دراسة تقنية لسلسلة نقل كاملة

3. سلسلة تنتهي ببرغي-صامولة: طاولة رفع

من الدوران إلى الانتقال في آخر السلسلة

كثير من الآليات تحتاج في آخر السلسلة إلى حركة مستقيمة: طاولة ترتفع، مكبس يضغط، باب ينفتح. نضيف عندئذ نظامًا لتحويل الحركة. في هذا الجزء آخر مرحلة هي برغي-صامولة (vis-écrou)؛ وفي الجزء الموالي ترس-شبيكة.

الجديد في جدول الأعمدة: السطر الأخير ليس عمودًا يدور بل عنصر ينتقل، فنكتب فيه السرعة الخطية $v$ (m/s) والجهد $F$ (N) بدل $\omega$ و $C$ ، والاستطاعة $P = F\cdot v$ .

وغالبًا ما يكون الجهد المطلوب في آخر السلسلة معلومًا (ثقل الحمولة) والمحرك مجهولًا: نملأ الجدول عندئذ من الأسفل إلى الأعلى (حساب عكسي): نقسم الاستطاعة على المردود كلما صعدنا مرحلة، ونقسم السرعة على النسبة.

الدراسة 3: طاولة رفع ببرغي (table élévatrice)

التقديم

طاولة رفع في ورشة تجميع ترفع قطعًا ثقيلة إلى مستوى العمل. المحرك M الشاقولي يدير الترس 1 الذي يتعشّق مع العجلة 2 المثبتة على البرغي 3. البرغي موجّه في الهيكل 0 بوصلتين محوريتين، ولا ينتقل. الصامولة 4 مثبتة تحت الطاولة 5، والطاولة موجّهة في انتقال على عمودين ثابتين، فلا تستطيع الصامولة أن تدور: عندما يدور البرغي ترتفع الصامولة والطاولة أو تنخفضان.


في المخطط: الوصلتان المحوريتان للبرغي 3 في الأسفل، والزوج (1، 2) بمحورين شاقوليين متوازيين، والوصلة الحلزونية بين البرغي 3 والصامولة 4 (مستطيل بخط متعرّج)، والوصلتان المحوريتان الانزلاقيتان للطاولة 5 على العمودين (مستطيلان حول قضيبين)، وهما معًا تكافئان وصلة انزلاقية. السهم $F$ يمثّل ثقل الطاولة وحمولتها، والسهم $v$ سرعة الصعود.

| العنصر | المعطيات | |---|---| | المحرك M | $n_m = 1400\ tr/min$ ؛ الاستطاعات المتوفرة 0,18؛ 0,25؛ 0,37؛ 0,55 kW | | الزوج (1، 2) | $m = 1{,}5\ mm$ ، $z_1 = 20$ ، $z_2 = 70$ ، $\eta_r = 0{,}97$ | | البرغي 3 | لولبة شبه منحرفة Tr 20×4 بمدخل واحد، القطر الوسطي $d_2 = 18\ mm$ ، قطر القلب $d_3 = 15{,}5\ mm$ ، معامل الاحتكاك $f = 0{,}1$ | | الحمولة | ثقل الطاولة وحمولتها $F = 5000\ N$ ؛ المشوار 300 mm | | مادة البرغي | $R_{pe} = 100\ MPa$ ، $R_{pg} = 50\ MPa$ |

الأسئلة

• سمّ الوصلات 3/0 و 4/3 و 5/0، ولماذا يجب توجيه الطاولة في انتقال؟
• أكمل جدول مميزات الزوج (1، 2).
• احسب سرعة دوران البرغي وسرعة صعود الطاولة وزمن المشوار.
• احسب زاوية الحلزون وزاوية الاحتكاك، وبيّن أن البرغي غير انعكاسي، ثم احسب مردوده.
• احسب الاستطاعات والمزدوجات اللازمة من الطاولة إلى المحرك، واختر المحرك.
• تحقّق من قلب البرغي في الانضغاط وفي الالتواء.
• قارن بحل «برغي ذو كريات» مردوده $0{,}9$ .

الحل

1. الوصلات: 3/0 محورية (البرغي يدور ولا ينتقل)؛ 4/3 حلزونية؛ 5/0 انزلاقية (الطاولة والصامولة قطعة واحدة). لو لم تكن الطاولة موجّهة لدارت الصامولة مع البرغي دون أن ترتفع: الوصلة الانزلاقية هي التي «تمنع الدوران» فتحوّله إلى انتقال.

2. الزوج (1، 2): $d_1 = 1{,}5 \times 20 = 30\ mm$ ، $d_2 = 1{,}5 \times 70 = 105\ mm$ ، $a = \dfrac{30 + 105}{2} = 67{,}5\ mm$ ؛ $d_{a1} = 33\ mm$ ، $d_{a2} = 108\ mm$ ؛ $d_{f1} = 26{,}25\ mm$ ، $d_{f2} = 101{,}25\ mm$ ؛ $h = 2{,}25 \times 1{,}5 = 3{,}375\ mm$ .

(لا نخلط هنا القطر $d_2$ للعجلة 2 مع القطر الوسطي للولبة، المعطى $18\ mm$ .)

3. السرعات: $r = \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{20}{70} = \dfrac{2}{7}$ ، فـ $n_3 = 1400 \times \dfrac{2}{7} = 400\ tr/min$ . البرغي بمدخل واحد، فخطوة الحلزون $p_h = 4\ mm$ ، وسرعة الطاولة:

$v = p_h\cdot n_3 = 4 \times 400$

$v = 1600\ mm/min$

أي $v = 26{,}67\ mm/s = 0{,}02667\ m/s$ . زمن المشوار $t = \dfrac{300}{26{,}67} = 11{,}25\ s$ ، وعدد دورات البرغي $\dfrac{300}{4} = 75$ دورة.

4. الانعكاسية والمردود:

$\tan\alpha = \dfrac{p_h}{\pi\cdot d_2} = \dfrac{4}{\pi \times 18} = 0{,}0707$

فـ $\alpha = 4{,}05°$ ، و $\tan\varphi = f = 0{,}1$ فـ $\varphi = 5{,}71°$ . بما أن $\alpha \le \varphi$ فالبرغي غير انعكاسي (ذاتي الإقفال): ثقل الطاولة لا يستطيع أن يدير البرغي، فتبقى الطاولة في مكانها عند توقف المحرك دون فرامل. مردوده:

$\eta_v = \dfrac{\tan\alpha}{\tan(\alpha + \varphi)} = \dfrac{0{,}0707}{0{,}1720}$

$\eta_v = 0{,}41$

وهو أقل من $50\ \%$ كما يجب لبرغي ذاتي الإقفال.

5. الحساب العكسي من الطاولة إلى المحرك:

| العنصر | السرعة | الاستطاعة (W) | المزدوجة أو الجهد | |---|---|---|---| | الطاولة 5 | $v = 0{,}02667\ m/s$ | $P_u = F\cdot v = 133{,}3$ | $F = 5000\ N$ | | البرغي 3 | $n = 400\ tr/min$ ، $\omega = 41{,}89\ rad/s$ | $\dfrac{133{,}3}{0{,}41} = 325{,}2$ | $C_3 = 7{,}76\ N\cdot m$ | | عمود المحرك | $n = 1400\ tr/min$ ، $\omega = 146{,}61\ rad/s$ | $\dfrac{325{,}2}{0{,}97} = 335{,}3$ | $C_m = 2{,}29\ N\cdot m$ |

المزدوجة على البرغي يمكن حسابها أيضًا مباشرة من علاقة البرغي-صامولة ($p_h$ بالمتر):

$C_3 = \dfrac{F\cdot p_h}{2\pi\cdot\eta_v}$

$C_3 = \dfrac{5000 \times 0{,}004}{2\pi \times 0{,}41}$

$C_3 = 7{,}76\ N\cdot m$

اختيار المحرك: الاستطاعة اللازمة $335{,}3\ W$ ، فنختار المحرك $0{,}37\ kW$ (المحرك $0{,}25\ kW$ لا يكفي). مزدوجته الاسمية $\dfrac{370}{146{,}61} = 2{,}52\ N\cdot m$ أكبر من المزدوجة اللازمة $2{,}29\ N\cdot m$ . وبهذا المحرك تستطيع الطاولة أن ترفع حتى $F_{max} = \dfrac{370 \times 0{,}97 \times 0{,}41}{0{,}02667} = 5517\ N$ .

الجهود على سن الترس 1 صغيرة: $F_t = \dfrac{2 \times 2287}{30} = 152{,}5\ N$ و $F_r = 55{,}5\ N$ . الزوج هنا مختار للسرعة لا للمقاومة.

6. التحقق من البرغي: القلب ($d_3 = 15{,}5\ mm$) هو أضعف مقطع. مساحته $S = \dfrac{\pi \times 15{,}5^2}{4} = 188{,}7\ mm^2$ .

• الانضغاط (الحمولة تضغط البرغي نحو مدحرجاته في الأسفل): $\sigma = \dfrac{F}{S} = \dfrac{5000}{188{,}7} = 26{,}5\ MPa \le R_{pe} = 100\ MPa$ .
• الالتواء (المزدوجة $C_3$ بين العجلة 2 والصامولة): $\tau_{max} = \dfrac{16 \times 7764}{\pi \times 15{,}5^3} = 10{,}6\ MPa \le R_{pg} = 50\ MPa$ .

الشرطان محققان بهامش كبير: قطر البرغي فرضته المتانة والتآكل في اللولبة أكثر مما فرضته المقاومة. ولأن الحمولة محورية دائمًا ونحو الأسفل، يُوجَّه البرغي في أسفله بمدحرجات تتحمّل حملًا محوريًا (زوج KB مثلًا) لا بمدحرجات BC وحدها.

7. المقارنة مع البرغي ذي الكريات ($\eta = 0{,}9$): الاستطاعة اللازمة تصير $\dfrac{133{,}3}{0{,}97 \times 0{,}9} = 152{,}7\ W$ ، فيكفي محرك $0{,}18\ kW$ . لكن البرغي ذو الكريات انعكاسي: ثقل الطاولة يديره نحو الأسفل عند انقطاع التيار، فيلزم محرك بفرامل، وثمنه أعلى بكثير.

| المعيار | Tr 20×4 (احتكاك) | برغي ذو كريات | |---|---|---| | المردود | $0{,}41$ | نحو $0{,}9$ | | المحرك اللازم | $0{,}37\ kW$ | $0{,}18\ kW$ | | الإقفال الذاتي | نعم | لا: يلزم محرك بفرامل | | الثمن والصيانة | رخيص وبسيط | غال ويتطلب حماية من الغبار |

لطاولة رفع تعمل دورات قليلة في اليوم، البرغي شبه المنحرف غير الانعكاسي هو الحل الأنسب: أمان طبيعي وثمن منخفض، والاستطاعة الضائعة قليلة بالقيمة المطلقة.

ملاحظة للامتحان

• اكتب $p_h$ بالمتر في $C = \dfrac{F\cdot p_h}{2\pi\cdot\eta}$ إذا كانت $C$ بالـ N·m، وبالـ mm إذا كانت $C$ بالـ N·mm.
• في برغي متعدد المداخل: $p_h = k\cdot p$ ؛ برغي بمدخلين وخطوة لولبة 4 mm (يُكتب Tr 20×8 P4) له $p_h = 8\ mm$ ، فتتضاعف سرعة الطاولة، لكن زاوية الحلزون تصير $8{,}05°$ ، أكبر من $\varphi = 5{,}71°$ : يصير البرغي انعكاسيًا ويلزم محرك بفرامل.
• سؤال «لماذا لا تسقط الطاولة عند انقطاع التيار؟» جوابه: $\alpha \le \varphi$ ، البرغي غير انعكاسي.

أخطاء شائعة

• نسيان الوصلة الانزلاقية للطاولة: بدونها لا يوجد تحويل للحركة.
• استعمال $n$ المحرك بدل $n$ البرغي في $v = p_h\cdot n$ .
• ضرب الاستطاعة في المردود في الحساب العكسي: من الحمولة نحو المحرك نقسم على المردود.
• الخلط بين خطوة اللولبة $p$ وخطوة الحلزون $p_h$ في برغي متعدد المداخل.

4. سلسلة تنتهي بترس-شبيكة: عربة نقل والتحقق من العمود في الانحناء

الترس-شبيكة في آخر السلسلة

في هذا الجزء ينتهي التحويل بـ ترس-شبيكة (pignon-crémaillère)، وندرس معه ما يحدث للعمود الذي يحمل الترس: القوة على السن تحني العمود، والمزدوجة تلويه، والخابور يُقص. هذا هو الجزء من الدراسة الذي يربط نقل الحركة بمقاومة المواد، وهو حاضر في كل موضوع تقريبًا.

الدراسة 4: عربة نقل على سكة (chariot de transfert)

التقديم

عربة تنقل صناديق بين مركزين في ورشة، وتتحرك على سكة بطول 6 m. المحرك M المحمول على العربة يدير البكرة المسننة 1، وسير مسنن (courroie crantée) ينقل الحركة إلى البكرة المسننة 2 على العمود II الذي يحمل الترس 3. يتعشّق 3 مع العجلة 4 على العمود III (عمود خروج المخفّض). قارن (accouplement) يربط III بالعمود IV الذي يدور على مدحرجتين A و B ويحمل في طرفه البارز C الترس 5. يتعشّق الترس 5 مع شبيكة 6 ثابتة على طول السكة، فتتقدم العربة.


في الشكل (a) المخطط الحركي في مستوي المحاور: المخفّض (المستطيل المتقطع) يضم الزوج (3، 4)، والقارن مرسوم بنصفي قرصين متقابلين، والشبيكة 6 تظهر تحت الترس 5 بمقطعها لأنها عمودية على مستوي الرسم. وفي الشكل (b) منظر على امتداد محور العمود IV: الترس يتدحرج على الشبيكة الثابتة فيتقدم مركزه، ومعه العربة، بالسرعة $v$ .

| العنصر | المعطيات | |---|---| | المحرك M | $n_m = 1400\ tr/min$ ؛ الاستطاعات المتوفرة 0,37؛ 0,55؛ 0,75 kW | | السير المسنن (1، 2) | خطوته $p = 5\ mm$ ، $z_1 = 20$ ، $z_2 = 50$ ، $\eta_1 = 0{,}97$ | | الزوج (3، 4) | $m = 2\ mm$ ، $z_3 = 17$ ، $z_4 = 68$ ، $\eta_2 = 0{,}97$ | | القارن | مردوده 1 | | الترس 5 والشبيكة 6 | $m = 3\ mm$ ، $z_5 = 18$ ، $\eta_3 = 0{,}95$ (مع دحاريج العربة) | | العربة | الجهد اللازم لجرّها $F_u = 900\ N$ | | العمود IV | $R_p = 60\ MPa$ ، $R_{pg} = 40\ MPa$ ؛ خابور 6 × 6 بأطوال 14، 16، 18، 20 mm |

الأسئلة

• اكتب السلسلة الحركية، وسمّ الوصلة 5/6. ما دور القارن؟
• احسب القطرين الابتدائيين للبكرتين المسننتين وسرعة السير. لماذا اختير سير مسنن؟
• أكمل جداول المسننات (3، 4) و 5.
• احسب سرعة العمود IV وسرعة العربة وزمن قطع السكة.
• اختر المحرك انطلاقًا من الجهد اللازم لجرّ العربة.
• بالمحرك المختار، أنجز جدول الأعمدة واحسب أكبر جهد جرّ.
• احسب الجهود على سن الترس 5.
• تحقّق من العمود IV في الانحناء وحدّد قطره عند المدحرجة B.
• تحقّق من العمود IV في الالتواء عند مقعد الترس، وحدّد طول الخابور.

الحل

1. السلسلة الحركية: M ← 1 ← السير المسنن ← 2 والعمود II ← 3 ← 4 والعمود III ← القارن ← العمود IV ← الترس 5 ← الشبيكة 6. الوصلة 5/6 ترس-شبيكة (تحويل الدوران إلى انتقال)، والوصلة بين العربة والسكة انزلاقية. القارن ينقل المزدوجة بين عمودين على المحور نفسه ويقبل خطأً صغيرًا في محاذاتهما، ويسمح بفك المخفّض دون فك عمود الترس.

2. السير المسنن: القطر الابتدائي لبكرة مسننة $d = \dfrac{p\cdot z}{\pi}$ ، أي $d_1 = \dfrac{5 \times 20}{\pi} = 31{,}83\ mm$ و $d_2 = \dfrac{5 \times 50}{\pi} = 79{,}58\ mm$ . سرعة السير:

$v_s = \dfrac{p\cdot z_1\cdot n_1}{60\,000}$

$v_s = \dfrac{5 \times 20 \times 1400}{60\,000}$

$v_s = 2{,}33\ m/s$

اختير سير مسنن لأنه ينقل بالحواجز: لا انزلاق فنسبة النقل دقيقة $\dfrac{z_1}{z_2}$ ، ولا يحتاج إلى توتر أولي كبير (حمولة أقل على المدحرجات)، ولا إلى تزييت.

3. جداول المسننات:

| المسنن | $m$ | $z$ | $d$ | $d_a$ | $d_f$ | $a$ | |---|---|---|---|---|---|---| | 3 | 2 | 17 | 34 | 38 | 29 | 85 | | 4 | 2 | 68 | 136 | 140 | 131 | 85 | | 5 | 3 | 18 | 54 | 60 | $46{,}5$ | — |

(الأطوال بالـ mm؛ $a = \dfrac{34 + 136}{2} = 85\ mm$ . للترس 5 لا تباعد محوري مع شبيكة؛ خطه الابتدائي يمس الخط الابتدائي للشبيكة.)

4. السرعات: $r_1 = \dfrac{20}{50} = 0{,}4$ ، $r_2 = \dfrac{17}{68} = 0{,}25$ ، $r_g = 0{,}1$ ، فـ $n_{II} = 560\ tr/min$ و $n_{IV} = n_{III} = 140\ tr/min$ . في كل دورة للترس تتقدم العربة بـ $\pi\cdot d_5 = \pi \times 54 = 169{,}6\ mm$ ، وسرعتها:

$v = \omega_{IV}\cdot\dfrac{d_5}{2} = 14{,}66 \times 0{,}027$

$v = 0{,}396\ m/s$

زمن قطع السكة $t = \dfrac{6}{0{,}396} = 15{,}2\ s$ .

5. اختيار المحرك (حساب عكسي): الاستطاعة النافعة $P_u = F_u\cdot v = 900 \times 0{,}396 = 356{,}3\ W$ ، والمردود الإجمالي $\eta_g = 0{,}97 \times 0{,}97 \times 0{,}95 = 0{,}894$ :

$P_m \ge \dfrac{356{,}3}{0{,}894} = 398{,}6\ W$

المحرك $0{,}37\ kW$ لا يكفي، فنختار المحرك $0{,}55\ kW$ .

6. جدول الأعمدة بالمحرك المختار (نحسب العمود على أكبر مزدوجة يمكن أن يقدّمها المحرك، وهذا في جانب الأمان):

| العمود | $n$ (tr/min) | $\omega$ (rad/s) | $P$ (W) | $C$ (N·m) | |---|---|---|---|---| | I (المحرك) | 1400 | $146{,}61$ | 550 | $3{,}75$ | | II | 560 | $58{,}64$ | $533{,}5$ | $9{,}10$ | | III و IV | 140 | $14{,}66$ | $517{,}5$ | $35{,}30$ |

على الشبيكة: $P_u = 517{,}5 \times 0{,}95 = 491{,}6\ W$ ، فأكبر جهد جرّ $F_{max} = \dfrac{491{,}6}{0{,}396} = 1242\ N$ ، وهو أكبر من الجهد اللازم (900 N): المحرك مناسب.

7. الجهود على سن الترس 5:

$F_t = \dfrac{2\,C_{IV}}{d_5} = \dfrac{2 \times 35\,298}{54}$

$F_t = 1307\ N$

$F_r = 1307 \times 0{,}364 = 475{,}8\ N$ ، والقوة الكلية على السن $F = \dfrac{F_t}{\cos 20°} = 1391\ N$ . هذه القوة الكلية هي التي تحني العمود IV (ونعتبرها في مستوي خط التأثير).

8. الانحناء في العمود IV:


يبيّن المقطع المبسّط العمود IV في حامل (palier) 1: المدحرجتان 6204 مركّبتان بالشد على $\varnothing 20\ k6$ (العمود يدور والحمولة ثابتة الاتجاه)، وB ثابتة محوريًا (حلقتها الخارجية بين كتف الحامل والغطاء 7) وA حرة (حلقتها الخارجية تنزلق في $\varnothing 47\ H7$). الترس 5 بارز في الطرف، مثبت بخابور 6 ومستند إلى المباعِد 4. في الأسفل النموذج: سندان في مركزي المدحرجتين A و B ($AB = 60\ mm$) والقوة في المستوي الأوسط للترس C ($BC = 30\ mm$).

ردود الأفعال (العزوم حول A، والقوة $F = 1391\ N$ نحو الأسفل في C):

$R_B \times 60 = 1391 \times 90$

فـ $R_B = 2086{,}5\ N$ نحو الأعلى، و $R_A = 1391 - 2086{,}5 = -695{,}5\ N$ : الإشارة السالبة تعني أن رد الفعل في A نحو الأسفل (العمود يدور حول B كرافعة).


بالاصطلاح المعتمد (x من A، قوى اليسار، T موجب نحو الأعلى، $M_f$ موجب في التقعّر نحو الأعلى):

| المنطقة | المجال (mm) | $T$ (N) | $M_f$ (N·mm) | |---|---|---|---| | AB | $0 \le x \le 60$ | $-695{,}5$ | $-695{,}5\,x$ | | BC | $60 \le x \le 90$ | $+1391$ | $1391\,x - 125\,190$ |

$M_f(B) = -41\,730\ N\cdot mm$ و $M_f(C) = 0$ (طرف حر). العزم الأقصى بالقيمة المطلقة فوق المدحرجة B، حيث يغيّر T إشارته، لا تحت الترس.

$d \ge \sqrt[3]{\dfrac{32 \times 41\,730}{\pi \times 60}}$

$d \ge 19{,}21\ mm$

مقعد المدحرجة $\varnothing 20$ مناسب، والتحقق: $\sigma_{max} = \dfrac{41\,730}{\pi \times 20^3/32} = 53{,}1\ MPa \le 60\ MPa$ . المدحرجة 6204 (قطرها الداخلي 20 mm) تتوافق إذن مع هذا الحساب.

9. الالتواء والخابور: بين القارن والترس ينقل العمود $M_t = 35{,}30\ N\cdot m$ . في مقعد الترس $\varnothing 18$ :

$\tau_{max} = \dfrac{16 \times 35\,298}{\pi \times 18^3}$

$\tau_{max} = 30{,}8\ MPa$

وهو أقل من $R_{pg} = 40\ MPa$ . (بمقعد $\varnothing 16$ نجد $43{,}9\ MPa$ : غير مقبول.) الخابور 6 × 6 يُقص بالقوة $T = \dfrac{2\,M_t}{d} = \dfrac{2 \times 35\,298}{18} = 3922\ N$ ، فـ $L \ge \dfrac{3922}{6 \times 40} = 16{,}3\ mm$ ، ونختار $L = 18\ mm$ ($\tau = 36{,}3\ MPa$).

ملاحظة للامتحان

• القطر الذي نستعمله في $F_t = \dfrac{2C}{d}$ هو القطر الابتدائي للترس (54 mm)، وفي $T = \dfrac{2C}{d}$ للخابور هو قطر العمود (18 mm): العلاقة نفسها بقطرين مختلفين.
• في عمود بترس بارز، رد فعل المدحرجة البعيدة سالب، والعزم الأقصى فوق المدحرجة القريبة من الترس.
• الانحناء والالتواء يُتحقق منهما كلٌّ على حدة كما تطلب مواضيع البكالوريا، كل واحد بمقاومته التطبيقية.

أخطاء شائعة

• أخذ $F_t$ وحدها في الانحناء بينما يطلب النص القوة الكلية على السن (أو العكس): اقرأ النص.
• استعمال صيغة الالتواء ($16$) في الانحناء ($32$).
• حساب سرعة العربة بنصف قطر الترس بالمليمتر مع $\omega$ بالـ rad/s دون تحويل.
• اختيار طول خابور أصغر من الطول الأدنى المحسوب (16 mm هنا).

5. اختيار الحلول: المحرك ونسبة النقل والمعيار والقطر في خلاطة خرسانة

من التحقق إلى الاختيار

في الأجزاء السابقة كانت أغلب العناصر معطاة، وكان المطلوب التحقق منها. أما في هذا الجزء فالمعطى هو حاجة المستقبل (سرعة ومزدوجة)، والمطلوب اختيار العناصر واحدًا بعد الآخر من قوائم نظامية. لكل اختيار قاعدة ثابتة:

| ما نختاره | القاعدة | لماذا | |---|---|---| | استطاعة المحرك | القيمة النظامية الأكبر مباشرة من الاستطاعة اللازمة | محرك أصغر يسخن ويتوقف | | عدد الأسنان | من نسبة النقل اللازمة، مع $z \ge 17$ تقريبًا للترس | تفادي تقويض السن | | المعيار | أصغر معيار نظامي يحقق $m \ge 2{,}34\sqrt{\dfrac{F_t}{k\cdot R_p}}$ | $F_t$ نفسه يتعلق بـ $m$ | | قطر العمود | القطر النظامي الأكبر مباشرة من القطر الأدنى | لا نقرّب نحو الأصغر أبدًا | | طول الخابور | الطول النظامي الأكبر مباشرة، وأقل من عرض الصرة | مقطع القص كافٍ | | المادة | أرخص مادة تحقق الشرط بهامش معقول | الاقتصاد | | المدحرجات | حسب اتجاه الحمولة: BC لحمولة نصف قطرية، KB مع حمولة محورية | — |

الدراسة 5: خلاطة خرسانة (bétonnière)

التقديم

يجب أن يدور وعاء الخلط (tambour) لخلاطة خرسانة بسرعة قريبة من $24\ tr/min$ ، وأن يتغلب على مزدوجة مقاومة للخليط قيمتها $C_t = 320\ N\cdot m$ . المحرك M يدير بسير شبه منحرف (1، 2) مخفّضًا مغلقًا بزوج أسطواني (3، 4)؛ يخرج من المخفّض العمود III حاملًا الترس 5 الذي يتعشّق مع تاج مسنن (couronne) 6 كبير مثبت حول الوعاء، في تسنين مكشوف مُشحّم.


في المخطط: المخفّض المغلق (المستطيل المتقطع) يضم الزوج (3، 4)، والترس 5 خارج المخفّض على العمود III، والتاج 6 على محور الوعاء IV، والوعاء مرسوم مخروطين متقابلين.

| العنصر | المعطيات | |---|---| | المحرك M | $n_m = 1440\ tr/min$ ؛ الاستطاعات المتوفرة 0,75؛ 1,1؛ 1,5 kW | | البكرتان (1، 2) | $d_1 = 80\ mm$ ، $d_2 = 200\ mm$ ، $\eta_1 = 0{,}95$ | | الزوج (3، 4) | $m = 2\ mm$ ، $z_3 = 17$ ، $z_4 = 68$ ، $\eta_2 = 0{,}97$ | | الزوج (5، 6) مكشوف | $z_5 = 18$ ، $z_6$ مجهول ، $\eta_3 = 0{,}94$ ، $k = 10$ ، $R_p = 120\ MPa$ ؛ المعايير 2,5؛ 3؛ 4؛ 5 | | العمود III | $s = 3$ ، $R_{eg} = 0{,}5\,R_e$ ؛ المادتان E295 ($R_e = 295\ MPa$) و S235 ($R_e = 235\ MPa$)؛ الأقطار 18، 20، 22، 25 mm | | خابور الترس 5 | 6 × 6، $R_{pg} = 50\ MPa$ ؛ الأطوال 20، 22، 25، 28، 32 mm |

الأسئلة

• احسب نسبة النقل اللازمة، واستنتج $z_6$ .
• احسب الاستطاعة اللازمة على الوعاء، ثم اختر المحرك.
• أنجز جدول الأعمدة بالمحرك المختار، وتحقّق أن الوعاء يتغلب على مزدوجة الخليط.
• اختر معيار الزوج (5، 6) بمقاومة السن، ثم أكمل جدوله.
• اختر مادة العمود III وقطره بشرط المقاومة في الالتواء.
• اختر طول خابور الترس 5.
• اختر نوع المدحرجات للعمود III، وعلّل اختيار السير شبه المنحرف.

الحل

1. نسبة النقل: $r_g = \dfrac{24}{1440} = \dfrac{1}{60}$ . المرحلتان الأوليان تعطيان $r_1 = \dfrac{80}{200} = 0{,}4$ و $r_2 = \dfrac{17}{68} = 0{,}25$ ، أي $0{,}1$ ، فيجب أن تكون:

$r_3 = \dfrac{1/60}{0{,}1} = \dfrac{1}{6}$

فـ $z_6 = 6 \times z_5 = 6 \times 18 = 108$ . (الترس 5 له 18 سنًّا، أي أكثر من 17: لا خطر للتقويض.)

2. الاستطاعة والمحرك: $\omega_t = \dfrac{\pi \times 24}{30} = 2{,}513\ rad/s$ ، و $P_t = C_t\cdot\omega_t = 320 \times 2{,}513 = 804{,}2\ W$ . المردود الإجمالي $\eta_g = 0{,}95 \times 0{,}97 \times 0{,}94 = 0{,}8662$ :

$P_m \ge \dfrac{804{,}2}{0{,}8662} = 928{,}4\ W$

المحرك $0{,}75\ kW$ لا يكفي، فنختار المحرك $1{,}1\ kW$ .

3. جدول الأعمدة (بالمحرك المختار، أي بأكبر ما يمكن أن يُنقل):

| العمود | $n$ (tr/min) | $\omega$ (rad/s) | $P$ (W) | $C$ (N·m) | |---|---|---|---|---| | I (المحرك) | 1440 | $150{,}80$ | 1100 | $7{,}29$ | | II | 576 | $60{,}32$ | 1045 | $17{,}32$ | | III | 144 | $15{,}08$ | $1013{,}65$ | $67{,}22$ | | IV (الوعاء) | 24 | $2{,}513$ | $952{,}83$ | $379{,}12$ |

المزدوجة المتاحة على الوعاء $379{,}12\ N\cdot m$ أكبر من مزدوجة الخليط $320\ N\cdot m$ : الاختيار صحيح، بهامش نحو $18\ \%$ لبدء الدوران بوعاء ممتلئ.

4. اختيار المعيار: القوة المماسية على الترس 5 تتعلق بقطره، أي بالمعيار نفسه ($d_5 = 18\,m$)، فنجرّب المعايير النظامية واحدًا بعد الآخر، مع $C_{III} = 67{,}22\ N\cdot m$ :

| $m$ (mm) | $d_5$ (mm) | $F_t = \dfrac{2C_{III}}{d_5}$ (N) | $m_{min} = 2{,}34\sqrt{\dfrac{F_t}{k\cdot R_p}}$ (mm) | النتيجة | |---|---|---|---|---| | 2,5 | 45 | 2988 | $3{,}69$ | مرفوض | | 3 | 54 | 2490 | $3{,}37$ | مرفوض | | 4 | 72 | 1867 | $2{,}92$ | مقبول |

نختار $m = 4\ mm$ ، أصغر معيار يحقق الشرط (المعيار 5 يحققه أيضًا لكنه أثقل وأغلى بلا فائدة). جدول الزوج (5، 6):

| المسنن | $z$ | $d$ | $d_a$ | $d_f$ | $b = k\cdot m$ | $a$ | |---|---|---|---|---|---|---| | 5 | 18 | 72 | 80 | 62 | 40 | 252 | | 6 | 108 | 432 | 440 | 422 | 40 | 252 |

(الأطوال بالـ mm؛ $a = \dfrac{72 + 432}{2} = 252\ mm$ ، $h = 9\ mm$ ، $p = 4\pi = 12{,}57\ mm$ .)

5. مادة العمود III وقطره: $M_t = 67{,}22\ N\cdot m$ ، و $d_{min} = \sqrt[3]{\dfrac{16\,M_t}{\pi\,R_{pg}}}$ :

| المادة | $R_{pg} = \dfrac{0{,}5\,R_e}{3}$ (MPa) | $d_{min}$ (mm) | القطر المختار | |---|---|---|---| | E295 | $49{,}17$ | $19{,}10$ | 20 | | S235 | $39{,}17$ | $20{,}60$ | 22 |

نختار E295 بقطر $20\ mm$ ($\tau_{max} = 42{,}8\ MPa \le 49{,}17\ MPa$): عمود أنحف تناسبه مدحرجات 6204 أصغر وأرخص، والفرق في ثمن المادة صغير.

6. الخابور: على مقعد الترس ($d = 20\ mm$) القوة على الخابور $T = \dfrac{2\,M_t}{d} = \dfrac{2 \times 67\,220}{20} = 6722\ N$ ، فـ:

$L \ge \dfrac{T}{a\cdot R_{pg}} = \dfrac{6722}{6 \times 50}$

$L \ge 22{,}4\ mm$

نختار $L = 25\ mm$ ($\tau = 44{,}8\ MPa$)، وهو أقل من عرض الترس (40 mm).

7. المدحرجات والسير: المسننات أسطوانية ذات أسنان قائمة، فلا قوة محورية على العمود III: نكتفي بمدحرجتين ذواتي صف واحد من الكريات بتلامس نصف قطري (BC) 6204، الحلقتان الداخليتان بالشد على $\varnothing 20\ k6$ (العمود يدور)، إحداهما ثابتة محوريًا والأخرى حرة. أما السير شبه المنحرف عند المحرك فاختياره مقصود: يمتص صدمات الخليط (حجارة، تكتلات)، وينزلق عند حمولة زائدة مفاجئة فيحمي المحرك والمسننات، وهو رخيص وسهل التغيير. السير المسنن لا ينزلق، فلا يقدّم هذه الحماية.

ملاحظة للامتحان

• في سؤال «اختر» اكتب دائمًا القيمة المحسوبة، ثم القيمة المختارة، ثم التحقق بها.
• معيار يحقق الشرط ليس بالضرورة «أحسن»: المطلوب عادة أصغر قيمة نظامية تحقق الشرط.
• في اختيار المحرك، المردود يكبّر الاستطاعة اللازمة: نقسم عليه ولا نضرب فيه.

أخطاء شائعة

• حساب $F_t$ مرة واحدة بمعيار مفروض ثم مقارنته بـ $m_{min}$ لمعيار آخر: في كل تجربة يتغير $d_5$ فيتغير $F_t$ .
• اختيار المحرك الأقرب إلى الاستطاعة اللازمة (هنا $0{,}75\ kW$ أقرب إلى $928\ W$ من $1{,}5\ kW$ لكنه أصغر منها).
• نسيان أن $R_{pg}$ في الالتواء يحسب من $R_{eg} = 0{,}5\,R_e$ لا من $R_e$ مباشرة.
• اختيار طول خابور أكبر من عرض صرة الترس.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: عجّانة خبز (pétrin)

الملف التقني

عجّانة خبز في مخبزة: المحرك M يدير البكرة 1، وسير شبه منحرف ينقل الحركة إلى البكرة 2 المثبتة على العمود الأفقي II. يحمل II الترس المخروطي 3 الذي يدير العجلة المخروطية 4 المثبتة على العمود الشاقولي III. يحمل III في أسفله الترس الأسطواني 5 الذي يتعشّق مع العجلة 6 المثبتة بخابور على العمود الشاقولي IV، وهذا الأخير يحمل ذراع العجن (bras) داخل الحوض.


في المخطط: الأعمدة II و III و IV موجّهة كلٌّ بوصلتين محوريتين؛ العمودان III و IV شاقوليان متوازيان، والعجلة 6 أكبر من الترس 5 أربع مرات؛ ذراع العجن الحلزوني بالأزرق.

| الرقم | العدد | التعيين | المعطيات | |---|---|---|---| | M | 1 | محرك | $P_m = 1{,}5\ kW$ ، $n_m = 1440\ tr/min$ | | 1 و 2 | 2 | بكرتان (سير شبه منحرف) | $d_1 = 100\ mm$ ، $d_2 = 250\ mm$ ، $\eta_1 = 0{,}95$ | | 3 و 4 | 2 | ترس وعجلة مخروطيان | $m = 3\ mm$ ، $z_3 = 16$ ، $z_4 = 40$ ، $\eta_2 = 0{,}96$ | | 5 و 6 | 2 | ترس وعجلة أسطوانيان | $m = 3\ mm$ ، $z_5 = 17$ ، $a = 127{,}5\ mm$ ، $\eta_3 = 0{,}97$ | | IV | 1 | عمود الذراع | $d = 30\ mm$ ، $R_{pg} = 60\ MPa$ | | 7 | 1 | خابور بين 6 و IV | 8 × 7؛ $R_{pg} = 60\ MPa$ ؛ الأطوال 28، 32، 36 mm |

الأسئلة

• سمّ الوصلات: 2/II ، II/0 ، 6/IV ، IV/0 .
• أكمل جدول الزوج المخروطي (3، 4): $d$ ، $\delta$ ، $d_a$ ، $d_f$ ، $L$ .
• أكمل جدول الزوج الأسطواني (5، 6).
• احسب $r_g$ وسرعة ذراع العجن والزمن اللازم لدورة واحدة للذراع.
• أنجز جدول الأعمدة ($n$ ، $\omega$ ، $P$ ، $C$).
• احسب الجهود على سن الترس 3 واستنتج الجهود على العجلة 4. ما نوع المدحرجات المناسب للعمود III؟
• احسب طول الخابور 7 واختره.
• تحقّق من مقاومة العمود IV للالتواء.

الحل

1. الوصلات: 2/II اندماجية (كاملة)؛ II/0 محورية؛ 6/IV اندماجية بالخابور 7 (مع إيقاف محوري)؛ IV/0 محورية.

2. الزوج المخروطي: $d_3 = 3 \times 16 = 48\ mm$ ، $d_4 = 3 \times 40 = 120\ mm$ ؛ $\tan\delta_3 = \dfrac{16}{40} = 0{,}4$ فـ $\delta_3 = 21{,}80°$ و $\delta_4 = 68{,}20°$ ($\cos\delta_3 = 0{,}9285$ ، $\cos\delta_4 = 0{,}3714$).

| المسنن | $d$ | $\delta$ | $d_a = d + 2m\cos\delta$ | $d_f = d - 2{,}5m\cos\delta$ | |---|---|---|---|---| | 3 | 48 | $21{,}80°$ | $53{,}57$ | $41{,}04$ | | 4 | 120 | $68{,}20°$ | $122{,}23$ | $117{,}21$ |

وطول المولّد $L = \dfrac{48}{2 \times 0{,}3714} = 64{,}62\ mm$ .

3. الزوج الأسطواني: $d_5 = 3 \times 17 = 51\ mm$ ، $d_6 = 2a - d_5 = 255 - 51 = 204\ mm$ ، $z_6 = \dfrac{204}{3} = 68$ ؛ $d_{a5} = 57\ mm$ ، $d_{a6} = 210\ mm$ ، $d_{f5} = 43{,}5\ mm$ ، $d_{f6} = 196{,}5\ mm$ ، $h = 6{,}75\ mm$ .

4. النسب والسرعة: $r_1 = 0{,}4$ ، $r_2 = \dfrac{16}{40} = 0{,}4$ ، $r_3 = \dfrac{17}{68} = 0{,}25$ :

$r_g = 0{,}4 \times 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}04$

فـ $n_{IV} = 1440 \times 0{,}04 = 57{,}6\ tr/min$ ، وزمن الدورة الواحدة للذراع $\dfrac{60}{57{,}6} = 1{,}04\ s$ .

5. جدول الأعمدة ($\eta_g = 0{,}95 \times 0{,}96 \times 0{,}97 = 0{,}8846$):

| العمود | $n$ (tr/min) | $\omega$ (rad/s) | $P$ (W) | $C$ (N·m) | |---|---|---|---|---| | I | 1440 | $150{,}80$ | 1500 | $9{,}95$ | | II | 576 | $60{,}32$ | 1425 | $23{,}62$ | | III | $230{,}4$ | $24{,}13$ | 1368 | $56{,}70$ | | IV | $57{,}6$ | $6{,}03$ | $1326{,}96$ | $219{,}99$ |

التحقق: $9{,}95 \times \dfrac{0{,}8846}{0{,}04} = 220{,}0\ N\cdot m$ .

6. الجهود على الترس 3 (على العمود II): $F_t = \dfrac{2 \times 23\,625}{48} = 984{,}4\ N$ ، و $F_t\tan\alpha = 358{,}3\ N$ ، فـ $F_{r3} = 358{,}3 \times 0{,}9285 = 332{,}7\ N$ و $F_{a3} = 358{,}3 \times 0{,}3714 = 133{,}1\ N$ . على العجلة 4: $F_{r4} = 133{,}1\ N$ و $F_{a4} = 332{,}7\ N$ . العمود III يتحمل إذن قوة محورية دائمة (إضافة إلى وزن العمود)، ويجب ضبط موضع العجلة 4 لتطابق الرأسين: نوجّهه بمدحرجتين ذواتي دحاريج مخروطية (KB) مع صامولة ضبط.

7. الخابور 7: $T = \dfrac{2\,C_{IV}}{d} = \dfrac{2 \times 219\,990}{30} = 14\,666\ N$ ، والمقطع المقصوص $a\cdot L = 8\,L$ :

$L \ge \dfrac{14\,666}{8 \times 60} = 30{,}6\ mm$

نختار $L = 32\ mm$ ($\tau = \dfrac{14\,666}{8 \times 32} = 57{,}3\ MPa \le 60\ MPa$).

8. الالتواء في العمود IV:

$\tau_{max} = \dfrac{16 \times 219\,990}{\pi \times 30^3}$

$\tau_{max} = 41{,}5\ MPa$

وهو أقل من $R_{pg} = 60\ MPa$ : العمود يقاوم (والقطر الأدنى $26{,}5\ mm$).

التمرين 2: مضخة بمكبس (pompe à piston)

الملف التقني

مضخة بمكبس بسيطة المفعول تزوّد آلة بزيت تبريد. المحرك M يدير البكرة 1، وينقل السير الحركة إلى البكرة 2 على العمود II الذي يحمل الترس 3. يتعشّق 3 مع العجلة 4 على العمود المرفقي III الذي ينتهي بـمدورة OA. يربط الساعد (bielle) AB المدورة بالمكبس B الذي ينزلق في الأسطوانة: في كل دورة للعمود III يمتص المكبس ثم يدفع حجمًا من الزيت.


المخطط مرسوم في اللحظة التي تكون فيها المدورة OA شاقولية: الوصلتان في A و B محوريتان بمحورين موازيين للعمود III، والمكبس في وصلة انزلاقية مع الأسطوانة المثبتة في الهيكل.

| العنصر | المعطيات | |---|---| | المحرك M | $P_m = 0{,}75\ kW$ ، $n_m = 1400\ tr/min$ | | البكرتان 1 و 2 | $d_1 = 90\ mm$ ، $d_2 = 180\ mm$ ، $\eta_1 = 0{,}95$ | | الترس 3 والعجلة 4 | $m = 1{,}5\ mm$ ، $z_3 = 20$ ، $z_4 = 80$ ، $\eta_2 = 0{,}97$ | | المدورة والمكبس | $R = OA = 25\ mm$ ؛ قطر المكبس $D = 40\ mm$ | | العمود III | $d = 20\ mm$ ، $R_{pg} = 40\ MPa$ |

الأسئلة

• ما نوع تحويل الحركة بين III والمكبس؟ سمّ الوصلات في O و A و B وبين المكبس والأسطوانة.
• أكمل جدول الزوج (3، 4).
• احسب $r_g$ وسرعة العمود III وعدد أشواط الدفع في الدقيقة.
• احسب مشوار المكبس والحجم المدفوع في دورة واحدة، ثم التدفق النظري بالـ L/min.
• احسب السرعة المتوسطة للمكبس.
• احسب المزدوجة على العمود III، ثم الجهد على المكبس عندما تكون المدورة عمودية على محور الأسطوانة، والضغط الموافق.
• احسب الجهود على سن الترس 3.
• تحقّق من مقاومة العمود III للالتواء.

الحل

1. دوران مستمر ← انتقال مستقيم تناوبي بنظام ساعد-مدورة. الوصلات: في O محورية (III/0)، في A محورية (الساعد/المدورة)، في B محورية (الساعد/المكبس)، والمكبس/الأسطوانة انزلاقية (أو محورية انزلاقية لمكبس أسطواني).

2. $d_3 = 1{,}5 \times 20 = 30\ mm$ ، $d_4 = 1{,}5 \times 80 = 120\ mm$ ، $a = 75\ mm$ ؛ $d_a = 33/123\ mm$ ؛ $d_f = 26{,}25/116{,}25\ mm$ ؛ $h = 3{,}375\ mm$ .

3. $r_1 = \dfrac{90}{180} = 0{,}5$ ، $r_2 = \dfrac{20}{80} = 0{,}25$ ، $r_g = 0{,}125$ ، فـ $n_{III} = 1400 \times 0{,}125 = 175\ tr/min$ : 175 شوط دفع في الدقيقة (شوط واحد في كل دورة).

4. المشوار (نرمز له بـ $c$ حتى لا نخلطه بالمزدوجة $C$): $c = 2R = 50\ mm$ . مساحة المكبس $S = \dfrac{\pi \times 40^2}{4} = 1256{,}6\ mm^2$ ، والحجم المدفوع في الدورة:

$V = S\cdot c = 1256{,}6 \times 50$

$V = 62\,832\ mm^3$

أي $62{,}83\ cm^3$ ، والتدفق النظري $Q = 62{,}83 \times 175 = 10\,996\ cm^3/min$ ، أي نحو $11{,}0\ L/min$ (بلا تسرّب).

5. في كل دورة يقطع المكبس $2c$ ، فـ:

$V_m = \dfrac{2c\cdot n}{60} = \dfrac{2 \times 0{,}05 \times 175}{60}$

$V_m = 0{,}292\ m/s$

6. $P_{III} = 750 \times 0{,}95 \times 0{,}97 = 691{,}1\ W$ ، $\omega_{III} = \dfrac{\pi \times 175}{30} = 18{,}33\ rad/s$ ، فـ $C_{III} = \dfrac{691{,}1}{18{,}33} = 37{,}71\ N\cdot m$ . عندما تكون المدورة عمودية على محور الأسطوانة تكون سرعة المكبس مساوية تقريبًا لسرعة المرفق $R\cdot\omega$ ، وبمساواة الاستطاعتين (كما في درس تحويل الحركة):

$F = \dfrac{C_{III}}{R} = \dfrac{37{,}71}{0{,}025} = 1508\ N$

والضغط الذي يمكن أن يولّده المكبس $p = \dfrac{F}{S} = \dfrac{1508}{1256{,}6} = 1{,}20\ MPa$ ، أي نحو $12\ bar$ .

7. على العمود II: $C_{II} = \dfrac{712{,}5}{73{,}30} = 9{,}72\ N\cdot m$ ، و $F_t = \dfrac{2 \times 9720}{30} = 648\ N$ ، و $F_r = 648 \times 0{,}364 = 235{,}9\ N$ .

8. $\tau_{max} = \dfrac{16 \times 37\,710}{\pi \times 20^3} = 24{,}0\ MPa \le R_{pg} = 40\ MPa$ : العمود المرفقي يقاوم.

منهجية عامة لدراسة سلسلة نقل

• ارسم السلسلة الحركية في سطر واحد (محرك ← … ← مستقبل) وضع تحت كل تماس «قائد/منقاد».
• أكمل جداول المسننات أولًا: كل ما بعدها يحتاج إلى $d$ و $z$ .
• أنجز جدول الأعمدة: $n$ تُضرب في $r$ ، $P$ تُضرب في $\eta$ ، $C = \dfrac{P}{\omega}$ ؛ وإذا كانت الحاجة معلومة في آخر السلسلة فاملأه من الأسفل بالقسمة.
• لكل سؤال قوة استعمل مزدوجة العمود المعني: $F_t = \dfrac{2C}{d_{primitif}}$ للسن، $T = \dfrac{2C}{d_{arbre}}$ للخابور، $F = \dfrac{C}{R}$ لطبل أو مدورة.
• في مقاومة المواد: الالتواء بـ $16$ ، الانحناء بـ $32$ ، القص بـ $a\cdot L$ ، ثم اختر القيمة النظامية الأكبر مباشرة وتحقّق بها.
• علّل كل اختيار بجملة: الحمولة المحورية للمدحرجات، الانعكاسية للبرغي والفرامل، الانزلاق والصدمات للسيور.