الانحناء المستوي البسيط

3. رسم منحنيات T وMf بسلّم: الحالات النموذجية

خطوات الرسم

السؤال في البكالوريا يكون غالباً: «ارسم منحنيي الجهد القاطع وعزم الانحناء بالسلّم المعطى». نتبع الترتيب الآتي:

• نرسم مخطط القوى: الخط المتوسط بطوله الحقيقي (أو بسلّم الأطوال)، المساند، الحمولات وردود الأفعال بأسهمها وقيمها، والأبعاد.
• تحته، وبنفس السلّم الأفقي، محوراً لـ $T$ ثم محوراً لـ $M_f$، ونُسقط بخطوط متقطعة كل نقاط تطبيق القوى.
• نحسب القيم في جدول (من معادلات المناطق) ثم نحولها إلى أطوال بالسلّم.
• نرسم $T$ قطعاً أفقية (درجات)، و$M_f$ قطعاً مستقيمة تصل القيم عند حدود المناطق؛ نهشّر المساحات، ونكتب القيم المميزة والإشارات.

اختيار السلّم

السلّم علاقة بين طول على الورقة وقيمة: إذا كتب النص «$1\ mm \to 20\ N$» فإن $T = 920\ N$ يرسم بطول $920/20 = 46\ mm$. إذا لم يُعطَ السلّم نختاره بحيث يكون أكبر ارتفاع بين $40$ و$60\ mm$ تقريباً، بقيمة مستديرة (1، 2، 5 مضروبة في قوى العشرة).

الحالة 1: عارضة على سندين بحمولتين

عمود $AB$ طوله $150\ mm$ على سندين في طرفيه، يحمل $F_1 = 600\ N$ في $C$ (حيث $x = 40\ mm$) و$F_2 = 1200\ N$ في $D$ (حيث $x = 90\ mm$).

ردود الأفعال: العزوم حول $A$: $R_B \cdot 150 = 600 \cdot 40 + 1200 \cdot 90 = 132\,000$ إذن $R_B = 880\ N$، و$R_A = 1800 - 880 = 920\ N$.

المنطقة $AC$ ($0 \le x \le 40$):

$ T = +920\ N $

$ M_f = 920\,x $

المنطقة $CD$ ($40 \le x \le 90$):

$ T = 920 - 600 = +320\ N $

$ M_f = 320\,x + 24\,000 $

المنطقة $DB$ ($90 \le x \le 150$):

$ T = 320 - 1200 = -880\ N $

$ M_f = -880\,x + 132\,000 $

| النقطة | $A$ | $C$ | $D$ | $B$ | |---|---|---|---|---| | $x$ (mm) | $0$ | $40$ | $90$ | $150$ | | $M_f$ (N·mm) | $0$ | $36\,800$ | $52\,800$ | $0$ |

بسلّم $1\ mm \to 20\ N$ تكون ارتفاعات $T$: $46$ و$16$ و$44\ mm$؛ وبسلّم $1\ mm \to 1000\ N\cdot mm$ يكون أقصى ارتفاع لـ $M_f$ هو $52{,}8\ mm$.


يغير $T$ إشارته في $D$ (من $+320$ إلى $-880\ N$)، فهناك يكون $M_{f\,max} = 52\,800\ N\cdot mm$؛ لاحظ أن $M_f$ يستمر في الصعود بعد $C$ لأن $T$ ما زال موجباً.

الحالة 2: عارضة بطرفين بارزين (انحناء خالص)

عمود يرتكز على سندين $A$ و$B$ ويحمل في طرفيه البارزين (porte-à-faux) قوتين متساويتين $F_1 = F_2 = 900\ N$: $C$ في $x = 0$، $A$ في $x = 50$، $B$ في $x = 170$، $D$ في $x = 220\ mm$. بالتناظر $R_A = R_B = 900\ N$.

• المنطقة $CA$: $T = -900\ N$ و$M_f = -900\,x$، فـ$M_f(A) = -45\,000\ N\cdot mm$.
• المنطقة $AB$: $T = -900 + 900 = 0$ و$M_f = -900\,x + 900\,(x - 50) = -45\,000\ N\cdot mm$ ثابت.
• المنطقة $BD$: $T = +900\ N$ و$M_f$ يعود خطياً إلى الصفر في $D$.


بين السندين $T = 0$ و$M_f$ ثابت: هذه منطقة انحناء خالص. والعزم سالب: العمود يتقوس «محدّباً نحو الأعلى»، فتُشدّ أليافه العليا وتنضغط السفلى. نأخذ في الحسابات القيمة المطلقة $|M_f|_{max} = 45\,000\ N\cdot mm$.

الحالة 3: عارضة موثوقة (كابول)

الذراع الموثوق في $A$ (حيث $x = 0$)، طوله $150\ mm$، وتؤثر في طرفه $B$ القوة $F = 400\ N$: رأينا أن $R_A = 400\ N$ و$M_A = 60\,000\ N\cdot mm$ (عكس عقارب الساعة).

قوى اليسار هي $R_A$ ومزدوجة الوثاقة؛ المزدوجة المعاكسة لعقارب الساعة تعطي عزماً سالباً بالاصطلاح:

$ T = +400\ N $

$ M_f(x) = 400\,x - 60\,000 $

$M_f(0) = -60\,000\ N\cdot mm$ و$M_f(150) = 0$ (طرف حر).


العزم أكبر ما يمكن بالقيمة المطلقة عند الوثاقة: هناك المقطع الخطير الذي ينكسر منه الذراع إذا أُفرط في تحميله.

طريقة سريعة للتحقق: يمكن حساب $M_f$ من قوى اليمين بقاعدة بسيطة: كل قوة نحو الأعلى تعطي $+F \times d$، وكل قوة نحو الأسفل تعطي $-F \times d$، حيث $d$ المسافة بين القوة والمقطع (القاعدة نفسها لقوى اليسار). في الكابول: $M_f(x) = -400\,(150 - x)$، وهي العبارة نفسها.

ملخص الأشكال

| الحالة | منحنى $T$ | منحنى $M_f$ | أين $\lvert M_f \rvert_{max}$ | |---|---|---|---| | سندان وحمولة واحدة | درجتان بإشارتين متعاكستين | مثلث موجب | تحت الحمولة | | سندان وحمولتان | ثلاث درجات | مضلع موجب | حيث تتغير إشارة $T$ | | طرفان بارزان متناظران | $T = 0$ بين السندين | ثابت سالب بين السندين | كل المجال بين السندين | | كابول بقوة في طرفه | ثابت | مثلث أقصاه عند الوثاقة | في الوثاقة |

أخطاء شائعة

• رسم منحنى $M_f$ بخطوط منحنية بين النقاط: مع الحمولات المركزة كل قطعة مستقيمة.
• عدم محاذاة المنحنيات تحت مخطط القوى، فلا تظهر علاقة $T$ بـ $M_f$.
• نسيان كتابة السلّم والقيم المميزة والإشارات على المنحنى.
• اعتبار $M_f$ السالب «أصغر» من الموجب: المقاومة تتعلق بالقيمة المطلقة.

> ملاحظة للامتحان: قبل الرسم تحقق من أمرين: $T$ يعود إلى الصفر بعد آخر قوة، و$M_f$ ينعدم في الأطراف الحرة والمساند الطرفية.

4. الإجهاد الناظمي في الانحناء وشرط المقاومة

ماذا يحدث داخل المقطع؟

عندما تنحني عارضة تحت عزم موجب، تقصر أليافها العليا (انضغاط) وتطول أليافها السفلى (مد). بين المنطقتين توجد ألياف لا يتغير طولها: هي الألياف المحايدة (fibre neutre)، وتمر بمركز ثقل المقطع؛ ويسمى أثرها في المقطع المحور المحايد (axe neutre).

ينتج عن ذلك في كل نقطة من المقطع إجهاد ناظمي $\sigma$ (contrainte normale)، أي عمودي على المقطع، يتناسب مع بعد النقطة $y$ عن المحور المحايد:

$ \lvert\sigma\rvert = \frac{\lvert M_f \rvert \cdot y}{I} $

• $I$: العزم التربيعي (moment quadratique) للمقطع بالنسبة إلى المحور المحايد، بـ $mm^4$.
• $y$: بعد النقطة عن المحور المحايد، بـ $mm$.

الإجهاد منعدم على المحور المحايد، ويبلغ أقصاه في الألياف الأبعد التي تقع على البعد $v$ من هذا المحور:

$ \sigma_{max} = \frac{\lvert M_f \rvert_{max}}{I/v} $

المقدار $I/v$ (بـ $mm^3$) يسمى معامل الانحناء (module de flexion): كلما كبر قاوم المقطع الانحناء أكثر.


في أعلى الشكل عنصر من عارضة منحنية بعزم موجب وتوزيع الإجهاد على ارتفاع مقطعها: خطي، منعدم على الألياف المحايدة، انضغاط في الأعلى ومد في الأسفل، وقيمته القصوى على البعد $v$. وفي أسفله المقاطع الثلاثة المألوفة مع المحور المحايد $z$ واتجاه الحمولة $y$.

معامل الانحناء للمقاطع المألوفة

| المقطع | $I$ (mm⁴) | $v$ | $I/v$ (mm³) | |---|---|---|---| | دائري ممتلئ قطره $d$ | $\pi d^4/64$ | $d/2$ | $\pi d^3/32$ | | دائري مجوف $D$ و$d$ | $\pi (D^4 - d^4)/64$ | $D/2$ | $\pi (D^4 - d^4)/(32 D)$ | | مستطيل $b \times h$ | $b\,h^3/12$ | $h/2$ | $b\,h^2/6$ | | مربع ضلعه $a$ | $a^4/12$ | $a/2$ | $a^3/6$ |

تنبيه مهم: في المستطيل، $h$ هو البعد في اتجاه الحمولة (عمودي على المحور المحايد)، و$b$ هو العرض الموازي للمحور المحايد.

لا تخلط مع الالتواء: في الالتواء نستعمل العزم التربيعي القطبي $I_0 = \pi d^4/32$ ومعامل الالتواء $I_0/v = \pi d^3/16$، وهو ضعف معامل الانحناء. استعمال $\pi d^3/16$ في الانحناء يعطي إجهاداً أصغر بمرتين من الحقيقة، فيوهم بأن قطعة خطيرة سليمة.

شرط المقاومة

لكي تبقى القطعة في المجال المرن مع هامش أمان، يجب أن يبقى الإجهاد الأقصى أصغر من المقاومة التطبيقية (résistance pratique):

$ \sigma_{max} \le R_p $

$ R_p = \frac{R_e}{s} $

حيث $R_e$ حد المرونة للمادة (بـ $MPa$) و$s$ معامل الأمن. (يُكتب أحياناً $R_{pe}$ بدل $R_p$.) نستعمل دائماً القيمة المطلقة لأكبر عزم، موجباً كان أو سالباً.

ملاحظة: الجهد القاطع $T$ يُحدث أيضاً إجهاد قص، لكنه صغير جداً في الأعمدة والأذرع الطويلة أمام إجهاد الانحناء، فلا نتحقق في البكالوريا إلا من $\sigma_{max}$.

مثال محلول 1: التحقق من عمود

العمود ذو الحمولتين (الجزء 3) قطره $d = 25\ mm$، من الفولاذ E295 ($R_e = 295\ MPa$)، ومعامل الأمن $s = 3$. وجدنا $M_{f\,max} = 52\,800\ N\cdot mm$.

$ \frac{I}{v} = \frac{\pi \cdot 25^3}{32} = 1534\ mm^3 $

$ \sigma_{max} = \frac{52\,800}{1534} = 34{,}4\ MPa $

$ R_p = \frac{295}{3} = 98{,}3\ MPa $

بما أن $34{,}4 \le 98{,}3$ فشرط المقاومة محقق: العمود يقاوم الانحناء بهامش كبير.

مثال محلول 2: وضعية مقطع ذراع مستطيل

ذراع مقطعه $10 \times 30\ mm$ يخضع لعزم $\lvert M_f \rvert_{max} = 90\,000\ N\cdot mm$.

• على حرفه (الحمولة في اتجاه البعد $30$): $I/v = 10 \times 30^2/6 = 1500\ mm^3$ فـ$\sigma_{max} = 90\,000/1500 = 60\ MPa$.
• مسطحاً (الحمولة في اتجاه البعد $10$): $I/v = 30 \times 10^2/6 = 500\ mm^3$ فـ$\sigma_{max} = 180\ MPa$.

نفس المادة ونفس المقطع، والإجهاد أكبر بثلاث مرات! لذلك تُصمَّم الأذرع والروافع بحيث يكون البعد الأكبر في مستوي الحمولة.

مثال محلول 3: أنبوب أو عمود ممتلئ؟

تحت نفس العزم $52\,800\ N\cdot mm$، نقارن العمود الممتلئ $d = 25\ mm$ بأنبوب $D = 30\ mm$ و$d = 20\ mm$:

$ \frac{I}{v} = \frac{\pi (30^4 - 20^4)}{32 \cdot 30} $

$ \frac{I}{v} = 2127\ mm^3 $

فـ$\sigma_{max} = 52\,800/2127 = 24{,}8\ MPa$، بينما مساحة مقطع الأنبوب $393\ mm^2$ أصغر من مساحة العمود الممتلئ ($491\ mm^2$). المادة البعيدة عن المحور المحايد هي التي تقاوم الانحناء، ولهذا يكون الأنبوب أخف وأقوى معاً.

أخطاء شائعة

• استعمال معامل الالتواء $\pi d^3/16$ بدل $\pi d^3/32$.
• إدخال العزم بـ $N\cdot m$ مع $I/v$ بـ $mm^3$: حوّل العزم إلى $N\cdot mm$ لتحصل على $MPa$.
• أخذ $h$ و$b$ معكوسين في المستطيل.
• مقارنة $\sigma_{max}$ بـ $R_e$ بدل $R_p = R_e/s$.

> ملاحظة للامتحان: اكتب دائماً الصيغة الحرفية، ثم التعويض بالوحدات، ثم النتيجة، ثم جملة الحكم «$\sigma_{max} \le R_p$ إذن الشرط محقق» أو العكس.

5. التحجيم: قطر عمود ومقطع ذراع، والأعمدة الحاملة للمسننات والبكرات

من شرط المقاومة إلى الأبعاد الدنيا

التحجيم (dimensionnement) هو إيجاد أصغر مقطع يحقق شرط المقاومة. نكتب:

$ \frac{I}{v} \ge \frac{\lvert M_f \rvert_{max}}{R_p} $

عمود دائري ممتلئ: بتعويض $I/v = \pi d^3/32$ نجد:

$ d \ge \sqrt[3]{\frac{32\,\lvert M_f \rvert_{max}}{\pi\,R_p}} $

ثم نختار القطر النظامي الأكبر مباشرة من القائمة المعطاة (مثلاً 16، 18، 20، 22، 25، 28، 30 mm)، ولا نأخذ أبداً القطر الأصغر حتى لو كان قريباً.

ذراع مستطيل: $b\,h^2/6 \ge \lvert M_f \rvert_{max}/R_p$.

• إذا كان العرض $b$ معلوماً: $h \ge \sqrt{6\,\lvert M_f \rvert_{max}/(b\,R_p)}$.
• إذا فُرضت نسبة $h = k \cdot b$: $b \ge \sqrt[3]{6\,\lvert M_f \rvert_{max}/(k^2 R_p)}$.

> التحجيم في الانحناء: $d_{min} = \sqrt[3]{32\,M_{f\,max}/(\pi R_p)}$، ثم القطر النظامي الأعلى.

الخطأ الذي يجب تجنبه: صيغة الالتواء

قد تجد في بعض التصحيحات $d \ge \sqrt[3]{16\,M/(\pi R_p)}$ لعمود في الانحناء: هذه صيغة الالتواء. لأن $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$، فهي تعطي قطراً أصغر بنحو 21 % من القطر اللازم، أي عموداً ينكسر. في الانحناء العدد هو دائماً $32$.

حساب القوى المطبقة على العمود انطلاقاً من الآلية

نادراً ما تُعطى القوى مباشرة؛ نحسبها من المزدوجة المنقولة:

| العنصر | القوة على العمود | ملاحظة | |---|---|---| | مزدوجة من الاستطاعة | $C = P/\omega$ مع $\omega = \pi n/30$ | $P$ بـ $W$، $C$ بـ $N\cdot m$ | | ترس أو عجلة قطرها الابتدائي $d$ | $F_t = 2C/d$ | والقوة القطرية $F_r = F_t \tan 20°$ | | بكرة سير قطرها $D$، والفرعان متوازيان | $F = T + t$ | والمزدوجة $C = (T - t)\,D/2$ |

في هذا الجدول $T$ و$t$ توترا الفرعين المشدود والرخو للسير، لا الجهد القاطع؛ انتبه إلى السياق حين يجتمع الرمزان في التمرين نفسه.

مثال سريع: عمود ينقل $P = 2{,}2\ kW$ بسرعة $n = 700\ tr/min$ ويحمل ترساً $m = 2\ mm$ و$z = 20$. لدينا $\omega = \pi \times 700/30 = 73{,}3\ rad/s$، فـ$C = 2200/73{,}3 = 30{,}0\ N\cdot m$؛ قطر الترس $d = m \cdot z = 40\ mm$، فـ$F_t = 2 \times 30\,000/40 = 1500\ N$.

ملاحظة: القوتان $F_t$ و$F_r$ على سن الترس متعامدتان؛ إذا لم يكن على العمود إلا ترس واحد، فإن محصلتهما وردي فعل المدحرجتين في مستوٍ واحد فيبقى الانحناء مستوياً. وفي تمارين البكالوريا يحدد النص القوى التي نأخذها وفي أي مستوي، فنلتزم به.

مثال محلول 1: عمود ببكرة بارزة

عمود محمول على مدحرجتين $A$ (حيث $x = 0$) و$B$ (حيث $x = 120\ mm$)، ويحمل في طرفه البارز $D$ (حيث $x = 170\ mm$) بكرة. توتّرا السير $T = 1100\ N$ و$t = 400\ N$، والفرعان متوازيان وشاقوليان نحو الأسفل، فالقوة على العمود $F = 1500\ N$. المادة: $R_p = 80\ MPa$.

ردود الأفعال: العزوم حول $A$: $R_B \cdot 120 - 1500 \cdot 170 = 0$ فـ$R_B = 2125\ N$؛ ثم $R_A = 1500 - 2125 = -625\ N$. الإشارة السالبة تعني أن رد الفعل في $A$ نحو الأسفل: المدحرجة $A$ تمنع العمود من الارتفاع، لأن البكرة البارزة تجعله يدور حول $B$ كرافعة.

المنطقة $AB$ ($0 \le x \le 120$): $T = -625\ N$ و$M_f = -625\,x$، فـ$M_f(B) = -75\,000\ N\cdot mm$.

المنطقة $BD$ ($120 \le x \le 170$): $T = -625 + 2125 = +1500\ N$ و$M_f = 1500\,x - 255\,000$، فـ$M_f(D) = 0$.


الشكل يبين رد الفعل في $A$ مرسوماً نحو الأسفل، و$\lvert M_f \rvert_{max} = 75\,000\ N\cdot mm$ فوق المدحرجة $B$ لا تحت البكرة: المقطع الخطير هو مقطع المدحرجة القريبة من الحمولة البارزة.

التحجيم:

$ d \ge \sqrt[3]{\frac{32 \times 75\,000}{\pi \times 80}} $

$ d \ge 21{,}2\ mm $

نختار $d = 22\ mm$. ولو استعملنا خطأً صيغة الالتواء لوجدنا $16{,}8\ mm$ فاخترنا $18\ mm$: عمود يتجاوز إجهاده $R_p$ بكثير.

تحقق: مع $d = 22\ mm$: $I/v = 1045\ mm^3$ و$\sigma_{max} = 75\,000/1045 = 71{,}7\ MPa \le 80\ MPa$.

مثال محلول 2: تحجيم ذراع مستطيل

ذراع رافعة يخضع إلى $\lvert M_f \rvert_{max} = 90\,000\ N\cdot mm$، مادته $R_p = 100\ MPa$، ونريد $h = 3b$ (الذراع على حرفه).

$ \frac{b\,(3b)^2}{6} = 1{,}5\,b^3 \ge \frac{90\,000}{100} $

$ b^3 \ge 600 \Rightarrow b \ge 8{,}43\ mm $

نختار من المسطحات المتوفرة $b = 10\ mm$ و$h = 30\ mm$، فيكون $\sigma_{max} = 60\ MPa$ (كما حسبنا في الجزء 4).

أخطاء شائعة

• تطبيق صيغة الالتواء (العدد $16$) في الانحناء.
• أخذ الجذر التربيعي بدل التكعيبي، أو نسيان $\pi$.
• تقريب القطر نحو الأسفل ($21{,}2 \to 20\ mm$).
• حساب $F_t = C/d$ بدل $2C/d$، أو أخذ $F = T - t$ للبكرة بدل $T + t$.
• إهمال الإشارة السالبة لرد فعل، فيُرسم في الاتجاه الخاطئ وتفسد كل المنحنيات.

> ملاحظة للامتحان: في عمود يحمل عنصراً بارزاً، ابحث عن $\lvert M_f \rvert_{max}$ فوق المدحرجة المجاورة له؛ وفي عمود بين مدحرجتين، تحت أحد العناصر المحمولة.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: العمود الوسيط لمخفض سرعة

تقديم: مخفض سرعة بمرحلتين من المسننات الأسطوانية ذات الأسنان القائمة. العمود الوسيط يحمل العجلة 2 ($z_2 = 50$) في $C$ والترس 3 ($z_3 = 20$) في $D$، ومعيار المرحلتين $m = 2\ mm$. يوجَّه العمود بمدحرجتين ذواتي صف واحد من الكريات في $A$ و$B$، وينقل مزدوجة $M_t = 30\ N\cdot m$ (نهمل الضياعات؛ نرمز إليها $M_t$ لأن الحرف $C$ يسمي نقطة على العمود). الأبعاد: $AC = 30\ mm$، $CD = 60\ mm$، $DB = 30\ mm$.

فرضيات: نأخذ القوتين المماسيتين على السنين فقط، ونعتبرهما شاقوليتين نحو الأسفل وفي مستوٍ واحد؛ نهمل الأوزان. المادة C45: $R_e = 450\ MPa$، معامل الأمن $s = 4$.


في أعلى الشكل رسم مبسط للعمود (العجلة 2 مرسومة بقطرها الابتدائي الحقيقي)، وتحته بالسلّم الأفقي نفسه النموذج ثم منحنيا $T$ و$M_f$.

الأسئلة:

• احسب القطرين الابتدائيين والقوتين $F_2$ و$F_3$.
• احسب $R_A$ و$R_B$.
• اكتب $T$ و$M_f$ في كل منطقة، وارسم المنحنيين بسلّم $1\ mm \to 25\ N$ و$1\ mm \to 1000\ N\cdot mm$.
• حدد $M_{f\,max}$ والمقطع الخطير، ثم احسب القطر الأدنى للعمود.
• العمود منجز بقطر $20\ mm$ في هذا المقطع: تحقق من مقاومته.

الحل:

1) $d_2 = m \cdot z_2 = 100\ mm$ و$d_3 = m \cdot z_3 = 40\ mm$.

$ F_2 = \frac{2M_t}{d_2} = \frac{60\,000}{100} = 600\ N $

$ F_3 = \frac{2M_t}{d_3} = \frac{60\,000}{40} = 1500\ N $

الترس الصغير يتلقى قوة أكبر لأن المزدوجة نفسها تُنقل على نصف قطر أصغر.

2) العزوم حول $A$: $R_B \cdot 120 = 600 \cdot 30 + 1500 \cdot 90 = 153\,000$، فـ$R_B = 1275\ N$؛ و$R_A = 2100 - 1275 = 825\ N$. التحقق حول $B$: $825 \times 120 = 99\,000$ و$600 \times 90 + 1500 \times 30 = 99\,000$.

3)

| المنطقة | المجال (mm) | $T$ (N) | $M_f$ (N·mm) | |---|---|---|---| | $AC$ | $0 \le x \le 30$ | $+825$ | $825\,x$ | | $CD$ | $30 \le x \le 90$ | $+225$ | $225\,x + 18\,000$ | | $DB$ | $90 \le x \le 120$ | $-1275$ | $-1275\,x + 153\,000$ |

القيم: $M_f(C) = 24\,750$ و$M_f(D) = 38\,250$ و$M_f(B) = 0\ N\cdot mm$. بالسلّم: ارتفاعات $T$ هي $33$ و$9$ و$51\ mm$، وارتفاعا $M_f$ هما $24{,}75$ و$38{,}25\ mm$.

4) $T$ يغير إشارته في $D$، فـ$M_{f\,max} = 38\,250\ N\cdot mm$ في مقطع الترس 3. ثم $R_p = 450/4 = 112{,}5\ MPa$:

$ d \ge \sqrt[3]{\frac{32 \times 38\,250}{\pi \times 112{,}5}} $

$ d \ge 15{,}1\ mm $

أي $16\ mm$ على الأقل.

5) مع $d = 20\ mm$: $I/v = \pi \times 20^3/32 = 785{,}4\ mm^3$، و$\sigma_{max} = 38\,250/785{,}4 = 48{,}7\ MPa \le 112{,}5\ MPa$: الشرط محقق. (القطر $20\ mm$ تفرضه المدحرجات والخابور وكذلك الالتواء، لا الانحناء وحده.)

التمرين 2: بريدة تثبيت قطعة على طاولة آلة

تقديم: لتثبيت القطعة 3 على طاولة آلة التفريز 5 نستعمل بريدة (ذراع) 1 ترتكز في $A$ على القطعة وفي $B$ على كعب 4، وتُشدّ بصامولة على ساق ملولبة 2 تمر في ثقب مستطيل في $C$. شد الصامولة يطبق على البريدة قوة $F = 6000\ N$ نحو الأسفل. الأبعاد: $AC = 40\ mm$، $CB = 60\ mm$. مقطع البريدة: عرض $40\ mm$، سمك $h = 15\ mm$، وعرض الثقب في $C$ هو $14\ mm$. المادة S355: $R_e = 355\ MPa$، $s = 2$.


الشكل يبين البريدة 1 والساق 2 والقطعة 3 والكعب 4 والطاولة 5، وتحتها النموذج: القطعة والكعب يدفعان البريدة نحو الأعلى في $A$ و$B$، والصامولة تدفعها نحو الأسفل في $C$.

الأسئلة:

• احسب قوة التثبيت المطبقة على القطعة ورد فعل الكعب.
• اكتب $T$ و$M_f$ وارسم المنحنيين.
• لماذا المقطع $C$ هو المقطع الخطير؟ احسب فيه $\sigma_{max}$ وتحقق من المقاومة.
• احسب السمك الأدنى للبريدة.
• اقترح تعديلاً يزيد قوة التثبيت دون تغيير شد الصامولة.

الحل:

1) العزوم حول $A$: $R_B \cdot 100 = 6000 \cdot 40$ فـ$R_B = 2400\ N$ (على الكعب)، و$R_A = 3600\ N$: قوة التثبيت على القطعة. وبمبدأ الفعل ورد الفعل تتلقى القطعة من البريدة $3600\ N$ نحو الأسفل.

2) المنطقة $AC$: $T = +3600\ N$ و$M_f = 3600\,x$. المنطقة $CB$: $T = -2400\ N$ و$M_f = -2400\,x + 240\,000$. القيمة القصوى في $C$:

$ M_f(C) = 3600 \times 40 $

$ M_f(C) = 144\,000\ N\cdot mm $

3) في $C$ يجتمع أمران: أكبر عزم انحناء، وأصغر مقطع بسبب الثقب. المقطع الصافي جزآن عرضهما معاً $40 - 14 = 26\ mm$ وسمكهما $15\ mm$:

$ \frac{I}{v} = \frac{26 \times 15^2}{6} = 975\ mm^3 $

$ \sigma_{max} = \frac{144\,000}{975} = 147{,}7\ MPa $

و$R_p = 355/2 = 177{,}5\ MPa$، فالشرط محقق.

4) $h \ge \sqrt{6 \times 144\,000/(26 \times 177{,}5)} = 13{,}7\ mm$، فالسمك الأدنى $14\ mm$؛ السمك المنجز $15\ mm$ مناسب.

5) تقريب الساق من القطعة: مع $AC = 30\ mm$ (والطول الكلي $100\ mm$) يصبح $R_A = 6000 \times 70/100 = 4200\ N$، ويتناقص العزم في $C$ إلى $4200 \times 30 = 126\,000\ N\cdot mm$. القاعدة: الساق أقرب إلى القطعة منها إلى الكعب.

التمرين 3: عمود الدخول ببكرة وترس

تقديم: محرك يدير عمود الدخول لمخفض بواسطة سير شبه منحرف. العمود يحمل في طرفه البارز $C$ البكرة المقادة (قطرها $240\ mm$)، ويرتكز على مدحرجتين $A$ و$B$، ويحمل بينهما في $D$ ترساً ($m = 2\ mm$، $z = 16$). توترا فرعي السير المشدود والرخو $T = 350\ N$ و$t = 150\ N$ (لا تخلط توتر السير $T$ بالجهد القاطع $T$)، فرعاه متوازيان وشاقوليان نحو الأسفل. نأخذ على الترس القوة المماسية وحدها، شاقولية نحو الأسفل. الأبعاد: $CA = 40\ mm$، $AD = 80\ mm$، $DB = 80\ mm$؛ $x$ يقاس من الطرف $C$. المادة: $R_e = 300\ MPa$، $s = 5$.


الشكل يبين نموذج العمود ومنحنيي $T$ و$M_f$: العزم سالب فوق المدحرجة $A$ وموجب تحت الترس، وينعدم بينهما في النقطة المعلَّمة.

الأسئلة:

• احسب القوة $F_1$ التي يطبقها السير على العمود والمزدوجة المنقولة، ثم القوة $F_2$ على الترس.
• احسب ردي الفعل.
• اكتب $T$ و$M_f$ في المناطق الثلاث، وحدد موضع انعدام $M_f$ بين $A$ و$D$.
• احسب القطر الأدنى واختره من القائمة 16، 18، 20، 22، 25 mm.

الحل:

1) $F_1 = T + t = 500\ N$. المزدوجة (نرمز إليها $M_t$ لأن $C$ اسم نقطة): $M_t = (T - t) \cdot D/2 = 200 \times 120 = 24\,000\ N\cdot mm = 24\ N\cdot m$. قطر الترس $d = 2 \times 16 = 32\ mm$، فـ$F_2 = 2M_t/d = 2 \times 24\,000/32 = 1500\ N$.

2) العزوم حول $A$ (القوة $F_1$ نحو الأسفل على يسار $A$ عزمها موجب، و$F_2$ نحو الأسفل على يمينه عزمها سالب):

$ 160\,R_B + 500 \times 40 = 1500 \times 80 $

فـ$R_B = 100\,000/160 = 625\ N$، و$R_A = 2000 - 625 = 1375\ N$. التحقق حول $B$: $1375 \times 160 = 220\,000$ و$500 \times 200 + 1500 \times 80 = 220\,000$.

3)

| المنطقة | المجال (mm) | $T$ (N) | $M_f$ (N·mm) | |---|---|---|---| | $CA$ | $0 \le x \le 40$ | $-500$ | $-500\,x$ | | $AD$ | $40 \le x \le 120$ | $+875$ | $875\,x - 55\,000$ | | $DB$ | $120 \le x \le 200$ | $-625$ | $-625\,x + 125\,000$ |

القيم: $M_f(A) = -20\,000$ و$M_f(D) = +50\,000$ و$M_f(B) = 0\ N\cdot mm$. في المنطقة $AD$ ينعدم العزم حين $875\,x = 55\,000$ أي $x = 62{,}9\ mm$: هناك يتغير اتجاه تقوس العمود.

4) نقارن القيمتين المطلقتين: $50\,000 > 20\,000$، فـ$\lvert M_f \rvert_{max} = 50\,000\ N\cdot mm$ تحت الترس. $R_p = 300/5 = 60\ MPa$:

$ d \ge \sqrt[3]{\frac{32 \times 50\,000}{\pi \times 60}} $

$ d \ge 20{,}4\ mm $

نختار $d = 22\ mm$، والتحقق: $\sigma_{max} = 50\,000/1045 = 47{,}8\ MPa \le 60\ MPa$.

> ملاحظة للامتحان: في عمود فيه منطقتان بإشارتين مختلفتين لـ $M_f$، قارن القيم المطلقة للقمتين؛ ولا تنس أن نقطة تغير إشارة $T$ قد تكون في سند (هنا $A$) أو تحت حمولة (هنا $D$).