مكتسبات قبلية 2: الخصائص الهندسية للمقاطع

3. عزم العطالة للمقاطع البسيطة

التعريف والمعنى الفيزيائي

عزم العطالة (moment d'inertie)، ويسمى أيضا العزم التربيعي (moment quadratique)، لمقطع بالنسبة إلى محور Gz يمر بمركز ثقله هو مجموع حاصل ضرب كل مساحة صغيرة $\Delta S$ في مربع بعدها y عن المحور:

$ I_{Gz} = \sum y^2 \cdot \Delta S $

ما يجب فهمه من هذا التعريف:

• وحدته $cm^4$ (مساحة × مربع طول) أو $mm^4$.
• هو دائما موجب، لأن $y^2$ موجب سواء كانت المساحة فوق المحور أو تحته.
• المادة البعيدة عن المحور تساهم كثيرا (بمربع بعدها)، والمادة القريبة منه تساهم قليلا. لهذا السبب تُصنع المجنبات على شكل I: نضع أكبر قدر من الفولاذ في الجناحين بعيدا عن المحور، وروحا رقيقة تربطهما.
• كلما كبر $I_{Gz}$ صغر الإجهاد في الانحناء ($\sigma = M_f \cdot y / I_{Gz}$) وصغر السهم (الانتقال الشاقولي للرافدة).

صيغ المقاطع البسيطة

| المقطع | $I_{Gz}$ (المحور الأفقي) | $I_{Gy}$ (المحور الشاقولي) | |---|---|---| | مستطيل $b \times h$ | $b h^3/12$ | $h b^3/12$ | | مربع ضلعه a | $a^4/12$ | $a^4/12$ | | دائرة قطرها d | $\pi d^4/64$ | $\pi d^4/64$ | | أنبوب (D، d) | $\pi (D^4 - d^4)/64$ | نفسه | | مستطيل مجوف متناظر | $(B H^3 - b h^3)/12$ | $(H B^3 - h b^3)/12$ | | مثلث (محور موازٍ للقاعدة) | $b h^3/36$ | — |

في المستطيل، البعد المرفوع إلى القوة 3 هو البعد العمودي على المحور: لـ $I_{Gz}$ (محور أفقي) هو الارتفاع h. ويُستعمل أحيانا عزم العطالة القطبي $I_0 = I_{Gy} + I_{Gz}$، وهو للدائرة $\pi d^4/32$ (يخص الفتل، لا الانحناء).

> قاعدة الطرح: يجوز طرح عزم عطالة الفراغ من عزم عطالة الشكل الممتلئ مباشرة فقط إذا كان للفراغ والشكل الممتلئ مركز الثقل نفسه (أو على الأقل المحور نفسه). في غير ذلك نحتاج نظرية هويغنز (الجزء الرابع).

الوحدات

$ 1\ cm^4 = 10^4\ mm^4 $

$ 1\ m^4 = 10^8\ cm^4 $

الخطأ الكلاسيكي هو القسمة على 100 بدل $10^4$ عند تحويل $mm^4$ إلى $cm^4$.

أثر وضعية المقطع


يبين الشكل رافدة مقطعها $25 \times 40\ cm$ في وضعيتين، والحمولات شاقولية فالانحناء حول المحور الأفقي Gz:

• الوضعية A (الضلع 40 شاقولي): $I_{Gz} = 25 \cdot 40^3/12 = 133\,333\ cm^4$.
• الوضعية B (الضلع 40 أفقي): $I_{Gz} = 40 \cdot 25^3/12 = 52\,083\ cm^4$.

النسبة بينهما $133\,333/52\,083 = 2{,}56 = (40/25)^2$. المادة نفسها والمساحة نفسها ($1000\ cm^2$) لكن الوضعية A أصلب بمرتين ونصف تقريبا.

> نتيجة: تُوضع الرافدة المستطيلة دائما وضلعها الأكبر في اتجاه الحمولات (شاقوليا)، ويُوضع المجنب IPE وروحه شاقولية.

مثال محلول 1: مستطيل مجوف

مقطع صندوقي أبعاده الخارجية $B \times H = 15 \times 30\ cm$ وسمك جداره $1\ cm$، فالفراغ $b \times h = 13 \times 28\ cm$. الشكلان لهما مركز الثقل نفسه، فنطرح مباشرة:

$ I_{Gz} = \frac{15 \cdot 30^3 - 13 \cdot 28^3}{12} $

$ I_{Gz} = \frac{405\,000 - 285\,376}{12} $

$ I_{Gz} = 9968{,}7\ cm^4 $

مقارنة مع المقطع الممتلئ $15 \times 30$: $I = 15 \cdot 30^3/12 = 33\,750\ cm^4$. المقطع المجوف مساحته $450 - 364 = 86\ cm^2$ فقط (19 % من الممتلئ) لكنه يحتفظ بـ 30 % تقريبا من عزم العطالة: المادة التي حذفناها كانت قريبة من المحور ولم تكن تساهم كثيرا.

مثال محلول 2: أنبوب مقارنة بقضيب ممتلئ

الأنبوب $D = 60\ mm$، $d = 52\ mm$ من الجزء الأول (مساحته $703{,}7\ mm^2$):

$ I = \frac{\pi (60^4 - 52^4)}{64} $

$ I = \frac{\pi \cdot 5\,648\,384}{64} $

$ I = 277\,264\ mm^4 $

أي $I = 27{,}73\ cm^4$. قضيب ممتلئ له المساحة نفسها قطره $d = \sqrt{4 \cdot 703{,}7/\pi} = 29{,}93\ mm$، وعزم عطالته $\pi \cdot 29{,}93^4/64 = 39\,408\ mm^4$ فقط، أي $3{,}94\ cm^4$. بالكمية نفسها من الفولاذ يعطي الأنبوب عزم عطالة أكبر بنحو 7 مرات.

مثال محلول 3: المحوران الرئيسيان لمستطيل

مقطع عمود $b \times h = 20 \times 30\ cm$:

$ I_{Gz} = \frac{20 \cdot 30^3}{12} = 45\,000\ cm^4 $

$ I_{Gy} = \frac{30 \cdot 20^3}{12} = 20\,000\ cm^4 $

العمود المضغوط يتحدب (flambement) حول المحور الذي عزم عطالته أصغر، أي هنا حول Gy (في اتجاه الضلع الصغير). لذلك تستعمل الخرسانة المسلحة الضلع الأصغر a في حساب النحافة.

أخطاء شائعة

• تبديل b و h: كتابة $h b^3/12$ لـ $I_{Gz}$.
• نسيان القسمة على 12، أو استعمال 36 (المثلث) لمستطيل.
• استعمال نصف القطر في $\pi d^4/64$، أو كتابة $\pi d^4/32$ (القطبي) لانحناء دائرة.
• طرح عزم عطالة فراغ ليس له المحور نفسه دون نقله بنظرية هويغنز.
• تحويل $mm^4$ إلى $cm^4$ بالقسمة على 100.

4. نظرية هويغنز، نصف قطر الدوران ومعامل المقاومة

نظرية هويغنز (Huygens)

صيغ الجزء الثالث تعطي عزم عطالة شكل بسيط حول محور يمر بمركز ثقله هو. لكن في مقطع مركب (T، I، U…) لا يمر المحور Gz للمقطع كله بمراكز ثقل الأجزاء. نظرية هويغنز (وتسمى أيضا نظرية شتاينر، théorème de Huygens) تنقل عزم العطالة من محور إلى محور موازٍ له:

$ I_{\Delta} = I_G + S \cdot d^2 $

حيث $I_G$ عزم عطالة الشكل حول محوره المار بمركز ثقله، و S مساحته، و d البعد بين هذا المحور والمحور Δ الموازي له.

> نتيجة: عزم العطالة حول المحور المار بمركز الثقل هو أصغر عزم عطالة بين كل المحاور الموازية له، لأن الحد $S \cdot d^2$ موجب.

ولمقطع مركب من أجزاء:

$ I_{Gz} = \sum \left( I_{Gi} + S_i \cdot d_i^2 \right) $

مع $d_i = y_i - y_G$، البعد بين مركز ثقل الجزء i ومركز ثقل المقطع كله. إشارة $d_i$ لا تهم لأنه يُربَّع.

مثال محلول 1: عزم عطالة المقطع T


يبين الشكل المقطع T نفسه من الجزء الثاني ($y_G = 16\ cm$)، مع محور كل جزء (z1 و z2) والبعدين $d_1$ و $d_2$ بينهما وبين المحور Gz، والبعدين v و v' إلى الحافتين.

| الجزء | $S_i\ (cm^2)$ | $y_i\ (cm)$ | $d_i\ (cm)$ | $I_{Gi}\ (cm^4)$ | $S_i d_i^2\ (cm^4)$ | |---|---|---|---|---|---| | 1 ($20 \times 4$) | 80 | 22 | 6 | $20 \cdot 4^3/12 = 106{,}67$ | $80 \cdot 36 = 2880$ | | 2 ($4 \times 20$) | 80 | 10 | −6 | $4 \cdot 20^3/12 = 2666{,}67$ | 2880 | | المجموع | — | — | — | 2773,33 | 5760 |

$ I_{Gz} = 2773{,}33 + 5760 $

$ I_{Gz} = 8533{,}3\ cm^4 $

لاحظ أن حدود النقل $S_i d_i^2$ تمثل هنا ثلثي النتيجة: نسيانها خطأ فادح.

تحقق بطريق ثان: نحسب عزم العطالة حول المحور السفلي Ox ثم ننقله إلى G بنظرية هويغنز معكوسة:

$ I_{Ox} = \sum \left( I_{Gi} + S_i \cdot y_i^2 \right) $

الجزء 1: $106{,}67 + 80 \cdot 22^2 = 38\,826{,}67\ cm^4$، والجزء 2: $2666{,}67 + 80 \cdot 10^2 = 10\,666{,}67\ cm^4$، فالمجموع:

$ I_{Ox} = 49\,493{,}3\ cm^4 $

$ I_{Gz} = I_{Ox} - S \cdot y_G^2 $

$ I_{Gz} = 49\,493{,}3 - 160 \cdot 16^2 $

$ I_{Gz} = 49\,493{,}3 - 40\,960 $

$ I_{Gz} = 8533{,}3\ cm^4 $

النتيجتان متطابقتان.

نصف قطر الدوران

نصف قطر الدوران (rayon de giration) هو الطول i الذي إذا جمعنا عليه كل مساحة المقطع أعطت عزم العطالة نفسه:

$ i = \sqrt{\frac{I}{S}} $

وحدته cm. صيغ مفيدة: للمستطيل حول Gz $i = h/\sqrt{12} = 0{,}289 \cdot h$، وللدائرة $i = d/4$، وللأنبوب $i = \sqrt{D^2 + d^2}/4$.

للمقطع T: $i = \sqrt{8533{,}3/160} = \sqrt{53{,}33} = 7{,}30\ cm$.

أين يُستعمل؟ في الأعمدة المضغوطة: النحافة (élancement) هي $\lambda = l_f / i$، ونأخذ دائما أصغر نصف قطر دوران $i_{min}$ لأن العمود يتحدب في الاتجاه الأضعف. لعمود مستطيل $a \times b$ مع $a \le b$:

$ \lambda = \frac{l_f}{a/\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot l_f}{a} $

مثال: عمود $25 \times 30\ cm$، طوله الحر $l_0 = 3{,}00\ m$ وطول تحدبه $l_f = 0{,}7 \cdot l_0 = 2{,}10\ m$. إذن $i_{min} = 25/\sqrt{12} = 7{,}22\ cm$ و $\lambda = 210/7{,}22 = 29{,}1$. هذه هي الصيغة التي سيستعملها درس العمود في الخرسانة المسلحة.

معامل المقاومة

في الانحناء يكون الإجهاد أكبر ما يمكن في الليف الأبعد عن المحور الحيادي Gz. نسمي v بعد الليف الأعلى و v' بعد الليف الأسفل عن Gz. معامل المقاومة (module de résistance أو module de flexion) هو:

$ W = \frac{I_{Gz}}{v} $

ووحدته $cm^3$. به يُكتب أكبر إجهاد مباشرة $\sigma_{max} = M_f / W$، وهو المقدار الذي تعطيه جداول المجنبات باسم $W_x$.

| المقطع | v | W | |---|---|---| | مستطيل $b \times h$ | $h/2$ | $b h^2/6$ | | دائرة قطرها d | $d/2$ | $\pi d^3/32$ | | IPE أو IPN | $h/2$ | $I_x/(h/2)$ | | مقطع غير متناظر (T) | v و v' مختلفان | $W_{sup} = I/v$ و $W_{inf} = I/v'$ |

للمقطع T: $v = 8\ cm$ و $v' = 16\ cm$:

$ W_{sup} = \frac{8533{,}3}{8} = 1066{,}7\ cm^3 $

$ W_{inf} = \frac{8533{,}3}{16} = 533{,}3\ cm^3 $


يبين الشكل توزيع الإجهاد على المقطع T تحت عزم انحناء موجب $M_f = 20\ kN \cdot m$ (رافدة على مسندين): الإجهاد معدوم على المحور الحيادي Gz ويتغير خطيا، ضغط في الأعلى وشد في الأسفل:

$ \sigma_c = \frac{20 \cdot 10^6}{1066{,}7 \cdot 10^3} $

$ \sigma_c = 18{,}75\ MPa $

$ \sigma_t = \frac{20 \cdot 10^6}{533{,}3 \cdot 10^3} $

$ \sigma_t = 37{,}5\ MPa $

(العزم بالـ $N \cdot mm$ و W بالـ $mm^3$، فالإجهاد بالـ MPa.)

الإجهاد الأكبر يقع في الليف الأبعد ($v' = 16\ cm$)، أي حيث W أصغر.

أخطاء شائعة

• نسيان الحد $I_{Gi}$ (عزم عطالة الجزء حول محوره) والاكتفاء بـ $S_i d_i^2$، أو العكس.
• قياس $d_i$ من الحافة السفلى بدل قياسه من G.
• كتابة $W = I/h$ بدل $W = I/(h/2)$ لمقطع متناظر.
• طرح معاملات المقاومة: لمستطيل مجوف $15 \times 30$ بسمك $1\ cm$ نجد $W = 9968{,}7/15 = 664{,}6\ cm^3$، أما $15 \cdot 30^2/6 - 13 \cdot 28^2/6 = 551{,}3\ cm^3$ فخطأ. نطرح عزوم العطالة (المحور نفسه) ثم نقسم على v، ولا نطرح W أبدا.
• حساب $i = I/S$ دون الجذر.

> ملاحظة للامتحان: في مقطع غير متناظر يُسأل غالبا عن الإجهاد في الليفين؛ احسب v و v' أولا، ثم $\sigma = M_f \cdot v / I$ لكل ليف.

5. المجنبات الفولاذية القياسية وقراءة جداولها

ما هي المجنبات؟

المجنبات (profilés laminés) قطع فولاذية طويلة تُصنع بالدرفلة بمقاطع موحدة الأبعاد، تُختار من جداول (كتالوجات) بدل حساب مقطعها في كل مرة. أهمها في مواضيع البكالوريا:

| المجنب | الشكل | الاستعمال الغالب | |---|---|---| | IPE | I بأجنحة متوازية | الروافد المعرضة للانحناء | | IPN | I بأجنحة مائلة (ميل الوجه الداخلي 14 %) | الروافد (مواضيع قديمة) | | HEA / HEB | H بأجنحة عريضة | الأعمدة الفولاذية | | UPN (أو UAP) | U | العوارض الثانوية، الدرج المعدني | | L (cornière) | زاوية متساوية أو غير متساوية الجناحين | قضبان الأنظمة المثلثية (مفردة أو مزدوجة) | | أنبوب دائري أو مربع أو مستطيل | مجوف | قضبان الأنظمة المثلثية، الأعمدة |

قراءة التسمية: في IPE 200 العدد 200 هو الارتفاع h بالمليمتر. في L50×50×5 العددان الأولان طولا الجناحين والثالث السمك، كلها بالمليمتر. والأنبوب يُسمى بقطره الخارجي وسمكه، مثل $\varnothing 60 \times 4$.

مقطع IPE ورموزه


يبين الشكل مقطع IPE 200 مرسوما بأبعاده الحقيقية: الارتفاع h، عرض الجناح b، سمك الروح a (épaisseur d'âme)، سمك الجناح e (épaisseur d'aile)، ونصف قطر الاستدارة r بين الروح والجناح. المحور القوي x-x' أفقي (هو Gz في دروس الانحناء) والمحور الضعيف y-y' شاقولي. تنبيه: بعض الجداول تكتب سمك الروح e وسمك الجناح e' أو تستعمل $t_w$ و $t_f$؛ اقرأ رأس الجدول دائما.


يبين هذا الشكل الزاوية L مع بعد مركز ثقلها d عن الوجه الخارجي، والمجنب U، والأنبوب الدائري (القطر D والسمك t)، وزاويتين مزدوجتين (2L، cornières jumelées) ظهرا لظهر مع صفيحة الوصل (gousset) بينهما، وهو المقطع المعتاد لقضبان الجملونات.

جدول المجنبات IPE (مقتطف)

الأبعاد بالـ mm، والكتلة P بالـ kg/m:

| المجنب | h | b | a | e | $S\ (cm^2)$ | P | |---|---|---|---|---|---|---| | IPE 80 | 80 | 46 | 3,8 | 5,2 | 7,64 | 6,0 | | IPE 100 | 100 | 55 | 4,1 | 5,7 | 10,3 | 8,1 | | IPE 120 | 120 | 64 | 4,4 | 6,3 | 13,2 | 10,4 | | IPE 140 | 140 | 73 | 4,7 | 6,9 | 16,4 | 12,9 | | IPE 160 | 160 | 82 | 5,0 | 7,4 | 20,1 | 15,8 | | IPE 180 | 180 | 91 | 5,3 | 8,0 | 23,9 | 18,8 | | IPE 200 | 200 | 100 | 5,6 | 8,5 | 28,5 | 22,4 | | IPE 220 | 220 | 110 | 5,9 | 9,2 | 33,4 | 26,2 | | IPE 240 | 240 | 120 | 6,2 | 9,8 | 39,1 | 30,7 | | IPE 270 | 270 | 135 | 6,6 | 10,2 | 45,9 | 36,1 | | IPE 300 | 300 | 150 | 7,1 | 10,7 | 53,8 | 42,2 |

الخصائص الهندسية ($I$ بالـ $cm^4$، $W$ بالـ $cm^3$، $i$ بالـ cm):

| المجنب | $I_x$ | $W_x$ | $i_x$ | $I_y$ | $W_y$ | $i_y$ | |---|---|---|---|---|---|---| | IPE 80 | 80,1 | 20,0 | 3,24 | 8,49 | 3,69 | 1,05 | | IPE 100 | 171 | 34,2 | 4,07 | 15,9 | 5,79 | 1,24 | | IPE 120 | 318 | 53,0 | 4,90 | 27,7 | 8,65 | 1,45 | | IPE 140 | 541 | 77,3 | 5,74 | 44,9 | 12,3 | 1,65 | | IPE 160 | 869 | 109 | 6,58 | 68,3 | 16,7 | 1,84 | | IPE 180 | 1317 | 146 | 7,42 | 101 | 22,2 | 2,05 | | IPE 200 | 1943 | 194 | 8,26 | 142 | 28,5 | 2,24 | | IPE 220 | 2772 | 252 | 9,11 | 205 | 37,3 | 2,48 | | IPE 240 | 3892 | 324 | 9,97 | 284 | 47,3 | 2,69 | | IPE 270 | 5790 | 429 | 11,2 | 420 | 62,2 | 3,02 | | IPE 300 | 8356 | 557 | 12,5 | 604 | 80,5 | 3,35 |

تحقق من تماسك الجدول بما تعلمناه: لـ IPE 200، $W_x = I_x/(h/2) = 1943/10 = 194\ cm^3$ و $i_x = \sqrt{1943/28{,}5} = 8{,}26\ cm$. وتُلاحظ أن $I_x$ أكبر من $I_y$ بنحو 14 مرة: لذلك تُركَّب الرافدة وروحها شاقولية.

جداول IPN والزوايا L (مقتطف)

| المجنب | h (mm) | b (mm) | $S\ (cm^2)$ | $I_x\ (cm^4)$ | $W_x\ (cm^3)$ | |---|---|---|---|---|---| | IPN 160 | 160 | 74 | 22,8 | 935 | 117 | | IPN 180 | 180 | 82 | 27,9 | 1450 | 161 | | IPN 200 | 200 | 90 | 33,4 | 2140 | 214 | | IPN 220 | 220 | 98 | 39,5 | 3060 | 278 | | IPN 240 | 240 | 106 | 46,1 | 4250 | 354 | | IPN 260 | 260 | 113 | 53,3 | 5740 | 442 |

زوايا متساوية الجناحين (I و W حول المحور الموازي لجناح والمار بـ G، و d بعد G عن الوجه الخارجي):

| الزاوية | $S\ (cm^2)$ | $I\ (cm^4)$ | $W\ (cm^3)$ | d (cm) | i (cm) | |---|---|---|---|---|---| | L40×40×4 | 3,08 | 4,47 | 1,55 | 1,12 | 1,21 | | L45×45×4,5 | 3,90 | 7,14 | 2,20 | 1,25 | 1,35 | | L50×50×5 | 4,80 | 10,96 | 3,05 | 1,40 | 1,51 | | L60×60×6 | 6,91 | 22,79 | 5,29 | 1,69 | 1,82 | | L70×70×7 | 9,40 | 42,3 | 8,41 | 1,97 | 2,12 | | L80×80×8 | 12,27 | 72,25 | 12,6 | 2,26 | 2,43 |

في الزاوية $W = I/(a - d)$ لأن الليف الأبعد هو طرف الجناح الآخر: لـ L50×50×5 نجد $10{,}96/(5 - 1{,}40) = 3{,}04\ cm^3$.

مقارنة IPE و IPN: IPE 220 ($W_x = 252\ cm^3$، $26{,}2\ kg/m$) يكاد يعادل IPN 220 ($278\ cm^3$) بكتلة أقل، إذ كتلة IPN 220 هي $39{,}5 \times 0{,}785 = 31{,}0\ kg/m$. الأجنحة المتوازية العريضة تضع المادة بعيدا عن المحور بكفاءة أكبر، ولهذا حلت IPE محل IPN في البناء الحديث.

كيف نختار مجنبا من الجدول؟

• انحناء: $W_x \ge M_{f\,max} / \bar{\sigma}$، ونأخذ أصغر مجنب يحقق الشرط (الأخف هو الاقتصادي).
• شد أو انضغاط قصير (قضيب جملون): $S \ge N / \bar{\sigma}$. لزاويتين مزدوجتين والجدول لزاوية واحدة: $S_{1L} \ge N / (2 \bar{\sigma})$.
• عنصر مضغوط طويل: نحسب $\lambda = l_f / i_{min}$ بأصغر نصف قطر دوران ($i_y$ لـ IPE).

الوحدات: مع $M_f$ بالـ $kN \cdot m$ و $\bar{\sigma}$ بالـ MPa: $W\ (mm^3) = M_f \cdot 10^6 / \bar{\sigma}$ ثم نقسم على 1000 لنحصل على $cm^3$. ومع الوحدات القديمة: $1\ kN \cdot m = 10^4\ daN \cdot cm$ و $W\ (cm^3) = M_f\ (daN \cdot cm) / \bar{\sigma}\ (daN/cm^2)$؛ النتيجة نفسها.

مثال محلول 1: اختيار IPE لرافدة

رافدة فولاذية $M_{f\,max} = 35\ kN \cdot m$ و $\bar{\sigma} = 160\ MPa$.

$ W_x \ge \frac{35 \cdot 10^6}{160} = 218\,750\ mm^3 $

أي $W_x \ge 218{,}75\ cm^3$. في الجدول: IPE 200 ($194\ cm^3$) لا يكفي، و IPE 220 ($252\ cm^3$) يكفي، فنختار IPE 220. تحقق:

$ \sigma = \frac{35 \cdot 10^6}{252 \cdot 10^3} $

$ \sigma = 138{,}9\ MPa $

وهي أقل من $160\ MPa$. وبالوحدات القديمة ($\bar{\sigma} = 1600\ daN/cm^2$، $M_f = 35 \cdot 10^4\ daN \cdot cm$) نجد $W \ge 218{,}75\ cm^3$ أيضا. الوزن الذاتي للمجنب المختار: $26{,}2 \cdot 9{,}81 = 257\ N/m$، أي نحو $0{,}26\ kN/m$.

مثال محلول 2: زاويتان مزدوجتان لقضيب جملون

قضيب جملون مشدود $N = 120\ kN$، $\bar{\sigma} = 160\ MPa$، من زاويتين متساويتين ظهرا لظهر:

$ S_{1L} \ge \frac{120\,000}{2 \cdot 160} = 375\ mm^2 $

أي $3{,}75\ cm^2$ لكل زاوية، فنختار 2 L45×45×4,5 ($3{,}90\ cm^2$ للواحدة). تحقق: $\sigma = 120\,000/(2 \cdot 390) = 153{,}8\ MPa$، وهي أقل من $160\ MPa$.

مثال محلول 3: المحور الضعيف لمجنب مضغوط

دعامة من IPE 160 طول تحدبها $l_f = 2{,}50\ m$ في الاتجاهين:

• حول المحور القوي: $\lambda_x = 250/6{,}58 = 38{,}0$.
• حول المحور الضعيف: $\lambda_y = 250/1{,}84 = 135{,}9$.

النحافة المعتبرة هي الأكبر، $\lambda = 135{,}9$، أي التي تُحسب بـ $i_{min} = i_y$. المجنب IPE ممتاز في الانحناء لكنه ضعيف في التحدب حول y-y'، ولهذا تُفضل HEA/HEB أو الأنابيب للأعمدة.

أخطاء شائعة

• قراءة $W_y$ أو $I_x$ مكان $W_x$ عند اختيار مجنب لرافدة.
• اختيار مجنب W فيه أصغر بقليل من المطلوب: الشرط $W_x \ge$ القيمة المحسوبة إلزامي.
• استعمال مساحة زاوية واحدة لقضيب من زاويتين دون القسمة على 2، أو القسمة مرتين.
• الخلط بين الأبعاد بالـ mm والخصائص بالـ cm في الجدول نفسه.
• استعمال $i_x$ في حساب النحافة بدل $i_{min}$.

> ملاحظة للامتحان: الجدول يُعطى دائما مع الموضوع، وقد يحتوي أخطاء طباعة. تحقق سريعا بـ $W_x \approx I_x / (h/2)$ إذا بدت قيمة غريبة.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل في سؤال «الخصائص الهندسية»

في موضوع البكالوريا يأتي هذا السؤال غالبا جزءا من تمرين انحناء أو نظام مثلثي أو عمود: يُعطى مقطع مركب ويُطلب مركز ثقله وعزم عطالته ثم معامل مقاومته لاستعماله في شرط المقاومة. الخطوات الثابتة:

• محور مرجعي واضح وتجزئة إلى أجزاء مرقمة لا تتداخل.
• جدول: $S_i$، $y_i$، $S_i y_i$ ثم $y_G$.
• جدول هويغنز: $d_i$، $I_{Gi}$، $S_i d_i^2$ ثم $I_{Gz}$.
• v و v'، ثم $W = I/v_{max}$، و $i = \sqrt{I/S}$ إذا طُلب.
• التطبيق: إجهاد، أو اختيار مجنب، أو نحافة.

التمرين 1: رافدة خشبية مركبة على شكل T مقلوب

المعطيات: رافدة مظلة (pergola) مقطعها مكون من لوحين خشبيين ملصقين (الشكل، الأبعاد بالـ cm): لوح أفقي (1) أبعاده $30 \times 10$ في الأسفل، ولوح شاقولي (2) أبعاده $10 \times 30$ فوق منتصفه. الإجهاد المسموح للخشب في الشد والانضغاط $\bar{\sigma} = 10\ MPa$.


يبين الشكل المقطع مع الجزأين المرقمين والمعلم (O, y) على الحافة السفلى.

المطلوب: (1) المساحة و $y_G$؛ (2) v و v'؛ (3) $I_{Gz}$؛ (4) $W_{sup}$ و $W_{inf}$ ونصف قطر الدوران؛ (5) الإجهادين الأقصيين تحت $M_f = 30\ kN \cdot m$ (أعلى المقطع مضغوط) والتحقق؛ (6) أكبر عزم يتحمله المقطع.

الحل:

1. المقطع متناظر حول المحور الشاقولي، فـ G عليه.

| الجزء | $S_i\ (cm^2)$ | $y_i\ (cm)$ | $S_i y_i\ (cm^3)$ | |---|---|---|---| | 1 ($30 \times 10$) | 300 | 5 | 1500 | | 2 ($10 \times 30$) | 300 | $10 + 15 = 25$ | 7500 | | المجموع | 600 | — | 9000 |

$ y_G = \frac{9000}{600} = 15\ cm $

2. الارتفاع الكلي $40\ cm$: $v = 40 - 15 = 25\ cm$ (نحو الليف الأعلى) و $v' = 15\ cm$ (نحو الليف الأسفل).

3. بنظرية هويغنز:

| الجزء | $d_i\ (cm)$ | $I_{Gi}\ (cm^4)$ | $S_i d_i^2\ (cm^4)$ | |---|---|---|---| | 1 | $5 - 15 = -10$ | $30 \cdot 10^3/12 = 2500$ | $300 \cdot 100 = 30\,000$ | | 2 | $25 - 15 = 10$ | $10 \cdot 30^3/12 = 22\,500$ | $30\,000$ |

$ I_{Gz} = 25\,000 + 60\,000 $

$ I_{Gz} = 85\,000\ cm^4 $

4. معاملا المقاومة ونصف قطر الدوران:

$ W_{sup} = \frac{85\,000}{25} = 3400\ cm^3 $

$ W_{inf} = \frac{85\,000}{15} = 5666{,}7\ cm^3 $

$ i = \sqrt{\frac{85\,000}{600}} = 11{,}90\ cm $

5. مع $M_f = 30 \cdot 10^6\ N \cdot mm$ و W بالـ $mm^3$:

$ \sigma_{sup} = \frac{30 \cdot 10^6}{3400 \cdot 10^3} $

$ \sigma_{sup} = 8{,}82\ MPa $

$ \sigma_{inf} = \frac{30 \cdot 10^6}{5666{,}7 \cdot 10^3} $

$ \sigma_{inf} = 5{,}29\ MPa $

الليف الأعلى مضغوط بـ $8{,}82\ MPa$ والأسفل مشدود بـ $5{,}29\ MPa$؛ أكبرهما $8{,}82\ MPa$ وهو أقل من $\bar{\sigma} = 10\ MPa$: المقطع يقاوم.

6. أكبر عزم يتحدد بأصغر معامل مقاومة:

$ M_{adm} = \bar{\sigma} \cdot W_{sup} = 10 \cdot 3400 \cdot 10^3 $

$ M_{adm} = 34 \cdot 10^6\ N \cdot mm $

أي $M_{adm} = 34\ kN \cdot m$.

> ملاحظة: لو قُلب المقطع (اللوح العريض في الأعلى) لصار الليف الأبعد هو الأسفل ($v' = 25\ cm$) وبقي $W_{min} = 3400\ cm^3$: العزم المسموح نفسه، لكن الليف الأكثر إجهادا يصبح مشدودا بدل أن يكون مضغوطا.

التمرين 2: مجنب مركب ملحوم (PRS) ومقارنته بـ IPE

المعطيات: رافدة من مقطع I مركب ملحوم (profilé reconstitué soudé): جناحان $150 \times 10\ mm$ وروح $130 \times 6\ mm$ (الشكل). $\bar{\sigma} = 160\ MPa$، الكتلة الحجمية للفولاذ $7850\ kg/m^3$.


يبين الشكل المقطع المتناظر مع المحورين Gz و Gy وأبعاده بالمليمتر؛ الارتفاع الكلي $10 + 130 + 10 = 150\ mm$.

المطلوب: (1) S؛ (2) $I_{Gz}$ بطريقتين؛ (3) $W$؛ (4) $I_{Gy}$ ونصفا قطر الدوران؛ (5) العزم الأقصى المسموح؛ (6) المقارنة بـ IPE 200.

الحل:

1. $S = 2 \cdot 150 \cdot 10 + 130 \cdot 6 = 3000 + 780 = 3780\ mm^2 = 37{,}8\ cm^2$.

2. بهويغنز: G في المركز (تناظر مضاعف). لكل جناح: $I_{Gi} = 150 \cdot 10^3/12 = 12\,500\ mm^4$، $S = 1500\ mm^2$، $d = 65 + 5 = 70\ mm$:

$ S \cdot d^2 = 1500 \cdot 70^2 $

$ S \cdot d^2 = 7\,350\,000\ mm^4 $

فلكل جناح $I_{Gi} + S d^2 = 12\,500 + 7\,350\,000 = 7\,362\,500\ mm^4$. والروح ($d = 0$): $6 \cdot 130^3/12 = 1\,098\,500\ mm^4$. المجموع:

$ I_{Gz} = 14\,725\,000 + 1\,098\,500 $

$ I_{Gz} = 15\,823\,500\ mm^4 $

بالطرح: المستطيل المحيط $150 \times 150$ ناقص الفراغين الجانبيين، وهما معا مستطيل $144 \times 130$ له المحور نفسه:

$ I_{Gz} = \frac{150 \cdot 150^3 - 144 \cdot 130^3}{12} $

$ I_{Gz} = 42\,187\,500 - 26\,364\,000 $

النتيجة نفسها: $I_{Gz} = 15\,823\,500\ mm^4 = 1582{,}4\ cm^4$.

3. $v = 75\ mm$:

$ W = \frac{15\,823\,500}{75} $

$ W = 210\,980\ mm^3 $

أي $W = 211{,}0\ cm^3$.

4. حول المحور الشاقولي Gy تقع مراكز ثقل الأجزاء الثلاثة على المحور نفسه، فلا حاجة لحد النقل. كل جناح يساهم بـ $10 \cdot 150^3/12 = 2\,812\,500\ mm^4$ (البعد العمودي على Gy هو 150)، والروح بـ $130 \cdot 6^3/12 = 2340\ mm^4$:

$ I_{Gy} = 5\,625\,000 + 2340 $

$ I_{Gy} = 5\,627\,340\ mm^4 $

أي $562{,}7\ cm^4$. ونصفا قطر الدوران: $i_z = \sqrt{1582{,}4/37{,}8} = 6{,}47\ cm$ و $i_y = \sqrt{562{,}7/37{,}8} = 3{,}86\ cm$ (هو $i_{min}$).

5.

$ M_{adm} = 160 \cdot 210\,980 $

$ M_{adm} = 33{,}76 \cdot 10^6\ N \cdot mm $

أي $M_{adm} = 33{,}76\ kN \cdot m$.

6. الكتلة الخطية للـ PRS: $37{,}8 \cdot 10^{-4} \cdot 7850 = 29{,}7\ kg/m$، أما IPE 200 فـ $22{,}4\ kg/m$ لـ $W_x = 194\ cm^3$ ($M_{adm} = 31{,}04\ kN \cdot m$). النسبة W/S: للـ PRS $211{,}0/37{,}8 = 5{,}58\ cm$، وللـ IPE 200 $194/28{,}5 = 6{,}81\ cm$. المجنب المدرفل أكفأ لأنه أعلى (200 مقابل 150 mm) فمادته أبعد عن المحور؛ والـ PRS لا يُختار إلا عندما يُفرض ارتفاع صغير أو أبعاد خاصة.

التمرين 3: دعامة مضغوطة، مقطع مجوف أم ممتلئ؟

المعطيات: دعامة فولاذية طول تحدبها $l_f = 3{,}00\ m$. نقارن مقطعين لهما المساحة نفسها (الشكل، بالـ mm): المقطع 1 أنبوب مربع $100 \times 100$ سمكه $5\ mm$، والمقطع 2 مربع ممتلئ ضلعه a.


يبين الشكل المقطعين بالسلم نفسه: الكمية نفسها من الفولاذ، موزعة بعيدا عن G في المقطع 1 ومجمعة حوله في المقطع 2.

المطلوب: (1) مساحة المقطع 1 والضلع a؛ (2) عزم العطالة لكل مقطع؛ (3) نصف قطر الدوران والنحافة لكل منهما؛ (4) الاستنتاج.

الحل:

1. الفراغ $90 \times 90$:

$ S = 100^2 - 90^2 = 1900\ mm^2 $

أي $S = 19\ cm^2$.

ولمقطع ممتلئ بالمساحة نفسها: $a = \sqrt{1900} = 43{,}6\ mm$. الكتلة الخطية للاثنين $19 \cdot 10^{-4} \cdot 7850 = 14{,}9\ kg/m$.

2. المقطع 1 (المحور نفسه للشكلين):

$ I_1 = \frac{100^4 - 90^4}{12} $

$ I_1 = \frac{34\,390\,000}{12} $

$ I_1 = 2\,865\,833\ mm^4 = 286{,}6\ cm^4 $

المقطع 2: $I_2 = a^4/12 = 1900^2/12 = 300\,833\ mm^4 = 30{,}1\ cm^4$.

3. نصف قطر الدوران (المقطعان متماثلان في الاتجاهين):

$ i_1 = \sqrt{\frac{286{,}6}{19}} = 3{,}88\ cm $

$ i_2 = \sqrt{\frac{30{,}1}{19}} = 1{,}26\ cm $

والنحافة $\lambda = l_f / i$ مع $l_f = 300\ cm$:

$ \lambda_1 = \frac{300}{3{,}88} = 77{,}3 $

$ \lambda_2 = \frac{300}{1{,}26} = 238 $

4. بالكتلة نفسها، الأنبوب أقل نحافة بثلاث مرات تقريبا، فهو أبعد كثيرا عن خطر التحدب. المربع الممتلئ نحيف جدا ($\lambda > 200$) ولا يصلح كدعامة بهذا الطول. نختار المقطع 1.

> خلاصة الدرس: المساحة تحكم الشد والانضغاط القصير، وعزم العطالة ومعامل المقاومة يحكمان الانحناء، ونصف قطر الدوران يحكم التحدب. وفي الحالات الثلاث يكون أفضل مقطع هو الذي يضع المادة بعيدا عن مركز الثقل في الاتجاه المطلوب.