موضوع بكالوريا نموذجي محلول 1: دراسة تقنية لآلية (إنشاء ومقاومة المواد)

3. التوجيه الدوراني: المدحرجات والتوقيفات والتوافقات والكتامة (4 نقاط)

نص الأسئلة

| السؤال | المطلوب | العلامة | |---|---|---| | 3.1 | اذكر طراز المدحرجة 9 واشرح تعيينها | 0,5 | | 3.2 | حدّد حالة التركيب والحلقات المركّبة بالشد، مع التعليل | 0,5 | | 3.3 | للعمود 14: أي مدحرجة مثبتة وأيها حرة؟ علّل من الرسم | 0,5 | | 3.4 | أكمل جدول التوقيفات المحورية للعمود 14 | 1 | | 3.5 | سجّل التوافقات على مقاعد المدحرجتين 18 و19، واحسب الخلوصين الحديين لتمركز الغطاء 22 Ø62 H7/g6 | 1 | | 3.6 | اذكر حلول الكتامة وطريقة التزييت | 0,5 |

3.1 طراز المدحرجة 9 وتعيينها (0,5 نقطة)

المدحرجة 9 تعيينها 6205:

• الرقم 6: مدحرجة بصف واحد من الكريات بتلامس نصف قطري (roulement à billes à contact radial)، ويُرمز لها في المواضيع بـ BC؛
• الرقم 2: سلسلة الأبعاد (سلسلة خفيفة 02)؛
• الرقمان 05: رمز القطر الداخلي:

$ d = 05 \times 5 = 25\ mm $

ومن جداول الصانعين: $D = 52\ mm$ و $B = 15\ mm$. وبالطريقة نفسها 6206: $d = 30\ mm$ و $D = 62\ mm$ و $B = 16\ mm$.

لماذا BC هنا؟ المسنن أسطواني ذو أسنان قائمة، فقوى التسنين نصف قطرية ومماسية فقط ($F_t$ و $F_r$) بلا قوة محورية؛ ومدحرجة BC تتحمل حمولة نصف قطرية جيدة وحمولة محورية خفيفة، وتقبل سرعات عالية، وهي أرخص الطرازات.

3.2 حالة التركيب والحلقات المشدودة (0,5 نقطة)

العمودان 2 و14 يدوران، واتجاه الحمولة ثابت بالنسبة للهيكل (قوة التسنين وشد السير لا يدوران مع العمود). إذن:

> حالة عمود دوار: الحلقات الداخلية تدور بالنسبة لاتجاه الحمولة، فتُركّب بالشد على العمود وتُوقف محورياً من الجهتين لتفادي ظاهرة الدرفلة (laminage). الحلقات الخارجية تُركّب بالانزلاق في الجوف لتسهيل التركيب ولتسمح للمدحرجة الحرة بالانتقال.

3.3 المدحرجة المثبتة والمدحرجة الحرة (0,5 نقطة)

نقرأ الرسم التجميعي (الملف التقني، الجزء 1) حول الحلقات الخارجية للعمود 14:


هو الرسم نفسه المعروض في الملف التقني، نعيده هنا لتقرأ عليه التوقيفات مباشرة: تتبع حول كل مدحرجة الكتف والبروز والحلقة المرنة.

• المدحرجة 19 مثبتة: حلقتها الخارجية محصورة بين كتف الجوف في الهيكل 1 (جهة الداخل) وبروز الغطاء 22 (جهة الخارج).
• المدحرجة 18 حرة: بين حلقتها الخارجية وكتف الجوف خلوص، وبينها وبين بروز الغطاء المغلق 21 خلوص؛ فتنزلق في جوفها عند تمدد العمود.

وفي العمود 2 العكس من حيث الجهة: 9 مثبتة (بين كتف الهيكل وبروز الغطاء 7)، و10 حرة. اختيار المدحرجة المثبتة جهة البكرة أو جهة الخروج يحدد موضع العنصر الذي يحتاج تموضعاً أدق.


يلخص الشكل التركيبين بالرموز: كل حلقة داخلية موقوفة من الجهتين (الحلقة المشدودة)، والحلقة الخارجية موقوفة من الجهتين في المدحرجة المثبتة فقط. عدد التوقيفات ستة في كل عمود: أربعة للمدحرجة المثبتة واثنان للحلقة الداخلية للمدحرجة الحرة.

3.4 جدول التوقيفات المحورية للعمود 14 (1 نقطة)

| المدحرجة | الحلقة | من اليسار | من اليمين | العلامة | |---|---|---|---|---| | 18 حرة | الداخلية (مشدودة) | الحلقة المرنة 20 | الجلبة الفاصلة 17 | 0,25 | | 18 حرة | الخارجية (منزلقة) | خلوص | خلوص | 0,25 | | 19 مثبتة | الداخلية (مشدودة) | كتف العمود 14 | الحلقة المرنة 20 | 0,25 | | 19 مثبتة | الخارجية (منزلقة) | كتف جوف الهيكل 1 | بروز الغطاء 22 | 0,25 |

لاحظ سلسلة الضغط في الجهة اليسرى: الحلقة المرنة 20 ← الحلقة الداخلية لـ 18 ← الجلبة 17 ← جلبة العجلة 15 ← كتف العمود (Ø42). لذلك مقعد العجلة أقصر من جلبتها: تبرز الجلبة 1 mm عن بداية المقعد فتضغطها الجلبة 17 ولا ترتكز على تغير قطر العمود.

3.5 التوافقات (1 نقطة)

على المقاعد (0,5): عمود دوار، فنكتب سماح العمود وحده على العمود وسماح الجوف وحده على الجوف (المدحرجة قطعة موحدة لها سماحاتها):

| الموضع | السماح | السبب | |---|---|---| | مقعدا 18 و19 على العمود 14 | Ø30 k6 | الحلقة الداخلية مشدودة | | جوفا 18 و19 في الهيكل 1 | Ø62 H7 | الحلقة الخارجية منزلقة | | مقعدا 9 و10 على العمود 2 | Ø25 k6 | الحلقة الداخلية مشدودة | | جوفا 9 و10 في الهيكل 1 | Ø52 H7 | الحلقة الخارجية منزلقة |

تمركز الغطاء 22 (0,5): بروز الغطاء يدخل في جوف المدحرجة نفسه Ø62 H7، فنكتب توافقاً حقيقياً بين قطعتين نصنعهما: Ø62 H7/g6. من الجداول للمجال من 50 إلى 80 mm: H7 انحرافاه $ES = +30\ \mu m$ و $EI = 0$ ؛ g6 انحرافاه $es = -10\ \mu m$ و $ei = -29\ \mu m$.

$ J_{max} = ES - ei = 30 + 29 $

$ J_{max} = 59\ \mu m $

$ J_{min} = EI - es = 0 + 10 $

$ J_{min} = 10\ \mu m $

الخلوص الأدنى موجب: توافق بخلوص، فيدخل الغطاء باليد ويبقى متمركزاً بدقة على محور المدحرجة.

3.6 الكتامة والتزييت (0,5 نقطة)

| الوظيفة | الحل | النوع | |---|---|---| | منع تسرب الزيت حيث يخرج العمودان | الفاصلان ذوا الشفة 8 و23 (joints à lèvre) | كتامة ديناميكية بتلامس | | منع التسرب بين الأغطية والهيكل | الفواصل المسطحة 28 (joints plats) | كتامة ساكنة | | تزييت المسننات والمدحرجات | حمام زيت تغطس فيه العجلة 15 فتقذف الزيت (barbotage) | — | | الملء والتهوية / التفريغ | السدادة 26 بمنفس في الأعلى / السدادة 27 في الأسفل | — |

شفة الفاصل موجهة نحو الداخل (نحو الزيت) لأن ضغط الزيت يجب أن يضغطها على العمود. والمنفس في السدادة 26 يمنع ارتفاع الضغط داخل الهيكل عندما يسخن الزيت، وإلا دُفع الزيت عبر الفواصل.

مثال محلول: هل الحلقة الداخلية مشدودة فعلاً؟

المعطيات: سماح ثقب الحلقة الداخلية للمدحرجة 6206 من $0$ إلى $-10\ \mu m$ ؛ k6 للمجال من 18 إلى 30 mm: $es = +15\ \mu m$ و $ei = +2\ \mu m$.

الحل: ثقب الحلقة يلعب دور الجوف ($ES = 0$ و $EI = -10\ \mu m$):

$ J_{max} = 0 - 2 = -2\ \mu m $

$ J_{min} = -10 - 15 = -25\ \mu m $

القيمتان سالبتان: الحلقة مشدودة دائماً على العمود، بشد بين 2 و25 µm، وهذا ما تفرضه قاعدة العمود الدوار.

ملاحظة للامتحان

• عند «علّل»: اذكر الدوران بالنسبة لاتجاه الحمولة ثم ظاهرة الدرفلة؛ لا يكفي «لأن العمود يدور».
• اكتب السماح على كل قطعة وحدها (Ø30 k6، Ø62 H7)، ولا تكتب «Ø30 H7k6» على مقعد مدحرجة.
• في جدول التوقيفات اذكر رقم القطعة أو الكتف بوضوح، و«خلوص» حيث لا توقيف.

أخطاء شائعة

• شدّ الحلقات الخارجية لأنها «مثبتة في الهيكل».
• إيقاف الحلقة الخارجية للمدحرجة الحرة بالغطاء، فيُحبس العمود بين مدحرجتين مثبتتين.
• نسيان أن الحلقة الداخلية للمدحرجة الحرة موقوفة هي أيضاً من الجهتين.

4. نقل الحركة: جدول المسننات ونسب النقل والسرعات والمزدوجات والجهود على السن (5 نقاط)

نص الأسئلة

| السؤال | المطلوب | العلامة | |---|---|---| | 4.1 | أكمل جدول مميزات المسنن 2-15 مع كتابة العلاقات | 1,5 | | 4.2 | علّل صنع الترس في العمود 2 نفسه (عمود-ترس) | 0,5 | | 4.3 | احسب نسب النقل وسرعتي العمودين 2 و14، وحدّد اتجاه دوران 14 | 0,75 | | 4.4 | احسب الاستطاعات والمزدوجات على المحرك والعمود 2 والعمود 14 | 1,25 | | 4.5 | احسب الجهود على سن الترس 2 | 1 |

4.1 جدول المميزات (1,5 نقطة)

المعطيات: $m = 2{,}5\ mm$ ، $z_2 = 18$ ، $z_{15} = 72$ ، أسنان قائمة $\alpha = 20°$ ، عرض السن $b = k \cdot m$ مع $k = 10$.

| المقدار | العلاقة | الترس 2 | العجلة 15 | |---|---|---|---| | المعيار $m$ | معطى | 2,5 | 2,5 | | عدد الأسنان $z$ | معطى | 18 | 72 | | القطر الابتدائي $d$ | $d = m \cdot z$ | 45 | 180 | | قطر الرأس $d_a$ | $d_a = m(z + 2)$ | 50 | 185 | | قطر القاع $d_f$ | $d_f = m(z - 2{,}5)$ | 38,75 | 173,75 | | ارتفاع السن $h$ | $h = 2{,}25\,m$ | 5,625 | 5,625 | | الخطوة $p$ | $p = \pi \cdot m$ | 7,85 | 7,85 | | عرض السن $b$ | $b = 10\,m$ | 25 | 25 | | التباعد المحوري $a$ | $a = (d_2 + d_{15})/2$ | 112,5 | 112,5 |

(كل الأطوال بـ mm.) التنقيط: 0,25 لكل سطر صحيح من $d$ و $d_a$ و $d_f$ و $h$ و $a$، و0,25 للعلاقات.


يبيّن الشكل الدوائر الثلاث لكل مسنن (الرأس بخط مستمر غليظ، والابتدائية بخط مختلط رفيع، والقاع بخط مستمر رفيع)، والدائرتين الابتدائيتين متماستين في النقطة I على خط المركزين، ويستعمل في السؤال 4.5.

تحقق سريع: $a = m(z_2 + z_{15})/2 = 2{,}5 \times 90/2 = 112{,}5\ mm$ ، وهي القيمة نفسها. وشرط التعشيق محقق: المعيار نفسه وزاوية الضغط نفسها للمسننين.

4.2 لماذا عمود-ترس؟ (0,5 نقطة)

لو صُنع الترس قطعة مستقلة مركّبة بخابور على العمود (Ø30)، لكان سمك المادة بين قاع الأسنان وثقب الترس:

$ e = \dfrac{d_f - d}{2} = \dfrac{38{,}75 - 30}{2} $

أي $e = 4{,}375\ mm$ ، ومجرى الخابور 8 × 7 في جلبة الترس عمقه حوالي 3,3 mm، فلا يبقى تحت قاع السن إلا حوالي 1 mm. والقاعدة العملية تطلب سمكاً لا يقل عن حوالي $2{,}5\,m = 6{,}25\ mm$. لذلك يُصنع الترس في العمود نفسه: لا خابور ولا خطر انكسار، ومادة واحدة صلدة (42CrMo4) للعمود والأسنان.

4.3 نسب النقل والسرعات (0,75 نقطة)

الطابق 1 (السير): دون انزلاق، السرعة المحيطية واحدة على البكرتين:

$ r_c = \dfrac{d_1}{d_3} = \dfrac{64}{160} = 0{,}4 $

الطابق 2 (المسنن):

$ r_e = \dfrac{z_2}{z_{15}} = \dfrac{18}{72} = 0{,}25 $

النسبة الإجمالية:

$ r_g = r_c \cdot r_e = 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1 $

السرعات:

$ n_2 = 1440 \times 0{,}4 = 576\ tr/min $

$ n_{14} = n_m \cdot r_g = 144\ tr/min $

اتجاه الدوران: السير المفتوح يحافظ على اتجاه دوران المحرك؛ والمسنن الخارجي (تلامس خارجي واحد) يعكسه. إذن العمود 14 يدور عكس العمود 2 وعكس المحرك.

4.4 الاستطاعات والمزدوجات (1,25 نقطة)

السرعات الزاوية ($\omega = \pi n/30$):

| العمود | $n$ (tr/min) | $\omega$ (rad/s) | |---|---|---| | المحرك | 1440 | 150,80 | | 2 | 576 | 60,32 | | 14 | 144 | 15,08 |

الاستطاعات:

$ P_2 = 0{,}95 \times 1500 = 1425\ W $

$ P_{14} = \eta_e \cdot P_2 = 0{,}97 \times 1425 $

أي $P_{14} = 1382{,}25\ W$ ، والمردود الإجمالي $\eta_g = 0{,}95 \times 0{,}97 = 0{,}9215$.

المزدوجات ($C = P/\omega$):

$ C_m = \dfrac{1500}{150{,}80} = 9{,}95\ N\cdot m $

$ C_2 = \dfrac{1425}{60{,}32} = 23{,}62\ N\cdot m $

$ C_{14} = \dfrac{1382{,}25}{15{,}08} = 91{,}66\ N\cdot m $

تحقق بعلاقة السلسلة $C_s = C_e \cdot \eta / r$:

$ C_{14} = \dfrac{9{,}947 \times 0{,}9215}{0{,}1} $

أي $91{,}66\ N\cdot m$ : النتيجتان متطابقتان. وحدة الإدارة (السير والمخفض معاً) تقسم السرعة على 10 وتضرب المزدوجة في حوالي 9,2 (لا في 10 بسبب الضياعات).

التنقيط: 0,25 للسرعات الزاوية، 0,5 للاستطاعات، 0,5 للمزدوجات.

4.5 الجهود على سن الترس 2 (1 نقطة)

نحسب الجهود انطلاقاً من مزدوجة الترس القائد $C_2$ وقطره الابتدائي $d_2 = 45\ mm$ (لا قطر العمود)، بالمزدوجة بـ N·mm:

$ F_t = \dfrac{2\,C_2}{d_2} = \dfrac{2 \times 23\,625}{45} $

أي $F_t \approx 1050\ N$.

$ F_r = F_t \cdot \tan 20° = 1050 \times 0{,}364 $

أي $F_r \approx 382{,}2\ N$.

$ F = \dfrac{F_t}{\cos 20°} = \dfrac{1050}{0{,}9397} $

أي $F \approx 1117{,}4\ N$.

الاتجاهات (الشكل): الترس يدور في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة، فنقطة التلامس I في أسفله تتحرك نحو اليمين؛ القوة المماسية التي يؤثر بها الترس على العجلة $F_t$ في اتجاه حركة I (قوة محرِّكة للعجلة)، والقوة نصف القطرية $F_r$ نحو مركز العجلة. والقوة الكلية $\vec F_{2/15}$ محمولة على خط التأثير المائل بـ 20°. وعلى الترس القوى نفسها باتجاه معاكس.

> ملاحظة: لو حسبنا $F_t$ من مزدوجة العجلة ($2 C_{14}/d_{15}$) لوجدنا 1018,5 N، لأن $C_{14}$ يتضمن ضياعات المدحرجات والتعشيق. الاصطلاح: نحسب الجهود على السن من مزدوجة القائد.

مثال محلول: طول السير وسرعته (سؤال إضافي)

التباعد بين محوري بكرة المحرك والبكرة 3 هو $a_c = 350\ mm$.

$ v = \dfrac{\pi \cdot d_1 \cdot n_m}{60\,000} $

$ v = \dfrac{\pi \times 64 \times 1440}{60\,000} $

$ v = 4{,}83\ m/s $

$ L \approx 2a_c + \dfrac{\pi(d_1 + d_3)}{2} + \delta $

$ \delta = \dfrac{(d_3 - d_1)^2}{4a_c} $

$ L \approx 700 + 351{,}86 + 6{,}58 $

أي $L \approx 1058{,}4\ mm$ ، فنختار من الكتالوج طول السير النظامي الأقرب ونضبط التباعد بمشد المحرك.

ملاحظة للامتحان

• في جدول المميزات اكتب العلاقة ثم التعويض؛ العلامة غالباً نصفها للعلاقة.
• نسبة النقل $r = n_s/n_e$ أصغر من 1 في المخفض: إذا وجدت 2,5 أو 10 فقد قلبتها.
• في $F_t = 2C/d$ : المزدوجة بـ N·mm والقطر بـ mm، و $d$ هو القطر الابتدائي للمسنن.

أخطاء شائعة

• $d_f = m(z - 2)$ بدل $m(z - 2{,}5)$، أو $d_a = m \cdot z + 2$.
• ضرب المزدوجة في 10 دون المردود: $C_{14} = 99{,}5\ N\cdot m$ خطأ.
• استعمال $n$ بـ tr/min مكان $\omega$ في $C = P/\omega$.

5. مقاومة المواد: قص الخابور والتواء العمود وانحناؤه (4 نقاط)

نص الأسئلة

| السؤال | المطلوب | العلامة | |---|---|---| | 5.1 | ما نوع التأثير الذي يخضع له الخابور 16، والعمود 14 في طرفه Ø25، والعمود 14 بين المدحرجتين؟ | 0,5 | | 5.2 | تحقق من مقاومة الخابور 16 للقص، واحسب طوله الأدنى | 1,25 | | 5.3 | تحقق من مقاومة الطرف Ø25 للعمود 14 في الالتواء ومن صلابته | 1,25 | | 5.4 | ادرس انحناء العمود 14 بين المدحرجتين: ردود الأفعال، T و Mf، الإجهاد الأقصى | 1 |

معطيات هذا الجزء: $C_{14} = 91{,}66\ N\cdot m$ (الجزء 4)؛ الخوابير: $R_{eg} = 180\ MPa$ و $s = 3$ ؛ العمود 14 من C45: $R_e = 400\ MPa$ ، $R_{eg} = 0{,}5\,R_e$ ، $s = 4$ ، $G = 8 \cdot 10^4\ MPa$ ، $\theta_{lim} = 2\ °/m$.

5.1 أنواع التأثير (0,5 نقطة)

• الخابور 16: العجلة تدفع نصفه العلوي والعمود يقاوم نصفه السفلي بقوتين متعاكستين متقاربتين: قص بسيط في المستوي الفاصل بين العمود والجلبة.
• الطرف Ø25 للعمود 14 (بين العجلة والقارن): ينقل المزدوجة وحدها دون قوى عرضية تذكر: التواء بسيط.
• العمود 14 بين المدحرجتين: قوة التسنين على العجلة تحنيه بين مسندين: انحناء مستوٍ بسيط (مع التواء في الجزء الواقع بين العجلة والطرف الأيمن، ندرس كل تأثير وحده كما يطلب الموضوع).

5.2 قص الخابور 16 (1,25 نقطة)


يبيّن المقطع العرضي أن جلبة العجلة هي التي تدفع الخابور (لأن العجلة تقود العمود 14)، والعمود يقاومه: المستوي المقصوص (الخط الأزرق) عند سطح العمود، ومساحته $a \cdot L$.

الجهد القاطع (بـ $d$ قطر العمود عند الخابور، $d = 35\ mm$):

$ T = \dfrac{2\,C_{14}}{d} = \dfrac{2 \times 91\,663}{35} $

أي $T \approx 5238\ N$.

الإجهاد (خابور 10 × 8 × 20، $a = 10\ mm$ و $L = 20\ mm$):

$ \tau = \dfrac{T}{a \cdot L} = \dfrac{5238}{10 \times 20} $

أي $\tau \approx 26{,}2\ MPa$.

المقاومة التطبيقية للانزلاق:

$ R_{pg} = \dfrac{R_{eg}}{s} = \dfrac{180}{3} = 60\ MPa $

الشرط: $26{,}2 \le 60$ : الشرط محقق، الخابور يقاوم.

الطول الأدنى:

$ L_{min} = \dfrac{T}{a \cdot R_{pg}} = \dfrac{5238}{10 \times 60} $

أي $L_{min} \approx 8{,}7\ mm$. الطول المختار (20 mm) أكبر بكثير: في الواقع يُحدد طول الخابور هنا عرض جلبة العجلة (25 mm) وشرط الهرس على جانبيه، لا القص.

التنقيط: $T$ (0,25)، $\tau$ (0,25)، $R_{pg}$ والاستنتاج (0,5)، $L_{min}$ (0,25).

5.3 التواء الطرف Ø25 (1,25 نقطة)

مديول الالتواء:

$ \dfrac{I_0}{v} = \dfrac{\pi d^3}{16} = \dfrac{\pi \times 25^3}{16} $

أي $I_0/v \approx 3068\ mm^3$.

الإجهاد المماسي الأقصى ($M_t = C_{14} = 91\,663\ N\cdot mm$):

$ \tau_{max} = \dfrac{M_t}{I_0/v} = \dfrac{91\,663}{3068} $

أي $\tau_{max} \approx 29{,}9\ MPa$.

$ R_{pg} = \dfrac{0{,}5 \times 400}{4} = 50\ MPa $

$29{,}9 \le 50$ : شرط المقاومة محقق.

القطر الأدنى (للتعليق على الاختيار):

$ d \ge \sqrt[3]{\dfrac{16\,M_t}{\pi\,R_{pg}}} $

$ d \ge \sqrt[3]{\dfrac{16 \times 91\,663}{\pi \times 50}} $

أي $d \ge 21{,}06\ mm$. القطر 25 mm يترك هامشاً يعوّض إضعاف مجرى الخابور 24.

شرط الصلابة: العزم التربيعي القطبي $I_0 = \pi d^4/32 = \pi \times 25^4/32 \approx 38\,350\ mm^4$، و:

$ \theta = \dfrac{M_t}{G \cdot I_0} $

$ \theta = \dfrac{91\,663}{8 \cdot 10^4 \times 38\,350} $

أي $\theta \approx 2{,}99 \cdot 10^{-5}\ rad/mm$. نحوّل إلى °/m بالضرب في $180/\pi$ ثم في 1000:

$ \theta \approx 1{,}71\ °/m $

$1{,}71 \le 2$ : شرط الصلابة محقق أيضاً.

التنقيط: $I_0/v$ و $\tau_{max}$ (0,5)، الاستنتاج (0,25)، $\theta$ والاستنتاج (0,5).

5.4 انحناء العمود 14 (1 نقطة)

النمذجة: العمود عارضة على مسندين: A مركز المدحرجة 18 و B مركز المدحرجة 19، والقوة الكلية للتسنين $F = 1117\ N$ مطبقة في C مركز العجلة. من الرسم: $AC = 60\ mm$ و $CB = 80\ mm$.

> فرضيات الدراسة (تُكتب في الجواب): (1) المركبتان $F_t$ و $F_r$ تقعان في مستويين متعامدين، لكننا نأخذ محصلتهما $F = F_t/\cos 20°$ ونعتبرها في مستوٍ واحد يحوي محور العمود، فندرس انحناءً مستوياً بسيطاً بقيمة الجهد الكلية (وهي النتيجة نفسها التي نجدها بتركيب الانحناءين في المستويين، لأن القوة الوحيدة في C)؛ (2) نهمل وزن العجلة والعمود؛ (3) نهمل أي جهد عرضي للقارن على الطرف Ø25؛ (4) المدحرجتان مسندان بسيطان في مركزيهما A و B.

ردود الأفعال (العزوم حول A ثم حول B):

$ R_B = \dfrac{F \cdot AC}{AB} = \dfrac{1117 \times 60}{140} $

أي $R_B \approx 478{,}7\ N$.

$ R_A = \dfrac{F \cdot CB}{AB} = \dfrac{1117 \times 80}{140} $

أي $R_A \approx 638{,}3\ N$. تحقق: $638{,}3 + 478{,}7 = 1117\ N$.

المعادلات ($x$ من A، القوى على يسار المقطع، $T$ موجب نحو الأعلى، $Mf$ موجب في التقعر نحو الأعلى):

| المنطقة | $T(x)$ (N) | $Mf(x)$ (N·mm) | القيم الحدية | |---|---|---|---| | AC: $0 \le x \le 60$ | $+R_A = +638{,}3$ | $R_A \cdot x$ | $Mf(0) = 0$ ، $Mf(60) = 38\,297$ | | CB: $60 \le x \le 140$ | $R_A - F = -478{,}7$ | $R_A x - F(x - 60)$ | $Mf(60) = 38\,297$ ، $Mf(140) = 0$ |


يبيّن المنحنيان أن $T$ ثابت في كل منطقة ويغيّر إشارته في C، وأن $Mf$ خطي في كل منطقة ويبلغ أقصاه حيث يغيّر $T$ إشارته، أي تحت العجلة.

الإجهاد الأقصى (المقطع في C قطره 35 mm):

$ \dfrac{I}{v} = \dfrac{\pi \times 35^3}{32} \approx 4209\ mm^3 $

$ \sigma_{max} = \dfrac{38\,297}{4209} \approx 9{,}1\ MPa $

والمقاومة التطبيقية $R_{pe} = R_e/s = 400/4 = 100\ MPa$ : $9{,}1 \le 100$ ، الشرط محقق بهامش كبير. العمود محدد بالتوجيه (مقاعد المدحرجات) وبالالتواء أكثر مما هو محدد بالانحناء.

التنقيط: ردود الأفعال (0,25)، $T$ (0,25)، $Mf$ والمنحنى (0,25)، $\sigma_{max}$ والاستنتاج (0,25).

ملاحظة للامتحان

• في القص: $d$ في $T = 2C/d$ هو قطر العمود عند الخابور؛ وفي الجهد على السن هو القطر الابتدائي. لا تخلط بينهما.
• اكتب الشرط بالرموز ($\tau \le R_{pg}$) ثم القيم ثم الجملة: «الشرط محقق، القطعة تقاوم».
• حوّل المزدوجة إلى N·mm قبل أي حساب إجهاد (91,66 N·m تصبح $91\,663\ N\cdot mm$).

أخطاء شائعة

• استعمال $\pi d^3/32$ في الالتواء أو $\pi d^3/16$ في الانحناء.
• نسيان المعامل 0,5 في $R_{eg} = 0{,}5\,R_e$ ، أو تطبيقه مرتين حين يعطى $R_{eg}$ مباشرة (كما للخوابير هنا).
• رسم منحنى $Mf$ بقيمة قصوى عند A أو B: عند المسندين الطرفيين $Mf = 0$.

6. التوليف والدراسة التصميمية: سلسلة الأبعاد وتعديل التركيب والمواد (3 نقاط)

نص الأسئلة

| السؤال | المطلوب | العلامة | |---|---|---| | 6.1 | أنشئ سلسلة الأبعاد للشرط J تحت الغطاء 22، واحسب البعد $L_s$ لبروز الغطاء | 1 | | 6.2 | دراسة تصميمية: عوّض الحلقة المرنة 20 (يمين المدحرجة 19) بصامولة محززة وحلقة كبح، وأكمل الرسم | 1,5 | | 6.3 | اشرح تعيين مواد القطع 1 و2 و14 | 0,5 |

6.1 سلسلة الأبعاد للشرط J (1 نقطة)

الوظيفة: الغطاء 22 يجب أن يضغط الحلقة الخارجية للمدحرجة المثبتة 19 على كتف الجوف ببروزه، قبل أن تلمس شفته وجه الهيكل. لذلك نترك بين شفة الغطاء ووجه الهيكل خلوصاً J موجباً يملؤه الفاصل المسطح 28 وينضغط فيه. لو كان J سالباً لارتكزت الشفة على الهيكل وبقيت المدحرجة بخلوص محوري: لم تعد «مثبتة».


يمثّل الشكل الشرط J (السهم الأحمر المزدوج، مكبّراً عمداً) وسلسلته: نبدأ من الطرف الأيسر لـ J (وجه الهيكل) ونعود إلى طرفه الأيمن (شفة الغطاء) مروراً ببعد واحد لكل قطعة: H للهيكل 1 (من الوجه إلى الكتف)، ثم B للمدحرجة 19، ثم $L_s$ للغطاء 22 (من وجه البروز إلى الشفة).

المعادلة: الأبعاد في اتجاه J موجبة (B و $L_s$)، والبعد المعاكس سالب (H):

$ J = B + L_s - H $

المعطيات: $H = 21 \pm 0{,}05$ ؛ $B = 16$ بسماح من $0$ إلى $-0{,}12$ ؛ $J = 0{,}5 \pm 0{,}3$ ، أي $J_{max} = 0{,}8$ و $J_{min} = 0{,}2$ (mm).

$ J_{max} = B_{max} + L_{s\,max} - H_{min} $

$ L_{s\,max} = 0{,}8 - 16 + 20{,}95 $

$ L_{s\,max} = 5{,}75 $

$ J_{min} = B_{min} + L_{s\,min} - H_{max} $

$ L_{s\,min} = 0{,}2 - 15{,}88 + 21{,}05 $

$ L_{s\,min} = 5{,}37 $

البعد الاسمي $L_s = 0{,}5 + 21 - 16 = 5{,}5\ mm$ ، ومنه:

> $L_s = 5{,}5$ بانحراف أعلى $+0{,}25$ وانحراف أدنى $-0{,}13$ (mm).

تحقق: مجال السماح للشرط يساوي مجموع مجالات السلسلة: $0{,}6 = 0{,}12 + 0{,}10 + 0{,}38$ ✓.

التنقيط: السلسلة على الرسم (0,25)، المعادلة (0,25)، $L_{s\,max}$ و $L_{s\,min}$ (0,5).

6.2 الدراسة التصميمية (1,5 نقطة)

دفتر الشروط: المجاديف تدفع الخليط جانبياً فتولّد دفعاً محورياً على العمود 14 يتحمله التوقيف المحوري للمدحرجة المثبتة 19. الحلقة المرنة 20 تترك خلوصاً محورياً صغيراً (سماح المجرى)، ومع الصدمات يتآكل المجرى. المطلوب: توقيف بلا خلوص، قابل للشد، مقفل.

الحل: صامولة محززة KM 6 (لولبة M30 × 1,5) مع حلقة كبح MB 6: رقمهما 6 يساوي رمز قطر المدحرجة 6206.


يبيّن الشكل التعديلات الضرورية:

| العنصر | التعديل | العلامة | |---|---|---| | العمود 14 | لولبة M30 × 1,5 بعد مقعد المدحرجة، ومجرى طولي للسان الداخلي لحلقة الكبح؛ ثم تخفيض القطر إلى Ø28 تحت الفاصل | 0,25 | | التوقيف | حلقة الكبح MB 6 ثم الصامولة KM 6 تضغطان الحلقة الداخلية لـ 19 على كتف العمود؛ يُثنى لسان خارجي في حز الصامولة بعد الشد | 0,5 | | الغطاء 22 | بروز أعمق مجوَّف (قطره الداخلي أكبر من قطر الصامولة) يبقى يضغط الحلقة الخارجية وحدها، وجدار داخلي يحمل الفاصل | 0,25 | | الكتامة | فاصل ذو شفة جديد 28 × 42 × 7 على Ø28، شفته نحو الزيت | 0,25 | | التوافقات | Ø30 k6 (المقعد)، Ø62 H7 (الجوف)، Ø62 g6 (بروز الغطاء: تمركز H7/g6) | 0,25 |

شروط التصميم التي يراقبها المصحح:

• الصامولة لا تلمس الغطاء: يجب أن يبقى بينهما خلوص (الغطاء ثابت والصامولة تدور).
• البروز يلمس الحلقة الخارجية فقط: قطره الداخلي أكبر من قطر الحلقة الداخلية.
• إمكان التركيب: المدحرجة تدخل من اليمين فوق اللولبة (قطر اللولبة لا يتجاوز 30 mm)، ثم حلقة الكبح، ثم الصامولة، ثم الغطاء.

6.3 المواد (0,5 نقطة)

| القطعة | التعيين | الشرح | الاختيار | |---|---|---|---| | 1 الهيكل | EN-GJL-250 | زهر بغرافيت رقائقي، مقاومته الدنيا للانكسار بالمد 250 MPa | شكل معقد يُصنع بالقولبة، يمتص الاهتزازات | | 2 العمود-الترس | 42CrMo4 | صلب ضعيف المزج: 0,42 % كربون، 1 % كروم، قليل من الموليبدان | يقبل المعالجة الحرارية: أسنان صلدة وعمود مقاوم | | 14 عمود الخروج | C45 | صلب غير ممزوج: 0,45 % كربون | مقاومة كافية وتشغيل سهل |

مثال محلول: تغيير سرعة الخلاط

السؤال: وصفة جديدة تتطلب سرعة للمجاديف قريبة من 120 tr/min دون تغيير المخفض. ما قطر بكرة المحرك الجديدة؟ (أقطار البكرات المتوفرة: 50، 53، 56، 60، 63 mm.)

الحل: المسنن يبقى $r_e = 0{,}25$ ، فيجب أن يدور العمود 2 بسرعة $120/0{,}25 = 480\ tr/min$ :

$ d_1 = d_3 \cdot \dfrac{n_2}{n_m} = 160 \times \dfrac{480}{1440} $

أي $d_1 \approx 53{,}3\ mm$. نختار 53 mm، فتصبح السرعة:

$ n_{14} = 1440 \times \dfrac{53}{160} \times 0{,}25 $

أي $n_{14} \approx 119{,}3\ tr/min$. والمزدوجة على العمود 14 ترتفع (الاستطاعة نفسها بسرعة أصغر)، فيجب التحقق من جديد من الخابور 16 والطرف Ø25: $C_{14} = 1382{,}25/12{,}49 \approx 110{,}7\ N\cdot m$ ، و $\tau_{max} = 110\,700/3068 \approx 36{,}1\ MPa \le 50\ MPa$ : الطرف يبقى مقاوماً.

ملاحظة للامتحان

• في السلسلة البعدية: بعد واحد لكل قطعة، والسلسلة تبدأ وتنتهي عند طرفي الشرط.
• في الرسم التصميمي يُنقط: الوظيفة (التوقيف يعمل)، إمكان التركيب، التوافقات، الكتامة، ووضوح الرسم (تهشير مختلف للقطع المتجاورة).
• الصامولة KM لا تُذكر أبداً دون حلقة الكبح MB.

أخطاء شائعة

• كتابة $J = H - B - L_s$ (عكس الاتجاه) فيخرج $L_s$ سالباً.
• رسم بروز الغطاء ملامساً للصامولة أو للحلقة الداخلية.
• الإبقاء على الفاصل على Ø30 بعد اللولبة: الشفة تتمزق عند التركيب فوق السن.

7. موضوع تطبيقي للتدريب: طاولة رفع ببرغي (10 نقاط)

تعليمات

هذا موضوع قصير على آلية أخرى، بالبنية نفسها: ملف تقني ثم أسئلة بعلاماتها. حلّه وحدك على ورقة في 45 دقيقة تقريباً، ثم صحّح بتمارين هذا الجزء: تمارينه تغطي الأسئلة 2 و4 إلى 8 بأجوبة مفصلة، والسؤالان 1 و3 محلولان أدناه.

الملف التقني

التقديم

في ورشة صيانة، تُستعمل طاولة رفع (table élévatrice) لرفع علب السرعة الثقيلة إلى مستوى العمل. يدير محرك كهربائي M، عبر سير مسنن (courroie crantée) 3، برغياً عمودياً 5 موجَّهاً دورانياً في الهيكل 1. يدور البرغي في صامولة 6 من البرونز مثبتة في الصينية 7، فتنتقل الصينية عمودياً، موجَّهة بـ العمود الدليلي 8 المثبت على الهيكل.


يبيّن الشكل سلسلة الحركة: البكرة 2 على المحرك (20 سناً) تدير البكرة 4 (40 سناً) المربوطة بالبرغي 5 بخابور؛ البرغي يدور في وصلة محورية مع الهيكل 1، ويحوّل دورانه إلى انتقال للصامولة 6 والصينية 7 على مشوار 300 mm.

المعطيات

| العنصر | المعطيات | |---|---| | المحرك | $P_m = 0{,}55\ kW$ ؛ $n_m = 1380\ tr/min$ | | السير المسنن | $z_2 = 20$ ؛ $z_4 = 40$ ؛ $\eta_c = 0{,}96$ | | البرغي 5 | Tr 24 × 5، مدخل واحد؛ قطر القلب $d_3 = 18{,}5\ mm$ ؛ مردود برغي-صامولة $\eta_v = 0{,}40$ | | المشوار | 300 mm | | الخابور بين 4 و5 | 5 × 5 × 16 على قطر 16 mm؛ $R_{eg} = 180\ MPa$ ، $s = 3$ |

الأسئلة

| السؤال | المطلوب | العلامة | |---|---|---| | 1 | ما الوظيفة الإجمالية للطاولة (المخطط A-0)؟ | 0,5 | | 2 | أكمل جدول الوصلات: 5/1، 6/5، 7/1 (الاسم ودرجات الحرية) | 1,5 | | 3 | اقترح طراز مدحرجات البرغي 5 وعلّل، وحدّد الحلقات المركّبة بالشد | 1 | | 4 | احسب سرعة دوران البرغي، وسرعة صعود الصينية، وزمن المشوار | 2 | | 5 | احسب الاستطاعة والمزدوجة على البرغي | 1,5 | | 6 | احسب القوة المحورية التي يمكن أن ترفعها الصامولة | 1 | | 7 | تحقق من مقاومة الخابور بين 4 و5 للقص | 1 | | 8 | احسب الإجهاد المماسي في قلب البرغي (التواء) والإجهاد الناظمي (انضغاط) | 1,5 |

نموذج إجابة: السؤال 3 (1 نقطة)

التحليل: الصينية والحمولة تضغطان الصامولة نحو الأسفل، فالبرغي يتحمل حمولة محورية كبيرة ودائمة، إضافة إلى حمولة نصف قطرية صغيرة من شد السير.

الجواب: مدحرجتان ذواتا دحاريج مخروطية (KB) مركّبتان متقابلتين (تركيب X أو O مع ضبط)، لأن الدحاريج المخروطية تتحمل حمولة محورية كبيرة مع حمولة نصف قطرية؛ مدحرجة BC وحدها لا تتحمل إلا حمولة محورية خفيفة. (يقبل أيضاً: مدحرجة دفع (butée) لتحمل الحمولة المحورية مع مدحرجة BC للتوجيه.)

الحلقات المشدودة: البرغي يدور والحمولة ثابتة الاتجاه: حالة عمود دوار، فالحلقات الداخلية تُركّب بالشد على البرغي (k6) والخارجية بالانزلاق في الهيكل (H7).

التنقيط: الطراز مع التعليل (0,5)، حالة التركيب والحلقات المشدودة (0,5).

توجيهات لبقية الأسئلة

• السؤال 1: الوظيفة الإجمالية «رفع الحمولة (علبة السرعة) إلى مستوى العمل»؛ مادة العمل الحمولة في المستوى المنخفض ← الحمولة في مستوى العمل؛ W طاقة كهربائية؛ الداعم طاولة الرفع.
• السؤال 2: 5/1 محورية (دوران واحد)؛ 6/5 حلزونية (درجة حرية واحدة: دوران وانتقال مرتبطان بالخطوة)؛ 7/1 انزلاقية (انتقال واحد).

• السؤال 4: السير المسنن لا ينزلق، فنسبته $z_2/z_4$. والصامولة تتقدم خطوة الحلزون في كل دورة: لمدخل واحد الخطوة 5 mm.
• السؤال 5: لا تنس مردود السير، ثم $C = P/\omega$.
• السؤال 6: الاستطاعة المفيدة على الصينية $P_u = \eta_v \cdot P_5 = F \cdot v$ ، مع $v$ بـ m/s.
• السؤال 8: الالتواء بمديول $\pi d_3^3/16$ ، والانضغاط على مساحة القلب $\pi d_3^2/4$.

مثال محلول للتمرين على الطريقة: هل البرغي لا عكوس؟

برغي-صامولة مردوده $\eta_v = 0{,}40$ ، أي أصغر من 0,5. القاعدة العملية: إذا كان المردود المباشر أصغر من 0,5 فالنظام لا عكوس (irréversible): لا تستطيع الحمولة أن تدير البرغي وحدها. النتيجة الأمنية: عند انقطاع التيار لا تنزل الصينية وحدها، وهذا هو سبب اختيار لولبة شبه منحرفة بمدخل واحد لطاولة الرفع، بدل برغي بكريات مردوده حوالي 0,9 الذي يحتاج كابحاً.

ملاحظة للامتحان

• في جدول الوصلات اذكر درجات الحرية بوضوح: الوصلة الحلزونية لها درجة حرية واحدة (دوران وانتقال مرتبطان بالخطوة)، لا درجتان.
• حوّل السرعة إلى m/s قبل حساب القوة من الاستطاعة: $3450\ mm/min$ تساوي $0{,}0575\ m/s$.