المظهر الطولي

3. مناسيب الأرض الطبيعية: الاستيفاء بين منحنيات التسوية

منحنيات التسوية

مناسيب الأرض الطبيعية في المقاطع لا تُقاس عادة واحدا واحدا في الميدان، بل تُستخرج من المخطط الطبوغرافي (plan topographique) للموقع، وهو مخطط يمثّل التضاريس بـمنحنيات التسوية (courbes de niveau):

• منحنى التسوية خط يصل بين نقاط الأرض التي لها المنسوب نفسه؛ يُكتب عليه منسوبه (مثلا 120، 121، 122).
• البعد المتساوي (équidistance)، ونرمز له بـ e، هو فرق المنسوب بين منحنيين متتاليين، وهو ثابت على المخطط الواحد (غالبا $1\ m$ أو $2\ m$ أو $0{,}50\ m$).
• كلما تقاربت المنحنيات على المخطط كان الانحدار أشدّ، وكلما تباعدت كانت الأرض أقرب إلى الأفقية.

منسوب نقطة من المحور

نضع المقاطع على المحور في المسقط الأفقي المرسوم فوق المخطط الطبوغرافي، ثم نحدّد منسوب الأرض في كل مقطع M:

• إذا وقع M على منحنى تسوية، فمنسوبه هو منسوب هذا المنحنى.
• إذا وقع M بين منحنيين منسوباهما $Z_A$ (الأدنى) و $Z_B = Z_A + e$ (الأعلى)، نرسم عبر M خط أكبر ميل، أي أقصر قطعة AB تصل المنحنيين وتمرّ بـ M (تكون عمودية على المنحنيين تقريبا)، ونقيس على المخطط $d = AM$ و $D = AB$. نفترض أن الأرض بين المنحنيين مستوية (ميلها ثابت)، فيكون الاستيفاء الخطي (interpolation linéaire):

$ \frac{\Delta h}{e} = \frac{d}{D} $ ومنه: $ Z_M = Z_A + e \cdot \frac{d}{D} $

> منسوب نقطة بين منحنيين: $Z_M = Z_A + e \cdot d / D$، حيث $Z_A$ منسوب المنحنى الأدنى، و d المسافة من هذا المنحنى إلى النقطة، و D المسافة بين المنحنيين، مقيستان على المخطط بالوحدة نفسها.

نتيجة مهمة: السلّم لا يتدخّل، لأن d و D تُقاسان على المخطط نفسه فتحذف النسبة d/D السلّم. ويمكن الحساب انطلاقا من المنحنى الأعلى: $Z_M = Z_B - e \cdot (D - d)/D$، فنجد النتيجة نفسها.


يبيّن الجزء (a) من الشكل منحنيات التسوية 120 و 121 و 122 (البعد المتساوي $1\ m$) ومحور الطريق بالأحمر، والنقطة M من المحور بين المنحنيين 121 و 122. القطعة المتقطعة AB هي خط أكبر ميل عبر M، و d و D مسافتان تقاسان على المخطط. ويبيّن الجزء (b) المقطع الشاقولي حسب AB: الأرض تصعد بانتظام من A (منسوب 121) إلى B (منسوب 122)، والمثلثان المتشابهان يعطيان ارتفاع M فوق A: $\Delta h = e \cdot d / D$.

ملاحظة: كثير من التمارين تقيس d و D على محور الطريق نفسه بين نقطتي تقاطعه مع المنحنيين. إذا كان المنحنيان شبه متوازيين حول النقطة فالنتيجتان متقاربتان جدا؛ اتبع ما يطلبه نص الموضوع أو ما يبيّنه رسمه.

حالة نقطة خارج منحنيين (الاستكمال)

إذا كانت النقطة بعد آخر منحنى مرسوم (مثلا قرب قمّة)، نمدّد الميل نفسه: نأخذ المنحنيين الأقربين A و B ($Z_B = Z_A + e$) ونقيس D بينهما و $d'$ من B إلى النقطة في الاتجاه نفسه، فيكون $Z_M = Z_B + e \cdot d'/D$. هذه قيمة تقريبية، لأن الأرض قد يتغيّر ميلها بعد آخر منحنى.

ميل الأرض بين منحنيين

ميل الأرض الحقيقي بين منحنيين هو $p = e / D_r$، حيث $D_r$ المسافة الأفقية الحقيقية بينهما (بعد تطبيق السلّم). مثلا: $D = 2{,}0\ cm$ على مخطط بالسلّم $1/1000$ تعني $20\ m$، ومع $e = 1\ m$ يكون الميل $1/20 = 0{,}05$ أي $5\ \%$.

مثال محلول 1: منسوب المقطع P2

المقطع P2 من طريقنا يقع بين منحنيي التسوية 121 و 122 ($e = 1\ m$). على المخطط: المسافة من المنحنى 121 إلى P2 هي $d = 0{,}3\ cm$، والمسافة بين المنحنيين عبر P2 هي $D = 3{,}0\ cm$. احسب منسوب الأرض في P2.

الحل: $ Z_{P2} = 121 + 1 \times \frac{0{,}3}{3{,}0} $ أي $Z_{P2} = 121 + 0{,}10 = 121{,}10\ m$. التحقق: النتيجة بين 121 و 122، وقريبة من 121 لأن P2 قريب من المنحنى 121.

مثال محلول 2: مناسيب كل المقاطع

القياسات على المخطط الطبوغرافي ($e = 1\ m$، d مقيسة من المنحنى الأدنى):

| المقطع | المنحنيان | d (cm) | D (cm) | $\Delta h = e \cdot d/D$ (m) | منسوب TN (m) | |---|---|---|---|---|---| | P1 | 120 و 121 | 0,8 | 2,0 | 0,40 | 120,40 | | P2 | 121 و 122 | 0,3 | 3,0 | 0,10 | 121,10 | | P3 | 121 و 122 | 1,2 | 2,0 | 0,60 | 121,60 | | P4 | 120 و 121 | 0,6 | 2,0 | 0,30 | 120,30 | | P5 | 119 و 120 | 1,8 | 2,0 | 0,90 | 119,90 | | P6 | 120 و 121 | 0,1 | 2,0 | 0,05 | 120,05 |

مثلا في P5: $Z = 119 + 1 \times 1{,}8 / 2{,}0 = 119{,}90\ m$؛ وفي P6: $Z = 120 + 1 \times 0{,}1 / 2{,}0 = 120{,}05\ m$. هذه هي مناسيب خط الأرض الطبيعية التي سنستعملها في الجزأين الرابع والخامس.

مثال محلول 3: بعد متساوٍ $2\ m$

نقطة M بين المنحنيين 104 و 106 ($e = 2\ m$)، مع $d = 1{,}5\ cm$ من المنحنى 104 و $D = 2{,}0\ cm$. منسوبها: $ Z_M = 104 + 2 \times \frac{1{,}5}{2{,}0} = 105{,}50\ m $ ولو كتبنا خطأً $e = 1\ m$ لوجدنا $104{,}75\ m$: البعد المتساوي يُقرأ من المخطط (فرق منسوبي منحنيين متتاليين) ولا يُفترض.

ملاحظة للامتحان

• اكتب العلاقة، ثم عوّض بقيمتي d و D كما قستهما بالسنتيمتر على المخطط؛ لا حاجة لتحويلهما إلى أمتار.
• تحقّق دائما أن المنسوب الناتج بين منسوبي المنحنيين.
• أعطِ المنسوب برقمين بعد الفاصلة.

أخطاء شائعة

• قياس d من المنحنى الأعلى ثم إضافة $e \cdot d/D$ إلى المنحنى الأدنى: النتيجة تُقلب حول منتصف المسافة.
• أخذ e مساويا لمنسوب المنحنى، أو نسيان أن e قد تكون $2\ m$ أو $0{,}50\ m$.
• قياس d على المخطط و D بالأمتار الحقيقية (أو العكس): يجب أن تكونا بالوحدة نفسها.

4. ميول خط المشروع ومناسيبه وعمق الحفر والردم

الميل (déclivité)

خط المشروع مكوّن من قطع مستقيمة، لكل قطعة ميل ثابت هو نسبة فرق المنسوب بين طرفيها إلى المسافة الأفقية بينهما (على المحور): $ p = \frac{\Delta h}{L} $

• $\Delta h$ فرق المنسوبين بالمتر، و L المسافة الأفقية بينهما بالمتر (فرق المسافتين المتراكمتين)؛
• p بلا وحدة؛ يُكتب كعدد عشري ($0{,}02$) أو بالنسبة المئوية ($2\ \%$ أي $2\ m$ ارتفاعا لكل $100\ m$ أفقيا) أو بالألفية ($20\ ‰$).

في اتجاه تزايد المسافات:

• إذا صعد خط المشروع فالميل صاعد (rampe) ونعطيه الإشارة +؛
• إذا نزل فالميل نازل (pente) ونعطيه الإشارة −.

> ميل قطعة: $p = \Delta h / L$. ومنسوب نقطة على القطعة انطلاقا من نقطة معلومة: $Z_{n+1} = Z_n \pm p \cdot L$، بالإشارة + إذا كان الميل صاعدا و − إذا كان نازلا في اتجاه السير من المعلوم إلى المجهول.

النقطة التي يلتقي فيها ميلان مختلفان تسمى نقطة تغيّر الميل (point de changement de déclivité)، ونضع فيها دائما مقطعا.


يبيّن الشكل خط المشروع لطريقنا (بالأحمر، والارتفاعات مكبّرة): يصعد من P1 إلى P3 بميل $2{,}00\ \%$؛ المثلث المتقطّع يبيّن $\Delta h = 1{,}10\ m$ على $L = 55{,}00\ m$. عند P3 يتغيّر الميل، فينزل الخط حتى P6 بميل $1{,}50\ \%$. وفي أسفل الشكل سطر الميول (pentes et rampes) من الجدول: الميل الصاعد يمثَّل بقطعة صاعدة من اليسار إلى اليمين، والنازل بقطعة نازلة، ويُكتب على كل قطعة قيمة الميل وطوله.

مناسيب المشروع

تعطي مواضيع البكالوريا عادة منسوب المشروع في بعض المقاطع فقط (البداية، النهاية، ونقاط تغيّر الميل)، أو منسوب البداية مع قيمة الميل، ويُطلب حساب الباقي:

• نحسب ميل كل قطعة بين مقطعين معلومي المنسوب: $p = \Delta h / L$، ونحدّد هل هو صاعد أم نازل.
• نحسب منسوب كل مقطع وسيط انطلاقا من أقرب مقطع معلوم: $Z = Z_{connu} \pm p \cdot L$، حيث L المسافة بينهما.
• نتحقق بإعادة حساب منسوب مقطع معلوم انطلاقا من الآخر.

نحتفظ بالميل بأربعة أرقام بعد الفاصلة أثناء الحساب (مثلا $0{,}0150$)، ونقرّب المناسيب إلى السنتيمتر.

عمق الأشغال: الحفر والردم

في كل مقطع نقارن منسوب الأرض بمنسوب المشروع: $ h = Z_{TN} - Z_{projet} $

• $h > 0$: الأرض فوق المشروع، حفر (déblai) عمقه h؛
• $h < 0$: الأرض تحت المشروع، ردم (remblai) ارتفاعه $|h|$؛
• $h = 0$: الطريق في مستوى الأرض (المقطع نقطة عبور).

هذه القيم هي ارتفاعات الحفر والردم على المحور، التي تنطلق منها المظاهر العرضية لكل مقطع.

مثال محلول: مناسيب المشروع لطريقنا

معطيات من الأجزاء السابقة: المسافات المتراكمة $0$، $30{,}00$، $55{,}00$، $86{,}42$، $121{,}42$، $151{,}42\ m$ للمقاطع P1 إلى P6، ومناسيب الأرض $120{,}40$، $121{,}10$، $121{,}60$، $120{,}30$، $119{,}90$، $120{,}05\ m$. حدّد مكتب الدراسات منسوب المشروع في ثلاثة مقاطع: $Z_{P1} = 120{,}00\ m$، $Z_{P3} = 121{,}10\ m$، $Z_{P6} = 119{,}65\ m$.

1. الميل الأول (من P1 إلى P3): $ p_1 = \frac{121{,}10 - 120{,}00}{55{,}00} $ أي $p_1 = 1{,}10 / 55{,}00 = 0{,}0200$. المنسوب يزداد: ميل صاعد $2{,}00\ \%$ على $55{,}00\ m$.

2. منسوب P2 (على بعد $30{,}00\ m$ من P1): $ Z_{P2} = 120{,}00 + 0{,}02 \times 30{,}00 $ أي $Z_{P2} = 120{,}00 + 0{,}60 = 120{,}60\ m$.

3. الميل الثاني (من P3 إلى P6): المسافة $151{,}42 - 55{,}00 = 96{,}42\ m$: $ p_2 = \frac{121{,}10 - 119{,}65}{96{,}42} $ أي $p_2 = 1{,}45 / 96{,}42 = 0{,}01504 \approx 0{,}0150$. المنسوب يتناقص: ميل نازل $1{,}50\ \%$ على $96{,}42\ m$.

4. منسوبا P4 و P5 انطلاقا من P3 (على بعد $31{,}42$ و $66{,}42\ m$):

• $Z_{P4} = 121{,}10 - 0{,}015 \times 31{,}42 = 121{,}10 - 0{,}47 = 120{,}63\ m$
• $Z_{P5} = 121{,}10 - 0{,}015 \times 66{,}42 = 121{,}10 - 1{,}00 = 120{,}10\ m$

التحقق: $Z_{P6} = 121{,}10 - 0{,}015 \times 96{,}42 = 119{,}65\ m$، وهو المنسوب المعطى.

5. عمق الأشغال:

| المقطع | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 | |---|---|---|---|---|---|---| | منسوب TN (m) | 120,40 | 121,10 | 121,60 | 120,30 | 119,90 | 120,05 | | منسوب المشروع (m) | 120,00 | 120,60 | 121,10 | 120,63 | 120,10 | 119,65 | | $h = Z_{TN} - Z_{projet}$ (m) | +0,40 | +0,50 | +0,50 | −0,33 | −0,20 | +0,40 | | الطبيعة | حفر | حفر | حفر | ردم | ردم | حفر |

6. قراءة النتائج: الطريق في حفر من P1 إلى P3، ثم في ردم في P4 و P5، ثم في حفر في P6. بين P3 و P4 تتغيّر إشارة h، فخط الأرض يقطع خط المشروع في نقطة بينهما؛ وكذلك بين P5 و P6. هاتان هما النقطتان الوهميتان اللتان سنحدّد موضعيهما في الجزء التالي. والميلان ($2\ \%$ و $1{,}5\ \%$) أقل بكثير من الميل الأقصى لأي صنف، وأكبر من $0{,}5\ \%$، فهما مقبولان.

مثال محلول 2: ميل معطى

منسوب المشروع في P1 هو $85{,}00\ m$، والطريق يصعد بميل ثابت $1{,}5\ \%$. المسافات المتراكمة للمقاطع P2 و P3 و P4: $40{,}00$ و $70{,}54$ و $105{,}54\ m$. المناسيب:

• $Z_{P2} = 85{,}00 + 0{,}015 \times 40{,}00 = 85{,}60\ m$
• $Z_{P3} = 85{,}00 + 0{,}015 \times 70{,}54 = 86{,}06\ m$
• $Z_{P4} = 85{,}00 + 0{,}015 \times 105{,}54 = 86{,}58\ m$

ننطلق دائما من المسافة المتراكمة للمقطع إذا كان الحساب من P1، أو من المسافة الجزئية إذا كان من المقطع السابق؛ الطريقتان متكافئتان، والأولى لا تُراكم أخطاء التقريب.

ملاحظة للامتحان

• حدّد اتجاه الميل (صاعد/نازل) بالكلمة أو بالإشارة، واكتب طوله؛ هكذا يُملأ سطر الميول.
• عبارة «$\Delta h$» تعني دائما فرقا موجبا، والإشارة تأتي من اتجاه الميل.
• بعض المواضيع تعطي الميل بالألفية ($12\ ‰ = 1{,}2\ \%$) أو كعدد عشري ($0{,}012$).

أخطاء شائعة

• قسمة فرق المنسوب على المسافة الجزئية لمقطع واحد بدل المسافة بين المقطعين المعلومين.
• الخلط بين $1{,}5\ \%$ و $0{,}15$: الصحيح $1{,}5\ \% = 0{,}015$.
• إضافة $p \cdot L$ في ميل نازل.
• حساب $h = Z_{projet} - Z_{TN}$ ثم تسمية القيمة الموجبة حفرا: احفظ أن الأرض فوق المشروع = حفر.

5. النقطة الوهمية ورسم المظهر الطولي بالسلّم

النقطة الوهمية (profil fictif, PF)

إذا كان الطريق في حفر في مقطع و في ردم في المقطع الذي يليه (أو العكس)، فخط الأرض يقطع خط المشروع في نقطة بينهما: عندها يكون عمق الأشغال صفرا. هذه النقطة تسمى النقطة الوهمية أو المظهر الوهمي (profil fictif, PF)، ويسمّيها بعضهم نقطة العبور (point de passage)؛ «وهمي» لأنها ليست مقطعا اخترناه على المخطط، بل نتيجة للحساب. نحتاج إليها:

• لرسم حدود منطقتي الحفر والردم وتلوينهما بدقة؛
• لحساب أطوال الطريق في الحفر وفي الردم، ومنها حجوم أعمال التجريف؛
• لوضع مظهر عرضي إضافي عندها إذا لزم.

> نبحث عن نقطة وهمية بين كل مقطعين متتاليين تتغيّر فيهما إشارة $h = Z_{TN} - Z_{projet}$. إذا كانت الإشارة نفسها في المقطعين فلا نقطة وهمية بينهما (في حدود دقة المظهر)، وإذا كان $h = 0$ في مقطع فالمقطع نفسه نقطة عبور.

حساب موضعها

بين المقطعين Pn و Pn+1 مسافة L، و $\Delta h_1 = |h_n|$ و $\Delta h_2 = |h_{n+1}|$ عمقا الأشغال (بالقيمة المطلقة). نفترض أن خط الأرض مستقيم بين المقطعين، وخط المشروع مستقيم أيضا؛ فالخطّان يكوّنان مع شاقولَيِ المقطعين مثلثين متشابهين رأسهما المشترك PF:


في الشكل، خط الأرض (الأسود) فوق خط المشروع (الأحمر) في Pn بمقدار $\Delta h_1$ (حفر، أصفر)، وتحته في Pn+1 بمقدار $\Delta h_2$ (ردم، أحمر). يتقاطعان في PF على بعد $x_1$ من Pn و $x_2$ من Pn+1. من تشابه المثلثين: $ \frac{\Delta h_1}{x_1} = \frac{\Delta h_2}{x_2} = \frac{\Delta h_1 + \Delta h_2}{L} $ ومنه: $ x_1 = \frac{\Delta h_1 \cdot L}{\Delta h_1 + \Delta h_2} $ $ x_2 = \frac{\Delta h_2 \cdot L}{\Delta h_1 + \Delta h_2} = L - x_1 $

> النقطة الوهمية: $x_1 = \Delta h_1 \cdot L / (\Delta h_1 + \Delta h_2)$ من المقطع الذي عمقه $\Delta h_1$. في المقام مجموع القيمتين المطلقتين، لأن إحداهما حفر والأخرى ردم.

منسوبها ومسافتها المتراكمة

• المنسوب: PF نقطة من خط المشروع، فمنسوبها $Z_{PF} = Z_{projet,n} \pm p \cdot x_1$ (الإشارة حسب الميل). وهي أيضا نقطة من خط الأرض، فيمكن التحقق بالاستيفاء على خط الأرض بين المقطعين؛ يجب أن نجد القيمة نفسها.
• المسافة المتراكمة: $D_{PF} = D_n + x_1$.

مثال محلول 1: النقطتان الوهميتان لطريقنا

من الجزء الرابع: $h = +0{,}50\ m$ في P3 و $h = -0{,}33\ m$ في P4 (المسافة بينهما $31{,}42\ m$)، و $h = -0{,}20\ m$ في P5 و $h = +0{,}40\ m$ في P6 (المسافة $30{,}00\ m$). الميل بين P3 و P6 نازل $1{,}5\ \%$.

النقطة الوهمية الأولى PF1 (بين P3 و P4): $ x_1 = \frac{0{,}50 \times 31{,}42}{0{,}50 + 0{,}33} $

• من P3: $x_1 = 15{,}71 / 0{,}83 = 18{,}93\ m$؛
• من P4: $x_2 = 31{,}42 - 18{,}93 = 12{,}49\ m$؛
• المسافة المتراكمة: $55{,}00 + 18{,}93 = 73{,}93\ m$؛
• المنسوب على خط المشروع: $121{,}10 - 0{,}015 \times 18{,}93 = 120{,}82\ m$؛
• تحقق على خط الأرض (ينزل $1{,}30\ m$ من P3 إلى P4): $121{,}60 - 1{,}30 \times 18{,}93/31{,}42 = 120{,}82\ m$. القيمتان متطابقتان.

النقطة الوهمية الثانية PF2 (بين P5 و P6): $ x_1 = \frac{0{,}20 \times 30{,}00}{0{,}20 + 0{,}40} $

• من P5: $x_1 = 6{,}00 / 0{,}60 = 10{,}00\ m$؛
• من P6: $x_2 = 20{,}00\ m$؛ المسافة المتراكمة: $121{,}42 + 10{,}00 = 131{,}42\ m$؛
• المنسوب: $120{,}10 - 0{,}015 \times 10{,}00 = 119{,}95\ m$.

أطوال الحفر والردم على المحور: حفر من P1 إلى PF1 ($73{,}93\ m$)، ردم من PF1 إلى PF2 ($131{,}42 - 73{,}93 = 57{,}49\ m$)، ثم حفر من PF2 إلى P6 ($20{,}00\ m$). المجموع $151{,}42\ m$.

رسم المظهر الطولي خطوة بخطوة

• السلّمان ومستوى المقارنة: أفقي $1/1000$ وشاقولي $1/100$. أصغر منسوب في طريقنا $119{,}65\ m$ (المشروع في P6)، فنختار مستوى المقارنة $118{,}00\ m$.
• الجدول: نرسم أسطر الجدول تحت خط مستوى المقارنة، ونكتب عناوينها في عمود على اليسار.
• المقاطع: نضع كل مقطع على مسافته المتراكمة بالسلّم الأفقي ($1\ cm$ لكل $10\ m$): P6 على $15{,}14\ cm$ من P1. نرسم من كل مقطع خطا شاقوليا رقيقا عبر الجدول.
• خط الأرض: على شاقول كل مقطع نعلّم نقطة ارتفاعها $(Z_{TN} - 118{,}00)$ سنتيمترا فوق خط PC (مثلا P3: $3{,}6\ cm$)، ونصل النقاط بخط أسود رفيع.
• خط المشروع: بالطريقة نفسها بمناسيب المشروع، ونصل النقاط بخط أحمر سميك.
• النقاط الوهمية: نعلّمها على مسافاتها المحسوبة ونرسم منها خطا شاقوليا متقطعا، ونكتب منسوبها في سطري المناسيب ومسافتها المتراكمة في سطرها.
• التلوين: الحفر (الأرض فوق المشروع) بالأصفر، والردم بالأحمر.
• إكمال الجدول: المناسيب (الأرض بالأسود والمشروع بالأحمر)، المسافات الجزئية والمتراكمة، سطر الميول، سطر الترصيفات والمنعرجات؛ ثم العنوان والسلّمان.


يبيّن الشكل المظهر الطولي الكامل لطريقنا: الحفر بالأصفر من P1 إلى PF1 ومن PF2 إلى P6، والردم بالأحمر بينهما. في الجدول تحته: مناسيب الأرض ومناسيب المشروع (بالأحمر) في المقاطع الستة وفي النقطتين الوهميتين (المنسوب نفسه في السطرين)، المسافات الجزئية، والمسافات المتراكمة للمقاطع وللنقطتين الوهميتين ($73{,}93$ و $131{,}42\ m$)، سطر الميول (صاعد $2{,}00\ \%$ على $55{,}00\ m$ ثم نازل $1{,}50\ \%$ على $96{,}42\ m$)، وسطر الترصيفات والمنعرجات (ترصيف $55{,}00\ m$، منعرج نحو اليمين بخانة فوق الخط فيها $R = 50\ m$ و $\alpha = 36°$ و $L = 31{,}42\ m$، ترصيف $65{,}00\ m$). الارتفاعات مكبّرة عشر مرات بالنسبة للأطوال، كما يفرضه السلّمان.

مثال محلول 2: مقطعان في الحالة نفسها

في المقطعين P1 و P2 من طريقنا: $h = +0{,}40\ m$ و $h = +0{,}50\ m$. هل توجد نقطة وهمية بينهما؟

الحل: الإشارة نفسها (حفر في المقطعين)، فلا نقطة وهمية بينهما. لو طبّقنا العلاقة خطأً بفرق القيمتين في المقام لوجدنا $x_1 = 0{,}40 \times 30/(0{,}50 - 0{,}40) = 120\ m$، أي خارج المجال بين المقطعين: هذا دليل على أن الخطّين لا يتقاطعان بينهما.

ملاحظة للامتحان

• حدّد بوضوح المقطع الذي تقيس منه $x_1$، وتحقّق أن $x_1 + x_2 = L$.
• احسب منسوب PF بطريقتين (خط المشروع وخط الأرض) إن سمح الوقت؛ تطابقهما يثبت صحة الحساب.
• في الجدول، تُكتب للنقطة الوهمية قيمة واحدة في سطري المناسيب، ويرسم شاقولها متقطعا.

أخطاء شائعة

• تبديل $\Delta h_1$ و $\Delta h_2$: المسافة من المقطع الذي عمقه أكبر تكون أكبر؛ تحقّق بالمنطق.
• وضع فرق القيمتين في المقام بدل مجموعهما.
• استعمال المناسيب نفسها بدل الأعماق h في العلاقة.
• نسيان إضافة $D_n$ للحصول على المسافة المتراكمة للنقطة الوهمية.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل في تمرين المظهر الطولي

تمرين المظهر الطولي في البكالوريا يتبع غالبا الترتيب نفسه، وتُعاد الإجابة في جدول يُسلَّم مع الورقة:

• أطوال المنعرجات $L = \pi R \alpha / 180$، ثم المسافات الجزئية والمتراكمة؛
• مناسيب الأرض الطبيعية (معطاة، أو بالاستيفاء بين منحنيات التسوية)؛
• ميول المشروع $p = \Delta h / L$ ومناسيبه $Z = Z_{connu} \pm p \cdot L$؛
• عمق الأشغال $h = Z_{TN} - Z_{projet}$ وطبيعتها؛
• النقاط الوهمية $x_1 = \Delta h_1 \cdot L / (\Delta h_1 + \Delta h_2)$ ومناسيبها؛
• مستوى المقارنة والرسم بالسلّمين والتلوين، وإكمال سطري الميول والترصيفات والمنعرجات.

اكتب كل علاقة قبل التعويض، والوحدة مع كل نتيجة، واحتفظ برقمين بعد الفاصلة للمناسيب والمسافات.

التمرين 1: طريق بلدي من مخطط الموقع

المعطيات: يُراد إنجاز جزء من طريق بلدي يربط حيّا سكنيا بالطريق الولائي. المسقط الأفقي (الشكل) مرسوم على المخطط الطبوغرافي بالسلّم $1/1000$، والبعد المتساوي لمنحنيات التسوية $1\ m$.


يبيّن الشكل المحور: ترصيف P1P2 ($4{,}0\ cm$ على المخطط)، ثم منعرج نحو اليسار P2P3 مركزه O ($R = 70\ m$، $\alpha = 25°$)، ثم ترصيف P3P4 ($3{,}5\ cm$) و P4P5 ($3{,}0\ cm$).

قياسات المقاطع على المخطط الطبوغرافي (d مقيسة من المنحنى الأدنى):

| المقطع | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | |---|---|---|---|---|---| | الموضع | على المنحنى 102 | بين 102 و 103 | بين 103 و 104 | بين 102 و 103 | بين 101 و 102 | | d / D (cm) | — | 0,9 / 2,0 | 0,6 / 1,5 | 1,4 / 2,0 | 0,5 / 2,5 |

خط المشروع: منسوبه في P1 هو $102{,}20\ m$، يصعد بميل $1\ \%$ حتى P3، ثم ينزل بميل ثابت حتى P5 حيث منسوبه $101{,}61\ m$.

المطلوب:

• احسب طول المنعرج، ثم المسافات الجزئية والمتراكمة.
• احسب مناسيب الأرض الطبيعية في المقاطع.
• احسب مناسيب المشروع في P2 و P3، ثم الميل الثاني ومنسوب P4.
• احسب عمق الأشغال في كل مقطع وحدّد طبيعتها.
• حدّد النقاط الوهمية (بعدها عن المقطع السابق، مسافتها المتراكمة، منسوبها).
• اقترح مستوى المقارنة، وصف تمثيل المنعرج في سطر الترصيفات والمنعرجات.

الحل:

1. $L = \pi \times 70 \times 25 / 180 = 30{,}54\ m$. الترصيفات: $4{,}0 \times 10 = 40{,}00\ m$، $35{,}00\ m$، $30{,}00\ m$.

| المقطع | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | |---|---|---|---|---|---| | المسافة الجزئية (m) | — | 40,00 | 30,54 | 35,00 | 30,00 | | المسافة المتراكمة (m) | 0,00 | 40,00 | 70,54 | 105,54 | 135,54 |

2. بالعلاقة $Z = Z_A + e \cdot d/D$:

• P1: على المنحنى، $102{,}00\ m$؛
• P2: $102 + 0{,}9/2{,}0 = 102{,}45\ m$؛
• P3: $103 + 0{,}6/1{,}5 = 103{,}40\ m$؛
• P4: $102 + 1{,}4/2{,}0 = 102{,}70\ m$؛
• P5: $101 + 0{,}5/2{,}5 = 101{,}20\ m$.

3. ميل صاعد $1\ \%$ من P1:

• $Z_{P2} = 102{,}20 + 0{,}01 \times 40{,}00 = 102{,}60\ m$؛
• $Z_{P3} = 102{,}20 + 0{,}01 \times 70{,}54 = 102{,}91\ m$.

الميل الثاني على $135{,}54 - 70{,}54 = 65{,}00\ m$: $p_2 = (102{,}91 - 101{,}61)/65{,}00 = 0{,}02$، أي نازل $2\ \%$. ومنه $Z_{P4} = 102{,}91 - 0{,}02 \times 35{,}00 = 102{,}21\ m$.

4.

| المقطع | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | |---|---|---|---|---|---| | TN (m) | 102,00 | 102,45 | 103,40 | 102,70 | 101,20 | | المشروع (m) | 102,20 | 102,60 | 102,91 | 102,21 | 101,61 | | h (m) | −0,20 | −0,15 | +0,49 | +0,49 | −0,41 | | الطبيعة | ردم | ردم | حفر | حفر | ردم |

5. تتغيّر الإشارة بين P2 و P3، وبين P4 و P5:

• PF1 بين P2 و P3: $x_1 = 0{,}15 \times 30{,}54 / (0{,}15 + 0{,}49) = 7{,}16\ m$ من P2؛ المسافة المتراكمة $47{,}16\ m$؛ المنسوب $102{,}60 + 0{,}01 \times 7{,}16 = 102{,}67\ m$.
• PF2 بين P4 و P5: $x_1 = 0{,}49 \times 30{,}00 / (0{,}49 + 0{,}41) = 16{,}33\ m$ من P4؛ المسافة المتراكمة $121{,}87\ m$؛ المنسوب $102{,}21 - 0{,}02 \times 16{,}33 = 101{,}88\ m$.

تحقق PF2 على خط الأرض (ينزل $1{,}50\ m$ من P4 إلى P5): $102{,}70 - 1{,}50 \times 16{,}33/30 = 101{,}88\ m$.

6. أصغر منسوب $101{,}20\ m$ (الأرض في P5)، فنختار مستوى المقارنة $100{,}00\ m$. المنعرج ينعطف نحو اليسار في اتجاه السير، فتُرسم خانته تحت الخط بين P2 و P3، ويُكتب فيها $R = 70\ m$ و $\alpha = 25°$ و $L = 30{,}54\ m$؛ قبله ترصيف $40{,}00\ m$ وبعده ترصيف $65{,}00\ m$.

التمرين 2: إكمال جدول مظهر طولي

المعطيات: جزء من طريق وطني بسبعة مقاطع. المسافات الجزئية: P1P2 $40$، P2P3 $30$، P3P4 $30$، P4P5 $40$، P5P6 $50$، P6P7 $40\ m$. مناسيب الأرض: $205{,}00$، $206{,}20$، $205{,}60$، $203{,}80$، $203{,}20$، $204{,}10$، $203{,}50\ m$. مناسيب المشروع المعطاة: P1 $205{,}40\ m$، P4 $204{,}20\ m$، P7 $202{,}90\ m$. السلّمان $1/1000$ و $1/100$.

المطلوب: 1. المسافات المتراكمة. 2. ميلا المشروع ومناسيبه. 3. عمق الأشغال وطبيعتها. 4. النقاط الوهمية. 5. أطوال الحفر والردم على المحور. 6. مستوى المقارنة والرسم.

الحل:

1. المسافات المتراكمة: $0$، $40$، $70$، $100$، $140$، $190$، $230\ m$.

2. الميل الأول (P1 إلى P4، $100\ m$): $p_1 = (205{,}40 - 204{,}20)/100 = 0{,}012$، نازل $1{,}2\ \%$. الميل الثاني (P4 إلى P7، $130\ m$): $p_2 = (204{,}20 - 202{,}90)/130 = 0{,}010$، نازل $1\ \%$.

• $Z_{P2} = 205{,}40 - 0{,}012 \times 40 = 204{,}92\ m$، $Z_{P3} = 205{,}40 - 0{,}012 \times 70 = 204{,}56\ m$؛
• $Z_{P5} = 204{,}20 - 0{,}01 \times 40 = 203{,}80\ m$، $Z_{P6} = 204{,}20 - 0{,}01 \times 90 = 203{,}30\ m$.

3. و 4.

| المقطع | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 | P7 | |---|---|---|---|---|---|---|---| | المتراكمة (m) | 0 | 40 | 70 | 100 | 140 | 190 | 230 | | TN (m) | 205,00 | 206,20 | 205,60 | 203,80 | 203,20 | 204,10 | 203,50 | | المشروع (m) | 205,40 | 204,92 | 204,56 | 204,20 | 203,80 | 203,30 | 202,90 | | h (m) | −0,40 | +1,28 | +1,04 | −0,40 | −0,60 | +0,80 | +0,60 | | الطبيعة | ردم | حفر | حفر | ردم | ردم | حفر | حفر |

ثلاث نقاط وهمية (حيث تتغيّر الإشارة):

• PF1 بين P1 و P2: $x_1 = 0{,}40 \times 40/(0{,}40 + 1{,}28) = 9{,}52\ m$ من P1؛ المنسوب $205{,}40 - 0{,}012 \times 9{,}52 = 205{,}29\ m$.
• PF2 بين P3 و P4: $x_1 = 1{,}04 \times 30/(1{,}04 + 0{,}40) = 21{,}67\ m$ من P3 (المسافة المتراكمة $91{,}67\ m$)؛ المنسوب $204{,}56 - 0{,}012 \times 21{,}67 = 204{,}30\ m$.
• PF3 بين P5 و P6: $x_1 = 0{,}60 \times 50/(0{,}60 + 0{,}80) = 21{,}43\ m$ من P5 (المسافة المتراكمة $161{,}43\ m$)؛ المنسوب $203{,}80 - 0{,}01 \times 21{,}43 = 203{,}59\ m$.

5. على المحور: ردم من 0 إلى $9{,}52\ m$، حفر حتى $91{,}67\ m$ ($82{,}15\ m$)، ردم حتى $161{,}43\ m$ ($69{,}76\ m$)، حفر حتى $230\ m$ ($68{,}57\ m$). المجموع: حفر $150{,}72\ m$ وردم $79{,}28\ m$، أي $230{,}00\ m$.

6. أصغر منسوب $202{,}90\ m$، فمستوى المقارنة $201{,}00\ m$ مثلا.


يبيّن الشكل المظهر المطلوب بالسلّمين $1/1000$ و $1/100$: خط المشروع الأحمر ينزل بميلين متتاليين، والأرض تتقاطع معه في PF1 و PF2 و PF3؛ الحفر بالأصفر بين PF1 و PF2 وبعد PF3، والردم بالأحمر قبل PF1 وبين PF2 و PF3.

التمرين 3: ميل ثابت ومراجعة المشروع

المعطيات: طريق وطني طوله $120\ m$، سرعته المرجعية $80\ km/h$ (ميل أقصى نموذجي $6\ \%$). خط المشروع يصعد بميل ثابت $2{,}5\ \%$ انطلاقا من منسوب $310{,}00\ m$ في P1.

| المقطع | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | |---|---|---|---|---|---| | المسافة المتراكمة (m) | 0 | 20 | 60 | 90 | 120 | | TN (m) | 309,20 | 310,90 | 312,10 | 312,55 | 312,40 |

المطلوب: 1. هل الميل مقبول؟ 2. مناسيب المشروع وعمق الأشغال. 3. النقاط الوهمية. 4. طولا الحفر والردم. 5. يقترح المهندس ميلا ثابتا جديدا يجعل منسوب المشروع في P5 مساويا لمنسوب الأرض. احسبه، ثم احسب عمق الأشغال الجديد في P4.

الحل:

1. $2{,}5\ \%$ أقل من $6\ \%$ وأكبر من $0{,}5\ \%$: الميل مقبول.

2. $Z = 310{,}00 + 0{,}025 \cdot D$:

| المقطع | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | |---|---|---|---|---|---| | المشروع (m) | 310,00 | 310,50 | 311,50 | 312,25 | 313,00 | | h (m) | −0,80 | +0,40 | +0,60 | +0,30 | −0,60 | | الطبيعة | ردم | حفر | حفر | حفر | ردم |

3.

• PF1 بين P1 و P2: $x_1 = 0{,}80 \times 20/(0{,}80 + 0{,}40) = 13{,}33\ m$ من P1؛ المنسوب $310{,}00 + 0{,}025 \times 13{,}33 = 310{,}33\ m$.
• PF2 بين P4 و P5: $x_1 = 0{,}30 \times 30/(0{,}30 + 0{,}60) = 10{,}00\ m$ من P4، أي على المسافة المتراكمة $100{,}00\ m$؛ المنسوب $312{,}25 + 0{,}025 \times 10 = 312{,}50\ m$. (تحقق: الأرض بين P4 و P5 تنزل $0{,}15\ m$ على $30\ m$، $312{,}55 - 0{,}05 = 312{,}50\ m$.)

4. ردم من 0 إلى $13{,}33\ m$ ومن $100$ إلى $120\ m$: $13{,}33 + 20{,}00 = 33{,}33\ m$. حفر من $13{,}33$ إلى $100\ m$: $86{,}67\ m$. المجموع $120\ m$.

5. الميل الجديد: $p = (312{,}40 - 310{,}00)/120 = 0{,}020$، أي صاعد $2\ \%$. منسوب المشروع الجديد في P4: $310{,}00 + 0{,}02 \times 90 = 311{,}80\ m$، فعمق الأشغال $312{,}55 - 311{,}80 = +0{,}75\ m$ (حفر أعمق من قبل). تخفيض الميل يزيد الحفر في وسط المقطع ويلغي الردم عند P5: الاختيار بين الحلّين يتعلّق بموازنة الحفر والردم وبكلفة الأشغال.