الدوال

3. المستقيمات المقاربة والفروع اللانهائية

يُرمز لمنحنى الدالة بـ \((C_f)\).

3.1 مقارب شاقولي

المستقيم \(x = a\) مقارب شاقولي إذا:

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \]

3.2 مقارب أفقي

المستقيم \(y = b\) مقارب أفقي إذا:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b \]

3.3 مقارب مائل

المستقيم \(y = ax + b\) مقارب مائل إذا:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} \left[\,f(x) - (ax + b)\,\right] = 0 \]

ويُحسب معاملاه بـ:

\[ a = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} \]

\[ b = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\,f(x) - ax\,\right] \]

بشرط أن يكون \(a\) موجوداً ومنتهياً وغير معدوم.

طريقة أسرع في الدوالّ الناطقة: إذا كانت \(\deg P = \deg Q + 1\) فإن القسمة الإقليدية تعطي:

\[ f(x) = ax + b + \dfrac{R(x)}{Q(x)} \]

مع \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{R(x)}{Q(x)} = 0\)، فيكون \(y = ax + b\) مقارباً مائلاً مباشرةً، وإشارة \(\dfrac{R(x)}{Q(x)}\) تعطي الوضع النسبي.

3.4 منحنى مقارب

المنحنى \((C_g)\) مقارب لـ \((C_f)\) إذا:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} \left[\,f(x) - g(x)\,\right] = 0 \]

3.5 الوضع النسبي بالنسبة إلى المقارب

ندرس إشارة الفرق \(f(x) - (ax + b)\):

• إذا كان الفرق موجباً فإن \((C_f)\) **فوق** المقارب.
• إذا كان سالباً فإن \((C_f)\) **تحت** المقارب.
• إذا انعدم فإنهما **يتقاطعان**.

3.6 الفروع اللانهائية والاتجاهات الشلجمية

إذا كان \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\) فلا يوجد مقارب أفقي، وندرس \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}\):

| \(\lim \dfrac{f(x)}{x}\) | ثم | النتيجة | | :------------------------ | :-- | :------- | | \(0\) | — | فرع شلجمي في اتجاه محور الفواصل | | \(\pm\infty\) | — | فرع شلجمي في اتجاه محور التراتيب | | \(a\) منتهٍ وغير معدوم | \(\lim\left[\,f(x) - ax\,\right] = b\) منتهٍ | مقارب مائل معادلته \(y = ax + b\) | | \(a\) منتهٍ وغير معدوم | \(\lim\left[\,f(x) - ax\,\right] = \pm\infty\) | فرع شلجمي في اتجاه المستقيم \(y = ax\) |

3.7 مخطّط تعيين الفرع اللانهائي

• احسب \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)\).
• نهاية منتهية \(b\) ⟵ **مقارب أفقي** \(y = b\). انتهى.
• نهاية لا نهائية ⟵ انتقل إلى الخطوة 2.
• احسب \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}\) وطبّق جدول 3.6.

مثال محلول: لتكن \(f(x) = x + \sqrt{x}\) على \(\left[0 ; +\infty\right[\).

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = 1 \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \left[\,f(x) - x\,\right] = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \]

إذن \((C_f)\) يقبل فرعاً شلجمياً في اتجاه المستقيم \(y = x\).

---

4. الاستمرارية

4.1 الاستمرارية عند نقطة

تكون \(f\) مستمرة عند \(a\) إذا تحقّقت الشروط الثلاثة:

• \(f(a)\) معرّفة.
• \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) موجودة ومنتهية.
• \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\).

الاستمرارية من جهة:

• من اليسار: \(\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) = f(a)\)
• من اليمين: \(\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)\)

وتكون \(f\) مستمرة عند \(a\) إذا كانت مستمرة من الجهتين معاً.

> الاستعمال الأشهر: الدالة المعرّفة بعبارتين مختلفتين حول \(a\). تُدرس الاستمرارية عند \(a\) بمقارنة النهايتين الجانبيتين بـ \(f(a)\).

4.2 الاستمرارية على مجال

تكون \(f\) مستمرة على مجال إذا كانت مستمرة عند كل نقطة منه. والدوالّ التالية مستمرة على مجال تعريفها:

• الدوالّ المرجعية وكثيرات الحدود.
• الدوالّ الناطقة حيث لا ينعدم المقام.
• الدوالّ الجذرية على مجال تعريفها.
• الدالّتان الأسّية واللوغاريتمية على مجال تعريف كلٍّ منهما.
• الدالّتان \(\sin\) و \(\cos\) على \(\mathbb{R}\).

كما أنّ مجموع دالّتين مستمرّتين وجداءهما ومركّبهما دوالّ مستمرّة، وحاصل قسمتهما مستمرّ حيث لا ينعدم المقام.

4.3 صورة مجال بدالة مستمرة

صورة مجال بدالة مستمرة هي مجال. وإذا كانت \(f\) مستمرة على مجال مغلق \([a ; b]\) فإنّها تبلغ عليه قيمة حدّية صغرى \(m\) وقيمة حدّية عظمى \(M\)، وتكون:

\[ f\!\left([a ; b]\right) = [m ; M] \]

4.4 مبرهنة القيم المتوسّطة

الصيغة الأولى: إذا كانت \(f\) مستمرة ورتيبة تماماً على \([a ; b]\) و:

\[ f(a) \times f(b) < 0 \]

فإن المعادلة \(f(x) = 0\) تقبل حلاًّ وحيداً في المجال \(\left]a ; b\right[\).

الصيغة الثانية: إذا كانت \(f\) مستمرة ورتيبة تماماً على \([a ; b]\)، وكان \(k\) محصوراً بين \(f(a)\) و \(f(b)\)، فإن المعادلة \(f(x) = k\) تقبل حلاًّ وحيداً في \(\left]a ; b\right[\).

الصيغة الثالثة: لحلّ \(f(x) = g(x)\) نضع \(h(x) = f(x) - g(x)\)، فإذا كانت \(h\) مستمرة ورتيبة تماماً على \([a ; b]\) و \(h(a) \times h(b) < 0\)، فإن المعادلة تقبل حلاًّ وحيداً في \(\left]a ; b\right[\).

> تمييز مهمّ: الاستمرارية وحدها تضمن وجود الحلّ، والرتابة التامّة هي التي تضمن وحدانيته.

4.5 حالة الدالة المستمرة الرتيبة تماماً: التقابل

إذا كانت \(f\) مستمرة ورتيبة تماماً على مجال \(I\) فإنّها تقبل تقابلاً من \(I\) نحو \(f(I)\)، أي أنّ كل عنصر من \(f(I)\) له سابقة وحيدة في \(I\).

| \(f\) على \(I = [a ; b]\) | \(f(I)\) | | :------------------------- | :-------- | | مستمرة ومتزايدة تماماً | \(\left[f(a) ; f(b)\right]\) | | مستمرة ومتناقصة تماماً | \(\left[f(b) ; f(a)\right]\) |

4.6 الحلّ التقريبي للمعادلة \(f(x) = 0\): طريقة ثنائية التقسيم

إذا ضمنّا وجود حلّ وحيد \(\alpha\) في \(\left]a ; b\right[\)، نقرّبه كما يلي:

• نحسب منتصف المجال \(c = \dfrac{a + b}{2}\).
• نحسب \(f(a) \times f(c)\):
• إذا كان **سالباً** فإنّ \(\alpha \in \left]a ; c\right[\)، ونأخذ المجال الجديد \([a ; c]\).
• وإلاّ فإنّ \(\alpha \in \left]c ; b\right[\)، ونأخذ المجال الجديد \([c ; b]\).
• نكرّر العملية حتى يصبح طول المجال أصغر من الدقّة المطلوبة.

وبعد \(n\) خطوة يكون طول المجال:

\[ \dfrac{b - a}{2^{\,n}} \]

مثال محلول: لتكن \(f(x) = x^{3} + x - 1\) على \([0 ; 1]\).

\(f\) مستمرة ومتزايدة تماماً على \([0 ; 1]\) لأنّ \(f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0\)، و:

\[ f(0) = -1 < 0 \]

\[ f(1) = 1 > 0 \]

إذن المعادلة \(f(x) = 0\) تقبل حلاًّ وحيداً \(\alpha\) في \(\left]0 ; 1\right[\). وبالتنصيف:

\[ f(0{,}5) = -0{,}375 < 0 \ \Longrightarrow \ \alpha \in \left]0{,}5 ; 1\right[ \]

\[ f(0{,}75) \approx 0{,}172 > 0 \ \Longrightarrow \ \alpha \in \left]0{,}5 ; 0{,}75\right[ \]

ومنه \(0{,}5 < \alpha < 0{,}75\)، ويمكن المواصلة للحصول على دقّة أكبر.

---

5. الاشتقاقية

5.1 العدد المشتقّ

تكون \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(x_0\) إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:

\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

> كل دالة قابلة للاشتقاق عند \(x_0\) هي مستمرة عندها، والعكس غير صحيح: الدالة \(x \mapsto \left|x\right|\) مستمرة عند \(0\) وغير قابلة للاشتقاق عنده.

5.2 الاشتقاقية من جهة ونصفا المماس

\[ f'_{g}(x_0) = \lim_{x \to x_0^{-}} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

\[ f'_{d}(x_0) = \lim_{x \to x_0^{+}} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

وتكون \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(x_0\) إذا كان العددان موجودين ومنتهيين و متساويين.

| الحالة | التفسير الهندسي | | :----- | :---------------- | | \(f'_{g}(x_0) = f'_{d}(x_0)\) | مماس وحيد، الدالة قابلة للاشتقاق | | \(f'_{g}(x_0) \ne f'_{d}(x_0)\) | نصفا مماس مختلفان، والنقطة \(A(x_0 ; f(x_0))\) نقطة زاوية | | النهاية \(= \pm\infty\) | نصف مماس شاقولي، والدالة غير قابلة للاشتقاق |

> الحالة الأخيرة شائعة في الدوالّ الصمّاء عند حدّ المجال، مثل \(f(x) = \sqrt{x}\) عند \(0\).

5.3 التفسير الهندسي والمماس

إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(x_0\) فإن \((C_f)\) يقبل عند النقطة \(A\!\left(x_0 ; f(x_0)\right)\) مماساً معادلته:

\[ y = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0) \]

ومعامل توجيهه هو \(f'(x_0)\).

• إذا كان \(f'(x_0) = 0\) فالمماس أفقي معادلته \(y = f(x_0)\).
• والمماسان في نقطتين متوازيان إذا تساوى العددان المشتقّان فيهما.

5.4 مشتقّات الدوالّ المألوفة

| \(f(x)\) | \(f'(x)\) | الشرط | | :------- | :-------- | :---- | | \(k\) | \(0\) | \(k\) ثابت | | \(x^{\,n}\) | \(n\,x^{\,n-1}\) | \(n \in \mathbb{Z}^{*}\) | | \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^{2}}\) | \(x \ne 0\) | | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(x > 0\) | | \(\sin x\) | \(\cos x\) | | | \(\cos x\) | \(-\sin x\) | | | \(\tan x\) | \(1 + \tan^{2} x = \dfrac{1}{\cos^{2} x}\) | \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) | | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | | | \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(x > 0\) |

5.5 قواعد الاشتقاق

\[ (u + v)' = u' + v' \]

\[ (k\,u)' = k\,u' \]

\[ (u \times v)' = u'v + uv' \]

\[ \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} \quad (v \ne 0) \]

\[ \left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^{2}} \]

5.6 مشتقّ الدالة المركّبة

\[ \left[\,f\!\left(u(x)\right)\right]' = u'(x) \times f'\!\left(u(x)\right) \]

ومنه الحالات الشائعة:

\[ \left(u^{\,n}\right)' = n\,u'\,u^{\,n-1} \]

\[ \left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \]

\[ \left(\sin u\right)' = u'\cos u \]

\[ \left(\cos u\right)' = -u'\sin u \]

\[ \left(e^{u}\right)' = u'\,e^{u} \]

\[ \left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u} \]

5.7 اتجاه التغيّر والمطاريف

إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق على مجال \(I\):

| إشارة \(f'\) على \(I\) | اتجاه تغيّر \(f\) على \(I\) | | :---------------------- | :--------------------------- | | \(f'(x) > 0\) | متزايدة تماماً | | \(f'(x) < 0\) | متناقصة تماماً | | \(f'(x) = 0\) | ثابتة |

المطاريف المحلّية: إذا انعدمت \(f'\) عند \(x_0\) وغيّرت إشارتها عنده فإنّ \(f\) تقبل قيمة حدّية محلّية \(f(x_0)\):

| تغيّر إشارة \(f'\) عند \(x_0\) | النتيجة | | :------------------------------ | :------- | | من \(+\) إلى \(-\) | قيمة حدّية عظمى محلّية | | من \(-\) إلى \(+\) | قيمة حدّية صغرى محلّية | | لا تتغيّر الإشارة | لا يوجد مطراف (مماس أفقي فقط) |

> مثال مضادّ: \(f(x) = x^{3}\) تحقّق \(f'(0) = 0\) لكنّ \(f'\) لا تغيّر إشارتها، فلا يوجد مطراف عند \(0\).

المنهجية: نحسب \(f'(x)\)، ثم ندرس إشارتها، ثم ننشئ جدول التغيّرات ونستخرج القيم الحدّية.

5.8 🔵 متراجحة التزايدات المنتهية

> خاصّ بشعبة الرياضيات.

إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق على مجال \(I\) ووُجد عدد حقيقي موجب \(M\) بحيث \(\left|f'(x)\right| \le M\) من أجل كل \(x\) من \(I\)، فإنّه من أجل كل \(a\) و \(b\) من \(I\):

\[ \left|f(b) - f(a)\right| \le M \left|b - a\right| \]

الاستعمال الأهمّ: إثبات تقارب متتالية معرّفة بـ \(u_{n+1} = f(u_n)\) نحو الحلّ \(\alpha\) للمعادلة \(f(x) = x\):

\[ \left|u_{n+1} - \alpha\right| \le M \left|u_n - \alpha\right| \qquad \Longrightarrow \qquad \left|u_n - \alpha\right| \le M^{\,n} \left|u_0 - \alpha\right| \]

فإذا كان \(0 < M < 1\) فإنّ \(\lim\limits_{n \to +\infty} M^{\,n} = 0\)، ومنه \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \alpha\).

5.9 🔵 الدالة العكسية واشتقاقها

> خاصّ بشعبة الرياضيات.

إذا كانت \(f\) مستمرة ورتيبة تماماً على مجال \(I\) فإنّها تقبل دالة عكسية \(f^{-1}\) معرّفة من \(f(I)\) نحو \(I\)، وتحقّق:

\[ y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) \]

\[ x \in f(I) \ , \ y \in I \]

خواصّها:

• \(f^{-1}\) لها نفس اتجاه تغيّر \(f\).
• \(\left(C_{f^{-1}}\right)\) و \((C_f)\) متناظران بالنسبة إلى المستقيم \(y = x\) (منصّف الربع الأول) في معلم متعامد ومتجانس.

اشتقاقها: إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(y_0 = f^{-1}(x_0)\) و \(f'(y_0) \ne 0\) فإنّ:

\[ \left(f^{-1}\right)'(x_0) = \dfrac{1}{f'\!\left(f^{-1}(x_0)\right)} \]

---

5.10 المشتقّات المتتابعة

إذا كانت \(f'\) قابلة للاشتقاق على مجال \(I\) فإنّ مشتقّتها تُسمّى المشتقّة الثانية ويُرمز لها \(f''\)، وبالمثل نعرّف \(f'''\) والمشتقّة من الرتبة \(n\):

\[ f^{(n)} = \left(f^{(n-1)}\right)' \]

استعمالاتها:

| المشتقّة | ما تعطيه | | :-------- | :-------- | | \(f'\) | اتجاه التغيّر والمطاريف | | \(f''\) | التقعّر ونقاط الانعطاف |

مثال: من أجل \(f(x) = x^{3}\) يكون \(f'(x) = 3x^{2}\) و \(f''(x) = 6x\) و \(f'''(x) = 6\).

5.11 التقريب الخطّي

إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(x_0\) فإنّ من أجل \(h\) صغير جداً:

\[ f\left(x_0 + h\right) \approx f\left(x_0\right) + h \, f'\left(x_0\right) \]

أي أنّ المماس يقرّب المنحنى بجوار نقطة التماسّ، وهو ما يُسمّى التقريب الخطّي أو التقريب التآلفي.

مثال محلول: قرّب \(\sqrt{4{,}02}\).

نأخذ \(f(x) = \sqrt{x}\) و \(x_0 = 4\) و \(h = 0{,}02\)، ولدينا \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) ومنه \(f'(4) = 0{,}25\):

\[ \sqrt{4{,}02} \approx 2 + 0{,}02 \times 0{,}25 = 2{,}005 \]

---

6. المشتقّة الثانية: التقعّر ونقطة الانعطاف

6.1 التقعّر

لتكن \(f\) قابلة للاشتقاق مرّتين على مجال \(I\):

| إشارة \(f''\) على \(I\) | شكل المنحنى | وضعه بالنسبة إلى مماساته | | :---------------------- | :---------- | :------------------------ | | \(f''(x) > 0\) | محدّب | فوق مماساته | | \(f''(x) < 0\) | مقعّر | تحت مماساته |

6.2 نقطة الانعطاف

النقطة \(A\!\left(x_0 ; f(x_0)\right)\) نقطة انعطاف للمنحنى \((C_f)\) إذا انعدمت \(f''\) عند \(x_0\) وغيّرت إشارتها عنده.

> تنبيه: انعدام \(f''(x_0)\) وحده لا يكفي. فالدالة \(f(x) = x^{4}\) تحقّق \(f''(0) = 0\) لكن \(f''\) لا تغيّر إشارتها، فالنقطة \(O\) ليست نقطة انعطاف.

التفسير الهندسي: عند نقطة الانعطاف يخترق المماس المنحنى، فيكون المنحنى فوق المماس من جهة وتحته من الجهة الأخرى.

---

7. الشفعية والتماثل والدورية

7.1 الدالة الزوجية

تكون \(f\) زوجية إذا كان مجال تعريفها متماثلاً بالنسبة إلى \(0\) و:

\[ \forall x \in D_f : \quad f(-x) = f(x) \]

هندسياً: \((C_f)\) متناظر بالنسبة إلى محور التراتيب.

7.2 الدالة الفردية

\[ \forall x \in D_f : \quad f(-x) = -f(x) \]

هندسياً: \((C_f)\) متناظر بالنسبة إلى المبدأ \(O\).

7.3 محور تناظر

المستقيم \(x = a\) محور تناظر لـ \((C_f)\) إذا تحقّق أحد الشرطين المتكافئين:

\[ f(a - x) = f(a + x) \quad \Longleftrightarrow \quad f(2a - x) = f(x) \]

حالة خاصة: إذا كانت \(f\) زوجية فإن محور التراتيب \(x = 0\) محور تناظر.

7.4 مركز تناظر

النقطة \(A(a ; \beta)\) مركز تناظر لـ \((C_f)\) إذا تحقّق أحد الشرطين المتكافئين:

\[ f(a - x) + f(a + x) = 2\beta \quad \Longleftrightarrow \quad f(2a - x) + f(x) = 2\beta \]

حالة خاصة: إذا كانت \(f\) فردية فإن المبدأ \(O(0 ; 0)\) مركز تناظر.

7.5 الدورية

تكون \(f\) دورية دورها \(T > 0\) إذا:

\[ \forall x \in D_f : \quad x + T \in D_f \]

\[ f(x + T) = f(x) \]

فائدتها: يكفي دراسة \(f\) على مجال طوله \(T\) ثم إتمام المنحنى بانسحابات متتالية شعاعها \(T\,\vec{\imath}\).

| الدالة | الدور | | :----- | :---- | | \(\sin x\) و \(\cos x\) | \(2\pi\) | | \(\tan x\) | \(\pi\) | | \(\sin(ax + b)\) و \(\cos(ax + b)\) | \(\dfrac{2\pi}{\left\lvert a\right\rvert }\) |

> مجال الدراسة المختزل: إذا كانت \(f\) دورية دورها \(T\) وزوجية فيكفي دراستها على \(\left[0 ; \dfrac{T}{2}\right]\).

---

8. تحويلات على المنحنيات

لتكن \((C_f)\) منحنى الدالة \(f\) في معلم متعامد ومتجانس، و \(k\) عدداً حقيقياً:

| الدالة | منحناها يُستنتج من \((C_f)\) بـ | | :----- | :-------------------------------- | | \(f(x) + k\) | انسحاب شعاعه \(k\,\vec{\jmath}\) (رأسي) | | \(f(x + k)\) | انسحاب شعاعه \(-k\,\vec{\imath}\) (أفقي) | | \(-f(x)\) | تناظر بالنسبة إلى محور الفواصل | | \(f(-x)\) | تناظر بالنسبة إلى محور التراتيب | | \(\left\lvert f(x)\right\rvert \) | إبقاء الجزء الموجب، وقلب الجزء السالب حول محور الفواصل | | \(f\!\left(\left\lvert x\right\rvert \right)\) | إبقاء جزء \(x \ge 0\)، وإكماله بتناظره حول محور التراتيب |

---

9. المتتاليات المرفقة بدالة

كثيراً ما يربط موضوع البكالوريا بين دراسة دالة ومتتالية معرّفة بـ \(u_{n+1} = f(u_n)\).

المنهجية:

• **الحصر:** نثبت بالتراجع أنّ \(u_n\) تنتمي إلى مجال \(I\) مستقرّ بـ \(f\)، أي \(f(I) \subset I\).
• **الرتابة:** ندرس إشارة \(u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n\)، أو نستعمل رتابة \(f\).
• **التقارب:** متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى (أو متناقصة ومحدودة من الأسفل) متقاربة.
• **النهاية:** إذا كانت \(f\) مستمرة و \(\lim u_n = \ell\) فإنّ \(\ell\) حلّ للمعادلة \(f(x) = x\).

> هندسياً: تُنشأ حدود المتتالية على محور الفواصل باستعمال \((C_f)\) والمستقيم \(y = x\).

---

10. منهجية دراسة دالة ورسم منحناها

• **مجال التعريف:** تحديد \(D_f\) والقيم الممنوعة.
• **الشفعية والدورية:** لتقليص مجال الدراسة إن أمكن.
• **النهايات:** حسابها على أطراف \(D_f\)، واستنتاج:
• المقاربات الشاقولية عند القيم الممنوعة،
• المقاربات الأفقية أو المائلة أو الفروع الشلجمية عند اللانهاية،
• الوضع النسبي للمنحنى بالنسبة إلى مقاربه.
• **الاستمرارية:** خاصّة عند نقاط تغيير التعريف.
• **الاشتقاقية:** حساب \(f'(x)\)، دراسة إشارتها، وإنشاء **جدول التغيّرات** مع القيم الحدّية.
• **المشتقّة الثانية:** عند الحاجة، لتحديد التقعّر ونقاط الانعطاف.
• **نقاط التقاطع:**
• مع محور الفواصل: حلّ \(f(x) = 0\).
• مع محور التراتيب: حساب \(f(0)\) إذا كان \(0 \in D_f\).
• **المماسات المميّزة:** كتابة معادلة المماس عند نقاط مهمّة.
• **جدول قيم مساعد** ثم **رسم المنحنى** بالاعتماد على كل ما سبق.

---

11. دراسة الدوال المثلثية

11.1 الخواصّ الأساسية

| الدالة | مجال التعريف | الدور | الشفعية | | :----- | :------------ | :---- | :------ | | \(x \mapsto \sin x\) | \(\mathbb{R}\) | \(2\pi\) | فردية | | \(x \mapsto \cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \(2\pi\) | زوجية | | \(x \mapsto \tan x\) | \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) | \(\pi\) | فردية |

11.2 مجال الدراسة المختزل

بفضل الدورية والشفعية يكفي دراسة الدالة على مجال قصير ثم إتمام المنحنى:

• **الدورية** تختزل الدراسة إلى مجال طوله \(T\)، مثل \(\left[-\pi ; \pi\right]\).
• **الشفعية** تختزله إلى نصفه، مثل \(\left[0 ; \pi\right]\).
• يُتمَّم المنحنى بالتناظر ثم بانسحابات شعاعها \(T\,\vec{\imath}\).

11.3 المشتقّات

\[ \left(\sin x\right)' = \cos x \]

\[ \left(\cos x\right)' = -\sin x \]

\[ \left(\sin(ax + b)\right)' = a \cos(ax + b) \]

\[ \left(\cos(ax + b)\right)' = -a \sin(ax + b) \]

11.4 دراسة الدالة \(x \mapsto \sin x\) على \(\left[0 ; \pi\right]\)

المشتقّة \(\cos x\) تنعدم عند \(\dfrac{\pi}{2}\) وتتغيّر إشارتها عندها:

| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | | :---- | :---- | :---- | :---- | | \(\cos x\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | | \(\sin x\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |

فالدالة متزايدة على \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) ومتناقصة على \(\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]\)، وتبلغ قيمة حدّية عظمى \(1\).

11.5 الدالة \(t \mapsto a \sin\left(\omega t + \varphi\right)\)

هي نموذج الظواهر الدورية في الفيزياء.

| العنصر | الرمز | المعنى | | :----- | :---- | :----- | | السعة | \(\left\lvert a \right\rvert\) | أكبر ابتعاد عن الوضع المتوسّط | | النبض | \(\omega\) | يقيس سرعة التكرار | | الطور الابتدائي | \(\varphi\) | قيمة الزاوية \(\omega t + \varphi\) عند \(t = 0\) (وقيمة الدالة عندئذ \(a\sin\varphi\)) |

والدور والتواتر:

\[ T = \dfrac{2\pi}{\left\lvert \omega \right\rvert} \]

\[ N = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\left\lvert \omega \right\rvert}{2\pi} \]

ومشتقّتها:

\[ \left(a \sin\left(\omega t + \varphi\right)\right)' = a\,\omega \cos\left(\omega t + \varphi\right) \]

والدالة محصورة:

\[ -\left\lvert a \right\rvert \le a \sin\left(\omega t + \varphi\right) \le \left\lvert a \right\rvert \]

11.6 النهايات المثلثية عند الصفر

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^{2}} = \dfrac{1}{2} \]

> تنبيه: الدالتان \(\sin\) و \(\cos\) ليس لهما نهاية عند \(+\infty\) ولا عند \(-\infty\)، لأنّهما تتذبذبان بين \(-1\) و \(1\). أمّا \(\dfrac{\sin x}{x}\) فنهايتها \(0\) عند \(+\infty\) بالحصر.

---

12. الدوال الصمّاء ومشتقّ الدالة المركّبة والمماس الموازي لمحور التراتيب

مشتقّ الدالة المركّبة: القاعدة العامة

إذا كانت \(u\) قابلة للاشتقاق على مجال \(I\)، و \(g\) قابلة للاشتقاق على مجال \(J\) يحوي \(u(I)\)، فإنّ الدالة \(g \circ u\) قابلة للاشتقاق على \(I\) و:

\[ \left(g \circ u\right)'(x) = u'(x) \times g'\!\left(u(x)\right) \]

أمثلة محلولة:

• \(f(x) = \left(3x^{2} - 1\right)^{4}\): نضع \(u(x) = 3x^{2} - 1\) و \(g(X) = X^{4}\)، فيكون:

\[ f'(x) = 6x \times 4\left(3x^{2} - 1\right)^{3} \]

\[ f'(x) = 24x\left(3x^{2} - 1\right)^{3} \]

• \(f(x) = \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\): نضع \(u(x) = x^{2} + 1\) و \(g(X) = \dfrac{1}{X^{2}}\) ومنه \(g'(X) = -\dfrac{2}{X^{3}}\):

\[ f'(x) = 2x \times \dfrac{-2}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = \dfrac{-4x}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} \]

• \(f(x) = \sin\left(x^{2}\right)\): \(f'(x) = 2x\cos\left(x^{2}\right)\).

الدالة \(x \mapsto \sqrt{u(x)}\)

• **مجال التعريف:** مجموعة قيم \(x\) التي تحقّق \(u(x) \ge 0\).
• **الاشتقاق:** إذا كانت \(u\) قابلة للاشتقاق و \(u(x) > 0\) فإنّ:

\[ \left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \]

وبما أنّ المقام موجب تماماً فإنّ إشارة \(\left(\sqrt{u}\right)'\) هي إشارة \(u'\)، أي أنّ \(\sqrt{u}\) لها نفس اتجاه تغيّر \(u\).

• **عند نقطة \(x_0\) تنعدم فيها \(u\):** الدالة في الغالب **غير قابلة للاشتقاق**. نحسب نهاية نسبة التزايد، فإذا كانت \(+\infty\) أو \(-\infty\) فإنّ \((C_f)\) يقبل عند النقطة \(\left(x_0 ; 0\right)\) **نصف مماس موازياً لحامل محور التراتيب** معادلته \(x = x_0\).

مثال محلول: \(f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x}\)

1) مجال التعريف: \(x^{2} - 2x = x(x - 2) \ge 0\)، ومنه:

\[ D_f = \left]-\infty ; 0\right] \cup \left[2 ; +\infty\right[ \]

2) المشتقّة: على \(\left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]2 ; +\infty\right[\):

\[ f'(x) = \dfrac{2x - 2}{2\sqrt{x^{2} - 2x}} = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \]

إشارة \(f'\) هي إشارة \(x - 1\): سالبة على \(\left]-\infty ; 0\right[\) وموجبة على \(\left]2 ; +\infty\right[\).

| المجال | \(\left]-\infty ; 0\right]\) | \(\left[2 ; +\infty\right[\) | | :----- | :---------------------------- | :---------------------------- | | إشارة \(f'(x)\) | \(-\) | \(+\) | | تغيّر \(f\) | متناقصة من \(+\infty\) إلى \(0\) | متزايدة من \(0\) إلى \(+\infty\) |

3) الاشتقاقية عند 2: من أجل \(x > 2\):

\[ \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x - 2}}{x - 2} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}} \]

ونهايتها \(+\infty\) لمّا \(x \to 2^{+}\): \(f\) غير قابلة للاشتقاق عند \(2\)، و \((C_f)\) يقبل عند \(A(2 ; 0)\) نصف مماس موازياً لمحور التراتيب.

4) الاشتقاقية عند 0: من أجل \(x < 0\) لدينا \(x = -\sqrt{x^{2}}\)، ومنه:

\[ \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = -\sqrt{\dfrac{x - 2}{x}} \]

ولمّا \(x \to 0^{-}\) يكون \(\dfrac{x - 2}{x} \to +\infty\)، فالنهاية \(-\infty\): نصف مماس شاقولي عند \(O\).

5) المقارب المائل عند \(+\infty\): بالضرب في المرافق:

\[ f(x) - (x - 1) = \dfrac{(x^{2} - 2x) - (x - 1)^{2}}{\sqrt{x^{2} - 2x} + x - 1} \]

\[ f(x) - (x - 1) = \dfrac{-1}{\sqrt{x^{2} - 2x} + x - 1} \]

المقام يؤول إلى \(+\infty\)، فالفرق يؤول إلى \(0\): المستقيم \(y = x - 1\) مقارب مائل عند \(+\infty\). والمقام موجب من أجل \(x \ge 2\)، فالفرق سالب: \((C_f)\) تحت المقارب.

وبالطريقة نفسها نجد أنّ \(y = -x + 1\) مقارب مائل عند \(-\infty\) والمنحنى تحته أيضاً.

طريقة للامتحان

لإثبات أنّ \((C_f)\) يقبل مماساً (أو نصف مماس) موازياً لمحور التراتيب عند \(x_0\): نحسب \(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) ونجدها \(\pm\infty\)، ثم نكتب معادلته \(x = x_0\). ولا نكتفي بقول إنّ \(f'(x_0)\) غير موجود.

13. المشتقّات المتتابعة والكتابات التفاضلية والمعادلتان \(y' = f(x)\) و \(y'' = f(x)\)

المشتقّات المتتابعة: أمثلة محلولة

مثال 1: \(f(x) = x^{4} - 2x^{3}\):

\[ f'(x) = 4x^{3} - 6x^{2} \]

\[ f''(x) = 12x^{2} - 12x \]

\[ f'''(x) = 24x - 12 \]

\[ f^{(4)}(x) = 24 \]

وكلّ المشتقّات من الرتبة \(5\) فما فوق معدومة.

مثال 2: \(g(x) = \sin x\): \(g' = \cos\)، \(g'' = -\sin\)، \(g''' = -\cos\)، \(g^{(4)} = \sin\). المشتقّات تتكرّر كلّ أربع رتب. ولحساب \(g^{(2026)}\) نقسم \(2026\) على \(4\): \(2026 = 4 \times 506 + 2\)، ومنه:

\[ g^{(2026)}(x) = g''(x) = -\sin x \]

ولاحظ أنّ \(g'' = -g\): الدالة \(\sin\) حلّ للمعادلة \(y'' = -y\) التي تصف الاهتزازات في الفيزياء.

مثال 3: \(h(x) = \dfrac{1}{x}\): \(h'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}\)، \(h''(x) = \dfrac{2}{x^{3}}\)، \(h'''(x) = -\dfrac{6}{x^{4}}\).

الكتابات التفاضلية

إذا كانت \(y = f(x)\) نكتب أيضاً:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{dy}{dx} \]

\[ f''(x) = \dfrac{d^{2}f}{dx^{2}} \]

وهي الكتابات المستعملة في الفيزياء: السرعة \(v = \dfrac{dx}{dt}\) والتسارع \(a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\).

ونكتب \(dy = f'(x)\,dx\): من أجل تغيّر صغير \(dx\) للمتغيّر، يكون \(dy\) تغيّر \(y\) على المماس، وهو قريب من التغيّر الحقيقي. مثلاً من أجل \(y = x^{3}\) لدينا \(dy = 3x^{2}\,dx\)، وعند \(x = 2\) و \(dx = 0{,}01\) نجد \(dy = 0{,}12\)، بينما التغيّر الحقيقي \(2{,}01^{3} - 8 = 0{,}120601\).

المعادلة التفاضلية \(y' = f(x)\)

حلّها على مجال \(I\) هو كلّ دالة \(y\) قابلة للاشتقاق على \(I\) تحقّق \(y'(x) = f(x)\): نبحث عن دالة مشتقّتها \(f\) (دالة أصلية لـ \(f\)). والحلول تختلف عن بعضها بثابت \(C\).

مثال: \(y' = 3x^{2} - 4x + 1\). الحلول:

\[ y(x) = x^{3} - 2x^{2} + x + C \]

والحلّ الذي يحقّق \(y(1) = 2\): \(1 - 2 + 1 + C = 2\) ومنه \(C = 2\)، أي \(y(x) = x^{3} - 2x^{2} + x + 2\).

مثال: \(y' = \cos(2x)\) حلولها \(y(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x) + C\).

المعادلة التفاضلية \(y'' = f(x)\)

نبحث عن \(y'\) أوّلاً ثم عن \(y\)، فيظهر ثابتان:

\[ y'(x) = F(x) + C_1 \]

\[ y(x) = G(x) + C_1 x + C_2 \]

مثال (سقوط شاقولي): جسم يُقذف نحو الأعلى بسرعة \(5\) م/ثا من ارتفاع \(20\) م، وتسارعه \(\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}} = -10\). نجد:

\[ v(t) = -10t + C_1 \]

ومن \(v(0) = 5\) يكون \(C_1 = 5\). ثم:

\[ z(t) = -5t^{2} + 5t + C_2 \]

ومن \(z(0) = 20\) يكون \(C_2 = 20\)، أي \(z(t) = -5t^{2} + 5t + 20\). يبلغ أعلى ارتفاع لمّا \(v(t) = 0\) أي \(t = 0{,}5\) ثا، وهو \(z(0{,}5) = 21{,}25\) م.

طريقة للامتحان

• في \(y' = f(x)\) شرط ابتدائي واحد يعيّن الحلّ، وفي \(y'' = f(x)\) يلزم شرطان (مثل \(y(0)\) و \(y'(0)\)).
• تحقّق دائماً من حلّك باشتقاقه.

14. التقريب \(\Delta y \approx f'(x)\,\Delta x\) وطريقة أولر

المبدأ

إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق عند \(x\) وكان \(\Delta x = h\) صغيراً، فإنّ تغيّر الدالة:

\[ \Delta y = f(x + h) - f(x) \]

يقارب تغيّرها على المماس:

\[ \Delta y \approx f'(x)\,\Delta x \]

ومنه:

\[ f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x) \]

مثال: مكعّب طول ضلعه \(c = 10\) سم، يزداد ضلعه بـ \(0{,}1\) سم. حجمه \(V(c) = c^{3}\) و \(V'(c) = 3c^{2}\)، ومنه:

\[ \Delta V \approx 3 \times 10^{2} \times 0{,}1 = 30 \]

أي زيادة بحوالي \(30\) سم³، والزيادة الحقيقية \(10{,}1^{3} - 1000 = 30{,}301\) سم³.

طريقة أولر

نعرف قيمة الدالة \(f\) عند \(x_0\)، ونعرف عبارة مشتقّتها (معادلة تفاضلية)، ولا نعرف عبارتها. نختار خطوة صغيرة \(h\) ونطبّق التقريب السابق خطوة بعد خطوة:

\[ x_{n+1} = x_n + h \]

\[ y_{n+1} = y_n + h\,f'(x_n) \]

فنحصل على نقاط \(\left(x_n ; y_n\right)\) قريبة من المنحنى، وكلّما صغرت \(h\) تحسّن التقريب.

مثال محلول: المعادلة \(y' = \dfrac{1}{x}\) مع \(y(1) = 0\)

هنا \(f'(x) = \dfrac{1}{x}\)، فتصبح العلاقة:

\[ y_{n+1} = y_n + \dfrac{h}{x_n} \]

مع \(h = 0{,}1\) و \(x_0 = 1\) و \(y_0 = 0\):

| \(x_n\) | \(1\) | \(1{,}1\) | \(1{,}2\) | \(1{,}3\) | \(1{,}4\) | \(1{,}5\) | | :------ | :---- | :-------- | :-------- | :-------- | :-------- | :-------- | | \(y_n\) | \(0\) | \(0{,}1\) | \(0{,}1909\) | \(0{,}2742\) | \(0{,}3512\) | \(0{,}4226\) |

مثلاً: \(y_2 = 0{,}1 + \dfrac{0{,}1}{1{,}1} \approx 0{,}1909\).

الدالة التي نقرّبها هي الدالة اللوغاريتمية النيبيرية \(\ln\) (ستُدرس لاحقاً)، وقيمتها الحقيقية \(\ln 1{,}5 \approx 0{,}4055\). التقريب أكبر من القيمة الحقيقية لأنّ المنحنى يقع تحت مماساته، فكلّ خطوة على المماس تتجاوز المنحنى قليلاً.

باستعمال مجدول

نكتب في العمود A قيم \(x\) وفي العمود B قيم \(y\):

• في الخانة A2 العدد \(1\)، وفي A3 الصيغة `=A2+0.1` ثم نسحبها نحو الأسفل.
• في الخانة B2 العدد \(0\)، وفي B3 الصيغة `=B2+0.1/A2` ثم نسحبها.

ولتقريب حلّ \(y' = y\) مع \(y(0) = 1\) تصبح الصيغة `=B2+0.1*B2`، أي \(y_{n+1} = (1 + h)\,y_n\)، وهي المنطلق لإنشاء الدالة الأسية في درسها.

> للامتحان: في طريقة أولر تُستعمل المشتقّة عند بداية الخطوة \(x_n\)، لا عند نهايتها.

15. نهاية دالة مركّبة ومبرهنتا الحصر والمقارنة: أمثلة محلولة

نهاية دالة مركّبة: الطريقة

لحساب نهاية \(g\left(u(x)\right)\) لمّا \(x \to a\):

• نحسب نهاية الدالة الداخلية: \(\lim\limits_{x \to a} u(x) = b\).
• نحسب نهاية الدالة الخارجية: \(\lim\limits_{X \to b} g(X) = c\).
• نستنتج: \(\lim\limits_{x \to a} g\left(u(x)\right) = c\).

و \(a\) و \(b\) و \(c\) قد تكون أعداداً حقيقية أو \(+\infty\) أو \(-\infty\).

مثال 1: \(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{4x^{2} + 1}{x^{2} + 3}}\). الدالة الداخلية ناطقة:

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^{2} + 1}{x^{2} + 3} = 4 \]

و \(\lim\limits_{X \to 4} \sqrt{X} = 2\)، إذن النهاية \(2\).

مثال 2: \(\lim\limits_{x \to +\infty} \cos\left(\dfrac{\pi x}{2x + 1}\right)\). الدالة الداخلية تؤول إلى \(\dfrac{\pi}{2}\)، و \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\)، فالنهاية \(0\).

مثال 3 (تغيير المتغيّر): \(\lim\limits_{x \to +\infty} x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\). نضع \(X = \dfrac{1}{x}\)، فلمّا \(x \to +\infty\) يكون \(X \to 0^{+}\) و:

\[ x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{\sin X}{X} \]

ونعلم أنّ \(\lim\limits_{X \to 0} \dfrac{\sin X}{X} = 1\)، إذن النهاية \(1\).

الحصر: مثال محلول

احسب \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x + \sin x}{x + 1}\).

من أجل كل \(x\): \(-1 \le \sin x \le 1\)، ومن أجل \(x > 0\):

\[ \dfrac{2x - 1}{x + 1} \le \dfrac{2x + \sin x}{x + 1} \le \dfrac{2x + 1}{x + 1} \]

والدالتان الحاصرتان ناطقتان نهايتاهما عند \(+\infty\) تساويان \(2\) (نسبة الحدّين الأعلى درجة). إذن حسب مبرهنة الحصر النهاية \(2\).

صيغة مفيدة: إذا كان \(\left\lvert f(x) - \ell \right\rvert \le g(x)\) و \(\lim g = 0\) فإنّ \(\lim f = \ell\).

المقارنة: مثال محلول

لتكن \(f(x) = x + \sin x\). من أجل كل \(x\):

\[ f(x) \ge x - 1 \]

و \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty\)، إذن \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

وكذلك \(f(x) \le x + 1\) و \(\lim\limits_{x \to -\infty} (x + 1) = -\infty\)، إذن \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

متى نلجأ إلى الحصر أو المقارنة؟

عندما تظهر دالة ليست لها نهاية مثل \(\sin x\) أو \(\cos x\) عند اللانهاية، فلا يمكن تطبيق قواعد العمليات مباشرة. نستعمل حينئذ \(-1 \le \sin x \le 1\) أو \(-1 \le \cos x \le 1\):

• للحصول على نهاية **منتهية**: نحصر الدالة بين دالتين لهما النهاية نفسها.
• للحصول على نهاية **غير منتهية**: تكفي متباينة واحدة في الاتجاه المناسب.

16. الدالة \(x \mapsto \tan x\) والدالة \(t \mapsto a\sin(\omega t + \varphi)\)

دراسة الدالة \(\tan\)

\[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \]

• **مجال التعريف:** \(\cos x \ne 0\)، أي \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) مع \(k \in \mathbb{Z}\).
• **الشفعية والدورية:** \(\tan\) فردية ودورية دورها \(\pi\). نكتفي بدراستها على \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right[\)، ثم نتمّم بالتناظر بالنسبة إلى \(O\) فنحصل على المنحنى على \(\left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[\)، ثم بانسحابات شعاعها \(\pi\,\vec{\imath}\).
• **المشتقّة:**

\[ \tan'(x) = 1 + \tan^{2} x = \dfrac{1}{\cos^{2} x} \]

وهي موجبة تماماً: \(\tan\) متزايدة تماماً على كل مجال من الشكل \(\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi ; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[\).

• **النهايات:** لمّا \(x \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{-}\) يكون \(\sin x \to 1\) و \(\cos x \to 0^{+}\)، ومنه:

\[ \lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \tan x = +\infty \]

وبالفردية \(\lim\limits_{x \to \left(-\frac{\pi}{2}\right)^{+}} \tan x = -\infty\). إذن المستقيمات \(x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) مقاربات شاقولية.

• **المماس عند \(O\):** \(\tan'(0) = 1\) ومعادلته \(y = x\). والمشتقّة الثانية \(2\tan x\left(1 + \tan^{2} x\right)\) تنعدم عند \(0\) وتغيّر إشارتها، فالنقطة \(O\) **نقطة انعطاف**.
• **قيم مرجعية:** \(\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)، \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\)، \(\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\).

الدالة \(t \mapsto a\sin(\omega t + \varphi)\): مثال من الفيزياء

التوتّر المتناوب في شبكة الكهرباء:

\[ u(t) = 12\sin\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{6}\right) \]

• **السعة:** \(12\) فولط، فـ \(-12 \le u(t) \le 12\).
• **النبض:** \(\omega = 100\pi\) راد/ثا.
• **الدور والتواتر:** \(T = \dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02\) ثا و \(N = \dfrac{1}{T} = 50\) هرتز.
• **الطور (الصفحة) الابتدائي:** \(\varphi = \dfrac{\pi}{6}\) هي قيمة **الزاوية** \(\omega t + \varphi\) عند \(t = 0\)، أمّا **قيمة التوتّر** عند \(t = 0\) فهي \(u(0) = 12\sin\dfrac{\pi}{6} = 6\) فولط. لا نخلط بين الاثنين.
• **المشتقّة:**

\[ u'(t) = 1200\pi\cos\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{6}\right) \]

• **أوّل لحظة يبلغ فيها \(u\) قيمته العظمى:** \(100\pi t + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\)، ومنه \(100\pi t = \dfrac{\pi}{3}\) أي \(t = \dfrac{1}{300}\) ثا.

خاصية مهمّة

الدالة \(y(t) = a\sin(\omega t + \varphi)\) تحقّق:

\[ y'' = -\omega^{2}\,y \]

لأنّ \(y' = a\omega\cos(\omega t + \varphi)\) و \(y'' = -a\omega^{2}\sin(\omega t + \varphi)\). وهذه هي معادلة الاهتزازات الحرّة (النوّاس المرن، الدارة LC) في الفيزياء.

17. تمارين نموذجية محلولة

12.1 دراسة دالة ناطقة

لتكن \(f\) المعرّفة على \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) بـ:

\[ f(x) = \dfrac{x^{2}}{x - 1} \]

1) النهايات:

\[ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty \]

\[ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty \]

إذن المستقيم \(x = 1\) مقارب شاقولي.

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x^{2}}{x} = \pm\infty \]

2) المقارب المائل: بالقسمة الإقليدية:

\[ f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1} \]

وبما أنّ \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x-1} = 0\) فإنّ المستقيم \(y = x + 1\) مقارب مائل.

الوضع النسبي: إشارة \(f(x) - (x+1) = \dfrac{1}{x-1}\) هي إشارة \(x - 1\)، فالمنحنى فوق المقارب على \(\left]1 ; +\infty\right[\) وتحته على \(\left]-\infty ; 1\right[\).

3) الاشتقاقية:

\[ f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^{2}}{(x-1)^{2}} \]

\[ f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2x}{(x-1)^{2}} = \dfrac{x(x - 2)}{(x-1)^{2}} \]

المقام موجب تماماً، فإشارة \(f'\) هي إشارة \(x(x-2)\):

| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | | :---- | :---------- | :---- | :---- | :---- | :---------- | | إشارة \(f'\) | \(+\) | \(0\) \(-\) | \(\parallel\) \(-\) | \(0\) \(+\) | \(+\) | | تغيّر \(f\) | متزايدة | \(f(0) = 0\) | متناقصة | \(f(2) = 4\) | متزايدة |

فالدالة تقبل قيمة حدّية عظمى محلّية \(f(0) = 0\) وقيمة حدّية صغرى محلّية \(f(2) = 4\).

12.2 مبرهنة القيم المتوسّطة

لتكن \(g\) المعرّفة على \(\mathbb{R}\) بـ \(g(x) = x^{3} + 3x - 5\). بيّن أنّ المعادلة \(g(x) = 0\) تقبل حلاًّ وحيداً \(\alpha\) وحدّده بدقّة \(0{,}1\).

الحلّ: \(g\) كثير حدود فهي مستمرة على \(\mathbb{R}\)، و:

\[ g'(x) = 3x^{2} + 3 > 0 \]

إذن \(g\) متزايدة تماماً على \(\mathbb{R}\). وبما أنّ:

\[ g(1) = -1 < 0 \]

\[ g(2) = 9 > 0 \]

فالمعادلة \(g(x) = 0\) تقبل حلاًّ وحيداً \(\alpha \in \left]1 ; 2\right[\). وبالحساب:

\[ g(1{,}1) \approx -0{,}369 < 0 \]

\[ g(1{,}2) \approx 0{,}328 > 0 \]

ومنه \(1{,}1 < \alpha < 1{,}2\).

12.3 فرع شلجمي

لتكن \(h(x) = \dfrac{x^{2} + 1}{\sqrt{x}}\) على \(\left]0 ; +\infty\right[\). عيّن طبيعة الفرع اللانهائي عند \(+\infty\).

الحلّ:

\[ \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{x}} \]

\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2}}{x^{\frac{3}{2}}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty \]

إذن \((C_h)\) يقبل فرعاً شلجمياً في اتجاه محور التراتيب.

---

18. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

• حساب نهاية دالة ناطقة عند اللانهاية بتعويض مباشر بدل مقارنة الدرجتين، أو تطبيق قاعدة الدرجتين **عند نقطة منتهية**.
• الاستنتاج أن \(x = a\) مقارب شاقولي لمجرّد أن \(a \notin D_f\)، دون حساب النهاية.
• البحث عن مقارب مائل قبل التأكّد أن \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}\) موجودة ومنتهية وغير معدومة — وإهمال حالة **الفرع الشلجمي** عندما تكون \(\lim\left[f(x) - ax\right]\) لا نهائية.
• تطبيق مبرهنة القيم المتوسّطة دون التحقّق من **الرتابة التامّة** — الاستمرارية وحدها تعطي الوجود لا الوحدانية.
• الحكم بوجود مطراف من انعدام \(f'\) فقط، دون التحقّق من **تغيّر الإشارة** (مثال: \(x^{3}\) عند \(0\)).
• الحكم بوجود نقطة انعطاف من انعدام \(f''\) فقط، دون التحقّق من تغيّر الإشارة (مثال: \(x^{4}\) عند \(0\)).
• الخلط بين \((u \times v)'\) و \(u' \times v'\)، ونسيان شرط \(v \ne 0\) عند اشتقاق حاصل قسمة.
• نسيان \(u'\) عند اشتقاق دالة مركّبة: \(\left(e^{u}\right)' = u'e^{u}\) وليس \(e^{u}\).
• الاستنتاج أنّ الدالة المستمرة قابلة للاشتقاق — العكس هو الصحيح فقط.
• إهمال التحقّق من **تماثل مجال التعريف** بالنسبة إلى \(0\) قبل الحكم بالزوجية أو الفردية.