المسننات الأسطوانية ذات الأسنان القائمة

3. العلاقات الأساسية وجدول المميزات

جدول العلاقات (تسنين خارجي، $\alpha = 20°$)

هذا هو الجدول الذي يُطلب إكماله في كل موضوع بكالوريا تقريباً:

| الرمز | التسمية | العلاقة | |---|---|---| | $m$ | المعيار (المديول) | بمقاومة المواد، من السلسلة القياسية | | $z$ | عدد الأسنان | من نسبة النقل | | $p$ | الخطوة | $p = \pi\, m$ | | $h_a$ | ارتفاع الرأس | $h_a = m$ | | $h_f$ | ارتفاع القدم | $h_f = 1{,}25\, m$ | | $h$ | ارتفاع السن | $h = 2{,}25\, m$ | | $d$ | القطر الابتدائي | $d = m\, z$ | | $d_a$ | قطر الرأس | $d_a = d + 2m = m\,(z + 2)$ | | $d_f$ | قطر القاع | $d_f = d - 2{,}5\,m = m\,(z - 2{,}5)$ | | $b$ | عرض السن | $b = k\, m$ | | $a$ | التباعد المحوري (entraxe) | $a = (d_1 + d_2)/2 = m\,(z_1 + z_2)/2$ |

الترتيب هو ترتيب جدول العلاقات في دروس البكالوريا. أما جدول المميزات الذي يُطلب ملؤه في الموضوع فيضع العجلات في الأسطر، والأعمدة غالباً: $m$، $Z$، $d$، $d_a$، $d_f$، $a$، ثم $r$ (ويُضاف $h$ أو $p$ أحياناً). تكتب المواضيع عدد الأسنان بالحرف الكبير $Z$، وهو $z$ نفسه في هذا الدرس.

لماذا $d_a = d + 2m$؟ لأن الرأس يزيد على الدائرة الابتدائية بـ $h_a = m$ من كل جهة من جهتي القطر. وبالطريقة نفسها $d_f = d - 2 \times 1{,}25\,m = d - 2{,}5\,m$.

> انتبه: تطبع بعض الملخصات قطر القاع على شكل «(2,5 − Z) m» بسبب الكتابة من اليمين إلى اليسار. العلاقة الصحيحة هي $d_f = m\,(z - 2{,}5)$، وقطر القاع دائماً أصغر من القطر الابتدائي في التسنين الخارجي.

الشكل: زوج متعشق ودوائره


على اليسار المنظر الأمامي لترس ($z_1 = 17$) وعجلة ($z_2 = 28$): دائرة الرأس بالأحمر والدائرة الابتدائية بالأزرق ودائرة القاع بالأخضر؛ الدائرتان الابتدائيتان متماستان في النقطة $I$. على اليمين المقطع المحوري للزوج مع أقطار كل عجلة والتباعد المحوري $a$ بين المحورين.

لاحظ في المقطع المحوري أن الخطين الابتدائيين متطابقان، وأن خط رأس العجلة مخفي في منطقة التعشيق (خط متقطع) لأن سن الترس أمامه.

العلاقات العكسية (للانطلاق من المعطيات)

في البكالوريا لا تُعطى كل المعطيات مباشرة؛ نستعمل العلاقات العكسية:

• من القطر الابتدائي: $m = d/z$ أو $z = d/m$.
• من قطر الرأس: $m = d_a/(z + 2)$ أو $z = d_a/m - 2$.
• من التباعد المحوري: $d_2 = 2a - d_1$، أو $z_1 + z_2 = 2a/m$.
• من قطري الرأس والتباعد المحوري: بما أن $d_{a1} + d_{a2} = d_1 + d_2 + 4m = 2a + 4m$:

$ m = \frac{d_{a1} + d_{a2} - 2a}{4} $

• من ارتفاع الرأس: $m = h_a$، ومن الارتفاع الكلي: $m = h/2{,}25$.

طريقة إكمال جدول المميزات

• حدّد المعيار $m$ أولاً (يكون مشتركاً بين العجلتين المتعشقتين).
• احسب الأقطار الابتدائية وعدد الأسنان (من $d = m\,z$ و$a$).
• احسب $d_a$ و$d_f$ لكل عجلة، ثم $h_a$ و$h_f$ و$h$ و$p$ (مشتركة بين العجلتين).
• تحقق: $z$ عدد صحيح، و$a = (d_1 + d_2)/2$.
• اكتب العلاقة قبل التعويض في كل خانة، فالعلاقة عليها علامة.

أمثلة محلولة

مثال 1: جدول كامل

المعطى: $m = 2{,}5\ mm$، $z_1 = 18$، $z_2 = 54$، $k = 10$.

| العنصر | $m$ | $z$ | $d$ | $d_a$ | $d_f$ | |---|---|---|---|---|---| | الترس 1 | 2,5 | 18 | 45 | 50 | 38,75 | | العجلة 2 | 2,5 | 54 | 135 | 140 | 128,75 |

الحسابات (بالمليمتر):

• $d_1 = 2{,}5 \times 18 = 45$، و$d_2 = 2{,}5 \times 54 = 135$
• $d_{a1} = 2{,}5 \times 20 = 50$، و$d_{a2} = 2{,}5 \times 56 = 140$
• $d_{f1} = 2{,}5 \times 15{,}5 = 38{,}75$، و$d_{f2} = 2{,}5 \times 51{,}5 = 128{,}75$
• $p = 7{,}85$، $h_a = 2{,}5$، $h_f = 3{,}125$، $h = 5{,}625$، $b = 25$

$ a = \frac{45 + 135}{2} = 90\ mm $

مثال 2: الانطلاق من التباعد المحوري

المعطى: $m = 1{,}5\ mm$، $a = 84\ mm$، $z_1 = 20$.

• $d_1 = 1{,}5 \times 20 = 30\ mm$
• $d_2 = 2a - d_1 = 168 - 30 = 138\ mm$
• $z_2 = d_2/m = 138/1{,}5 = 92$ سنّاً (عدد صحيح: المعطيات منسجمة)
• $d_{a1} = 33\ mm$، $d_{a2} = 141\ mm$، $d_{f1} = 26{,}25\ mm$، $d_{f2} = 134{,}25\ mm$

مثال 3: إيجاد المعيار من قطري الرأس

المعطى: $d_{a1} = 52\ mm$، $d_{a2} = 112\ mm$، $a = 78\ mm$.

$ m = \frac{52 + 112 - 2 \times 78}{4} = 2\ mm $

ثم $z_1 = 52/2 - 2 = 24$، و$z_2 = 112/2 - 2 = 54$، و$d_1 = 48\ mm$، و$d_2 = 108\ mm$.

التحقق: $(48 + 108)/2 = 78\ mm$، وهو التباعد المعطى.

مثال 4: عجلة واحدة معلوم قطر رأسها

عجلة لها $z = 31$ سنّاً وقطر رأسها $d_a = 66\ mm$:

$ m = \frac{d_a}{z + 2} = \frac{66}{33} = 2\ mm $

فيكون $d = 62\ mm$ و$d_f = 2 \times 28{,}5 = 57\ mm$.

أخطاء شائعة

• استعمال $d_a$ أو $d_f$ في حساب $a$: التباعد المحوري يُحسب بالأقطار الابتدائية فقط.
• كتابة $d_2 = 2a + d_1$ في تسنين خارجي: هذه علاقة التسنين الداخلي.
• طرح $1{,}25\,m$ مرة واحدة فقط: $d_f = d - 2{,}5\,m$ لأن القدم موجودة على طرفي القطر.
• قبول عدد أسنان غير صحيح: إذا وجدت $z = 23{,}6$ فهناك خطأ في الحساب أو في المعطيات.

4. شروط التعشيق ونسبة النقل واتجاه الدوران

التدحرج دون انزلاق في النقطة I

الدائرتان الابتدائيتان لمسننين متعشقين متماستان في نقطة $I$ تقع على الخط الواصل بين المركزين، وتسمى النقطة الابتدائية (point primitif). تتدحرج الدائرتان إحداهما على الأخرى دون انزلاق، فللنقطة $I$ السرعة الخطية نفسها على الدائرتين:

$ v_I = \omega_1 \frac{d_1}{2} = \omega_2 \frac{d_2}{2} $


يبيّن الشكل منطقة التعشيق مكبَّرة: الدائرتان الابتدائيتان (بالأزرق) متماستان في $I$ وسرعتهما فيها واحدة $\vec v_I$؛ وخط التأثير (ligne d'action) بالأحمر يمر بـ $I$ ويمسّ دائرتي القاعدة في $T_1$ و$T_2$، ويميل عن المماس المشترك بزاوية الضغط $\alpha = 20°$.

خط التأثير: كل نقاط التماس بين جانبي سنّين تقع عليه، وعليه تُوجَّه قوة الدفع بين السنّين (سندرس هذه القوة ومركّباتها في الدرس الموالي). زاوية الضغط (angle de pression) $\alpha$ قياسية: $\alpha = 20°$.

نسبة النقل (rapport de transmission)

من المساواة السابقة نستنتج:

$ r = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{d_1}{d_2} $

وبما أن $d = m\,z$ والمعيار مشترك:

$ r = \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_{\text{menant}}}{z_{\text{mené}}} $

> نسبة النقل = سرعة المنقاد / سرعة القائد = أسنان القائد / أسنان المنقاد.

• $r < 1$: مخفض للسرعة (réducteur)، وهو الحال الأكثر شيوعاً (الترس يقود).
• $r > 1$: مضاعف للسرعة (multiplicateur) (العجلة تقود).
• $r = 1$: عجلتان متساويتان، تغيير الاتجاه فقط.

نذكّر أن $\omega = \pi\, n/30$ حيث $\omega$ بـ $rad/s$ و$n$ بـ $tr/min$.

اتجاه الدوران


في الأعلى زوج خارجي بالرمز التخطيطي (منظر جانبي: قطعتان تتلامسان من طرفيهما) وبالدائرتين الابتدائيتين (منظر أمامي): السهمان متعاكسان. في الأسفل يساراً تسنين داخلي: الترس داخل التاج والسهمان في الاتجاه نفسه. في الأسفل يميناً ترس وشبيكة: دوران الترس يعطي انسحاب الشبيكة.

• تسنين خارجي: تدور العجلتان في اتجاهين متعاكسين. إذا أردنا إظهار الاتجاه نكتب $r = -z_1/z_2$.
• تسنين داخلي: الاتجاه نفسه، و$r = +z_1/z_2$.

شروط التعشيق

لكي يتعشق مسننان ويعملا بصورة صحيحة يجب:

• نفس المعيار $m$، أي نفس الخطوة $p$؛ وإلا فلن تدخل الأسنان في الفجوات.
• نفس زاوية الضغط $\alpha$ (أي $20°$ في التسنين العادي)، ليكون للجانبين الشكل نفسه.
• تباعد محوري صحيح: $a = m\,(z_1 + z_2)/2$ حتى تتماس الدائرتان الابتدائيتان. إذا زاد التباعد ظهر خلوص كبير وصدمات، وإذا نقص انحشرت الأسنان.
• عدد أسنان كافٍ للترس: مع $\alpha = 20°$ وأسنان عادية، يتعرض ترس له أقل من 17 سنّاً تقريباً لظاهرة التقويض (interférence de taillage): تقطع الأداة قدم السن فيضعف. لذلك نختار عادة $z_1 \geq 17$ (أو نصحح التسنين).
• استمرار التماس: يدخل زوج جديد من الأسنان في التماس قبل أن يخرج الزوج السابق، وهذا يتحقق في المسننات العادية.

> في البكالوريا يكفي غالباً ذكر الشرطين: نفس المعيار ونفس زاوية الضغط.

الاستطاعة والمزدوجة عبر زوج مسنن

مع مردود الزوج $\eta$ (من 0,95 إلى 0,98 عادة):

$ P_2 = \eta \, P_1 \qquad P = C\, \omega $

ومنه:

$ C_2 = \frac{C_1 \, \eta}{r} $

المخفض ينقص السرعة ويكبّر المزدوجة: هذا هو سبب استعماله أمام المحركات السريعة ذات المزدوجة الصغيرة.

أمثلة محلولة

مثال 1: سرعات ومزدوجات

محرك $P_1 = 1{,}5\ kW$ يدور بـ $n_1 = 1440\ tr/min$ يقود ترساً $z_1 = 20$ يعشّق عجلة $z_2 = 60$. مردود الزوج $\eta = 0{,}97$.

نسبة النقل وسرعة العجلة:

$ r = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} $

$ n_2 = 1440 \times \frac{1}{3} = 480\ tr/min $

مزدوجة المحرك:

$ \omega_1 = \frac{\pi \times 1440}{30} = 150{,}80\ rad/s $

$ C_1 = \frac{1500}{150{,}80} = 9{,}95\ N \cdot m $

استطاعة العجلة ومزدوجتها:

$ P_2 = 0{,}97 \times 1500 = 1455\ W $

$ \omega_2 = \frac{\pi \times 480}{30} = 50{,}27\ rad/s $

$ C_2 = \frac{1455}{50{,}27} = 28{,}95\ N \cdot m $

التحقق بالعلاقة الثانية: $C_2 = 9{,}95 \times 0{,}97 \times 3 = 28{,}95\ N \cdot m$. العجلة تدور عكس اتجاه المحرك.

مثال 2: اختيار عدد الأسنان

نريد $n_2 = 360\ tr/min$ انطلاقاً من $n_1 = 1440\ tr/min$، بمعيار $m = 2\ mm$ وتباعد محوري $a = 100\ mm$.

• $r = 360/1440 = 1/4$، إذن $z_2 = 4\, z_1$.
• $z_1 + z_2 = 2a/m = 200/2 = 100$.
• $z_1 + 4 z_1 = 100$، ومنه $z_1 = 20$ و$z_2 = 80$.

التحقق: $z_1 = 20$ أكبر من 17 (لا تقويض)، و$a = 2 \times 100/2 = 100\ mm$.

أخطاء شائعة

• قلب النسبة: $r = z_1/z_2$ (أسنان القائد في البسط)، وليس $z_2/z_1$.
• خلط $n$ بـ $tr/min$ و$\omega$ بـ $rad/s$ في $P = C\,\omega$: يجب التحويل $\omega = \pi\, n/30$.
• قسمة المزدوجة على $\eta$ بدل ضربها فيه: الضياع ينقص المزدوجة المتاحة عند الخروج.
• استعمال $d_a$ في نسبة النقل بدل $d$.

5. التسنين الداخلي والترس والشبيكة

التسنين الداخلي (denture intérieure)

تعريف واستعمال

العجلة ذات التسنين الداخلي، وتسمى التاج المسنن (couronne à denture intérieure)، حلقة قُطعت أسنانها على سطحها الداخلي، ويدور الترس داخلها. نجدها في المخفضات المدمجة، وفي المخفضات الكوكبية (trains épicycloïdaux)، وفي بعض المناضد الدوارة ومحركات الرافعات.

مميزاته:

• العجلتان تدوران في الاتجاه نفسه؛
• التباعد المحوري صغير (الفرق بين الشعاعين لا مجموعهما)، فالآلية مدمجة؛
• عدد أسنان أكبر في التماس، فالنقل أهدأ؛
• لكن صنع التاج أصعب وأغلى، ويجب أن يكون الفرق $z_2 - z_1$ كافياً (يُنصح عادة بأكثر من 10 أسنان) لتفادي تداخل رؤوس الأسنان.

العلاقات

السن الداخلي هو «فجوة» السن الخارجي: رأسه متجه نحو المركز، فينقلب دور الرأس والقدم بالنسبة إلى الدائرة الابتدائية.

| الرمز | التسمية | تسنين خارجي | تسنين داخلي (التاج) | |---|---|---|---| | $d$ | القطر الابتدائي | $m\, z$ | $m\, z$ | | $d_a$ | قطر الرأس | $m\,(z + 2)$ | $m\,(z - 2)$ | | $d_f$ | قطر القاع | $m\,(z - 2{,}5)$ | $m\,(z + 2{,}5)$ | | $a$ | التباعد المحوري | $(d_1 + d_2)/2$ | $(d_2 - d_1)/2$ |

أما $p$ و$h_a$ و$h_f$ و$h$ فلا تتغير، ويُحسب الترس الداخلي بعلاقات التسنين الخارجي العادية.

$ a = \frac{d_2 - d_1}{2} = \frac{m\,(z_2 - z_1)}{2} $

> في التاج: $d_{a2} < d_2 < d_{f2}$. قطر الرأس هو أصغر أقطار التاج، وقطر القاع أكبرها.

انتبه: تطبع بعض الملخصات «(2 − Z) m» لقطر الرأس الداخلي، والصحيح $d_a = m\,(z - 2)$.


يبيّن الشكل تاجاً عدد أسنانه 48 وترساً عدد أسنانه 18 يدور داخله. دائرة رأس التاج (بالأحمر) هي الأصغر، ودائرة قاعه (بالأخضر) هي الأكبر، والتباعد المحوري $a$ بين المركزين $O_2$ و$O_1$ يساوي الفرق بين الشعاعين الابتدائيين.

مثال محلول: جدول مسنن داخلي

المعطى: $m = 2\ mm$، ترس $z_1 = 18$، تاج $z_2 = 48$، $n_1 = 1200\ tr/min$.

| العنصر | $z$ | $d$ | $d_a$ | $d_f$ | |---|---|---|---|---| | الترس 1 (خارجي) | 18 | 36 | 40 | 31 | | التاج 2 (داخلي) | 48 | 96 | 92 | 101 |

• الترس: $d_{a1} = 2 \times 20 = 40$، و$d_{f1} = 2 \times 15{,}5 = 31$ (mm).
• التاج: $d_{a2} = 2 \times 46 = 92$، و$d_{f2} = 2 \times 50{,}5 = 101$ (mm).

$ a = \frac{96 - 36}{2} = 30\ mm $

$ n_2 = 1200 \times \frac{18}{48} = 450\ tr/min $

التاج يدور في اتجاه الترس نفسه. لو استعملنا عجلة خارجية بالأسنان نفسها لكان $a = (36 + 96)/2 = 66\ mm$، أي أكثر من الضعف.

الترس والشبيكة (pignon-crémaillère)

الشبيكة

الشبيكة (crémaillère) قطعة مستقيمة مسننة، يمكن اعتبارها عجلة قطرها لا نهائي:

• الدائرة الابتدائية تصير خطاً ابتدائياً (ligne primitive) مستقيماً؛
• جانب السن (منفرجة الدائرة) يصير مستقيماً مائلاً بزاوية الضغط $\alpha = 20°$ عن العمودي على الخط الابتدائي؛
• الخطوة $p = \pi\, m$ تقاس على الخط الابتدائي، وسمك السن على هذا الخط $p/2$؛
• $h_a = m$ فوق الخط الابتدائي، و$h_f = 1{,}25\, m$ تحته، و$h = 2{,}25\, m$.

شرط التعشيق نفسه: للترس والشبيكة المعيار نفسه وزاوية الضغط نفسها.


يبيّن الشكل ترساً يعشّق شبيكة: الدائرة الابتدائية للترس تمسّ الخط الابتدائي للشبيكة، والمسافة بين محور الترس وهذا الخط $d/2$. عندما يدور الترس بسرعة $\omega$ تنسحب الشبيكة بسرعة $v$، وفي كل دورة تنتقل بمسافة تساوي محيط الدائرة الابتدائية.

العلاقات

الترس والشبيكة يحوّلان الحركة الدورانية إلى حركة انسحابية (والعكس)، وسيُدرس التحويل بتفصيل في درس تحويل الحركة. الدائرة الابتدائية تتدحرج على الخط الابتدائي دون انزلاق، إذن:

$ v = \omega \cdot \frac{d}{2} $

• الانتقال في دورة واحدة للترس: $L = \pi\, d = \pi\, m\, z$ (أي $z$ خطوة)؛
• الانتقال لـ $N$ دورة: $x = N\, \pi\, d$؛
• الانتقال لزاوية $\theta$ بالراديان: $x = \theta\, d/2$؛
• عند التركيب: المسافة بين محور الترس والخط الابتدائي للشبيكة تساوي $d/2$.

مثال محلول: ترس وشبيكة

ترس $m = 2\ mm$ و$z = 20$ يدور بـ $n = 45\ tr/min$ ويحرك شبيكة. المطلوب: الانتقال في دورة، سرعة الشبيكة، وعدد الدورات والزمن اللازمين لمشوار $300\ mm$.

$ d = 2 \times 20 = 40\ mm $

$ L = \pi \times 40 = 125{,}66\ mm $

$ \omega = \frac{\pi \times 45}{30} = 4{,}712\ rad/s $

$ v = 4{,}712 \times 20 = 94{,}25\ mm/s $

• عدد الدورات: $300/125{,}66 = 2{,}39\ tr$
• الزمن: $t = 300/94{,}25 = 3{,}18\ s$ (أو $2{,}39$ دورة مقسومة على $0{,}75\ tr/s$)
• المسافة بين محور الترس والخط الابتدائي: $d/2 = 20\ mm$

أخطاء شائعة

• حساب التباعد المحوري الداخلي بالجمع: في التسنين الداخلي $a = (d_2 - d_1)/2$.
• استعمال $d_a = m\,(z + 2)$ للتاج: رأس سن التاج نحو المركز فـ $d_a = m\,(z - 2)$.
• أخذ الانتقال في دورة مساوياً لـ $\pi\, m$: هذه خطوة واحدة (سن واحد)، والدورة تساوي $z$ خطوة، أي $\pi\, d$.
• نسيان القسمة على 2 في $v = \omega\, d/2$، أو ترك $\omega$ بـ $tr/min$.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: مخفض بمرحلتين لبساط ناقل

التقديم: بساط ناقل (tapis roulant) يُدار بطبل (tambour) قطره $200\ mm$. يُدار الطبل بمحرك كهربائي عبر مخفض بمرحلتين من المسننات الأسطوانية ذات الأسنان القائمة (تسنين خارجي).


يبيّن الرسم التخطيطي المحرك M متصلاً بالعمود I عبر قارن، والترس 1 على العمود I يعشّق العجلة 2 على العمود II، والترس 3 على العمود II نفسه يعشّق العجلة 4 على العمود III الذي يحمل الطبل؛ والمربعات الصغيرة مدحرجات التوجيه.

المعطيات:

• المحرك: $P_m = 1{,}1\ kW$، $n_m = 1450\ tr/min$.
• المرحلة 1 (1-2): $m = 2\ mm$، $z_1 = 17$، $a_{12} = 75\ mm$.
• المرحلة 2 (3-4): $m = 2{,}5\ mm$، $z_3 = 20$، $z_4 = 60$.
• مردود كل زوج $\eta = 0{,}97$ (نهمل الضياع في المدحرجات).

الأسئلة:

• أكمل جدول مميزات المسننات مع كتابة العلاقات.
• لماذا اختير معيار المرحلة الثانية أكبر من معيار المرحلة الأولى؟
• احسب نسبة النقل الإجمالية $r_g$ وسرعة دوران الطبل، وحدّد اتجاه دورانه بالنسبة للمحرك.
• احسب الاستطاعة على الطبل والمزدوجة عليه.
• احسب السرعة الخطية للبساط.

الحل:

1. جدول المميزات ($d = m\,z$، $d_a = m\,(z + 2)$، $d_f = m\,(z - 2{,}5)$)

المرحلة 1: $z_1 + z_2 = 2a_{12}/m = 75$، إذن $z_2 = 75 - 17 = 58$.

| العنصر | $m$ | $z$ | $d$ | $d_a$ | $d_f$ | $a$ | $r$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 1 | 2 | 17 | 34 | 38 | 29 | 75 | 0,293 | | 2 | 2 | 58 | 116 | 120 | 111 | 75 | 0,293 | | 3 | 2,5 | 20 | 50 | 55 | 43,75 | 100 | 0,333 | | 4 | 2,5 | 60 | 150 | 155 | 143,75 | 100 | 0,333 |

• المرحلة 1: $h = 2{,}25 \times 2 = 4{,}5\ mm$، $p = 6{,}28\ mm$.
• المرحلة 2: $h = 5{,}625\ mm$، $p = 7{,}85\ mm$، و$a_{34} = (50 + 150)/2 = 100\ mm$.
• نسبتا المرحلتين: $r_{12} = 17/58 = 0{,}293$ و$r_{34} = 20/60 = 0{,}333$.

2. العمود II أبطأ من العمود I، فالمزدوجة التي ينقلها الزوج 3-4 أكبر (المزدوجة تكبر كلما نقصت السرعة)، فالقوة المماسية على الأسنان أكبر، ويلزم سن أقوى أي معيار أكبر.

3. نسبة النقل والسرعة والاتجاه

$ r_g = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{z_3}{z_4} = \frac{17}{58} \cdot \frac{20}{60} $

$ r_g = 0{,}0977 $

$ n_4 = 1450 \times 0{,}0977 = 141{,}7\ tr/min $

تماسان خارجيان: كل تماس يعكس الاتجاه، فالطبل يدور في اتجاه المحرك نفسه.

4. الاستطاعة والمزدوجة

$ \eta_g = 0{,}97^2 = 0{,}941 $

$ P_4 = 0{,}941 \times 1100 = 1035\ W $

$ \omega_4 = \frac{\pi \times 141{,}7}{30} = 14{,}84\ rad/s $

$ C_4 = \frac{1035}{14{,}84} = 69{,}8\ N \cdot m $

تحقق: $C_m = 1100/151{,}84 = 7{,}24\ N \cdot m$، و$C_4 = 7{,}24 \times 0{,}941/0{,}0977 = 69{,}8\ N \cdot m$.

5. سرعة البساط (شعاع الطبل $0{,}1\ m$)

$ v = \omega_4 \cdot R = 14{,}84 \times 0{,}1 $

$ v = 1{,}48\ m/s $

التمرين 2: منضدة دوارة بتاج مسنن داخلي

التقديم: منضدة دوارة لمنصب تثقيب آلي، تحمل أربع قطع موزعة كل $90°$. تحت المنضدة تاج مسنن داخلي (2) مثبت عليها، يُديره ترس (1) مركّب على عمود مخفض. المعطيات: $m = 3\ mm$، $z_1 = 16$، التباعد المحوري $a = 66\ mm$، سرعة الترس $n_1 = 120\ tr/min$.

الأسئلة:

• احسب عدد أسنان التاج، ثم أكمل جدول المميزات.
• احسب نسبة النقل وسرعة دوران المنضدة، وحدّد اتجاهها.
• ما الزاوية التي تدورها المنضدة في دورة واحدة للترس؟ وكم دورة يلزم الترس لنقل قطعة من منصب إلى المنصب الموالي؟
• قارن التباعد المحوري مع حل بعجلة خارجية لها عدد الأسنان نفسه، واستنتج ميزة التسنين الداخلي هنا.

الحل:

1. في التسنين الداخلي $a = m\,(z_2 - z_1)/2$:

$ z_2 - z_1 = \frac{2 \times 66}{3} = 44 $

إذن $z_2 = 60$.

| العنصر | $z$ | $d$ | $d_a$ | $d_f$ | |---|---|---|---|---| | الترس 1 (خارجي) | 16 | 48 | 54 | 40,5 | | التاج 2 (داخلي) | 60 | 180 | 174 | 187,5 |

• الترس: $d_{a1} = 3 \times 18 = 54$، و$d_{f1} = 3 \times 13{,}5 = 40{,}5$ (mm).
• التاج: $d_{a2} = 3 \times 58 = 174$، و$d_{f2} = 3 \times 62{,}5 = 187{,}5$ (mm).
• التحقق: $(180 - 48)/2 = 66\ mm$؛ $h = 6{,}75\ mm$؛ $p = 9{,}42\ mm$.

2.

$ r = \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{60} = 0{,}267 $

$ n_2 = 120 \times 0{,}267 = 32\ tr/min $

المنضدة تدور في اتجاه دوران الترس نفسه (تسنين داخلي).

3. في دورة للترس تمر 16 سنّاً، فتدور المنضدة $16/60$ دورة:

$ \theta = 360° \times \frac{16}{60} = 96° $

للانتقال من منصب إلى آخر ($90°$) يلزم $90/96 = 0{,}9375$ دورة للترس.

4. بعجلة خارجية: $a = 3 \times (16 + 60)/2 = 114\ mm$ بدل $66\ mm$. التسنين الداخلي يعطي آلية أكثر اندماجاً، ويحافظ على اتجاه الدوران، ويُخفى التسنين تحت المنضدة فيكون محمياً.

التمرين 3: بوابة منزلقة بترس وشبيكة

التقديم: بوابة منزلقة آلية تُحرَّك بمحرك مخفض، على عمود خروجه ترس يعشّق شبيكة مثبتة على طول البوابة. المعطيات: سرعة عمود الخروج $n = 30\ tr/min$، الترس $m = 4\ mm$ و$z = 18$، مشوار الفتح $4{,}5\ m$، قوة مقاومة حركة البوابة $F = 450\ N$.

الأسئلة:

• احسب $d$ و$d_a$ و$d_f$ للترس، ثم خطوة الشبيكة وارتفاع أسنانها.
• ما المسافة بين محور الترس والخط الابتدائي للشبيكة؟
• احسب سرعة البوابة وزمن الفتح الكامل وعدد دورات الترس.
• احسب المزدوجة اللازمة على عمود الترس والاستطاعة المفيدة.

الحل:

1. $d = 4 \times 18 = 72\ mm$، $d_a = 4 \times 20 = 80\ mm$، $d_f = 4 \times 15{,}5 = 62\ mm$.

للشبيكة المعيار نفسه: $p = \pi \times 4 = 12{,}57\ mm$، $h_a = 4\ mm$، $h_f = 5\ mm$، $h = 9\ mm$.

2. الدائرة الابتدائية تمسّ الخط الابتدائي: المسافة $d/2 = 36\ mm$.

3.

$ \omega = \frac{\pi \times 30}{30} = 3{,}142\ rad/s $

$ v = \omega \cdot \frac{d}{2} = 3{,}142 \times 0{,}036 $

$ v = 0{,}113\ m/s $

$ t = \frac{4{,}5}{0{,}113} = 39{,}8\ s $

عدد الدورات: $4500/(\pi \times 72) = 4500/226{,}2 = 19{,}9\ tr$، وهي تساوي $39{,}8\ s \times 0{,}5\ tr/s$.

4. القوة $F$ تؤثر على الدائرة الابتدائية (الشعاع $0{,}036\ m$):

$ C = F \cdot \frac{d}{2} = 450 \times 0{,}036 $

$ C = 16{,}2\ N \cdot m $

$ P = C\,\omega = 16{,}2 \times 3{,}142 = 50{,}9\ W $

تحقق: $P = F\, v = 450 \times 0{,}113 = 50{,}9\ W$.

> ملاحظة للامتحان: نظّم الحل في كل سؤال: العلاقة الحرفية، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها. في جدول المميزات اكتب العلاقة المستعملة في كل عمود، وتحقق في النهاية أن $a$ المحسوب يساوي المعطى وأن $z$ عدد صحيح.