الالتواء البسيط

3. الإجهاد المماسي وتوزيعه والعزم التربيعي القطبي

من الانزلاق إلى الإجهاد

رأينا أن الانزلاق على بعد $\rho$ من المحور هو $\gamma_\rho = \rho\,\theta$، وأن قانون هوك في الانزلاق يعطي $\tau = G\gamma$. إذن في كل نقطة من المقطع:

$\tau = G\,\theta\,\rho$

الإجهاد في الالتواء مماسي (tangentiel): يقع في مستوي المقطع، وهو عمودي على نصف القطر في كل نقطة، واتجاهه يتبع اتجاه دوران المقطع.

العلاقة بين الإجهاد وعزم الالتواء

كل عنصر مساحة صغير dS على بعد $\rho$ يحمل قوة مماسية $\tau\,dS$، عزمها حول المحور $\rho\,\tau\,dS$. مجموع هذه العزوم على المقطع كله يساوي عزم الالتواء:

$M_t = G\,\theta \int_S \rho^2\, dS$

التكامل $\int_S \rho^2\,dS$ هو العزم التربيعي القطبي $I_0$ للمقطع بالنسبة إلى مركزه. ومنه $\theta = M_t/(G\,I_0)$، وهي علاقة التشوه التي استعملناها في الجزء الثاني، ثم بالتعويض في $\tau = G\theta\rho$:

$\tau = \frac{M_t\cdot\rho}{I_0}$

توزيع الإجهاد في المقطع


يبيّن الشكل أسهم الإجهاد المماسي على قطر شاقولي:

• في المقطع المملوء (يسار): الإجهاد معدوم في المركز ($\tau = 0$)، ويزداد خطيا مع $\rho$ حتى يبلغ $\tau_{max}$ على المحيط. الأسهم عمودية على نصف القطر، ومتعاكسة على جانبي المركز لأنها تدور كلها في نفس الاتجاه.
• في المقطع المجوف (يمين): لا توجد مادة قرب المركز، فيبدأ الإجهاد من قيمة $\tau_{min}$ على السطح الداخلي ويبلغ $\tau_{max}$ على السطح الخارجي.

> الإجهاد الأعظمي في الالتواء يكون دائما على المحيط الخارجي للعمود، حيث $\rho = v$ (v = نصف القطر الخارجي). ولهذا تبدأ الشقوق والكسور بالتعب من سطح العمود، خاصة عند تغيرات القطر ومجاري الخوابير.

الإجهاد الأعظمي ومديول الالتواء

بوضع $\rho = v$:

$\tau_{max} = \frac{M_t}{I_0/v}$

المقدار $I_0/v$ يسمى مديول الالتواء (module de torsion)، ويسمى أيضا معامل الالتواء، ووحدته $mm^3$. كلما كبر صغر الإجهاد تحت نفس العزم.

جدول المقاطع الدائرية

| المقطع | $I_0$ ($mm^4$) | v | $I_0/v$ ($mm^3$) | |---|---|---|---| | مملوء قطره d | $\pi d^4/32$ | $d/2$ | $\pi d^3/16$ | | مجوف (D خارجي، d داخلي) | $\pi(D^4 - d^4)/32$ | $D/2$ | $\pi(D^4 - d^4)/(16D)$ |

للمقطع المملوء نحصل على الصيغة الأكثر استعمالا في البكالوريا:

$\tau_{max} = \frac{16\,M_t}{\pi\,d^3}$

وللمقطع المجوف:

$I_0 = \frac{\pi\,(D^4 - d^4)}{32}$

$\frac{I_0}{v} = \frac{\pi\,(D^4 - d^4)}{16\,D}$

أخطاء شائعة في الصيغ

• تبديل الصيغتين: $\pi d^4/32$ للمقطع المملوء و $\pi(D^4 - d^4)/32$ للمجوف، وليس العكس؛ المجوف يطرح منه عزم الثقب.
• الخلط مع الانحناء: العزم التربيعي القطبي $I_0 = \pi d^4/32$ يختلف عن العزم التربيعي بالنسبة إلى قطر $I_{Gz} = \pi d^4/64$ المستعمل في الانحناء. للدائرة $I_0 = 2\,I_{Gz}$، ومنه $I_0/v = \pi d^3/16$ في الالتواء و $I/v = \pi d^3/32$ في الانحناء.
• مديول المجوف: $I_0/v$ لا يساوي $\pi(D^3 - d^3)/16$؛ نقسم $I_0$ على نصف القطر الخارجي وحده.
• نصف القطر بدل القطر: في $\pi d^3/16$ يكتب القطر d وليس نصفه.

أمثلة محلولة

مثال 1: عمود مملوء

عمود قطره $d = 40\ mm$ ينقل $M_t = 400\ N\cdot m$.

• $I_0/v = \pi \times 40^3/16 = 12\,566\ mm^3$.
• $\tau_{max} = 400\,000/12\,566 = 31{,}83\ MPa$ على المحيط.
• على بعد $\rho = 10\ mm$ من المحور: الإجهاد يتناسب مع $\rho$، إذن $\tau = 31{,}83 \times 10/20 = 15{,}92\ MPa$.
• في المركز: $\tau = 0$.

مثال 2: عمود مجوف بنفس القطر الخارجي

نثقب العمود السابق بقطر داخلي $d = 30\ mm$ ($D = 40\ mm$).

• $I_0 = \pi(40^4 - 30^4)/32 = \pi \times 1\,750\,000/32 = 171\,806\ mm^4$.
• $I_0/v = 171\,806/20 = 8590\ mm^3$.
• $\tau_{max} = 400\,000/8590 = 46{,}56\ MPa$ على السطح الخارجي.
• $\tau_{min} = 46{,}56 \times 15/20 = 34{,}92\ MPa$ على السطح الداخلي.

نزعنا $56\ \%$ من المادة ($30^2/40^2 = 0{,}5625$)، ولم يزد الإجهاد الأعظمي إلا بنسبة $46\ \%$ تقريبا: المادة القريبة من المحور كانت قليلة التحميل. سنستغل هذه الملاحظة في الجزء الخامس.

ملاحظة للامتحان

• حوّل $M_t$ إلى N·mm قبل القسمة على $I_0/v$ بـ $mm^3$، فتحصل على $\tau$ بـ $N/mm^2 = MPa$.
• إذا أعطى الموضوع مديول الالتواء مباشرة ($I_0/v = \pi d^3/16$) فاستعمله كما هو.
• اكتب الإجهاد بالرمز $\tau$ (تاو)، لا بالرمز $\sigma$ المخصص للإجهاد الناظمي في المد والانحناء.

4. شرط المقاومة وتحديد قطر عمود

تجربة الالتواء وحد المرونة للانزلاق

نثبت أحد طرفي قضيب اختبار أسطواني ونلويه تدريجيا من الطرف الآخر، ونسجل عزم الالتواء $M_t$ بدلالة زاوية الالتواء $\alpha$.


يبيّن المنحنى منطقتين:

• المنطقة المرنة OE: مستقيم يمر بالمبدأ، $M_t$ يتناسب مع $\alpha$ (قانون هوك)، ويعود القضيب إلى شكله الأول إذا أزلنا العزم.
• المنطقة اللدنة ER: يتزايد التشوه بسرعة ويبقى جزء منه دائما بعد إزالة العزم، حتى الانكسار في النقطة R.

العزم $M_{te}$ عند حد المنطقة المرنة يوافق على المحيط إجهادا يسمى حد المرونة للانزلاق (limite élastique au glissement) $R_{eg}$ بـ MPa. لا يجوز أن يبلغ الإجهاد في عمود آلة هذه القيمة، وإلا بقي العمود ملتويا بعد التوقف.

العلاقة بين $R_{eg}$ و $R_e$

نادرا ما تُجرى تجربة الالتواء؛ نستنتج $R_{eg}$ من حد المرونة في المد $R_e$ المعروف من تعيين المادة:

• اصطلاح البكالوريا، ما لم يُعط غيره: $R_{eg} = 0{,}5\,R_e$ للفولاذ.
• تعطي بعض الجداول معاملا أكبر للفولاذ الصلد (من 0,7 إلى 0,8). في الامتحان نستعمل دائما العلاقة أو القيمة المعطاة في الموضوع.

المقاومة التطبيقية للانزلاق وشرط المقاومة

لضمان الأمان نقسم حد المرونة على معامل أمن (coefficient de sécurité) s أكبر من 1 (غالبا من 2 إلى 5 حسب الصدمات ودقة المعطيات)، فنحصل على المقاومة التطبيقية للانزلاق (résistance pratique au glissement):

$R_{pg} = \frac{R_{eg}}{s}$

> شرط المقاومة في الالتواء: يجب أن يبقى الإجهاد المماسي الأعظمي أصغر من المقاومة التطبيقية أو مساويا لها: $\tau_{max} \leq R_{pg}$، أي $M_t/(I_0/v) \leq R_{pg}$.

الاستعمالات الثلاثة لشرط المقاومة

1) التحقق من عمود معلوم

نحسب $\tau_{max}$ ونقارنه بـ $R_{pg}$.

مثال: عمود قطره $d = 18\ mm$ ينقل $M_t = 45\ N\cdot m$، و $R_{pg} = 60\ MPa$.

$\tau_{max} = 16 \times 45\,000/(\pi \times 18^3) = 39{,}30\ MPa$. بما أن $39{,}30 \leq 60$ فالشرط محقق والعمود يقاوم.

2) تحديد القطر الأدنى

من $16 M_t/(\pi d^3) \leq R_{pg}$ نستخرج:

$d \geq \sqrt[3]{\frac{16\,M_t}{\pi\,R_{pg}}}$

ثم نختار القطر الموحد الأكبر مباشرة من سلسلة الأقطار المألوفة: 16، 18، 20، 22، 25، 28، 30، 32، 35، 40، 45، 50، 55، 60 mm.

مثال: عمود بساط ناقل ينقل $P = 2{,}4\ kW$ بسرعة $n = 150\ tr/min$، و $R_{pg} = 40\ MPa$.

• $\omega = \pi \times 150/30 = 15{,}71\ rad/s$.
• $M_t = 2400/15{,}71 = 152{,}79\ N\cdot m = 152\,790\ N\cdot mm$.
• $d \geq \sqrt[3]{16 \times 152\,790/(\pi \times 40)} = \sqrt[3]{19\,454} = 26{,}89\ mm$.
• نختار $d = 28\ mm$، وتحقق: $\tau_{max} = 35{,}45\ MPa \leq 40\ MPa$.

> لا نقرّب القطر الأدنى إلى الأصغر أبدا: القطر 26 mm هنا يعطي إجهادا أكبر من $R_{pg}$.

3) العزم الأقصى والاستطاعة القصوى لعمود معلوم

من الشرط: $M_{t\,max} = R_{pg} \cdot \pi d^3/16$، ثم $P_{max} = M_{t\,max}\cdot\omega$.

مثال: عمود $d = 30\ mm$ و $R_{pg} = 50\ MPa$: $M_{t\,max} = 50 \times \pi \times 27\,000/16 = 265\,072\ N\cdot mm = 265{,}07\ N\cdot m$. إذا دار بسرعة $1000\ tr/min$ ($\omega = 104{,}72\ rad/s$) فأقصى استطاعة يمكن أن ينقلها $P_{max} = 265{,}07 \times 104{,}72 = 27\,758\ W$، أي حوالي $27{,}8\ kW$.

اختيار المادة بشرط المقاومة

حين يكون القطر مفروضا (بسبب المدحرجات أو المسنن)، نختار مادة تكون مقاومتها التطبيقية كافية. نحسب $\tau_{max}$ ثم $R_{pg}$ لكل مادة مقترحة.

مثال: عمود $d = 20\ mm$ ينقل $M_t = 70\ N\cdot m$؛ $s = 3$ و $R_{eg} = 0{,}5\,R_e$.

$\tau_{max} = 16 \times 70\,000/(\pi \times 8000) = 44{,}56\ MPa$.

| المادة | $R_e$ (MPa) | $R_{eg}$ (MPa) | $R_{pg}$ (MPa) | الشرط $\tau_{max} \leq R_{pg}$ | |---|---|---|---|---| | 42CrMo4 | 850 | 425 | 141,7 | محقق | | C55 | 420 | 210 | 70,0 | محقق | | E295 | 295 | 147,5 | 49,2 | محقق | | S235 | 235 | 117,5 | 39,2 | غير محقق | | S185 | 185 | 92,5 | 30,8 | غير محقق |

ثلاث مواد تحقق الشرط. نختار E295: أقلها كلفة وأسهلها تشغيلا، مع هامش كاف ($44{,}56 \leq 49{,}2$). اختيار 42CrMo4 هنا صحيح تقنيا لكنه غير اقتصادي.

ملاحظة للامتحان

• اكتب الشرط بالرموز أولا ($\tau_{max} \leq R_{pg}$)، ثم عوّض، ثم اكتب الخلاصة بجملة: «الشرط محقق، العمود يقاوم بأمان» أو «غير محقق».
• مجرى الخابور يضعف العمود ويركّز الإجهادات؛ تهمله مواضيع البكالوريا عادة، لكن في التصميم الحقيقي نزيد القطر المحسوب.
• إذا أعطى الموضوع $R_{eg}$ مباشرة فلا تضربه في 0,5 مرة ثانية.

5. شرط الصلابة، العمود المجوف واختيار المادة

لماذا شرط الصلابة؟

قد يقاوم عمود طويل الإجهادات دون أي خطر، ومع ذلك يلتوي بزاوية كبيرة. هذا غير مقبول حين:

• يجب أن تبقى عدة أعضاء على العمود متزامنة (عجلات تسنين، بكرات مسننة، حدبات توقيت)؛
• يقود العمود حركة دقيقة (لولب تغذية مخرطة، آلة تحكم رقمي)؛
• يسبب الالتواء الكبير اهتزازات التوائية وصدمات عند الانطلاق والتوقف.

لهذا يحدد دفتر الشروط زاوية التواء وحدانية حدية $\theta_{lim}$، تُعطى عادة بـ °/m: حوالي $0{,}25\ °/m$ لأعمدة النقل الطويلة، وقيم أكبر للأعمدة القصيرة العادية. في الامتحان تُعطى دائما.

> شرط الصلابة (condition de rigidité): $\theta = M_t/(G\,I_0) \leq \theta_{lim}$، مع التعبير عن $\theta$ و $\theta_{lim}$ بنفس الوحدة.

القطر الأدنى بشرط الصلابة

من $I_0 \geq M_t/(G\,\theta_{lim})$ و $I_0 = \pi d^4/32$:

$d \geq \sqrt[4]{\frac{32\,M_t}{\pi\,G\,\theta_{lim}}}$

مع $\theta_{lim}$ بـ rad/mm. لاحظ الجذر الرابع (لأن $I_0$ يتعلق بـ $d^4$)، بينما شرط المقاومة يعطي جذرا تكعيبيا.

> القطر النهائي هو الأكبر بين قطر المقاومة وقطر الصلابة، ثم نأخذ القطر الموحد الذي يليه.

مثال: المقاومة أم الصلابة؟

عمود نقل طويل ينقل $M_t = 300\ N\cdot m$؛ $R_{pg} = 60\ MPa$، $G = 8\cdot 10^4\ MPa$، $\theta_{lim} = 0{,}25\ °/m$.

• المقاومة: $d \geq \sqrt[3]{16 \times 300\,000/(\pi \times 60)} = \sqrt[3]{25\,465} = 29{,}42\ mm$.
• تحويل الحد: $\theta_{lim} = 0{,}25 \times (\pi/180)/1000 = 4{,}363\cdot 10^{-6}\ rad/mm$.
• الصلابة: $I_0 \geq 300\,000/(80\,000 \times 4{,}363\cdot 10^{-6}) = 859\,437\ mm^4$، ومنه $d \geq \sqrt[4]{32 \times 859\,437/\pi} = 54{,}39\ mm$.
• الاختيار: شرط الصلابة هو الحاسم هنا، فنأخذ $d = 55\ mm$.
• التحقق: $\tau_{max} = 16 \times 300\,000/(\pi \times 55^3) = 9{,}18\ MPa \leq 60$، و $\theta = 0{,}239\ °/m \leq 0{,}25\ °/m$.

العمود «يقاوم» بقطر 30 mm، لكنه يحتاج 55 mm حتى لا يلتوي أكثر من الحد. الإجهاد الفعلي ($9{,}18\ MPa$) أصغر بكثير من $R_{pg}$: في هذه الحالة لا فائدة من فولاذ عالي المقاومة.

العمود المجوف والعمود المملوء

رأينا في الجزء الثالث أن المادة القريبة من المحور قليلة الإجهاد. إذا نقلناها بعيدا عن المحور ساهمت أكثر في مقاومة العزم.


يقارن الشكل مقطعين لهما نفس المساحة $1257\ mm^2$، أي نفس الكتلة لكل متر: مقطع مملوء $\varnothing 40$ ومقطع مجوف $\varnothing 50/\varnothing 30$.

| المقدار | مملوء $\varnothing 40$ | مجوف $\varnothing 50/\varnothing 30$ | النسبة | |---|---|---|---| | المساحة ($mm^2$) | 1257 | 1257 | 1 | | $I_0$ ($mm^4$) | $251\,327$ | $534\,071$ | 2,13 | | $I_0/v$ ($mm^3$) | $12\,566$ | $21\,363$ | 1,70 | | $\tau_{max}$ تحت $400\ N\cdot m$ (MPa) | 31,83 | 18,72 | 0,59 |

بنفس كمية المادة، العمود المجوف أقوى بـ 1,70 مرة وأصلب بـ 2,13 مرة.

تحديد عمود مجوف بنسبة أقطار معلومة

نضع $k = d/D$ (نسبة القطر الداخلي إلى الخارجي)، فيصبح $I_0/v = \pi D^3(1 - k^4)/16$، وشرط المقاومة يعطي:

$D \geq \sqrt[3]{\frac{16\,M_t}{\pi\,R_{pg}\,(1-k^4)}}$

مثال: $M_t = 800\ N\cdot m$، $R_{pg} = 60\ MPa$، $k = 0{,}6$:

• مجوف: $D \geq \sqrt[3]{16 \times 800\,000/(\pi \times 60 \times 0{,}8704)} = 42{,}73\ mm$، نختار $D = 45\ mm$ و $d = 0{,}6 \times 45 = 27\ mm$؛ التحقق: $\tau_{max} = 51{,}37\ MPa \leq 60$؛ المساحة $1018\ mm^2$.
• مملوء: $d \geq 40{,}80\ mm$، نختار $45\ mm$؛ المساحة $1590\ mm^2$.

العمود المجوف أخف بنحو $36\ \%$ لنفس الوظيفة.

حدود العمود المجوف

• أنبوب أو ثقب طويل يكلف أكثر في الصنع (تثقيب عميق) من قضيب مسحوب.
• الجدار الرقيق جدا قد يتجعد محليا (voilement) ويصعب فيه تشغيل مجاري الخوابير.
• يُستعمل حين يكون الوزن مهما (عمود نقل السيارات، الطائرات) أو حين يجب تمرير شيء داخله (عمود دوران المخرطة الذي تمر فيه القضبان، تمرير زيت أو أسلاك).

اختيار المادة: المقاومة والصلابة

| ما يحدد القطر | الخاصية المؤثرة | النتيجة في الاختيار | |---|---|---| | شرط المقاومة | $R_{pg}$ (أي $R_e$ ومعامل الأمن) | فولاذ أقوى يسمح بقطر أصغر | | شرط الصلابة | G (نفسه تقريبا لكل الفولاذ) | فولاذ أقوى لا يفيد؛ نختار فولاذا عاديا ونكبر القطر |

ومن ناحية أخرى، عمود من سبيكة ألمنيوم ($G = 2{,}6\cdot 10^4\ MPa$) يلتوي بزاوية أكبر بنحو 3 مرات من عمود فولاذي له نفس الأبعاد ونفس العزم.

أخطاء شائعة

• مقارنة $\theta$ بـ rad/mm مع $\theta_{lim}$ بـ °/m دون تحويل.
• أخذ القطر الأصغر بين قطري المقاومة والصلابة: يجب تحقيق الشرطين معا، أي أخذ الأكبر.
• استعمال الجذر التكعيبي في شرط الصلابة: هو جذر رابع.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: عمود خروج مخفض لبساط ناقل

تقديم الآلية. محرك كهربائي يدير بساطا ناقلا عبر مخفض سرعة بمسننات. عمود الخروج 7 يدور في مدحرجتين 8 مركبتين في الهيكل 5، ويحمل العجلة المسننة 6 (مثبتة بخابور) والنصف الأول من القارنة 9 التي تنقل الحركة إلى أسطوانة البساط.


في الأعلى: سلسلة النقل ومعطياتها. في الأسفل: مقطع مبسط لعمود الخروج 7 (غير مهشور لأنه عمود مملوء)، قطره 22 mm، والمسافة بين مستوي العجلة 6 ومستوي القارنة 9 هي 150 mm.

المعطيات: $P_m = 1{,}5\ kW$، $n_m = 1440\ tr/min$؛ المخفض $r = 1/12$ و $\eta = 0{,}9$؛ $d = 22\ mm$؛ $G = 8\cdot 10^4\ MPa$؛ معامل الأمن $s = 3$ و $R_{eg} = 0{,}5\,R_e$. المواد المقترحة: 42CrMo4 ($R_e = 850$)، C55 ($R_e = 420$)، E295 ($R_e = 295$)، S235 ($R_e = 235$) بـ MPa.

الأسئلة:

• ما نوع التأثير الذي يتعرض له العمود 7 بين العجلة 6 والقارنة 9؟
• احسب سرعة دوران العمود 7، والاستطاعة التي يستقبلها، وعزم الالتواء $M_t$.
• احسب الإجهاد المماسي الأعظمي في العمود 7.
• اختر أنسب مادة للعمود 7.
• إذا فُرضت المادة E295، ما القطر الأدنى؟
• احسب زاوية الالتواء بين العجلة 6 والقارنة 9 بالدرجات.

الحل:

• بين 6 و 9 ينقل العمود مزدوجة من العجلة إلى القارنة: يتعرض للالتواء (مع انحناء بسبب قوة التسنين نهمله هنا).
• $n_7 = 1440/12 = 120\ tr/min$، و $\omega_7 = \pi \times 120/30 = 12{,}566\ rad/s$. الاستطاعة $P_7 = 1500 \times 0{,}9 = 1350\ W$. إذن $M_t = 1350/12{,}566 = 107{,}43\ N\cdot m$.

تحقق بطريق آخر: $C_m = 1500/150{,}80 = 9{,}947\ N\cdot m$ و $C_7 = C_m\cdot\eta/r = 9{,}947 \times 0{,}9 \times 12 = 107{,}43\ N\cdot m$.

• $I_0/v = \pi \times 22^3/16 = 2090{,}7\ mm^3$، و $\tau_{max} = 107\,430/2090{,}7 = 51{,}38\ MPa$.
• $R_{pg} = 0{,}5\,R_e/3$:

| المادة | $R_{pg}$ (MPa) | $\tau_{max} \leq R_{pg}$ ؟ | |---|---|---| | 42CrMo4 | 141,7 | محقق | | C55 | 70,0 | محقق | | E295 | 49,2 | غير محقق ($51{,}38 > 49{,}2$) | | S235 | 39,2 | غير محقق |

نختار C55: أرخص مادة تحقق الشرط؛ 42CrMo4 مقبولة لكنها مكلفة دون حاجة.

• مع E295: $d \geq \sqrt[3]{16 \times 107\,430/(\pi \times 49{,}17)} = 22{,}33\ mm$، فنأخذ $d = 25\ mm$.
• $I_0 = \pi \times 22^4/32 = 22\,998\ mm^4$، و $\alpha = M_t L/(G I_0) = 107\,430 \times 150/(80\,000 \times 22\,998) = 8{,}76\cdot 10^{-3}\ rad$، أي $\alpha = 0{,}50°$.

التمرين 2: عمود ملفاف رافعة

تقديم الآلية. رافعة صغيرة (treuil) ترفع حمولة Q بسرعة ثابتة v. محرك مخفض يدير، عبر قارنة، العمود المجوف 3 الذي يحمل الملفاف 4 الذي يلتف عليه الكبل.


يبيّن الشكل الرافعة والمقطع A-A للعمود 3: قطر خارجي 40 mm وقطر داخلي 28 mm. الجزء الملتوي من العمود هو المحصور بين القارنة والملفاف، وطوله 600 mm.

المعطيات: $Q = 4\ kN$، قطر الملفاف $D_t = 250\ mm$، $v = 0{,}3\ m/s$؛ العمود 3 مجوف $\varnothing 40/\varnothing 28$؛ $R_{pg} = 60\ MPa$، $G = 8\cdot 10^4\ MPa$، $\theta_{lim} = 2\ °/m$. نهمل وزن الكبل والاحتكاك.

الأسئلة:

• احسب عزم الالتواء في العمود 3.
• احسب سرعة دوران الملفاف والاستطاعة اللازمة لرفع الحمولة.
• احسب $I_0$ و $I_0/v$ للعمود 3، ثم الإجهادين الأعظمي والأدنى. هل يقاوم العمود؟
• تحقق من شرط الصلابة، واحسب زاوية الالتواء على 600 mm.
• نريد استبداله بعمود مملوء: احسب قطره بالشرطين (اختر من السلسلة 35، 40، 45 mm)، وقارن المساحتين.

الحل:

• الكبل يؤثر بالقوة Q على ذراع $D_t/2$: $M_t = 4000 \times 0{,}125 = 500\ N\cdot m$.
• $\omega = v/R = 0{,}3/0{,}125 = 2{,}4\ rad/s$، و $n = 30\,\omega/\pi = 22{,}92\ tr/min$. $P = M_t\cdot\omega = 500 \times 2{,}4 = 1200\ W$ (تساوي أيضا $Q\cdot v = 4000 \times 0{,}3$).
• $I_0 = \pi(40^4 - 28^4)/32 = \pi \times 1\,945\,344/32 = 190\,984\ mm^4$؛ $I_0/v = 190\,984/20 = 9549\ mm^3$.

$\tau_{max} = 500\,000/9549 = 52{,}36\ MPa$ على السطح الخارجي، و $\tau_{min} = 52{,}36 \times 14/20 = 36{,}65\ MPa$ على السطح الداخلي. بما أن $52{,}36 \leq 60$، فالعمود يقاوم.

• $\theta = 500\,000/(80\,000 \times 190\,984) = 3{,}273\cdot 10^{-5}\ rad/mm = 1{,}875\ °/m$. بما أن $1{,}875 \leq 2$، فشرط الصلابة محقق. على 600 mm: $\alpha = 3{,}273\cdot 10^{-5} \times 600 = 0{,}01964\ rad = 1{,}125°$.
• عمود مملوء:
• المقاومة: $d \geq \sqrt[3]{16 \times 500\,000/(\pi \times 60)} = 34{,}88\ mm$، أي 35 mm.
• لكن مع 35 mm: $I_0 = 147\,324\ mm^4$ و $\theta = 2{,}43\ °/m > 2\ °/m$: الصلابة غير محققة.
• الصلابة: $\theta_{lim} = 3{,}491\cdot 10^{-5}\ rad/mm$، $I_0 \geq 179\,049\ mm^4$، ومنه $d \geq 36{,}75\ mm$، فنأخذ 40 mm.
• المساحتان: المملوء $\pi \times 40^2/4 = 1257\ mm^2$، والمجوف $\pi(40^2 - 28^2)/4 = 641\ mm^2$. العمود المجوف أخف بنحو 49 % وله نفس القطر الخارجي.

التمرين 3: عمود ناقل يغذي آلتين

تقديم الآلية. في ورشة، عمود ناقل أفقي يستقبل الحركة من محرك عبر البكرة B الواقعة بين طرفيه، ويعطي الحركة لآلتين: الأولى عبر المسنن A في الطرف الأيسر، والثانية عبر المسنن C في الطرف الأيمن.


يبيّن الشكل المزدوجات الثلاث (بـ N·m) وأطوال الجزأين، وتحته مخطط عزم الالتواء الذي سنثبته في الحل.

المعطيات: يدور العمود بسرعة $n = 400\ tr/min$؛ البكرة B تستقبل $P_B = 6\ kW$؛ الآلة A تأخذ $2\ kW$ والآلة C تأخذ $4\ kW$ (نهمل الضياعات)؛ $AB = 400\ mm$، $BC = 600\ mm$؛ $R_{pg} = 50\ MPa$، $G = 8\cdot 10^4\ MPa$.

الأسئلة:

• احسب المزدوجات $C_A$ و $C_B$ و $C_C$.
• أعط عزم الالتواء في الجزأين AB وBC وارسم مخططه.
• احسب القطر الأدنى للعمود (قطر ثابت) واختر قطرا من السلسلة 20، 22، 25 mm.
• مع القطر المختار، احسب الإجهاد في كل جزء.
• احسب زاوية دوران المقطع C بالنسبة إلى المقطع A.
• لو وُضعت البكرة B في الطرف الأيسر (قبل A)، ما القطر الأدنى؟ ماذا تستنتج؟

الحل:

• $\omega = \pi \times 400/30 = 41{,}888\ rad/s$:
• $C_B = 6000/41{,}888 = 143{,}24\ N\cdot m$ (محركة)؛
• $C_A = 2000/41{,}888 = 47{,}75\ N\cdot m$ و $C_C = 4000/41{,}888 = 95{,}49\ N\cdot m$ (مقاومتان).
• التوازن: $143{,}24 - 47{,}75 - 95{,}49 = 0$.
• باتجاه المزدوجة المحركة موجبا، ومجموع المزدوجات على يسار المقطع:
• الجزء AB: على اليسار $C_A$ وحدها وهي مقاومة: $M_t = -47{,}75\ N\cdot m$.
• الجزء BC: $M_t = -47{,}75 + 143{,}24 = +95{,}49\ N\cdot m$.
• على يمين C: $95{,}49 - 95{,}49 = 0$. المخطط في الشكل أعلاه.
• القيمة المطلقة القصوى في BC: $|M_t|_{max} = 95{,}49\ N\cdot m$. $d \geq \sqrt[3]{16 \times 95\,490/(\pi \times 50)} = 21{,}35\ mm$، نختار $d = 22\ mm$.
• $I_0/v = 2090{,}7\ mm^3$: في AB $\tau = 47\,750/2090{,}7 = 22{,}84\ MPa$، وفي BC $\tau = 95\,490/2090{,}7 = 45{,}67\ MPa \leq 50$.
• $I_0 = 22\,998\ mm^4$ و $G\,I_0 = 1{,}840\cdot 10^9\ N\cdot mm^2$:
• $\alpha_{AB} = -47\,750 \times 400/(1{,}840\cdot 10^9) = -0{,}01038\ rad$؛
• $\alpha_{BC} = 95\,490 \times 600/(1{,}840\cdot 10^9) = +0{,}03114\ rad$؛
• $\alpha_{AC} = -0{,}01038 + 0{,}03114 = 0{,}02076\ rad$، أي $1{,}19°$. الجزآن يلتويان في اتجاهين متعاكسين فتطرح الزاويتان.
• إذا دخلت المزدوجة في الطرف: يحمل الجزء الأول كل المزدوجة $143{,}24\ N\cdot m$، و $d \geq \sqrt[3]{16 \times 143\,240/(\pi \times 50)} = 24{,}44\ mm$، أي 25 mm. الاستنتاج: وضع عضو الدخول بين المستقبِلات يقلل أقصى عزم في العمود فيسمح بقطر أصغر.

منهجية عامة لسؤال الالتواء

• حدد الجزء الملتوي (بين عضو الدخول وعضو الخروج) وعزمه $M_t$: من $P/\omega$، أو $F\cdot r$، أو مخطط $M_t$.
• حوّل إلى N·mm، واكتب $I_0/v$ المناسب للمقطع (مملوء أو مجوف).
• طبق الشرط المطلوب: تحقق، قطر أدنى، مادة، عزم أو استطاعة قصوى.
• إذا طُلبت الصلابة: حوّل $\theta_{lim}$ إلى rad/mm، وخذ القطر الأكبر بين الشرطين.
• اختم بجملة واضحة مع الوحدة.