الأنظمة المثلثية: تحديد المقاطع والتطبيقات

3. التحقق من المقاومة وحساب تغير طول القضيب

التحقق من مقطع معطى

كثيرا ما يعطي الموضوع المقطع ويطلب «تحقق من مقاومة القضيب». نحسب الإجهاد الفعلي ونقارنه بالإجهاد المسموح به:

$ \sigma = \frac{|N|}{S} \le \bar{\sigma} $

• إذا تحقق الشرط نكتب: «القضيب يقاوم». ويمكن أن نذكر نسبة العمل $\sigma/\bar{\sigma}$: كلما اقتربت من 1 كان المقطع مستغلا جيدا.
• إذا لم يتحقق نكتب: «القضيب لا يقاوم»، ثم نقترح حلا، وهذا سؤال متكرر في البكالوريا.

حلول مقترحة عندما لا يتحقق الشرط

| الحل | الأثر | |---|---| | مجنب أكبر من الجدول | يزيد S فينقص σ (الحل الأول دائما) | | زاويتان مزدوجتان بدل زاوية واحدة | يضاعف S تقريبا | | فولاذ أعلى مقاومة | يرفع $\bar{\sigma}$ | | تعديل الشكل الهندسي (رفع ارتفاع الجملون) | ينقص الجهود في الوترين |

الجهد المسموح به لمقطع معطى

من شرط المقاومة نستخرج أكبر جهد يتحمله القضيب:

$ N_{adm} = \bar{\sigma} \cdot S $

إذا كانت الجهود متناسبة مع حمولة P (مثلا $N = 2{,}25 \cdot P$)، نستنتج أكبر حمولة يتحملها الجملون: $P_{max} = N_{adm}/2{,}25$.

تغير طول القضيب

كل قضيب مشدود يستطيل، وكل قضيب مضغوط يقصر. من قانون هوك $\sigma = E \cdot \varepsilon$ مع $\varepsilon = \Delta L/L$ نجد:

$ \Delta L = \frac{N \cdot L}{E \cdot S} $


يبين الشكل الحالتين: في الشد (الأعلى) يزداد الطول L بمقدار $\Delta L$ موجب، وفي الانضغاط (الأسفل) ينقص بمقدار $\Delta L$ سالب. إذا عوضنا N بإشارتها خرجت $\Delta L$ بالإشارة الصحيحة تلقائيا.

| الكمية | الرمز | الوحدة الحديثة | الوحدة القديمة | |---|---|---|---| | الجهد | N | N | daN | | الطول الأصلي | L | mm | cm | | معامل المرونة | E | MPa ($2 \cdot 10^5$ للفولاذ) | $daN/cm^2$ ($2 \cdot 10^6$ أو $2{,}1 \cdot 10^6$) | | المساحة | S | $mm^2$ | $cm^2$ | | تغير الطول | $\Delta L$ | mm | cm |

التشوه النسبي $\varepsilon = \Delta L/L = \sigma/E$ عدد بلا وحدة، يكتب غالبا بقوى العشرة ($7 \cdot 10^{-4}$) أو بالألف (‰).

طول القضيب. يُقرأ من الشكل: القضبان الأفقية والشاقولية مباشرة، والمائلة بفيثاغورس من مركبتيها: قطري مركبتاه 3 m و 2 m طوله $\sqrt{9 + 4} = 3{,}606\ m$.

أمثلة محلولة

نأخذ $\bar{\sigma} = 160\ MPa$ و $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$ ما لم يذكر غير ذلك.

مثال 1: تحقق غير محقق واقتراح حل. قضيب من زاوية واحدة L40×40×4 ($3{,}08\ cm^2$) يخضع لشد $N = 60\ kN$:

$ \sigma = \frac{60\,000}{308} = 194{,}8\ MPa $

وهي أكبر من $160\ MPa$: القضيب لا يقاوم. الحل: المساحة اللازمة $S \ge 60\,000/160 = 375\ mm^2 = 3{,}75\ cm^2$، فنختار L40×40×5 ($3{,}79\ cm^2$)، ويصبح $\sigma = 60\,000/379 = 158{,}3\ MPa$: يقاوم.

مثال 2: أكبر حمولة. قضيب من 2L50×50×5 ($S = 9{,}60\ cm^2$):

$ N_{adm} = 160 \times 960 = 153\,600\ N $

أي $153{,}6\ kN$. إذا كان جهد هذا القضيب في الجملون $N = 2{,}25 \cdot P$، فإن $P_{max} = 153{,}6/2{,}25 = 68{,}3\ kN$.

مثال 3: استطالة قطري مشدود. قطري مركبتاه 3 m و 2 m، أي $L = 3606\ mm$، من 2L50×50×5 ($S = 960\ mm^2$)، يخضع لشد $N = 135\ kN$:

• $N \cdot L = 135\,000 \times 3606 = 4{,}868 \cdot 10^8\ N \cdot mm$.
• $E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 960 = 1{,}92 \cdot 10^8\ N$.
• $\Delta L = 4{,}868 \cdot 10^8 / 1{,}92 \cdot 10^8 = 2{,}54\ mm$: استطالة.
• $\varepsilon = 2{,}54/3606 = 7{,}03 \cdot 10^{-4}$، ونتحقق بـ $\sigma/E = 140{,}6/(2 \cdot 10^5) = 7{,}03 \cdot 10^{-4}$.

مثال 4: تقصير قضيب مضغوط. قائم طوله $2{,}50\ m$ من أنبوب $76{,}1 \times 3$ ($S = 689\ mm^2$)، و $N = -100\ kN$:

• $N \cdot L = -100\,000 \times 2500 = -2{,}5 \cdot 10^8\ N \cdot mm$.
• $E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 689 = 1{,}378 \cdot 10^8\ N$.

إذن $\Delta L = -2{,}5/1{,}378 = -1{,}81\ mm$: يقصر القضيب بنحو 1,8 mm.

مثال 5: بالوحدات القديمة. قضيب L50×50×5 ($4{,}80\ cm^2$) طوله $4{,}00\ m$، جهده $N = 30\ kN$، و $E = 2{,}1 \cdot 10^6\ daN/cm^2$:

• $N = 3000\ daN$، $L = 400\ cm$، $\sigma = 3000/4{,}80 = 625\ daN/cm^2$.
• $\Delta L = \sigma \cdot L/E = 625 \times 400/(2{,}1 \cdot 10^6) = 0{,}119\ cm$، أي $1{,}19\ mm$.

أخطاء شائعة

• وضع L بالمتر مع S بالـ $mm^2$: النتيجة أصغر بألف مرة.
• استعمال الطول الأفقي للقضيب المائل بدل طوله الحقيقي.
• كتابة «استطالة» لقضيب مضغوط: الانضغاط يعطي تقصيرا ($\Delta L$ سالبة).
• استعمال مساحة زاوية واحدة لقضيب من زاويتين في $\Delta L$ أو في σ.
• الخلط بين ΔL (بالـ mm أو cm) و ε (بلا وحدة).

> ملاحظة للامتحان: حين يُطلب «تحقق ثم اقترح حلا»، فالإجابة الكاملة ثلاث خطوات: حساب σ ومقارنتها، ثم حساب S اللازمة، ثم اختيار المجنب الجديد والتحقق منه.

4. ربط القضبان في العقد: البراغي في القص

كيف تُنجز العقدة؟

في الحساب نعتبر العقدة مفصلا نقطيا، أما في الورشة فتُنجز بـ صفيحة جامعة (gousset): صفيحة فولاذية تثبت عليها أطراف القضبان بـ البراغي (boulons) أو المسامير المبرشمة (rivets) أو باللحام (soudure).


يبين الشكل عقدة في الوتر السفلي: الوتر يمر مستمرا، والقائم والقطري (من زاويتين مزدوجتين) يُثبتان على الصفيحة الجامعة. لاحظ أن محاور القضبان الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة هي العقدة: بهذا الترتيب لا يظهر عزم في العقدة، وتبقى فرضية «القضبان تعمل في الشد أو الانضغاط فقط» صحيحة. ونضع عادة برغيين على الأقل لكل قضيب حتى لا يدور حول برغي وحيد.

البرغي يعمل في القص

القضيب يشد الصفيحة (أو يدفعها)، فتحاول الصفيحة والقضيب أن ينزلقا أحدهما على الآخر، والبرغي يمنع ذلك. فيُقص جسم البرغي في المستوى الفاصل بين القطعتين: هذا القص البسيط الذي درسناه في درس القص.


يبين الشكل الحالتين المعتادتين، والخط المتقطع الأحمر هو مستوى القص:

• (a) قص بسيط في مستوى واحد ($m = 1$): زاوية واحدة على وجه واحد من الصفيحة. كل برغي يُقص في مقطع واحد مساحته $\pi d^2/4$.
• (b) قص مضاعف في مستويين ($m = 2$): زاويتان مزدوجتان على جانبي الصفيحة. كل زاوية تحمل $N/2$، والبرغي يُقص في مقطعين، فيقاوم ضعف ما يقاومه في الحالة (a).

شرط المقاومة في القص

كما في درس القص: إذا ثبتنا قضيبا جهده N بـ n برغيا متماثلا قطرها d، وكل برغي يُقص في m مستو، فإن المساحة المقصوصة الكلية هي:

$ S = n \cdot m \cdot \frac{\pi d^2}{4} $

والجهد القاطع الذي تنقله الوصلة هو $T = |N|$، فيكون شرط المقاومة:

$ \tau = \frac{|N|}{n \cdot m \cdot \pi d^2/4} \le \bar{\tau} $

ومنه نستخرج ما يطلبه الموضوع:

| المعطى | المطلوب | العلاقة | |---|---|---| | d و m | عدد البراغي n | $n \ge \frac{\lvert N \rvert}{m \cdot \bar{\tau} \cdot \pi d^2/4}$ ثم نقرب إلى العدد الصحيح الأعلى | | n و m | القطر d | $d \ge \sqrt{\frac{4\lvert N \rvert}{\pi \cdot n \cdot m \cdot \bar{\tau}}}$ ثم نأخذ القطر التجاري الأعلى | | n و d و m | التحقق | نحسب τ ونقارنها بـ $\bar{\tau}$ |

> البرغي لا «يتعب» من نوع الجهد: نستعمل $|N|$ سواء كان القضيب مشدودا أو مضغوطا، ونقرب n و d دائما إلى الأعلى.

الأقطار التجارية ومساحة المقطع الواحد $\pi d^2/4$:

| d (mm) | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $\pi d^2/4\ (mm^2)$ | 113,1 | 153,9 | 201,1 | 254,5 | 314,2 | 380,1 | 452,4 |

الإجهاد المماسي المسموح به $\bar{\tau}$ معطى في الموضوع، ويقع غالبا بين $60$ و $180\ MPa$ (أو $600$ إلى $1800\ daN/cm^2$ في المواضيع القديمة).

متى نأخذ $m = 1$ ومتى $m = 2$؟ نحدد m من رسم الوصلة أو من النص: قضيب بزاوية واحدة على صفيحة يعطي $m = 1$، وزاويتان على جانبي الصفيحة تعطيان $m = 2$. كثير من المواضيع تكتب الشرط مباشرة بمساحة مقطع واحد لكل برغي ($n \cdot \pi d^2/4 \ge |N|/\bar{\tau}$، أي $m = 1$)؛ فإذا لم يبين الموضوع الوصلة فهذا هو الحساب المعتمد، وهو في جانب الأمان لأنه لا يعطي براغي أقل من اللازم.

أمثلة محلولة

مثال 1: قطر البراغي. زاوية مفردة جهدها $N = 40\ kN$ تُثبت بـ 3 براغي في قص بسيط ($m = 1$)، و $\bar{\tau} = 100\ MPa$:

$ d \ge \sqrt{\frac{4 \times 40\,000}{\pi \times 3 \times 100}} $

أي $d \ge \sqrt{169{,}8} = 13{,}03\ mm$، فنأخذ القطر التجاري 14 mm. التحقق: $\tau = 40\,000/(3 \times 153{,}9) = 86{,}6\ MPa$، أقل من $100\ MPa$.

مثال 2: عدد البراغي في القص المضاعف. قضيب من 2L50×50×5 جهده $N = 135\ kN$، يُثبت على الصفيحة ببراغي $d = 16\ mm$، و $\bar{\tau} = 100\ MPa$:

• قص في مستويين ($m = 2$): $n \ge 135\,000/(2 \times 201{,}1 \times 100) = 3{,}36$، إذن 4 براغي.
• لو كانت زاوية واحدة ($m = 1$) لاحتجنا $n \ge 6{,}71$، أي 7 براغي: هذه إحدى مزايا الزاويتين المزدوجتين.
• التحقق بـ 4 براغي: $\tau = 135\,000/(4 \times 2 \times 201{,}1) = 83{,}9\ MPa$.

مثال 3: بالوحدات القديمة. قضيب جهده $N = 70\ kN$ يُثبت ببراغي $d = 20\ mm$ (المقطع $3{,}14\ cm^2$) في قص بسيط، و $\bar{\tau} = 1000\ daN/cm^2$:

$ n \ge \frac{7000}{1000 \times 3{,}14} = 2{,}23 $

إذن 3 براغي. لاحظ أن $7000/1000 = 7\ cm^2$ هي المساحة الكلية المقصوصة اللازمة، نقسمها على مساحة البرغي الواحد.

مثال 4: أكبر جهد تتحمله وصلة. 4 براغي $d = 18\ mm$ في قص مضاعف، $\bar{\tau} = 90\ MPa$:

$ N_{adm} = 4 \times 2 \times 254{,}5 \times 90 $

أي $N_{adm} = 183\,240\ N \approx 183{,}2\ kN$.

التشوه الزاوي (للاطلاع). في القص يتشوه البرغي بزاوية $\gamma = \tau/G$، مع $G \approx 8 \cdot 10^4\ MPa$ للفولاذ. في المثال 1: $\gamma = 86{,}6/(8 \cdot 10^4) = 1{,}08 \cdot 10^{-3}\ rad$.

أخطاء شائعة

• نسيان عدد مستويات القص: قضيب من زاويتين على جانبي صفيحة يعطي $m = 2$.
• استعمال $\pi d^2$ بدل $\pi d^2/4$، أو نصف القطر مكان القطر.
• تقريب n أو d إلى الأسفل: $3{,}36$ برغي تعني 4 براغي.
• الخلط بين $\bar{\sigma}$ و $\bar{\tau}$: البراغي تُحسب بالإجهاد المماسي المسموح به.

> ملاحظة للامتحان: ارسم (ولو بسرعة) مقطعا في الوصلة لتعدّ مستويات القص قبل الحساب، واذكر الاختيار صراحة: «القص في مستويين لأن الزاويتين على جانبي الصفيحة».

5. مسألة كاملة: رافدة Pratt من التحقق السكوني إلى التحجيم

المعطيات

رافدة مثلثية من نوع Pratt تحمل سقف مستودع، بحرها 12 m مقسم إلى أربعة حقول بطول 3,00 m، وارتفاعها 2,00 m. ترتكز على مسند مضاعف في A ومسند بسيط في B، وتنقل إليها حاملات الروافد (pannes) حمولات شاقولية في العقد العلوية: 30 kN في F و J، و 60 kN في G و H و I.


يبين الشكل الرافدة: الوتر السفلي A C D E B، والوتر العلوي F G H I J، والقوائم الخمسة، والقطريات الأربعة النازلة نحو منتصف البحر (وهذه علامة نوع Pratt).

المطلوب: (1) التحقق من التحديد السكوني؛ (2) ردود الأفعال؛ (3) الجهود بعزل العقد وجدول النتائج؛ (4) مراقبة تماسك النتائج؛ (5) تحديد المقاطع من زاويتين مزدوجتين بـ $\bar{\sigma} = 160\ MPa$ (الجدول لزاوية واحدة)؛ (6) استطالة القطري FC بـ $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$؛ (7) براغي القطري FC: $d = 18\ mm$، $\bar{\tau} = 100\ MPa$.

1. التحقق من التحديد السكوني

عدد العقد $n = 10$، وعدد القضبان: 4 في كل وتر و 5 قوائم و 4 قطريات، أي $b = 17$.

$ 2n - 3 = 2 \times 10 - 3 = 17 = b $

النظام محدد سكونيا داخليا. والمساند تعطي 3 مجاهيل (مضاعف 2 + بسيط 1)، فيتحقق أيضا $b + r = 20 = 2n$.

2. ردود الأفعال

لا توجد حمولة أفقية، فمن $\Sigma F_x = 0$ نجد $H_A = 0$. ونأخذ العزوم حول A موجبة عكس عقارب الساعة (حمولة F تمر بـ A فعزمها معدوم):

$ 12\,V_B - 60 \cdot 18 - 30 \cdot 12 = 0 $

(18 m مجموع أذرع الحمولات الثلاث $3 + 6 + 9$)، إذن $12\,V_B = 1080 + 360 = 1440$ و $V_B = 120\ kN$. ومن $\Sigma F_y = 0$: $V_A = 240 - 120 = 120\ kN$. التحقق: الشكل والحمولات متناظرة، فكل مسند يحمل نصف المجموع $240/2 = 120\ kN$.

3. عزل العقد

الزاوية. كل قطري يمتد 3 m أفقيا و 2 m شاقوليا، فطوله $\sqrt{13} = 3{,}606\ m$ وزاويته α مع الأفقي:

$ \sin\alpha = \frac{2}{3{,}606} = 0{,}5547 $

و $\cos\alpha = 3/3{,}606 = 0{,}8321$ ($\alpha = 33{,}69°$).

نفترض كل القضبان مشدودة، فنرسم جهد كل قضيب مغادرا العقدة المعزولة نحو العقدة الأخرى للقضيب، والإشارة الناتجة تعطي الطبيعة. نبدأ بعقدة فيها مجهولان فقط.

العقدة A (المجهولان AF و AC):

• $\Sigma F_y = 0$: $120 + N_{AF} = 0$، إذن $N_{AF} = -120\ kN$ (انضغاط).
• $\Sigma F_x = 0$: $N_{AC} = 0$ (قضيب منعدم الجهد).

العقدة F (المجهولان FG و FC؛ القطري FC يتجه نحو اليمين والأسفل):

• $\Sigma F_y = 0$: $-30 - N_{FA} - N_{FC} \sin\alpha = 0$، أي $-30 + 120 = 0{,}5547\,N_{FC}$، فـ $N_{FC} = 162{,}25\ kN$ (شد).
• $\Sigma F_x = 0$: $N_{FG} + N_{FC} \cos\alpha = 0$، فـ $N_{FG} = -162{,}25 \times 0{,}8321 = -135{,}0\ kN$ (انضغاط).

العقدة C (المجهولان CG و CD؛ القطري CF يتجه نحو اليسار والأعلى):

• $\Sigma F_y = 0$: $N_{CG} + N_{CF} \sin\alpha = 0$، فـ $N_{CG} = -90{,}0\ kN$.
• $\Sigma F_x = 0$: $-N_{CA} + N_{CD} - N_{CF} \cos\alpha = 0$، فـ $N_{CD} = 0 + 135{,}0 = 135{,}0\ kN$.

العقدة G (المجهولان GH و GD):

• $\Sigma F_y = 0$: $-60 - N_{GC} - N_{GD} \sin\alpha = 0$، أي $-60 + 90 = 0{,}5547\,N_{GD}$، فـ $N_{GD} = 54{,}08\ kN$.
• $\Sigma F_x = 0$: $-N_{GF} + N_{GH} + N_{GD} \cos\alpha = 0$، فـ $N_{GH} = -135 - 45 = -180{,}0\ kN$.

العقدة D (بالتناظر $N_{DI} = N_{DG}$ و $N_{DE} = N_{DC}$؛ المجهول DH):

• $\Sigma F_y = 0$: $N_{DH} + 2 \times 54{,}08 \times 0{,}5547 = 0$، فـ $N_{DH} = -60{,}0\ kN$.

بقية القضبان تُستنتج بالتناظر حول القائم DH.

جدول النتائج

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | |---|---|---| | AC و EB | 0 | تركيبي (منعدم الجهد) | | CD و DE | +135,0 | شد | | FG و IJ | −135,0 | انضغاط | | GH و HI | −180,0 | انضغاط | | AF و BJ | −120,0 | انضغاط | | CG و EI | −90,0 | انضغاط | | DH | −60,0 | انضغاط | | FC و JE | +162,25 | شد | | GD و ID | +54,08 | شد |


يلخص الشكل النتائج على الرافدة نفسها: الأزرق للشد (+)، والأحمر للانضغاط (−)، والخط المتقطع الرمادي للقضيبين التركيبيين (المنعدمي الجهد) AC و EB.

4. مراقبة تماسك النتائج

قبل التحجيم نراقب النتائج بخمس طرق سريعة:

• عقدة المراقبة. العقدة H لم نستعملها في الحساب: $\Sigma F_y = -60 - N_{HD} = -60 + 60 = 0$ و $\Sigma F_x = -N_{HG} + N_{HI} = 180 - 180 = 0$. محققتان.
• الطبيعة المتوقعة. الوتر العلوي كله منضغط والسفلي مشدود، كما في رافدة على مسندين تنحني نحو الأسفل؛ قطريات Pratt مشدودة وقوائمها منضغطة. لا شذوذ.
• القضبان المنعدمة. في العقدة A القضيب AC وحده أفقي ولا توجد قوة أفقية أخرى، فلا بد أن يكون جهده صفرا.
• التناظر. كل قضيب ونظيره لهما الجهد نفسه.
• مراقبة بالعزوم (طريقة المقاطع). إذا قطعنا الرافدة بين G و H وأخذنا العزوم حول D للجزء الأيسر نجد $-N_{GH} \times 2 = 120 \times 6 - 30 \times 6 - 60 \times 3 = 360$، أي $N_{GH} = -180\ kN$: النتيجة نفسها. فجهد الوتر يساوي تقريبا عزم الانحناء في المقطع مقسوما على ارتفاع الرافدة.

5. تحديد المقاطع

نجمع القضبان في أربع مجموعات، ونحسب لكل واحدة $S_{1L} \ge |N|_{max}/(2\bar{\sigma})$ مع $2\bar{\sigma} = 320\ MPa$:

| المجموعة | $\lvert N \rvert_{max}$ (kN) | $S_{1L}$ اللازمة ($cm^2$) | المقطع | σ (MPa) | |---|---|---|---|---| | الوتر العلوي | 180,0 | 5,63 | 2L60×60×6 | 130,2 | | الوتر السفلي | 135,0 | 4,22 | 2L50×50×5 | 140,6 | | القطريات | 162,25 | 5,07 | 2L60×60×6 | 117,4 | | القوائم | 120,0 | 3,75 | 2L40×40×5 | 158,3 |

مثلا للوتر العلوي: $180\,000/320 = 562{,}5\ mm^2$، والزاوية L50×50×5 ($4{,}80$) لا تكفي، فنأخذ L60×60×6 ($6{,}91\ cm^2$)، ويكون $\sigma = 180\,000/1382 = 130{,}2\ MPa$. وللقوائم: $120\,000/320 = 375\ mm^2 = 3{,}75\ cm^2$، فالزاوية L40×40×5 ($3{,}79\ cm^2$) تكفي وهي أخف من L45×45×4,5، و $\sigma = 120\,000/758 = 158{,}3\ MPa$ (في جدول درس الخصائص الهندسية، الذي ليس فيه L40×40×5، يكون الاختيار 2L45×45×4,5). والقضيبان التركيبيان AC و EB يأخذان مقطع الوتر السفلي لأنهما جزء منه.

6. استطالة القطري FC

$L = 3606\ mm$، و $S = 2 \times 691 = 1382\ mm^2$:

• $N \cdot L = 162\,250 \times 3606 = 5{,}851 \cdot 10^8\ N \cdot mm$.
• $E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 1382 = 2{,}764 \cdot 10^8\ N$.
• $\Delta L = 5{,}851/2{,}764 = 2{,}12\ mm$: استطالة.

7. براغي القطري FC

الزاويتان على جانبي الصفيحة الجامعة، فالقص في مستويين ($m = 2$)، ومساحة البرغي $254{,}5\ mm^2$:

$ n \ge \frac{162\,250}{2 \times 254{,}5 \times 100} $

أي $n \ge 3{,}19$، إذن 4 براغي $d = 18\ mm$، ويكون $\tau = 162\,250/(4 \times 2 \times 254{,}5) = 79{,}7\ MPa$، أقل من $100\ MPa$.

كتلة الرافدة (للاطلاع). الوتر العلوي $12 \times 10{,}84 = 130{,}1\ kg$، والسفلي $12 \times 7{,}54 = 90{,}5\ kg$، والقطريات $14{,}42 \times 10{,}84 = 156{,}3\ kg$، والقوائم $10 \times 5{,}94 = 59{,}4\ kg$: المجموع نحو $436\ kg$ دون الصفائح والبراغي.

> ملاحظة للامتحان: هذا الترتيب (تحقق سكوني، ردود، عقد، جدول، تحجيم، تشوه، براغي) هو ترتيب أسئلة البكالوريا تقريبا. سجّل في ورقتك جدول النتائج كاملا، لأن الأسئلة اللاحقة كلها تبنى عليه.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل في مسألة نظام مثلثي

• التحقق السكوني: $b = 2n - 3$ (أو $b + r = 2n$).
• ردود الأفعال: $\Sigma F_x = 0$، $\Sigma M_{/A} = 0$، ثم $\Sigma F_y = 0$، ومراقبة بـ $\Sigma M_{/B} = 0$. العزوم موجبة عكس عقارب الساعة.
• عزل العقد: نبدأ بعقدة فيها مجهولان، ونفترض كل القضبان مشدودة.
• جدول النتائج: القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة، ثم مراقبة بعقدة لم تُستعمل.
• المقاومة: $S \ge |N|_{max}/\bar{\sigma}$ واختيار المجنب، أو التحقق σ.
• التشوه: $\Delta L = N \cdot L/(E \cdot S)$.
• البراغي: $n \cdot m \cdot \pi d^2/4 \ge |N|/\bar{\tau}$.

التمرين 1: جسر مشاة من نوع Warren

المعطيات

جسر مشاة فولاذي فوق قناة ري، يتكون من رافدتين مثلثيتين من نوع Warren. ندرس رافدة واحدة: بحرها 9 m مقسم إلى ثلاثة حقول بطول 3,00 m، وارتفاعها 2,00 m. تنقل أرضية الجسر 30 kN إلى كل من العقدتين السفليتين C و D، وينقل الغطاء 20 kN إلى كل عقدة علوية E و F و G. المسند A مضاعف والمسند B بسيط.


يبين الشكل الرافدة: الوتر السفلي A C D B، والوتر العلوي E F G، وستة قطريات متناوبة. القضبان كلها من زاويتين مزدوجتين بالمقطع نفسه.

يُعطى: $\bar{\sigma} = 160\ MPa$، $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$، $\bar{\tau} = 100\ MPa$، جدول الزوايا المفردة (الجزء 2).

الأسئلة

• تحقق من أن الرافدة محددة سكونيا.
• احسب ردود الأفعال.
• احسب جهود القضبان بعزل العقد A و E و C، واستنتج البقية بالتناظر، ثم راقب النتائج في العقدة F. دوّنها في جدول.
• حدد المقطع الموحد للقضبان، وتحقق منه.
• احسب استطالة القضيب CD.
• القطري EC يُثبت على الصفيحة الجامعة ببراغي $d = 12\ mm$ (الزاويتان على جانبي الصفيحة). احسب عدد البراغي.

الحل

1. $n = 7$ و $b = 11$ (3 في الوتر السفلي، 2 في العلوي، 6 قطريات)، و $2n - 3 = 11 = b$: محددة سكونيا.

2. $H_A = 0$ لعدم وجود حمولة أفقية. مجموع الحمولات $3 \times 20 + 2 \times 30 = 120\ kN$، والشكل والحمولات متناظرة، فـ $V_A = V_B = 60\ kN$. مراقبة بالعزوم حول A (الموجب عكس عقارب الساعة):

$ 9\,V_B - 20 \cdot 13{,}5 - 30 \cdot 9 = 0 $

(مجموع أذرع الحمولات العلوية $1{,}5 + 4{,}5 + 7{,}5 = 13{,}5\ m$، والسفلية $3 + 6 = 9\ m$)، أي $9\,V_B = 270 + 270 = 540$ و $V_B = 60\ kN$.

3. كل قطري يمتد 1,5 m أفقيا و 2 m شاقوليا، فطوله 2,5 m، و $\sin\alpha = 0{,}8$، $\cos\alpha = 0{,}6$.

• العقدة A: $\Sigma F_y$: $60 + 0{,}8\,N_{AE} = 0$، $N_{AE} = -75{,}0\ kN$. $\Sigma F_x$: $N_{AC} + 0{,}6\,N_{AE} = 0$، $N_{AC} = +45{,}0\ kN$.
• العقدة E: $\Sigma F_y$: $-20 - 0{,}8\,N_{EA} - 0{,}8\,N_{EC} = 0$، أي $-20 + 60 = 0{,}8\,N_{EC}$، $N_{EC} = +50{,}0\ kN$. $\Sigma F_x$: $-0{,}6\,N_{EA} + 0{,}6\,N_{EC} + N_{EF} = 0$، أي $45 + 30 + N_{EF} = 0$، $N_{EF} = -75{,}0\ kN$.
• العقدة C: $\Sigma F_y$: $-30 + 0{,}8\,N_{CE} + 0{,}8\,N_{CF} = 0$، أي $-30 + 40 + 0{,}8\,N_{CF} = 0$، $N_{CF} = -12{,}5\ kN$. $\Sigma F_x$: $-N_{CA} - 0{,}6\,N_{CE} + 0{,}6\,N_{CF} + N_{CD} = 0$، أي $N_{CD} = 45 + 30 + 7{,}5 = +82{,}5\ kN$.
• مراقبة في F (بالتناظر $N_{FD} = -12{,}5$ و $N_{FG} = -75$): $\Sigma F_y = -20 + 0{,}8 \times 12{,}5 \times 2 = 0$، و $\Sigma F_x = 75 - 75 + 7{,}5 - 7{,}5 = 0$. النتائج صحيحة.

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | |---|---|---| | AC و DB | +45,0 | شد | | CD | +82,5 | شد | | EF و FG | −75,0 | انضغاط | | AE و GB | −75,0 | انضغاط | | EC و DG | +50,0 | شد | | CF و FD | −12,5 | انضغاط |

4. $|N|_{max} = 82{,}5\ kN$ (CD). لكل زاوية:

$ S_{1L} \ge \frac{82\,500}{2 \times 160} = 257{,}8\ mm^2 $

أي $2{,}58\ cm^2$: L30×30×3 ($1{,}74$) لا تكفي، فنختار 2L35×35×4 ($2{,}67\ cm^2$ للزاوية). التحقق: $\sigma = 82\,500/534 = 154{,}5\ MPa$، أقل من $160\ MPa$.

5. $L_{CD} = 3000\ mm$ و $S = 534\ mm^2$: $N \cdot L = 2{,}475 \cdot 10^8\ N \cdot mm$ و $E \cdot S = 1{,}068 \cdot 10^8\ N$، فـ $\Delta L = 2{,}32\ mm$ (استطالة).

6. القص في مستويين ($m = 2$) ومساحة البرغي $113{,}1\ mm^2$: $n \ge 50\,000/(2 \times 113{,}1 \times 100) = 2{,}21$، إذن 3 براغي، و $\tau = 50\,000/(3 \times 2 \times 113{,}1) = 73{,}7\ MPa$.

التمرين 2: جملون غماء منزل تحت الرياح

المعطيات

غماء منزل بحره 6 m تحمل تغطيته جملونات فولاذية، ندرس واحدا منها، ارتفاع قمته 2,00 m. الوتر العلوي A C E F B بميل ثابت، والوتر السفلي A D B أفقي، والقائم ED شاقولي، والقضيبان CD و FD مائلان. الحمولات: 12 kN شاقولية في كل من C و E و F، وتأثير الرياح ممثل بقوة أفقية 6 kN في E نحو اليمين. A مسند مضاعف و B مسند بسيط.


يبين الشكل الجملون بأبعاده: أربعة امتدادات أفقية بطول 1,50 m، والعقدتان C و F على ارتفاع 1,00 m، والقمة E على 2,00 m.

يُعطى: القضبان من زاوية مفردة، $\bar{\sigma} = 160\ MPa$، $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$، $\bar{\tau} = 100\ MPa$.

الأسئلة

• تحقق من التحديد السكوني، واحسب $\sin\alpha$ و $\cos\alpha$ لميل الوتر العلوي.
• احسب ردود الأفعال.
• احسب جهود كل القضبان بعزل العقد، وراقب النتائج في العقدة D.
• اختر زاوية واحدة للوتر العلوي وأخرى للوتر السفلي.
• احسب استطالة القضيب AD.
• القضيب AD يُثبت في العقدة A ببرغيين في قص بسيط. احسب قطرهما.

الحل

1. $n = 6$ و $b = 9$، و $2n - 3 = 9 = b$: محدد سكونيا. كل قضيب مائل يمتد 1,5 m أفقيا و 1 m شاقوليا، فطوله $\sqrt{3{,}25} = 1{,}803\ m$، و $\sin\alpha = 1/1{,}803 = 0{,}5547$، $\cos\alpha = 1{,}5/1{,}803 = 0{,}8321$.

2. $\Sigma F_x = 0$: $H_A + 6 = 0$، فـ $H_A = -6\ kN$ (نحو اليسار). العزوم حول A (الموجب عكس عقارب الساعة؛ قوة الرياح في E على ارتفاع 2 m تدير مع عقارب الساعة):

$ 6\,V_B - 12 \cdot 9 - 6 \cdot 2 = 0 $

(مجموع أذرع الحمولات الشاقولية الثلاث $1{,}5 + 3 + 4{,}5 = 9\ m$)، أي $6\,V_B = 120$ و $V_B = 20\ kN$، ثم $V_A = 36 - 20 = 16\ kN$. المراقبة حول B: $-16 \times 6 + 12 \times (4{,}5 + 3 + 1{,}5) - 6 \times 2 = -96 + 108 - 12 = 0$.

3. عزل العقد بالترتيب A ثم B ثم C ثم F ثم E:

• A: $16 + 0{,}5547\,N_{AC} = 0$، $N_{AC} = -28{,}84\ kN$؛ و $-6 + N_{AD} + 0{,}8321\,N_{AC} = 0$، $N_{AD} = 6 + 24{,}0 = +30{,}0\ kN$.
• B: $20 + 0{,}5547\,N_{BF} = 0$، $N_{BF} = -36{,}06\ kN$؛ و $-0{,}8321\,N_{BF} - N_{BD} = 0$، $N_{BD} = +30{,}0\ kN$.
• C (القضبان CA و CE و CD كلها بالميل نفسه): $\Sigma F_x$ تعطي $N_{CE} + N_{CD} = N_{CA} = -28{,}84$، و $\Sigma F_y$ تعطي $-12 + 0{,}5547\,(-N_{CA} + N_{CE} - N_{CD}) = 0$، أي $N_{CE} - N_{CD} = -7{,}21$. ومنه $N_{CE} = -18{,}03\ kN$ و $N_{CD} = -10{,}82\ kN$.
• F بالطريقة نفسها: $N_{FE} + N_{FD} = N_{FB} = -36{,}06$ و $N_{FE} - N_{FD} = -14{,}42$، فـ $N_{FE} = -25{,}24\ kN$ و $N_{FD} = -10{,}82\ kN$.
• E: $\Sigma F_y$: $-12 - 0{,}5547\,(N_{EC} + N_{EF}) - N_{ED} = 0$، أي $N_{ED} = -12 + 0{,}5547 \times 43{,}27 = +12{,}0\ kN$. و $\Sigma F_x$ للمراقبة: $6 + 0{,}8321 \times (18{,}03 - 25{,}24) = 6 - 6{,}0 = 0$.
• مراقبة في D: $\Sigma F_y = 12 + 0{,}5547 \times (-10{,}82 - 10{,}82) = 12 - 12{,}0 = 0$، و $\Sigma F_x = -30 + 30 + 0 = 0$.

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | |---|---|---| | AC | −28,84 | انضغاط | | CE | −18,03 | انضغاط | | EF | −25,24 | انضغاط | | FB | −36,06 | انضغاط | | AD و DB | +30,00 | شد | | CD و FD | −10,82 | انضغاط | | ED | +12,00 | شد |

لاحظ أن الرياح كسرت التناظر: $N_{CE} \ne N_{EF}$ و $V_A \ne V_B$، لكن القضبان الداخلية CD و FD بقيت متساوية. والقائم ED مشدود: هو الذي يعلق الوتر السفلي من القمة.

4. الوتر العلوي: $S \ge 36\,060/160 = 225{,}4\ mm^2 = 2{,}25\ cm^2$، فـ L30×30×3 ($1{,}74$) لا تكفي، ونختار L35×35×4 ($2{,}67\ cm^2$، $\sigma = 135{,}0\ MPa$). الوتر السفلي: $S \ge 30\,000/160 = 187{,}5\ mm^2 = 1{,}88\ cm^2$، و L30×30×3 لا تكفي أيضا، فنختار L35×35×4 ($\sigma = 112{,}4\ MPa$).

5. $\Delta L_{AD} = 30\,000 \times 3000/(2 \cdot 10^5 \times 267) = 9 \cdot 10^7/5{,}34 \cdot 10^7 = 1{,}69\ mm$ (استطالة).

6. $n = 2$ و $m = 1$:

$ d \ge \sqrt{\frac{4 \times 30\,000}{\pi \times 2 \times 100}} $

أي $d \ge 13{,}82\ mm$، فنأخذ $d = 14\ mm$، و $\tau = 30\,000/(2 \times 153{,}9) = 97{,}5\ MPa$، أقل من $100\ MPa$.

التمرين 3: رافدة Howe من أنابيب (وحدات قديمة)

المعطيات

ممر صيانة في مصنع معلق على الوتر السفلي لرافدة مثلثية من نوع Howe بحرها 10 m (أربعة حقول بطول 2,50 m) وارتفاعها 2,50 m. ينقل الممر 40 kN إلى كل من العقد السفلية C و D و E. A مسند مضاعف و B مسند بسيط.


يبين الشكل الرافدة: الوتر السفلي A C D E B، والوتر العلوي F G H، والقضيبان الطرفيان المائلان AF و HB، والقوائم CF و DG و EH، والقطريان CG و EG الصاعدان نحو المنتصف (وهذه علامة نوع Howe).

يُعطى: كل القضبان أنابيب سمكها $t = 3\ mm$ بالقطر نفسه، $\bar{\sigma} = 1600\ daN/cm^2$، $E = 2 \cdot 10^6\ daN/cm^2$، $\bar{\tau} = 1000\ daN/cm^2$، جدول الأنابيب (الجزء 2).

الأسئلة

• تحقق من التحديد السكوني واحسب ردود الأفعال.
• احسب الجهود بعزل العقد A و F و C و D، واستنتج البقية بالتناظر، وراقب في G.
• احسب القطر الخارجي الأدنى واختر الأنبوب من الجدول.
• احسب تغير طول القضيب CD بالـ cm.
• القائم CF يُثبت ببراغي $d = 16\ mm$ في قص بسيط. احسب عددها.

الحل

1. $n = 8$، $b = 13$، و $2n - 3 = 13 = b$. التناظر يعطي $H_A = 0$ و $V_A = V_B = 120/2 = 60\ kN$.

2. الزاوية 45°: $\sin 45° = \cos 45° = 0{,}7071$.

• A: $60 + 0{,}7071\,N_{AF} = 0$، $N_{AF} = -84{,}85\ kN$؛ $N_{AC} + 0{,}7071\,N_{AF} = 0$، $N_{AC} = +60{,}0\ kN$.
• F: $\Sigma F_x$: $-0{,}7071\,N_{FA} + N_{FG} = 0$، $N_{FG} = -60{,}0\ kN$؛ $\Sigma F_y$: $-0{,}7071\,N_{FA} - N_{FC} = 0$، $N_{FC} = +60{,}0\ kN$.
• C: $\Sigma F_y$: $-40 + N_{CF} + 0{,}7071\,N_{CG} = 0$، $N_{CG} = -28{,}28\ kN$؛ $\Sigma F_x$: $-N_{CA} + N_{CD} + 0{,}7071\,N_{CG} = 0$، $N_{CD} = 60 + 20 = +80{,}0\ kN$.
• D: $\Sigma F_y$: $-40 + N_{DG} = 0$، $N_{DG} = +40{,}0\ kN$؛ وبالتناظر $N_{DE} = +80{,}0\ kN$.
• مراقبة في G: $\Sigma F_y = -40 + 0{,}7071 \times 28{,}28 \times 2 = -40 + 40 = 0$، و $\Sigma F_x = 60 - 60 + 20 - 20 = 0$.

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | |---|---|---| | AC و EB | +60,00 | شد | | CD و DE | +80,00 | شد | | FG و GH | −60,00 | انضغاط | | AF و HB | −84,85 | انضغاط | | CF و EH | +60,00 | شد | | DG | +40,00 | شد | | CG و EG | −28,28 | انضغاط |

في Howe القوائم مشدودة والقطريات الداخلية مضغوطة، عكس Pratt.

3. $|N|_{max} = 84{,}85\ kN = 8485\ daN$ (AF، مضغوط وطوله 3,54 m):

$ S \ge \frac{8485}{1600} = 5{,}30\ cm^2 $

ومن $\pi \cdot 0{,}3 \cdot (D - 0{,}3) \ge 5{,}30$ نجد $D \ge 5{,}93\ cm$، أي $59{,}3\ mm$. في الجدول: $48{,}3 \times 3$ صغير جدا، و $60{,}3 \times 3$ ($5{,}40\ cm^2$) يكفي. التحقق: $\sigma = 8485/5{,}40 = 1571\ daN/cm^2$، أقل من $1600\ daN/cm^2$. الأنبوب مناسب جدا لهذا القضيب المضغوط الطويل لأنه يقاوم التحدب في كل الاتجاهات.

4. $N = 8000\ daN$، $L = 250\ cm$:

$ \Delta L = \frac{8000 \times 250}{2 \cdot 10^6 \times 5{,}40} $

أي $\Delta L = 0{,}185\ cm$ (استطالة بنحو 1,9 mm).

5. $N_{CF} = 6000\ daN$، ومساحة البرغي $\pi \times 1{,}6^2/4 = 2{,}01\ cm^2$: $n \ge 6000/(1000 \times 2{,}01) = 2{,}99$، إذن 3 براغي، و $\tau = 6000/(3 \times 2{,}01) = 995\ daN/cm^2$، أقل من $1000\ daN/cm^2$.

> ملاحظة للامتحان: في المواضيع القديمة ($daN/cm^2$) احسب كل شيء بالـ daN و cm وانتبه إلى أن ΔL تخرج بالـ cm؛ حوّلها إلى mm في الجواب الأخير إن شئت.