) نجد \(f(h) \approx 1 + h\)، ثم \(f(2h) \approx (1 + h)^{2}\)، وعموماً:

\[ f(nh) \approx (1 + h)^{n} \]

في مجدول: العمود A للقيم \(x\) (A2 فيها \(0\) و A3 فيها `=A2+0.1`)، والعمود B للقيم \(y\) (B2 فيها \(1\) و B3 فيها `=B2*1.1`). مع \(h = 0{,}1\):

| \(x\) | تقريب أولر | القيمة الحقيقية \(e^{x}\) | | :---- | :--------- | :------------------------ | | \(0\) | \(1\) | \(1\) | | \(0{,}2\) | \(1{,}21\) | \(1{,}2214\) | | \(0{,}4\) | \(1{,}4641\) | \(1{,}4918\) | | \(0{,}6\) | \(1{,}7716\) | \(1{,}8221\) | | \(0{,}8\) | \(2{,}1436\) | \(2{,}2255\) | | \(1\) | \(2{,}5937\) | \(2{,}7183\) |

وكلّما صغرت \(h\) تحسّن التقريب: \(1{,}01^{100} \approx 2{,}7048\) و \(1{,}001^{1000} \approx 2{,}7169\)، وهي تقترب من العدد \(e \approx 2{,}71828\).

نقبل الوجود ونبرهن الخواص

نقبل وجود هذه الدالة ونسمّيها \(\exp\). ثم نبرهن:

1) \(\exp(x) \times \exp(-x) = 1\): نضع \(\varphi(x) = \exp(x)\exp(-x)\):

\[ \varphi'(x) = \exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) = 0 \]

فـ \(\varphi\) ثابتة وتساوي \(\varphi(0) = 1\). ومنه \(\exp\) لا تنعدم أبداً.

2) الوحدانية: إذا كانت \(g' = g\) و \(g(0) = 1\) فإنّ مشتقّة \(g(x)\exp(-x)\) معدومة، فهي ثابتة تساوي \(1\)، ومنه \(g = \exp\).

3) \(\exp(x) > 0\): \(\exp\) مستمرة، لا تنعدم، و \(\exp(0) = 1 > 0\). لو أخذت قيمة سالبة لانعدمت بين النقطتين (مبرهنة القيم المتوسطة)، وهذا مستحيل.

4) \(\exp(a + b) = \exp(a)\exp(b)\): الدالة \(x \mapsto \dfrac{\exp(x + b)}{\exp(b)}\) تساوي مشتقّتها وقيمتها عند \(0\) هي \(1\)، فهي \(\exp\) حسب الوحدانية.

ومن هذه الخاصية جاء الترميز \(\exp(x) = e^{x}\) مع \(e = \exp(1)\).

من \(y' = y\) إلى \(y' = ay + b\)

إذا كانت \(y\) حلاً لـ \(y' = ay + b\) مع \(a \ne 0\)، فإنّ \(z = y + \dfrac{b}{a}\) تحقّق \(z' = y' = az\)، ومنه \(z = k\,e^{ax}\) و:

\[ y(x) = k\,e^{ax} - \dfrac{b}{a} \]

تطبيق (قانون نيوتن للتبريد): كوب شاي درجة حرارته \(90\) درجة في غرفة حرارتها \(20\) درجة، ودرجة حرارته \(\theta(t)\) بعد \(t\) دقيقة تحقّق:

\[ \theta' = -0{,}1\left(\theta - 20\right) \]

أي \(\theta' = -0{,}1\,\theta + 2\)، فالحلول \(\theta(t) = k\,e^{-0{,}1t} + 20\). ومن \(\theta(0) = 90\) يكون \(k = 70\):

\[ \theta(t) = 70\,e^{-0{,}1t} + 20 \]

بعد \(10\) دقائق: \(\theta(10) = 70\,e^{-1} + 20 \approx 45{,}75\). وتنزل الحرارة إلى \(30\) درجة لمّا \(70\,e^{-0{,}1t} = 10\)، أي \(t = 10\ln 7 \approx 19{,}5\) دقيقة. و \(\lim\limits_{t \to +\infty} \theta(t) = 20\): يأخذ الشاي حرارة الغرفة.

13. اللوغاريتم العشري وتطبيقاته

تذكير: من أين يأتي \(\ln a\)؟

الدالة \(\exp\) مستمرة ومتزايدة تماماً على \(\mathbb{R}\)، ونهايتاها \(0\) و \(+\infty\). إذن من أجل كل \(a > 0\) المعادلة \(e^{x} = a\) تقبل حلاً وحيداً (مبرهنة القيم المتوسطة) هو \(\ln a\).

التعريف والخواص

اللوغاريتم العشري هو الدالة المعرّفة على \(\left]0 ; +\infty\right[\) بـ:

\[ \log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10} \]

مع \(\ln 10 \approx 2{,}303\). وهو يرث كلّ خواص \(\ln\) لأنّه مضروب في ثابت موجب:

\[ \log(ab) = \log a + \log b \]

\[ \log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - \log b \]

\[ \log\left(a^{n}\right) = n\log a \]

\[ \log 1 = 0 \]

\[ \log\left(10^{n}\right) = n \]

وهو متزايد تماماً، و \(\log x > 0\) إذا وفقط إذا \(x > 1\)، ومشتقّته:

\[ \left(\log x\right)' = \dfrac{1}{x\ln 10} \]

الخاصية الأساسية: من أجل \(a > 0\):

\[ 10^{x} = a \iff x = \log a \]

مثال: \(10^{x} = 50\) ومنه \(x = \log 50 = \log 10 + \log 5 \approx 1 + 0{,}699 = 1{,}699\).

تطبيق 1: عدد أرقام عدد كبير

عدد طبيعي \(N\) يُكتب بـ \(n\) رقماً إذا وفقط إذا \(10^{n-1} \le N < 10^{n}\)، أي \(n - 1 \le \log N < n\).

مثال: \(\log\left(2^{100}\right) = 100\log 2 \approx 30{,}103\)، ومنه \(2^{100}\) يُكتب بـ \(31\) رقماً.

تطبيق 2: الكيمياء (\(pH\))

\[ pH = -\log\left[H_3O^{+}\right] \]

• إذا كان \(\left[H_3O^{+}\right] = 10^{-3}\) مول/ل فإنّ \(pH = 3\).
• إذا كان \(\left[H_3O^{+}\right] = 2{,}5 \times 10^{-4}\) مول/ل فإنّ:

\[ pH = 4 - \log 2{,}5 \approx 3{,}6 \]

• تمديد محلول حمضي 10 مرّات يقسم التركيز على \(10\) **فيزيد** \(pH\) بـ \(1\).

تطبيق 3: شدّة الصوت

مستوى الشدّة الصوتية بالديسيبل \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\). مضاعفة الشدّة \(I\) تزيد المستوى بـ \(10\log 2 \approx 3\) ديسيبل.

تطبيق 4: متراجحة بأس مجهول

عيّن أصغر عدد طبيعي \(n\) يحقّق \(0{,}9^{n} < 0{,}01\). بتطبيق \(\log\) المتزايدة تماماً:

\[ n\log 0{,}9 < -2 \]

وبما أنّ \(\log 0{,}9 < 0\) ينقلب اتجاه المتباينة عند القسمة:

\[ n > \dfrac{-2}{\log 0{,}9} \approx 43{,}7 \]

إذن \(n = 44\).

14. الدوال \(x \mapsto a^{x}\) و \(x \mapsto x^{\alpha}\) والجذور النونية: دراسة وتوظيف

القاعدة الأساسية

من أجل \(a > 0\) و \(b\) عدد حقيقي نقبل:

\[ a^{b} = e^{\,b\ln a} \]

وكلّ دراسة لهذه الدوال تبدأ بإعادة الكتابة على هذا الشكل.

الدالة \(x \mapsto a^{x}\) (مع \(a > 0\) و \(a \ne 1\))

معرّفة على \(\mathbb{R}\)، موجبة تماماً، و:

\[ \left(a^{x}\right)' = \ln a \times a^{x} \]

| | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) | | :-- | :-------- | :------------ | | إشارة \(\ln a\) | \(+\) | \(-\) | | اتجاه التغيّر | متزايدة تماماً | متناقصة تماماً | | النهاية عند \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(0\) | | النهاية عند \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |

والخواص: \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\) و \(\left(a^{x}\right)^{y} = a^{xy}\) و \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{x}}\).

مثال 1: حلّ \(2^{x} = 5\): \(x\ln 2 = \ln 5\) ومنه \(x = \dfrac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32\).

مثال 2: حلّ \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} > \dfrac{1}{8}\): لدينا \(\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\) والدالة متناقصة تماماً، فينقلب الاتجاه: \(x < 3\).

مثال 3 (نموّ سكّاني): سكّان مدينة يزدادون بـ \(3\%\) سنوياً: \(P(t) = P_0 \times 1{,}03^{t}\). يتضاعف العدد لمّا \(1{,}03^{t} = 2\)، أي:

\[ t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4 \]

أي بعد حوالي \(23\) سنة ونصف.

دالة القوّة \(x \mapsto x^{\alpha}\) (مع \(x > 0\))

\[ x^{\alpha} = e^{\,\alpha\ln x} \]

\[ \left(x^{\alpha}\right)' = \alpha\,x^{\alpha - 1} \]

• إذا كان \(\alpha > 0\): متزايدة تماماً، نهايتها \(0\) عند \(0^{+}\) و \(+\infty\) عند \(+\infty\).
• إذا كان \(\alpha < 0\): متناقصة تماماً، نهايتها \(+\infty\) عند \(0^{+}\) و \(0\) عند \(+\infty\).

مثال محلول: \(f(x) = x^{x} = e^{x\ln x}\) على \(\left]0 ; +\infty\right[\).

\[ f'(x) = \left(\ln x + 1\right)x^{x} \]

تنعدم \(f'\) عند \(x = \dfrac{1}{e}\) وتتغيّر إشارتها من \(-\) إلى \(+\)، فـ \(f\) تقبل قيمة حدّية صغرى \(f\left(\dfrac{1}{e}\right) = e^{-\frac{1}{e}} \approx 0{,}69\). وبما أنّ \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} x\ln x = 0\) فإنّ \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} x^{x} = e^{0} = 1\).

الجذر النوني

من أجل \(x \ge 0\) و \(n \ge 2\) عدد طبيعي، \(\sqrt[n]{x}\) هو العدد الموجب الوحيد \(y\) الذي يحقّق \(y^{n} = x\). ومن أجل \(x > 0\):

\[ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \]

أمثلة: \(\sqrt[3]{8} = 2\)، \(4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^{3} = 8\)، \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^{2} = 9\). ولحلّ \(x^{5} = 32\) مع \(x > 0\): \(x = 32^{\frac{1}{5}} = 2\).

الدالة \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) متزايدة تماماً على \(\left[0 ; +\infty\right[\)، وغير قابلة للاشتقاق عند \(0\) (نصف مماس موازٍ لمحور التراتيب).

> تنبيه: الكتابة \(x^{\alpha} = e^{\alpha\ln x}\) لا معنى لها إلاّ من أجل \(x > 0\). فلا نكتب \((-8)^{\frac{1}{3}}\) بهذه الطريقة.

15. دراسة الدالة \(x \mapsto e^{-\lambda x^{2}}\) وتوظيف التزايد المقارن

الدالة \(f(x) = e^{-\lambda x^{2}}\) مع \(\lambda > 0\)

• **مجال التعريف:** \(\mathbb{R}\)، والدالة **زوجية** لأنّ \(f(-x) = f(x)\): منحناها متناظر بالنسبة إلى محور التراتيب.
• **النهايات:** \(-\lambda x^{2} \to -\infty\) لمّا \(x \to \pm\infty\)، ومنه:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} e^{-\lambda x^{2}} = 0 \]

فالمستقيم \(y = 0\) مقارب أفقي عند \(-\infty\) و \(+\infty\).

• **المشتقّة:**

\[ f'(x) = -2\lambda x\,e^{-\lambda x^{2}} \]

إشارتها عكس إشارة \(x\): \(f\) متزايدة على \(\left]-\infty ; 0\right]\) ومتناقصة على \(\left[0 ; +\infty\right[\)، وقيمتها العظمى \(f(0) = 1\). ومنه \(0 < f(x) \le 1\).

• **المشتقّة الثانية:**

\[ f''(x) = 2\lambda\left(2\lambda x^{2} - 1\right)e^{-\lambda x^{2}} \]

تنعدم وتغيّر إشارتها عند \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2\lambda}}\): نقطتا انعطاف ترتيبهما \(e^{-\frac{1}{2}} \approx 0{,}61\).

حالة \(\lambda = \dfrac{1}{2}\): نقطتا الانعطاف عند \(x = -1\) و \(x = 1\). وهذا هو المنحنى الجرسي (منحنى غوص) المستعمل في الإحصاء والاحتمالات. وكلّما كبر \(\lambda\) صار الجرس أضيق.

التزايد المقارن في دراسة دالة: مثال محلول

لتكن \(g(x) = x^{2}e^{-x}\) على \(\mathbb{R}\).

النهايات: عند \(-\infty\) لا عدم تعيين: \(x^{2} \to +\infty\) و \(e^{-x} \to +\infty\)، فالنهاية \(+\infty\). وعند \(+\infty\) عدم تعيين من الشكل \(\infty \times 0\)، نكتب:

\[ g(x) = \dfrac{x^{2}}{e^{x}} \]

وبالتزايد المقارن \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^{2}} = +\infty\)، ومنه \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0\).

المشتقّة:

\[ g'(x) = \left(2x - x^{2}\right)e^{-x} = x(2 - x)\,e^{-x} \]

| المجال | \(\left]-\infty ; 0\right]\) | \(\left[0 ; 2\right]\) | \(\left[2 ; +\infty\right[\) | | :----- | :---------------------------- | :--------------------- | :---------------------------- | | إشارة \(g'(x)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | | تغيّر \(g\) | متناقصة من \(+\infty\) إلى \(0\) | متزايدة من \(0\) إلى \(4e^{-2}\) | متناقصة من \(4e^{-2}\) نحو \(0\) |

إذن \(g\) تقبل قيمة حدّية صغرى \(g(0) = 0\) وقيمة حدّية عظمى محلّية \(g(2) = 4e^{-2} \approx 0{,}54\).

طريقة: نُخرج الحدّ «الأقوى» عاملاً مشتركاً

\[ e^{x} - x^{3} = x^{3}\left(\dfrac{e^{x}}{x^{3}} - 1\right) \]

وبما أنّ \(\dfrac{e^{x}}{x^{3}} \to +\infty\) عند \(+\infty\) فالنهاية \(+\infty\).

مستقيم مقارب مائل لدالة أسّية: \(k(x) = x - 1 + e^{-x}\). لدينا \(k(x) - (x - 1) = e^{-x}\) تؤول إلى \(0\) عند \(+\infty\)، فالمستقيم \(y = x - 1\) مقارب مائل، وبما أنّ \(e^{-x} > 0\) فالمنحنى فوقه.

16. مسائل الاستمثال

ما هي مسألة الاستمثال؟

مسألة نبحث فيها عن أكبر قيمة (حجم، ربح، تركيز) أو أصغر قيمة (تكلفة، محيط، مسافة) لمقدار يتعلّق بمتغيّر.

الطريقة في أربع خطوات

• **نختار المتغيّر** \(x\) ونحدّد **مجاله** من شروط المسألة (أطوال موجبة، زمن موجب…).
• **نعبّر عن المقدار** المطلوب بدلالة \(x\): \(f(x)\).
• **ندرس تغيّرات** \(f\) على المجال (المشتقّة وإشارتها).
• **نستنتج** القيمة الحدّية ونفسّرها في سياق المسألة مع الوحدة.

مثال 1: علبة بلا غطاء

من صفيحة مربّعة طول ضلعها \(12\) سم نقطع عند كلّ ركن مربّعاً طول ضلعه \(x\) ثم نطوي الحواف. ما قيمة \(x\) التي تجعل حجم العلبة أكبر ما يمكن؟

القاعدة مربّع ضلعه \(12 - 2x\) والارتفاع \(x\)، مع \(x \in \left]0 ; 6\right[\):

\[ V(x) = x\left(12 - 2x\right)^{2} \]

\[ V'(x) = \left(12 - 2x\right)^{2} - 4x\left(12 - 2x\right) \]

\[ V'(x) = \left(12 - 2x\right)\left(12 - 6x\right) \]

على \(\left]0 ; 6\right[\) العامل \(12 - 2x\) موجب، فإشارة \(V'\) هي إشارة \(12 - 6x\): موجبة على \(\left]0 ; 2\right[\) وسالبة على \(\left]2 ; 6\right[\). إذن الحجم الأعظم:

\[ V(2) = 2 \times 8^{2} = 128 \]

أي \(128\) سم³، ويُبلغ لمّا \(x = 2\) سم.

مثال 2: أصغر محيط

مستطيل مساحته \(100\) م². طوله \(x > 0\) وعرضه \(\dfrac{100}{x}\)، ومحيطه:

\[ P(x) = 2\left(x + \dfrac{100}{x}\right) \]

\[ P'(x) = \dfrac{2\left(x^{2} - 100\right)}{x^{2}} \]

إشارة \(P'\) إشارة \(x - 10\) على \(\left]0 ; +\infty\right[\): المحيط أصغر ما يمكن لمّا \(x = 10\)، أي المستطيل مربّع محيطه \(40\) م.

مثال 3: تركيز دواء في الدم

تركيز دواء (ملغ/ل) بعد \(t\) ساعة: \(C(t) = 5t\,e^{-0{,}5t}\) مع \(t \ge 0\).

\[ C'(t) = 5e^{-0{,}5t}\left(1 - 0{,}5t\right) \]

إشارة \(C'\) إشارة \(1 - 0{,}5t\): يبلغ التركيز أقصاه بعد ساعتين:

\[ C(2) = 10\,e^{-1} \approx 3{,}68 \]

> للامتحان: لا تنسَ التحقّق من أنّ القيمة المحصّلة تنتمي إلى مجال المتغيّر، وأنّ المشتقّة تغيّر إشارتها عندها.

17. منهجية دراسة دالة أسّية أو لوغاريتمية

• **مجال التعريف:** لدالة لوغاريتمية نحلّ \(u(x) > 0\)؛ ولدالة أسّية غالباً \(D_f = \mathbb{R}\).
• **النهايات** على أطراف المجال، مع استعمال **التزايد المقارن** لرفع عدم التعيين.
• **المقاربات:** شاقولية عند حدود المجال المنتهية، وأفقية أو مائلة عند اللانهاية.
• **المشتقّة:** \(\left(e^{u}\right)' = u' e^{u}\) و \(\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}\)، وإشارتها هي إشارة \(u'\) في الحالتين.
• **جدول التغيّرات** مع القيم الحدّية.
• **نقاط التقاطع** مع المحورين، والمماسات المميّزة.
• **الرسم**، مع الاستعانة بنقاط مرجعية.

> الاختصار الذي يوفّر الوقت: لأنّ \(e^{u} > 0\) ولأنّ \(u > 0\) على مجال تعريف \(\ln u\)، فإنّ دراسة إشارة المشتقّة تُختزل دائماً إلى دراسة إشارة \(u'\).

---

18. تمارين نموذجية محلولة

13.1 دراسة دالة أسّية

لتكن \(f\) المعرّفة على \(\mathbb{R}\) بـ:

\[ f(x) = (x - 1)e^{x} \]

1) النهايات:

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]

وعند \(-\infty\) نكتب \(f(x) = x e^{x} - e^{x}\)، وبالتزايد المقارن:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \]

إذن المستقيم \(y = 0\) مقارب أفقي عند \(-\infty\).

2) الاشتقاق:

\[ f'(x) = e^{x} + (x-1)e^{x} = x \, e^{x} \]

وبما أنّ \(e^{x} > 0\) فإنّ إشارة \(f'\) هي إشارة \(x\).

| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | | :---- | :---------- | :---- | :---------- | | \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | | \(f(x)\) | متناقصة | \(-1\) | متزايدة |

فالدالة تقبل قيمة حدّية صغرى \(f(0) = -1\).

13.2 دراسة دالة لوغاريتمية

لتكن \(g(x) = \ln\left(x^{2} - 4\right)\).

1) مجال التعريف:

\[ x^{2} - 4 > 0 \]

ومنه \(D_g = \left]-\infty ; -2\right[ \cup \left]2 ; +\infty\right[\).

2) الاشتقاق:

\[ g'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} - 4} \]

على \(D_g\) يكون المقام موجباً، فإشارة \(g'\) هي إشارة \(x\): متناقصة على \(\left]-\infty ; -2\right[\) ومتزايدة على \(\left]2 ; +\infty\right[\).

3) النهايات:

\[ \lim_{x \to 2^{+}} g(x) = -\infty \]

\[ \lim_{x \to -2^{-}} g(x) = -\infty \]

\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]

فالمستقيمان \(x = 2\) و \(x = -2\) مقاربان شاقوليان.

13.3 حلّ متراجحة

حلّ في \(\mathbb{R}\):

\[ e^{2x} - e^{x} - 6 \le 0 \]

نضع \(X = e^{x}\) مع \(X > 0\):

\[ X^{2} - X - 6 \le 0 \]

جذرا الثلاثي هما \(-2\) و \(3\)، والثلاثي سالب بينهما، أي \(-2 \le X \le 3\). وبضمّ الشرط \(X > 0\) يبقى \(0 < X \le 3\)، أي:

\[ e^{x} \le 3 \]

ومنه \(x \le \ln 3\)، فمجموعة الحلول:

\[ S = \left]-\infty ; \ln 3\right] \]

---

19. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

• كتابة \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\) أو \(e^{a+b} = e^{a} + e^{b}\) — كلاهما خطأ.
• نسيان **شروط الوجود** في المعادلات اللوغاريتمية، أو نسيان التحقّق من انتماء الحلول إليها.
• قبول حلّ سالب أو معدوم لـ \(X = e^{x}\) عند الردّ إلى الدرجة الثانية.
• الاستنتاج أنّ \(e^{u(x)}\) يمكن أن ينعدم: الدالة الأسّية **لا تنعدم أبداً**، فمعادلة مثل \(e^{u} = 0\) لا حلّ لها.
• نسيان \(u'\) في \(\left(e^{u}\right)' = u' e^{u}\) وفي \(\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}\).
• الخلط بين \(\ln\left(x^{2}\right)\) و \(\left(\ln x\right)^{2}\): الأولى تساوي \(2\ln x\) من أجل \(x > 0\)، والثانية مربّع اللوغاريتم.
• كتابة \(\ln\left(x^{2}\right) = 2 \ln x\) دون التنبّه إلى أنّ الطرف الأيسر معرّف من أجل \(x \ne 0\) بينما الأيمن من أجل \(x > 0\) فقط.
• محاولة رفع عدم التعيين \(\dfrac{\infty}{\infty}\) بتعويض مباشر بدل استعمال **التزايد المقارن**.
• الخلط بين \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0\) و \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty\).
• نسيان الحلّ الخاصّ \(-\dfrac{b}{a}\) عند حلّ المعادلة التفاضلية \(y' = ay + b\).
• الخلط بين مقارب المنحنى الأسّي (أفقي عند \(-\infty\)) ومقارب المنحنى اللوغاريتمي (شاقولي عند \(0\)).