مقاومة المواد: مدخل والمد والانضغاط

3. الإجهاد واختبار الشد وقانون هوك ومعامل الأمن

مفهوم الإجهاد (contrainte)

الجهود الداخلية $N$ و$T$ ليست مركزة في النقطة $G$: هي موزعة على كل نقاط المقطع. القوة الداخلية التي تؤثر على وحدة المساحة تسمى الإجهاد (contrainte). نميز نوعين:

• الإجهاد الناظمي $\sigma$ (سيغما): عمودي على المقطع، ينتج عن $N$ (وعن $M_f$). يشد المادة أو يضغطها.
• الإجهاد المماسي $\tau$ (تاو): يقع في مستوى المقطع، ينتج عن $T$ (وعن $M_t$). يُزلق المادة.

الوحدة: الإجهاد قوة على مساحة. في الميكانيك نكتب القوة بالنيوتن والمساحة بـ $mm^2$، فيكون الإجهاد بـ $N/mm^2$ وهو يساوي الميغاباسكال:

$ 1\ MPa = 1\ N/mm^2 = 10^6\ Pa $

> ملاحظة: اعمل دائماً بـ $N$ و$mm$ و$MPa$؛ فإذا أعطيت القوة بـ $kN$ حوّلها إلى $N$ قبل القسمة على المساحة بـ $mm^2$.

اختبار الشد (essai de traction)

لمعرفة ما تتحمله مادة ما، نجري عليها اختبار الشد: نأخذ عيّنة (éprouvette) أسطوانية موحّدة الأبعاد، طولها الابتدائي بين علامتين $L_0$ وقطرها $d_0$ (مساحة مقطعها $S_0$)، ونشدها في آلة اختبار بقوة $F$ تتزايد ببطء حتى الانكسار، مع تسجيل القوة $F$ والاستطالة $\Delta L$ في كل لحظة. في العينات المعيارية يُختار $L_0 = 5{,}65\sqrt{S_0}$ تقريباً.


في الأعلى العينة قبل الاختبار مع العلامتين الحمراوين على البعد $L_0$، وفي الأسفل بعد الانكسار: صار البعد بين العلامتين $L_u$، وظهر في منطقة الانكسار تخصّر (striction) قطره الأصغر $d_u$.

منحنى الشد

نرسم الإجهاد $\sigma = F/S_0$ بدلالة التشوه النسبي $\varepsilon = \Delta L/L_0$ (عدد بلا وحدة).


يبين المنحنى (المجال المرن مكبّر عمداً ليُقرأ) لفولاذ لين المراحل الآتية:

| المرحلة | ما يحدث | المميز المستخرج | |---|---|---| | $OA$: المجال المرن | المستقيم: الإجهاد يتناسب مع التشوه، وإذا أزيلت القوة تعود العينة إلى طولها | معامل المرونة $E$ (ميل المستقيم) | | النقطة $A$ | نهاية السلوك المرن | حد المرونة $R_e = F_e/S_0$ | | المجال اللدن (plastique) | تشوه دائم، والمادة تتصلب (écrouissage) فتلزم قوة أكبر | — | | القمة | أكبر قوة تتحملها العينة $F_m$ | المقاومة القصوى للشد $R_m = F_m/S_0$ | | التخصر ثم الانكسار | يتركز التشوه في منطقة صغيرة يتناقص قطرها حتى الانكسار | الاستطالة عند الانكسار $A\%$ والتخصر $Z\%$ |

العلاقات المستخرجة من الاختبار

$ R_e = \frac{F_e}{S_0} \qquad R_m = \frac{F_m}{S_0} $

$ A\% = \frac{L_u - L_0}{L_0} \times 100 $

$ Z\% = \frac{S_0 - S_u}{S_0} \times 100 $

حيث $S_u$ أصغر مقطع بعد الانكسار. في بعض المراجع ومواضيع الامتحان يُكتب حد المرونة $\sigma_e$ والمقاومة القصوى $\sigma_r$ (أو $R_r$): هي المقادير نفسها. كلما كان $A\%$ كبيراً كانت المادة مطيلية (ductile) كالفولاذ اللين والنحاس، وكلما كان صغيراً جداً كانت قصفة (fragile) كالزهر الرمادي الذي ينكسر تقريباً دون تشوه لدن. لبعض المواد (سبائك الألمنيوم) لا تظهر النقطة $A$ بوضوح، فنستعمل حد المرونة الاصطلاحي $R_{p0,2}$: الإجهاد الذي يترك استطالة دائمة قدرها $0{,}2\ \%$.

قانون هوك (loi de Hooke)

في المجال المرن يتناسب الإجهاد مع التشوه النسبي:

$ \sigma = E \cdot \varepsilon $

$E$ معامل المرونة الطولي أو معامل يونغ (module de Young)، وحدته $MPa$ لأن $\varepsilon$ بلا وحدة. يعبّر $E$ عن صلابة المادة (لا عن مقاومتها): كلما كبر $E$ قلّ التشوه تحت نفس الإجهاد.

عندما تطول القطعة في المد يتقلص قطرها قليلاً: التشوه العرضي $\varepsilon_t = -\nu \cdot \varepsilon$، حيث $\nu$ معامل بواسون (coefficient de Poisson)، وقيمته نحو $0{,}3$ للفولاذ.

قيم إرشادية لبعض المواد

| المادة (التعيين) | $R_e$ بـ $MPa$ | $R_m$ بـ $MPa$ | $E$ بـ $MPa$ | |---|---|---|---| | فولاذ استعمال عام S235 | 235 | 360 إلى 510 | $2 \cdot 10^5$ | | فولاذ استعمال عام S355 | 355 | 470 إلى 630 | $2 \cdot 10^5$ | | فولاذ إنشاءات ميكانيكية E295 | 295 | 470 إلى 610 | $2 \cdot 10^5$ | | فولاذ غير ممزوج C45 (مطبّع) | 340 تقريباً | 620 تقريباً | $2 \cdot 10^5$ | | سبيكة ألمنيوم EN AW-2017 | 250 تقريباً ($R_{p0,2}$) | 390 تقريباً | $7{,}2 \cdot 10^4$ | | زهر رمادي EN-GJL-250 | غير محدد (مادة قصفة) | 250 | $1{,}1 \cdot 10^5$ تقريباً |

الأعداد في تعيين الفولاذ S وE تعطي مباشرة الحد الأدنى لـ $R_e$ (للسماكات الصغيرة، ويقل قليلاً في القطع السميكة)، وفي الزهر EN-GJL تعطي الحد الأدنى لـ $R_m$. القيم الأخرى في الجدول تقريبية للاستئناس؛ في الامتحان تُعطى دائماً قيم المادة.

معامل الأمن والمقاومة التطبيقية

لا نسمح للإجهاد بأن يصل إلى $R_e$، بل نأخذ هامش أمان يغطي: عدم الدقة في معرفة الحمولات، والصدمات، وتشتت خصائص المادة، وعيوب الصنع، وتبسيطات الحساب. نقسم حد المرونة على معامل الأمن $s$ (coefficient de sécurité، وهو أكبر من 1) فنحصل على المقاومة التطبيقية (résistance pratique):

$ R_{pe} = \frac{R_e}{s} $

نكتب $R_{pe}$ للمد (extension) و$R_{pc}$ للانضغاط، وقد تُكتب اختصاراً $R_p$؛ وفي الفولاذ نأخذ $R_{pc} = R_{pe}$ لأن حد مرونته في الانضغاط يساوي تقريباً حده في المد. لهذا قد يعطي نص البكالوريا $R_{pe}$ (أو $R_e$ و$s$) حتى لقطعة مضغوطة، فنقارن به قيمة الإجهاد المطلقة مباشرة.

| ظروف الاستعمال | قيم إرشادية لـ $s$ | |---|---| | حمولات ثابتة معروفة بدقة، مادة مضمونة | 1,5 إلى 2 | | إنشاء ميكانيكي عادي | 2 إلى 4 | | صدمات، اهتزازات، أجهزة الرفع، خطر على الأشخاص | 4 إلى 10 |

مثال محلول: استغلال نتائج اختبار شد

عينة فولاذية قطرها $d_0 = 10\ mm$ وطولها بين العلامتين $L_0 = 50\ mm$. سُجّل: نهاية المجال المرن عند $F_e = 18\,450\ N$، أكبر قوة $F_m = 28\,300\ N$، تحت قوة $F = 12\,000\ N$ كانت الاستطالة $\Delta L = 0{,}038\ mm$، بعد الانكسار $L_u = 63\ mm$ وأصغر قطر $d_u = 6\ mm$.

1) المقطع الابتدائي:

$ S_0 = \frac{\pi \times 10^2}{4} = 78{,}54\ mm^2 $

2) حد المرونة والمقاومة القصوى:

$ R_e = \frac{18\,450}{78{,}54} \approx 235\ MPa $

$ R_m = \frac{28\,300}{78{,}54} \approx 360\ MPa $

الفولاذ المختبر يوافق S235.

3) معامل المرونة (النقطة في المجال المرن لأن $12\,000 < 18\,450$):

$ \sigma = \frac{12\,000}{78{,}54} = 152{,}8\ MPa $

$ \varepsilon = \frac{0{,}038}{50} = 7{,}6 \cdot 10^{-4} $

$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} \approx 2{,}01 \cdot 10^5\ MPa $

4) الاستطالة والتخصر: $A\% = (63 - 50)/50 \times 100 = 26\ \%$. المقطع الأدنى $S_u = \pi \times 6^2/4 = 28{,}27\ mm^2$ فـ $Z\% = (78{,}54 - 28{,}27)/78{,}54 \times 100 \approx 64\ \%$: مادة مطيلية.

5) المقاومة التطبيقية بمعامل أمن $s = 3$: $R_{pe} = 235/3 \approx 78{,}3\ MPa$.

أخطاء شائعة

• حساب $R_e$ أو $R_m$ بالمقطع بعد الانكسار $S_u$ بدل $S_0$.
• كتابة $Z\% = (S_u - S_0)/S_0$ فتظهر قيمة سالبة: نطرح الأصغر من الأكبر، $S_0 - S_u$.
• الخلط بين $E$ و$R_e$: الأول يقيس الصلابة (ميل المستقيم) والثاني يقيس حد المقاومة المرنة؛ الفولاذ اللين والفولاذ عالي المقاومة لهما نفس $E$ تقريباً لكن $R_e$ مختلف جداً.
• نسيان أن $\varepsilon$ بلا وحدة: $\Delta L$ و$L_0$ بنفس الوحدة.

4. المد: شرط المقاومة والتحجيم والاستطالة

تعريف المد (traction)

تخضع قطعة مستقيمة إلى مد بسيط إذا طُبّقت على طرفيها قوتان متساويتان في الشدة، متعاكستان، حاملهما محور القطعة، وتميلان إلى إطالتها. في كل مقطع قائم يكون الجهد الداخلي الوحيد هو الجهد الناظمي:

$ N = F > 0 $

أمثلة: قضيب الشد (tirant) في حامل، البراغي المشدودة، سلاسل الرفع وكوابلها، أعمدة المكبس التي تربط قاعدته بعارضته العلوية، ساعد يُسحب.


في أعلى الشكل قضيب طوله الابتدائي $L_0$ تحت قوتين $F$، يطول بالمقدار $\Delta L$ (الإطار المتقطع). في أسفله الجزء الأيسر معزولاً عند المقطع $S$: القوة الخارجية $F$ يوازنها جهد داخلي $N = F$ موزع بانتظام على كل نقاط المقطع، وهذا هو الإجهاد الناظمي $\sigma$.

الإجهاد في المد

بما أن الإجهاد موزع بانتظام (بعيداً عن نقاط تطبيق القوى):

$ \sigma = \frac{N}{S} $

$\sigma$ بـ $MPa$، $N$ بـ $N$، $S$ مساحة المقطع القائم بـ $mm^2$. مساحات المقاطع الشائعة:

| المقطع | المساحة $S$ | |---|---| | دائري مملوء قطره $d$ | $\pi d^2/4$ | | دائري مجوف (أنبوب) $D$ و$d$ | $\pi (D^2 - d^2)/4$ | | مستطيل $b \times h$ | $b \cdot h$ | | مربع ضلعه $a$ | $a^2$ |

شرط المقاومة

$ \sigma = \frac{N}{S} \le R_{pe} = \frac{R_e}{s} $

من هذا الشرط الوحيد نستخرج الأنواع الثلاثة من المسائل:

| المسألة | المعطيات | العلاقة المستعملة | |---|---|---| | التحقق | $N$ و$S$ والمادة و$s$ | نحسب $\sigma = N/S$ ونقارنه بـ $R_{pe}$ | | التحجيم | $N$ والمادة و$s$ | $S_{min} = N/R_{pe}$ ثم $d_{min} = \sqrt{4 S_{min}/\pi}$ | | الحمولة القصوى | $S$ والمادة و$s$ | $N_{max} = R_{pe} \cdot S$ |

بعد التحجيم نختار القيمة التجارية أو الموحّدة الأعلى مباشرة (لا الأدنى)، ثم نعيد التحقق بالقيمة المختارة.

التشوه: الاستطالة

من قانون هوك $\sigma = E\cdot\varepsilon$ مع $\sigma = N/S$ و$\varepsilon = \Delta L/L_0$ نستنتج:

$ \Delta L = \frac{N \cdot L_0}{E \cdot S} $

$\Delta L$ و$L_0$ بنفس الوحدة ($mm$)، $N$ بـ $N$، $E$ بـ $MPa$، $S$ بـ $mm^2$. إذا فرض الاشتغال استطالة قصوى $\Delta L_{lim}$ أضفنا شرط الصلابة $\Delta L \le \Delta L_{lim}$.

تمركز الإجهادات وتغيرات المقطع

عند ثقب، مجرى حلقة مرنة، لولبة أو تغير مفاجئ في القطر يصغر المقطع ويرتفع الإجهاد محلياً (تمركز الإجهادات). قاعدتان عمليتان:

• نحسب دائماً بـ أصغر مقطع (المقطع الصافي): لصفيحة عرضها $b$ وسمكها $e$ مثقوبة بثقب قطره $d$، $S = (b - d)\cdot e$.
• لقضيب ملولب نستعمل مقطع الإجهاد $A_s$ الذي تعطيه جداول اللولبة (مثلاً $A_s = 157\ mm^2$ لـ M16 و$A_s = 245\ mm^2$ لـ M20)، وهو أصغر من مساحة القطر الاسمي.

مثال محلول 1: تحجيم قضيب الشد في الحامل الجداري

نعود إلى حامل الجزء 1: القضيب المائل (1) مشدود بـ $N = 10\ kN$ وطوله $L_0 = 1{,}5\ m$. هو قضيب دائري من فولاذ S235 ($R_e = 235\ MPa$) بمعامل أمن $s = 3$، و$E = 2 \cdot 10^5\ MPa$.

1) المقاومة التطبيقية: $R_{pe} = 235/3 = 78{,}33\ MPa$.

2) المقطع والقطر الأدنيان:

$ S_{min} = \frac{10\,000}{78{,}33} = 127{,}7\ mm^2 $

$ d_{min} = \sqrt{\frac{4 \times 127{,}7}{\pi}} = 12{,}75\ mm $

3) الاختيار: في سلسلة الأقطار التجارية للقضبان (10، 12، 14، 16… mm) نختار القطر الأعلى مباشرة $d = 14\ mm$ ($d = 12\ mm$ مرفوض لأنه أصغر من $12{,}75$). التحقق: $S = \pi \times 14^2/4 = 153{,}94\ mm^2$ و$\sigma = 10\,000/153{,}94 = 64{,}96\ MPa$، وهي أصغر من $78{,}33\ MPa$: الشرط محقق.

4) الاستطالة: $L_0 = 1500\ mm$:

$ \Delta L = \frac{10^4 \times 1500}{2 \cdot 10^5 \times 153{,}94} $

$ \Delta L \approx 0{,}49\ mm $

مثال محلول 2: صفيحة مثقوبة

رابط مسطح من S235 مقطعه $30 \times 8\ mm$، مثقوب في طرفه بثقب $\varnothing 10$ لمحور المفصل، يخضع لمد $N = 12\ kN$، معامل الأمن $s = 3$.

• المقطع الصافي عند الثقب: $S = (30 - 10) \times 8 = 160\ mm^2$.
• الإجهاد: $\sigma = 12\,000/160 = 75\ MPa$، وهو أصغر من $R_{pe} = 78{,}33\ MPa$: محقق، لكن بهامش ضيق.
• فخ: لو حسبنا بالمقطع الكامل $30 \times 8 = 240\ mm^2$ لوجدنا $50\ MPa$ ولظننا الهامش واسعاً؛ الانكسار يبدأ حيث المقطع أصغر.

مثال محلول 3: الحمولة القصوى

قضيب تعليق قطره $12\ mm$ من فولاذ E295 ($R_e = 295\ MPa$) بمعامل أمن $s = 4$. ما أكبر حمولة يمكن تعليقها؟

$ R_{pe} = \frac{295}{4} = 73{,}75\ MPa $

$ S = \frac{\pi \times 12^2}{4} = 113{,}1\ mm^2 $

$ N_{max} = 73{,}75 \times 113{,}1 \approx 8341\ N $

إذن الحمولة القصوى نحو $8{,}3\ kN$.

مثال محلول 4: الإجهادات والاستطالة الكلية للقضيب المتدرج

القضيب المتدرج للجزء 2 ($E = 2 \cdot 10^5\ MPa$): $N_{AB} = -30\ kN$ على $\varnothing 30$ و$N_{BC} = +20\ kN$ على $\varnothing 20$، طول كل مجال $300\ mm$.

• المقاطع: $S_{AB} = 706{,}86\ mm^2$ و$S_{BC} = 314{,}16\ mm^2$.
• الإجهادات: $\sigma_{AB} = -30\,000/706{,}86 = -42{,}4\ MPa$ (انضغاط) و$\sigma_{BC} = 20\,000/314{,}16 = 63{,}7\ MPa$ (مد).
• تغير الطول في كل مجال (بإشارته):

$ \Delta L_{AB} = \frac{N_{AB} \cdot L_{AB}}{E \cdot S_{AB}} $

أي $\Delta L_{AB} = -9 \cdot 10^6/(1{,}414 \cdot 10^8) = -0{,}064\ mm$ (تقاصر)، وبالطريقة نفسها $\Delta L_{BC} = +0{,}095\ mm$ (استطالة).

• التغير الكلي هو المجموع الجبري: $\Delta L = -0{,}064 + 0{,}095 = +0{,}032\ mm$: يطول القضيب إجمالاً بـ $0{,}032\ mm$.

أخطاء شائعة

• القسمة على القطر بدل المساحة، أو نسيان القسمة على 4 في $\pi d^2/4$.
• ترك القوة بـ $kN$ والمساحة بـ $mm^2$: النتيجة تصغر ألف مرة.
• أخذ القطر التجاري الأصغر بعد التحجيم: يصبح الإجهاد أكبر من $R_{pe}$.
• كتابة $L_0$ بالمتر و$\Delta L$ ننتظره بالمليمتر: نحوّل $L_0$ إلى $mm$.
• جمع قيم $\Delta L$ لقضيب متدرج دون إشاراتها.

> ملاحظة للامتحان: اكتب العلاقة الحرفية أولاً، ثم عوّض بالأرقام مع الوحدات، ثم أعط النتيجة بوحدتها، ثم الاستنتاج بجملة: «$\sigma < R_{pe}$ إذن شرط المقاومة محقق، القطعة تقاوم بأمان».

5. الانضغاط: شرط المقاومة والتقاصر وحدود الحساب

تعريف الانضغاط (compression)

تخضع قطعة مستقيمة إلى انضغاط بسيط إذا طُبّقت على طرفيها قوتان متساويتان، متعاكستان، حاملهما محور القطعة، وتميلان إلى تقصيرها. الجهد الناظمي في كل مقطع سالب:

$ N = -F < 0 $

أمثلة: لولب رافعة السيارات تحت الحمولة، الجلبة الفاصلة (entretoise) بين مدحرجتين مشدودتين بصامولة، ساق الدافعة أثناء الدفع، ساعد يدفع، أرجل هيكل آلة، عمود مكبس يضغط قطعة.


على يسار الشكل أنبوب قصير قطراه $D$ و$d$ وطوله $L$ مضغوط بين صفيحتين بالقوتين $F$: هذه حالة الانضغاط البسيط التي ندرسها. على اليمين قضيب طويل ونحيف تحت نفس النوع من التحميل: ينبعج جانبياً (الخط المتقطع) قبل أن يبلغ الإجهاد حد المرونة، وهي ظاهرة الانبعاج (flambage).

الإجهاد وشرط المقاومة

الإجهاد موزع بانتظام كما في المد، لكنه سالب (ضغط):

$ \sigma = \frac{N}{S} < 0 $

في التحقق نقارن قيمته المطلقة بالمقاومة التطبيقية للانضغاط:

$ |\sigma| = \frac{F}{S} \le R_{pc} = \frac{R_{ec}}{s} $

• الفولاذ: حد مرونته في الانضغاط $R_{ec}$ يساوي تقريباً $R_e$، فنأخذ $R_{pc} = R_{pe}$.
• الزهر الرمادي: قصف في المد لكنه يقاوم الانضغاط أكثر بثلاث إلى أربع مرات تقريباً؛ لهذا تُصنع منه قواعد الآلات وهياكلها وأرجلها المضغوطة.

التقاصر (raccourcissement)

نفس علاقة الجزء 4 مع $N < 0$، فيكون $\Delta L$ سالباً (القطعة تقصر):

$ \Delta L = \frac{N \cdot L_0}{E \cdot S} < 0 $

وفي الانضغاط يزداد القطر قليلاً (عكس المد) بسبب أثر بواسون. تكتب بعض المراجع التقاصر عدداً موجباً $\Delta l = l_0 - l$؛ هو القيمة المطلقة نفسها، والمهم أن تذكر أن القطعة تقصر.

حدود الانضغاط البسيط: الانبعاج

علاقة $\sigma = N/S$ لا تكفي إلا للقطع القصيرة. كقاعدة تقريبية، نعتبر القطعة قصيرة إذا كان طولها لا يتجاوز نحو ثماني مرات أصغر بعد في مقطعها. أما القطعة الطويلة النحيفة فتنبعج تحت حمولة قد تكون أصغر بكثير من $R_{pc} \cdot S$، ودراسة الانبعاج خارج البرنامج؛ يكفي أن تعرف:

• أن الخطر موجود في كل قطعة مضغوطة طويلة (ساق دافعة طويلة، قضيب ضغط في هيكل)؛
• أن المقطع المجوف (الأنبوب) أفضل من المقطع المملوء بنفس المساحة لمقاومة الانبعاج، لأن مادته بعيدة عن المحور.

المقطع المجوف: إيجاد القطر الداخلي الأقصى

لأنبوب قطره الخارجي $D$ معطى، والمقطع الأدنى $S_{min}$ محسوب من شرط المقاومة:

$ \frac{\pi (D^2 - d^2)}{4} \ge S_{min} $

$ d \le \sqrt{D^2 - \frac{4 S_{min}}{\pi}} $

والسمك $e = (D - d)/2$.

مثال محلول 1: أنبوب رافعة

أنبوب فولاذي قصير في رافعة ورشة يتحمل حمولة انضغاط $F = 60\ kN$. المادة: $R_e = 300\ MPa$، معامل الأمن $s = 5$، $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$. القطر الخارجي $D = 60\ mm$ والطول $L = 400\ mm$.

1) طبيعة التأثير: قوتان على محور الأنبوب تميلان إلى تقصيره: انضغاط بسيط، $N = -60\ kN$.

2) المقطع الأدنى: $R_{pc} = 300/5 = 60\ MPa$، و$S_{min} = 60\,000/60 = 1000\ mm^2$.

3) القطر الداخلي الأقصى:

$ d \le \sqrt{3600 - \frac{4000}{\pi}} = 48{,}2\ mm $

نختار $d = 48\ mm$ (سمك $e = 6\ mm$). التحقق: $S = \pi(60^2 - 48^2)/4 = 1017{,}9\ mm^2$ و$|\sigma| = 60\,000/1017{,}9 = 58{,}9\ MPa$، أصغر من $60\ MPa$: محقق.

4) التقاصر:

$ |\Delta L| = \frac{F \cdot L}{E \cdot S} $

مع $F \cdot L = 60\,000 \times 400 = 2{,}4 \cdot 10^7$ و$E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 1017{,}9 = 2{,}036 \cdot 10^8$ نجد $|\Delta L| \approx 0{,}118\ mm$، أي $\Delta L = -0{,}118\ mm$ (الأنبوب يقصر).

5) هل الانضغاط البسيط مقبول؟ $L/D = 400/60 \approx 6{,}7$: القطعة قصيرة، فالحساب صالح.

مثال محلول 2: ساعد قصير مضغوط

ساعد (biellette) مقطعه مربع $16 \times 16\ mm$ وطوله $80\ mm$، ينقل قوة دفع $F = 4\ kN$. المادة $R_e = 285\ MPa$ و$s = 3$.

• $S = 16^2 = 256\ mm^2$، و$|\sigma| = 4000/256 = 15{,}6\ MPa$.
• $R_{pc} = 285/3 = 95\ MPa$: الشرط محقق بهامش كبير (القطعة مقاومة بإفراط، ويمكن تصغير مقطعها لو لم تفرض اعتبارات أخرى، كالصلابة أو أبعاد المفاصل، هذا المقطع).
• $L/a = 80/16 = 5$: قطعة قصيرة.

مثال محلول 3: القضيب الأفقي للحامل الجداري

في حامل الجزء 1، القضيب (2) مضغوط بـ $8\ kN$ وطوله $1200\ mm$. لو صُنع من أنبوب $\varnothing 30 \times 24$: $S = \pi(30^2 - 24^2)/4 = 254{,}5\ mm^2$ و$|\sigma| = 8000/254{,}5 = 31{,}4\ MPa$، وهو إجهاد صغير. لكن $L/D = 1200/30 = 40$: القضيب طويل ونحيف، فالخطر الحقيقي عليه هو الانبعاج لا الانضغاط البسيط، ولا يكفي هذا الحساب للحكم على مقاومته. لهذا يُفضَّل في التصميم أن تعمل القضبان الطويلة مشدودة وأن تبقى القطع المضغوطة قصيرة.

أخطاء شائعة

• مقارنة $\sigma$ السالب بـ $R_{pc}$ الموجب ثم استنتاج أن «الشرط محقق دائماً»: نقارن القيمة المطلقة.
• حساب مساحة الأنبوب بـ $\pi(D - d)^2/4$ بدل $\pi(D^2 - d^2)/4$.
• تطبيق $\sigma = N/S$ على قطعة طويلة نحيفة والاكتفاء به دون الإشارة إلى خطر الانبعاج.
• نسيان إشارة $\Delta L$: في الانضغاط القطعة تقصر.

> ملاحظة للامتحان: في البكالوريا تكون القطع المضغوطة المطلوب دراستها قصيرة (ساعد، لولب، جلبة، عمود مكبس)؛ فاكتب طبيعة التأثير، ثم $|\sigma| = F/S$، ثم المقارنة بـ $R_{pc}$ والاستنتاج.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

في البكالوريا لا يأتي سؤال المد أو الانضغاط منعزلاً: يكون جزءاً من «دراسة تقنية» لآلية، تُعطى فيها القطعة برقمها في جدول التسميات، ويُطلب: طبيعة التأثير، ثم القوة، ثم الإجهاد، ثم التحقق أو التحجيم، ثم الاستنتاج. التمارين الثلاثة الآتية مبنية على هذا النمط.

التمرين 1: مكبس يدوي لتركيب المدحرجات

تقديم الآلية

يُستعمل المكبس لإدخال مدحرجة (7) بالشد في جوفها (8). يدير العامل المقود (1) فيدور اللولب (2) في صامولة مدمجة في العارضة العلوية (4) وينزل، فيدفع الدافع (3) المدحرجة. العارضة (4) مثبتة على القاعدة (6) بعمودين (5) ينتهيان بلولبتين وصواميل.


يبين الرسم المبسط القطع المرقمة؛ الطول الحر لكل عمود بين القاعدة والعارضة $L = 500\ mm$.

| الرقم | التسمية | المادة | |---|---|---| | 1 | مقود (levier de manœuvre) | S235 | | 2 | لولب ضغط (vis de pression) | C45 | | 3 | دافع (poussoir) $\varnothing 30$ | C45 | | 4 | عارضة علوية (traverse) | EN-GJS-400-15 | | 5 | عمود (colonne)، عدد 2 | S355 | | 6 | قاعدة (socle) | EN-GJL-250 | | 7 | مدحرجة (roulement) | 100Cr6 | | 8 | حامل الجوف (support) | E295 |

المعطيات: قوة التركيب اللازمة $F = 40\ kN$. العمودان: $R_e = 355\ MPa$، $s = 3$، $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$. الدافع: $R_e = 340\ MPa$، $s = 3$. مقطع الإجهاد للولبة: M16: $A_s = 157\ mm^2$، M20: $A_s = 245\ mm^2$. نهمل الأوزان والاحتكاك.

الأسئلة

• حدد طبيعة التأثير الذي يخضع له كل من العمودين (5) والدافع (3). علّل.
• احسب الجهد في كل عمود.
• احسب القطر الأدنى لجسم العمود.
• يقترح مصمم عموداً $\varnothing 16$ بطرفين ملولبين M16. تحقق من هذا الاقتراح، وإن لم يصلح فتحقق من $\varnothing 20$ بطرفين M20.
• احسب استطالة العمود المختار ($\varnothing 20$).
• تحقق من مقاومة الدافع (3).
• ما أكبر قوة يمكن أن يطبقها المكبس دون تجاوز مقاومة العمودين؟

الحل

1) طبيعة التأثير. اللولب يدفع الدافع نحو الأسفل، والدافع يضغط على المدحرجة: الدافع (3) محصور بين قوتين متعاكستين على محوره تقرّبان طرفيه، فهو يخضع إلى انضغاط. رد فعل المدحرجة يدفع اللولب نحو الأعلى، فيدفع اللولب العارضة (4) إلى الأعلى، والعارضة تسحب العمودين عبر الصواميل العلوية بينما تمسكهما القاعدة من الأسفل: العمودان يخضعان إلى مد.

2) الجهد في كل عمود. بالتناظر يتقاسم العمودان القوة: $N = F/2 = 40\,000/2 = 20\,000\ N$.

3) القطر الأدنى للجسم. $R_{pe} = 355/3 = 118{,}33\ MPa$:

$ S_{min} = \frac{20\,000}{118{,}33} = 169{,}0\ mm^2 $

$ d_{min} = \sqrt{\frac{4 \times 169{,}0}{\pi}} = 14{,}67\ mm $

4) التحقق من الاقتراح.

• الجسم $\varnothing 16$: $S = 201{,}06\ mm^2$ و$\sigma = 20\,000/201{,}06 = 99{,}5\ MPa$، أصغر من $118{,}33$: محقق.
• اللولبة M16: $\sigma = 20\,000/157 = 127{,}4\ MPa$، أكبر من $118{,}33$: غير محقق. المقطع الحرج هو اللولبة، فالاقتراح مرفوض.
• العمود $\varnothing 20$ بطرفين M20: في اللولبة $\sigma = 20\,000/245 = 81{,}6\ MPa$ وفي الجسم $\sigma = 20\,000/314{,}16 = 63{,}7\ MPa$، وكلاهما أصغر من $118{,}33\ MPa$: محقق، نعتمد $\varnothing 20$ / M20.

5) الاستطالة (نعتبر الجسم $\varnothing 20$ على كل الطول $500\ mm$):

$ \Delta L = \frac{N \cdot L}{E \cdot S} $

مع $N \cdot L = 20\,000 \times 500 = 10^7$ و$E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 314{,}16 = 6{,}283 \cdot 10^7$ نجد $\Delta L \approx 0{,}16\ mm$: ترتفع العارضة بهذا المقدار تحت الحمولة القصوى، وهو تشوه مقبول لمكبس يدوي.

6) الدافع. $S = \pi \times 30^2/4 = 706{,}86\ mm^2$ و$|\sigma| = 40\,000/706{,}86 = 56{,}6\ MPa$؛ $R_{pc} = 340/3 = 113{,}3\ MPa$: محقق. الدافع قصير فلا خطر انبعاج.

7) القوة القصوى. المقطع الحرج هو لولبة M20 في كل عمود: $N_{max} = R_{pe} \cdot A_s = 118{,}33 \times 245 = 28\,992\ N$ لكل عمود، أي $F_{max} = 2 \times 28\,992 \approx 58\ kN$.

التمرين 2: رافعة لولبية للسيارات

تقديم الآلية

رافعة لولبية تتكون من جسم أنبوبي (1) مثبت على قاعدة، وصامولة (3) مثبتة في أعلى الجسم، ولولب (2) ذي لولبة شبه منحرفة Tr 24×5 يحمل في أعلاه رأساً (4) توضع عليه الحمولة. بإدارة اللولب يرتفع الرأس.

| الرقم | التسمية | المادة | |---|---|---| | 1 | جسم أنبوبي $\varnothing 60$ خارجياً، ارتفاعه $250\ mm$ | S235 | | 2 | لولب Tr 24×5 (قطر القاع $d_3 = 18{,}5\ mm$) | C45 | | 3 | صامولة (écrou) | CuSn8 | | 4 | رأس الحمل (tête) | E295 |

المعطيات: الحمولة $F = 30\ kN$. اللولب: $R_e = 340\ MPa$؛ الجسم: $R_e = 235\ MPa$؛ معامل الأمن $s = 3$ للقطعتين؛ $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$. الطول الحر للولب تحت الحمولة $120\ mm$. نهمل الالتواء الناتج عن مناورة اللولب ولا ندرس إلا الحمولة الساكنة.

الأسئلة

• ما طبيعة التأثير الذي يخضع له اللولب (2) والجسم (1)؟
• لماذا نحسب مقطع اللولب بقطر القاع $d_3$ لا بالقطر الاسمي $24\ mm$؟
• تحقق من مقاومة اللولب.
• احسب تقاصر الجزء الحر من اللولب.
• احسب القطر الداخلي الأقصى للجسم (1)، واختر قيمة صحيحة بالمليمتر، ثم تحقق.
• ما الحمولة القصوى المسموح بها للرافعة حسب مقاومة اللولب؟ علّق.

الحل

1) الحمولة تضغط الرأس واللولب نحو الأسفل والصامولة تمسك اللولب من الأسفل: اللولب مضغوط بين الرأس والصامولة. الجسم يحمل الصامولة في أعلاه وترتكز قاعدته على الأرض: مضغوط أيضاً.

2) في اللولبة يكون أصغر مقطع هو مقطع القاع (قطره $d_3$)، والقطعة تنكسر حيث المقطع أصغر؛ الحساب بالقطر الاسمي يستهين بالإجهاد.

3) اللولب.

$ S_3 = \frac{\pi \times 18{,}5^2}{4} = 268{,}8\ mm^2 $

$|\sigma| = 30\,000/268{,}8 = 111{,}6\ MPa$ و$R_{pc} = 340/3 = 113{,}3\ MPa$: محقق لكن بهامش ضئيل جداً (نحو $1{,}5\ \%$).

4) تقاصر اللولب. $|\Delta L| = 30\,000 \times 120/(2 \cdot 10^5 \times 268{,}8) \approx 0{,}067\ mm$، أي $\Delta L = -0{,}067\ mm$. نسبة الطول إلى القطر $120/18{,}5 \approx 6{,}5$: قطعة قصيرة.

5) الجسم. $R_{pc} = 235/3 = 78{,}33\ MPa$ و$S_{min} = 30\,000/78{,}33 = 383{,}0\ mm^2$:

$ d \le \sqrt{3600 - \frac{4 \times 383}{\pi}} = 55{,}8\ mm $

القيمتان $55$ و$54\ mm$ مقبولتان، و$56\ mm$ تتجاوز الحد. نختار $d = 54\ mm$ لأنها تعطي سمكاً صحيحاً $e = 3\ mm$ (أنبوب $60 \times 3$) بهامش أوسع من $d = 55$ (سمك $2{,}5\ mm$). التحقق: $S = \pi(60^2 - 54^2)/4 = 537{,}2\ mm^2$ و$|\sigma| = 30\,000/537{,}2 = 55{,}8\ MPa$، أصغر من $78{,}33\ MPa$: محقق. تقاصر الجسم $|\Delta L| = 30\,000 \times 250/(2 \cdot 10^5 \times 537{,}2) \approx 0{,}070\ mm$.

6) الحمولة القصوى. $F_{max} = R_{pc} \cdot S_3 = 113{,}3 \times 268{,}8 \approx 30\,460\ N$، أي نحو $30{,}5\ kN$. الحمولة الاسمية $30\ kN$ في حدود هذه القيمة تماماً: يجب ألا تُحمَّل الرافعة أكثر من حمولتها الاسمية، وإن أردنا هامشاً أوسع اخترنا لولباً أكبر (Tr 28×5 مثلاً) أو مادة أكثر مقاومة.

التمرين 3: جهاز ربط هوائي بذراع

تقديم الآلية

لتثبيت قطعة (5) على طاولة آلة، تدفع دافعة هوائية مزدوجة المفعول (1) بساق مكبسها (2) الطرف $A$ لذراع (3) نحو الأعلى. تدور الذراع حول محور في $O$ يحمله حامل (4) مكون من صفيحتين متوازيتين، فينزل طرفها $B$ ويضغط القطعة (5).


في أعلى الشكل الجهاز بقطعه المرقمة والمسافتان $OA = 60\ mm$ و$OB = 90\ mm$، وفي أسفله الذراع (3) معزولة مع القوى الثلاث المطبقة عليها: $F_A$ من الساق، و$F_B$ رد فعل القطعة، و$R_O$ فعل المحور.

المعطيات: ضغط الهواء $p = 6\ bar$ ($= 0{,}6\ MPa$)، قطر المكبس $D = 63\ mm$، قطر الساق $20\ mm$. كل صفيحة من صفيحتي الحامل (4) مقطعها $20 \times 5\ mm$ ومثقوبة بثقب $\varnothing 8$ للمحور، مادتها S235 ($R_e = 235\ MPa$) و$s = 3$. القوى شاقولية، ونهمل الأوزان والاحتكاك.

الأسئلة

• احسب قوة الدفع النظرية للدافعة $F_A$.
• اعزل الذراع (3) واحسب قوة الربط $F_B$ ثم فعل المحور $R_O$.
• ما طبيعة التأثير الذي تخضع له صفيحتا الحامل (4)؟ احسب الجهد في كل صفيحة.
• تحقق من مقاومة الصفيحة في أضعف مقطع.
• احسب الإجهاد في ساق المكبس (2) وحدد طبيعته.

الحل

1) قوة الدافعة. $F_A = p \cdot S$ مع $S = \pi \times 63^2/4 = 3117{,}2\ mm^2$:

$ F_A = 0{,}6 \times 3117{,}2 \approx 1870\ N $

2) توازن الذراع. عزوم القوى بالنسبة لـ $O$ (القوة $R_O$ تمر بـ $O$ فعزمها معدوم):

$ F_A \cdot OA = F_B \cdot OB $

$ F_B = \frac{1870 \times 60}{90} \approx 1247\ N $

ثم توازن القوى الشاقولية: $F_A$ و$F_B$ نحو الأعلى، فـ $R_O = F_A + F_B = 1870 + 1247 = 3117\ N$ نحو الأسفل. قوة الربط على القطعة $1247\ N$، أصغر من قوة الدافعة لأن ذراعها أطول ($OB > OA$).

3) الحامل. المحور يضغط على الذراع نحو الأسفل، إذن الذراع تدفع المحور، ومعه الحامل، نحو الأعلى بـ $3117\ N$، بينما الحامل مثبت على الطاولة من أسفله: صفيحتا الحامل تخضعان إلى مد. لكل صفيحة: $N = 3117/2 \approx 1559\ N$.

4) التحقق. أضعف مقطع عند الثقب: $S = (20 - 8) \times 5 = 60\ mm^2$ و$\sigma = 1559/60 = 26{,}0\ MPa$. $R_{pe} = 235/3 = 78{,}33\ MPa$: محقق. السمك الأدنى الذي يكفي للمقاومة $e = 1559/(12 \times 78{,}33) \approx 1{,}7\ mm$؛ السمك $5\ mm$ مفروض بالصلابة وبضغط التلامس على المحور.

5) ساق المكبس. محصورة بين المكبس وطرف الذراع: انضغاط. $S = \pi \times 20^2/4 = 314{,}16\ mm^2$ و$|\sigma| = 1870/314{,}16 \approx 5{,}95\ MPa$: إجهاد ضعيف جداً، فقطر الساق محدد باعتبارات أخرى (الانبعاج عند الشوط الطويل، التوجيه، الكتامة).

> ملاحظة للامتحان: حوّل الضغط دائماً إلى $MPa$ قبل الضرب في المساحة بـ $mm^2$: $1\ bar = 0{,}1\ MPa$، فتخرج القوة بالنيوتن مباشرة.