مكتسبات قبلية 1: علم السكون

3. الحمولات الموزعة ومحصلتها

الحمولة المركزة والحمولة الموزعة

• الحمولة المركزة (charge concentrée) قوة تؤثر في نقطة واحدة، مثل عمود يرتكز على رافدة، أو رافدة ثانوية تستند على رافدة رئيسية. وحدتها kN.
• الحمولة الموزعة (charge répartie) قوة منتشرة على طول من العنصر، مثل الوزن الذاتي للرافدة، أو جدار مبني فوقها، أو أرضية تستند عليها. شدتها q تُعطى بالقوة لكل متر طولي: $kN/m$.

من أين تأتي q؟

• الوزن الذاتي: الوزن الحجمي × مساحة المقطع. رافدة $30 \times 40\ cm$ من الخرسانة المسلحة: $q = 25 \times 0{,}30 \times 0{,}40 = 3\ kN/m$.
• الأرضية: تُعطى حمولتها بـ $kN/m^2$، فنضربها في عرض التأثير (largeur d'influence) أي عرض الشريط من الأرضية الذي تحمله الرافدة. أرضية حمولتها $6{,}5\ kN/m^2$ ورافدة تحمل شريطا عرضه 4 m: $q = 6{,}5 \times 4 = 26\ kN/m$.
• جدار فوق رافدة: وزن المتر المربع من الجدار × ارتفاعه.

> قاعدة الوحدات: $kN/m^2 \times m = kN/m$ ، ثم $kN/m \times m = kN$.

أشكال الحمولة الموزعة ومحصلاتها

لحساب ردود الأفعال نستبدل كل حمولة موزعة بـمحصلتها: قوة مركزة تساوي مساحة مخطط الحمولة، وتؤثر في مركز ثقل هذا المخطط.


يبيّن الشكل الحالات الثلاث على طول L: (a) حمولة منتظمة q ومحصلتها R في المنتصف؛ (b) حمولة مثلثية تزداد من الصفر إلى q ومحصلتها على بعد $2L/3$ من الطرف الذي تنعدم فيه الحمولة؛ (c) حمولة شبه منحرفة من $q_1$ إلى $q_2$ تُقسم إلى مستطيل (محصلته $R_1$ في المنتصف) ومثلث (محصلته $R_2$ على بعد $2L/3$).

| الشكل | المحصلة R | موضعها | |---|---|---| | منتظمة (rectangulaire) | $R = q\cdot L$ | في المنتصف: $L/2$ | | مثلثية من 0 إلى q | $R = q\cdot L/2$ | $2L/3$ من الطرف الذي فيه $q = 0$ | | شبه منحرفة من $q_1$ إلى $q_2$ | مستطيل + مثلث | كل جزء في مركز ثقله |

وبعبارة أخرى، محصلة الحمولة المثلثية تقع على ثلث الطول من الطرف الأثقل ($L/3$ من الطرف الذي فيه q أعظمية).

مثال 1: حمولة منتظمة

$q = 15\ kN/m$ على 4 m: $R = 15 \times 4 = 60\ kN$ في منتصفها، أي على بعد 2 m من بدايتها. عزمها حول نقطة A في بدايتها (عكس عقارب الساعة موجب، الحمولة نحو الأسفل):

$ M_{/A} = -60 \times 2 = -120\ kN\cdot m $

مثال 2: حمولة مثلثية

حمولة تزداد من 0 إلى $12\ kN/m$ على 3 m: $R = 12 \times 3/2 = 18\ kN$، على بعد $2 \times 3/3 = 2\ m$ من الطرف الذي تنعدم فيه، أي على بعد 1 m من الطرف الأثقل.

مثال 3: حمولة شبه منحرفة

حمولة تتغير من $q_1 = 4\ kN/m$ إلى $q_2 = 10\ kN/m$ على 6 m. نقسمها:

| الجزء | المحصلة (kN) | البعد عن طرف $q_1$ (m) | العزم حول هذا الطرف ($kN\cdot m$) | |---|---|---|---| | مستطيل $4\ kN/m$ | $4 \times 6 = 24$ | 3 | 72 | | مثلث من 0 إلى $6\ kN/m$ | $6 \times 6/2 = 18$ | 4 | 72 | | المجموع | 42 | | 144 |

موضع المحصلة الكلية: $x = 144/42 = 3{,}43\ m$ من طرف $q_1$، أي أقرب إلى الطرف الأثقل كما هو متوقع. للتحقق: المساحة الكلية لشبه المنحرف $(4 + 10)\times 6/2 = 42\ kN$.

حمولة موزعة على جزء من الرافدة

إذا امتدت الحمولة على جزء فقط، تُحسب المحصلة على طول ذلك الجزء وحده، ويقاس موضعها من بداية الجزء ثم يُضاف بعد هذه البداية عن نقطة العزوم. مثال: $q = 8\ kN/m$ بين $x = 2\ m$ و $x = 5\ m$ من A: $R = 8 \times 3 = 24\ kN$ عند $x = 2 + 1{,}5 = 3{,}5\ m$، وعزمها حول A يساوي $-24 \times 3{,}5 = -84\ kN\cdot m$.

ملاحظة للامتحان

• استبدال الحمولة الموزعة بمحصلتها صالح لحساب ردود الأفعال فقط. عند كتابة معادلات الجهد القاطع وعزم الانحناء في درس الانحناء نأخذ في كل مقطع الجزء من الحمولة الواقع يسار المقطع فقط.
• أخطاء شائعة: وضع محصلة المثلث في منتصفه؛ قياس $2L/3$ من الطرف الأثقل بدل الطرف الذي تنعدم فيه الحمولة؛ ضرب q في طول الرافدة كلها بينما الحمولة على جزء منها؛ نسيان ضرب حمولة الأرضية في عرض التأثير.

4. المساند وردود أفعالها والتحديد السكوني

دور المسند

العنصر الإنشائي (رافدة، عمود، نظام مثلثي) لا يبقى في مكانه إلا لأن مساند (appuis) أو روابط (liaisons) تمنعه من الحركة. كل حركة يمنعها المسند يقابلها رد فعل (réaction): قوة إذا كانت الحركة الممنوعة انتقالا، وعزم إذا كانت دورانا.

جسم في المستوي له ثلاث حركات ممكنة (ثلاث درجات حرية): انتقال أفقي، وانتقال شاقولي، ودوران. لكي يبقى ساكنا يجب أن تمنع المساند الحركات الثلاث.

أنواع المساند


يبيّن الشكل على اليسار الرمز المرسوم في المخططات، وعلى اليمين ما يعوضه عند عزل الرافدة: سهم أحمر لكل رد فعل مجهول، وعدد المجاهيل مكتوب بجانب اسم كل مسند.

| المسند | ما يمنعه | ما يسمح به | ردود الأفعال | عدد المجاهيل | |---|---|---|---|---| | المسند البسيط (appui simple، على بكرات) | الانتقال العمودي على سطح الارتكاز | الانتقال الموازي للسطح والدوران | $V_A$ عمودي على سطح الارتكاز | 1 | | المسند المضاعف (appui double، مفصل articulation) | الانتقالين | الدوران | $H_A$ و $V_A$ | 2 | | الترصيع (encastrement، وثاقة) | الانتقالين والدوران | لا شيء | $H_A$ و $V_A$ و $M_A$ | 3 |

ملاحظات مهمة:

• رد فعل المسند البسيط عمودي على سطح الارتكاز: شاقولي إذا كان السطح أفقيا، وأفقي إذا ارتكز العنصر على جدار شاقولي، ومائل إذا كان السطح مائلا.
• القضيب المفصلي أو الحبل أو الشداد (bielle، câble، tirant) الذي يربط العنصر بنقطة ثابتة يعطي رد فعل واحدا على امتداد محوره: مجهول واحد هو شدته. والحبل يشد فقط ولا يدفع.
• في المنشآت: الرافدة الحديدية الموضوعة على جدار تُنمذج غالبا بمسند بسيط أو مضاعف، والعمود المدمج في أساسه أو الظفر (console) الخارج من جدار أو رافدة يُنمذج بترصيع، مثل البلكون.

عزل الجسم (المخطط الحر)

قبل كتابة أي معادلة نرسم مخطط الجسم المعزول:

• نرسم العنصر وحده دون مساندته.
• نرسم كل الحمولات المعطاة بقيمها واتجاهاتها.
• نعوض كل مسند بردود أفعاله المجهولة حسب نوعه، باتجاه نفترضه (مثلا $V_A$ نحو الأعلى و $H_A$ نحو اليمين و $M_A$ عكس عقارب الساعة).
• نضع الأبعاد اللازمة لحساب الأذرع.

> إذا أعطى الحساب قيمة سالبة لرد فعل، فالحساب صحيح لكن الاتجاه الحقيقي عكس الاتجاه المفترض. نكتب النتيجة بقيمتها الموجبة ونذكر الاتجاه الحقيقي.

التحديد السكوني (isostatisme)

في المستوي لدينا ثلاث معادلات توازن مستقلة (سنكتبها في الجزء الموالي). نسمّي r عدد مجاهيل ردود الأفعال:

| الحالة | الشرط | المعنى | |---|---|---| | محدد سكونيا (isostatique) | $r = 3$ | المعادلات الثلاث تكفي لحساب كل ردود الأفعال | | غير محدد سكونيا (hyperstatique) | $r > 3$ | درجة عدم التحديد $h = r - 3$؛ تلزم معادلات إضافية من التشوهات (خارج برنامجنا) | | غير مستقر (hypostatique، آلية) | $r < 3$ | المساند لا تمنع كل الحركات؛ الجسم يتحرك |

الشرط $r = 3$ ضروري لكنه لا يكفي وحده: يجب أيضا أن تكون المساند مرتبة جيدا؛ فثلاثة ردود أفعال متوازية (ثلاثة مساند بسيطة على سطح أفقي) لا تمنع الانتقال الأفقي، وثلاثة ردود أفعال تلتقي حواملها في نقطة واحدة لا تمنع الدوران حولها.

أمثلة للتصنيف

| المنشأ | المساند | r | الطبيعة | |---|---|---|---| | رافدة على مسندين | مضاعف + بسيط | $2 + 1 = 3$ | محددة سكونيا | | ظفر (console) | ترصيع في طرف واحد | 3 | محدد سكونيا | | رافدة بين مفصلين | مضاعف + مضاعف | 4 | غير محددة، $h = 1$ | | رافدة مرصعة ومسندة | ترصيع + بسيط | 4 | غير محددة، $h = 1$ | | رافدة مرصعة الطرفين | ترصيع + ترصيع | 6 | غير محددة، $h = 3$ | | رافدة على ثلاثة مساند | مضاعف + بسيط + بسيط | 4 | غير محددة، $h = 1$ | | رافدة على مسندين بسيطين أفقيين | بسيط + بسيط | 2 | غير مستقرة (تنزلق أفقيا) | | إطار (portique) | مضاعف + بسيط | 3 | محدد سكونيا |

كل تمارين البكالوريا في الانحناء البسيط والأنظمة المثلثية تخص منشآت محددة سكونيا خارجيا. وللأنظمة المثلثية شرط داخلي إضافي $b = 2n - 3$ (b عدد القضبان و n عدد العقد) يُدرس في درس الأنظمة المثلثية.

مثال: تحديد ردود الأفعال وعددها

رافدة AB أفقية، طرفها A مفصلي على عمود (مسند مضاعف)، وطرفها B يرتكز على بكرات فوق سطح مائل بزاوية $30°$ عن الأفقي.

• عند A: مجهولان $H_A$ و $V_A$.
• عند B: مجهول واحد $R_B$ عمودي على السطح المائل، أي يصنع $30°$ مع الشاقول؛ مركبتاه $R_B\sin 30°$ أفقيا و $R_B\cos 30°$ شاقوليا، لكنه يبقى مجهولا واحدا.
• إذن $r = 3$: الرافدة محددة سكونيا. لاحظ أن $R_B$ يملك مركبة أفقية، فـ $H_A$ لا ينعدم حتى لو كانت كل الحمولات شاقولية.

ملاحظة للامتحان

• عند وصف المسند في الإجابة اذكر نوعه وعدد مجاهيله وارسم ردود أفعاله: هذه نقطة سهلة في سلم التنقيط.
• أخطاء شائعة: إعطاء المسند البسيط مركبة أفقية؛ نسيان العزم $M_A$ في الترصيع؛ رسم رد فعل المسند البسيط شاقوليا بينما سطح الارتكاز مائل أو شاقولي؛ الخلط بين «محدد سكونيا» و «متوازن».

5. معادلات التوازن وحساب ردود الأفعال

مبدأ التوازن

جسم صلب ساكن تحت تأثير قوى مستوية يكون في توازن إذا تحقق شرطان: لا ينتقل (مجموع القوى معدوم) ولا يدور (مجموع العزوم حول أي نقطة معدوم). بالإسقاط على محورين نحصل على المعادلات الثلاث للتوازن (principe fondamental de la statique):

$ \sum F_x = 0 $

$ \sum F_y = 0 $

$ \sum M_{/A} = 0 $

• القوى الأفقية: نحو اليمين موجبة. القوى الشاقولية: نحو الأعلى موجبة.
• العزوم: عكس عقارب الساعة موجب (نكتب الاصطلاح في أول الحل).
• النقطة A في معادلة العزوم اختيارية، لكن نختار مسندا فتختفي ردود أفعاله من المعادلة ويبقى مجهول واحد.
• ثلاث معادلات مستقلة فقط: ثلاثة مجاهيل على الأكثر، أي منشأ محدد سكونيا. وأي معادلة إضافية (مثل $\sum M_{/B} = 0$ بعد استعمال $\sum F_y = 0$) لا تعطي جديدا، لكنها تحقق الحساب.

الطريقة في ست خطوات

• عزل الجسم: نرسم المخطط الحر بالحمولات وردود الأفعال المفترضة والأبعاد.
• تحليل القوى المائلة إلى مركبتين، وتعويض الحمولات الموزعة بمحصلاتها.
• $\sum F_x = 0$ تعطي غالبا المركبة الأفقية $H_A$ مباشرة.
• $\sum M_{/A} = 0$ حول المسند المضاعف تعطي رد فعل المسند الآخر.
• $\sum F_y = 0$ تعطي $V_A$.
• التحقق بـ $\sum M_{/B} = 0$؛ وإذا لم تنعدم فهناك خطأ يجب البحث عنه قبل المتابعة.

> اختصار مفيد: إذا كانت الرافدة على مسندين والحمولات متناظرة بالنسبة لمنتصفها، فإن $V_A = V_B$ = نصف مجموع الحمولات.

مثال 1: رافدة على مسندين


رافدة AB طولها 6 m، مسند مضاعف في A ومسند بسيط في B، تحمل حمولة منتظمة $q = 8\ kN/m$ على كامل طولها وحمولة مركزة $P = 30\ kN$ على بعد 2 m من A. بالأحمر ردود الأفعال المفترضة $H_A$ و $V_A$ و $V_B$.

محصلة الحمولة الموزعة: $Q = 8 \times 6 = 48\ kN$ عند 3 m من A.

$\sum F_x = 0$: لا توجد قوة أفقية معطاة، فـ $H_A = 0$.

$\sum M_{/A} = 0$:

$ -30\times 2 - 48\times 3 + 6V_B = 0 $

$ V_B = 204/6 = 34\ kN $

$\sum F_y = 0$: $V_A + V_B - 30 - 48 = 0$، إذن $V_A = 78 - 34 = 44\ kN$.

التحقق $\sum M_{/B} = 0$:

$ -6V_A + 30\times 4 + 48\times 3 $

$ = -264 + 120 + 144 = 0 $

النتائج صحيحة: $V_A = 44\ kN$ و $V_B = 34\ kN$ نحو الأعلى. منطقيا، $V_A$ أكبر لأن الحمولة المركزة أقرب إلى A.

مثال 2: رافدة بظفر وقوة مائلة


رافدة ABC: مسند مضاعف في A، ومسند بسيط في B على بعد 5 m من A، وظفر BC طوله $1{,}5\ m$. تؤثر قوة $F = 20\ kN$ عند 2 m من A تصنع $60°$ مع الأفقي ومتجهة نحو اليمين والأسفل، وحمولة $P = 12\ kN$ شاقولية في الطرف C.

تحليل F: $F_x = 20\cos 60° = 10\ kN$ نحو اليمين، و $F_y = 20\sin 60° = 17{,}32\ kN$ نحو الأسفل.

$\sum F_x = 0$: $H_A + 10 = 0$، إذن $H_A = -10\ kN$: الإشارة السالبة تعني أن $H_A$ يساوي 10 kN نحو اليسار (عكس المفترض).

$\sum M_{/A} = 0$ (المركبة $F_x$ يمر حاملها بـ A فلا عزم لها):

$ -17{,}32\times 2 - 12\times 6{,}5 + 5V_B = 0 $

$ V_B = 112{,}64/5 = 22{,}53\ kN $

$\sum F_y = 0$: $V_A = 17{,}32 + 12 - 22{,}53 = 6{,}79\ kN$.

التحقق $\sum M_{/B} = 0$:

$ -5V_A + 17{,}32\times 3 - 12\times 1{,}5 $

$ = -33{,}96 + 51{,}96 - 18 = 0 $

لاحظ أن الحمولة P على الظفر تخفف $V_A$: فهي تدير الرافدة حول B وترفع طرفها A. لو كانت P أكبر لأصبح $V_A$ سالبا، أي أن المسند A يجب أن يمسك الرافدة نحو الأسفل.

مثال 3: ظفر مرصع


ظفر AB طوله $2{,}5\ m$ مرصع في الجدار عند A، يحمل $q = 6\ kN/m$ على كامل طوله و $P = 10\ kN$ في طرفه الحر B. ردود الأفعال: $H_A$ و $V_A$ والعزم $M_A$ المرسوم عكس عقارب الساعة.

• محصلة q: $Q = 6 \times 2{,}5 = 15\ kN$ عند $1{,}25\ m$ من A.
• $\sum F_x = 0$: $H_A = 0$.
• $\sum F_y = 0$: $V_A = 15 + 10 = 25\ kN$ نحو الأعلى.
• $\sum M_{/A} = 0$:

$ M_A - 15\times 1{,}25 - 10\times 2{,}5 = 0 $

$ M_A = 18{,}75 + 25 = 43{,}75\ kN\cdot m $

$M_A$ موجب: عكس عقارب الساعة كما افترضنا. التحقق حول B: $43{,}75 - 25 \times 2{,}5 + 15 \times 1{,}25 = 43{,}75 - 62{,}5 + 18{,}75 = 0$.

في الظفر لا نحتاج إلى معادلة نحل فيها مجهولين معا: كل معادلة تعطي مجهولا واحدا مباشرة.

اصطلاحان للعزم لا يجب الخلط بينهما

العزم $M_A = +43{,}75\ kN\cdot m$ الذي وجدناه هو عزم رد فعل في معادلة توازن، وإشارته الموجبة تعني فقط أنه عكس عقارب الساعة كما افترضناه. أما في درس الانحناء البسيط فنحسب عزم الانحناء Mf في مقطع بمجموع عزوم القوى الواقعة يسار المقطع حول هذا المقطع، ويكون Mf موجبا إذا انحنت الرافدة مقعرة نحو الأعلى (تُشد أليافها السفلى)، وسالبا إذا تقعرت نحو الأسفل (تُشد أليافها العليا).

| | العزم في معادلة التوازن | عزم الانحناء Mf | |---|---|---| | الاستعمال | حساب ردود الأفعال ($\sum M = 0$) | مخطط Mf وحساب الإجهادات | | الموجب | الدوران عكس عقارب الساعة | تقعر الرافدة نحو الأعلى | | الظفر المدروس، عند A | $M_A = +43{,}75\ kN\cdot m$ | $M_f(A) = -43{,}75\ kN\cdot m$ |

نفس الشدة وإشارتان مختلفتان، ولا تناقض: الظفر ينحني مقعرا نحو الأسفل (أليافه العليا مشدودة)، فعزم انحنائه عند الترصيع سالب، وهي النتيجة المعروفة $M_f = -P\cdot L$ لظفر يحمل P في طرفه. لا تنقل إشارة $M_A$ إلى مخطط Mf دون أن تطبق اصطلاح Mf.

تقديم النتائج

تُلخص النتائج في جدول مع الاتجاه الحقيقي:

| المثال | $H_A$ | $V_A$ | رد الفعل الآخر | |---|---|---|---| | 1 | 0 | $44\ kN$ ↑ | $V_B = 34\ kN$ ↑ | | 2 | $10\ kN$ ← | $6{,}79\ kN$ ↑ | $V_B = 22{,}53\ kN$ ↑ | | 3 | 0 | $25\ kN$ ↑ | $M_A = 43{,}75\ kN\cdot m$ عكس عقارب الساعة |

أخطاء شائعة

• نسيان إشارة رد الفعل السالب أو كتابة القيمة سالبة دون ذكر الاتجاه الحقيقي.
• أخذ ذراع الحمولة الموزعة إلى نهايتها بدل مركز ثقلها.
• عدّ ذراع الحمولة على الظفر حتى المسند B بدل المسند A في معادلة العزوم حول A ($6{,}5\ m$ لا $1{,}5\ m$).
• نسيان المركبة الأفقية للقوة المائلة في $\sum F_x$، أو إعطاؤها عزما بينما يمر حاملها بالنقطة.
• عدم التحقق: معادلة التحقق تستغرق دقيقة وتحمي كل الأسئلة التي تليها.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

في البكالوريا لا يأتي علم السكون سؤالا مستقلا، بل خطوة أولى في تمرين عن رافدة أو نظام مثلثي أو إطار. التمارين الثلاثة الآتية مبنية على عناصر حقيقية من بناية، وحلولها مكتوبة كما يُنتظر في ورقة الإجابة. الاصطلاح في كل الحلول: القوى نحو اليمين ونحو الأعلى موجبة، والعزوم عكس عقارب الساعة موجبة (اصطلاح معادلات التوازن فقط؛ أما عزم الانحناء Mf فيُحسب لاحقا باصطلاحه الخاص: موجب إذا تقعرت الرافدة نحو الأعلى).

التمرين 1: رافدة شرفة معلقة بشداد

الوصف: شرفة خفيفة لمدخل بناية تحملها رافدة فولاذية AB أفقية طولها 3 m، مثبتة في الجدار عند A بمفصل (مسند مضاعف)، ومعلقة في طرفها B بقضيب مائل BC مفصلي الطرفين، مثبت في الجدار عند C على ارتفاع $2{,}25\ m$ فوق A.


يبيّن الشكل الرافدة AB مع الحمولة الموزعة $q = 4\ kN/m$ (الوزن الذاتي والتغطية) على كامل طولها، وحمولة مركزة $P = 6\ kN$ في B، والقضيب BC بزاوية $\alpha$ مع الرافدة.

المطلوب:

• حدد ردود الأفعال المجهولة وتحقق أن المنشأ محدد سكونيا.
• احسب طول القضيب BC والزاوية $\alpha$.
• احسب الجهد T في القضيب BC وردي الفعل $H_A$ و $V_A$.
• تحقق من النتائج، ثم احسب شدة رد الفعل الكلي في A.
• حدد طبيعة الجهد في BC وفي AB.

الحل:

1. في A مفصل: مجهولان $H_A$ و $V_A$. القضيب BC مفصلي الطرفين ولا يحمل إلا في طرفيه، فهو يعطي قوة واحدة T على امتداد محوره: مجهول واحد. المجموع $r = 3$: المنشأ محدد سكونيا.

2. المثلث ABC قائم في A:

$ BC = \sqrt{3^2 + 2{,}25^2} = 3{,}75\ m $

$\tan\alpha = 2{,}25/3 = 0{,}75$ إذن $\alpha = 36{,}87°$، مع $\sin\alpha = 0{,}6$ و $\cos\alpha = 0{,}8$.

3. نفترض القضيب مشدودا: يسحب B نحو C، فمركبتا T في B هما $0{,}8T$ نحو اليسار (نحو الجدار) و $0{,}6T$ نحو الأعلى. محصلة q: $Q = 4 \times 3 = 12\ kN$ عند $1{,}5\ m$ من A.

$\sum M_{/A} = 0$ (المركبة الأفقية لـ T تمر بمحور AB فلا عزم لها حول A):

$ 0{,}6T\times 3 - 12\times 1{,}5 - 6\times 3 = 0 $

$ 1{,}8T = 36 \Rightarrow T = 20\ kN $

$\sum F_x = 0$: $H_A - 0{,}8 \times 20 = 0$ إذن $H_A = 16\ kN$ (نحو اليمين: الجدار يدفع الرافدة).

$\sum F_y = 0$: $V_A + 0{,}6 \times 20 - 12 - 6 = 0$ إذن $V_A = 6\ kN$ نحو الأعلى.

4. التحقق حول B (حاملا T و P يمران بـ B):

$ -V_A\times 3 + 12\times 1{,}5 = -18 + 18 = 0 $

رد الفعل الكلي في A:

$ R_A = \sqrt{16^2 + 6^2} = 17{,}09\ kN $

5. T موجب بالافتراض «مشدود»، فـ BC مشدود بـ 20 kN (لهذا يمكن أن يكون قضيبا رفيعا أو كابلا). والرافدة AB تتلقى في A دفعا 16 kN نحو اليمين وفي B سحبا أفقيا 16 kN نحو الجدار: فهي مضغوطة بـ 16 kN إضافة إلى انحنائها.

التمرين 2: رافدة تحمل جدار جملون

الوصف: رافدة AB من الخرسانة المسلحة طولها 6 m، على مسند مضاعف في A ومسند بسيط في B، تحمل جدارا مائل الأعلى (جملون) يعطي حمولة مثلثية تنعدم عند A وتبلغ $9\ kN/m$ عند B، وعمودا صغيرا ينقل $P = 15\ kN$ على بعد $1{,}5\ m$ من A، وعزما مركزا $C = 12\ kN\cdot m$ عكس عقارب الساعة عند منتصفها (عنصر مثبت جانبيا).


المطلوب:

• احسب محصلة الحمولة المثلثية وموضعها.
• احسب ردود الأفعال في A و B وتحقق.
• أعد حساب ردي الفعل إذا انعكس اتجاه العزم C، وعلّق.

الحل:

1. $Q = 9 \times 6/2 = 27\ kN$، على بعد $2 \times 6/3 = 4\ m$ من A (حيث تنعدم الحمولة).

2. $\sum F_x = 0$: $H_A = 0$.

$\sum M_{/A} = 0$ (العزم المركز يدخل بقيمته وإشارته دون ذراع):

$ -15\times 1{,}5 - 27\times 4 + 12 + 6V_B = 0 $

$ 6V_B = 118{,}5 \Rightarrow V_B = 19{,}75\ kN $

$\sum F_y = 0$: $V_A = 15 + 27 - 19{,}75 = 22{,}25\ kN$.

التحقق حول B:

$ -6V_A + 15\times 4{,}5 + 27\times 2 + 12 $

$ = -133{,}5 + 67{,}5 + 54 + 12 = 0 $

3. إذا أصبح C مع عقارب الساعة يدخل بالإشارة $-12$:

$ 6V_B = 22{,}5 + 108 + 12 = 142{,}5 $

فـ $V_B = 23{,}75\ kN$ و $V_A = 42 - 23{,}75 = 18{,}25\ kN$.

تعليق: مجموع ردي الفعل لم يتغير ($42\ kN$ في الحالتين) لأن المزدوجة محصلتها معدومة؛ العزم المركز ينقل فقط $12/6 = 2\ kN$ من مسند إلى آخر.

التمرين 3: إطار مستودع تحت الرياح

الوصف: إطار (portique) ABCD لمستودع: عمودان AB و DC ارتفاعهما 4 m، وعارضة BC طولها 6 m. القاعدة A مفصلية (مسند مضاعف) والقاعدة D على مسند بسيط. تحمل العارضة حمولة السقف $q = 5\ kN/m$، وتؤثر الرياح بقوة أفقية $W = 6\ kN$ نحو اليمين في العقدة B.


المطلوب:

• تحقق أن الإطار محدد سكونيا.
• احسب ردود الأفعال $H_A$ و $V_A$ و $V_D$ وتحقق.
• ما قيمة قوة الرياح التي تجعل $V_A$ ينعدم؟

الحل:

1. A مضاعف (مجهولان) و D بسيط على سطح أفقي (مجهول شاقولي): $r = 3$، والإطار محدد سكونيا.

2. محصلة q: $Q = 5 \times 6 = 30\ kN$ عند 3 m من A أفقيا. ذراع W حول A هو الارتفاع 4 m، وهي نحو اليمين فوق A فتدير مع عقارب الساعة.

$\sum F_x = 0$: $H_A + 6 = 0$ إذن $H_A = -6\ kN$، أي 6 kN نحو اليسار.

$\sum M_{/A} = 0$:

$ -30\times 3 - 6\times 4 + 6V_D = 0 $

$ V_D = 114/6 = 19\ kN $

$\sum F_y = 0$: $V_A = 30 - 19 = 11\ kN$ نحو الأعلى.

التحقق حول D (عزم W حول D: ذراعه أيضا 4 m):

$ -6V_A + 30\times 3 - 6\times 4 $

$ = -66 + 90 - 24 = 0 $

3. من معادلة العزوم حول A في الحالة العامة: $V_D = (90 + 4W)/6$، و $V_A = 30 - V_D$. ينعدم $V_A$ إذا كان $V_D = 30$، أي:

$ 90 + 4W = 180 \Rightarrow W = 22{,}5\ kN $

بعد هذه القيمة يصبح $V_A$ سالبا: الرياح تحاول رفع العمود AB، فيجب أن يمسكه الأساس نحو الأسفل (تثبيت الإطار بالأساس).

خلاصة المنهجية

| الخطوة | ما تكتبه | |---|---| | 1 | الاصطلاح، ونوع كل مسند وعدد مجاهيله، و $r = 3$ | | 2 | محصلات الحمولات الموزعة ومركبات القوى المائلة | | 3 | $\sum F_x = 0$ ثم $\sum M_{/A} = 0$ ثم $\sum F_y = 0$ | | 4 | التحقق بـ $\sum M_{/B} = 0$ | | 5 | جدول النتائج بالقيم الموجبة والاتجاهات الحقيقية والوحدات |