التحويلات النقطية والتشابهات المستوية المباشرة

3. التحاكي

3.1 تعريف وكتابة مركّبة

ليكن \(\Omega\) نقطة لاحقتها \(\omega\) و \(k\) عدداً حقيقياً غير معدوم. التحاكي \(h(\Omega ; k)\) الذي مركزه \(\Omega\) ونسبته \(k\) يرفق بكلّ نقطة \(M\) النقطة \(M'\) بحيث:

\[ \overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M} \]

وبالأعداد المركبة نحصل على الكتابة المختصرة:

\[ z' - \omega = k\,(z - \omega) \]

وبالنشر:

\[ z' = k\,z + (1 - k)\,\omega \]

فالكتابة من الشكل \(z' = az + b\) مع \(a = k\) حقيقي.

3.2 حالات خاصة وخواص

• \(k = 1\): التطبيق المطابق.
• \(k = -1\): **التناظر المركزي** الذي مركزه \(\Omega\)، وكتابته \(z' = -z + 2\omega\).
• إذا كان \(k \ne 1\) فالمركز \(\Omega\) هو النقطة الصامدة الوحيدة.
• النقط \(\Omega\)، \(M\)، \(M'\) على استقامة واحدة.
• \(\Omega M' = \lvert k \rvert\,\Omega M\): الأطوال تُضرب في \(\lvert k \rvert\) والمساحات في \(k^2\).

3.3 أمثلة محلولة

المثال 1: التحاكي الذي مركزه \(\Omega(1 + i)\) ونسبته \(2\):

\[ z' - (1 + i) = 2\,(z - 1 - i) \]

\[ z' = 2z - 1 - i \]

صورة \(A(3 - i)\): \(z' = 6 - 2i - 1 - i = 5 - 3i\). تحقّق بالكتابة المختصرة: \(z_A - \omega = 2 - 2i\)، نضربه في \(2\) فنجد \(4 - 4i\) ثم نضيف \(\omega\) فنجد \(5 - 3i\).

المثال 2: التحاكي الذي مركزه \(\Omega(2)\) ونسبته \(-3\):

\[ z' - 2 = -3\,(z - 2) \]

\[ z' = -3z + 8 \]

صورة \(B(i)\): \(z' = 8 - 3i\).

المثال 3 (تعيين النسبة): تحاكٍ مركزه \(\Omega(1)\) يحوّل \(A(2 + i)\) إلى \(A'(-1 - 2i)\). نسبته:

\[ k = \dfrac{z_{A'} - \omega}{z_A - \omega} = \dfrac{-2 - 2i}{1 + i} = -2 \]

لأنّ \(-2(1 + i) = -2 - 2i\). النسبة سالبة، فـ \(A\) و \(A'\) في جهتين مختلفتين من \(\Omega\).

> طريقة: إذا كانت \(\dfrac{z_{A'} - \omega}{z_A - \omega}\) عدداً حقيقياً \(k\) فإنّ \(A'\) صورة \(A\) بالتحاكي \(h(\Omega ; k)\)؛ وإن لم يكن حقيقياً فلا يوجد تحاكٍ مركزه \(\Omega\) يحوّل \(A\) إلى \(A'\).

4. الدوران

4.1 تعريف وكتابة مركّبة

ليكن \(\Omega\) نقطة لاحقتها \(\omega\) و \(\theta\) عدداً حقيقياً. الدوران \(r(\Omega ; \theta)\) الذي مركزه \(\Omega\) وزاويته \(\theta\) يحوّل \(\Omega\) إلى نفسها، ويرفق بكلّ نقطة \(M \ne \Omega\) النقطة \(M'\) بحيث:

\[ \Omega M' = \Omega M \]

\[ \left(\overrightarrow{\Omega M} ; \overrightarrow{\Omega M'}\right) = \theta \ [2\pi] \]

الشرطان معاً يعنيان أنّ للعدد \(\dfrac{z' - \omega}{z - \omega}\) الطويلة \(1\) والعمدة \(\theta\)، أي أنّه يساوي \(e^{i\theta}\). ومنه الكتابة المختصرة:

\[ z' - \omega = e^{i\theta}\,(z - \omega) \]

وبالنشر: \(z' = e^{i\theta} z + (1 - e^{i\theta})\,\omega\).

4.2 قيم يجب حفظها

• \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\): \(e^{i\theta} = i\)؛ و \(\theta = -\dfrac{\pi}{2}\): \(e^{i\theta} = -i\).
• \(\theta = \pi\): \(e^{i\theta} = -1\)، والدوران هو التناظر المركزي.
• \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\): \(e^{i\theta} = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

4.3 أمثلة محلولة

المثال 1: الدوران الذي مركزه \(O\) وزاويته \(\frac{\pi}{2}\): \(z' = iz\). صورة \(A(3 + 2i)\): \(z' = 3i + 2i^2 = -2 + 3i\).

المثال 2: الدوران الذي مركزه \(\Omega(1 + i)\) وزاويته \(\frac{\pi}{2}\):

\[ z' - (1 + i) = i\,(z - 1 - i) \]

\[ z' = iz - i + 1 + 1 + i \]

\[ z' = iz + 2 \]

صورة \(B(3 + i)\): \(z' = 3i - 1 + 2 = 1 + 3i\). تحقّق: \(z_B - \omega = 2\)، و \(2i + (1 + i) = 1 + 3i\).

المثال 3: الدوران الذي مركزه \(\Omega(2i)\) وزاويته \(-\frac{\pi}{2}\):

\[ z' - 2i = -i\,(z - 2i) \]

\[ z' = -iz - 2 + 2i \]

فصورة المبدأ \(O\) هي النقطة ذات اللاحقة \(-2 + 2i\).

المثال 4 (مثلث قائم ومتساوي الساقين): لتكن \(A(1)\) و \(B(3 + 2i)\). النقطة \(C\) صورة \(B\) بالدوران الذي مركزه \(A\) وزاويته \(\frac{\pi}{2}\):

\[ z_C - 1 = i\,(2 + 2i) = -2 + 2i \]

ومنه \(z_C = -1 + 2i\)، و \(AB = AC = 2\sqrt{2}\)، فالمثلث \(ABC\) قائم ومتساوي الساقين في \(A\).

> طريقة: \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\theta}\) تعني أنّ \(C\) صورة \(B\) بالدوران الذي مركزه \(A\) وزاويته \(\theta\). مع \(\theta = \pm\frac{\pi}{3}\) يكون \(ABC\) متقايس الأضلاع، ومع \(\theta = \pm\frac{\pi}{2}\) قائماً ومتساوي الساقين في \(A\).

5. التعرّف على تحويل من كتابته المركّبة \(z' = az + b\)

5.1 الخاصية

ليكن \(f\) التحويل الذي كتابته \(z' = az + b\) مع \(a \ne 0\).

| الشرط على \(a\) | طبيعة \(f\) | العناصر المميّزة | | :-------------- | :---------- | :--------------- | | \(a = 1\) | انسحاب | شعاعه لاحقته \(b\) | | \(a \in \mathbb{R}^{*}\) و \(a \ne 1\) | تحاكٍ | نسبته \(a\) ومركزه \(\Omega\) | | \(\lvert a \rvert = 1\) و \(a \ne 1\) | دوران | زاويته \(\arg(a)\) ومركزه \(\Omega\) |

5.2 تعيين المركز

إذا كان \(a \ne 1\) فالمعادلة \(z = az + b\) تكافئ \(z(1 - a) = b\)، فللتحويل نقطة صامدة وحيدة \(\Omega\):

\[ \omega = \dfrac{b}{1 - a} \]

ولأنّ \(b = \omega - a\omega\) نحصل على:

\[ z' - \omega = a\,(z - \omega) \]

وهي الكتابة المختصرة للتحاكي (إذا كان \(a\) حقيقياً) أو للدوران (إذا كان \(\lvert a \rvert = 1\)).

5.3 أمثلة محلولة

المثال 1: \(z' = -2z + 3i\). هنا \(a = -2\) حقيقي و \(a \ne 1\): تحاكٍ نسبته \(-2\) ومركزه:

\[ \omega = \dfrac{3i}{1 + 2} = i \]

تحقّق: \(-2i + 3i = i\).

المثال 2: \(z' = iz + 1 + i\). هنا \(\lvert i \rvert = 1\) و \(i \ne 1\): دوران زاويته \(\frac{\pi}{2}\)، ومركزه:

\[ \omega = \dfrac{1 + i}{1 - i} = \dfrac{(1 + i)^2}{2} = i \]

تحقّق: \(i \times i + 1 + i = i\).

المثال 3: \(z' = -iz + 2\). \(\lvert -i \rvert = 1\) و \(\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}\): دوران زاويته \(-\frac{\pi}{2}\)، ومركزه:

\[ \omega = \dfrac{2}{1 + i} = 1 - i \]

تحقّق: \(-i(1 - i) + 2 = -i - 1 + 2 = 1 - i\).

المثال 4: \(z' = z + 2 - 3i\): انسحاب شعاعه \(\vec{w}(2 ; -3)\).

المثال 5: \(z' = -z + 4\): تحاكٍ نسبته \(-1\)، أي تناظر مركزي مركزه النقطة ذات اللاحقة \(\frac{4}{2} = 2\).

المثال 6: \(z' = (1 + i)z\): هنا \(a\) ليس حقيقياً و \(\lvert a \rvert = \sqrt{2} \ne 1\)، فـ \(f\) ليس انسحاباً ولا تحاكياً ولا دوراناً؛ إنّه تشابه مباشر (الجزء 7).

> طريقة: ابدأ دائماً بفحص \(a\): هل \(a = 1\)؟ هل \(a\) حقيقي؟ هل \(\lvert a \rvert = 1\)؟ ثم احسب المركز بـ \(\frac{b}{1 - a}\) وتحقّق منه بالتعويض في الكتابة.

6. خواص التحويلات وحلّ مسائل هندسية

6.1 حفظ الأطوال والزوايا

ليكن \(f\) تحويلاً كتابته \(z' = az + b\)، و \(M\)، \(N\)، \(P\) نقطاً صورها \(M'\)، \(N'\)، \(P'\). بالطرح:

\[ z_{N'} - z_{M'} = a\,(z_N - z_M) \]

ومنه:

• \(M'N' = \lvert a \rvert\, MN\): الانسحاب والدوران يحفظان المسافات، والتحاكي يضربها في \(\lvert k \rvert\).
• إذا كان \(M \ne N\) و \(M \ne P\):

\[ \dfrac{z_{P'} - z_{M'}}{z_{N'} - z_{M'}} = \dfrac{z_P - z_M}{z_N - z_M} \]

فالزوايا الموجّهة محفوظة.

6.2 الاستقامية والتوازي والمرجح

• لأنّ النسبة السابقة لا تتغيّر، فإذا كانت حقيقية بقيت حقيقية: **الاستقامية محفوظة**، وكذلك **التوازي** و **التعامد**.
• إذا كان \(G\) مرجح \(\{(A ; \alpha), (B ; \beta)\}\) فإنّ:

\[ a\,z_G + b = \dfrac{\alpha(a z_A + b) + \beta(a z_B + b)}{\alpha + \beta} \]

فصورة المرجح هي مرجح الصور بنفس المعاملات؛ خاصة: صورة منتصف \([AB]\) هي منتصف \([A'B']\).

• صورة مستقيم مستقيم، وصورة قطعة قطعة، وصورة الدائرة التي مركزها \(\Omega\) ونصف قطرها \(R\) هي الدائرة التي مركزها \(f(\Omega)\) ونصف قطرها \(\lvert a \rvert R\).
• المساحات تُضرب في \(\lvert a \rvert^2\).

6.3 أمثلة محلولة

المثال 1: صورة الدائرة التي مركزها \(A(1 + i)\) ونصف قطرها \(2\) بالدوران \(z' = iz\) هي الدائرة التي مركزها \(i(1 + i) = -1 + i\) ونصف قطرها \(2\).

المثال 2: التحويل \(z' = -3z + 4\) تحاكٍ نسبته \(-3\) ومركزه \(\frac{4}{4} = 1\). مثلث مساحته \(5\) تصبح مساحة صورته \(9 \times 5 = 45\).

المثال 3 (مسألة تعامد): لتكن \(A(3)\) و \(B(1 + 2i)\)، و \(C\)، \(D\) صورتيهما بالدوران \(r\) الذي مركزه \(O\) وزاويته \(\frac{\pi}{2}\). لدينا \(z_C = 3i\) و \(z_D = i(1 + 2i) = -2 + i\)، ثم:

\[ z_D - z_C = -2 - 2i \]

\[ z_B - z_A = -2 + 2i \]

ونلاحظ أنّ \(i(-2 + 2i) = -2 - 2i\)، أي \(\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} = i\). إذن \(CD = AB\) و \((AB) \perp (CD)\). وهذه نتيجة عامّة: الدوران ذو الزاوية \(\frac{\pi}{2}\) يحوّل كلّ قطعة إلى قطعة تقايسها وتعامدها.

> ملاحظة للامتحان: لإثبات استقامية الصور أو توازيها، لا تُعِد الحساب: يكفي ذكر أنّ التحويل يحفظ الاستقامية (أو التوازي) مع التعليل بالنسبة \(\frac{z_P - z_M}{z_N - z_M}\).

7. التشابه المستوي المباشر

7.1 تعريف

التشابه المستوي المباشر هو تحويل نقطي للمستوي يحافظ على نسب المسافات وعلى الزوايا الموجّهة: يوجد عدد حقيقي \(k > 0\) بحيث \(M'N' = k\,MN\) لكلّ نقطتين \(M\) و \(N\)، والزوايا الموجّهة محفوظة.

7.2 الكتابة المركّبة

خاصية (مقبولة): التشابهات المستوية المباشرة هي بالضبط التحويلات التي كتابتها:

\[ z' = a\,z + b \]

\[ a \in \mathbb{C}^{*} \ , \ b \in \mathbb{C} \]

ومن أجل \(M \ne N\) لدينا \(\dfrac{z_{N'} - z_{M'}}{z_N - z_M} = a\)، ومنه:

• **النسبة** \(k = \lvert a \rvert\)، لأنّ \(M'N' = \lvert a \rvert\,MN\).
• **الزاوية** \(\theta = \arg(a)\)، لأنّ \(\left(\overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{M'N'}\right) = \arg(a) \ [2\pi]\).

7.3 حالات خاصة

• الانسحاب والتحاكي والدوران تشابهات مباشرة.
• التحاكي الذي نسبته \(k > 0\) تشابه نسبته \(k\) وزاويته \(0\)؛ والذي نسبته \(k < 0\) تشابه نسبته \(-k\) وزاويته \(\pi\).
• التشابه المباشر الذي نسبته \(1\) يحفظ المسافات ويسمّى **تقايساً مباشراً** (إزاحة): وهو انسحاب أو دوران.
• التحويل \(z' = \overline{z}\) يعكس الزوايا الموجّهة، فهو ليس تشابهاً مباشراً.

7.4 أمثلة محلولة

المثال 1: \(z' = (1 + i)z + 2\). لدينا \(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}\): نسبته \(\sqrt{2}\) وزاويته \(\frac{\pi}{4}\). صورة \(A(1 - i)\):

\[ z' = (1 + i)(1 - i) + 2 = 4 \]

وسابقة \(B(2 + 2i)\): \(z = \dfrac{2i}{1 + i} = 1 + i\).

المثال 2: \(z' = -3iz + 1\). \(-3i = 3e^{-i\frac{\pi}{2}}\): نسبته \(3\) وزاويته \(-\frac{\pi}{2}\).

المثال 3: \(z' = (-1 + i\sqrt{3})z\). \(\lvert a \rvert = \sqrt{1 + 3} = 2\)، و \(\cos\theta = -\frac{1}{2}\)، \(\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)، فالزاوية \(\frac{2\pi}{3}\).

المثال 4: \(z' = -2z + i\): نسبته \(\lvert -2 \rvert = 2\) وزاويته \(\arg(-2) = \pi\).

7.5 الصور بتشابه مباشر

التشابه المباشر الذي نسبته \(k\) يحوّل المستقيم إلى مستقيم، والدائرة التي نصف قطرها \(R\) إلى دائرة نصف قطرها \(kR\)، والمثلث إلى مثلث مشابه له أطواله مضروبة في \(k\) ومساحته مضروبة في \(k^2\)، مع حفظ الاستقامية والتوازي والتعامد والمرجح.

> ملاحظة للامتحان: النسبة \(\lvert a \rvert\) موجبة دائماً، والزاوية تُقرأ من الشكل الأسي للعدد \(a\) وحده، لا من \(b\).

8. التحليل القانوني لتشابه مباشر

8.1 مركز التشابه

ليكن \(s\) تشابهاً مباشراً كتابته \(z' = az + b\) مع \(a \ne 1\) (أي ليس انسحاباً). للمعادلة \(z = az + b\) حلّ وحيد، فلـ \(s\) نقطة صامدة وحيدة \(\Omega\) تسمّى مركز التشابه:

\[ \omega = \dfrac{b}{1 - a} \]

8.2 الكتابة المختصرة

نكتب \(a = k\,e^{i\theta}\) مع \(k = \lvert a \rvert\) و \(\theta = \arg(a)\). فتصبح الكتابة:

\[ z' - \omega = k\,e^{i\theta}\,(z - \omega) \]

ومعناها الهندسي: \(s(\Omega) = \Omega\)، ومن أجل \(M \ne \Omega\):

\[ \Omega M' = k\,\Omega M \]

\[ \left(\overrightarrow{\Omega M} ; \overrightarrow{\Omega M'}\right) = \theta \ [2\pi] \]

فالتشابه المباشر (غير الانسحاب) يتعيّن بمركزه ونسبته وزاويته.

8.3 التحليل القانوني

ليكن \(r\) الدوران \(r(\Omega ; \theta)\) و \(h\) التحاكي \(h(\Omega ; k)\). بتطبيق \(r\) ثم \(h\):

\[ z_1 - \omega = e^{i\theta}(z - \omega) \]

\[ z' - \omega = k(z_1 - \omega) = k\,e^{i\theta}(z - \omega) \]

إذن \(s = h \circ r = r \circ h\): كلّ تشابه مباشر هو مركّب تحاكٍ ودوران لهما نفس المركز، والترتيب لا يهمّ. هذا هو التحليل القانوني.

8.4 أمثلة محلولة

المثال 1: \(z' = (1 + i)z + 1 - i\). المركز:

\[ \omega = \dfrac{1 - i}{1 - (1 + i)} = \dfrac{1 - i}{-i} = 1 + i \]

تحقّق: \((1 + i)^2 + 1 - i = 2i + 1 - i = 1 + i\). النسبة \(\sqrt{2}\) والزاوية \(\frac{\pi}{4}\)، والكتابة المختصرة:

\[ z' - (1 + i) = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}(z - 1 - i) \]

المثال 2: \(z' = 2iz + 3\). النسبة \(2\) والزاوية \(\frac{\pi}{2}\)، والمركز:

\[ \omega = \dfrac{3}{1 - 2i} = \dfrac{3(1 + 2i)}{5} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}i \]

المثال 3 (الاتجاه العكسي): التشابه الذي مركزه \(\Omega(i)\) ونسبته \(3\) وزاويته \(-\frac{\pi}{2}\):

\[ z' - i = -3i\,(z - i) \]

\[ z' = -3iz - 3 + i \]

تحقّق: \(-3i \times i - 3 + i = 3 - 3 + i = i\).

المثال 4 (مثلث مميّز): في المثال 1، من أجل \(M \ne \Omega\): \(z' - z = (a - 1)(z - \omega) = i(z - \omega)\) و \(\omega - z = -(z - \omega)\)، ومنه:

\[ \dfrac{z' - z}{\omega - z} = -i \]

فالمثلث \(\Omega M M'\) قائم ومتساوي الساقين في \(M\).

> طريقة: لكتابة التحليل القانوني: (1) المركز \(\frac{b}{1 - a}\)، (2) النسبة \(\lvert a \rvert\)، (3) الزاوية \(\arg(a)\)، (4) \(s = h(\Omega ; k) \circ r(\Omega ; \theta)\).

9. مركّب تشابهين والتشابه الذي يحوّل نقطتين إلى نقطتين

9.1 مركّب تشابهين مباشرين

ليكن \(s_1 : z \mapsto a_1 z + b_1\) و \(s_2 : z \mapsto a_2 z + b_2\). التحويل \(s_2 \circ s_1\) (نطبّق \(s_1\) أوّلاً):

\[ z' = a_2(a_1 z + b_1) + b_2 \]

\[ z' = a_1 a_2\,z + a_2 b_1 + b_2 \]

فهو تشابه مباشر نسبته \(k_1 k_2\) و زاويته \(\theta_1 + \theta_2\). لكنّ التركيب ليس تبديلياً عموماً.

مثال: \(s_1 : z' = 2z + 1\) و \(s_2 : z' = iz\).

• \(s_2 \circ s_1 : z' = i(2z + 1) = 2iz + i\).
• \(s_1 \circ s_2 : z' = 2(iz) + 1 = 2iz + 1\).

النسبة \(2\) والزاوية \(\frac{\pi}{2}\) في الحالتين، لكنّ التحويلين مختلفان.

حالة خاصة: مركّب الدورانين \(z' = iz\) ثم \(z' = -iz + 2\) هو \(z' = -i(iz) + 2 = z + 2\): انسحاب، لأنّ مجموع الزاويتين \(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0\).

التحويل العكسي: من \(z' = az + b\) نجد \(z = \frac{1}{a}z' - \frac{b}{a}\): تشابه مباشر نسبته \(\frac{1}{k}\) وزاويته \(-\theta\) ونفس المركز.

9.2 التشابه الذي يحوّل \(A\) إلى \(A'\) و \(B\) إلى \(B'\)

مبرهنة: إذا كانت \(A \ne B\) و \(A' \ne B'\) فإنّه يوجد تشابه مباشر وحيد يحوّل \(A\) إلى \(A'\) و \(B\) إلى \(B'\).

نبحث عن \(a\) و \(b\) يحقّقان الجملة:

\[ a\,z_A + b = z_{A'} \]

\[ a\,z_B + b = z_{B'} \]

بالطرح:

\[ a = \dfrac{z_{A'} - z_{B'}}{z_A - z_B} \]

وهو غير معدوم لأنّ \(A' \ne B'\)، ثم \(b = z_{A'} - a\,z_A\).

مثال محلول: \(A(1)\)، \(B(1 + 2i)\)، \(A'(2 + i)\)، \(B'(3i)\).

\[ a = \dfrac{2 + i - 3i}{1 - 1 - 2i} = \dfrac{2 - 2i}{-2i} \]

\[ a = \dfrac{(1 - i)\,i}{1} = 1 + i \]

ثم \(b = 2 + i - (1 + i) = 1\)، فـ \(s : z' = (1 + i)z + 1\). تحقّق: \((1 + i)(1 + 2i) + 1 = 1 + 3i - 2 + 1 = 3i\). نسبته \(\sqrt{2}\)، زاويته \(\frac{\pi}{4}\)، ومركزه \(\omega = \frac{1}{-i} = i\).

تشابه معلوم المركز: إذا كان مركزه \(\Omega(1)\) ويحوّل \(A(2)\) إلى \(B(1 + 2i)\) فإنّ \(a = \frac{z_B - \omega}{z_A - \omega} = 2i\)، والكتابة \(z' = 2iz + 1 - 2i\).

9.3 المثلثات المتشابهة

المثلثان \(ABC\) و \(A'B'C'\) متشابهان مباشرة (أحدهما صورة الآخر بتشابه مباشر) إذا وفقط إذا:

\[ \dfrac{z_{C'} - z_{A'}}{z_{B'} - z_{A'}} = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \]

> ملاحظة للامتحان: \(s_2 \circ s_1\) يعني «\(s_1\) أوّلاً»: نعوّض كتابة \(s_1\) داخل كتابة \(s_2\).

10. تمارين نموذجية بنمط البكالوريا

10.1 التمرين الأول

في المستوي المركّب نعتبر النقط \(A\)، \(B\)، \(C\) ذات اللواحق \(z_A = 1 + i\)، \(z_B = 3 + i\)، \(z_C = 1 + 3i\).

1) طبيعة المثلث \(ABC\):

\[ \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{2i}{2} = i \]

الطويلة \(1\) والعمدة \(\frac{\pi}{2}\): المثلث \(ABC\) قائم ومتساوي الساقين في \(A\).

2) الدوران \(r\) الذي مركزه \(A\) وزاويته \(\frac{\pi}{2}\):

\[ z' - (1 + i) = i\,(z - 1 - i) \]

\[ z' = iz + 2 \]

ونتحقّق أنّ \(r(B) = C\): \(i(3 + i) + 2 = 3i - 1 + 2 = 1 + 3i\).

3) التحاكي \(h\) الذي مركزه \(A\) ونسبته \(2\): \(z' = 2z - 1 - i\).

4) التشابه \(s = h \circ r\):

\[ z' = 2(iz + 2) - 1 - i \]

\[ z' = 2iz + 3 - i \]

مركزه \(A\) (تحقّق: \(2i(1 + i) + 3 - i = 1 + i\))، نسبته \(2\) وزاويته \(\frac{\pi}{2}\).

5) صورة \(B\): \(z_D = 2i(3 + i) + 3 - i = 1 + 5i\). المثلث \(ABD\) قائم في \(A\) مع \(AB = 2\) و \(AD = 4\)، فمساحته \(\frac{2 \times 4}{2} = 4\)، ومساحة صورة المثلث \(ABC\) (مساحته \(2\)) بـ \(s\) هي \(4 \times 2 = 8\).

10.2 التمرين الثاني (تشابه ومتتالية)

ليكن \(s\) التشابه المباشر الذي مركزه \(O\) ويحوّل \(A(1)\) إلى \(B(1 + i)\). نعرّف \(M_0 = A\) و \(M_{n+1} = s(M_n)\).

1) \(a = \frac{1 + i}{1} = 1 + i\)، فـ \(s : z' = (1 + i)z\)، نسبته \(\sqrt{2}\) وزاويته \(\frac{\pi}{4}\).

2) \(z_{n+1} = (1 + i)z_n\)، فالمتتالية \((z_n)\) هندسية:

\[ z_n = (1 + i)^n = (\sqrt{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}} \]

ومنه \(OM_n = (\sqrt{2})^n\)، مثلاً \(z_8 = (2i)^4 = 16\).

3) \(M_n\) على نصف المستقيم \([Ox)\) إذا وفقط إذا \(\frac{n\pi}{4} = 2k\pi\)، أي \(n\) مضاعف لـ \(8\).

4) \(\dfrac{z_{n+1} - z_n}{0 - z_n} = \dfrac{i\,z_n}{-z_n} = -i\)، فالمثلث \(OM_nM_{n+1}\) قائم ومتساوي الساقين في \(M_n\)، و \(M_nM_{n+1} = OM_n = (\sqrt{2})^n\).

5) طول الخطّ المنكسر \(M_0M_1 \dots M_n\):

\[ L_n = \sum_{k=0}^{n-1} (\sqrt{2})^k = \dfrac{(\sqrt{2})^n - 1}{\sqrt{2} - 1} \]

> نصيحة: في أسئلة «متتالية النقط»، انتقل فوراً إلى المتتالية الهندسية \(z_{n+1} = a z_n\) (أو \(z_{n+1} - \omega = a(z_n - \omega)\) إن كان المركز \(\Omega\)).

11. أخطاء شائعة يجب تجنّبها

11.1 الخلط بين نسبة التحاكي ونسبة التشابه

نسبة التحاكي \(k\) عدد حقيقي قد يكون سالباً، أمّا نسبة التشابه فهي \(\lvert a \rvert > 0\) دائماً. التحويل \(z' = -2z + 1\) تحاكٍ نسبته \(-2\)، وهو أيضاً تشابه نسبته \(2\) وزاويته \(\pi\).

11.2 تطبيق دستور المركز على الانسحاب

الدستور \(\omega = \frac{b}{1 - a}\) يتطلّب \(a \ne 1\). التحويل \(z' = z + 3i\) انسحاب بلا مركز ولا نقطة صامدة.

11.3 خطأ الإشارة في الحدّ الثابت

من \(z' - \omega = a(z - \omega)\) نجد \(b = \omega - a\omega = (1 - a)\omega\)، لا \((a - 1)\omega\). مثال: مركز \(\Omega(i)\) و \(a = 2\) يعطيان \(b = -i\)، أي \(z' = 2z - i\)؛ تحقّق: \(2i - i = i\).

11.4 خطأ في حساب المركز

مركز \(z' = 2z + 3i\) هو \(\frac{3i}{1 - 2} = -3i\)، لا \(\frac{3i}{1 + 2} = i\). تحقّق دائماً بالتعويض: \(2(-3i) + 3i = -3i\).

11.5 الزاوية من \(b\) أو من \(a\) غير مكتوب أسياً

الزاوية هي \(\arg(a)\) وحده. في \(z' = (2 - 2i)z + 5i\): \(2 - 2i = 2\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\)، فالنسبة \(2\sqrt{2}\) (لا \(2\)) والزاوية \(-\frac{\pi}{4}\)، ولا علاقة لـ \(5i\) بالزاوية.

11.6 ترتيب التركيب

\(s_2 \circ s_1\) معناه تطبيق \(s_1\) أوّلاً. مع \(s_1 : z' = 2z + 1\) و \(s_2 : z' = iz\): \(s_2 \circ s_1 : z' = 2iz + i\) بينما \(s_1 \circ s_2 : z' = 2iz + 1\).

11.7 المساحات والأطوال

الأطوال تُضرب في النسبة \(k\)، والمساحات في \(k^2\). تحاكٍ نسبته \(-3\) يحوّل مثلثاً مساحته \(2\) إلى مثلث مساحته \(18\)، لا \(6\) ولا \(-6\).

11.8 الخلط بين الصورة والسابقة

صورة \(M\) نحصل عليها بالتعويض في الكتابة، أمّا السابقة فبحلّ المعادلة \(az + b = z'\). بالتحويل \(z' = iz\): صورة \(1\) هي \(i\)، وسابقة \(1\) هي \(-i\).

11.9 ليس كلّ تحويل تشابهاً مباشراً

التحويل \(z' = \overline{z}\) (أو \(z' = a\overline{z} + b\)) يعكس الزوايا الموجّهة، فهو ليس من الشكل \(az + b\) وليس تشابهاً مباشراً.