المتتاليات العددية

3. المتتالية الحسابية

3.1 تعريف

تكون \((u_n)\) متتالية حسابية إذا كان الفرق بين كل حدّين متتاليين ثابتاً:

\[ u_{n+1} - u_n = r \quad \Longleftrightarrow \quad u_{n+1} = u_n + r \]

حيث \(r\) عدد حقيقي يسمّى أساس المتتالية الحسابية.

3.2 عبارة الحدّ العام

• بصفة عامة، من أجل كل \(n\) و \(p\) طبيعيين:

\[ u_n = u_p + (n - p)\,r \]

• إذا كان \(u_0\) هو الحدّ الأول: \(\quad u_n = u_0 + n\,r\)
• إذا كان \(u_1\) هو الحدّ الأول: \(\quad u_n = u_1 + (n - 1)\,r\)

ومنها نستنتج الأساس إذا عُلم حدّان:

\[ r = \dfrac{u_n - u_p}{n - p} \]

3.3 مجموع حدود متتابعة

\[ S = \dfrac{N \times (u_p + u_n)}{2} \]

حيث \(u_p\) الحدّ الأول في المجموع، و \(u_n\) الحدّ الأخير، و \(N\) عدد الحدود:

\[ N = n - p + 1 \]

وبصفة خاصة:

\[ S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} \]

3.4 الوسط الحسابي

الأعداد \(a, b, c\) بهذا الترتيب حدود متتابعة لمتتالية حسابية إذا وفقط إذا:

\[ a + c = 2b \quad \Longleftrightarrow \quad b = \dfrac{a + c}{2} \]

3.5 اتجاه التغيّر والنهاية

• إذا كان \(r > 0\) فإن \((u_n)\) متزايدة تماماً و \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
• إذا كان \(r < 0\) فإن \((u_n)\) متناقصة تماماً و \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).
• إذا كان \(r = 0\) فإن \((u_n)\) ثابتة ومتقاربة.

نتيجة: المتتالية الحسابية غير الثابتة متباعدة دائماً.

---

4. المتتالية الهندسية

4.1 تعريف

تكون \((u_n)\) متتالية هندسية إذا كان حاصل قسمة كل حدّ على الذي يسبقه ثابتاً:

\[ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q \quad \Longleftrightarrow \quad u_{n+1} = q\,u_n \]

حيث \(q\) عدد حقيقي غير معدوم يسمّى أساس المتتالية الهندسية.

4.2 عبارة الحدّ العام

• بصفة عامة، من أجل كل \(n\) و \(p\) طبيعيين:

\[ u_n = u_p \times q^{\,n - p} \]

• إذا كان \(u_0\) هو الحدّ الأول: \(\quad u_n = u_0 \times q^{\,n}\)
• إذا كان \(u_1\) هو الحدّ الأول: \(\quad u_n = u_1 \times q^{\,n-1}\)

ومنها نستنتج الأساس إذا عُلم حدّان:

\[ q^{\,n-p} = \dfrac{u_n}{u_p} \]

4.3 مجموع حدود متتابعة

إذا كان \(q \ne 1\):

\[ S = u_p \times \dfrac{1 - q^{\,N}}{1 - q} \]

حيث \(u_p\) الحدّ الأول في المجموع و \(N = n - p + 1\) عدد الحدود.

وبصفة خاصة:

\[ S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q} \]

أمّا إذا كان \(q = 1\) فإن كل الحدود متساوية ويكون \(S = N \times u_0\).

4.4 الوسط الهندسي

الأعداد \(a, b, c\) بهذا الترتيب حدود متتابعة لمتتالية هندسية إذا وفقط إذا:

\[ a \times c = b^2 \]

---

5. اتجاه تغيّر المتتالية الهندسية

لتكن \((v_n)\) متتالية هندسية أساسها \(q\) وحدّها الأول \(v_0\). نحسب الفرق:

\[ v_{n+1} - v_n = q\,v_n - v_n \]

\[ v_{n+1} - v_n = v_n\,(q - 1) \]

\[ v_{n+1} - v_n = v_0\,q^{\,n}\,(q - 1) \]

فتكون إشارة الفرق تابعة لإشارة \(v_0\) وموضع \(q\) بالنسبة إلى \(1\)، ويُلخَّص ذلك في الجدول:

| شرط \(q\) | إذا \(v_0 > 0\) | إذا \(v_0 < 0\) | | :------------ | :-------------- | :-------------- | | \(q < 0\) | غير رتيبة | غير رتيبة | | \(0 < q < 1\) | متناقصة | متزايدة | | \(q = 1\) | ثابتة | ثابتة | | \(q > 1\) | متزايدة | متناقصة |

ملاحظة: إذا كان \(q < 0\) فإن الحدود تتناوب في الإشارة، فلا تكون المتتالية رتيبة.

---

6. الاستدلال بالتراجع

لتكن \(P(n)\) خاصية متعلقة بعدد طبيعي \(n\). للبرهان على صحتها من أجل كل \(n \ge n_0\) نتبع ثلاث مراحل:

• **التحقق (حالة الأساس):** نتحقق من صحة \(P(n_0)\).
• **فرضية التراجع:** نفترض أن \(P(n)\) صحيحة من أجل عدد طبيعي \(n \ge n_0\).
• **خطوة التراجع:** نبرهن انطلاقاً من هذه الفرضية أن \(P(n+1)\) صحيحة.

إذا تحققت المراحل الثلاث نستنتج أن \(P(n)\) صحيحة من أجل كل \(n \ge n_0\).

تنبيه: لا يكفي التحقق من الحالة الأساسية وحدها، ولا خطوة التراجع وحدها؛ المرحلتان معاً هما ما يُثبت الخاصية.

---

7. نهاية متتالية: التقارب والتباعد

7.1 تعريف

• تكون \((u_n)\) **متقاربة** إذا كانت لها نهاية حقيقية منتهية، أي إذا وُجد \(\ell \in \mathbb{R}\) بحيث:

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \]

• في كل الحالات الأخرى (النهاية لا نهائية أو غير موجودة) تكون \((u_n)\) **متباعدة**.

ملاحظة: إذا كانت المتتالية متقاربة فإن نهايتها وحيدة.

7.2 النهايات المرجعية

\[ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0 \]

\[ \lim_{n \to +\infty} n = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty \]

7.3 نظرية التقارب الرتيب

• إذا كانت \((u_n)\) **متزايدة ومحدودة من الأعلى** فهي متقاربة.
• إذا كانت \((u_n)\) **متناقصة ومحدودة من الأسفل** فهي متقاربة.
• إذا كانت \((u_n)\) متزايدة وغير محدودة من الأعلى فإن \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
• إذا كانت \((u_n)\) متناقصة وغير محدودة من الأسفل فإن \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).

تنبيه: هذه النظرية تُثبت وجود النهاية ولا تعطي قيمتها.

7.4 نظريات المقارنة والحصر

لتكن \((u_n)\) و \((v_n)\) و \((w_n)\) متتاليات:

• **المقارنة:** إذا كان \(u_n \le v_n\) ابتداءً من دليل ما، و \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\)، فإن \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty\).
• إذا كان \(u_n \le v_n\) ابتداءً من دليل ما، و \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty\)، فإن \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).
• **الحصر:** إذا كان \(u_n \le v_n \le w_n\) ابتداءً من دليل ما، و \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \ell\)، فإن:

\[ \lim_{n \to +\infty} v_n = \ell \]

• إذا كان \(|v_n - \ell| \le u_n\) و \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\)، فإن \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \ell\).

---

8. نهاية المتتالية الهندسية

لتكن \((u_n)\) متتالية هندسية أساسها \(q\) وحدّها الأول \(u_0\). نهاية \(q^{\,n}\) تحدّد سلوك المتتالية:

| شرط \(q\) | \(\lim\limits_{n \to +\infty} q^{\,n}\) | طبيعة \((u_n)\) | | :------------- | :-------------------------------------- | :--------------- | | \(-1 < q < 1\) | \(0\) | متقاربة نحو \(0\) | | \(q = 1\) | \(1\) | متقاربة (ثابتة) | | \(q > 1\) | \(+\infty\) | متباعدة | | \(q \le -1\) | غير موجودة | متباعدة |

ومنه من أجل \(q > 1\):

• إذا كان \(u_0 > 0\) فإن \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
• إذا كان \(u_0 < 0\) فإن \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).

نتيجة مهمة: إذا كان \(|q| < 1\) فإن مجموع الحدود يقترب من:

\[ \lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{u_0}{1 - q} \]

---

9. المتتاليتان المتجاورتان

نقول إن المتتاليتين \((u_n)\) و \((v_n)\) متجاورتان إذا تحقّق:

• إحداهما متزايدة والأخرى متناقصة.
• \(\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0\).

نظرية: إذا كانت \((u_n)\) و \((v_n)\) متجاورتين فإنهما متقاربتان ولهما النهاية نفسها.

فإذا كانت \((u_n)\) متزايدة و \((v_n)\) متناقصة، يكون من أجل كل \(n\):

\[ u_n \le \ell \le v_n \]

وهو ما يسمح بحصر النهاية \(\ell\) بالدقة المطلوبة.

---

10. المتتاليات المعرّفة بعلاقة تراجعية

نعتبر متتالية معرّفة بـ \(u_{n+1} = f(u_n)\) حيث \(f\) دالة مستمرة على مجال \(I\).

10.1 المنهجية المتّبعة

• **البرهان على أن \(I\) مجال مستقر:** أي إذا كان \(u_n \in I\) فإن \(u_{n+1} \in I\)، ويُبرهن عادة بالتراجع.
• **دراسة اتجاه التغيّر:** بدراسة إشارة \(f(x) - x\) على \(I\)، أو بالتراجع.
• **إثبات أن المتتالية محدودة:** بالتراجع أيضاً.
• **استنتاج التقارب:** بتطبيق نظرية التقارب الرتيب.
• **تعيين النهاية:** إذا كانت \((u_n)\) متقاربة نحو \(\ell\) و \(f\) مستمرة، فإن \(\ell\) حلٌّ للمعادلة:

\[ f(\ell) = \ell \]

10.2 الطريقة الشائعة في البكالوريا

كثيراً ما يُطلب إدخال متتالية مساعدة \((v_n)\) تكون حسابية أو هندسية، مثل:

\[ v_n = u_n - \ell \]

\[ v_n = \dfrac{1}{u_n - a} \]

\[ v_n = \dfrac{u_n - a}{u_n - b} \]

ثم نبرهن أن \((v_n)\) هندسية، ونستنتج عبارة \(v_n\) بدلالة \(n\)، ومنها عبارة \(u_n\) ونهايتها.

---

11. الاستدلال بالتراجع: أمثلة محلولة

نعيد هنا مراحل الاستدلال بالتراجع على أمثلة من النوع الذي يتكرّر في البكالوريا: إثبات مساواة، إثبات متباينة، وحصر حدود متتالية معرّفة بعلاقة تراجعية.

مثال 1: إثبات مساواة

نبرهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي \(n \ge 1\):

\[ 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

التحقّق: من أجل \(n = 1\) الطرف الأيسر يساوي \(1\)، والطرف الأيمن يساوي \(\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1\). الخاصية صحيحة.

الوراثة: نفرض أنّ الخاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي \(n \ge 1\)، ونضيف \((n+1)^{2}\) إلى الطرفين:

\[ S_{n+1} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2} \]

\[ S_{n+1} = \dfrac{(n+1)\left(2n^{2} + 7n + 6\right)}{6} \]

ولدينا \(2n^{2} + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)\)، ومنه:

\[ S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \]

وهي العبارة المطلوبة من أجل \(n+1\)، لأنّ \(2(n+1) + 1 = 2n + 3\). إذن الخاصية صحيحة من أجل كل \(n \ge 1\).

مثال 2: إثبات متباينة

نبرهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي \(n\): \(2^{n} \ge n + 1\).

• **التحقّق:** من أجل \(n = 0\): \(2^{0} = 1\) و \(0 + 1 = 1\)، فالمتباينة صحيحة.
• **الوراثة:** نفرض \(2^{n} \ge n + 1\). بضرب الطرفين في \(2\) نجد \(2^{n+1} \ge 2n + 2\)، وبما أنّ \(n \ge 0\) فإنّ \(2n + 2 \ge n + 2\)، ومنه \(2^{n+1} \ge (n+1) + 1\).

مثال 3: حصر متتالية تراجعية

لتكن \(u_0 = 0\) و \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\). نبرهن أنّ \(0 \le u_n < 2\) من أجل كل \(n\).

• من أجل \(n = 0\): \(u_0 = 0\) يحقّق \(0 \le 0 < 2\).
• نفرض \(0 \le u_n < 2\)، إذن \(2 \le 2 + u_n < 4\)، وبما أنّ دالة الجذر التربيعي متزايدة تماماً على \(\left[0 ; +\infty\right[\) فإنّ \(\sqrt{2} \le u_{n+1} < 2\)، وبالتالي \(0 \le u_{n+1} < 2\).

وبالطريقة نفسها نبرهن أنّ \(u_n \le u_{n+1}\): لدينا \(u_0 = 0 \le \sqrt{2} = u_1\)، وإذا كان \(u_n \le u_{n+1}\) فإنّ \(2 + u_n \le 2 + u_{n+1}\)، ثم \(u_{n+1} \le u_{n+2}\). فالمتتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى، إذن متقاربة.

لماذا لا نستغني عن التحقّق؟

الخاصية «\(n^{2} + n\) عدد فردي» وراثية: إذا كان \(n^{2} + n = 2k + 1\) فإنّ \((n+1)^{2} + (n+1) = 2(k + n + 1) + 1\). ومع ذلك فهي خاطئة من أجل كل \(n\)، لأنّ \(n^{2} + n = n(n+1)\) جداء عددين متتابعين فهو زوجي. الوراثة وحدها لا تُثبت شيئاً.

> في الامتحان: اكتب المراحل الثلاث بوضوح، واذكر في خطوة الوراثة أين استعملت فرضية التراجع، ولا تكتب الفرضية بصيغة «من أجل كل \(n\)» لأنّ ذلك هو المطلوب إثباته.

12. نهاية متتالية من الشكل \(u_n = f(n)\) والحصر بمتتالية هندسية

نقل نهاية دالة إلى متتالية

خاصية: لتكن \(f\) دالة معرّفة على مجال من الشكل \(\left[a ; +\infty\right[\)، و \((u_n)\) المتتالية المعرّفة بـ \(u_n = f(n)\). إذا كانت \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) (حيث \(\ell\) عدد حقيقي أو \(+\infty\) أو \(-\infty\)) فإنّ:

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \]

نستفيد بذلك من كل تقنيات حساب نهايات الدوال: الحدّ الأعلى درجة، التزايد المقارن، المبرهنات على العمليات.

أمثلة محلولة:

• \(u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}\): الدالة \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 3}\) تؤول إلى \(2\) عند \(+\infty\)، إذن \(\lim u_n = 2\).
• \(u_n = n\,e^{-n}\): لدينا \(\lim\limits_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0\) بالتزايد المقارن، إذن \(\lim u_n = 0\).
• \(u_n = \dfrac{\ln n}{n}\) مع \(n \ge 1\): بالتزايد المقارن \(\lim u_n = 0\).

العكس غير صحيح

قد تكون المتتالية \(u_n = f(n)\) متقاربة دون أن تكون للدالة \(f\) نهاية عند \(+\infty\). مثال: \(f(x) = \sin(\pi x)\) ليست لها نهاية عند \(+\infty\) لأنّها تتذبذب بين \(-1\) و \(1\)، بينما:

\[ u_n = \sin(\pi n) = 0 \]

من أجل كل \(n\)، فالمتتالية ثابتة ونهايتها \(0\). المتتالية لا «ترى» إلا قيم \(f\) عند الأعداد الطبيعية.

الحصر بمتتالية هندسية متقاربة

خاصية: إذا وُجد عددان \(C > 0\) و \(q\) مع \(0 < q < 1\) بحيث من أجل كل \(n\):

\[ \left\lvert u_n - \ell \right\rvert \le C\,q^{n} \]

فإنّ \((u_n)\) متقاربة نحو \(\ell\)، لأنّ \(\lim C q^{n} = 0\) ثم نطبّق مبرهنة الحصر.

مثال محلول: نعود إلى \(u_0 = 0\) و \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\) التي أثبتنا أنّ \(0 \le u_n < 2\). نضرب في المرافق:

\[ 2 - u_{n+1} = \dfrac{4 - (2 + u_n)}{2 + \sqrt{2 + u_n}} \]

\[ 2 - u_{n+1} = \dfrac{2 - u_n}{2 + \sqrt{2 + u_n}} \]

المقام أكبر من أو يساوي \(2\) والبسط موجب، إذن:

\[ 0 < 2 - u_{n+1} \le \dfrac{1}{2}\left(2 - u_n\right) \]

وبالتراجع نحصل على \(0 < 2 - u_n \le 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\): التحقّق \(2 - u_0 = 2\)، والوراثة بضرب الحصر في \(\dfrac{1}{2}\). وبما أنّ \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) تؤول إلى \(0\) فإنّ \(\lim u_n = 2\).

> فائدة إضافية: الحصر يعطي سرعة التقارب. مثلاً \(2 - u_n \le 10^{-3}\) مضمون عندما \(2^{n} \ge 2000\)، أي ابتداءً من \(n = 11\) لأنّ \(2^{11} = 2048\).

حالة أبسط: \(u_n = \dfrac{1}{2^{n} + n}\) تحقّق \(0 < u_n \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) لأنّ \(2^{n} + n \ge 2^{n}\)، فهي تؤول إلى \(0\).

13. التمثيل البياني لمتتالية تراجعية وتخمين سلوكها

الإنشاء على محور الفواصل

لتكن \(u_{n+1} = f(u_n)\). نرسم في معلم المنحنى \((C_f)\) والمستقيم \((\Delta) : y = x\)، ثم:

• نعلّم \(u_0\) على محور الفواصل.
• نصعد شاقولياً إلى \((C_f)\): ترتيب النقطة المحصّل عليها هو \(f(u_0) = u_1\).
• ننتقل أفقياً إلى المستقيم \((\Delta)\): نصل إلى النقطة \((u_1 ; u_1)\).
• ننزل شاقولياً إلى محور الفواصل فنقرأ \(u_1\) عليه، ونكرّر العملية لإنشاء \(u_2\) ثم \(u_3\)...

دور المستقيم \(y = x\) هو نقل قيمة مقروءة على محور التراتيب إلى محور الفواصل.

الدرج والحلزون

• إذا كانت \(f\) متزايدة نحصل على شكل **درج**: الحدود تتقدّم في اتجاه واحد، فالمتتالية رتيبة.
• إذا كانت \(f\) متناقصة نحصل على شكل **حلزون**: الحدود تقع بالتناوب على جانبي نقطة التقاطع، فالمتتالية غير رتيبة.

في الحالتين نخمّن أنّ النهاية، إن وُجدت، هي فاصلة نقطة تقاطع \((C_f)\) مع \((\Delta)\)، أي حلّ المعادلة \(f(x) = x\).

أمثلة محلولة

مثال 1 (درج): \(f(x) = \dfrac{1}{2}x + 2\) و \(u_0 = 0\). التقاطع: \(x = \dfrac{1}{2}x + 2\) يعطي \(x = 4\). نحسب:

\[ u_1 = 2 \quad ; \quad u_2 = 3 \quad ; \quad u_3 = 3{,}5 \quad ; \quad u_4 = 3{,}75 \]

الدرج يصعد نحو النقطة \((4 ; 4)\): نخمّن أنّ \((u_n)\) متزايدة ومتقاربة نحو \(4\).

مثال 2 (حلزون): \(f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 3\) و \(u_0 = 0\). التقاطع: \(\dfrac{3}{2}x = 3\) أي \(x = 2\). نحسب:

\[ u_1 = 3 \quad ; \quad u_2 = 1{,}5 \quad ; \quad u_3 = 2{,}25 \quad ; \quad u_4 = 1{,}875 \]

الحدود تتناوب حول \(2\) وتقترب منه: نخمّن أنّ \((u_n)\) غير رتيبة ومتقاربة نحو \(2\).

مثال 3 (تباعد): \(f(x) = 2x - 1\) و \(u_0 = 2\). التقاطع عند \(x = 1\)، لكن \(u_1 = 3\) و \(u_2 = 5\) و \(u_3 = 9\): الدرج يبتعد عن نقطة التقاطع، فنخمّن أنّ \((u_n)\) تؤول إلى \(+\infty\).

متتالية من الشكل \(u_n = f(n)\)

نمثّلها بالنقط \((n ; f(n))\) من \((C_f)\) ذات الفواصل الطبيعية، ونقرأ اتجاه تغيّرها وسلوكها عند \(+\infty\) من شكل المنحنى.

> تنبيه للامتحان: عبارة «خمّن» تعني قراءة بيانية فقط. التخمين لا يُعدّ برهاناً: يجب بعده إثبات الرتابة والحصر بالتراجع أو بالحساب، ثم استنتاج التقارب.

14. المتتالية \(u_{n+1} = a\,u_n + b\): المناقشة حسب \(a\) و \(b\)

نسمّي متتالية تراجعية تآلفية كل متتالية معرّفة بحدّها الأول \(u_0\) والعلاقة \(u_{n+1} = a\,u_n + b\) حيث \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان.

الحالات الخاصة

• إذا كان \(a = 1\): \(u_{n+1} = u_n + b\)، فالمتتالية حسابية أساسها \(b\). تؤول إلى \(+\infty\) إن كان \(b > 0\)، وإلى \(-\infty\) إن كان \(b < 0\)، وهي ثابتة إن كان \(b = 0\).
• إذا كان \(b = 0\): \(u_{n+1} = a\,u_n\)، فالمتتالية هندسية أساسها \(a\).

الحالة العامة \(a \ne 1\)

المعادلة \(x = ax + b\) تقبل حلاً وحيداً:

\[ \ell = \dfrac{b}{1 - a} \]

نضع \(v_n = u_n - \ell\). بما أنّ \(\ell = a\ell + b\):

\[ v_{n+1} = a u_n + b - (a\ell + b) = a\,v_n \]

إذن \((v_n)\) هندسية أساسها \(a\)، ومنه:

\[ u_n = \ell + \left(u_0 - \ell\right) a^{n} \]

المناقشة حسب \(a\) (مع \(u_0 \ne \ell\))

| قيمة \(a\) | سلوك \((u_n)\) | | :--- | :--- | | \(-1 < a < 1\) | متقاربة نحو \(\ell\) | | \(a > 1\) | تؤول إلى \(+\infty\) إن كان \(u_0 > \ell\)، وإلى \(-\infty\) إن كان \(u_0 < \ell\) | | \(a \le -1\) | متباعدة وليست لها نهاية |

وإذا كان \(u_0 = \ell\) فالمتتالية ثابتة مهما كان \(a\). أمّا الرتابة فنقرؤها من الفرق \(u_{n+1} - u_n = (u_0 - \ell)\,a^{n}(a - 1)\): من أجل \(0 \ell\)، ومن أجل \(a < 0\) لا تكون رتيبة.

مثال محلول 1

\(u_0 = 1\) و \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 4\). هنا \(\ell = \dfrac{4}{1 - \frac{1}{3}} = 6\)، و \(v_n = u_n - 6\) هندسية أساسها \(\dfrac{1}{3}\) وحدّها الأول \(v_0 = -5\):

\[ u_n = 6 - 5\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} \]

تحقّق: \(u_1 = \dfrac{1}{3} + 4 = \dfrac{13}{3}\) و \(6 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{13}{3}\). بما أنّ \(0 < \dfrac{1}{3} < 1\) فإنّ \(\lim u_n = 6\)، و \((u_n)\) متزايدة لأنّ \(u_0 < 6\).

ويمكن حساب المجموع \(S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n\) بفصل الجزأين:

\[ S_n = 6(n+1) - \dfrac{15}{2}\left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right) \]

مثال محلول 2

\(u_0 = 2\) و \(u_{n+1} = 3u_n - 2\). هنا \(\ell = \dfrac{-2}{1 - 3} = 1\)، ومنه \(u_n = 1 + 3^{n}\). بما أنّ \(a = 3 > 1\) و \(u_0 > \ell\) فإنّ \(\lim u_n = +\infty\).

> طريقة: في تمارين البكالوريا تُعطى غالباً المتتالية المساعدة \(v_n = u_n - \ell\)؛ إن لم تُعطَ فابحث عن \(\ell\) بحلّ \(x = ax + b\) أولاً.

15. المتتاليتان المتجاورتان وحساب مساحة تحت منحنى

الفكرة

لتكن \(f\) دالة مستمرة، موجبة ومتزايدة على \(\left[0 ; 1\right]\)، و \(\mathcal{A}\) مساحة الحيّز تحت منحناها. نقسّم \(\left[0 ; 1\right]\) إلى \(n\) مجالاً طول كل منها \(\dfrac{1}{n}\)، ونبني على كل مجال \(\left[\dfrac{k}{n} ; \dfrac{k+1}{n}\right]\) مستطيلين:

• مستطيل «داخلي» ارتفاعه \(f\left(\dfrac{k}{n}\right)\) (القيمة الصغرى لأنّ \(f\) متزايدة).
• مستطيل «خارجي» ارتفاعه \(f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\).

مجموع المستطيلات الداخلية \(s_n\) ومجموع الخارجية \(S_n\) يحقّقان \(s_n \le \mathcal{A} \le S_n\). إذا أثبتنا أنّ \((s_n)\) و \((S_n)\) متجاورتان فنهايتهما المشتركة هي \(\mathcal{A}\).

مثال محلول: \(f(x) = x^{2}\) على \(\left[0 ; 1\right]\)

باستعمال \(1^{2} + 2^{2} + \dots + m^{2} = \dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6}\) (المبرهنة بالتراجع):

\[ s_n = \dfrac{1}{n^{3}}\left(0^{2} + 1^{2} + \dots + (n-1)^{2}\right) \]

\[ s_n = \dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}} \]

\[ S_n = \dfrac{1}{n^{3}}\left(1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}\right) = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}} \]

الفرق:

\[ S_n - s_n = \dfrac{6n}{6n^{2}} = \dfrac{1}{n} \]

وهو يؤول إلى \(0\).

الرتابة: بالنشر نجد:

\[ S_n = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^{2}} \]

\[ s_n = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^{2}} \]

\((S_n)\) متناقصة لأنّها مجموع ثابت وحدّين متناقصين. أمّا \((s_n)\) فنحسب:

\[ s_{n+1} - s_n = \dfrac{3n^{2} + n - 1}{6n^{2}(n+1)^{2}} \]

وهو موجب تماماً من أجل \(n \ge 1\)، فـ \((s_n)\) متزايدة.

إذن المتتاليتان متجاورتان ونهايتهما المشتركة \(\dfrac{1}{3}\). وبما أنّ \(s_n \le \mathcal{A} \le S_n\) من أجل كل \(n\)، فإنّ \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{3}\) وحدة مساحة، وهي القيمة التي يعطيها الحساب التكاملي لاحقاً.

تطبيق عددي: من أجل \(n = 10\): \(s_{10} = 0{,}285\) و \(S_{10} = 0{,}385\)، فالحصر دقيق إلى \(0{,}1\) فقط، وتتحسّن الدقة كلما كبر \(n\).

> ملاحظة عامة: إذا كانت \(f\) متزايدة على \(\left[a ; b\right]\) فإنّ \(S_n - s_n = \dfrac{b - a}{n}\left(f(b) - f(a)\right)\)، فالفرق يؤول دائماً إلى \(0\). وإذا كانت \(f\) متناقصة تتبادل المستطيلات دوريهما.

16. جدول ملخّص: الحسابية والهندسية

| | المتتالية الحسابية | المتتالية الهندسية | | :----------------- | :-------------------------------------------- | :---------------------------------------------------- | | التعريف | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_{n+1} = u_n \times q\) | | الحدّ العام (عام) | \(u_n = u_p + (n - p)\,r\) | \(u_n = u_p \times q^{\,n-p}\) | | إذا \(u_0\) أول حد | \(u_n = u_0 + n\,r\) | \(u_n = u_0 \times q^{\,n}\) | | إذا \(u_1\) أول حد | \(u_n = u_1 + (n-1)\,r\) | \(u_n = u_1 \times q^{\,n-1}\) | | الوسط | \(a + c = 2b\) | \(a \times c = b^2\) | | المجموع | \(S = \dfrac{N\,(u_p + u_n)}{2}\) | \(S = u_p \times \dfrac{1 - q^{\,N}}{1 - q}\)، مع \(q \ne 1\) | | عدد الحدود \(N\) | \(N = n - p + 1\) | نفس القاعدة | | النهاية | \(\pm\infty\) إن \(r \ne 0\)، ثابتة إن \(r = 0\) | تتعلّق بـ \(q\) (انظر الفقرة 8) |

---

17. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

• الخلط بين \(u_{n+1} - u_n = r\) (حسابية) و \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q\) (هندسية).
• استعمال دستور المجموع الهندسي عندما \(q = 1\) (المقام ينعدم).
• نسيان أن عدد الحدود يساوي فرق الدليلين **زائد واحد**.
• الاكتفاء بحالة الأساس في الاستدلال بالتراجع دون خطوة التراجع.
• الاستنتاج أن متتالية متزايدة تؤول إلى \(+\infty\) دون التحقق من كونها غير محدودة.
• تطبيق \(f(\ell) = \ell\) لتعيين النهاية قبل إثبات أن المتتالية متقاربة أصلاً.