القص البسيط: الخوابير والمسامير والمحاور

يشرح الدرس القص البسيط: الجهد القاطع والإجهاد المماسي وشرط المقاومة، ثم يطبقه على الخوابير المتوازية والمرزات والمحاور في القص البسيط والمزدوج والمفصل الركابي والبراغي والبرشام والثقب بالمخرز ومرزة الأمان، ويختم بتمارين محلولة بنمط البكالوريا.

يتكوّن الدرس من 6 أجزاء: 1. القص البسيط: التعريف والجهد القاطع والإجهاد المماسي، 2. شرط المقاومة في القص وتحديد الأبعاد، 3. الخوابير المتوازية: الحساب في القص، 4. المرزات والمحاور: القص البسيط والمزدوج والمفصل الركابي، 5. تطبيقات أخرى: البراغي والبرشام والثقب بالمخرز ومرزة الأمان، 6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا.

1. القص البسيط: التعريف والجهد القاطع والإجهاد المماسي

أين نلتقي بالقص في الآليات؟

في كل دراسة تقنية تقريبا يُطرح سؤال من نوع: «ما نوع التأثير الذي يخضع له الخابور؟» أو «تحقق من شرط المقاومة للمرزة». والجواب في أغلب الحالات: القص (cisaillement). نجده في:

  • الخابور (clavette) الذي ينقل المزدوجة من العمود إلى العجلة أو البكرة؛
  • المرزة (goupille) التي تربط جلبة أو ترسا بعمود؛
  • المحور (axe) الذي يربط قطعتين في مفصل ركابي (chape)؛
  • البراغي والبرشام (boulons, rivets) التي تربط صفائح تُسحب في اتجاهين متعاكسين؛
  • عمليات الصنع التي نريد فيها الانكسار: القطع بالمقص (cisaillage) والثقب بالمخرز (poinçonnage).

تعريف القص البسيط

تخضع قطعة إلى القص البسيط عندما تؤثر عليها قوتان متساويتان في الشدة ومتعاكستان في الاتجاه، عموديتان على محورها، وخطا تأثيرهما متقاربان جدا. تحاول هاتان القوتان أن تُزلقا جزأي القطعة أحدهما على الآخر وفق مستوي المقطع الواقع بينهما، كما تفعل شفرتا المقص.

![قضيب تؤثر عليه قوتان متعاكستان متقاربتان والجزء الأيسر معزول مع الجهد القاطع](/uploads/media/gm_r2_principe.png)

يبين الشكل (a) قضيبا تؤثر عليه قوتان $\vec F$ متعاكستان خطا تأثيرهما متقاربان جدا، والمقطع (S) المحصور بينهما هو المقطع المقصوص. ويبين الشكل (b) الجزء الأيسر بعد عزله: كي يبقى متوازنا، يؤثر عليه الجزء الأيمن في المقطع بقوة داخلية $\vec T$ محتواة في مستوي المقطع، شدتها تساوي شدة $\vec F$، وتتوزع على المقطع في شكل إجهادات مماسية $\tau$.

الجهد القاطع

عند عزل أحد جزأي القطعة نجد أن العناصر الداخلية في المقطع ترجع إلى قوة واحدة $\vec T$ محتواة في مستوي المقطع تسمى الجهد القاطع (effort tranchant):

  • الجهد الناظمي معدوم $N = 0$ (لا مد ولا انضغاط)؛
  • عزم الالتواء معدوم $M_t = 0$؛
  • عزم الانحناء الناتج عن المسافة الصغيرة بين القوتين نهمله لأن هذه المسافة صغيرة جدا.

> القص البسيط: في المقطع المدروس يوجد الجهد القاطع $T$ وحده، وشدته تساوي شدة القوة $F$ المطبقة على أحد جانبي المقطع.

الإجهاد المماسي

نفترض أن الجهد القاطع يتوزع بانتظام على المقطع المقصوص. كل مليمتر مربع من المقطع يتحمل إذن الجزء نفسه من $T$؛ هذا الجزء هو الإجهاد المماسي (contrainte tangentielle) ونرمز له $\tau$ (تاو):

$ \tau = \dfrac{T}{S} $

  • $T$: الجهد القاطع بـ N؛
  • $S$: مساحة المقطع المقصوص بـ mm²؛
  • $\tau$: الإجهاد المماسي بـ N/mm²، أي بـ MPa (لأن $1\ MPa = 1\ N/mm^2$).

مقارنة بين الإجهادين

| | الإجهاد الناظمي $\sigma$ | الإجهاد المماسي $\tau$ | |---|---|---| | التأثير | المد أو الانضغاط | القص (والالتواء) | | اتجاهه بالنسبة للمقطع | عمودي على المقطع | محتوى في مستوي المقطع | | العلاقة | $\sigma = N/S$ | $\tau = T/S$ | | شرط المقاومة | $\sigma \le R_{pe}$ | $\tau \le R_{pg}$ |

التشوه في القص (للاطلاع)

تحت تأثير $\tau$ ينزلق المقطع بالنسبة للمقطع المجاور، فيميل الضلع العمودي بزاوية صغيرة $\gamma$ تسمى الانزلاق (glissement). في المجال المرن يكون $\tau$ متناسبا مع $\gamma$ (قانون هوك في القص): $\tau = G \cdot \gamma$، حيث $G$ معامل كولومب، وقيمته للصلب $G = 8 \cdot 10^4\ MPa$. لا نحتاج هذا التشوه في حسابات الخوابير والمرزات، لكنه يُستعمل في الالتواء.

كيف نعدّ المقاطع المقصوصة؟

قبل أي حساب نسأل: في كم مستو تنفصل القطعة لو انكسرت؟

  • مرزة أو برشامة تربط صفيحتين فقط: مقطع واحد، $S = \dfrac{\pi d^2}{4}$ (قص بسيط).
  • محور في مفصل ركابي أو مرزة عابرة للعمود والجلبة: مقطعان، $S = 2 \cdot \dfrac{\pi d^2}{4}$ (قص مزدوج).
  • خابور متوازي: مستو واحد مستطيل الشكل، $S = a \cdot L$.

اختبار القص

يُحدد سلوك المادة في القص باختبار تُركَّب فيه عينة أسطوانية (éprouvette) قطرها $d$ عبر ركاب ثابت (chape fixe) وزالق (coulisseau) نسحبه بقوة متزايدة $F$ حتى الانكسار.

![جهاز اختبار القص المزدوج: عينة أسطوانية عبر ركاب ثابت وزالق مسحوب بقوة F](/uploads/media/gm_r2_essai.png)

يبين الشكل أن العينة تُقص في مقطعين (S) في آن واحد، عند السطحين الفاصلين بين الزالق وجناحي الركاب. لذلك تتوزع القوة على مساحة $2S$. نستخرج من الاختبار قيمتين مميزتين للمادة:

  • حد المرونة للانزلاق $R_{eg}$ (limite élastique au glissement): أكبر إجهاد مماسي لا يترك تشوها دائما؛
  • المقاومة القصوى للانزلاق $R_{rg}$ (résistance à la rupture par glissement): الإجهاد المماسي عند الانكسار: $\tau_r = F_r / (2S)$.

أمثلة محلولة

مثال 1: مرزة في قص بسيط

مرزة أسطوانية قطرها $d = 10\ mm$ تربط صفيحتين تسحب كل منهما بقوة $F = 6000\ N$. احسب الإجهاد المماسي.

الحل:

  • مقطع مقصوص واحد: $S = \pi \cdot 10^2 / 4 = 78{,}54\ mm^2$.
  • الجهد القاطع: $T = F = 6000\ N$.
  • الإجهاد: $\tau = 6000 / 78{,}54 = 76{,}4\ MPa$.

مثال 2: نتيجة اختبار قص مزدوج

انكسرت عينة من الصلب قطرها $d = 10\ mm$ في جهاز الاختبار السابق تحت قوة $F_r = 62{,}8\ kN$. احسب $R_{rg}$.

الحل:

  • مساحة المقطع الواحد: $S = 78{,}54\ mm^2$، والمساحة المقصوصة الكلية: $2S = 157{,}08\ mm^2$.
  • $R_{rg} = \tau_r = 62\,800 / 157{,}08 = 399{,}8\ MPa$، أي حوالي $400\ MPa$.

أخطاء شائعة

  • كتابة $S = \pi d^2$ أو $S = \pi d$ بدل $S = \pi d^2 / 4$: الأولى أكبر بأربع مرات، والثانية محيط وليست مساحة.
  • استعمال نصف القطر مكان القطر في $\pi d^2 / 4$.
  • نسيان المقطع الثاني في القص المزدوج، فيتضاعف الإجهاد المحسوب خطأً.
  • خلط الوحدات: القوة بالنيوتن والمساحة بـ mm² تعطيان مباشرة MPa؛ إن كانت القوة بـ kN فحوّلها أولا.

2. شرط المقاومة في القص وتحديد الأبعاد

من حد المرونة إلى المقاومة التطبيقية

لا نسمح للقطعة أن تبلغ حد المرونة للانزلاق $R_{eg}$، لأن ذلك يترك تشوها دائما (المرزة تنحني والخابور ينزلق ثم يتلف). نأخذ هامش أمن بقسمة $R_{eg}$ على معامل الأمن $s$ (coefficient de sécurité)، فنحصل على المقاومة التطبيقية للانزلاق $R_{pg}$ (résistance pratique au glissement):

$ R_{pg} = \dfrac{R_{eg}}{s} $

يتراوح $s$ عادة بين 2 و5 حسب دقة معرفة الحمولات، وخطورة الانكسار على الأشخاص، ووجود الصدمات والاهتزازات.

![سلم الإجهادات المماسية: المجال المقبول تحت Rpg ثم هامش الأمن ثم التشوه الدائم ثم الانكسار](/uploads/media/gm_r2_echelle.png)

يرتب الشكل القيم المميزة على محور الإجهاد المماسي: تحت $R_{pg}$ يقع المجال المقبول الذي يجب أن يبقى فيه $\tau$، وبين $R_{pg}$ و$R_{eg}$ هامش الأمن، وفوق $R_{eg}$ يحدث تشوه دائم، وعند $R_{rg}$ يحدث الانكسار.

شرط المقاومة

> شرط المقاومة في القص: يجب أن يبقى الإجهاد المماسي الأقصى أصغر من المقاومة التطبيقية للانزلاق أو مساويا لها.

$ \tau_{max} = \dfrac{T}{S} \le R_{pg} $

العلاقة بين $R_{eg}$ و$R_{e}$

اختبار القص أقل استعمالا من اختبار المد، لذلك نقدّر غالبا $R_{eg}$ انطلاقا من حد المرونة $R_e$ للمادة:

| المادة (للاطلاع) | العلاقة التقريبية | |---|---| | الأصلاب اللينة، مزائج الألمنيوم | $R_{eg} \approx 0{,}5 \cdot R_e$ | | الأصلاب نصف الصلدة | $R_{eg} \approx 0{,}7 \cdot R_e$ | | الأصلاب الصلدة، حديد الزهر | $R_{eg} \approx 0{,}8 \cdot R_e$ |

ملاحظة للامتحان: موضوع البكالوريا يعطي عادة $R_{eg}$ و$s$، أو $R_{pg}$ مباشرة. إن أعطى $R_e$ وحده مع العلاقة بينهما (غالبا $R_{eg} = 0{,}5 \cdot R_e$) فاستعمل العلاقة المعطاة ولا تختر غيرها (وقد تُكتب $R_{pg} = 0{,}5 \cdot R_p$ مع $R_p = R_e/s$، وهي النتيجة نفسها)؛ وإن لم تُعط أي علاقة فالاصطلاح المعتاد للفولاذ هو $R_{eg} = 0{,}5 \cdot R_e$، كما في درس الالتواء.

ثلاثة أنواع من المسائل

1) التحقق من شرط المقاومة

نعرف $T$ و$S$ و$R_{pg}$: نحسب $\tau = T/S$ ونقارنها بـ $R_{pg}$، ثم نكتب الاستنتاج بجملة: «الشرط محقق، القطعة تقاوم بأمان» أو «الشرط غير محقق، يجب تكبير المقطع أو تغيير المادة».

2) تحديد الأبعاد الدنيا

نعرف $T$ و$R_{pg}$: من الشرط نستخرج المساحة الدنيا $S \ge T / R_{pg}$، ثم البعد:

  • مرزة في قص بسيط: $d \ge \sqrt{4T/(\pi R_{pg})}$؛
  • مرزة أو محور في قص مزدوج: $d \ge \sqrt{2T/(\pi R_{pg})}$؛
  • خابور: $L \ge T/(a \cdot R_{pg})$.

> نختار دائما القيمة النظامية الأكبر مباشرة من البعد الأدنى المحسوب، ولا ندوّر أبدا نحو الأصغر، لأن البعد الأصغر لا يحقق الشرط.

الأقطار النظامية الشائعة للمرزات والمحاور (mm): 2، 2,5، 3، 4، 5، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 20.

3) الحمولة القصوى المقبولة

نعرف $S$ و$R_{pg}$: أكبر جهد قاطع يمكن تحمله بأمان هو $T_{max} = R_{pg} \cdot S$.

مثال محلول شامل

مرزة من الصلب S235 ($R_e = 235\ MPa$) تعمل في قص بسيط وتتحمل جهدا قاطعا $T = 5000\ N$. نأخذ $R_{eg} = 0{,}5 \cdot R_e$ ومعامل الأمن $s = 2$.

1) المقاومة التطبيقية:

  • $R_{eg} = 0{,}5 \cdot 235 = 117{,}5\ MPa$؛
  • $R_{pg} = 117{,}5/2 = 58{,}75\ MPa$.

2) التحقق بقطر $d = 10\ mm$:

  • $S = \pi \cdot 10^2/4 = 78{,}54\ mm^2$؛
  • $\tau = 5000/78{,}54 = 63{,}7\ MPa$؛
  • بما أن $63{,}7 > 58{,}75$ فالشرط غير محقق: المرزة ذات القطر 10 mm غير كافية.

3) القطر الأدنى:

$ d \ge \sqrt{\dfrac{4 \cdot 5000}{\pi \cdot 58{,}75}} $

أي $d \ge 10{,}41\ mm$، فنختار القطر النظامي $d = 12\ mm$. للتأكد: $S = 113{,}1\ mm^2$ و$\tau = 5000/113{,}1 = 44{,}2\ MPa$، وهي أصغر من $58{,}75\ MPa$، فالشرط محقق.

4) الحمولة القصوى للمرزة ذات القطر 10 mm: $T_{max} = 58{,}75 \cdot 78{,}54 \approx 4614\ N$. هذه المرزة لا تقبل إلا حوالي 4,6 kN، وهو أقل من 5 kN المطلوبة، وهذا يؤكد نتيجة السؤال 2.

أخطاء شائعة

  • مقارنة $\tau$ بـ $R_{eg}$ أو بـ $R_e$ مباشرة ونسيان معامل الأمن.
  • ضرب $R_{eg}$ في $s$ بدل القسمة عليه: كلما كبر $s$ يجب أن تصغر $R_{pg}$.
  • تدوير البعد الأدنى نحو الأصغر (10,41 mm تصير 10 mm): النتيجة لا تحقق الشرط.
  • كتابة النتيجة بلا استنتاج: سؤال «تحقق من شرط المقاومة» ينتظر جملة تقارن وتحكم.

3. الخوابير المتوازية: الحساب في القص

دور الخابور

الخابور المتوازي (clavette parallèle) قطعة موحدة من الصلب، مقطعها مستطيل، توضع نصفها تقريبا في مجرى العمود (rainure de l'arbre) ونصفها في مجرى الجلبة (rainure du moyeu). يحقق وصلة اندماجية قابلة للفك بين العمود والقطعة المركبة عليه (عجلة مسننة، بكرة، قارن)، ودوره نقل المزدوجة ومنع الدوران النسبي. أما التثبيت المحوري فتحققه عناصر أخرى (كتف، حلقة مرنة، صامولة).

أشكال الخابور وتعيينه

![الخوابير المتوازية بالأشكال A وB وC مع الطول L والعرض a ومقطع a × b](/uploads/media/gm_r2_clavette_formes.png)

يبين الشكل ثلاثة أشكال نظامية في منظر علوي:

  • الشكل A: الطرفان مستديران، يوضع في مجرى منجز بالفريزة الإصبعية في وسط العمود؛
  • الشكل B: الطرفان مستقيمان، لمجرى منجز بفريزة قرصية أو مفتوح من جهة؛
  • الشكل C: طرف مستدير وطرف مستقيم، لنهاية العمود.

وعلى اليمين مقطع الخابور: عرضه $a$ وارتفاعه $b$. يُعيَّن الخابور هكذا: «Clavette parallèle, forme A, 12 x 8 x 36»، أي $a = 12\ mm$ و$b = 8\ mm$ و$L = 36\ mm$.

اختيار المقطع a × b

يُختار مقطع الخابور من جداول النظام حسب قطر العمود $d$، ولا يُحسب:

| قطر العمود d (mm) | المقطع a × b (mm) | |---|---| | أكبر من 12 إلى 17 | 5 × 5 | | أكبر من 17 إلى 22 | 6 × 6 | | أكبر من 22 إلى 30 | 8 × 7 | | أكبر من 30 إلى 38 | 10 × 8 | | أكبر من 38 إلى 44 | 12 × 8 | | أكبر من 44 إلى 50 | 14 × 9 |

أما الطول $L$ فهو الذي نحسبه بشرط المقاومة، ثم نختار قيمة نظامية (mm): 14، 16، 18، 20، 22، 25، 28، 32، 36، 40، 45، 50، 56، 63، بشرط ألا يتجاوز طول الجلبة.

كيف يعمل الخابور في القص؟

![مقطع عرضي لعمود وجلبة بخابور مع المستوي المقصوص، والخابور مكبرا مع الجهدين المتعاكسين، والمساحة المقصوصة a × L](/uploads/media/gm_r2_clavette_coupe.png)

  • في الشكل (a) مقطع عرضي للتجميع: العمود (مهشر في اتجاه) والجلبة (مهشرة في الاتجاه الآخر) والخابور (مهشر بخطوط أكثف لأنه مقطوع عرضيا، فالمقطع عمودي على طوله). العمود يدور تحت تأثير المزدوجة $C$، والخط المتقطع الأزرق هو المستوي المقصوص عند سطح العمود، أي عند الحد الفاصل بين جزء الخابور الذي في العمود وجزئه الذي في الجلبة.
  • في الشكل (b) الخابور مكبرا: العمود يدفع الجزء السفلي في اتجاه الدوران، والجلبة تقاوم بدفع الجزء العلوي في الاتجاه المعاكس. قوتان متساويتان ومتعاكستان ومتقاربتان: هذا هو القص البسيط.
  • في الشكل (c) المستوي المقصوص منظورا من الأعلى: مستطيل عرضه $a$ وطوله $L$.

الجهد القاطع على الخابور

المزدوجة $C$ تنتقل بقوة مماسية $T$ تؤثر تقريبا على نصف قطر العمود $d/2$:

$ C = T \cdot \dfrac{d}{2} $

ومنه

$ T = \dfrac{2\,C}{d} $

حيث $d$ قطر العمود في موضع الخابور (وليس القطر الابتدائي للعجلة). إذا كانت $C$ بـ N·mm و$d$ بـ mm كانت $T$ بالنيوتن. وإذا أُعطيت الاستطاعة: $C = P/\omega$ مع $\omega = \pi n / 30$.

الإجهاد وشرط المقاومة

المساحة المقصوصة $S = a \cdot L$ (في البكالوريا نأخذ الطول الكلي $L$ مهما كان الشكل)، ومنه:

$ \tau = \dfrac{T}{a \cdot L} \le R_{pg} $

ومنه الطول الأدنى للخابور:

$ L_{min} = \dfrac{T}{a \cdot R_{pg}} $

للاطلاع: يتعرض جانبا الخابور أيضا إلى الهرس (matage) على السطح $(b/2) \cdot L$، وهو غالبا الذي يحدد الطول في الواقع. لا يُحسب إلا إذا أعطى الموضوع الضغط المسموح.

مثال محلول 1: التحقق (نمط البكالوريا)

خابور متوازي 6 × 6 × 20 بين عمود قطره $d = 22\ mm$ وعجلة مسننة، المزدوجة المنقولة $C = 40\ N\cdot m$، مادة الخابور $R_{eg} = 150\ MPa$ ومعامل الأمن $s = 3$.

  • نوع التأثير: الخابور يخضع إلى القص.
  • الجهد القاطع: $C = 40\,000\ N\cdot mm$، فـ $T = 2 \cdot 40\,000/22 = 3636{,}4\ N$.
  • الإجهاد: $S = 6 \cdot 20 = 120\ mm^2$، $\tau = 3636{,}4/120 = 30{,}3\ MPa$.
  • المقاومة التطبيقية: $R_{pg} = 150/3 = 50\ MPa$.
  • الاستنتاج: $30{,}3 \le 50$، الشرط محقق والخابور يؤدي وظيفته بأمان.

مثال محلول 2: تحديد الطول

عمود خروج مخفض قطره $d = 40\ mm$ ينقل $C = 500\ N\cdot m$ إلى عجلة طول جلبتها 45 mm، و$R_{pg} = 60\ MPa$.

  • المقطع من الجدول: $d = 40$ يقع بين 38 و44، فالخابور 12 × 8، أي $a = 12\ mm$.
  • $T = 2 \cdot 500\,000/40 = 25\,000\ N$.
  • $L_{min} = 25\,000/(12 \cdot 60) = 34{,}7\ mm$، فنختار الطول النظامي $L = 36\ mm$ (أقل من طول الجلبة 45 mm).
  • تحقق: $\tau = 25\,000/(12 \cdot 36) = 57{,}9\ MPa \le 60\ MPa$.
  • التعيين: Clavette parallèle, forme A, 12 x 8 x 36.

مثال محلول 3: انطلاقا من الاستطاعة

محرك $P = 4\ kW$ يدور بـ $n = 1440\ tr/min$، بكرته مركبة على عمود قطره $d = 28\ mm$ بخابور 8 × 7 × 20، و$R_{pg} = 40\ MPa$.

  • $\omega = \pi \cdot 1440/30 = 150{,}8\ rad/s$؛
  • $C = 4000/150{,}8 = 26{,}53\ N\cdot m$؛
  • $T = 2 \cdot 26\,530/28 \approx 1895\ N$؛
  • $\tau = 1895/(8 \cdot 20) = 11{,}8\ MPa \le 40\ MPa$: الشرط محقق بهامش كبير.

ملاحظة للامتحان

  • حوّل $C$ من N·m إلى N·mm (ضرب في 1000) قبل القسمة على $d$ بالمليمتر.
  • $T = 2C/d$ وليس $C/d$: القوة تؤثر على نصف القطر.
  • المساحة المقصوصة $a \cdot L$ (العرض في الطول)، وليست $b \cdot L$ ولا $a \cdot b$.
  • اكتب دائما الاستنتاج، واقترح حلا إن لم يتحقق الشرط: خابور أطول، أو خابوران، أو مادة أقوى.

4. المرزات والمحاور: القص البسيط والمزدوج والمفصل الركابي

المرزات والمحاور في الآليات

  • المرزة (goupille) قطعة أسطوانية صغيرة تُدخل في ثقب مشترك بين قطعتين. أنواعها: المرزة الأسطوانية المملوءة، المرزة المرنة (goupille élastique) وهي أنبوب مشقوق من صلب النوابض، والمرزة المخروطية. تُستعمل لـ:
  • الربط: ربط جلبة أو ترس أو قارن بعمود (وصلة اندماجية) عندما تكون المزدوجة صغيرة؛
  • التموضع: تحديد الوضعية النسبية لقطعتين قبل شدهما بالبراغي (pion de centrage).
  • المحور (axe) قطعة أسطوانية أطول، ذات رأس من جهة وحلقة مرنة (anneau élastique) أو مرزة مشقوقة (goupille fendue) من الجهة الأخرى، تحقق وصلة محورية (pivot) بين قطعتين، كما في المفصل الركابي لدافعة أو ساعد.

في كل هذه الحالات تتعرض المرزة أو المحور إلى القص، والسؤال الأول هو دائما: كم مقطعا مقصوصا؟

القص البسيط والقص المزدوج

![مقارنة بين القص البسيط بصفيحتين ومقطع واحد والقص المزدوج بثلاث صفائح ومقطعين](/uploads/media/gm_r2_simple_double.png)

  • في الشكل (a) صفيحتان متراكبتان تسحب كل منهما بقوة $F$: المرزة مهددة بالانفصال في مستو واحد هو السطح الفاصل بين الصفيحتين، فالمقطع المقصوص واحد: $S = \pi d^2/4$.
  • في الشكل (b) صفيحة وسطى مسحوبة بـ $F$ بين صفيحتين خارجيتين تسحب كل منهما بـ $F/2$: المرزة مهددة بالانفصال في مستويين، فالمساحة المقاومة مضاعفة: $S = 2 \cdot \pi d^2/4$، وكل مقطع يتحمل $F/2$.

> لنفس القوة ونفس القطر، يكون الإجهاد في القص المزدوج نصف الإجهاد في القص البسيط. لذلك تُفضل التركيبات المتناظرة (الركاب) للحمولات الكبيرة.

المرزة العابرة بين عمود وجلبة

![مقطع عمودي على محور العمود يبين مرزة عابرة للجلبة والعمود ومقطعيها المقصوصين](/uploads/media/gm_r2_goupille_arbre.png)

يمثل الشكل مقطعا عموديا على محور العمود يمر بمحور المرزة: الجلبة والعمود مهشران باتجاهين مختلفين، والمرزة غير مهشرة لأن مستوي القطع يحتوي محورها (القطع المملوءة كالمرزات والمحاور والخوابير لا تُهشر في القطع الطولي). العمود يدور تحت تأثير المزدوجة $C$ فيدفع المرزة (الأسهم الحمراء) والجلبة تقاوم (الأسهم الخضراء). المرزة مقصوصة في مقطعين يقعان عند سطح العمود (الخطان المتقطعان الأزرقان).

نعتبر كما في الخابور أن المزدوجة تنتقل بقوة كلية $T = 2C/d$ ($d$ قطر العمود) تتوزع على المقطعين، أي $C/d$ لكل مقطع:

$ S = 2 \cdot \dfrac{\pi\, d_p^2}{4} $

$ \tau = \dfrac{T}{S} = \dfrac{4\,C}{\pi \cdot d \cdot d_p^2} $

حيث $d_p$ قطر المرزة. انتبه إلى عدم الخلط بين $d$ (قطر العمود، يدخل في $T$) و$d_p$ (قطر المرزة، يدخل في $S$).

مثال محلول 1

جلبة مربوطة بعمود قطره $d = 25\ mm$ بمرزة عابرة قطرها $d_p = 6\ mm$، المزدوجة $C = 60\ N\cdot m$ و$R_{pg} = 100\ MPa$.

  • $T = 2 \cdot 60\,000/25 = 4800\ N$؛
  • $S = 2 \cdot \pi \cdot 6^2/4 = 56{,}55\ mm^2$؛
  • $\tau = 4800/56{,}55 = 84{,}9\ MPa \le 100\ MPa$: الشرط محقق.
  • القطر الأدنى للمرزة: $d_p \ge \sqrt{2T/(\pi R_{pg})} = \sqrt{9600/(\pi \cdot 100)} = 5{,}53\ mm$، فالقطر 6 mm مناسب.

ملاحظة للامتحان: المرزة العابرة للعمود تُحسب في مقطعين كما سبق. إن نصّ الموضوع صراحة على مقطع واحد، أو أعطى العلاقة $d \ge \sqrt{4T/(\pi R_{pg})}$، فاتبع ما يعطيه الموضوع.

المفصل الركابي

![مقطع في مفصل ركابي: الركاب 1 والمحور 2 والذراع ذو العين 3 والحلقة المرنة 4 والمستويان المقصوصان](/uploads/media/gm_r2_chape.png)

يبين الشكل مقطعا في مفصل ركابي (articulation à chape) يمر بمحور المحور:

  • 1 الركاب (chape): قطعة ذات جناحين تُثبت بالهيكل من طرفها العلوي؛
  • 2 المحور (axe): غير مهشر، برأس على اليسار؛
  • 3 الذراع ذو العين (tige à œil): يمر المحور في عينه بين الجناحين؛
  • 4 الحلقة المرنة (anneau élastique): في مجرى المحور، تمنع خروجه.

الذراع 3 مسحوب بالقوة $\vec F$ والركاب يقاوم بقوة معاكسة. المحور يُقص في مستويين، بين العين وكل جناح، فهو في قص مزدوج:

$ \tau = \dfrac{F}{2 \cdot \pi d^2/4} $

مثال محلول 2

محور قطره $d = 10\ mm$ من الصلب S355 ($R_e = 355\ MPa$) في مفصل ركابي ينقل $F = 8000\ N$، مع $R_{eg} = 0{,}5 \cdot R_e$ و$s = 3$.

  • $R_{eg} = 177{,}5\ MPa$ و$R_{pg} = 177{,}5/3 = 59{,}2\ MPa$؛
  • $S = 2 \cdot 78{,}54 = 157{,}1\ mm^2$؛
  • $\tau = 8000/157{,}1 = 50{,}9\ MPa \le 59{,}2\ MPa$: الشرط محقق.

ملخص الحالات

| التركيب | عدد المقاطع | المساحة S | الجهد القاطع الكلي | |---|---|---|---| | صفيحتان ومرزة أو برشامة | 1 | $\pi d^2/4$ | $F$ | | مفصل ركابي، ثلاث صفائح | 2 | $2 \pi d^2/4$ | $F$ | | مرزة عابرة لعمود وجلبة | 2 | $2 \pi d_p^2/4$ | $2C/d$ | | خابور متوازي | 1 | $a \cdot L$ | $2C/d$ |

أخطاء شائعة

  • اعتبار المحور في الركاب في قص بسيط: يتضاعف الإجهاد المحسوب ويُرفض قطر صالح.
  • استعمال قطر العمود $d$ في مساحة المرزة، أو قطر المرزة $d_p$ في $T = 2C/d$.
  • نسيان أن كل مقطع في القص المزدوج يتحمل نصف القوة فقط.

5. تطبيقات أخرى: البراغي والبرشام والثقب بالمخرز ومرزة الأمان

البراغي والبرشام في القص

عندما تُربط صفيحتان أو أكثر بعدة براغي (boulons) أو مسامير برشام (rivets) وتُسحب الصفائح في اتجاهين متعاكسين، يُقص جسم كل برغي أو برشامة في السطوح الفاصلة بين الصفائح. إذا كان عدد عناصر الربط $n$ وكان لكل منها $m$ مقطع مقصوص (1 لصفيحتين، 2 لثلاث صفائح)، وافترضنا أن الحمولة تتوزع بالتساوي:

$ \tau = \dfrac{F}{n \cdot m \cdot \pi d^2/4} $

ملاحظات:

  • يجب أن يقع المستوي المقصوص في الجزء الأملس من جسم البرغي لا في الجزء الملولب، لأن مقطع القلب الملولب أصغر.
  • في الواقع تعمل البراغي المشدودة جيدا بالاحتكاك بين الصفائح أولا؛ الحساب في القص حساب أمان إذا انزلقت الصفائح.

مثال محلول 1

وصلة صفيحتين متراكبتين بأربعة براغي قطر جسمها $d = 10\ mm$ تنقل $F = 24\ kN$، و$R_{pg} = 80\ MPa$.

  • كل برغي يتحمل $24\,000/4 = 6000\ N$ في مقطع واحد مساحته $78{,}54\ mm^2$؛
  • $\tau = 6000/78{,}54 = 76{,}4\ MPa \le 80\ MPa$: الشرط محقق.

ولحساب العدد الأدنى من البرشام: $n \ge F/(m \cdot S \cdot R_{pg})$، ثم نأخذ العدد الصحيح الأكبر مباشرة.

الثقب بالمخرز: قص نريد فيه الانكسار

في الثقب بالمخرز (poinçonnage) يضغط المخرز (poinçon) صفيحة (tôle) موضوعة على المصفوفة (matrice) حتى تنفصل منها قطعة أسطوانية تسمى القطعة المنزوعة (débouchure). هنا الهدف عكس ما سبق: نريد أن تنكسر المادة، فنستعمل المقاومة القصوى للانزلاق $R_{rg}$ لا المقاومة التطبيقية.

![الثقب بالمخرز: المخرز والصفيحة والمصفوفة والسطح المقصوص وهو السطح الجانبي للقطعة المنزوعة](/uploads/media/gm_r2_poinconnage.png)

يبين الشكل المخرز الذي قطره $d$ فوق صفيحة سمكها $e$ موضوعة على المصفوفة. السطح المقصوص (بالأحمر) هو السطح الجانبي للأسطوانة التي تنفصل، أي محيط الثقب مضروبا في السمك، كما يظهر على القطعة المنزوعة في أسفل الشكل:

$ S = \pi \cdot d \cdot e $

والقوة اللازمة للثقب هي القوة التي تبلغ بالإجهاد $R_{rg}$:

$ F \ge R_{rg} \cdot \pi \cdot d \cdot e $

> في الثقب بالمخرز المساحة المقصوصة هي $\pi d e$ (محيط × سمك) وليست $\pi d^2/4$ (مساحة الثقب).

مثال محلول 2

نريد إنجاز ثقب قطره $d = 20\ mm$ في صفيحة من الصلب سمكها $e = 3\ mm$ و$R_{rg} = 320\ MPa$.

  • $S = \pi \cdot 20 \cdot 3 = 188{,}5\ mm^2$؛
  • $F = 320 \cdot 188{,}5 \approx 60\,319\ N \approx 60{,}3\ kN$.

إذا كانت قدرة المكبس $80\ kN$ فالسمك الأقصى الذي يمكن ثقبه بالمخرز نفسه: $e_{max} = 80\,000/(\pi \cdot 20 \cdot 320) \approx 3{,}98\ mm$.

القطع المستقيم بالمقص

في المقص الآلي (cisaille) ذي الشفرتين المتوازيتين يُقطع خط طوله $L$ في صفيحة سمكها $e$: المساحة المقصوصة $S = L \cdot e$، والقوة $F = R_{rg} \cdot L \cdot e$. مثلا لقطع $L = 100\ mm$ في صفيحة $e = 2\ mm$ و$R_{rg} = 300\ MPa$ نحتاج $F = 300 \cdot 200 = 60\,000\ N$. (تُمال الشفرة العلوية في المقصات الكبيرة لتقطع تدريجيا فتقل القوة اللازمة.)

مرزة الأمان

مرزة الأمان (goupille de sécurité) تلعب دور الصمام الميكانيكي (fusible mécanique): تربط مثلا عجلة سلسلة ناقل بعمودها، وتُحسب كي تنكسر عمدا إذا تجاوزت المزدوجة قيمة حدية $C_{lim}$ (انحشار جسم في الناقل)، فتحمي المحرك والمخفض. نستعمل إذن $R_{rg}$:

$ \tau = \dfrac{2\,C_{lim}/d}{2 \pi d_p^2/4} = R_{rg} $

مثال محلول 3

عمود قطره $d = 16\ mm$، مرزة أمان عابرة (مقطعان) من مادة $R_{rg} = 200\ MPa$، يجب أن تنكسر عند $C_{lim} = 40\ N\cdot m$.

  • $T = 2 \cdot 40\,000/16 = 5000\ N$؛
  • المساحة اللازمة $2 \pi d_p^2/4 = 5000/200 = 25\ mm^2$، ومنه $d_p = \sqrt{2 \cdot 25/\pi} = 3{,}99\ mm$؛
  • نأخذ $d_p = 4\ mm$، فتنكسر المرزة عند $C = 200 \cdot 25{,}13 \cdot 8 \approx 40\,212\ N\cdot mm \approx 40{,}2\ N\cdot m$، وهي قريبة جدا من القيمة المطلوبة.

ملاحظة: في مرزة الأمان لا نصعد آليا إلى القطر الأكبر: كل زيادة في القطر ترفع مزدوجة الانكسار، فنختار القطر النظامي الذي يعطي مزدوجة انكسار أقرب إلى $C_{lim}$ وأكبر من مزدوجة الاشتغال العادي، ثم نتحقق بالحساب.

جدول المقارنة

| الحالة | المساحة المقصوصة | المقاومة المستعملة | الهدف | |---|---|---|---| | براغي، برشام | $n \cdot m \cdot \pi d^2/4$ | $R_{pg}$ | ألا تنكسر | | الثقب بالمخرز | $\pi \cdot d \cdot e$ | $R_{rg}$ | أن تنكسر | | القطع المستقيم | $L \cdot e$ | $R_{rg}$ | أن تنكسر | | مرزة الأمان | $2 \pi d_p^2/4$ | $R_{rg}$ | أن تنكسر عند $C_{lim}$ فقط |

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: رافعة كهربائية (treuil)

تقديم الآلية

ترفع الرافعة حمولة $Q$ بواسطة كبل يلتف على طبل. يدير المحرك M مخفضا لا تظهر منه في الرسم إلا العجلة الأخيرة 6، المركبة على عمود الخروج 5 بالخابور 7. يحمل العمود 5 خارج المخفض الطبل 9 المربوط به بالمرزة العابرة 10، ويرتكز طرفه على الحامل 8.

![رسم مبسط للرافعة: المحرك والمخفض وعمود الخروج 5 والعجلة 6 والخابور 7 والحامل 8 والطبل 9 والمرزة 10 والحمولة Q](/uploads/media/gm_r2_treuil.png)

يبين الرسم المبسط سلسلة نقل المزدوجة: المحرك ← المخفض ← العجلة 6 ← الخابور 7 ← العمود 5 ← المرزة 10 ← الطبل 9 ← الكبل. المزدوجة كلها تمر عبر الخابور 7 ثم عبر المرزة 10.

| الرقم | التسمية | ملاحظة | |---|---|---| | 5 | عمود الخروج | Ø30 mm | | 6 | العجلة المسننة الأخيرة | مركبة على 5 | | 7 | خابور متوازي شكل A | 8 × 7 × L | | 8 | حامل بمدحرجة | | | 9 | الطبل | Ø200 mm | | 10 | مرزة أسطوانية عابرة | $d_p$ |

المعطيات

  • المحرك: $P_m = 1{,}5\ kW$، $n_m = 1440\ tr/min$؛ المخفض: $r = 1/20$، المردود $\eta = 0{,}9$.
  • الخابور 7: $R_{eg} = 165\ MPa$، $s = 3$؛ الأطوال المتوفرة: 20، 22، 25، 28، 32 mm.
  • المرزة 10: $R_{pg} = 100\ MPa$؛ الأقطار المتوفرة: 6، 8، 10، 12 mm.
  • $g = 9{,}81\ m/s^2$.

الأسئلة

  • ما نوع التأثير الذي يخضع له كل من الخابور 7 والمرزة 10 والعمود 5؟
  • احسب سرعة دوران العمود 5 واستطاعته والمزدوجة التي ينقلها.
  • احسب الجهد القاطع على الخابور 7، ثم طوله الأدنى، واختر طولا نظاميا وتحقق، ثم اكتب تعيينه.
  • احسب القطر الأدنى للمرزة 10 واختر قطرها.
  • احسب القوة في الكبل وكتلة الحمولة القصوى (نهمل الاحتكاك في الحامل).

الحل

1) أنواع التأثير: الخابور 7 يخضع إلى القص؛ المرزة 10 إلى القص (مزدوج لأنها عابرة)؛ العمود 5 إلى الالتواء (مع انحناء بسبب قوة الكبل وقوى التسنين).

2) العمود 5:

  • $n_5 = n_m \cdot r = 1440/20 = 72\ tr/min$؛
  • $\omega_5 = \pi \cdot 72/30 = 7{,}54\ rad/s$؛
  • $P_5 = \eta \cdot P_m = 0{,}9 \cdot 1500 = 1350\ W$؛
  • $C_5 = P_5/\omega_5 = 1350/7{,}54 \approx 179{,}0\ N\cdot m$.

3) الخابور 7:

  • $T = 2 C_5/d = 2 \cdot 179\,000/30 \approx 11\,933\ N$؛
  • $R_{pg} = 165/3 = 55\ MPa$؛
  • $L_{min} = T/(a \cdot R_{pg}) = 11\,933/(8 \cdot 55) \approx 27{,}1\ mm$، فنختار $L = 28\ mm$؛
  • تحقق: $\tau = 11\,933/(8 \cdot 28) \approx 53{,}3\ MPa \le 55\ MPa$: الشرط محقق؛
  • التعيين: Clavette parallèle, forme A, 8 x 7 x 28.

4) المرزة 10: المزدوجة نفسها تمر إلى الطبل، والمرزة في قص مزدوج:

$ d_p \ge \sqrt{\dfrac{2 \cdot 11\,933}{\pi \cdot 100}} $

أي $d_p \ge 8{,}72\ mm$، فنختار $d_p = 10\ mm$، ويكون $\tau = 11\,933/(2 \cdot 78{,}54) \approx 76{,}0\ MPa \le 100\ MPa$.

5) الحمولة: الكبل يلتف على نصف قطر الطبل $D/2 = 100\ mm$:

  • $F = 2 C_5/D = 2 \cdot 179\,000/200 = 1790\ N$؛
  • $m = F/g = 1790/9{,}81 \approx 182{,}5\ kg$.

التمرين 2: مكبس ثقب هيدروليكي

تقديم الآلية

تدفع الدافعة الهيدروليكية 1 بساقها 2 الركاب 3 المثبت بها، فيدفع الركاب بواسطة المحور 4 حامل المخرز 5 والمخرز 6، فيثقب الصفيحة 7 الموضوعة على المصفوفة 8.

![مقطع مبسط لمكبس الثقب: الدافعة 1 والساق 2 والركاب 3 والمحور 4 وحامل المخرز 5 والمخرز 6 والصفيحة 7 والمصفوفة 8](/uploads/media/gm_r2_presse.png)

يبين المقطع أن قوة الدافعة تنتقل إلى المخرز عبر المحور 4، الذي يمر في جناحي الركاب 3 وفي عين حامل المخرز 5؛ الخطان المتقطعان الأزرقان هما مستويا القص.

المعطيات

  • المخرز 6: $d = 12\ mm$، فولاذ أدوات $R_e = 1200\ MPa$، $s = 3$.
  • الصفيحة 7: سمكها $e = 2\ mm$، $R_{rg} = 360\ MPa$.
  • القوة القصوى للدافعة: $50\ kN$.
  • المحور 4: $d_4 = 14\ mm$، $R_{pg} = 120\ MPa$.

الأسئلة

  • احسب المساحة المقصوصة في الصفيحة والقوة اللازمة للثقب.
  • هل الدافعة كافية؟ ما السمك الأقصى الذي يمكن ثقبه بهذا المخرز؟
  • كم مقطعا مقصوصا في المحور 4؟ تحقق من شرط مقاومته.
  • المخرز يخضع إلى الانضغاط: تحقق من مقاومته.

الحل

1) $S = \pi \cdot d \cdot e = \pi \cdot 12 \cdot 2 = 75{,}40\ mm^2$، و$F = R_{rg} \cdot S = 360 \cdot 75{,}40 \approx 27\,143\ N \approx 27{,}1\ kN$.

2) $27{,}1\ kN \le 50\ kN$: الدافعة كافية. السمك الأقصى:

$ e_{max} = \dfrac{50\,000}{360 \cdot \pi \cdot 12} $

أي $e_{max} \approx 3{,}68\ mm$.

3) المحور 4 في ركاب: مقطعان مقصوصان. $S = 2 \cdot \pi \cdot 14^2/4 = 307{,}9\ mm^2$، و$\tau = 27\,143/307{,}9 \approx 88{,}2\ MPa \le 120\ MPa$: الشرط محقق.

4) مقطع المخرز $S_6 = \pi \cdot 12^2/4 = 113{,}1\ mm^2$، و$\sigma = 27\,143/113{,}1 = 240\ MPa$. المقاومة التطبيقية للانضغاط $R_{pc} = 1200/3 = 400\ MPa$، و$240 \le 400$: المخرز يقاوم.

التمرين 3: مرزة أمان لناقل بالسلسلة

المعطيات

عجلة سلسلة ناقل مربوطة بعمود قطره $d = 20\ mm$ بمرزة أمان عابرة (مقطعان) من مادة $R_{rg} = 250\ MPa$. يجب أن تنكسر المرزة إذا تجاوزت المزدوجة $C_{lim} = 60\ N\cdot m$، والمزدوجة في الاشتغال العادي $C_n = 40\ N\cdot m$. الأقطار المتوفرة: 3، 4، 5 mm.

الأسئلة

  • احسب الجهد القاطع على المرزة عند $C_{lim}$.
  • احسب القطر النظري للمرزة.
  • احسب مزدوجة الانكسار لكل قطر متوفر واختر القطر المناسب.
  • تحقق أن المرزة المختارة لا تنكسر في الاشتغال العادي.

الحل

1) $T = 2 C_{lim}/d = 2 \cdot 60\,000/20 = 6000\ N$.

2) عند الانكسار $T = R_{rg} \cdot 2 \pi d_p^2/4$، فالمساحة اللازمة $6000/250 = 24\ mm^2$ و$d_p = \sqrt{2 \cdot 24/\pi} \approx 3{,}91\ mm$.

3) مزدوجة الانكسار $C_r = R_{rg} \cdot (2 \pi d_p^2/4) \cdot d/2$:

| $d_p$ (mm) | المساحة (mm²) | $C_r$ (N·m) | الحكم | |---|---|---|---| | 3 | 14,14 | 35,3 | تنكسر في الاشتغال العادي | | 4 | 25,13 | 62,8 | مناسبة | | 5 | 39,27 | 98,2 | لا تحمي الآلية |

نختار $d_p = 4\ mm$: تنكسر عند $62{,}8\ N\cdot m$، أي أعلى من الحد المطلوب بحوالي 5 %.

4) في الاشتغال العادي: $T_n = 2 \cdot 40\,000/20 = 4000\ N$ و$\tau_n = 4000/25{,}13 \approx 159{,}2\ MPa$، وهي أقل من $R_{rg} = 250\ MPa$: المرزة لا تنكسر في الاشتغال العادي.

منهجية الإجابة

  • حدد القطعة ونوع التأثير، ثم عدّ المقاطع المقصوصة.
  • احسب الجهد القاطع: $T = F$ مباشرة، أو $T = 2C/d$ إذا انتقلت مزدوجة (و$C = P/\omega$ إن أعطيت الاستطاعة).
  • احسب المساحة المقصوصة بالصيغة المناسبة ($a L$، $\pi d^2/4$، $2 \pi d^2/4$، $\pi d e$).
  • اختر المقاومة: $R_{pg}$ إذا يجب ألا تنكسر القطعة، و$R_{rg}$ إذا نريد الانكسار.
  • قارن واكتب الاستنتاج، أو استخرج البعد الأدنى واختر القيمة النظامية.

الجزء الأول من الدرس مفتوح للجميع، وبقيته مع الاشتراك.

تمرّن على هذا الدرس

تمارين درس القص البسيط: الخوابير والمسامير والمحاور (60 تمريناً) — تمارين مصحّحة، أوّلها مفتوح للجميع.

دروس أخرى في هندسة ميكانيكية