تحويل الحركة: برغي-صامولة، ساعد-مدورة، ترس-شبيكة

3. برغي-صامولة: الجهد المحوري والمردود والانعكاسية

من المزدوجة إلى الجهد المحوري

البرغي-الصامولة مضخّم للجهد: مزدوجة صغيرة على البرغي تعطي جهدا محوريا كبيرا على الصامولة، لأن الانتقال في الدورة صغير جدا. نحسب ذلك بموازنة الاستطاعات أو الأعمال:

| | الدخول (الدوران) | الخروج (الانتقال) | |---|---|---| | المقدار الحركي | $\omega$ (rad/s) أو $n$ (tr/min) | $v$ (m/s) | | مقدار الجهد | المزدوجة $C$ (N·m) | الجهد المحوري $F$ (N) | | الاستطاعة | $P_e = C \cdot \omega$ | $P_s = F \cdot v$ |

المردود (rendement):

$ \eta = \frac{P_s}{P_e} = \frac{F \cdot v}{C \cdot \omega} $

وفي دورة واحدة يكون عمل المزدوجة $C \cdot 2\pi$ وعمل الجهد $F \cdot p_h$، فمع المردود:

$ F \cdot p_h = \eta \cdot C \cdot 2\pi $

$ F = \frac{2\pi \cdot \eta \cdot C}{p_h} $

$ C = \frac{F \cdot p_h}{2\pi \cdot \eta} $

> في هذه العلاقات تُكتب $p_h$ بالمتر إذا كانت $C$ بالـ N·m، لكي يخرج $F$ بالنيوتن.

زاوية الحلزون

إذا «فرشنا» دورة واحدة من الحلزون على مستو نحصل على مثلث قائم: قاعدته محيط الدائرة الوسطى $\pi \cdot d_2$ وارتفاعه $p_h$، ووتره هو الحلزون. الزاوية $\alpha$ بين الحلزون والقاعدة هي زاوية الحلزون (angle d'hélice):


يبين الشكل أن الصامولة على البرغي تشبه جسما يصعد مستويا مائلا زاويته $\alpha$ (رُسمت الزاوية مكبرة للتوضيح؛ في براغي الحركة لا تتجاوز عادة بضع درجات):

$ \tan \alpha = \frac{p_h}{\pi \cdot d_2} $

بالنسبة للولبة شبه المنحرفة ISO: $d_2 = d - 0{,}5\,p$ (مثلا Tr 20×4: $d_2 = 18\ mm$).

الانعكاسية والإقفال الذاتي

ليكن $f$ معامل الاحتكاك بين البرغي والصامولة و $\varphi$ زاوية الاحتكاك حيث $\tan \varphi = f$. كما في المستوي المائل:

| الشرط | السلوك | النتيجة العملية | |---|---|---| | $\alpha > \varphi$ | انعكاسي | جهد محوري على الصامولة يدير البرغي؛ يلزم فرامل لإبقاء الحمل | | $\alpha \le \varphi$ | غير انعكاسي (ذاتي الإقفال) | الحمل يبقى في مكانه عند توقف المحرك |

المردود في الاتجاه المباشر (صيغة مبسطة للولبة مربعة، للاطلاع، تعطى في الموضوع إذا احتيج إليها):

$ \eta = \frac{\tan \alpha}{\tan(\alpha + \varphi)} $

> برغي غير انعكاسي مردوده دائما أقل من $50\ \%$: الإقفال الذاتي يُدفع ثمنه طاقةً ضائعة بالاحتكاك.

البرغي ذو الكريات

في البرغي ذي الكريات (vis à billes) تتدحرج كريات بين البرغي والصامولة، فيصبح الاحتكاك ضعيفا جدا ($f$ من رتبة $0{,}005$):

| المميزة | برغي شبه منحرف | برغي بالكريات | |---|---|---| | المردود | $0{,}2$ إلى $0{,}5$ | حوالي $0{,}9$ | | الانعكاسية | غالبا غير انعكاسي | انعكاسي دائما (يحتاج فرامل في المحاور الشاقولية) | | الخلوص والدقة | خلوص يتسع بالتآكل | بلا خلوص تقريبا (صامولة مسبقة الشد) | | الثمن والاستعمال | رخيص: ملازم، رافعات، دافعات | غال: محاور آلات التحكم الرقمي، الروبوتات |

أمثلة محلولة

المثال 1 — جهد دافعة: برغي $p_h = 4\ mm$ مردوده $\eta = 0{,}35$ تؤثر عليه مزدوجة $C = 12\ N \cdot m$. احسب الجهد المحوري.

$ F = \frac{2\pi \times 0{,}35 \times 12}{0{,}004} $

$F = 6597\ N \approx 6{,}6\ kN$. مزدوجة قدرها $12\ N \cdot m$ فقط تعطي أكثر من 6 كيلو نيوتن.

المثال 2 — مزدوجة رافعة لولبية: يراد رفع حمل $F = 10\ kN$ ببرغي $p_h = 5\ mm$ مردوده $\eta = 0{,}3$.

$ C = \frac{10\,000 \times 0{,}005}{2\pi \times 0{,}3} $

$C = 26{,}5\ N \cdot m$. بذراع يد طولها $0{,}25\ m$ يكفي جهد يد قدره $26{,}5/0{,}25 = 106\ N$ تقريبا.

المثال 3 — هل البرغي انعكاسي؟ برغي Tr 20×4 بمدخل واحد ($d_2 = 18\ mm$)، معامل الاحتكاك $f = 0{,}15$.

• $\tan \alpha = 4/(\pi \times 18) = 0{,}0707$، إذن $\alpha = 4{,}05°$.
• $\tan \varphi = 0{,}15$، إذن $\varphi = 8{,}53°$.
• $\alpha < \varphi$: البرغي غير انعكاسي، والحمل يبقى في مكانه عند توقف المحرك.
• المردود: $\eta = 0{,}0707/\tan(12{,}58°) = 0{,}0707/0{,}2231 = 0{,}32$ أي حوالي $32\ \%$، وهو أقل من $50\ \%$ كما هو متوقع.

المثال 4 — برغي بمدخلين: برغي Tr 24×10 (P5)، $d_2 = 21{,}5\ mm$، $f = 0{,}1$.

• $\tan \alpha = 10/(\pi \times 21{,}5) = 0{,}148$، إذن $\alpha = 8{,}42°$، و $\varphi = 5{,}71°$.
• $\alpha > \varphi$: البرغي انعكاسي. مضاعفة خطوة الحلزون تزيد السرعة والمردود (هنا حوالي $0{,}59$) لكنها تفقد الإقفال الذاتي.

ملاحظة للامتحان

• اكتب دائما الوحدات قبل التعويض: $C$ بالـ N·m و $p_h$ بالـ m يعطيان $F$ بالـ N؛ أو $C$ بالـ N·mm و $p_h$ بالـ mm.
• عند سؤال «علّل اختيار برغي شبه منحرف بخطوة صغيرة لرافعة»: الجواب هو عدم الانعكاسية (بقاء الحمل دون فرامل) وتضخيم الجهد.

4. نظام ترس-شبيكة

الوصف

الشبيكة (crémaillère) قضيب مستقيم نُحتت عليه أسنان: يمكن اعتبارها عجلة مسننة نصف قطرها لا نهائي، فدائرتها الابتدائية تصبح خطا ابتدائيا (ligne primitive) مستقيما وتصبح جوانب أسنانها مستقيمة مائلة بزاوية الضغط $\alpha = 20°$. تتعشق الشبيكة مع ترس (pignon) أسطواني ذي أسنان قائمة.

> شرط التعشيق: الترس والشبيكة لهما المعيار (module) $m$ نفسه وزاوية الضغط نفسها، فلهما الخطوة نفسها $p = \pi \cdot m$.


يبين الشكل ترسا بـ 18 سنا يتعشق مع شبيكة. الدائرة الابتدائية للترس (قطرها $d = m \cdot z$) مماسة للخط الابتدائي للشبيكة وتتدحرج عليه دون انزلاق، والخطوة على الشبيكة $p = \pi \cdot m$ هي الخطوة نفسها مقيسة على الدائرة الابتدائية للترس. عندما يدور الترس دورة كاملة بسرعة زاوية $\omega$ تمر $z$ سنا على الشبيكة فتنتقل بمسافة $L = z \cdot p = \pi \cdot m \cdot z = \pi \cdot d$.

طريقتا الاستعمال

| الحالة | العنصر الثابت | العنصر المتحرك | أمثلة | |---|---|---|---| | أ | محور الترس ثابت في الهيكل | الشبيكة تنتقل | باب منزلق، تغذية عمود المثقب العمودي، جهاز توجيه السيارة | | ب | الشبيكة ثابتة في الهيكل | الترس يتدحرج عليها حاملا عربته | عربة المخرطة (trainard)، القطار المسنن، محاور الآلات الكبيرة |

في الحالتين النظام انعكاسي ومردوده عال (من $0{,}95$ إلى $0{,}98$)، والانتقال مستمر طالما يدور الترس، ويحدد طول الشبيكة المشوار الأقصى.

في المخطط الحركي تمثَّل الوصلة بدائرة (الترس) مماسة لمستقيم (الشبيكة)، والشبيكة مركبة على الهيكل بوصلة انزلاقية، كما في الرموز المعروضة في الجزء 1.

العلاقات

الانتقال: في دورة واحدة $L_1 = \pi \cdot d = \pi \cdot m \cdot z$، وفي $N$ دورة:

$ L = \pi \cdot d \cdot N $

وإذا دار الترس بزاوية $\theta$ بالراديان:

$ x = \frac{d}{2} \cdot \theta $

السرعة الخطية للشبيكة تساوي السرعة المحيطية للترس على دائرته الابتدائية:

$ v = \omega \cdot \frac{d}{2} $

$ v = \pi \cdot d \cdot n $

الصيغة الأولى تعطي $v$ بالـ m/s إذا كان $d$ بالمتر و $\omega$ بالـ rad/s، والثانية تعطي mm/min إذا كان $d$ بالـ mm و $n$ بالـ tr/min (نقسم على $60\,000$ لنحصل على m/s).

الجهد: المزدوجة $C$ على الترس تعطي على الشبيكة جهدا مماسيا (الجهد المحرك):

$ F = \frac{2C}{d} $

الاستطاعة: $P = C \cdot \omega = F \cdot v$ (بإهمال الضياع، أو $P_s = \eta \cdot P_e$ إذا أعطي المردود).

طول الشبيكة: يجب أن يكون الطول المسنن على الأقل مساويا للمشوار المطلوب مضافا إليه طول التعشيق، وعدد أسنانها $z_c \ge C/p$.

أمثلة محلولة

المثال 1 — حساب كامل: ترس $m = 2\ mm$ و $z = 20$ يدور بـ $n = 60\ tr/min$ تحت مزدوجة $C = 8\ N \cdot m$.

• $d = m \cdot z = 40\ mm$.
• الانتقال في دورة: $\pi \cdot d = 125{,}66\ mm$.
• $v = \pi \cdot d \cdot n = 125{,}66 \times 60 = 7540\ mm/min$، أي $v = 0{,}126\ m/s$.
• $F = 2C/d = 2 \times 8/0{,}040 = 400\ N$.
• التحقق بالاستطاعة: $F \cdot v = 400 \times 0{,}1257 = 50{,}3\ W$، و $C \cdot \omega = 8 \times 2\pi = 50{,}3\ W$ (لأن $60\ tr/min$ تساوي $2\pi\ rad/s$). النتيجتان متساويتان.

المثال 2 — تغذية مثقب عمودي: يحرك الترس ($m = 2{,}5\ mm$، $z = 14$) غمد عمود المثقب المسنن كشبيكة. ما الزاوية التي يُدار بها الذراع لإنزال الريشة $70\ mm$؟ وما جهد الدفع إذا طبق العامل مزدوجة $C = 9\ N \cdot m$؟

• $d = 2{,}5 \times 14 = 35\ mm$، والانتقال في دورة $\pi \times 35 = 109{,}96\ mm$.
• $N = 70/109{,}96 = 0{,}637\ tr$، أي حوالي $229°$.
• $F = 2 \times 9/0{,}035 = 514\ N$ (بإهمال الاحتكاك ونابض الإرجاع).

المثال 3 — عدد أسنان الشبيكة: يراد مشوار $300\ mm$ بمعيار $m = 2\ mm$. الخطوة $p = 6{,}283\ mm$، إذن $z_c \ge 300/6{,}283 = 47{,}7$: نأخذ 48 سنا على الأقل، ونزيد بضعة أسنان لضمان التعشيق في طرفي المشوار.

أخطاء شائعة

• استعمال نصف القطر في محيط الدائرة: الانتقال في دورة هو $\pi \cdot d$ (أو $2\pi \cdot r$) لا $\pi \cdot r$.
• نسيان أن $v = \omega \cdot d/2$ تطلب $\omega$ بالـ rad/s لا $n$ بالـ tr/min.
• كتابة $F = C/d$ بدل $F = 2C/d$: الذراع هو نصف القطر $d/2$.

5. نظام ساعد-مدورة، والحدبة واللامركزي

مكونات نظام ساعد-مدورة

يحوّل هذا النظام الدوران المستمر إلى انتقال تناوبي (أو العكس). يتكون من:

| العنصر | الحركة بالنسبة للهيكل | الوصلات | |---|---|---| | المدورة (manivelle) OA | دوران حول O | محورية مع الهيكل في O | | الساعد (bielle) AB | حركة مستوية (دوران + انتقال) | محورية مع المدورة في A ومع المكبس في B | | المكبس أو الزالق (piston / coulisseau) | انتقال مستقيم | انزلاقية مع الهيكل (الأسطوانة) |

نسمي $R = OA$ نصف قطر المدورة و $L = AB$ طول الساعد، ونحدد وضع المدورة بالزاوية $\theta$ بينها وبين محور الأسطوانة.


يمثل الشكل النظام عند $\theta = 60°$: المدورة (الأزرق) تدور حول O في الاتجاه $\omega$، والساعد (الأخضر) يربط المرفق A بمحور المكبس B الذي ينزلق في الأسطوانة المثبتة في الهيكل. الدوائر الصغيرة في O و A و B هي وصلات محورية محاورها عمودية على مستوي الرسم. الخطان المتقطعان على اليمين يحددان الوضعين الحدّيين للنقطة B: النقطة الميتة العليا PMH والنقطة الميتة السفلى PMB، والمسافة بينهما هي المشوار.

النقطتان الميتتان والمشوار

• عند $\theta = 0°$ تكون O و A و B على استقامة واحدة و A بين O و B: $OB = L + R$ (النقطة الميتة العليا PMH).
• عند $\theta = 180°$ تكون النقاط الثلاث على استقامة واحدة و O بين A و B: $OB = L - R$ (النقطة الميتة السفلى PMB).

$ C = (L + R) - (L - R) = 2R $

> مشوار الساعد-المدورة يساوي ضعف نصف قطر المدورة، ولا يتعلق بطول الساعد. الساعد يجب فقط أن يكون أطول من المدورة (عمليا $L$ من 3 إلى 5 مرات $R$).

في النقطتين الميتتين يكون الساعد على استقامة المدورة: جهد على المكبس لا يعطي أي عزم حول O. لذلك في المحرك الحراري (حيث يدفع المكبس المدورة) يلزم حدّافة (volant d'inertie) تتجاوز بقصورها الذاتي هاتين النقطتين. أما عندما تكون المدورة هي المحركة (مكبس ميكانيكي، ضاغط، مضخة) فلا مشكلة.

موضع المكبس بدلالة الزاوية

بإسقاط OA و AB على محور الأسطوانة نجد بعد B عن O:

$ x = R \cos\theta + \sqrt{L^2 - R^2 \sin^2\theta} $

والانتقال المقيس من النقطة الميتة العليا هو $s = (L + R) - x$.

مثال: $R = 40\ mm$ و $L = 160\ mm$ (المشوار $C = 80\ mm$):

| $\theta$ | $0°$ | $60°$ | $90°$ | $120°$ | $180°$ | |---|---|---|---|---|---| | $x$ (mm) | 200 | 176,20 | 154,92 | 136,20 | 120 | | $s$ (mm) | 0 | 23,80 | 45,08 | 63,80 | 80 |

مثلا عند $\theta = 90°$: $x = \sqrt{160^2 - 40^2} = \sqrt{24\,000} = 154{,}92\ mm$.


يمثل المنحنى الأزرق الانتقال $s$ خلال دورة كاملة، والمنحنى المتقطع الرمادي هو $R(1 - \cos\theta)$ الذي نحصل عليه لو كان الساعد طويلا جدا. نلاحظ أن المكبس قطع عند $\theta = 90°$ أكثر من نصف المشوار ($45{,}1\ mm$ بدل $40\ mm$) بسبب ميل الساعد: الحركة ليست جيبية تماما، لكنها تبقى دورية والمشوار $80\ mm$ في كل نصف دورة.

السرعات والزمن

في كل دورة للمدورة ينجز المكبس ذهابا وإيابا (دورة عمل واحدة):

• عدد الأشواط المزدوجة في الدقيقة يساوي $n$ (tr/min)، وزمن الذهاب وحده $t = 30/n$ ثانية.
• السرعة المتوسطة للمكبس: المسافة $2C$ في زمن دورة $60/n$:

$ V_m = \frac{2C \cdot n}{60} $

بـ $C$ بالمتر و $n$ بالـ tr/min نحصل على m/s. عند $\theta = 90°$ تساوي سرعة المكبس $R \cdot \omega$، وهي قريبة من السرعة القصوى.

مثال: $C = 80\ mm$ و $n = 300\ tr/min$: $V_m = 2 \times 0{,}08 \times 300/60 = 0{,}8\ m/s$. و $\omega = \pi n/30 = 31{,}42\ rad/s$، فالسرعة عند $90°$ هي $0{,}04 \times 31{,}42 = 1{,}26\ m/s$.

الحدبة (came)

الحدبة قرص يدور حول محور ثابت، محيطه منحن غير دائري، يلامسه متابع أو دافع (poussoir) يتحرك بانتقال في دليله. يُبقي نابض المتابع ملامسا للحدبة. شكل المحيط هو الذي يحدد قانون الحركة: صعود، توقف (حيث المحيط دائري حول المحور)، نزول.

$ C = R_{max} - R_{min} $

حيث $R_{max}$ و $R_{min}$ أكبر وأصغر بعد للمحيط عن محور الدوران. التطبيقات: صمامات المحرك (soupapes)، المخارط الآلية، الآلات النسيجية. الحدبة غير انعكاسية: المتابع لا يستطيع أن يدير الحدبة.

اللامركزي (excentrique)

اللامركزي قرص دائري نصف قطره $R_d$ مركزه E يبعد عن محور الدوران O بمسافة $e$ تسمى اللامركزية (excentricité). هو حدبة دائرية: $R_{max} = R_d + e$ و $R_{min} = R_d - e$، إذن:

$ C = 2e $


في الأعلى حدبة قرصية: الدائرة المتقطعة هي الدائرة القاعدية $R_{min}$، والبروز (الأنف) يبلغ $R_{max}$، والمتابع ذو البكرة (galet) يصعد بمقدار $R_{max} - R_{min}$ عندما يمر الأنف تحته. في الأسفل لامركزي: قرص مركزه E يدور حول O على بعد $e$، فيصعد الدافع المسطح وينزل بمشوار $2e$ في كل دورة.

اللامركزي يكافئ مدورة نصف قطرها $e$: في المكابس الميكانيكية ومضخات المكابس يركب الساعد على اللامركزي بطوق (collier)، فنحصل على نظام ساعد-مدورة مشواره $2e$، وهو أمتن من مدورة صغيرة جدا. هذا ما يطلبه البكالوريا غالبا بعبارة «احسب مشوار المخرز».

مثال: لامركزي $e = 15\ mm$ يعطي مشوارا $C = 2 \times 15 = 30\ mm$؛ وحدبة $R_{min} = 30\ mm$ و $R_{max} = 48\ mm$ تعطي $C = 48 - 30 = 18\ mm$.

مقارنة أنظمة تحويل الحركة

| المعيار | برغي-صامولة | ترس-شبيكة | ساعد-مدورة / لامركزي | حدبة | |---|---|---|---|---| | حركة الخروج | انتقال مستمر | انتقال مستمر | انتقال تناوبي | تناوبي حسب المحيط | | الانتقال في دورة | $p_h$ (صغير) | $\pi \cdot d$ (كبير) | ذهاب وإياب بـ $2R$ | $R_{max} - R_{min}$ | | الانعكاسية | حسب $\alpha$ و $\varphi$ | انعكاسي | انعكاسي (عدا النقطتين الميتتين) | غير انعكاسي | | تضخيم الجهد | كبير جدا | متوسط | متغير مع الزاوية | ضعيف | | المشوار | الطول الملولب والملتقطات | طول الشبيكة والملتقطات | ثابت $2R$ | ثابت | | أمثلة | ملزمة، رافعة، طاولة آلة | باب منزلق، مثقب، توجيه سيارة | محرك، ضاغط، مكبس مخرز | صمامات، آلات آلية |

ملاحظة للامتحان

• «احسب مشوار المخرز» في آلية بلامركزي أو مدورة: $C = 2e$ أو $C = 2R$، وتقرأ $e$ أو $R$ على الرسم أو في المعطيات.
• لا تنس أن المكبس ينجز مشوارين (ذهاب وإياب) في كل دورة: عدد الضربات في الدقيقة يساوي سرعة الدوران بالـ tr/min.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1 — دافعة كهربائية ذات برغي

التقديم: دافعة كهربائية (vérin électrique) تحرك ذراع حاجز موقف سيارات. يدير المحرك M عمود الدخول (1) الذي يحمل الترس Z1، والترس يدير العجلة Z2 المثبتة على البرغي (2). البرغي مركب في الهيكل (0) بمحوريتين، والصامولة مثبتة في الساق (3) التي تنزلق في دليل الهيكل وتدفع الذراع.


يبين المخطط سلسلة الحركة: المحرك ← المسننان Z1/Z2 ← البرغي (2) ← الصامولة والساق (3) التي تنتقل بالسرعة $v$.

| الرقم | العنصر | ملاحظة | |---|---|---| | 0 | الهيكل | ثابت | | 1 | عمود المحرك + الترس Z1 | $Z_1 = 20$ | | 2 | البرغي Tr 24×5 + العجلة Z2 | مدخل واحد، $Z_2 = 60$ | | 3 | الساق + الصامولة | ينتقل |

المعطيات: $P_m = 0{,}75\ kW$، $N_m = 1500\ tr/min$؛ المسننان: $m = 2\ mm$؛ مردود المسننين $\eta_1 = 0{,}95$؛ البرغي Tr 24×5 بمدخل واحد، قطره الوسطي $d_m = 21{,}5\ mm$ (رمزنا له $d_m$ هنا لكي لا يختلط بقطر العجلة $d_2$)، مردوده $\eta_2 = 0{,}30$، معامل الاحتكاك $f = 0{,}12$؛ المشوار المطلوب $400\ mm$.

الأسئلة:

• سمّ الوصلات 1/0، 2/0، 3/0، 2/3.
• احسب $d_1$ و $d_2$ للمسننين والتباعد المحوري $a$.
• احسب نسبة النقل $r$ وسرعة دوران البرغي $N_2$.
• احسب سرعة انتقال الساق بالـ mm/s.
• احسب زمن المشوار الكامل.
• احسب المزدوجة على البرغي ثم الجهد المحوري الذي تطبقه الساق.
• هل يبقى الذراع في مكانه إذا انقطع التيار؟ علّل بالحساب.

الحل:

• 1/0 وصلة محورية؛ 2/0 وصلة محورية؛ 3/0 وصلة انزلاقية (تمنع الساق من الدوران)؛ 2/3 وصلة حلزونية.
• $d_1 = m \cdot Z_1 = 2 \times 20 = 40\ mm$؛ $d_2 = m \cdot Z_2 = 2 \times 60 = 120\ mm$؛ $a = (d_1 + d_2)/2 = (40 + 120)/2 = 80\ mm$.
• $r = Z_1/Z_2 = 20/60 = 1/3$؛ $N_2 = N_m \cdot r = 1500/3 = 500\ tr/min$.
• بمدخل واحد $p_h = p = 5\ mm$: $v = p_h \cdot N_2 = 5 \times 500 = 2500\ mm/min$، أي $v = 41{,}67\ mm/s$.
• عدد الدورات $N = 400/5 = 80\ tr$، والزمن $t = 80/500 = 0{,}16\ min = 9{,}6\ s$.
• الاستطاعة على البرغي: $P_2 = \eta_1 \cdot P_m = 0{,}95 \times 750 = 712{,}5\ W$؛ $\omega_2 = \pi \cdot 500/30 = 52{,}36\ rad/s$:

$ C_2 = \frac{P_2}{\omega_2} = \frac{712{,}5}{52{,}36} $

$C_2 = 13{,}61\ N \cdot m$، ثم:

$ F = \frac{2\pi \cdot \eta_2 \cdot C_2}{p_h} $

$ F = \frac{2\pi \times 0{,}3 \times 13{,}61}{0{,}005} $

$F = 5130\ N \approx 5{,}13\ kN$. تحقق: $F = \eta_2 \cdot P_2/v = 213{,}75/0{,}04167 = 5130\ N$.

• $\tan \alpha = p_h/(\pi \cdot d_m) = 5/(\pi \times 21{,}5) = 0{,}074$، إذن $\alpha = 4{,}23°$؛ $\varphi = \arctan 0{,}12 = 6{,}84°$. بما أن $\alpha < \varphi$ فالبرغي غير انعكاسي: حمل الذراع لا يستطيع أن يدير البرغي، فيبقى الذراع في مكانه دون فرامل.

التمرين 2 — مكبس تخريم بلامركزي

التقديم: آلة تخريم (poinçonneuse) تثقب صفائح رقيقة. المحرك يدير البكرة $d_1$، وسير شبه منحرف ينقل الحركة إلى البكرة $d_2$ على العمود الوسيط الذي يحمل الترس Z3. يتعشق الترس مع العجلة Z4 المثبتة على العمود اللامركزي (5). يربط الساعد (6) اللامركزي بالمخرز (7) الذي ينزلق في دليل الهيكل.


في المخطط تظهر البكرتان (طرفاهما على شكل V) والسير بخط متقطع، والمسننان (طرفاهما على شكل T) متماسان في نقطة التعشيق، ثم مرفق العمود (5) بلامركزية $e$ والساعد (6) والمخرز (7) فوق الصفيحة.

المعطيات: $P_m = 1{,}5\ kW$، $N_m = 1440\ tr/min$؛ $d_1 = 80\ mm$، $d_2 = 240\ mm$؛ $Z_3 = 18$، $Z_4 = 72$، $m = 2{,}5\ mm$؛ $e = 15\ mm$؛ المردود الإجمالي بين المحرك والعمود (5): $\eta_g = 0{,}9$.

الأسئلة:

• ما نوع تحويل الحركة بين (5) و(7)؟ سمّ الوصلات 5/0، 6/5، 7/6، 7/0.
• احسب نسبة النقل الإجمالية $r_g$ وسرعة دوران العمود (5).
• احسب $d_3$ و $d_4$ والتباعد المحوري.
• احسب مشوار المخرز وعدد الضربات في الدقيقة والسرعة المتوسطة للمخرز.
• احسب المزدوجة على العمود (5)، ثم الجهد على المخرز عندما يكون المرفق عموديا على محور المخرز ($\theta = 90°$).

الحل:

• دوران مستمر ← انتقال مستقيم تناوبي، بنظام لامركزي-ساعد (يكافئ ساعد-مدورة $R = e$). 5/0 محورية؛ 6/5 محورية؛ 7/6 محورية؛ 7/0 انزلاقية.
• $r_1 = d_1/d_2 = 80/240 = 1/3$؛ $r_2 = Z_3/Z_4 = 18/72 = 1/4$؛ $r_g = r_1 \cdot r_2 = 1/12$؛ $N_5 = 1440/12 = 120\ tr/min$.
• $d_3 = 2{,}5 \times 18 = 45\ mm$؛ $d_4 = 2{,}5 \times 72 = 180\ mm$؛ $a = (45 + 180)/2 = 112{,}5\ mm$.
• $C = 2e = 30\ mm$؛ كل دورة للعمود (5) ضربة واحدة: 120 ضربة في الدقيقة (ضربتان في الثانية)؛ $V_m = 2C \cdot N_5/60 = 2 \times 0{,}03 \times 120/60 = 0{,}12\ m/s$.
• $P_5 = \eta_g \cdot P_m = 1350\ W$؛ $\omega_5 = \pi \cdot 120/30 = 12{,}57\ rad/s$:

$ C_5 = \frac{1350}{12{,}57} = 107{,}4\ N \cdot m $

عند $\theta = 90°$ تساوي سرعة المخرز $e \cdot \omega_5$ تماما، وبمساواة الاستطاعتين $F \cdot e \cdot \omega_5 = C_5 \cdot \omega_5$:

$ F = \frac{C_5}{e} = \frac{107{,}4}{0{,}015} = 7160\ N $

أي حوالي $7{,}16\ kN$ (بإهمال الاحتكاك في الساعد والدليل).

التمرين 3 — باب منزلق بترس وشبيكة

التقديم: باب منزلق يتدحرج على عجلتين فوق سكة أرضية. مجموعة «محرك + مخفض» (M + R) مثبتة على الهيكل الثابت فوق الطرف الأيسر للباب، وترس خروجها يتعشق مع شبيكة مثبتة على طول الحافة العلوية للباب. يُغلق الباب على العمود الأيمن.


الشكل في وضع الباب مغلقا: الترس فوق الطرف الأيسر للشبيكة، وعند الفتح ينتقل الباب نحو اليسار بالسرعة $v$ فتمر الشبيكة كلها تحت الترس الثابت حتى يبلغ طرفها الأيمن.

المعطيات: سرعة خروج المخفض $n = 30\ tr/min$؛ الترس $m = 4\ mm$، $z = 15$؛ عرض الفتحة $4\ m$؛ جهد مقاومة الباب (الاحتكاك والتدحرج) $F = 600\ N$؛ مردود «المخفض + ترس-شبيكة» $\eta = 0{,}6$.

الأسئلة:

• احسب القطر الابتدائي للترس والانتقال في دورة.
• احسب سرعة الباب بالـ m/s.
• احسب زمن الفتح الكامل.
• احسب أقل عدد أسنان للشبيكة.
• احسب المزدوجة على الترس والاستطاعة النافعة ثم استطاعة المحرك اللازمة.
• علّل اختيار ترس-شبيكة بدل برغي-صامولة لهذا الباب.

الحل:

• $d = m \cdot z = 4 \times 15 = 60\ mm$؛ الانتقال في دورة $\pi \cdot d = 188{,}5\ mm$.
• $v = \pi \cdot d \cdot n = 188{,}5 \times 30 = 5655\ mm/min$، أي $v = 0{,}094\ m/s$.
• $N = 4000/188{,}5 = 21{,}22\ tr$، و $t = 21{,}22/30 = 0{,}707\ min = 42{,}4\ s$.
• $p = \pi \cdot m = 12{,}57\ mm$، و $z_c \ge 4000/12{,}57 = 318{,}3$: 319 سنا على الأقل (شبيكة طولها أكبر من $4\ m$ بقليل لضمان التعشيق في الطرفين).
• $C = F \cdot d/2 = 600 \times 0{,}03 = 18\ N \cdot m$؛ $P_s = F \cdot v = 600 \times 0{,}0942 = 56{,}5\ W$؛ $P_m = P_s/\eta = 56{,}5/0{,}6 = 94{,}2\ W$.
• المشوار طويل ($4\ m$): برغي بهذا الطول ثقيل ومكلف وينحني ويهتز في الدوران، كما أن سرعته ستكون صغيرة. الترس-الشبيكة يعطي انتقالا كبيرا في كل دورة ($188{,}5\ mm$)، والشبيكة مثبتة على الباب نفسه فلا تحتاج إلى دعم خاص، وهو نظام بسيط ورخيص ومردوده جيد.

منهجية عامة

• ابدأ بتحديد السلسلة الحركية من المخطط: أين يتحول الدوران إلى انتقال؟ ما العنصر الذي يُمنع من الدوران؟
• احسب السرعة الدورانية للعنصر المحوِّل بنسبة النقل، ثم طبق العلاقة الخاصة به: $v = p_h \cdot n$ أو $v = \pi \cdot d \cdot n$ أو $C = 2R$.
• للجهود استعمل حفظ الاستطاعة مع المردود: $F \cdot v = \eta \cdot C \cdot \omega$.