الأرضيات

3. اتجاه الرويفدات وقواعد اختيار سمك الأرضية

اتجاه الرويفدات (sens des poutrelles)

قبل حساب أي شيء في أرضية ذات أجسام مجوفة، يجب أن نقرر في أي اتجاه نضع الرويفدات، لأن هذا الاتجاه يحدد البحر L الذي يدخل في كل الحسابات، ويحدد أي الروافد تحمل الأرضية.

> توضع الرويفدات موازية للبحر الأصغر (petite portée) للفتحة، وتستند إلى الروافد الرئيسية العمودية عليها. أما الروافد الموازية للرويفدات فهي روافد ثانوية (سلاسل chaînages) لا تحمل من الأرضية إلا القليل.

قواعد الاختيار:

• البحر الأصغر: عزم الانحناء في الرويفدة يتناسب مع مربع بحرها ($M = qL^2/8$)، فكلما قصر البحر صغر العزم والسهم، فنحتاج سمكا أقل وتسليحا أقل.
• الاستمرارية: نحافظ على الاتجاه نفسه في الفتحات المتجاورة ما أمكن، فتمر الرويفدات فوق الروافد مستمرة، وهذا يقلل العزوم ويسهل الإنجاز.
• المساند المتوفرة: يجب أن تجد الرويفدة رافدة رئيسية (أو جدارا حاملا) عند طرفيها.


يبيّن المخطط أرضية بفتحتين بين المحاور 1 و 2 و 3 (بحران 3,80 m و 4,20 m) والمحورين A و B (5,60 m). البحر الأصغر في كل فتحة هو الاتجاه الأفقي، فتوضع الرويفدات (الخطوط البنية) أفقيا، والسهمان الأحمران يبيّنان اتجاه الحمل. تستند الرويفدات إلى الروافد الرئيسية (بالرمادي الغامق) على المحاور 1 و 2 و 3، أما الروافد على المحورين A و B فهي سلاسل موازية للرويفدات.

مثال محلول 1: اختيار الاتجاه في المخطط

• الفتحة الأولى: $3{,}80 \times 5{,}60\ m$، والفتحة الثانية: $4{,}20 \times 5{,}60\ m$. البحر الأصغر في الفتحتين هو الاتجاه 1-2-3 (3,80 و 4,20 m).
• إذن توضع الرويفدات موازية للمحورين A و B (وعمودية على المحاور 1 و 2 و 3)، مستمرة عبر الفتحتين، وتستند إلى الروافد الرئيسية على المحاور 1 و 2 و 3؛ والروافد على المحورين A و B سلاسل.
• البحر الأكبر للرويفدات: $L_{max} = 4{,}20\ m$، وهو الذي نستعمله في شرط السمك.
• لو وضعناها في الاتجاه الآخر لكان بحرها 5,60 m، وعزمها أكبر بنسبة $(5{,}60/4{,}20)^2 = 1{,}78$، أي بحوالي $78\ \%$.

سمك الأرضية ذات الأجسام المجوفة

يُختار السمك الكلي $h_t$ (جسم مجوف + بلاطة انضغاط) بحيث يبقى السهم مقبولا، وفق القاعدة:

$ h_t \ge \frac{L}{22{,}5} $

حيث L أكبر بحر للرويفدات (بين وجهي المسندين؛ وفي تمارين البكالوريا يُعطى البحر مباشرة أو يؤخذ بين المحاور حسب نص الموضوع). ثم نختار أصغر نوع متداول يحقق الشرط:

| النوع | $h_t$ (cm) | أكبر بحر مسموح $22{,}5 \cdot h_t$ | |---|---|---| | 16+4 | 20 | 4,50 m | | 20+4 | 24 | 5,40 m | | 20+5 | 25 | 5,62 m |

مثال محلول 2: سمك أرضية المخطط

$L_{max} = 4{,}20\ m = 420\ cm$:

$ h_t \ge \frac{420}{22{,}5} = 18{,}67\ cm $

نختار أرضية 16+4 ($h_t = 20\ cm$)، لأن $20 \ge 18{,}67$.

مثال محلول 3: بحر أكبر

إذا كان $L_{max} = 5{,}00\ m$: $h_t \ge 500/22{,}5 = 22{,}22\ cm$. الأرضية 16+4 (20 cm) لا تكفي، فنختار 20+4 ($24\ cm$، لأن $24 \ge 22{,}22$)؛ وتصلح 20+5 أيضا لكنها أثقل.

سمك البلاطة المملوءة

نسمي Lx البحر الأصغر للبلاطة و Ly البحر الأكبر، ونحسب النسبة:

$ \rho = \frac{L_x}{L_y} \le 1 $


يبيّن أعلى الشكل بلاطة مستندة إلى أربع روافد، بحرها الأصغر $L_x = 4{,}00\ m$ والأكبر $L_y = 5{,}00\ m$، والسهمان يدلان على أنها تحمل في الاتجاهين. وأسفله المقطع A-A قرب مسند (يُشرح في الجزء 4).

| الحالة | طريقة الحمل | شرط السمك | |---|---|---| | $\rho < 0{,}4$ أو بلاطة على مسندين متقابلين | في اتجاه واحد (Lx) | $e \ge L_x/30$ | | $0{,}4 \le \rho \le 1$ على 3 أو 4 مساند | في الاتجاهين | $e \ge L_x/40$ |

ملاحظات:

• تُكتب هذه القواعد كثيرا في شكل مجالات: $e$ من $L/30$ إلى $L/28$ لبلاطة على مسندين، ومن $L/50$ إلى $L/40$ لبلاطة على 3 أو 4 مساند. الحدان $L_x/30$ و $L_x/40$ يكفيان في التمارين، ويُحترم دائما ما يعطيه نص الموضوع.
• يجب أيضا تحقيق مقاومة الحريق، والقيم المتداولة: $e \ge 7\ cm$ لساعة واحدة، و $e \ge 11\ cm$ لساعتين.
• ومن أجل العزل الصوتي بين المساكن تُفضل بلاطة ثقيلة، فتؤخذ البلاطات المملوءة في السكن عادة بسمك 12 إلى 16 cm.

مثال محلول 4: بلاطة على أربعة مساند

بلاطة $L_x = 4{,}00\ m$، $L_y = 5{,}00\ m$ (الشكل):

• $\rho = 4{,}00/5{,}00 = 0{,}80$، و $0{,}4 \le 0{,}80 \le 1$: البلاطة تحمل في الاتجاهين.
• شرط الصلابة: $e \ge 400/40 = 10\ cm$.
• شرط الحريق (ساعتان): $e \ge 11\ cm$.
• السمك الأدنى هو الأكبر بين القيمتين: 11 cm، ونأخذ قيمة مدورة؛ وفي مسكن يُعتمد $e = 15\ cm$ لتحسين العزل الصوتي.

مثال محلول 5: بلاطة رواق ضيقة

بلاطة رواق $1{,}40 \times 6{,}00\ m$ مستندة إلى أربع روافد:

• $\rho = 1{,}40/6{,}00 = 0{,}23 < 0{,}4$: البلاطة تحمل في اتجاه واحد (الاتجاه القصير)، رغم أنها على أربعة مساند.
• شرط الصلابة: $e \ge 140/30 = 4{,}67\ cm$.
• شرط الحريق (ساعتان) هو الحاكم: $e \ge 11\ cm$، فنعتمد $e = 12\ cm$.

أخطاء شائعة

• قسمة البحر الأكبر على $22{,}5$ أو على 40 بدل البحر الأصغر (الرويفدات توضع في البحر الأصغر، وشرط البلاطة يُكتب بـ Lx).
• مقارنة 16 cm (ارتفاع الجسم المجوف) بـ $L/22{,}5$ بدل السمك الكلي 20 cm.
• حساب $\rho = L_y/L_x$ فتصبح النسبة أكبر من 1 ويضيع الحكم.
• خلط الوحدات: $420/22{,}5$ يعطي سنتيمترات إذا كان L بالسنتيمتر؛ و $4{,}20/22{,}5 = 0{,}187\ m$.
• ملاحظة للامتحان: اكتب دائما الشرط، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها، ثم الاختيار مع المقارنة ($20 \ge 18{,}67$).

4. البلاطة المملوءة والأرضية على الردم والأرضيات الأخرى

البلاطة المملوءة (dalle pleine)

البلاطة المملوءة صفيحة من الخرسانة المسلحة كاملة السمك (عادة 12 إلى 20 cm)، تُصب في الموقع فوق قالب خشبي أو معدني مسنود، وتستند إلى روافد أو جدران على اثنين أو ثلاثة أو أربعة من أطرافها.

نستعملها حيث لا تناسب الأرضية ذات الأجسام المجوفة:

• الحمولات الكبيرة أو المركزة (قاعات، مخازن، غرف آلات المصعد).
• الأشكال غير المنتظمة (فتحات مائلة أو منحنية) والفتحات القريبة من المربع حيث يفيد الحمل في الاتجاهين.
• البلاطات الظفرية (balcons) وفسحات المدارج (paliers) والحصيرة (paillasse) التي تُدرس في درس المدارج.
• الأماكن الرطبة ومواضع تمرير الشبكات الكثيرة، وفي البنايات التي يُطلب فيها عزل صوتي ومقاومة حريق كبيران.

تسليح البلاطة المملوءة

انظر المقطع A-A في شكل البلاطة (الجزء 3): البلاطة تنحني فيُشد وجهها السفلي في وسط البحر، فيوضع التسليح الرئيسي في الأسفل:

• قضبان سفلية موازية لـ Lx (البحر الأصغر): هي التسليح الرئيسي لأن العزم في اتجاه Lx أكبر، فتوضع في الطبقة السفلى لتكون ذراع الرافعة أكبر.
• قضبان سفلية موازية لـ Ly فوقها مباشرة: تسليح الاتجاه الثاني (أو تسليح التوزيع في البلاطة التي تحمل في اتجاه واحد).
• قضبان المساند العلوية (chapeaux): فوق الروافد، في الوجه العلوي، لأن البلاطة المستمرة أو المثبتة جزئيا في الرافدة يُشد وجهها العلوي قرب المسند.
• التغطية (enrobage) حوالي 2 cm للبلاطات الداخلية لحماية الفولاذ من الصدأ والحريق.

قواعد بناء بسيطة (BAEL، لبلاطة تحت حمولات موزعة سمكها e):

• قطر القضبان: $\phi_{max} \le e/10$.
• تباعد القضبان الرئيسية (موازية لـ Lx): $s_t \le \min(3e\ ;\ 33\ cm)$.
• تباعد القضبان في الاتجاه الثاني (موازية لـ Ly): $s_t \le \min(4e\ ;\ 45\ cm)$.

مثال محلول 1: التحقق من تسليح مقترح

بلاطة سمكها $e = 15\ cm$، اقترح مكتب الدراسات قضبانا HA10 كل 20 cm في الاتجاهين.

• القطر: $\phi_{max} \le 150/10 = 15\ mm$، و $10 \le 15$: محقق.
• التباعد الرئيسي: $\min(3 \times 15\ ;\ 33) = \min(45\ ;\ 33) = 33\ cm$، و $20 \le 33$: محقق.
• التباعد الثانوي: $\min(4 \times 15\ ;\ 45) = \min(60\ ;\ 45) = 45\ cm$، و $20 \le 45$: محقق.
• المقطع الحقيقي في المتر: 5 قضبان HA10، أي $5 \times 0{,}79 = 3{,}95\ cm^2/m$ في كل اتجاه.

مقارنة بالأرضية ذات الأجسام المجوفة

| المعيار | البلاطة المملوءة | الأرضية ذات الأجسام المجوفة | |---|---|---| | الوزن الذاتي | ثقيلة: $25 \times e$ (مثلا $3{,}75\ kN/m^2$ لـ 15 cm) | خفيفة: حوالي $2{,}8\ kN/m^2$ لـ 16+4 | | طريقة الحمل | في اتجاه واحد أو في الاتجاهين | في اتجاه واحد فقط | | الأشكال | كل الأشكال، والبلاطات الظفرية | فتحات مستطيلة منتظمة | | الإنجاز | قالب كامل، خرسانة وفولاذ أكثر | قالب ضائع، أسرع وأرخص | | العزل الصوتي | جيد بفضل الكتلة | جيد بفضل الفراغات |

الأرضية على الردم (dalle sur terre-plein)

هي أرضية الطابق الأرضي التي تُصب مباشرة فوق التربة بعد تهيئتها، فلا تحتاج روافد تحملها: حمولتها تنتقل إلى التربة مباشرة.


يبيّن المقطع الطبقات من الأسفل إلى الأعلى، وعلى اليسار جدار يستند إلى سلسلة أرضية (longrine):

| الطبقة | السمك التقريبي | الدور | |---|---|---| | التربة المدكوكة (sol compacté) | — | ننزع التربة النباتية ثم ندك التربة لتصبح مستوية ومقاومة | | طبقة الحجارة (hérisson) | 15 إلى 20 cm | حجارة جافة مرصوفة تقطع صعود الرطوبة بالخاصية الشعرية وتوزع الحمولة | | غشاء البوليان (film polyane) | رقيق | يمنع صعود الرطوبة ويمنع تسرب ماء الخرسانة الطرية إلى الحجارة | | البلاطة الخرسانية | 8 إلى 12 cm | مسلحة بشبكة ملحمة (TS) ضد التشقق | | التكسية | 4 إلى 6 cm | ملاط وبلاط |

إذا كانت التربة رطبة جدا أو ضعيفة، يُفضّل إنجاز أرضية فوق فراغ صحي (vide sanitaire): أرضية ذات أجسام مجوفة تستند إلى السلاسل الأرضية، وتحتها فراغ مهوّى ارتفاعه حوالي 40 إلى 80 cm.

مثال محلول 2: كميات أرضية على الردم

قاعة أبعادها $6{,}00 \times 8{,}00\ m$، طبقة حجارة 20 cm وبلاطة 10 cm.

• المساحة: $S = 6{,}00 \times 8{,}00 = 48\ m^2$.
• حجم الحجارة: $48 \times 0{,}20 = 9{,}6\ m^3$.
• حجم خرسانة البلاطة: $48 \times 0{,}10 = 4{,}8\ m^3$.
• الوزن الذاتي للبلاطة: $0{,}10 \times 25 = 2{,}5\ kN/m^2$، ينتقل إلى التربة مباشرة ولا يُحسب على الروافد.

الأرضيات الفولاذية والخشبية


يبيّن الشكل (a) أرضية مختلطة فولاذ-خرسانة (plancher mixte): روافد فولاذية IPE تحمل صفيحة فولاذية مموجة (bac acier) تُصب فوقها بلاطة خرسانية بشبكة ملحمة، والروابط (connecteurs) الملحومة على الرافدة تجعل الفولاذ والخرسانة يعملان معا. ويبيّن الشكل (b) أرضية خشبية: عوارض خشبية (solives) متباعدة حوالي 50 cm، فوقها ألواح الأرضية، وتحتها السقف.

| النوع | المزايا | العيوب | |---|---|---| | مختلطة فولاذ-خرسانة | خفيفة، سريعة الإنجاز، بحور كبيرة، الصفيحة قالب ضائع | تحتاج حماية من الحريق والصدأ، كلفة أعلى | | خشبية | خفيفة جدا، سهلة التنفيذ والترميم | ضعيفة أمام الحريق والرطوبة والحشرات، عزل صوتي ضعيف |

الأرضيات الجاهزة (préfabriqués)

عناصر تُصنع في المصنع وتُركّب في الموقع بالرافعة، مثل البلاطات المجوفة طوليا (dalles alvéolées) والبلاطات الرقيقة التي تُصب فوقها طبقة خرسانة في الموقع (prédalles). سمكها غالبا 14 إلى 16 cm في البحور العادية. مزاياها: سرعة كبيرة وجودة صناعية؛ عيوبها: تحتاج رافعة وطرق نقل، وتصميما دقيقا لأبعاد البناية.

ملاحظة للامتحان

• في سؤال «سمّ نوع الأرضية» على شكل: إذا رأيت أجساما مجوفة بين أعصاب فهي أرضية ذات أجسام مجوفة؛ إذا رأيت خرسانة كاملة السمك بتسليح في الاتجاهين فهي بلاطة مملوءة؛ إذا رأيت حجارة تحت البلاطة فهي أرضية على الردم.
• أخطاء شائعة: وضع التسليح الرئيسي للبلاطة في الأعلى في وسط البحر؛ وضع القضبان الموازية لـ Ly تحت القضبان الموازية لـ Lx؛ نسيان دور غشاء البوليان؛ حساب وزن الأرضية على الردم ضمن حمولة الروافد.

5. حمولات الأرضية: الدائمة والمتغيرة ونقلها

نوعا الحمولات

كل حساب للرويفدات والروافد والأعمدة يبدأ بمعرفة حمولة الأرضية في المتر المربع. نميز نوعين:

• الحمولات الدائمة G (charges permanentes): موجودة طوال عمر البناية بقيمة ثابتة تقريبا: الوزن الذاتي للأرضية، التكسيات (بلاط، ملاط، رمل، تلبيس)، الجدران الفاصلة الخفيفة (cloisons).
• الحمولات المتغيرة أو حمولات الاستغلال Q (charges d'exploitation): الأشخاص والأثاث والتجهيزات؛ قيمتها تُؤخذ من الجداول حسب استعمال المحل.

> حمولة طبقة في المتر المربع = الوزن الحجمي × السمك: $g = \gamma \cdot e$، مع γ بـ $kN/m^3$ و e بالمتر، فتكون النتيجة بـ $kN/m^2$.

الأوزان الحجمية والقيم المتداولة

| المادة أو العنصر | القيمة المتداولة | |---|---| | الخرسانة المسلحة | $25\ kN/m^3$ | | ملاط الإسمنت (mortier) | $20\ kN/m^3$ | | البلاط (carrelage) | $22\ kN/m^3$ | | الرمل (sable) | $18\ kN/m^3$ | | تلبيس الإسمنت (enduit ciment) | $18\ kN/m^3$ | | تلبيس الجبس (enduit plâtre) | $10\ kN/m^3$ | | أرضية ذات أجسام مجوفة 16+4 | $2{,}80\ kN/m^2$ | | أرضية ذات أجسام مجوفة 20+5 | حوالي $3{,}30\ kN/m^2$ | | الجدران الفاصلة الخفيفة (موزعة) | حوالي $1{,}00\ kN/m^2$ |

هذه قيم متداولة في الدروس والمواضيع؛ إذا أعطى الموضوع قيما أخرى فاستعمل قيم الموضوع.

مثال محلول 1: الحمولة الدائمة لأرضية طابق


يبيّن الشكل (رسم تخطيطي بلا سلم) طبقات أرضية طابق من الأعلى: بلاط 2 cm، ملاط وضع 2 cm، طبقة رمل 2 cm، الأرضية 16+4، وتحتها تلبيس جبس 2 cm. نضيف الجدران الفاصلة الخفيفة الموزعة.

| الطبقة | الحساب | g ($kN/m^2$) | |---|---|---| | بلاط 2 cm | $0{,}02 \times 22$ | $0{,}44$ | | ملاط وضع 2 cm | $0{,}02 \times 20$ | $0{,}40$ | | طبقة رمل 2 cm | $0{,}02 \times 18$ | $0{,}36$ | | أرضية 16+4 | قيمة الجدول | $2{,}80$ | | تلبيس جبس 2 cm | $0{,}02 \times 10$ | $0{,}20$ | | جدران فاصلة | قيمة موزعة | $1{,}00$ | | المجموع G | | $5{,}20$ |

$ G = 5{,}20\ kN/m^2 $

الحمولات المتغيرة Q

| استعمال المحل | Q ($kN/m^2$) | |---|---| | سطح غير مستغل | $1{,}0$ | | سكن (غرف) | $1{,}5$ | | سطح مستغل | $1{,}5$ | | مكاتب، أقسام الدراسة، المدارج | $2{,}5$ | | شرفات (balcons) | $3{,}5$ | | محلات تجارية | $5{,}0$ |

هذه أيضا قيم متداولة لحمولات الاستغلال؛ يُستعمل دائما ما يعطيه نص الموضوع.

تركيب الحمولات

كما في درس الخرسانة المسلحة، نجمع G و Q بمعاملات حسب الحالة النهائية:

$ q_u = 1{,}35\,G + 1{,}5\,Q \quad (ELU) $

$ q_{ser} = G + Q \quad (ELS) $

للأرضية السابقة في سكن ($Q = 1{,}5\ kN/m^2$):

• $q_u = 1{,}35 \times 5{,}20 + 1{,}5 \times 1{,}5 = 7{,}02 + 2{,}25 = 9{,}27\ kN/m^2$.
• $q_{ser} = 5{,}20 + 1{,}5 = 6{,}70\ kN/m^2$.

نقل الحمولة إلى الرويفدة وإلى الرافدة


يبيّن الشكل المخطط نفسه (فتحتان 3,80 و 4,20 m): بالأزرق الشريط الذي تحمله رويفدة واحدة، عرضه التباعد بين المحاور 0,65 m وطوله بحرها؛ وبالمخطط الأحمر الشريط الذي تحمله الرافدة الرئيسية على المحور 2، عرضه نصف البحر من كل جهة: $3{,}80/2 + 4{,}20/2 = 4{,}00\ m$.

> حمولة الرويفدة في المتر الطولي = حمولة المتر المربع × التباعد بين المحاور. حمولة الرافدة في المتر الطولي = حمولة المتر المربع × (نصف البحر الأيسر + نصف البحر الأيمن) + وزنها الذاتي.

مثال محلول 2: الرويفدة الأكثر تحميلا

الرويفدة في الفتحة 2-3 (بحر $L = 4{,}20\ m$)، نعتبرها بسيطة الاستناد، والتباعد $0{,}65\ m$:

• $p_u = 9{,}27 \times 0{,}65 = 6{,}03\ kN/m$، و $p_{ser} = 6{,}70 \times 0{,}65 = 4{,}36\ kN/m$.
• الجهد القاطع الأعظمي عند المسند:

$ T_u = \frac{p_u L}{2} = \frac{6{,}03 \times 4{,}20}{2} $

$ T_u = 12{,}66\ kN $

• عزم الانحناء الأعظمي في الوسط:

$ M_u = \frac{p_u L^2}{8} = \frac{6{,}03 \times 4{,}20^2}{8} $

$ M_u = 13{,}30\ kN\cdot m $

وفي الحالة ELS: $M_{ser} = 4{,}36 \times 4{,}20^2 / 8 = 9{,}61\ kN\cdot m$. (الرويفدات في الحقيقة مستمرة فوق عدة مساند وتُحسب بطرق خاصة، لكن البحر البسيط الاستناد يعطي ترتيب القيم.)

مثال محلول 3: حمولة الرافدة على المحور 2

الرافدة مقطعها $30 \times 40\ cm$، وتحمل شريطا عرضه 4,00 m:

• من الأرضية: $9{,}27 \times 4{,}00 = 37{,}08\ kN/m$ (ELU).
• الوزن الذاتي للرافدة: $0{,}30 \times 0{,}40 \times 25 = 3{,}00\ kN/m$ (نأخذ كامل المقطع، وهو تقريب في جانب الأمان)، وفي ELU: $1{,}35 \times 3{,}00 = 4{,}05\ kN/m$.
• المجموع: $q_u = 37{,}08 + 4{,}05 = 41{,}13\ kN/m$.
• في ELS: $q_{ser} = 6{,}70 \times 4{,}00 + 3{,}00 = 29{,}80\ kN/m$.

هذه الحمولة هي التي تُستعمل بعد ذلك لرسم منحنيي T و Mf للرافدة في درس الانحناء المستوي البسيط، ثم لحساب حمولة الأعمدة.

أخطاء شائعة

• نسيان تحويل السمك إلى المتر: $2\ cm = 0{,}02\ m$ (كتابة $2 \times 22 = 44$ بدل $0{,}44$).
• إضافة وزن بلاطة الانضغاط مرة ثانية فوق قيمة الأرضية 16+4 (القيمة $2{,}80$ تشمل الرويفدات والأجسام المجوفة وبلاطة الانضغاط).
• ضرب Q في 1,35 و G في 1,5 (المعاملان معكوسان)، أو استعمال $G + Q$ في حساب ELU.
• أخذ عرض الشريط للرافدة الوسطى بحرا كاملا (3,80 أو 4,20 m) بدل نصف البحرين.
• ملاحظة للامتحان: قدّم حساب G في جدول (طبقة، حساب، قيمة)، فهو أوضح للمصحح وأقل عرضة للخطأ.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

المنشأ المدروس

نتابع في التمارين الثلاثة مسكنا فرديا من طابق أرضي وطابق أول بهيكل من الخرسانة المسلحة. أرضية الطابق الأول (موضوع الدراسة) فتحتان:

• بين المحاور 1 و 2 و 3: بحران 3,60 m و 4,40 m؛
• بين المحورين A و B: 5,00 m؛
• الروافد مقطعها $30 \times 40\ cm$، والأرضية ذات أجسام مجوفة، التباعد بين محاور الرويفدات 0,65 m؛
• الأوزان الحجمية: بلاط $22\ kN/m^3$، ملاط $20\ kN/m^3$، رمل $18\ kN/m^3$، تلبيس إسمنت $18\ kN/m^3$، خرسانة مسلحة $25\ kN/m^3$؛ الأرضية 16+4: $2{,}80\ kN/m^2$؛ الجدران الفاصلة $1{,}00\ kN/m^2$؛ السكن $Q = 1{,}5\ kN/m^2$.

التمرين 1: عناصر الأرضية واتجاهها وسمكها

الأسئلة:

• سمّ العناصر المرقمة من 1 إلى 4 في منظور الأرضية ذات الأجسام المجوفة (الجزء 2)، واذكر دور العنصرين 1 و 3.
• حدد اتجاه الرويفدات في الفتحتين، وبيّن الروافد الرئيسية والسلاسل.
• احسب السمك الأدنى للأرضية واختر نوعها من بين: 16+4، 20+4، 20+5.
• اختر الشبكة الملحمة لبلاطة الانضغاط بقضبان ⌀5 من فولاذ $f_e = 500\ MPa$.

الحل:

• التسمية: 1 بلاطة الانضغاط (dalle de compression)، 2 الشبكة الملحمة (treillis soudé)، 3 الجسم المجوف (corps creux)، 4 الرويفدة (poutrelle).
• دور بلاطة الانضغاط: تقاوم الانضغاط الناتج عن الانحناء (جناح المقطع T)، وتوزع الحمولات على الرويفدات، وتربط الأرضية بالروافد.
• دور الجسم المجوف: قالب ضائع يخفف الوزن ويعزل صوتيا وحراريا، ولا يُحسب في المقاومة.
• الاتجاه: في الفتحة الأولى ($3{,}60 \times 5{,}00$) والثانية ($4{,}40 \times 5{,}00$) البحر الأصغر هو اتجاه المحاور 1-2-3. توضع الرويفدات موازية للمحورين A و B، مستمرة عبر الفتحتين، وتستند إلى الروافد الرئيسية على المحاور 1 و 2 و 3. الروافد على المحورين A و B سلاسل.
• السمك: أكبر بحر للرويفدات $L = 4{,}40\ m$:

$ h_t \ge \frac{440}{22{,}5} = 19{,}56\ cm $

نختار 16+4 ($h_t = 20\ cm$) لأن $20 \ge 19{,}56$؛ النوعان الآخران أثقل بلا حاجة.

• الشبكة: $A_\perp \ge 4 \times 65/500 = 0{,}52\ cm^2/m$ و $A_\parallel \ge 0{,}26\ cm^2/m$. قضبان ⌀5 كل 20 cm: $5 \times 0{,}196 = 0{,}98\ cm^2/m$ في كل اتجاه، وهي تحقق الشرطين، والتباعد 20 cm يحترم الحدين (20 cm و 33 cm). النتيجة: شبكة ⌀5 بعيون $20 \times 20\ cm$.

التمرين 2: الحمولات ونقلها

طبقات الأرضية من الأعلى: بلاط 2 cm، ملاط وضع 3 cm، رمل 3 cm، الأرضية 16+4، تلبيس إسمنت 1,5 cm، والجدران الفاصلة.

الأسئلة:

• احسب الحمولة الدائمة G، ثم $q_u$ و $q_{ser}$.
• احسب حمولة الرويفدة الأطول في المتر الطولي، ثم $T_u$ و $M_u$ باعتبارها بسيطة الاستناد.
• احسب حمولة الرافدة على المحور 2 في المتر الطولي (ELU و ELS) مع وزنها الذاتي.
• الرافدة على المحور 2 بسيطة الاستناد على عمودين A2 و B2 (بحر 5,00 m). احسب رد الفعل عند كل عمود وعزم الانحناء الأعظمي في ELU.

الحل:

• الحمولة الدائمة:

| الطبقة | الحساب | g ($kN/m^2$) | |---|---|---| | بلاط | $0{,}02 \times 22$ | $0{,}44$ | | ملاط وضع | $0{,}03 \times 20$ | $0{,}60$ | | رمل | $0{,}03 \times 18$ | $0{,}54$ | | أرضية 16+4 | — | $2{,}80$ | | تلبيس إسمنت | $0{,}015 \times 18$ | $0{,}27$ | | جدران فاصلة | — | $1{,}00$ | | G | | $5{,}65$ |

• $q_u = 1{,}35 \times 5{,}65 + 1{,}5 \times 1{,}5 = 7{,}63 + 2{,}25 = 9{,}88\ kN/m^2$.
• $q_{ser} = 5{,}65 + 1{,}5 = 7{,}15\ kN/m^2$.
• الرويفدة الأطول ($L = 4{,}40\ m$): $p_u = 9{,}88 \times 0{,}65 = 6{,}42\ kN/m$.
• $T_u = p_u L/2 = 6{,}42 \times 4{,}40/2 = 14{,}12\ kN$.
• عزم الانحناء الأعظمي في الوسط:

$ M_u = \frac{6{,}42 \times 4{,}40^2}{8} = 15{,}54\ kN\cdot m $

• الرافدة على المحور 2: عرض الشريط $3{,}60/2 + 4{,}40/2 = 1{,}80 + 2{,}20 = 4{,}00\ m$.
• من الأرضية: $9{,}88 \times 4{,}00 = 39{,}52\ kN/m$.
• الوزن الذاتي: $0{,}30 \times 0{,}40 \times 25 = 3{,}00\ kN/m$، وفي ELU: $4{,}05\ kN/m$.
• $q_u = 39{,}52 + 4{,}05 = 43{,}57\ kN/m$، و $q_{ser} = 7{,}15 \times 4{,}00 + 3{,}00 = 31{,}60\ kN/m$.
• ردا الفعل والعزم: نسمي A و B مسندي الرافدة عند العمودين A2 و B2. الحمولة الموزعة تكافئ قوة محصلة $43{,}57 \times 5{,}00 = 217{,}85\ kN$ في منتصف البحر. نكتب $\sum M_{/A} = 0$ (العزوم الموجبة عكس عقارب الساعة):

$ V_B \times 5{,}00 - 217{,}85 \times 2{,}50 = 0 $

ومن $\sum F_y = 0$ نجد $V_A = 217{,}85 - V_B$، أي النتيجة نفسها، كما نتوقع من التناظر:

$ V_A = V_B = \frac{43{,}57 \times 5{,}00}{2} $

$ V_A = V_B = 108{,}93\ kN $

التحقق: $V_A + V_B = 2 \times 108{,}93 = 217{,}86\ kN$، والحمولة الكلية $43{,}57 \times 5{,}00 = 217{,}85\ kN$ (الفرق من التدوير). وعزم الانحناء الأعظمي في الوسط:

$ M_{f\,max} = \frac{43{,}57 \times 5{,}00^2}{8} $

$ M_{f\,max} = 136{,}16\ kN\cdot m $

التمرين 3: بلاطة مملوءة وأرضية على الردم

يقترح المالك استبدال أرضية الفتحة الثانية ($4{,}40 \times 5{,}00\ m$) ببلاطة مملوءة على أربع روافد، وإنجاز أرضية الطابق الأرضي ($8{,}00 \times 5{,}00\ m$) على الردم.

الأسئلة:

• حدد طريقة حمل البلاطة، واحسب سمكها الأدنى (مقاومة حريق ساعتين).
• يُعتمد $e = 15\ cm$. احسب G للبلاطة بالتكسيات نفسها، وقارنها بالأرضية 16+4.
• تحقق من تسليح مقترح: HA10 كل 20 cm في الاتجاهين.
• رتّب طبقات الأرضية على الردم، واحسب حجم الحجارة (20 cm) وحجم الخرسانة (10 cm).

الحل:

• $\rho = 4{,}40/5{,}00 = 0{,}88$، و $0{,}4 \le 0{,}88 \le 1$: البلاطة تحمل في الاتجاهين. شرط الصلابة $e \ge 440/40 = 11\ cm$، وشرط الحريق $e \ge 11\ cm$: السمك الأدنى 11 cm.
• وزن البلاطة $0{,}15 \times 25 = 3{,}75\ kN/m^2$. التكسيات والجدران الفاصلة: $0{,}44 + 0{,}60 + 0{,}54 + 0{,}27 + 1{,}00 = 2{,}85\ kN/m^2$. إذن $G = 3{,}75 + 2{,}85 = 6{,}60\ kN/m^2$، أي أكبر بـ $6{,}60 - 5{,}65 = 0{,}95\ kN/m^2$ (حوالي $17\ \%$) من الأرضية 16+4. البلاطة أثقل، لكنها تحمل في الاتجاهين وتعزل الصوت أحسن.
• القطر: $\phi_{max} \le 150/10 = 15\ mm$، و $10 \le 15$ محقق. التباعد الرئيسي: $\min(45\ ;\ 33) = 33\ cm$، و $20 \le 33$ محقق. التباعد الثانوي: $\min(60\ ;\ 45) = 45\ cm$، و $20 \le 45$ محقق. التسليح مقبول، والقضبان الموازية لـ Lx (4,40 m) توضع في الطبقة السفلى.
• الطبقات من الأسفل: تربة مدكوكة، حجارة (hérisson) 20 cm، غشاء بوليان، بلاطة 10 cm بشبكة ملحمة، ملاط وبلاط. المساحة $8{,}00 \times 5{,}00 = 40\ m^2$؛ الحجارة $40 \times 0{,}20 = 8\ m^3$؛ الخرسانة $40 \times 0{,}10 = 4\ m^3$.

نصائح للتحرير في الامتحان

• ابدأ كل حساب بكتابة القاعدة، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها، ثم الحكم أو الاختيار.
• قدّم G في جدول، وتأكد من تحويل كل سمك إلى المتر.
• في نقل الحمولة: الرويفدة تأخذ التباعد بين المحاور، والرافدة الوسطية تأخذ نصف البحرين.
• تحقق دائما: مجموع ردود الأفعال يساوي الحمولة الكلية.