المسننات المخروطية والقطارات والجهود على السن

3. قطارات المسننات: البسيطة والمركبة ونسبة النقل واتجاه الدوران

ما هو قطار المسننات؟

زوج واحد من المسننات لا يعطي نسبة نقل صغيرة جدًا: ترس من 17 سنًّا مع عجلة من 120 سنًّا يعطي نحو $\dfrac{1}{7}$ فقط، والعجلة تصبح ضخمة. لذلك نركّب عدة أزواج متتالية:

> قطار المسننات (train d'engrenages) مجموعة من المسننات المتعشّقة على التوالي، تنقل الحركة من عمود الدخول (الموصول بالمحرك) إلى عمود الخروج (الموصول بالمستقبل). في كل تماس نميّز القائد (menant) الذي يدير الآخر، والمنقاد (mené) الذي يُدار.

الرموز في الرسم التخطيطي الحركي

في المخطط الحركي (schéma cinématique) لا نرسم الأسنان: كل عمود خط غليظ، وكل مسنن قطعة عمودية على عموده طولها قطره الابتدائي، مع خط قصير موازٍ للعمود عند طرفيها يمثّل التسنين. يتلامس المسننان المتعشّقان عند طرفي قطعتيهما (النقطة الابتدائية).


يبيّن الشكل الرموز الثلاثة: (a) مسنن أسطواني بتسنين خارجي (extérieur): المحوران متوازيان والمسننان على جهتي نقطة التلامس؛ (b) مسنن بتسنين داخلي (intérieur): العجلة 2 على شكل كأس يحيط بالترس 1، والمسننان على الجهة نفسها من نقطة التلامس؛ (c) مسنن مخروطي (conique): المحوران متعامدان وخطا التسنين مائلان نحو الرأس المشترك. أما الوصلة المحورية (pivot) فتُرسم مستطيلًا على العمود مع خطّي توقيف من الجهتين.

نسبة النقل واتجاه الدوران لزوج

لزوج قائده 1 ومنقاده 2:

$r_{1/2} = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{d_1}{d_2}$

• تماس خارجي: يدور المسننان في اتجاهين متعاكسين، فنكتب عند الحاجة $r = -\dfrac{z_1}{z_2}$ .
• تماس داخلي: يدوران في نفس الاتجاه، فنكتب $r = +\dfrac{z_1}{z_2}$ .
• زوج مخروطي: لا إشارة (المحوران غير متوازيين)؛ الاتجاه يُرسم بسهم على المخطط.

أوراق البكالوريا تكتب نسبة النقل موجبة دائمًا ($r = \dfrac{N_s}{N_e}$)، والإشارة لا تُستعمل إلا حين يُسأل عن اتجاه الدوران. وإذا كانت $r 1$ فهي مضاعِف (multiplicateur).

القطار البسيط والعجلة الوسيطة

في القطار البسيط يحمل كل عمود مسننًا واحدًا. لنأخذ ثلاث عجلات معيارها $m = 2\ mm$ : الترس 1 ($z_1 = 20$)، والعجلة 2 ($z_2 = 35$)، والعجلة 3 ($z_3 = 50$).


يمثّل الشكل القطار منظورًا على امتداد المحاور، والأسهم الزرقاء تبيّن اتجاه الدوران:

• في (a) يدير الترس 1 العجلة 3 مباشرة: تماس خارجي واحد، فتدور 3 عكس 1، و $r = -\dfrac{20}{50} = -0{,}4$ .
• في (b) أضيفت العجلة 2 بينهما: $r = \dfrac{n_3}{n_1} = \left(-\dfrac{z_1}{z_2}\right)\left(-\dfrac{z_2}{z_3}\right) = +\dfrac{z_1}{z_3}$ . عدد أسنان 2 يُختصر لأنها منقادة في التماس الأول وقائدة في الثاني: $r = +\dfrac{20}{50} = +0{,}4$ ، أي القيمة نفسها لكن الاتجاه انقلب فصارت 3 تدور مثل 1.

> العجلة الوسيطة (roue intermédiaire) لا تغيّر قيمة نسبة النقل؛ دورها عكس اتجاه الدوران أو ملء المسافة بين عمودين متباعدين.

القطار المركب

في القطار المركب يحمل عمود وسيط مسننين ثابتين معًا: عجلة منقادة من المرحلة السابقة وترس قائد للمرحلة الموالية، فيدوران بالسرعة نفسها.


في الشكل: المحرك M يدير العمود I الذي يحمل الترس 1؛ يتعشّق 1 مع العجلة 2 على العمود الوسيط II؛ ويحمل II أيضًا الترس 3 الذي يدير العجلة 4 على عمود الخروج III. كل عمود موجّه بوصلتين محوريتين. القاعدة العامة:

> $r_g = \dfrac{n_s}{n_e} = (-1)^k\,\dfrac{\prod z_{menantes}}{\prod z_{menées}}$ حيث $k$ عدد التماسات الخارجية (الأسطوانية).

وتعني هذه العلاقة أن النسبة الإجمالية هي حاصل ضرب نسب الأزواج: $r_g = r_{1/2} \times r_{3/4} \times \dots$ ، دون أن ننسى في كل زوج «القائد على المنقاد».

مثال محلول 1: المخفّض ذو المرحلتين

$z_1 = 18$ ، $z_2 = 54$ ، $z_3 = 20$ ، $z_4 = 60$ ، و $n_e = 1440\ tr/min$ .

• القائدات: 1 و3؛ المنقادات: 2 و4.
• $r_g = \dfrac{z_1 \times z_3}{z_2 \times z_4} = \dfrac{18 \times 20}{54 \times 60} = \dfrac{360}{3240} = \dfrac{1}{9} = 0{,}111$ .
• $n_s = n_e \times r_g = \dfrac{1440}{9} = 160\ tr/min$ ، وسرعة العمود الوسيط $n_{II} = 1440 \times \dfrac{18}{54} = 480\ tr/min$ .
• الاتجاه: تماسان خارجيان، $(-1)^2 = +1$ ، فعمود الخروج يدور في اتجاه عمود الدخول.

نلاحظ أن مرحلتين بنسبة $\dfrac{1}{3}$ لكل منهما تعطيان $\dfrac{1}{9}$ بعجلات معقولة الحجم، بينما يتطلب زوج واحد بنسبة $\dfrac{1}{9}$ عجلة من 162 سنًّا مع ترس من 18 سنًّا.

مثال محلول 2: سلسلة فيها بكرات ومسنن داخلي

محرك $n_m = 1500\ tr/min$ يدير بكرة $d_1 = 80\ mm$ ، والسير يدير بكرة $d_2 = 160\ mm$ . على عمود البكرة 2 ترس $z_3 = 18$ يتعشّق داخليًا مع تاج مسنن $z_4 = 72$ .

• البكرات والسير: $r_1 = \dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{80}{160} = 0{,}5$ (سير مستقيم: نفس الاتجاه).
• المسنن الداخلي: $r_2 = \dfrac{18}{72} = 0{,}25$ (نفس الاتجاه).
• $r_g = 0{,}5 \times 0{,}25 = 0{,}125$ ، و $n_s = 1500 \times 0{,}125 = 187{,}5\ tr/min$ في نفس اتجاه المحرك.

طريقة قراءة المخطط في الامتحان

• ابدأ من المحرك واتبع الحركة عمودًا بعد عمود (هذه هي السلسلة الحركية).
• لكل تماس اكتب «القائد / المنقاد» بعدد الأسنان أو بالأقطار.
• اضرب النسب، ثم احسب $n_s = n_e \times r_g$ .
• للاتجاه عدّ التماسات الخارجية فقط؛ وللمسنن المخروطي ارسم سهمي الدوران على المخطط.

أخطاء شائعة

• قلب النسبة: كتابة $\dfrac{z_{menée}}{z_{menante}}$ تعطي $r_g > 1$ لمخفّض واضح، وسرعة خروج أكبر من سرعة المحرك.
• ضرب كل الأعداد في قطار فيه عجلة وسيطة: الوسيطة تُختصر.
• عدّ التماس الداخلي في قلب الاتجاه.
• خلط الأقطار بأعداد الأسنان في الزوج نفسه (مثلًا قطر البكرة على عدد أسنان ترس). أما استعمال الأقطار في زوج مسنن والأسنان في آخر فلا يضر، لأن $\dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{z_1}{z_2}$ لنفس المعيار.

4. السرعة والمزدوجة والاستطاعة والمردود عبر سلسلة نقل

ثلاث علاقات تكفي

لكل عمود في سلسلة النقل ثلاث مقادير: سرعة الدوران $n$ (tr/min) أو السرعة الزاوية $\omega$ (rad/s)، والمزدوجة (couple) $C$ (N·m)، والاستطاعة (puissance) $P$ (W). تربطها:

$\omega = \dfrac{\pi\cdot n}{30} \qquad P = C\cdot\omega$

وبين عمود الدخول وعمود الخروج لمرحلة (زوج مسننات، بكرات وسير…) نسبة نقلها $r$ ومردودها $\eta$ :

$n_s = r\cdot n_e \qquad P_s = \eta\cdot P_e$

المردود (rendement) $\eta = \dfrac{P_s}{P_e} < 1$ : جزء من الاستطاعة يضيع حرارةً بالاحتكاك بين الأسنان وفي المدحرجات وفي التخبط في الزيت. بقسمة العلاقتين نجد المزدوجة على عمود الخروج:

$C_s = \dfrac{P_s}{\omega_s} = \dfrac{\eta\cdot C_e\cdot\omega_e}{r\cdot\omega_e}$

$C_s = C_e\cdot\dfrac{\eta}{r}$

> المخفّض يخفض السرعة ويرفع المزدوجة: ما «نخسره» في السرعة نكسبه في المزدوجة، ناقص الضياعات. أما الاستطاعة فلا تزيد أبدًا: $P_s \le P_e$ .

سلسلة من عدة مراحل

إذا تتابعت المراحل فالنسبة الإجمالية والمردود الإجمالي حاصلا ضرب:

$r_g = r_1 \times r_2 \times r_3$

$\eta_g = \eta_1 \times \eta_2 \times \eta_3$

$P_s = \eta_g\cdot P_m \qquad C_s = C_m\cdot\dfrac{\eta_g}{r_g}$

قيم تقريبية للمردود (للاستئناس، والموضوع يعطي دائمًا القيم المطلوبة): زوج مسننات أسطوانية بين $0{,}97$ و $0{,}99$ ، زوج مخروطي بين $0{,}95$ و $0{,}98$ ، بكرات وسير شبه منحرف بين $0{,}94$ و $0{,}97$ .

مثال محلول: من المحرك إلى عمود الخروج


يمثّل الشكل سلسلة نقل لآلة خلط: المحرك M يدير العمود I والبكرة 1؛ السير ينقل الحركة إلى البكرة 2 على العمود II الذي يحمل الترس 3؛ يدير 3 العجلة 4 على العمود III؛ وفي طرف III ترس مخروطي 5 يدير العجلة المخروطية 6 على العمود الشاقولي IV (عمود الخلاط).

المعطيات: $P_m = 1500\ W$ ، $n_m = 1440\ tr/min$ ؛ $d_1 = 80\ mm$ ، $d_2 = 200\ mm$ ، $\eta_1 = 0{,}96$ ؛ $z_3 = 20$ ، $z_4 = 60$ ، $\eta_2 = 0{,}98$ ؛ $z_5 = 18$ ، $z_6 = 36$ ، $\eta_3 = 0{,}97$ .

1. النسب: $r_1 = \dfrac{80}{200} = 0{,}4$ ، $r_2 = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$ ، $r_3 = \dfrac{18}{36} = 0{,}5$ ، إذن:

$r_g = 0{,}4 \times \dfrac{1}{3} \times 0{,}5$

$r_g = \dfrac{1}{15} = 0{,}0667$

2. السرعات: $n_{II} = 1440 \times 0{,}4 = 576\ tr/min$ ، $n_{III} = \dfrac{576}{3} = 192\ tr/min$ ، $n_{IV} = 192 \times 0{,}5 = 96\ tr/min$ (وللتحقق $1440 \times \dfrac{1}{15} = 96$).

3. المردود الإجمالي: $\eta_g = 0{,}96 \times 0{,}98 \times 0{,}97 = 0{,}9126$ ، فـ $P_{IV} = 0{,}9126 \times 1500 = 1368{,}9\ W$ .

4. المزدوجات: $\omega_m = \dfrac{\pi \times 1440}{30} = 150{,}80\ rad/s$ و $C_m = \dfrac{1500}{150{,}80} = 9{,}95\ N\cdot m$ . على عمود الخلاط $\omega_{IV} = \dfrac{\pi \times 96}{30} = 10{,}05\ rad/s$ و:

$C_{IV} = \dfrac{1368{,}9}{10{,}05} = 136{,}2\ N\cdot m$

وللتحقق: $C_m\cdot\dfrac{\eta_g}{r_g} = 9{,}95 \times 0{,}9126 \times 15 = 136{,}2\ N\cdot m$ .

جدول الأعمدة (كل عمود يستقبل استطاعة المرحلة التي قبله):

| العمود | $n$ (tr/min) | $\omega$ (rad/s) | $P$ (W) | $C$ (N·m) | |---|---|---|---|---| | I (المحرك) | 1440 | $150{,}80$ | 1500 | $9{,}95$ | | II | 576 | $60{,}32$ | 1440 | $23{,}87$ | | III | 192 | $20{,}11$ | $1411{,}2$ | $70{,}19$ | | IV (الخلاط) | 96 | $10{,}05$ | $1368{,}9$ | $136{,}16$ |

نلاحظ أن السرعة قُسمت على 15 والمزدوجة ضُربت في نحو $13{,}7$ فقط ($15 \times 0{,}9126$) بسبب الضياعات.

مثال محلول 2: اختيار المحرك

رافعة صغيرة: يجب أن يقدّم عمود الطبل مزدوجة $C_s = 400\ N\cdot m$ بسرعة $n_s = 30\ tr/min$ ، والمردود الإجمالي للمخفّض $\eta_g = 0{,}85$ .

• $\omega_s = \dfrac{\pi \times 30}{30} = \pi = 3{,}14\ rad/s$ ، و $P_s = 400 \times 3{,}14 = 1256{,}6\ W$ .
• $P_m = \dfrac{P_s}{\eta_g} = \dfrac{1256{,}6}{0{,}85} = 1478{,}4\ W$ : نختار محركًا استطاعته النظامية $1{,}5\ kW$ (القيمة الأكبر مباشرة).

ملاحظة للامتحان

• السؤال المعتاد بعد جدول المسننات: «احسب $r_g$ ، ثم $n_s$ ، ثم $P_s$ ، ثم $C_s$». اكتب العلاقة الحرفية ثم التعويض ثم النتيجة بوحدتها.
• انتبه للوحدات: $n$ بـ tr/min يُحوّل إلى rad/s قبل $P = C\cdot\omega$ ؛ و $P$ بالـ W (لا بالـ kW) لتخرج $C$ بالـ N·m.
• إذا لم يُعط مردود فاعتبر $\eta = 1$ وقل ذلك صراحة.

أخطاء شائعة

• كتابة $C = \dfrac{P}{n}$ مع $n$ بـ tr/min: النتيجة خاطئة بعامل $\dfrac{30}{\pi} \approx 9{,}55$ .
• ضرب المزدوجة في $r$ بدل القسمة عليها: المخفّض يرفع المزدوجة.
• جمع المردودات أو أخذ متوسطها: المردود الإجمالي حاصل ضرب.
• نسيان أن الاستطاعة على عمود الخروج أصغر من استطاعة المحرك.

5. الجهود على السن: المسنن الأسطواني القائم والمسنن المخروطي

لماذا نحسب الجهود على السن؟

القوة التي يدفع بها سن القائد سنّ المنقاد هي التي تنقل المزدوجة. معرفتها ضرورية لثلاثة أسباب: تحديد المعيار (السن يجب أن يقاوم الانحناء، وهذا ما رأيناه بالعلاقة $m \ge 2{,}34\sqrt{\dfrac{F_t}{k\cdot R_p}}$)، وحساب العمود في الانحناء والالتواء، واختيار المدحرجات التي تحمل هذه القوى إلى الهيكل.

القوى على سن مسنن أسطواني ذي أسنان قائمة

رأينا في الدرس السابق أن كل نقاط التلامس بين سنّين تقع على خط التأثير (ligne d'action) الذي يمرّ بالنقطة الابتدائية I ويمسّ دائرتي القاعدة، ويميل عن المماس المشترك بزاوية الضغط $\alpha = 20°$ . إذا أهملنا الاحتكاك فإن قوة التلامس $\vec F$ عمودية على جانبي السنّين، أي محمولة على خط التأثير.


يمثّل الشكل ترسًا قائدًا 1 ($z_1 = 18$) يدير عجلة 2 ($z_2 = 26$) بأسنان حقيقية جانبها منحنى انفلات الدائرة (développante de cercle). الدائرتان الابتدائيتان بالأحمر متماستان في I، ودائرتا القاعدة بالرمادي المتقطع، وخط التأثير بالأخضر يمسّ دائرة قاعدة الترس في $T_1$ . القوة $\vec F$ التي يؤثر بها الترس على العجلة (بالأحمر) محمولة على خط التأثير، ونحلّلها في I إلى مركبتين:

• القوة المماسية (effort tangentiel) $F_t$ : على المماس المشترك، وهي وحدها التي تنقل المزدوجة؛
• القوة نصف القطرية (effort radial) $F_r$ : على خط المركزين، تتجه نحو مركز العجلة وتحاول إبعاد المسننين أحدهما عن الآخر.

من المثلث القائم ذي الزاوية $\alpha$ :

> $F_t = \dfrac{2C}{d}$ ، $F_r = F_t\cdot\tan\alpha$ ، $F = \dfrac{F_t}{\cos\alpha}$ مع $\alpha = 20°$ ، أي $F_r = 0{,}364\,F_t$ و $F = 1{,}064\,F_t$ .

العلاقة الأولى تأتي من تعريف المزدوجة: $C = F_t\cdot\dfrac{d}{2}$ ، و $d$ هو القطر الابتدائي للمسنن (لا قطر العمود). انتبه للوحدات: $C$ بـ N·mm و $d$ بـ mm، أو $C$ بـ N·m و $d$ بـ m.

الاتجاهات: على العجلة المنقادة تكون $F_t$ في اتجاه حركة نقطة التلامس (قوة محرّكة)، وعلى الترس القائد تكون معاكسة لحركته (قوة مقاومة)، لأن $\vec F_{2/1} = -\vec F_{1/2}$ (مبدأ الفعلين المتبادلين). و $F_r$ تتجه دائمًا نحو مركز المسنن الذي تؤثر عليه. ولا توجد قوة محورية: الأسنان القائمة لا تحمّل المدحرجات أي جهد محوري.

مثال محلول 1

ترس $z_1 = 20$ ، $m = 3\ mm$ ينقل مزدوجة $C_1 = 45\ N\cdot m$ إلى عجلة $z_2 = 50$ .

• $d_1 = 60\ mm$ ، فـ $F_t = \dfrac{2 \times 45\,000}{60} = 1500\ N$ (المزدوجة بـ N·mm).
• $F_r = 1500 \times \tan 20° = 1500 \times 0{,}364 = 546\ N$ .
• $F = \dfrac{1500}{\cos 20°} = \dfrac{1500}{0{,}9397} = 1596\ N$ (تحقق: $\sqrt{1500^2 + 546^2} = 1596\ N$).
• القوة المماسية نفسها تؤثر على العجلة ($d_2 = 150\ mm$)، فالمزدوجة عليها دون ضياعات $C_2 = 1500 \times 0{,}075 = 112{,}5\ N\cdot m$ ، أي $C_1 \times \dfrac{50}{20}$ : المزدوجة تتناسب مع القطر.

القوى على سن مسنن مخروطي ذي أسنان قائمة

في المسنن المخروطي تبقى القوة عمودية على جانب السن، لكن جانب السن مائل مع المخروط، فتظهر ثلاث مركبات. نعتبرها مطبّقة في النقطة المتوسطة M من عرض السن، حيث القطر المتوسط $d_m = d - b\sin\delta$ .


في (a) مقطع الترس بمستوي المحورين، و M على المولّد الابتدائي في منتصف السن:

• $F_t$ عمودية على مستوي الرسم (الرمز ⊙: نحو القارئ)، وتُحسب كما في الأسطواني: $F_t = \dfrac{2C}{d_m}$ ؛
• في مستوي المحورين تبقى القوة $F_t\tan\alpha$ ، عمودية على المولّد؛ نحلّلها إلى:
• قوة نصف قطرية $F_r$ نحو محور الترس؛
• قوة محورية (effort axial) $F_a$ على امتداد المحور، متجهة من الرأس S نحو القاعدة الكبيرة: تحاول إبعاد المسنن عن الرأس.

والزاوية بين $F_t\tan\alpha$ و $F_r$ هي $\delta$ (لأن الأولى عمودية على المولّد والثانية عمودية على المحور)، ومنه:

$F_r = F_t\cdot\tan\alpha\cdot\cos\delta$

$F_a = F_t\cdot\tan\alpha\cdot\sin\delta$

وفي (b) الترس منظورًا من خلفه: $F_t$ مماسية للدائرة المتوسطة $d_m$ في M، ومعاكسة لاتجاه دوران الترس $\omega_1$ لأنه قائد.

> ملاحظة: في مواضيع البكالوريا يُعطى غالبًا القطر الابتدائي $d$ وحده، فنحسب $F_t = \dfrac{2C}{d}$ ؛ الحساب بـ $d_m$ أدق، ونستعمله إذا أعطي $b$ أو $d_m$ .

القوى على العجلة المخروطية: هي معاكسة لقوى الترس. ولأن $\delta_2 = 90° - \delta_1$ :

$F_{r2} = F_t\tan\alpha\cos\delta_2 = F_t\tan\alpha\sin\delta_1 = F_{a1}$

أي: القوة المحورية على الترس تساوي القوة نصف القطرية على العجلة، والعكس ($F_{a2} = F_{r1}$). هذا منطقي: محور العجلة عمودي على محور الترس.

مثال محلول 2

زوج الشكل الأول: $m = 3$ ، $z_1 = 20$ ، $z_2 = 40$ ، $\delta_1 = 26{,}57°$ ، والترس ينقل $C_1 = 30\ N\cdot m$ . نحسب بالقطر الابتدائي $d_1 = 60\ mm$ :

• $F_t = \dfrac{2 \times 30\,000}{60} = 1000\ N$ .
• $F_{r1} = 1000 \times 0{,}364 \times \cos 26{,}57° = 1000 \times 0{,}364 \times 0{,}8944 = 325{,}5\ N$ .
• $F_{a1} = 1000 \times 0{,}364 \times \sin 26{,}57° = 1000 \times 0{,}364 \times 0{,}4472 = 162{,}8\ N$ .
• على العجلة: $F_{r2} = F_{a1} = 162{,}8\ N$ و $F_{a2} = F_{r1} = 325{,}5\ N$ .
• التحقق: $\sqrt{1000^2 + 325{,}5^2 + 162{,}8^2} = 1064\ N = \dfrac{F_t}{\cos 20°}$ .

| المسنن | $F_t$ (N) | $F_r$ (N) | $F_a$ (N) | |---|---|---|---| | الترس 1 ($\delta_1 = 26{,}57°$) | 1000 | $325{,}5$ | $162{,}8$ | | العجلة 2 ($\delta_2 = 63{,}43°$) | 1000 | $162{,}8$ | $325{,}5$ |

النتائج على التوجيه الدوراني

• الأسنان القائمة الأسطوانية: $F_t$ و $F_r$ فقط، فمدحرجات BC تكفي عادة.
• المسنن المخروطي: $F_a$ دائمة الاتجاه نحو القاعدة الكبيرة، فيجب أن يوقف التركيب كل عمود محوريًا في هذا الاتجاه على الأقل. لذلك نجد عمود الترس المخروطي محمولًا على مدحرجتين ذواتي دحاريج مخروطية في تركيب O (الترس في طرف العمود، أي في وضع ظفري)، مع ضبط بصفائح أو بصامولة.

أخطاء شائعة

• استعمال قطر العمود بدل القطر الابتدائي للمسنن في $F_t = \dfrac{2C}{d}$ .
• خلط الوحدات: $C$ بـ N·m مع $d$ بـ mm يعطي قوة أصغر بألف مرة.
• كتابة $F_r = F_t\sin\alpha$ : الصحيح $F_t\tan\alpha$ (أو $F\sin\alpha$).
• تبديل $\cos\delta$ و $\sin\delta$ بين $F_r$ و $F_a$ : للترس ذي الزاوية الصغيرة، $F_r > F_a$ .

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: علبة رد الزاوية لآلة تثقيب

التقديم: في آلة تثقيب، يدير محرك أفقي عمود الدخول 1. علبة رد الزاوية تنقل الحركة إلى العمود الشاقولي 2 بواسطة زوج مخروطي (4، 5)، ثم إلى عمود الخروج 3 (حامل المثقب) بواسطة زوج أسطواني ذي أسنان قائمة (7، 8). الهيكل 6 لا يظهر في المخطط.


يبيّن المخطط العمود الأفقي 1 الموجّه بوصلتين محوريتين ويحمل الترس المخروطي 4، والعمود الشاقولي 2 الذي يحمل العجلة المخروطية 5 والترس 7، وعمود الخروج 3 الذي يحمل العجلة 8.

| الرقم | العدد | التعيين | |---|---|---| | 1 | 1 | عمود الدخول | | 2 | 1 | العمود الوسيط | | 3 | 1 | عمود الخروج (حامل المثقب) | | 4 | 1 | ترس مخروطي | | 5 | 1 | عجلة مخروطية | | 6 | 1 | الهيكل | | 7 | 1 | ترس أسطواني | | 8 | 1 | عجلة أسطوانية |

المعطيات: $P_m = 1{,}5\ kW$ ، $n_1 = 1200\ tr/min$ ؛ الزوج (4، 5): $m = 2{,}5\ mm$ ، $z_4 = 18$ ، $d_5 = 112{,}5\ mm$ ، $\eta_{4/5} = 0{,}96$ ؛ الزوج (7، 8): $m = 2\ mm$ ، $z_7 = 20$ ، $a = 90\ mm$ ، $\eta_{7/8} = 0{,}98$ ؛ $\alpha = 20°$ .

الأسئلة:

• ما نوع كل زوج؟ اذكر شرطي تعشيق الزوج (4، 5).
• أكمل جدول مميزات الزوج (4، 5): $z_5$ ، $d_4$ ، $\delta_4$ ، $\delta_5$ ، $d_{a4}$ ، $d_{a5}$ ، $d_{f4}$ ، $d_{f5}$ .
• أكمل جدول مميزات الزوج (7، 8).
• احسب نسبة النقل الإجمالية وسرعة عمود الخروج 3.
• احسب الاستطاعة والمزدوجة على العمود 3.
• احسب القوى على سن الترس 4 (بالقطر الابتدائي) واستنتج القوى على العجلة 5.
• العمود 1 موجّه بمدحرجتين BC. هل هذا مناسب؟

الحل

1. (4، 5) مسنن مخروطي ذو أسنان قائمة (محوران متعامدان متلاقيان)؛ (7، 8) مسنن أسطواني ذو أسنان قائمة بتسنين خارجي (محوران متوازيان). شرطا تعشيق (4، 5): نفس المعيار، وتطابق رأسي المخروطين الابتدائيين.

2. $z_5 = \dfrac{d_5}{m} = \dfrac{112{,}5}{2{,}5} = 45$ ؛ $d_4 = 2{,}5 \times 18 = 45\ mm$ ؛ $\tan\delta_4 = \dfrac{18}{45} = 0{,}4$ فـ $\delta_4 = 21{,}80°$ و $\delta_5 = 68{,}20°$ ؛ مع $\cos\delta_4 = 0{,}9285$ و $\cos\delta_5 = 0{,}3714$ :

| | $z$ | $d$ (mm) | $\delta$ | $d_a = d + 2m\cos\delta$ | $d_f = d - 2{,}5m\cos\delta$ | |---|---|---|---|---|---| | 4 | 18 | 45 | $21{,}80°$ | $49{,}64$ | $39{,}20$ | | 5 | 45 | $112{,}5$ | $68{,}20°$ | $114{,}36$ | $110{,}18$ |

لا خانة للتباعد المحوري: المحوران متلاقيان.

3. $d_7 = 2 \times 20 = 40\ mm$ ؛ $a = \dfrac{d_7 + d_8}{2}$ فـ $d_8 = 2a - d_7 = 180 - 40 = 140\ mm$ و $z_8 = 70$ ؛ $d_{a7} = 40 + 4 = 44\ mm$ ، $d_{a8} = 144\ mm$ ؛ $d_{f7} = 40 - 5 = 35\ mm$ ، $d_{f8} = 135\ mm$ .

4. $r_{4/5} = \dfrac{18}{45} = 0{,}4$ و $r_{7/8} = \dfrac{20}{70} = 0{,}2857$ ، فـ:

$r_g = 0{,}4 \times 0{,}2857 = 0{,}1143$

$n_3 = 1200 \times 0{,}1143 = 137{,}1\ tr/min$

(والعمود الوسيط $n_2 = 480\ tr/min$).

5. $\eta_g = 0{,}96 \times 0{,}98 = 0{,}9408$ ، $P_3 = 0{,}9408 \times 1500 = 1411{,}2\ W$ ؛ $\omega_3 = \dfrac{\pi \times 137{,}14}{30} = 14{,}362\ rad/s$ ، و:

$C_3 = \dfrac{1411{,}2}{14{,}362} = 98{,}26\ N\cdot m$

6. $\omega_1 = \dfrac{\pi \times 1200}{30} = 125{,}66\ rad/s$ ، $C_1 = \dfrac{1500}{125{,}66} = 11{,}94\ N\cdot m$ ، و $F_t = \dfrac{2 \times 11\,937}{45} = 530{,}5\ N$ . ثم $F_{r4} = 530{,}5 \times 0{,}364 \times 0{,}9285 = 179{,}3\ N$ و $F_{a4} = 530{,}5 \times 0{,}364 \times 0{,}3714 = 71{,}7\ N$ . على العجلة 5: $F_t = 530{,}5\ N$ ، $F_{r5} = F_{a4} = 71{,}7\ N$ ، $F_{a5} = F_{r4} = 179{,}3\ N$ .

7. غير مناسب: الترس المخروطي 4 يولّد قوة محورية $F_{a4}$ على العمود 1، ويجب ضبط وضعيته المحورية لتطابق الرأسين. الأنسب مدحرجتان ذواتا دحاريج مخروطية (KB) في تركيب O مع صامولة ضبط، أو كريات بتلامس مائل.

التمرين 2: مخفّض بساط ناقل

التقديم: بساط ناقل لصناديق يُدار بطبل قطره $D = 250\ mm$ . السلسلة: محرك، ثم بكرتان وسير شبه منحرف (1، 2)، ثم زوجان أسطوانيان (3، 4) و(5، 6).


في المخطط: المحرك M على العمود I مع البكرة 1؛ العمود II يحمل البكرة 2 والترس 3؛ العمود III يحمل العجلة 4 والترس 5؛ العمود IV يحمل العجلة 6 والطبل.

المعطيات: $P_m = 2{,}2\ kW$ ، $n_m = 1440\ tr/min$ ؛ $d_1 = 90\ mm$ ، $d_2 = 180\ mm$ ، $\eta_{1/2} = 0{,}95$ ؛ (3، 4): $m = 2\ mm$ ، $z_3 = 20$ ، $a_{3/4} = 80\ mm$ ؛ (5، 6): $m = 2{,}5\ mm$ ، $z_5 = 18$ ، $z_6 = 54$ ؛ مردود كل زوج مسنن $0{,}97$ .

الأسئلة: (1) أكمل جدول الزوج (3، 4). (2) احسب $d_5$ و $d_6$ و $a_{5/6}$ . (3) احسب $r_g$ وسرعة الطبل، وحدّد اتجاه دورانه بالنسبة للمحرك. (4) احسب سرعة البساط. (5) احسب الاستطاعة والمزدوجة على الطبل، وقوة الجرّ على البساط. (6) احسب $F_t$ و $F_r$ على سن الترس 5.

الحل

(1) $d_3 = 40\ mm$ ، $d_4 = 2a - d_3 = 160 - 40 = 120\ mm$ ، $z_4 = 60$ ؛ $d_{a3} = 44$ ، $d_{a4} = 124$ ، $d_{f3} = 35$ ، $d_{f4} = 115$ (mm)؛ $h = 4{,}5\ mm$ .

(2) $d_5 = 2{,}5 \times 18 = 45\ mm$ ، $d_6 = 2{,}5 \times 54 = 135\ mm$ ، و $a_{5/6} = \dfrac{45 + 135}{2} = 90\ mm$ .

(3) $r_g = \dfrac{90}{180} \times \dfrac{20}{60} \times \dfrac{18}{54} = 0{,}5 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{18}$ ، و $n_t = \dfrac{1440}{18} = 80\ tr/min$ . الاتجاه: السير مستقيم (لا يقلب)، ثم تماسان خارجيان: $(-1)^2 = +1$ ، فالطبل يدور في اتجاه المحرك.

(4) $\omega_t = \dfrac{\pi \times 80}{30} = 8{,}38\ rad/s$ و $v = \omega_t\cdot\dfrac{D}{2} = 8{,}38 \times 0{,}125 = 1{,}05\ m/s$ .

(5) $\eta_g = 0{,}95 \times 0{,}97^2 = 0{,}8939$ ، $P_t = 0{,}8939 \times 2200 = 1966{,}5\ W$ ، $C_t = \dfrac{1966{,}5}{8{,}38} = 234{,}7\ N\cdot m$ . قوة الجرّ على البساط $F = \dfrac{C_t}{D/2} = \dfrac{234{,}7}{0{,}125} = 1878\ N$ (تحقق: $F\cdot v = 1878 \times 1{,}047 = 1966\ W$).

(6) العمود III: $n_{III} = 1440 \times 0{,}5 \times \dfrac{1}{3} = 240\ tr/min$ ، $P_{III} = 2200 \times 0{,}95 \times 0{,}97 = 2027{,}3\ W$ ، $\omega_{III} = 25{,}13\ rad/s$ ، $C_{III} = 80{,}66\ N\cdot m$ . إذن $F_t = \dfrac{2 \times 80\,660}{45} = 3585\ N$ و $F_r = 3585 \times 0{,}364 = 1305\ N$ .

التمرين 3: قطار بعجلة وسيطة وتاج داخلي


في المخطط: المحرك يدير الترس 1 على العمود I؛ العجلة 2 على العمود II وسيطة؛ العمود III يحمل العجلة 3 والترس 4؛ الترس 4 يتعشّق داخل التاج 5 المثبت على عمود الخروج IV. كل المسننات معيارها $m = 2\ mm$ : $z_1 = 17$ ، $z_2 = 30$ ، $z_3 = 51$ ، $z_4 = 20$ ، $z_5 = 70$ ؛ و $n_e = 1050\ tr/min$ .

الأسئلة: (1) احسب التباعدات المحورية $a_{1/2}$ و $a_{2/3}$ و $a_{4/5}$ . (2) احسب قطري الرأس والقاع للتاج 5. (3) احسب $r_g$ و $n_s$ واتجاه دوران IV. (4) ما دور العجلة 2؟

الحل

(1) الأقطار: 34، 60، 102، 40، 140 (mm). $a_{1/2} = \dfrac{34 + 60}{2} = 47\ mm$ ، $a_{2/3} = \dfrac{60 + 102}{2} = 81\ mm$ ، والتماس الداخلي: $a_{4/5} = \dfrac{140 - 40}{2} = 50\ mm$ .

(2) للتسنين الداخلي: $d_{a5} = m\,(z_5 - 2) = 136\ mm$ و $d_{f5} = m\,(z_5 + 2{,}5) = 145\ mm$ .

(3) $r_g = \dfrac{z_1}{z_2} \times \dfrac{z_2}{z_3} \times \dfrac{z_4}{z_5} = \dfrac{17}{51} \times \dfrac{20}{70} = \dfrac{2}{21} = 0{,}0952$ ، و $n_s = 1050 \times \dfrac{2}{21} = 100\ tr/min$ . التماسان (1، 2) و(2، 3) خارجيان والتماس (4، 5) داخلي: $(-1)^2 = +1$ ، فعمود الخروج يدور في اتجاه المحرك.

(4) العجلة 2 وسيطة: لا تغيّر قيمة $r_g$ (يُختصر $z_2$)، لكنها تقلب الاتجاه وتملأ المسافة بين I وIII. لو تعشّق 1 مع 3 مباشرة ($a = 68\ mm$) لدار عمود الخروج عكس المحرك.

ملاحظة للامتحان

رتّب الحل دائمًا: العلاقة الحرفية، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها. في جدول المسنن المخروطي لا تكتب تباعدًا محوريًا، وفي التسنين الداخلي اطرح في $a$ واقلب إشارتي $d_a$ و $d_f$ .