نقل الحركة: عموميات والبكرات والسيور

3. البكرات والسيور: المبدأ والأنواع والتراكيب

3.1 المبدأ ومكوّنات النقل

النقل بـالبكرات والسيور يربط عمودين متباعدين (متوازيين غالباً) بواسطة رباط مرن مغلق هو السير (courroie)، ملفوف بتوتر على بكرة (poulie) محرّكة (poulie motrice) وبكرة مقودة (poulie réceptrice).

• السير: جسم من مطاط صناعي (élastomère) أو بوليوريثان، في داخله أسلاك شدّ (câblés) من البوليستر أو الألياف الزجاجية أو الأراميد أو الفولاذ، وهي التي تتحمّل قوة الشد، وقد يُغلّف بنسيج يحميه من التآكل.
• البكرات: من الزهر الرمادي (مثل EN-GJL-250، الأكثر استعمالاً)، أو الفولاذ، أو سبائك الألمنيوم (خفيفة للسرعات العالية)، أو اللدائن للاستطاعات الصغيرة. تُثبَّت على العمود عادة بخابور.
• جهاز الشد: يضمن التوتر الأولي اللازم للالتصاق (انظر الجزء 5).

3.2 أنواع السيور


يبيّن الشكل مقاطع الأنواع الأربعة: السير المسطح على إطار بكرة محدّب (jante bombée)، والسير شبه المنحرف داخل مجرى البكرة مع خلوص في القاع، والسير المضلّع (poly-V) بأضلاعه الطولية، والسير المسنن في منظر طولي يظهر فيه الخطوة p. النقاط السوداء تمثل أسلاك الشد.

أ) السير المسطح (courroie plate)

• ينقل بالالتصاق على كامل عرضه؛ رقيق ومرن، يصلح للسرعات العالية وهو صامت.
• تكون البكرة محدّبة قليلاً (jante bombée) ليبقى السير في وسطها.
• يقبل التركيب المتقاطع ونصف المتقاطع، لكنه يحتاج إلى توتر كبير.

ب) السير شبه المنحرف (courroie trapézoïdale)

• مقطعه شبه منحرف بزاوية 40°، ويعمل في مجرى زاويته بين 34° و38° (أصغر للبكرات الصغيرة لأن السير ينضغط عند الانحناء).
• يلامس جانبي المجرى فقط، ويجب أن يبقى خلوص بينه وبين قاع المجرى، وإلا فقد تأثير الإسفين وانزلق.
• مقاطعه مقيّسة: الكلاسيكية (Z و A و B و C و D) والضيّقة (SPZ و SPA و SPB و SPC). يمكن تركيب عدة سيور جنباً إلى جنب على بكرة متعددة المجاري لنقل استطاعة أكبر.
• هو الأكثر استعمالاً في الآلات الصناعية (مضخات، ضواغط، خلاطات، آلات أدوات).

ج) السير المضلّع (courroie poly-V)

• سير مسطح الظهر في وجهه الداخلي أضلاع طولية على شكل V: يجمع بين مرونة السير المسطح وتأثير الإسفين.
• يقبل بكرات صغيرة القطر ونسب نقل كبيرة (مثال: سير المولّد في السيارة).

د) السير المسنن (courroie crantée أو synchrone)

• في وجهه الداخلي أسنان تتداخل مع مجاري البكرة: ينقل بالحواجز، فلا انزلاق، ونسبة النقل دقيقة.
• يتطلب توتراً أولياً صغيراً، فيُحمِّل المدحرجات أقل من السيور الأخرى.
• يتميّز بـالخطوة p (pas)، مثل 5 mm أو 8 mm أو 10 mm. البكرة ذات z سناً لها قطر ابتدائي:

$ d_p = \frac{p\cdot z}{\pi} $

• تُزوَّد إحدى البكرتين على الأقل بـحافتين (flasques) تمنعان السير من الخروج جانبياً.
• استعمالاته: توزيع محرك السيارة، محاور آلات التحكم الرقمي، الطابعات.

3.3 تأثير الإسفين (effet de coin)

عندما يُضغط السير شبه المنحرف داخل المجرى، فإن الإسفين يولّد على الجانبين ردود فعل ناظمية أكبر بكثير من قوة الضغط القطرية. النتيجة تكافئ معامل احتكاك ظاهري f' أكبر من معامل الاحتكاك الحقيقي f:

$ f' = \frac{f}{\sin(\alpha/2)} $

حيث α زاوية المجرى. لهذا ينقل السير شبه المنحرف، بالتوتر نفسه، مزدوجة أكبر بكثير من السير المسطح.

3.4 تراكيب السيور


يبيّن الشكل التركيبين الأساسيين بين محورين متوازيين، والأسهم الحمراء تبيّن اتجاه الدوران:

| التركيب | اتجاه الدوران | أنواع السيور | |---|---|---| | مفتوح (montage ouvert) | البكرتان في الاتجاه نفسه | كل الأنواع | | متقاطع (montage croisé) | البكرتان في اتجاهين متعاكسين | المسطح فقط (يحتكّ السير بنفسه عند التقاطع) | | نصف متقاطع (ربع دورة) | محوران متعامدان | المسطح أساساً |

3.5 مزايا النقل بالسيور وحدوده

| المزايا | الحدود | |---|---| | تباعد محوري كبير ممكن | انزلاق في سيور الالتصاق: النسبة غير دقيقة | | اشتغال صامت | التوتر يحمّل الأعمدة والمدحرجات | | امتصاص الصدمات والاهتزازات | تآكل السير وتقادمه (حرارة، زيوت) | | لا تزييت، صيانة بسيطة، كلفة منخفضة | استطاعة محدودة مقارنة بالمسننات في الحجم نفسه | | حماية من الحمولة الزائدة بالانزلاق | ضرورة مراقبة التوتر دورياً وحاجب للحماية |

3.6 أمثلة محلولة

مثال 1 (تأثير الإسفين): سير شبه منحرف معامل احتكاكه مع البكرة $f = 0{,}3$ في مجرى زاويته $\alpha = 38°$:

$ f' = \frac{0{,}3}{\sin 19°} = \frac{0{,}3}{0{,}3256} $

ومنه $f' \approx 0{,}92$، أي ما يقارب ثلاثة أضعاف f. للاطلاع: نسبة التوتر القصوى بين فرعي السير على لفّ نصف دورة تُعطى بعلاقة أولر $T/t = e^{f\theta}$؛ بـ $\theta = \pi$ نجد نحو 2,6 للسير المسطح ونحو 18 للسير شبه المنحرف.

مثال 2 (سير مسنن): بكرة مسننة ذات $z = 24$ سناً لسير خطوته $p = 5\ mm$ تدور بـ 2000 tr/min.

• القطر الابتدائي: $d_p = 5\times 24/\pi = 38{,}20\ mm$.
• سرعة السير: كل دورة تمرّر $z$ سناً أي طولاً قدره $p\cdot z = 120\ mm$، إذن:

$ v = \frac{p\cdot z\cdot n}{60\,000} $

$ v = \frac{5\times 24\times 2000}{60\,000} $

ومنه $v = 4\ m/s$، وهي النتيجة نفسها بالعلاقة $v = \pi\cdot d_p\cdot n/60\,000$.

أخطاء شائعة

• تركيب سير شبه منحرف تركيباً متقاطعاً: هذا التركيب خاص بالسير المسطح.
• الاعتقاد أن السير شبه المنحرف يرتكز على قاع المجرى: يعمل على الجانبين فقط.
• نسبة ميزة السير شبه المنحرف إلى «مقاومة الحرارة»: الميزة الحقيقية هي الالتصاق الأكبر بفعل الإسفين.
• حساب قطر البكرة المسننة بـ $p\cdot z$: هذا محيطها الابتدائي، والقطر يساوي $p\cdot z/\pi$.

4. نسبة النقل في البكرات والسيور وحساب السرعات والمزدوجات

4.1 نسبة النقل دون انزلاق

نفترض أن السير لا يستطيل ولا ينزلق على البكرتين. عندئذ تتحرك كل نقاط السير بالسرعة نفسها v، وهذه السرعة تساوي السرعة المحيطية لكل بكرة:

$ v = \omega_1\cdot\frac{d_1}{2} = \omega_2\cdot\frac{d_2}{2} $


في الشكل، البكرة (1) المحرّكة قطرها $d_1$ تدور بـ $n_1$ في اتجاه عقارب الساعة، فيتحرك الفرع العلوي من السير بسرعة v نحو البكرة (2) المقودة التي قطرها $d_2$، وتدور هذه بـ $n_2$ في الاتجاه نفسه (تركيب مفتوح). الفرع السفلي الذي تسحبه البكرة المحرّكة هو الفرع المشدود، والعلوي هو الفرع الرخو.

من المساواة السابقة نستنتج:

> نسبة النقل في البكرات والسيور (1 هي المحرّكة): > $r = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{\omega_2}{\omega_1} = \dfrac{d_1}{d_2}$

• البكرة الكبيرة تدور دائماً أبطأ من البكرة الصغيرة.
• لتخفيض السرعة نضع البكرة الصغيرة على المحرك.
• في السير شبه المنحرف نستعمل القطر الابتدائي (diamètre primitif) للمجرى، وهو القطر الذي يمر عنده الخط المحايد للسير، ويُعطى عادة في نص التمرين.
• في السير المسنن: $r = z_1/z_2$ (نسبة عددي الأسنان)، وهي دقيقة.

سرعة السير (d بالمليمتر، n بـ tr/min، v بـ m/s):

$ v = \frac{\pi\cdot d_1\cdot n_1}{60\,000} $

للسير شبه المنحرف الكلاسيكي لا تتجاوز عادة 25 إلى 30 m/s.

4.2 أثر الانزلاق

في سيور الالتصاق، يتأخر السير قليلاً على البكرة المقودة، فتدور أبطأ من القيمة النظرية. إذا كان الانزلاق g (من 1 % إلى 3 % تقريباً):

$ n_2 = n_1\cdot\frac{d_1}{d_2}\cdot(1 - g) $

في أغلب تمارين البكالوريا يُهمل الانزلاق ما لم يذكره النص. لا انزلاق في السير المسنن.

4.3 المزدوجات والقوة المماسية

تطبيق علاقات الجزء 2 على زوج البكرات يعطي:

$ C_2 = \frac{C_1\cdot\eta}{r} = C_1\cdot\eta\cdot\frac{d_2}{d_1} $

والقوة المماسية الفعّالة (effort utile) التي ينقلها السير، أي الفرق بين توتري الفرعين، تساوي $F_u = 2\cdot C_1/d_1$ (d بالمتر)؛ سنعود إليها في الجزء 5.

4.4 قطار البكرات (عدة طوابق)


يمثّل المخطط الحركي قطاراً من طابقين: المحرك M يدير العمود I الذي يحمل البكرة (1)؛ السير الأول يقود البكرة (2) المثبّتة على العمود الوسيط II مع البكرة (3)؛ والسير الثاني يقود البكرة (4) على عمود الخروج III. البكرة تُرسم مستطيلاً على العمود، والسير خطّين بين البكرتين، والمستطيلات الصغيرة على الأعمدة رموز وصلات محورية مع الهيكل.

• البكرتان (2) و(3) على العمود نفسه، فلهما سرعة الدوران نفسها: $n_2 = n_3$.
• النسبة الكلية جداء نسب الطوابق:

$ r_g = \frac{n_4}{n_1} = \frac{d_1}{d_2}\cdot\frac{d_3}{d_4} $

• المردود الكلي جداء المردودات: $\eta_g = \eta_1\cdot\eta_2$.
• في التركيب المفتوح يحافظ كل طابق على اتجاه الدوران.

4.5 أمثلة محلولة

مثال 1 (اختيار قطر): محرك يدور بـ $n_1 = 1440\ tr/min$ وعليه بكرة $d_1 = 90\ mm$. نريد أن تدور الآلة بـ $n_2 = 480\ tr/min$.

• من $n_2/n_1 = d_1/d_2$: $d_2 = d_1\cdot n_1/n_2 = 90\times 1440/480 = 270\ mm$.
• سرعة السير: $v = \pi\times 90\times 1440/60\,000 = 6{,}79\ m/s$.

مثال 2 (قطار من طابقين): المعطيات وفق المخطط السابق: $n_1 = 1450\ tr/min$، $d_1 = 80\ mm$، $d_2 = 200\ mm$، $d_3 = 100\ mm$، $d_4 = 250\ mm$؛ مردود كل طابق 0,95؛ استطاعة المحرك $P_1 = 1{,}1\ kW$.

• $r_1 = 80/200 = 0{,}4$ و $r_2 = 100/250 = 0{,}4$، ومنه $r_g = 0{,}4\times 0{,}4 = 0{,}16$.

• العمود الوسيط: $n_2 = n_3 = 0{,}4\times 1450 = 580\ tr/min$؛ عمود الخروج: $n_4 = 0{,}16\times 1450 = 232\ tr/min$.

• $\eta_g = 0{,}95^2 = 0{,}9025$، ومنه $P_4 = 0{,}9025\times 1100 = 992{,}75\ W$.

• $\omega_4 = \pi\times 232/30 = 24{,}30\ rad/s$، ومنه $C_4 = 992{,}75/24{,}30 = 40{,}86\ N\cdot m$.

أخطاء شائعة

• كتابة $r = d_2/d_1$: المقام هو قطر البكرة المقودة.
• نسيان أن البكرتين على العمود نفسه تدوران بالسرعة نفسها، لكن سرعتهما المحيطية مختلفة لأن قطريهما مختلفان.
• تطبيق الانزلاق على سير مسنن.

ملاحظة للامتحان

في الدراسة التقنية تُستخرج نسبة البكرات من الأقطار المعطاة في جدول المعطيات أو من المخطط الحركي، ثم تُضرب في نسبة المسننات للحصول على النسبة الكلية. حدّد دائماً البكرة المحرّكة: هي التي على جهة المحرك.

5. طول السير وزاوية اللف والتوتر، ولمحة عن السلاسل

5.1 هندسة التركيب المفتوح


يبيّن الشكل بكرة صغيرة قطرها d مركزها $O_1$ وبكرة كبيرة قطرها D مركزها $O_2$، يفصل بينهما التباعد المحوري a (entraxe). كل فرع من السير يميل بزاوية β عن خط المركزين، ونصف القطر عند نقطة التماس عمودي على الفرع. القوسان الأحمران هما زاويتا اللف (angles d'enroulement): الجزء من محيط كل بكرة الذي يلامسه السير.

$ \sin\beta = \frac{D - d}{2a} $

$ \theta_1 = 180° - 2\beta \qquad \theta_2 = 180° + 2\beta $

• زاوية اللف على البكرة الصغيرة $\theta_1$ هي الأصغر، وهي التي تحدّد المزدوجة القابلة للنقل قبل الانزلاق.
• للسيور شبه المنحرفة يُنصح بألا تقل $\theta_1$ عن 120° تقريباً، لذلك لا نجمع نسبة نقل كبيرة جداً مع تباعد محوري صغير.
• مجال التباعد المحوري المنصوح به للسيور شبه المنحرفة: $0{,}7(D + d) \le a \le 2(D + d)$.

5.2 طول السير

الطول هو مجموع الفرعين المستقيمين والقوسين الملفوفين. العلاقة الدقيقة (β بالراديان):

$ L = 2a\cos\beta + \frac{\pi(D + d)}{2} + \beta(D - d) $

وفي التطبيق نستعمل غالباً العلاقة التقريبية:

$ L \approx 2a + \frac{\pi(D + d)}{2} + \frac{(D - d)^2}{4a} $

السيور تُصنع بأطوال مقيّسة، فنختار أقرب طول مقيّس ثم نعيد حساب التباعد المحوري بحلّ المعادلة السابقة بالنسبة إلى a. إذا وضعنا $M = L - \pi(D + d)/2$:

$ a = \frac{M + \sqrt{M^2 - 2(D - d)^2}}{4} $

5.3 التوتر في فرعي السير

• في السكون يكون الفرعان مشدودين بالتوتر الأولي نفسه $T_0$ الذي يضعه جهاز الشد.
• أثناء الاشتغال تسحب البكرة المحرّكة أحد الفرعين فيزداد توتره: هو الفرع المشدود (brin tendu) بتوتر T، ويرتخي الآخر: الفرع الرخو (brin mou) بتوتر t، مع $T > t$.
• القوة الفعّالة (effort utile) التي تنقل المزدوجة هي الفرق بين التوترين:

$ F_u = T - t $

$ C_1 = (T - t)\cdot\frac{d_1}{2} \qquad P = (T - t)\cdot v $

• الحمولة على الأعمدة تقارب مجموع التوترين $T + t$ (عندما تكون زاوية اللف قريبة من 180°)، وهي حمولة نصف قطرية تتحملها المدحرجات: هذا من عيوب سيور الالتصاق.
• توتر غير كافٍ: انزلاق، تسخين، تآكل سريع. توتر مفرط: حمولة زائدة على المدحرجات، استطالة السير وتلفه.

5.4 أجهزة الشد


يبيّن الشكل طريقتين لضبط التوتر:

• (a) المحرك على مزالق (glissières) أو على قاعدة متمفصلة: نحرّك المحرك فيتغير التباعد المحوري a، ثم نثبّته ببراغي. هي الطريقة الأبسط.
• (b) بكرة شادّة (galet tendeur): بكرة حرّة تضغط على الفرع الرخو. للسير شبه المنحرف توضع داخل الحلقة وقرب البكرة الكبيرة حتى لا تنقص زاوية اللف على البكرة الصغيرة؛ وللسير المسطح يمكن وضعها خارج الحلقة قرب البكرة الصغيرة فتزيد زاوية اللف عليها. تُستعمل حين يكون التباعد المحوري ثابتاً، وفي السيور المسننة أيضاً.

5.5 مثالان محلولان

مثال 1 (الهندسة والطول): $d = 100\ mm$، $D = 280\ mm$، $a = 450\ mm$.

• $\sin\beta = (280 - 100)/(2\times 450) = 0{,}2$، ومنه $\beta = 11{,}54°$ أي $0{,}2014\ rad$.

• زاويتا اللف: $\theta_1 = 180 - 2\times 11{,}54 = 156{,}9°$ (أكبر من 120°: مقبولة) و $\theta_2 = 203{,}1°$.

• الطول التقريبي:

$ L \approx 900 + \frac{\pi\times 380}{2} + \frac{180^2}{1800} $

أي $L \approx 900 + 596{,}9 + 18 = 1514{,}9\ mm$. (العلاقة الدقيقة تعطي $1515{,}0\ mm$، فالتقريب ممتاز.)

• نختار الطول المقيّس $L = 1500\ mm$: $M = 1500 - 596{,}9 = 903{,}1\ mm$، ومنه $a = (903{,}1 + \sqrt{903{,}1^2 - 2\times 180^2})/4 = 442{,}4\ mm$. هذه القيمة داخل المجال المنصوح به (من 266 إلى 760 mm).

مثال 2 (التوتر): محرك $P = 4\ kW$ يدور بـ 1450 tr/min وبكرته $d_1 = 100\ mm$؛ نعتبر $T = 3\cdot t$.

• سرعة السير: $v = \pi\times 100\times 1450/60\,000 = 7{,}59\ m/s$.

• القوة الفعّالة: $F_u = P/v = 4000/7{,}59 = 526{,}9\ N$.

• من $T - t = 526{,}9$ و $T = 3t$: $2t = 526{,}9$، ومنه $t = 263{,}4\ N$ و $T = 790{,}3\ N$.

• الحمولة على عمود المحرك: $T + t \approx 1053{,}7\ N$، أي ضعف القوة الفعّالة.

تحقق: $C_1 = F_u\cdot d_1/2 = 526{,}9\times 0{,}05 = 26{,}34\ N\cdot m$، وهي مزدوجة المحرك $4000/151{,}84 = 26{,}34\ N\cdot m$.

5.6 لمحة عن النقل بالسلاسل


يبيّن الشكل سلسلة ذات أسطوانات (chaîne à rouleaux) تلفّ ترساً صغيراً ذا $z_1$ سناً وعجلة ذات $z_2$ سناً؛ المسافة بين محوري أسطوانتين متتاليتين هي خطوة السلسلة p. النقل هنا بالحواجز.

• نسبة النقل: $r = n_2/n_1 = z_1/z_2$ (دقيقة في المتوسط).
• القطر الابتدائي لعجلة السلسلة: $d_p = p/\sin(180°/z)$.
• السرعة المتوسطة للسلسلة: $v = p\cdot z_1\cdot n_1/60\,000$ (p بالمليمتر).
• مزايا: لا انزلاق، مزدوجات كبيرة عند سرعات منخفضة، تباعد كبير، تحمّل الحرارة والأوساخ أكثر من السيور، توتر أولي ضعيف.
• حدود: تحتاج إلى تزييت وشدّ، ضجيج، وتغيّر طفيف في السرعة بسبب التفاف السلسلة على شكل مضلّع (effet polygonal)، فتُستعمل للسرعات المتوسطة؛ تستطيل بالتآكل.
• استعمالات: الدراجات والدراجات النارية، النواقل، الآلات الفلاحية.

مثال: $z_1 = 17$، $z_2 = 51$، $n_1 = 300\ tr/min$، $p = 12{,}7\ mm$: $n_2 = 300\times 17/51 = 100\ tr/min$؛ $d_{p1} = 12{,}7/\sin(10{,}59°) = 69{,}12\ mm$؛ $v = 12{,}7\times 17\times 300/60\,000 = 1{,}08\ m/s$.

أخطاء شائعة

• استعمال $(D + d)$ مكان $(D - d)$ في حساب β للتركيب المفتوح.
• نسيان القسمة على 2 في الحد $\pi(D + d)/2$.
• حساب القوة الفعّالة بـ $T + t$: هذا مجموع التوترين (الحمولة على العمود)، أما الذي ينقل المزدوجة فهو الفرق.
• وضع البكرة الشادّة على الفرع المشدود.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

في الدراسة التقنية تأتي أسئلة النقل عادة بالترتيب: نوع النقل وتبريره ← نسبة النقل الكلية ← سرعة الخروج ← الاستطاعة بالمردود ← المزدوجة ← حساب تكميلي (سرعة خطية، قوة، طول سير...). التمارين الثلاثة التالية تتبع هذا الترتيب.

التمرين 1: مثقاب عمودي ذو بكرات متدرّجة

التقديم: مثقاب عمودي حسّاس (perceuse sensitive) يدير محركه عمود الدوران (broche) بواسطة سير شبه منحرف واحد يمكن نقله بين ثلاثة أزواج من البكرات المتدرّجة (poulies étagées) للحصول على ثلاث سرعات. التباعد المحوري ثابت.


يبيّن الشكل البكرة المتدرّجة للمحرك (الأقطار $d_1$ و $d_3$ و $d_5$) والبكرة المتدرّجة لعمود الدوران مركّبة بالاتجاه المعاكس (الأقطار $d_2$ و $d_4$ و $d_6$)، والسير موضوع على الزوج الأوسط.

المعطيات:

| العنصر | القيمة | |---|---| | المحرك | $P_m = 0{,}55\ kW$، $n_m = 1440\ tr/min$ | | بكرة المحرك | $d_1 = 60$، $d_3 = 90$، $d_5 = 120$ (mm) | | بكرة عمود الدوران | $d_2 = 150$، $d_4 = 120$، $d_6 = 90$ (mm) | | التباعد المحوري | $a = 250\ mm$ | | مردود النقل | $\eta = 0{,}95$، والانزلاق مهمل |

الأسئلة:

• ما نوع النقل المستعمل؟ برّر اختياره لهذه الآلة.
• احسب سرعات عمود الدوران الثلاث، وحدّد الأزواج المخفّضة والمضاعفة.
• احسب الطول التقريبي للسير على كل زوج. ماذا تستنتج؟
• احسب المزدوجة على عمود الدوران عند أصغر سرعة وعند أكبر سرعة.
• نريد إنجاز ثقب قطره 12 mm في الفولاذ بسرعة قطع $V_c = 22\ m/min$. ما الزوج الذي نختاره؟

الحل:

• نقل بالالتصاق بسير شبه منحرف: اشتغال صامت، يمتص الصدمات عند دخول المثقب في المادة، ينزلق عند انحشار المثقب فيحمي المحرك والمثقب، وتغيير السرعة بسيط بنقل السير من درجة إلى أخرى.

• $n_b = n_m\cdot d_m/d_b$، حيث $d_m$ قطر درجة المحرك و $d_b$ قطر درجة عمود الدوران المقابلة:

| الزوج | النسبة r | سرعة عمود الدوران | النوع | |---|---|---|---| | $d_1$ و $d_2$ | $60/150 = 0{,}4$ | $576\ tr/min$ | مخفض | | $d_3$ و $d_4$ | $90/120 = 0{,}75$ | $1080\ tr/min$ | مخفض | | $d_5$ و $d_6$ | $120/90 = 1{,}333$ | $1920\ tr/min$ | مضاعف |

• في كل زوج $d + D = 210\ mm$، فالحدّان الأولان متساويان: $2a + \pi\times 210/2 = 500 + 329{,}9 = 829{,}9\ mm$. الحد الأخير $(D - d)^2/(4a)$:

• الزوج الأول: $90^2/1000 = 8{,}1\ mm$، ومنه $L_1 \approx 838{,}0\ mm$.
• الزوجان الثاني والثالث: $30^2/1000 = 0{,}9\ mm$، ومنه $L_2 = L_3 \approx 830{,}8\ mm$.

استنتاج: جعلُ مجموع القطرين ثابتاً يجعل الأطوال متقاربة جداً (الفرق 7,2 mm فقط)، فيكفي سير واحد، ويُمتص الفرق بجهاز الشد (تحريك المحرك قليلاً).

• الاستطاعة على عمود الدوران: $P_b = 0{,}95\times 550 = 522{,}5\ W$.

• عند 576 tr/min: $\omega = \pi\times 576/30 = 60{,}32\ rad/s$، و $C = 522{,}5/60{,}32 = 8{,}66\ N\cdot m$.
• عند 1920 tr/min: $\omega = 201{,}06\ rad/s$، و $C = 522{,}5/201{,}06 = 2{,}60\ N\cdot m$.

السرعة الصغيرة تعطي مزدوجة أكبر: تُستعمل للمثاقب الكبيرة.

• سرعة الدوران اللازمة:

$ n = \frac{1000\cdot V_c}{\pi\cdot D} = \frac{1000\times 22}{\pi\times 12} $

أي $n = 583{,}6\ tr/min$. نختار أقرب سرعة أصغر منها حتى لا نتجاوز سرعة القطع: $576\ tr/min$، أي الزوج $d_1$ و $d_2$.

التمرين 2: بساط ناقل بسير ومخفض

التقديم: بساط ناقل لصناديق في مصنع. يُدار طبل البساط (tambour) بمحرك كهربائي عبر سير شبه منحرف ثم مخفض بالمسننات.


يبيّن المخطط الحركي سلسلة النقل: المحرك M يدير العمود I الذي يحمل البكرة (1)، فيقود السير البكرة (2) على عمود دخول المخفض II، ويدير عمود خروج المخفض III الطبل الذي قطره $D_t$.

التسميات (nomenclature):

| الرقم | التعيين | المعطيات | |---|---|---| | M | محرك كهربائي | $P_m = 1{,}5\ kW$، $n_m = 1450\ tr/min$ | | 1 | بكرة المحرك | $d_1 = 80\ mm$ | | 2 | بكرة دخول المخفض | $d_2 = 200\ mm$ | | — | سير شبه منحرف | $\eta_c = 0{,}95$، $a = 400\ mm$، $T = 3\cdot t$ | | — | مخفض بالمسننات | $r_r = 1/20$، $\eta_r = 0{,}9$ | | — | طبل البساط | $D_t = 250\ mm$ |

الأسئلة:

• احسب نسبة النقل الكلية وسرعة دوران الطبل.
• احسب السرعة الخطية للبساط.
• احسب الاستطاعة والمزدوجة على الطبل.
• احسب سرعة السير والقوة الفعّالة وتوتري الفرعين والحمولة التقريبية على عمود المحرك.
• احسب الطول التقريبي للسير، ثم التباعد الحقيقي إذا اخترنا الطول المقيّس 1250 mm، وتحقق من زاوية اللف على البكرة الصغيرة.

الحل:

• $r_c = 80/200 = 0{,}4$ و $r_g = r_c\cdot r_r = 0{,}4\times 0{,}05 = 0{,}02$، ومنه $n_t = 0{,}02\times 1450 = 29\ tr/min$.

• $v = \pi\cdot D_t\cdot n_t/60 = \pi\times 0{,}25\times 29/60 = 0{,}38\ m/s$.

• $\eta_g = 0{,}95\times 0{,}9 = 0{,}855$، ومنه $P_t = 0{,}855\times 1500 = 1282{,}5\ W$. ثم $\omega_t = \pi\times 29/30 = 3{,}037\ rad/s$:

$ C_t = \frac{P_t}{\omega_t} = \frac{1282{,}5}{3{,}037} $

أي $C_t = 422{,}3\ N\cdot m$. تحقق: $C_m = 1500/151{,}84 = 9{,}88\ N\cdot m$، و $C_m\cdot\eta_g/r_g = 9{,}88\times 0{,}855/0{,}02 = 422{,}3\ N\cdot m$.

• $v_c = \pi\times 80\times 1450/60\,000 = 6{,}07\ m/s$؛ $F_u = 1500/6{,}07 = 247{,}0\ N$. من $T - t = 247{,}0$ و $T = 3t$: $t = 123{,}5\ N$ و $T = 370{,}4\ N$. الحمولة على عمود المحرك: $T + t \approx 494\ N$.

• $L \approx 2\times 400 + \pi\times 280/2 + 120^2/1600 = 800 + 439{,}8 + 9 = 1248{,}8\ mm$. مع $L = 1250\ mm$: $M = 1250 - 439{,}8 = 810{,}2\ mm$:

$ a = \frac{810{,}2 + \sqrt{810{,}2^2 - 2\times 120^2}}{4} $

أي $a = 400{,}6\ mm$. ثم $\sin\beta = 120/801{,}2 = 0{,}150$، $\beta = 8{,}61°$، و $\theta_1 = 180 - 17{,}2 = 162{,}8°$: أكبر من 120°، التركيب مقبول.

التمرين 3: سير مسنن لمحور آلة تحكم رقمي

التقديم: محور طاولة آلة تفريز بالتحكم الرقمي. المحرك يدير برغياً كروياً بواسطة سير مسنن، والبرغي يحرّك الطاولة انسحابياً بـ 5 mm في كل دورة.

المعطيات: محرك $n_1 = 3000\ tr/min$ ومزدوجته $C_1 = 2\ N\cdot m$؛ سير مسنن خطوته $p = 5\ mm$؛ بكرة المحرك $z_1 = 20$؛ بكرة البرغي $z_2 = 40$؛ مردود السير $\eta = 0{,}98$؛ تباعد أولي تقريبي $a = 150\ mm$.

الأسئلة:

• لماذا اختير سير مسنن لا سير شبه منحرف؟
• احسب القطرين الابتدائيين للبكرتين.
• احسب سرعة البرغي والسرعة الانسحابية للطاولة بـ m/min.
• احسب سرعة السير، المزدوجة على البرغي، والقوة الفعّالة في السير.
• احسب الطول التقريبي للسير وعدد أسنانه، ثم التباعد الحقيقي إذا اخترنا سيراً ذا 90 سناً، وعدد الأسنان المعشّقة على البكرة الصغيرة.

الحل:

• آلة التحكم الرقمي تحتاج إلى تموضع دقيق: كل دورة للمحرك يجب أن توافق انتقالاً معلوماً للطاولة. السير المسنن لا ينزلق (نقل بالحواجز)، ويحتاج إلى توتر صغير ولا يحتاج إلى تزييت، ويبقى صامتاً.

• $d_{p1} = 5\times 20/\pi = 31{,}83\ mm$ و $d_{p2} = 5\times 40/\pi = 63{,}66\ mm$.

• $n_2 = 3000\times 20/40 = 1500\ tr/min$. الطاولة تتقدم 5 mm في كل دورة: $v_t = 5\times 1500 = 7500\ mm/min = 7{,}5\ m/min$.

• $v = p\cdot z_1\cdot n_1/60\,000 = 5\times 20\times 3000/60\,000 = 5\ m/s$. المزدوجة على البرغي $C_2 = C_1\cdot\eta/r = 2\times 0{,}98/0{,}5 = 3{,}92\ N\cdot m$. القوة الفعّالة $F_u = 2\cdot C_1/d_{p1} = 2\times 2/0{,}03183 = 125{,}7\ N$.

• الحد الأوسط بسيط هنا: $\pi(d_{p1} + d_{p2})/2 = p(z_1 + z_2)/2 = 5\times 60/2 = 150\ mm$، و $d_{p2} - d_{p1} = 31{,}83\ mm$:

$ L \approx 300 + 150 + \frac{31{,}83^2}{600} $

أي $L \approx 451{,}7\ mm$، وعدد الأسنان $451{,}7/5 = 90{,}3$. نختار سيراً ذا 90 سناً، أي $L = 450\ mm$. عندئذ $M = 450 - 150 = 300\ mm$ و:

$ a = \frac{300 + \sqrt{300^2 - 2\times 31{,}83^2}}{4} $

أي $a = 149{,}15\ mm$. ثم $\sin\beta = 31{,}83/298{,}3 = 0{,}107$، $\beta = 6{,}13°$، و $\theta_1 = 167{,}7°$؛ عدد الأسنان المعشّقة على البكرة الصغيرة $20\times 167{,}7/360 = 9{,}3$، أي 9 أسنان، وهو أكثر من الحد الأدنى المعتاد (6 أسنان).

ملاحظة للامتحان

• اكتب نسبة كل طابق بالأقطار أو بعدد الأسنان، ثم اضربها؛ ولا تخلط بين نسبة السير ونسبة المخفض.
• المردود لا يغيّر السرعات؛ يغيّر الاستطاعة والمزدوجة فقط.
• قدّم كل نتيجة بوحدتها، وحوّل mm إلى m في حساب السرعات الخطية والمزدوجات.