الانحناء المستوي البسيط: الجهد القاطع وعزم الانحناء

3. الحالات المرجعية: القوة في المنتصف، الحمولة المنتظمة، الظفر

لماذا نحفظ الحالات المرجعية؟

أغلب روافد البنايات تقترب من إحدى حالات قليلة. حفظ نتائجها يسمح بالتحقق السريع من الحساب، وبتقدير Mfmax قبل البدء، وبالجمع بين الحالات بمبدأ التراكب. لكن في سؤال البكالوريا يجب دائما إثبات النتيجة بالمعادلات ولا يكفي ذكر الصيغة.

الحالة 1: رافدة على مسندين وقوة مركزة في المنتصف

رافدة بحرها L تحمل قوة P في منتصفها. بالتناظر $V_A = V_B = P/2$.

• المجال $0 \leq x \leq L/2$: $T = +P/2$ و $M_f = P\,x/2$.
• المجال $L/2 \leq x \leq L$: $T = -P/2$ و $M_f = P\,x/2 - P\,(x - L/2)$.

يغير T إشارته تحت القوة، فـ Mfmax هناك:

$ M_{f,max} = \frac{P \cdot L}{4} $


مثال الشكل: $L = 6\ m$ و $P = 20\ kN$، فـ $V_A = V_B = 10\ kN$. مخطط T مستطيلان متساويان +10 و−10 kN، ومخطط Mf مثلث قمته تحت القوة $M_{f,max} = 20 \times 6/4 = 30\ kN\cdot m$.

القوة في موضع كيفي. إذا كانت P على بعد a من A وعلى بعد b من B (مع $a + b = L$):

$ V_A = \frac{P \cdot b}{L} \qquad V_B = \frac{P \cdot a}{L} $

$ M_{f,max} = \frac{P \cdot a \cdot b}{L} $

وMfmax دائما تحت القوة. مثلا $P = 18\ kN$ و $L = 6\ m$ و $a = 2\ m$ و $b = 4\ m$: $V_A = 12\ kN$ و $V_B = 6\ kN$ و $M_{f,max} = 18 \times 2 \times 4/6 = 24\ kN\cdot m$. نلاحظ أن رد الفعل الأكبر في المسند الأقرب إلى القوة.

الحالة 2: رافدة على مسندين وحمولة موزعة منتظمة

رافدة بحرها L تحمل q (kN/m) على كامل طولها. المحصلة $q\,L$ في المنتصف، فـ $V_A = V_B = q\,L/2$. مجال واحد:

$ T(x) = \frac{qL}{2} - q\,x $

$ M_f(x) = \frac{qL}{2}\,x - \frac{q\,x^2}{2} $

ينعدم T عند $x_0 = L/2$، فـ:

$ M_{f,max} = \frac{q \cdot L^2}{8} $


مثال الشكل: $q = 10\ kN/m$ و $L = 6\ m$. $V_A = V_B = 30\ kN$، و $T(x) = 30 - 10x$ مستقيم من +30 إلى −30 kN ينعدم في المنتصف. $M_f(x) = 30x - 5x^2$ قطع مكافئ: $M_f(1{,}5) = 45 - 11{,}25 = 33{,}75\ kN\cdot m$، و $M_{f,max} = 10 \times 36/8 = 45\ kN\cdot m$ عند $x = 3\ m$.

> انتبه: $M_f$ في ربع البحر ليس نصف القيمة العظمى بل ثلاثة أرباعها ($33{,}75 = 0{,}75 \times 45$)، لأن المنحنى قطع مكافئ وليس مثلثا.

الحالة 3: الظفر (console) وقوة في طرفه الحر

الظفر رافدة مرصّعة (encastrée) في طرف وحرة في الآخر: شرفة، مظلة مدخل، سقيفة. نأخذ ظفرا حرا في A (يسار) ومرصّعا في B (يمين)، طوله L، يحمل P في طرفه الحر A. نقيس x من الطرف الحر، فلا يوجد على يسار أي مقطع إلا P:

$ T(x) = -P \qquad M_f(x) = -P \cdot x $

القيمة العظمى (بالقيمة المطلقة) عند الترصيع:

$ M_f(B) = -P \cdot L $

ورد فعل الترصيع: $V_B = P$ صاعدة، وعزم ترصيع $M_B = P \cdot L$ في اتجاه عقارب الساعة يمنع الظفر من الدوران.


مثال الشكل: $P = 12\ kN$ و $L = 2{,}5\ m$. T ثابت يساوي −12 kN، وMf خطي من 0 عند الطرف الحر إلى $-12 \times 2{,}5 = -30\ kN\cdot m$ عند الترصيع. Mf سالب في كل الظفر: الألياف العليا هي المشدودة، ولهذا يوضع التسليح الرئيسي لشرفة من الخرسانة المسلحة في أعلاها.

الحالة 4: الظفر تحت حمولة منتظمة

الظفر نفسه (حر في A، مرصّع في B) يحمل q على كامل طوله. على يسار المقطع حمولة طولها x:

$ T(x) = -q\,x \qquad M_f(x) = -\frac{q\,x^2}{2} $

عند الترصيع $T(B) = -q\,L$ و $M_f(B) = -q\,L^2/2$. مثلا $q = 8\ kN/m$ و $L = 2\ m$: $T(B) = -16\ kN$ و $M_f(B) = -8 \times 4/2 = -16\ kN\cdot m$. مخطط T مستقيم مائل، ومخطط Mf نصف قطع مكافئ مماسه أفقي عند الطرف الحر (لأن $T = 0$ هناك).


مثال الشكل: رد فعل الترصيع $V_B = 16\ kN$ صاعدة وعزمه $M_B = 16\ kN\cdot m$ في اتجاه عقارب الساعة. مخطط T مستقيم تحت المحور من 0 إلى −16 kN (−8 kN في المنتصف)، ومخطط Mf تحت المحور من 0 إلى −16 kN·m. في منتصف الظفر $M_f = -8 \times 1^2/2 = -4\ kN\cdot m$ فقط، أي ربع القيمة عند الترصيع لا نصفها، لأن Mf يتغير مع $x^2$.

جدول ملخص

| الحالة | ردود الأفعال | T الأعظمي | Mf الأعظمي وموضعه | |---|---|---|---| | مسندان، P في المنتصف | $P/2$ و $P/2$ | $P/2$ | $PL/4$ تحت القوة | | مسندان، P على a من A | $Pb/L$ و $Pa/L$ | الأكبر بينهما | $Pab/L$ تحت القوة | | مسندان، q على الكل | $qL/2$ و $qL/2$ | $qL/2$ عند المسندين | $qL^2/8$ في المنتصف | | ظفر، P في الطرف الحر | $V = P$ و $M = PL$ | P | $-PL$ عند الترصيع | | ظفر، q على الكل | $V = qL$ و $M = qL^2/2$ | $qL$ عند الترصيع | $-qL^2/2$ عند الترصيع |

مبدأ التراكب: لأن المادة مرنة والتشوهات صغيرة، فإن T وMf في مقطع ما تحت عدة حمولات تساوي مجموع قيمهما تحت كل حمولة وحدها. مثلا رافدة 6 m تحت $q = 10\ kN/m$ وقوة 20 kN في منتصفها: في المنتصف $M_f = 45 + 30 = 75\ kN\cdot m$، وهو هنا Mfmax لأن الحالتين تبلغان قيمتهما العظمى في المقطع نفسه.

> ملاحظة للامتحان: لا تجمع قيمتين عظميين تقعان في مقطعين مختلفين: المجموع حينئذ حد أعلى فقط وليس Mfmax. وإذا كان سؤال الموضوع «أوجد Mfmax» فاحسبه بالمعادلات حيث يغير T إشارته.

أخطاء شائعة

• كتابة $qL^2/8$ لرافدة تحمل قوة مركزة، أو $PL/4$ لحمولة موزعة.
• استعمال $qL^2/8$ و $PL/4$ لظفر: في الظفر المرصّع العزم عند الترصيع $-PL$ و $-qL^2/2$.
• نسيان عزم الترصيع عند حساب ردود أفعال الظفر: الترصيع يعطي ثلاثة مجاهيل $H$ و $V$ و $M$.
• التعبير عن q بـ kN بدل kN/m، أو نسيان تربيع L في $qL^2/8$.

4. رافدة تحت حمولات متعددة: موضع Mfmax حيث ينعدم T

حمولة موزعة وقوة مركزة معا

في الواقع تحمل الرافدة غالبا وزنها ووزن الأرضية (حمولة موزعة q) وردود أفعال روافد ثانوية أو عمود (قوى مركزة). هنا لم يعد Mfmax بالضرورة تحت القوة المركزة ولا في المنتصف: يجب البحث عنه حيث يغير T إشارته.

> كيف نبحث عن Mfmax؟ نحسب T على طرفي كل مجال. إذا انتقل T من موجب إلى سالب داخل مجال فيه حمولة موزعة، نحل $T(x_0) = 0$ ثم نحسب $M_f(x_0)$. وإذا قفز T من موجب إلى سالب عند قوة مركزة، فـ Mfmax تحت تلك القوة.

مثال محلول 1: حمولة منتظمة وقوة مركزة

رافدة AB لأرضية، بحرها $L = 6\ m$، A مسند مضاعف وB مسند بسيط، تحمل حمولة منتظمة $q = 8\ kN/m$ على كامل طولها وقوة $F = 12\ kN$ (رد فعل رافدة ثانوية) على 4 m من A.

1) ردود الأفعال. محصلة الحمولة الموزعة $8 \times 6 = 48\ kN$ في المنتصف. العزوم حول A:

$ 6\,V_B - 48 \times 3 - 12 \times 4 = 0 $

$ 6\,V_B = 144 + 48 = 192 $

ومنه $V_B = 32\ kN$، و $V_A = 48 + 12 - 32 = 28\ kN$. التحقق حول B: $6\,V_A = 48 \times 3 + 12 \times 2 = 168$ فـ $V_A = 28\ kN$.

2) المجال 1، $0 \leq x \leq 4\ m$: على اليسار $V_A$ وحمولة طولها x.

$ T(x) = 28 - 8\,x $

$ M_f(x) = 28\,x - 4\,x^2 $

القيم: $T(0) = 28\ kN$ و $T(4) = 28 - 32 = -4\ kN$. T يغير إشارته داخل المجال:

$ 28 - 8\,x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 3{,}5\ m $

$ M_f(3{,}5) = 98 - 49 = 49\ kN\cdot m $

و $M_f(4) = 112 - 64 = 48\ kN\cdot m$.

3) المجال 2، $4 \leq x \leq 6\ m$: نضيف F بذراع $x - 4$.

$ T(x) = 28 - 8x - 12 = 16 - 8\,x $

$ M_f = 28x - 4x^2 - 12(x - 4) $

أي $M_f(x) = -4x^2 + 16x + 48$. القيم: $T(4) = -16\ kN$ و $T(6) = -32\ kN$ (يساوي $-V_B$)، و $M_f(4) = 48$ و $M_f(6) = -144 + 96 + 48 = 0$.

| x (m) | 0 | 3,5 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---| | T (kN) | 28 | 0 | −4 ثم −16 | −32 | | Mf (kN·m) | 0 | 49 | 48 | 0 |


مخطط T مستقيم مائل بميل $-8\ kN/m$ ينعدم عند 3,5 m، ثم يقفز تحت F بمقدار 12 kN من −4 إلى −16 kN، ثم يواصل الانحدار بالميل نفسه حتى −32 kN. مخطط Mf قطعتا قطع مكافئ: قمته 49 kN·m عند 3,5 m وليس تحت القوة حيث نجد 48 kN·m فقط.

التحقق بالمساحة: مساحة مثلث T بين 0 و3,5 m هي $28 \times 3{,}5/2 = 49$، وهي بالضبط $M_{f,max}$.

مثال محلول 2: حمولة موزعة على جزء من البحر

رافدة على مسندين بحرها 5 m تحمل $q = 12\ kN/m$ على الأمتار الثلاثة الأولى فقط (من A إلى C، $AC = 3\ m$).

ردود الأفعال: المحصلة $12 \times 3 = 36\ kN$ في منتصف AC، أي على 1,5 m من A.

$ 5\,V_B = 36 \times 1{,}5 = 54 $

$V_B = 10{,}8\ kN$ و $V_A = 36 - 10{,}8 = 25{,}2\ kN$.

المجال 1، $0 \leq x \leq 3\ m$: $T(x) = 25{,}2 - 12x$ و $M_f(x) = 25{,}2\,x - 6\,x^2$. ينعدم T عند $x_0 = 25{,}2/12 = 2{,}1\ m$ وهو داخل المجال:

$ M_f(2{,}1) = 52{,}92 - 26{,}46 $

أي $M_{f,max} = 26{,}46\ kN\cdot m$. وعند C: $M_f(3) = 75{,}6 - 54 = 21{,}6\ kN\cdot m$.

المجال 2، $3 \leq x \leq 5\ m$: على اليسار كل الحمولة الموزعة (36 kN بذراع $x - 1{,}5$).

$ T = 25{,}2 - 36 = -10{,}8\ kN $

$ M_f = 25{,}2\,x - 36\,(x - 1{,}5) $

أي $M_f(x) = -10{,}8\,x + 54$: من 21,6 عند C إلى 0 عند B. التحقق بالجزء الأيمن عند C: $V_B \times 2 = 21{,}6\ kN\cdot m$.

| x (m) | 0 | 2,1 | 3 | 5 | |---|---|---|---|---| | T (kN) | 25,2 | 0 | −10,8 | −10,8 | | Mf (kN·m) | 0 | 26,46 | 21,6 | 0 |

على المجال الثاني لا توجد حمولة، فـ T ثابت وMf خطي، وهذا يوافق قواعد المراقبة.

> خطأ خطير: في المجال الثاني لا نكتب $-6x^2$: الحمولة الموزعة توقفت عند C، فطولها على يسار المقطع 3 m وليس x.

الاستعانة بالجدول المختصر

في سؤال البكالوريا يكفي أحيانا جدول بالقيم المهمة ليُرسم المنحنيان. ننظم الحساب هكذا:

| ما نحسبه | أين | |---|---| | T وMf | عند طرفي كل مجال (T على يسار القوة وعلى يمينها) | | $x_0$ و $M_f(x_0)$ | داخل كل مجال فيه حمولة موزعة يغير فيه T إشارته | | قيمة وسطى لـ Mf | في مجال فيه حمولة موزعة دون تغير إشارة T، لرسم القطع المكافئ | | $T_{max}$ بالقيمة المطلقة | غالبا عند أحد المسندين |

أخطاء شائعة

• افتراض أن Mfmax تحت القوة المركزة دائما: في المثال 1 نجد 48 تحت القوة و49 عند 3,5 m.
• حل $T(x_0) = 0$ والحصول على $x_0$ خارج المجال، ثم استعماله: الحل مقبول فقط إذا وقع داخل حدود المجال.
• مواصلة كتابة الحمولة الموزعة بدلالة x بعد نهايتها.
• جمع $qL^2/8$ و $Fab/L$ وتسمية المجموع Mfmax، مع أن القيمتين لا تقعان في المقطع نفسه.

5. الرافدة ذات البروز، والظفر المرصّع يسارا، والعزم المركز

الرافدة ذات البروز (poutre en porte-à-faux)

تتجاوز الرافدة أحيانا أحد مسنديها بجزء حر يسمى البروز (porte-à-faux): رافدة تحمل شرفة أو مظلة في امتداد أرضية، أو رافدة سقف تتجاوز الجدار. في هذه الحالة يظهر في الرافدة الواحدة نوعان من الانحناء:

• بين المسندين: $M_f > 0$ غالبا، الرافدة تتقعر نحو الأعلى والألياف السفلى مشدودة؛
• فوق المسند وفي البروز: $M_f < 0$، الرافدة تتقعر نحو الأسفل والألياف العليا مشدودة؛
• بينهما نقطة انعدام العزم (point d'inflexion) حيث يتغير اتجاه التقعر.

مثال محلول 1: رافدة ببروز

رافدة ABC: A مسند مضاعف عند $x = 0$، B مسند بسيط عند $x = 4\ m$، وبروز BC طوله 1,5 m. تحمل $q = 10\ kN/m$ على AB فقط، وقوة $P = 8\ kN$ في الطرف الحر C.

1) ردود الأفعال. محصلة q: $10 \times 4 = 40\ kN$ على 2 m من A. العزوم حول A:

$ 4\,V_B - 40 \times 2 - 8 \times 5{,}5 = 0 $

$ 4\,V_B = 80 + 44 = 124 $

ومنه $V_B = 31\ kN$ و $V_A = 40 + 8 - 31 = 17\ kN$. التحقق حول B: $4\,V_A = 40 \times 2 - 8 \times 1{,}5 = 68$ فـ $V_A = 17\ kN$ (القوة P على يمين B فعزمها حول B معاكس لعزم q).

2) المجال AB، $0 \leq x \leq 4\ m$:

$ T(x) = 17 - 10\,x $

$ M_f(x) = 17\,x - 5\,x^2 $

T ينعدم عند $x_0 = 1{,}7\ m$، و $M_f(1{,}7) = 28{,}9 - 14{,}45 = 14{,}45\ kN\cdot m$. عند B: $T(4^-) = -23\ kN$ و $M_f(4) = 68 - 80 = -12\ kN\cdot m$. وينعدم Mf عند $17x - 5x^2 = 0$ أي $x = 3{,}4\ m$.

3) البروز BC، $4 \leq x \leq 5{,}5\ m$: على اليسار $V_A$ وكل q و $V_B$.

$ T = 17 - 40 + 31 = +8\ kN $

$ M_f = 17x - 40(x - 2) + 31(x - 4) $

أي $M_f(x) = 8\,x - 44$: من −12 عند B إلى 0 عند C.

> في البروز الحساب بالجزء الأيمن أسرع: على يمين مقطع يبعد x' عن C لا توجد إلا P النازلة، فـ $M_f = -8\,x'$ و $T = -(-8) = +8\ kN$. عند B ($x' = 1{,}5\ m$): $M_f = -12\ kN\cdot m$.

| x (m) | 0 | 1,7 | 3,4 | 4 | 5,5 | |---|---|---|---|---|---| | T (kN) | 17 | 0 | −17 | −23 ثم +8 | +8 | | Mf (kN·m) | 0 | 14,45 | 0 | −12 | 0 |


يقفز مخطط T فوق المسند B بمقدار $V_B = 31\ kN$ (من −23 إلى +8 kN)، فيغير إشارته هناك أيضا: لـ Mf قيمتان قصويان: $+14{,}45\ kN\cdot m$ في البحر و $-12\ kN\cdot m$ فوق B. للتحجيم نأخذ أكبرهما بالقيمة المطلقة: $|M_f|_{max} = 14{,}45\ kN\cdot m$، و $|T|_{max} = 23\ kN$ على يسار B.

الظفر المرصّع من جهة اليسار

في الجزء الثالث وضعنا الترصيع على اليمين فلم يكن على يسار المقطع إلا الحمولات. إذا كان الترصيع في A على اليسار، فإن رد فعل الترصيع ($V_A$ وعزمه $M_A$) يقع على يسار كل مقطع، فيجب حسابه أولا.

مثال: ظفر AB طوله 2 m، مرصّع في A، يحمل $P = 10\ kN$ في طرفه الحر B.

• $\sum F_y = 0$: $V_A = 10\ kN$ نحو الأعلى.
• $\sum M_{/A} = 0$: $M_A - 10 \times 2 = 0$ فـ $M_A = 20\ kN\cdot m$ معاكس لعقارب الساعة.

على يسار مقطع على بعد x: $V_A$ بذراع x، وعزم الترصيع. هذا العزم المعاكس لعقارب الساعة يقعّر الجزء نحو الأسفل فيدخل بإشارة سالبة:

$ T(x) = +10\ kN \qquad M_f(x) = -20 + 10\,x $

عند A: $M_f = -20\ kN\cdot m$، وعند B: $M_f = 0$. القيم تطابق الظفر المرصّع يمينا ($-P \cdot L$ عند الترصيع)، لكن إشارة T أصبحت موجبة لأن الترصيع صار على اليسار. ما يهم للتحجيم هو $|T|_{max} = 10\ kN$ و $|M_f|_{max} = 20\ kN\cdot m$.

العزم المركز (couple)

قد يؤثر في الرافدة عزم مركز C (kN·m): رافدة ثانوية مثبتة بلوحة، أو قوة مطبقة على ذراع ملحومة بالرافدة. قاعدة إدخاله في Mf تُستخرج من القاعدة نفسها: عزم القوة الصاعدة على يسار المقطع موجب، وهو عزم في اتجاه عقارب الساعة حول المقطع.

> عزم مركز C في اتجاه عقارب الساعة على يسار المقطع يُضاف إلى Mf بـ $+C$، والمعاكس لعقارب الساعة يُضاف بـ $-C$. في المخطط: قفزة في Mf بمقدار C عند موضع العزم، ولا يتغير T.

مثال: رافدة على مسندين بحرها 6 m لا تحمل إلا عزما مركزا $C = 18\ kN\cdot m$ في اتجاه عقارب الساعة على 2 m من A.

العزوم حول A (المعاكس لعقارب الساعة موجب): $6\,V_B - 18 = 0$ فـ $V_B = 3\ kN$ صاعدة، ثم $V_A + V_B = 0$ فـ $V_A = -3\ kN$، أي 3 kN نحو الأسفل: العزم المركز وحده يُحدث مزدوجة ردود أفعال.

| المجال | T (kN) | Mf (kN·m) | القيم | |---|---|---|---| | $0 \leq x < 2\ m$ | −3 | $-3x$ | 0 ثم −6 | | $2 < x \leq 6\ m$ | −3 | $-3x + 18$ | 12 ثم 0 |

T ثابت على كل الرافدة لأنه لا توجد حمولة شاقولية بين المسندين، أما Mf فيقفز عند $x = 2\ m$ من −6 إلى +12، أي بمقدار $C = 18\ kN\cdot m$. التحقق بالجزء الأيمن عند $x = 4\ m$: $V_B \times 2 = 6$ و $-3 \times 4 + 18 = 6\ kN\cdot m$.

أخطاء شائعة

• نسيان عزم البروز في معادلة العزوم حول A: ذراع P في المثال 5,5 m وليس 1,5 m.
• الاكتفاء بالقيمة الموجبة لـ Mf وإهمال العزم السالب فوق المسند، وقد يكون هو الأكبر بالقيمة المطلقة.
• حساب Mf في ظفر مرصّع يسارا دون إدخال عزم الترصيع، فنجد $M_f(A) = 0$ وهو مستحيل عند ترصيع محمَّل.
• إدخال العزم المركز في T: العزم لا يغير الجهد القاطع.
• رسم مخطط Mf متصلا عند عزم مركز: يجب رسم القفزة الشاقولية بقيمتيها.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل في سؤال الانحناء

• اكتب المعطيات وارسم الرافدة معزولة بردود أفعالها ($H_A$ و $V_A$ و $V_B$، أو $V_A$ و $M_A$ للظفر).
• ردود الأفعال بالعزوم حول مسند، ثم تحقق بالعزوم حول المسند الآخر أو بـ $\sum F_y$.
• حدد المجالات، واكتب لكل مجال T(x) وMf(x) بالقوى على اليسار مع الإشارات.
• احسب القيم عند الحدود وعند $T = 0$، واجمعها في جدول، وتحقق من $M_f = 0$ عند المسند الطرفي أو الطرف الحر.
• ارسم المنحنيين بالسلم المعطى تحت الرافدة، مع القيم والإشارات.
• استخرج $|T|_{max}$ و $|M_f|_{max}$ وموضعيهما: هما معطيات سؤال المقاومة الذي يليه دائما.

التمرين 1: رافدة ممر في مدرسة

المعطيات. رافدة فولاذية AB تحمل أرضية ممر في مدرسة، بحرها $L = 5\ m$، مرتكزة على مسند مضاعف A ومسند بسيط B. تحمل:

• حمولة موزعة منتظمة $q = 6\ kN/m$ على كامل طولها (وزن الأرضية والاستغلال)؛
• قوة $F_1 = 15\ kN$ على 1,5 m من A، وقوة $F_2 = 10\ kN$ على 3,5 m من A (ردا فعل رافدتين ثانويتين).


المطلوب.

• بيّن أن الرافدة محددة سكونيا، ثم احسب ردود الأفعال.
• اكتب معادلات T(x) وMf(x) في المجالات الثلاثة.
• احسب القيم عند حدود المجالات واجمعها في جدول.
• ارسم المنحنيين بالسلم: الأطوال 1 cm ↔ 0,5 m؛ T: 1 cm ↔ 10 kN؛ Mf: 1 cm ↔ 10 kN·m.
• استنتج $|T|_{max}$ و $M_{f,max}$ وموضعيهما.

الحل.

1) التحديد السكوني وردود الأفعال. المجاهيل ثلاثة ($H_A$ و $V_A$ و $V_B$) ومعادلات التوازن في المستوي ثلاث، فالرافدة محددة سكونيا (isostatique). لا توجد قوى أفقية فـ $H_A = 0$. محصلة q: $6 \times 5 = 30\ kN$ في المنتصف. العزوم حول A (المعاكس لعقارب الساعة موجب):

$ 5\,V_B = 30 \times 2{,}5 + 15 \times 1{,}5 $

$ \quad + 10 \times 3{,}5 = 132{,}5 $

أي $5\,V_B = 75 + 22{,}5 + 35 = 132{,}5$.

$V_B = 26{,}5\ kN$، و $V_A = 30 + 15 + 10 - 26{,}5 = 28{,}5\ kN$. التحقق حول B:

$ 5\,V_A = 75 + 15 \times 3{,}5 + 10 \times 1{,}5 $

أي $5\,V_A = 75 + 52{,}5 + 15 = 142{,}5$ فـ $V_A = 28{,}5\ kN$.

2) المعادلات.

المجال 1، $0 \leq x \leq 1{,}5\ m$:

$ T(x) = 28{,}5 - 6\,x $

$ M_f(x) = 28{,}5\,x - 3\,x^2 $

المجال 2، $1{,}5 \leq x \leq 3{,}5\ m$: نضيف $F_1$ بذراع $x - 1{,}5$.

$ T(x) = 28{,}5 - 6x - 15 $

أي $T(x) = 13{,}5 - 6\,x$.

$ M_f = 28{,}5x - 3x^2 - 15(x - 1{,}5) $

أي $M_f(x) = -3x^2 + 13{,}5x + 22{,}5$.

المجال 3، $3{,}5 \leq x \leq 5\ m$: نضيف $F_2$ بذراع $x - 3{,}5$.

$ T(x) = 13{,}5 - 6x - 10 = 3{,}5 - 6x $

$ M_f = M_{f2}(x) - 10\,(x - 3{,}5) $

حيث $M_{f2}(x) = -3x^2 + 13{,}5x + 22{,}5$ عبارة المجال 2،

أي $M_f(x) = -3x^2 + 3{,}5x + 57{,}5$.

3) القيم. في المجال 2 يغير T إشارته: $13{,}5 - 6x_0 = 0$ يعطي $x_0 = 2{,}25\ m$، وهو داخل المجال:

$ M_f(2{,}25) = -15{,}19 + 30{,}38 + 22{,}5 $

أي $M_f(2{,}25) = 37{,}69\ kN\cdot m$ (بالضبط 37,6875).

| x (m) | 0 | 1,5 | 2,25 | 3,5 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | T (kN) | 28,5 | 19,5 ثم 4,5 | 0 | −7,5 ثم −17,5 | −26,5 | | Mf (kN·m) | 0 | 36 | 37,69 | 33 | 0 |

تحققات: $T(5) = -26{,}5 = -V_B$ و $M_f(5) = -75 + 17{,}5 + 57{,}5 = 0$. وبالجزء الأيمن عند 3,5 m: $26{,}5 \times 1{,}5 - 6 \times 1{,}5 \times 0{,}75 = 39{,}75 - 6{,}75 = 33\ kN\cdot m$.

4) الرسم بالسلم. الرافدة 5 m تُرسم 10 cm. أطوال مخطط T: 28,5 kN ↔ 2,85 cm، و19,5 ↔ 1,95 cm، و4,5 ↔ 0,45 cm، و−7,5 ↔ 0,75 cm تحت المحور، و−17,5 ↔ 1,75 cm، و−26,5 ↔ 2,65 cm. مخطط Mf: 36 ↔ 3,6 cm، و37,69 ↔ 3,77 cm، و33 ↔ 3,3 cm. مخطط T قطع مائلة بميل $-6\ kN/m$ مع قفزتين (15 و10 kN)، ومخطط Mf ثلاث قطع مكافئ متصلة، كما في الشكل.

5) النتائج. $|T|_{max} = 28{,}5\ kN$ عند A، و $M_{f,max} = 37{,}69\ kN\cdot m$ عند $x = 2{,}25\ m$ (بين القوتين، لا تحت $F_1$ حيث 36 kN·m فقط). بهذه القيمة نختار في الدرس الموالي مجنب IPE بشرط المقاومة.

التمرين 2: ظفر شرفة

المعطيات. شرفة بناية سكنية محمولة على رافدة ظفرية AB طولها 1,5 m، مرصّعة في A في رافدة الهيكل، وطرفها B حر. تحمل الرافدة:

• حمولة موزعة منتظمة $q = 12\ kN/m$ (حصتها من بلاطة الشرفة والتكسية والاستغلال)؛
• قوة $P = 8\ kN$ في الطرف B (وزن جدار الحاجز من الآجر).


المطلوب.

• ما نوع المسند A؟ احسب ردود أفعاله.
• اكتب T(x) وMf(x) (x من A).
• احسب القيم عند A ومنتصف الظفر وB، وارسم المنحنيين.
• أعط $|M_f|_{max}$ وموضعه، وحدد الألياف المشدودة واستنتج موضع التسليح الرئيسي لو كانت الرافدة من الخرسانة المسلحة.

الحل.

1) ردود الأفعال. المسند A ترصيع: ثلاثة مجاهيل $H_A$ و $V_A$ و $M_A$. لا قوى أفقية فـ $H_A = 0$. الحمولة الكلية $12 \times 1{,}5 + 8 = 18 + 8 = 26\ kN$، فـ $V_A = 26\ kN$ نحو الأعلى. العزوم حول A:

$ M_A = 18 \times 0{,}75 + 8 \times 1{,}5 $

$M_A = 13{,}5 + 12 = 25{,}5\ kN\cdot m$، معاكس لعقارب الساعة.

2) المعادلات. على يسار المقطع: $V_A$، وعزم الترصيع (يدخل بـ $-25{,}5$ لأنه معاكس لعقارب الساعة)، والحمولة 12x بذراع $x/2$:

$ T(x) = 26 - 12\,x $

$ M_f(x) = -25{,}5 + 26\,x - 6\,x^2 $

3) القيم.

| x (m) | 0 (A) | 0,75 | 1,5 (B) | |---|---|---|---| | T (kN) | 26 | 17 | 8 | | Mf (kN·m) | −25,5 | −9,375 | 0 |

عند B: $M_f(1{,}5) = -25{,}5 + 39 - 13{,}5 = 0$ كما يجب في طرف حر. وT ينزل إلى 8 kN ثم يقفز إلى الصفر تحت P. تحقق بالجزء الأيمن عند المنتصف: على اليمين حمولة 9 kN بذراع 0,375 m وP بذراع 0,75 m، فـ $M_f = -(3{,}375 + 6) = -9{,}375\ kN\cdot m$.

T موجب لا ينعدم داخل الظفر، فـ Mf متزايد من A إلى B: قيمته القصوى بالقيمة المطلقة عند الترصيع. مخطط T مستقيم من 26 إلى 8 kN، ومخطط Mf نصف قطع مكافئ تحت المحور.

4) النتائج. $|M_f|_{max} = 25{,}5\ kN\cdot m$ عند الترصيع A، و $|T|_{max} = 26\ kN$ عند A. Mf سالب في كل الظفر، فالألياف العليا مشدودة: في الخرسانة المسلحة يوضع التسليح الطولي الرئيسي في أعلى الرافدة ويُمدد داخل رافدة الهيكل لضمان الترصيع.

التمرين 3: عتبة عليا فوق باب مرأب

المعطيات. عتبة عليا (linteau) من الخرسانة المسلحة بحرها الحسابي 3 m، مرتكزة على جدارين (A مسند مضاعف وB مسند بسيط). تحمل حمولة منتظمة $q = 9\ kN/m$ (الجدار فوقها ووزنها)، وقوة $F = 18\ kN$ على 1 m من A (طرف رافدة أرضية يرتكز عليها).

المطلوب.

• احسب ردود الأفعال.
• احسب T عند A، وعلى يسار F وعلى يمينها، وعند B. استنتج موضع Mfmax.
• اكتب Mf(x) في المجالين، واحسب Mfmax و $M_f(2)$.
• قال زميلك: «$M_{f,max} = qL^2/8 + F\,a\,b/L$». احسب هذا المجموع وقارنه بنتيجتك.

الحل.

1) محصلة q: $9 \times 3 = 27\ kN$ في المنتصف. العزوم حول A: $3\,V_B = 27 \times 1{,}5 + 18 \times 1 = 58{,}5$ فـ $V_B = 19{,}5\ kN$ و $V_A = 45 - 19{,}5 = 25{,}5\ kN$. تحقق حول B: $3\,V_A = 27 \times 1{,}5 + 18 \times 2 = 76{,}5$ فـ $V_A = 25{,}5\ kN$.

2) في المجال 1: $T(x) = 25{,}5 - 9x$، فـ $T(0) = 25{,}5\ kN$ و $T(1^-) = 16{,}5\ kN$. تحت F يقفز T بـ 18: $T(1^+) = -1{,}5\ kN$، ثم في المجال 2: $T(x) = 7{,}5 - 9x$ حتى $T(3) = -19{,}5\ kN$. T موجب في كل المجال 1 وسالب في كل المجال 2: يغير إشارته عند F، فـ Mfmax تحت القوة.

3) المجال 1: $M_f(x) = 25{,}5x - 4{,}5x^2$. المجال 2:

$ M_f = 25{,}5x - 4{,}5x^2 - 18(x - 1) $

أي $M_f(x) = -4{,}5x^2 + 7{,}5x + 18$. القيم: $M_{f,max} = M_f(1) = 25{,}5 - 4{,}5 = 21\ kN\cdot m$، و $M_f(2) = -18 + 15 + 18 = 15\ kN\cdot m$، و $M_f(3) = -40{,}5 + 22{,}5 + 18 = 0$. تحقق بالجزء الأيمن عند 2 m: $19{,}5 \times 1 - 9 \times 1 \times 0{,}5 = 15\ kN\cdot m$.

| x (m) | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | T (kN) | 25,5 | 16,5 ثم −1,5 | −10,5 | −19,5 | | Mf (kN·m) | 0 | 21 | 15 | 0 |


يقفز مخطط T تحت F من +16,5 إلى −1,5 kN فيعبر المحور هناك، ولذلك تقع قمة مخطط Mf (21 kN·m) تحت القوة تماما، وفي كل مجال قطع مكافئ لأن الحمولة الموزعة تمتد على كامل العتبة.

4) $qL^2/8 = 9 \times 9/8 = 10{,}125$ و $F\,a\,b/L = 18 \times 1 \times 2/3 = 12$، والمجموع $22{,}125\ kN\cdot m$. هذا أكبر من $21\ kN\cdot m$ لأن القيمة 10,125 تقع في المنتصف (1,5 m) والقيمة 12 تقع تحت F (1 m): لا تجتمعان في مقطع واحد. المجموع حد أعلى على الجانب الآمن، لكنه ليس Mfmax. بالتراكب الصحيح في المقطع $x = 1\ m$: الحمولة الموزعة وحدها تعطي $13{,}5 \times 1 - 4{,}5 = 9$، والقوة وحدها 12، والمجموع 21 kN·m.

> ملاحظة للامتحان: في هذا النوع من الأسئلة تُعطى غالبا قيمة Mfmax في آخر السؤال لتسمح لك بمواصلة سؤال المقاومة حتى لو أخطأت في المعادلات. استعمل القيمة المعطاة في السؤال الموالي، لكن لا تكتبها في جوابك على أنها نتيجة حسابك إن لم تجدها.