الخرسانة المسلحة: عموميات والحالات النهائية وخصائص المواد

3. الحالات النهائية ELU و ELS

مفهوم الحالة النهائية

الحالة النهائية (état limite) هي الحالة التي إذا تجاوزها المنشأ أو أحد عناصره لم يعد يحقق أحد الشروط التي صُمم من أجلها: الأمان، أو حسن الاستعمال، أو الديمومة. تميز قواعد BAEL صنفين من الحالات النهائية:

• الحالة النهائية الأخيرة ELU (état limite ultime): تجاوزها يعني الانهيار.
• الحالة النهائية للاستعمال ELS (état limite de service): تجاوزها لا يُسقط المنشأ، لكنه يجعله غير صالح للاستعمال أو يقصّر عمره.


يوضح الشكل الحالات الأربع: (a) و (b) و (c) حالات نهائية أخيرة ELU، و (d) حالة نهائية للاستعمال ELS.

الحالة النهائية الأخيرة ELU

تقابل أقصى قدرة تحمل للمنشأ. أنواعها ثلاثة:

• ELU للتوازن السكوني (équilibre statique): فقدان توازن المنشأ كجسم صلب، مثل انقلاب جدار استنادي أو انزلاقه (الشكل a).
• ELU لمقاومة المواد (résistance): انكسار المادة: سحق الخرسانة المضغوطة أو استطالة مفرطة للفولاذ المشدود (الشكل b).
• ELU لاستقرار الشكل (stabilité de forme): التحدب (flambement) لعنصر نحيف مضغوط كالعمود، فينثني جانبيا وينهار قبل أن تبلغ مادته حدّها (الشكل c).

في ELU نستعمل:

• تركيبة الحمولات $1{,}35G + 1{,}5Q$؛
• مقاومات مخفضة للمواد: $f_{bu}$ للخرسانة (مع $\gamma_b = 1{,}5$) و $f_{su} = f_e/\gamma_s$ للفولاذ (مع $\gamma_s = 1{,}15$)، وسنحسبهما في الجزأين الرابع والخامس.

الحالة النهائية للاستعمال ELS

تقابل شروط الاستعمال العادي والديمومة. أنواعها:

• ELS لانضغاط الخرسانة: نحدّ الإجهاد في الخرسانة المضغوطة حتى لا تظهر فيها تشوهات وشقوق طولية: $\sigma_{bc} \le \bar{\sigma}_{bc} = 0{,}6\,f_{c28}$.
• ELS لانفتاح الشقوق (ouverture des fissures): شقوق واسعة تُدخل الماء والهواء فيصدأ الفولاذ؛ نحدّ إجهاد الفولاذ: $\sigma_s \le \bar{\sigma}_s$.
• ELS للتشوه (déformation): سهم (flèche) كبير لرافدة أو أرضية يشقق التبليط والجدران الفاصلة (الشكل d).

في ELS نستعمل تركيبة الحمولات $G + Q$، ونعدّ المادتين مرنتين.

جدول المقارنة

| | ELU | ELS | |---|---|---| | ماذا نتجنب؟ | الانهيار | التشقق الضار، التشوه المفرط | | أنواعها | التوازن، المقاومة، استقرار الشكل (التحدب) | انضغاط الخرسانة، انفتاح الشقوق، التشوه | | تركيبة الحمولات | $1{,}35G + 1{,}5Q$ | $G + Q$ | | الجهد المستعمل | $N_u$ | $N_{ser}$ | | الخرسانة | $f_{bu} = 0{,}85\,f_{c28}/(\theta \gamma_b)$ | $\bar{\sigma}_{bc} = 0{,}6\,f_{c28}$ | | الفولاذ | $f_{su} = f_e/\gamma_s$ | $\bar{\sigma}_s$ حسب حالة التشقق |

حالات التشقق الثلاث

حدّة شرط ELS على الفولاذ تتعلق ب المحيط الذي يوجد فيه العنصر:

| حالة التشقق | المحيط | التحقق في ELS | |---|---|---| | غير ضارة (peu préjudiciable) | عناصر داخلية محمية من الماء والطقس | لا تحقق للفولاذ؛ يكفي حساب ELU | | ضارة (préjudiciable) | عناصر معرضة للطقس (المطر، التكاثف) | $\bar{\sigma}_s = \min(2f_e/3\ ;\ 110\sqrt{\eta f_{t28}})$ | | ضارة جدا (très préjudiciable) | محيط عدواني: ماء البحر، خزانات الماء، المياه الجوفية | $\bar{\sigma}_s = \min(f_e/2\ ;\ 90\sqrt{\eta f_{t28}})$ |

المعامل η يتعلق بنوع القضبان، و $f_{t28}$ مقاومة الخرسانة للشد؛ نعرّفهما في الجزأين الرابع والخامس، ونطبق هذه الصيغ بالتفصيل في درس الشداد.

ما الذي نتحقق منه في الشداد وفي العمود؟

| العنصر | ELU | ELS | |---|---|---| | الشداد (شد بسيط) | مقاومة الفولاذ بـ $N_u$ | انفتاح الشقوق بـ $N_{ser}$ (إلا إذا كان التشقق غير ضار) | | العمود (انضغاط بسيط) | المقاومة مع التحدب بـ $N_u$ | لا يُطلب في الحالات العادية |

في الشداد كثيرا ما يكون ELS هو الحاسم عندما يكون التشقق ضارا، أما العمود المضغوط فلا تنفتح فيه الشقوق، فيُحسب في ELU مع إدخال خطر التحدب.

مثال محلول 1: أي التحققات لشداد خارجي؟

شداد قوس في قاعة، معرض للطقس، الجهدان فيه (الجزء الثاني) $N_u = 222\ kN$ و $N_{ser} = 160\ kN$. وُضعت فيه أربعة قضبان HA16 مساحتها $A = 8{,}04\ cm^2 = 804\ mm^2$، من فولاذ $f_e = 400\ MPa$. نقبل أن $f_{su} = 347{,}83\ MPa$ و $\bar{\sigma}_s = 201{,}63\ MPa$ (نحسبهما في الجزء الخامس).

1. حالة التشقق: الشداد معرض للطقس، فالتشقق ضار: نتحقق من ELU ومن ELS.

2. التحقق في ELU (الفولاذ وحده يتحمل الشد):

$ \sigma_u = \frac{N_u}{A} = \frac{222\,000}{804} $

$ \sigma_u = 276{,}1\ MPa $

$276{,}1 \le 347{,}83\ MPa$: محقق.

3. التحقق في ELS:

$ \sigma_s = \frac{N_{ser}}{A} = \frac{160\,000}{804} $

$ \sigma_s = 199{,}0\ MPa $

$199{,}0 \le 201{,}63\ MPa$: محقق، لكن بهامش ضئيل.

نلاحظ أن الهامش في ELS أصغر بكثير منه في ELU: ELS هو الحاسم في هذا الشداد. لو كان التشقق ضارا جدا لما كفت هذه القضبان.

مثال محلول 2: إجهاد الخرسانة في عمود (ELS)

العمود B2 من الجزء الثاني: $N_{ser} = 297{,}90\ kN$، مقطعه $30 \times 30\ cm$ وفيه 4 قضبان HA14 ($A = 6{,}16\ cm^2$)، و $f_{c28} = 25\ MPa$. في ELS المادتان مرنتان، وكل $1\ cm^2$ من الفولاذ يعادل $n = 15\ cm^2$ من الخرسانة، فالمقطع المكافئ:

$ B_h = B + 15\,A = 900 + 15 \times 6{,}16 $

$ B_h = 992{,}4\ cm^2 = 99\,240\ mm^2 $

$ \sigma_{bc} = \frac{297\,900}{99\,240} = 3{,}00\ MPa $

والحد $\bar{\sigma}_{bc} = 0{,}6 \times 25 = 15\ MPa$، إذن $\sigma_{bc} \le \bar{\sigma}_{bc}$: محقق بهامش كبير. هذا يؤكد أن ELS ليس هو ما يحدد تسليح العمود؛ ما يحدده هو ELU مع التحدب.

أخطاء شائعة

• القول إن ELS "حالة أقل أمانا": ELS ليست حالة انهيار أصلا، بل حالة استعمال، ولها تركيبتها $G + Q$.
• إدراج التحدب ضمن ELS: التحدب انهيار، فهو من ELU (استقرار الشكل).
• استعمال $N_u$ في تحقق ELS أو $N_{ser}$ في حساب ELU.
• نسيان أن التشقق غير الضار يعفي من تحقق الفولاذ في ELS.

> ملاحظة للامتحان: عندما يسألك الموضوع "عرّف ELU و ELS" اذكر لكل حالة: ماذا تمثل، ومثالين لأنواعها، وتركيبة حمولاتها.

4. خصائص الخرسانة ومخطط حسابها

المقاومة المميزة للانضغاط $f_{c28}$

مقاومة الخرسانة تزداد مع عمرها. نعتمد في الحساب المقاومة المميزة للانضغاط في عمر 28 يوما $f_{c28}$ (résistance caractéristique à la compression)، وتُقاس بتجربة سحق عينات أسطوانية نظامية.


العينة النظامية أسطوانة قطرها $16\ cm$ وارتفاعها $32\ cm$، مساحة مقطعها:

$ S = \frac{\pi \times 16^2}{4} = 201{,}06\ cm^2 $

أي حوالي $200\ cm^2$. نضغطها بين صفيحتي الآلة حتى السحق، ونسجل القوة القصوى F، فتكون المقاومة $f_c = F/S$. القيمة المتداولة في المباني $f_{c28} = 25\ MPa$ (عادة بين 20 و 30 MPa).

المقاومة في عمر j يوم $f_{cj}$

قبل 28 يوما تكون الخرسانة أضعف. إذا كان $f_{c28} \le 40\ MPa$:

$ f_{cj} = \frac{j}{4{,}76 + 0{,}83\,j}\, f_{c28} $

(وإذا كان $f_{c28} > 40\ MPa$ يصبح المقام $1{,}40 + 0{,}95\,j$). وبعد 28 يوما نأخذ في الحساب $f_{cj} = f_{c28}$ اصطلاحا.

| j (يوم) | 3 | 7 | 14 | 21 | 28 | |---|---|---|---|---|---| | $f_{cj}$ لـ $f_{c28} = 25\ MPa$ | $10{,}34$ | $16{,}56$ | $21{,}37$ | $23{,}66$ | $25$ |

نستعمل $f_{cj}$ عندما تُطبق الحمولات على الخرسانة قبل أن تبلغ 28 يوما (فك القوالب مبكرا مثلا).

المقاومة المميزة للشد $f_{t28}$

لا تُقاس مقاومة الشد مباشرة في التمارين، بل تُستنتج من مقاومة الانضغاط:

$ f_{tj} = 0{,}6 + 0{,}06\, f_{cj} \quad (MPa) $

| $f_{c28}$ (MPa) | 20 | 25 | 30 | |---|---|---|---| | $f_{t28}$ (MPa) | $1{,}80$ | $2{,}10$ | $2{,}40$ |

نستعمل $f_{t28}$ في شرط عدم الهشاشة وفي حساب $\bar{\sigma}_s$ للشداد.

مخطط حساب الخرسانة في ELU


يمثل الخط المتقطع المنحنى الحقيقي لتجربة السحق، ويمثل الخط الأحمر مخطط الحساب المعتمد في ELU، وهو قطع مكافئ ثم مستطيل (parabole-rectangle):

• من 0 إلى $2\ \text{‰}$: قطع مكافئ يصعد إلى $f_{bu}$، معادلته $\sigma_{bc} = 0{,}25\, f_{bu} \cdot 10^3 \varepsilon_{bc}\,(4 - 10^3 \varepsilon_{bc})$؛
• من $2\ \text{‰}$ إلى $3{,}5\ \text{‰}$: إجهاد ثابت يساوي $f_{bu}$؛
• $3{,}5\ \text{‰}$ هو التقصر الأقصى للخرسانة في الانحناء، أما في الانضغاط البسيط فنحدّ التقصر بـ $2\ \text{‰}$.

المقاومة المحسوبة للخرسانة:

$ f_{bu} = \frac{0{,}85\, f_{c28}}{\theta \cdot \gamma_b} $

| الرمز | المعنى | القيم | |---|---|---| | $\gamma_b$ | معامل أمان الخرسانة | $1{,}5$ في الحالات العادية، $1{,}15$ في الحالات العرضية | | θ | معامل مدة تطبيق الحمولة | 1 إذا تجاوزت 24 h، $0{,}9$ بين 1 h و 24 h، $0{,}85$ إذا قلت عن 1 h | | $0{,}85$ | معامل يأخذ في الحساب نقص المقاومة تحت حمولة طويلة المدة | ثابت |

في التمارين نأخذ $\theta = 1$ و $\gamma_b = 1{,}5$، فلـ $f_{c28} = 25\ MPa$:

$ f_{bu} = \frac{0{,}85 \times 25}{1 \times 1{,}5} $

$ f_{bu} = 14{,}17\ MPa $

الإجهاد الحدي في ELS

في ELS نحدّ إجهاد الخرسانة المضغوطة بـ:

$ \bar{\sigma}_{bc} = 0{,}6\, f_{c28} $

فلـ $f_{c28} = 25\ MPa$: $\bar{\sigma}_{bc} = 15\ MPa$.

معامل المرونة

معامل المرونة الآني للخرسانة $E_{ij} = 11\,000\,\sqrt[3]{f_{cj}}$ (MPa)، ومعامل المرونة المؤجل (حمولات طويلة المدة، مع الزحف) $E_{vj} = 3700\,\sqrt[3]{f_{cj}}$. لـ $f_{c28} = 25\ MPa$: $E_{i28} \approx 32\,164\ MPa$، أي حوالي $3 \cdot 10^4\ MPa$، وهو أصغر بنحو 6 مرات من معامل مرونة الفولاذ.

جدول ملخص

| $f_{c28}$ (MPa) | $f_{t28}$ (MPa) | $f_{bu}$ (MPa) | $\bar{\sigma}_{bc}$ (MPa) | |---|---|---|---| | 20 | $1{,}80$ | $11{,}33$ | 12 | | 25 | $2{,}10$ | $14{,}17$ | 15 | | 30 | $2{,}40$ | $17{,}00$ | 18 |

مثال محلول: من نتائج المخبر إلى خصائص الحساب

المعطيات: سُحقت ثلاث عينات نظامية $16 \times 32$ في عمر 28 يوما تحت القوى: 498 kN و 507 kN و 503 kN.

1. القوة المتوسطة:

$ F_m = \frac{498 + 507 + 503}{3} $

$ F_m = 502{,}67\ kN $

2. المقاومة ($S = 201{,}06\ cm^2 = 20\,106\ mm^2$):

$ f_{c28} = \frac{502\,670}{20\,106} $

$ f_{c28} = 25{,}0\ MPa $

3. مقاومة الشد: $f_{t28} = 0{,}6 + 0{,}06 \times 25 = 2{,}1\ MPa$.

4. ELU: $f_{bu} = 0{,}85 \times 25/1{,}5 = 14{,}17\ MPa$. لو طُبقت الحمولة مدة بين 1 h و 24 h ($\theta = 0{,}9$):

$ f_{bu} = \frac{0{,}85 \times 25}{0{,}9 \times 1{,}5} $

$ f_{bu} = 15{,}74\ MPa $

وفي حالة عرضية ($\gamma_b = 1{,}15$، $\theta = 1$): $f_{bu} = 21{,}25/1{,}15 = 18{,}48\ MPa$.

5. ELS: $\bar{\sigma}_{bc} = 0{,}6 \times 25 = 15\ MPa$.

6. إذا حُمّلت الخرسانة في عمر 7 أيام:

$ f_{c7} = \frac{7}{4{,}76 + 0{,}83 \times 7} \times 25 $

$ f_{c7} = \frac{7}{10{,}57} \times 25 = 16{,}56\ MPa $

و $f_{t7} = 0{,}6 + 0{,}06 \times 16{,}56 = 1{,}59\ MPa$.

7. نقطة من المخطط: عند $\varepsilon_{bc} = 1\ \text{‰}$ (في الجزء المكافئ) $\sigma_{bc} = 0{,}25 \times 14{,}17 \times 1 \times (4 - 1) = 10{,}63\ MPa$، أي $75\ \%$ من $f_{bu}$.

أخطاء شائعة

• كتابة $f_{bu} = 0{,}85\, f_{c28} \times 1{,}5$: معامل الأمان يقسم المقاومة لا يضربها.
• نسيان المعامل $0{,}85$: $25/1{,}5 = 16{,}67\ MPa$ قيمة خاطئة لـ $f_{bu}$.
• الخلط بين $f_{bu}$ (ELU، $14{,}17$) و $\bar{\sigma}_{bc}$ (ELS، 15) لـ $f_{c28} = 25\ MPa$.
• حساب $f_{t28}$ بـ $0{,}06 \times f_{c28}$ فقط ونسيان $0{,}6$.
• أخذ مساحة العينة $\pi \times 16^2 = 804\ cm^2$ (القطر مكان نصف القطر).

> ملاحظة للامتحان: احفظ الثلاثي لـ $f_{c28} = 25\ MPa$: $f_{t28} = 2{,}1$ ، $f_{bu} = 14{,}17$ ، $\bar{\sigma}_{bc} = 15\ MPa$، واكتب دائما الصيغة قبل التعويض.

5. خصائص الفولاذ، جدول القضبان والتغطية

أنواع فولاذ التسليح


يبين الشكل الأنواع الثلاثة المستعملة في الخرسانة المسلحة:

• القضبان الملساء RL (ronds lisses): سطحها أملس، تلاحمها ضعيف. درجاتها FeE215 و FeE235. تُستعمل خاصة في الإطارات وفي القطع التي تُثنى كثيرا.
• القضبان عالية التلاحم HA (haute adhérence): على سطحها نتوءات تزيد التلاحم مع الخرسانة. درجاتها FeE400 و FeE500. هي التسليح الرئيسي في الروافد والأعمدة والشدادات.
• الشبكة الملحومة TS (treillis soudé): أسلاك متعامدة ملحومة عند تقاطعها، تُستعمل في بلاطة الانضغاط للأرضيات وفي البلاطات.

الرقم في اسم الدرجة هو حد المرونة المضمون $f_e$ بالـ MPa: الدرجة FeE400 تعني $f_e = 400\ MPa$.

| الدرجة | النوع | $f_e$ (MPa) | η | الأقطار الشائعة (mm) | |---|---|---|---|---| | FeE215 | أملس RL | 215 | 1 | 6، 8، 10، 12 | | FeE235 | أملس RL | 235 | 1 | 6، 8، 10، 12 | | FeE400 | عالي التلاحم HA | 400 | $1{,}6$ | من 6 إلى 40 | | FeE500 | عالي التلاحم HA | 500 | $1{,}6$ | من 6 إلى 40 |

معامل التشقق η يعبّر عن جودة التلاحم: $\eta = 1$ للقضبان الملساء و $\eta = 1{,}6$ للقضبان عالية التلاحم، ويدخل في صيغة $\bar{\sigma}_s$.

خصائص مشتركة لكل الدرجات: معامل المرونة $E_s = 2 \cdot 10^5\ MPa$، و معامل الأمان $\gamma_s = 1{,}15$ في الحالات العادية ($1{,}0$ في الحالات العرضية).

مخطط حساب الفولاذ في ELU


مخطط الحساب (الخط الأحمر) مرن ثم لدن تام:

• الجزء المرن: $\sigma_s = E_s \cdot \varepsilon_s$ حتى تشوه حد المرونة $\varepsilon_l = f_{su}/E_s$؛
• الاستواء اللدن: إجهاد ثابت $f_{su}$ حتى استطالة قصوى $10\ \text{‰}$.

الخط المتقطع هو المخطط المميز (حتى $f_e$)؛ والمخطط متناظر في الانضغاط. المقاومة المحسوبة للفولاذ:

$ f_{su} = \frac{f_e}{\gamma_s} $

| الدرجة | $f_{su}$ (MPa) | $\varepsilon_l$ | |---|---|---| | FeE235 | $235/1{,}15 = 204{,}35$ | $1{,}02\ \text{‰}$ | | FeE400 | $400/1{,}15 = 347{,}83$ (نحو 348) | $1{,}74\ \text{‰}$ | | FeE500 | $500/1{,}15 = 434{,}78$ | $2{,}17\ \text{‰}$ |

مثلا لـ FeE400: $\varepsilon_l = 347{,}83/(2 \cdot 10^5) = 0{,}00174 = 1{,}74\ \text{‰}$. في الشد البسيط (الشداد) تكون استطالة الفولاذ في ELU مساوية لـ $10\ \text{‰}$، فيعمل بـ $f_{su}$ كاملة.

الفولاذ في ELS

حسب حالة التشقق (الجزء الثالث):

$ \bar{\sigma}_s = \min\left(\tfrac{2}{3} f_e\ ;\ 110\sqrt{\eta f_{t28}}\right) $

للتشقق الضار، و $\bar{\sigma}_s = \min(f_e/2\ ;\ 90\sqrt{\eta f_{t28}})$ للتشقق الضار جدا. مثلا لـ FeE400 مع $f_{t28} = 2{,}1\ MPa$ و $\eta = 1{,}6$:

• ضارة: $\min(266{,}67\ ;\ 110\sqrt{3{,}36}) = \min(266{,}67\ ;\ 201{,}63) = 201{,}63\ MPa$؛
• ضارة جدا: $\min(200\ ;\ 90\sqrt{3{,}36}) = \min(200\ ;\ 164{,}97) = 164{,}97\ MPa$.

جدول مقاطع القضبان

مقطع قضيب واحد $\pi \phi^2/4$، ونضربه في عدد القضبان. القيم بالـ $cm^2$، والكتلة بالـ kg لكل متر طولي:

| ⌀ (mm) / عدد القضبان | kg/m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---|---| | 6 | $0{,}222$ | $0{,}28$ | $0{,}57$ | $0{,}85$ | $1{,}13$ | $1{,}41$ | | 8 | $0{,}395$ | $0{,}50$ | $1{,}01$ | $1{,}51$ | $2{,}01$ | $2{,}51$ | | 10 | $0{,}617$ | $0{,}79$ | $1{,}57$ | $2{,}36$ | $3{,}14$ | $3{,}93$ | | 12 | $0{,}888$ | $1{,}13$ | $2{,}26$ | $3{,}39$ | $4{,}52$ | $5{,}65$ | | 14 | $1{,}208$ | $1{,}54$ | $3{,}08$ | $4{,}62$ | $6{,}16$ | $7{,}70$ | | 16 | $1{,}578$ | $2{,}01$ | $4{,}02$ | $6{,}03$ | $8{,}04$ | $10{,}05$ | | 20 | $2{,}466$ | $3{,}14$ | $6{,}28$ | $9{,}42$ | $12{,}57$ | $15{,}71$ | | 25 | $3{,}853$ | $4{,}91$ | $9{,}82$ | $14{,}73$ | $19{,}63$ | $24{,}54$ |

| ⌀ (mm) / عدد القضبان | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |---|---|---|---|---|---| | 6 | $1{,}70$ | $1{,}98$ | $2{,}26$ | $2{,}54$ | $2{,}83$ | | 8 | $3{,}02$ | $3{,}52$ | $4{,}02$ | $4{,}52$ | $5{,}03$ | | 10 | $4{,}71$ | $5{,}50$ | $6{,}28$ | $7{,}07$ | $7{,}85$ | | 12 | $6{,}79$ | $7{,}92$ | $9{,}05$ | $10{,}18$ | $11{,}31$ | | 14 | $9{,}24$ | $10{,}78$ | $12{,}32$ | $13{,}85$ | $15{,}39$ | | 16 | $12{,}06$ | $14{,}07$ | $16{,}08$ | $18{,}10$ | $20{,}11$ | | 20 | $18{,}85$ | $21{,}99$ | $25{,}13$ | $28{,}27$ | $31{,}42$ | | 25 | $29{,}45$ | $34{,}36$ | $39{,}27$ | $44{,}18$ | $49{,}09$ |

قواعد اختيار القضبان:

• المقطع المختار أكبر من أو يساوي المقطع المطلوب، بأقل زيادة ممكنة.
• عدد يسمح بتوزيع متناظر: 4 على الأقل في مقطع مستطيل (قضيب في كل زاوية)، ثم 6 أو 8؛ و 6 على الأقل في مقطع دائري.
• يُفضّل قطر واحد في المقطع، ولا يُنزل في الأعمدة تحت ⌀12.

التغطية (enrobage)

التغطية c هي المسافة بين وجه الخرسانة والسطح الخارجي لأقرب قضيب، بما فيه الإطار. تحمي الفولاذ من الصدأ ومن النار وتضمن تلاحمه. الحد الأدنى في BAEL حسب المحيط:

| المحيط | التغطية الدنيا | |---|---| | عناصر داخلية محمية (محلات مغلقة غير معرضة للتكاثف) | $1\ cm$ | | عناصر معرضة للطقس أو للتكاثف أو للسوائل | $3\ cm$ | | محيط بحري أو عدواني | $5\ cm$ |

وفي كل الحالات $c \ge \phi$ (قطر القضيب). في الأعمدة والروافد نأخذ عمليا $c = 2{,}5$ إلى $3\ cm$. والفراغ بين قضيبين متجاورين e يجب أن يمرر الحصى: $e \ge \phi$ و $e \ge 1{,}5\, c_g$، حيث $c_g$ أكبر قطر للحصى.


مثال محلول: التحقق من تغطية رافدة وحساب ارتفاعها المفيد

المعطيات (الشكل): رافدة $25 \times 40\ cm$، تغطية $c = 3\ cm$ حتى الإطار، إطار ⌀8، في الأسفل 3HA14 وفي الأعلى 2HA10، أكبر قطر للحصى $c_g = 25\ mm$.

1. العرض المتاح للقضبان داخل الإطار:

$ b_0 = 25 - 2 \times 3 - 2 \times 0{,}8 $

$ b_0 = 17{,}4\ cm $

2. الفراغ بين القضبان السفلية: ثلاثة قضبان تشغل $3 \times 1{,}4 = 4{,}2\ cm$، ويبقى فراغان:

$ e = \frac{17{,}4 - 4{,}2}{2} = 6{,}6\ cm $

الشرط: $e \ge \max(1{,}4\ ;\ 1{,}5 \times 2{,}5) = 3{,}75\ cm$: محقق.

3. الارتفاع المفيد d (من الوجه المضغوط إلى مركز القضبان المشدودة):

$ d = 40 - 3 - 0{,}8 - \frac{1{,}4}{2} $

$ d = 35{,}5\ cm $

4. مقطع الفولاذ وكتلته: 3HA14 تعطي $4{,}62\ cm^2$، و 2HA10 تعطي $1{,}57\ cm^2$. كتلة القضبان السفلية لرافدة طولها $5{,}00\ m$: $3 \times 5{,}00 \times 1{,}208 = 18{,}12\ kg$.

مثال محلول 2: اختيار القضبان

حساب تسليح عنصر أعطى المقطع المطلوب $A = 9{,}20\ cm^2$. نبحث في الجدول عن أقرب قيمة أكبر:

| الاقتراح | المقطع ($cm^2$) | الحكم | |---|---|---| | 8HA12 | $9{,}05$ | غير كاف ($9{,}05 < 9{,}20$) | | 6HA14 | $9{,}24$ | كاف، زيادة $0{,}4\ \%$ | | 3HA20 | $9{,}42$ | كاف، لكن 3 قضبان لا تُوزع على 4 زوايا | | 5HA16 | $10{,}05$ | كاف، لكن عدد فردي وزيادة $9\ \%$ |

الاختيار: 6HA14 بمقطع $9{,}24\ cm^2$.

لمحة عن حساب الشداد والعمود

الخصائص التي رأيناها هي كل ما نحتاجه لتبرير المقاطع في الدرسين المواليين:

| الشداد (شد بسيط) | العمود (انضغاط بسيط) | |---|---| | $N_u$ و $N_{ser}$ | $N_u$ ثم طول التحدب والنحافة | | ELU: مقطع يتحمل $N_u$ بإجهاد $f_{su}$ | المعامل α حسب النحافة | | ELS: مقطع يتحمل $N_{ser}$ بإجهاد $\bar{\sigma}_s$ | المقطع المختصر وقسط الخرسانة بـ $f_{c28}$ | | نأخذ الأكبر، ثم شرط عدم الهشاشة بـ $f_{t28}$ | قسط الفولاذ بـ $f_e/\gamma_s$ ثم التسليح الأدنى | | اختيار القضبان من الجدول، الإطارات، الرسم | اختيار القضبان، الإطارات وتباعدها، الرسم |

أخطاء شائعة

• استعمال $f_e$ مكان $f_{su} = f_e/\gamma_s$ في ELU.
• أخذ $\eta = 1{,}6$ لقضبان ملساء FeE235 (الصحيح $\eta = 1$).
• قراءة الجدول بالـ $mm^2$ أو الخلط بين القطر ونصف القطر: $\pi \times 14^2/4 = 153{,}9\ mm^2 = 1{,}54\ cm^2$.
• قياس التغطية حتى القضيب الطولي ونسيان الإطار.

> ملاحظة للامتحان: لـ FeE400 احفظ $f_{su} = 347{,}83\ MPa$ و $\varepsilon_l = 1{,}74\ \text{‰}$ و $E_s = 2 \cdot 10^5\ MPa$، واكتب دائما اسم القضبان المختارة مع مقطعها: 6HA14 ($9{,}24\ cm^2$).

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل

في كل تمرين: اكتب المعطيات بوحداتها، ثم الصيغة، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها. افصل دائما بين حساب ELU (بـ $N_u$ و $f_{bu}$ و $f_{su}$) وحساب ELS (بـ $N_{ser}$ و $\bar{\sigma}_{bc}$ و $\bar{\sigma}_s$). نحوّل N إلى نيوتن والمساحات إلى $mm^2$ قبل حساب أي إجهاد.

التمرين 1: سقيفة سوق مغطاة بقوس مشدود


المعطيات: سقيفة سوق مفتوحة الجوانب، مجالها $12{,}00\ m$ وارتفاع أعمدتها $4{,}50\ m$ (الشكل). يدفع القوس رأسي العمودين نحو الخارج، فيربطهما شداد أفقي.

• الشداد: $N_G = 150\ kN$ ، $N_Q = 45\ kN$ (شد)، فيه 4HA16.
• كل عمود: $N_G = 420\ kN$ ، $N_Q = 130\ kN$ (انضغاط)، مقطعه $30 \times 30\ cm$ وفيه 4HA14.
• الخرسانة $f_{c28} = 25\ MPa$ ، الفولاذ FeE400 ($\eta = 1{,}6$) ، $\gamma_b = 1{,}5$ ، $\gamma_s = 1{,}15$ ، $\theta = 1$.

المطلوب:

• سمّ العناصر من 1 إلى 4، وحدد التحريض البسيط الذي يخضع له كل من العنصرين 2 و 3.
• احسب $N_u$ و $N_{ser}$ للشداد وللعمود.
• حدد حالة التشقق للشداد، ثم احسب $f_{t28}$ و $f_{bu}$ و $\bar{\sigma}_{bc}$ و $f_{su}$ و $\bar{\sigma}_s$.
• تحقق من مقاومة الشداد في ELU و ELS بتسليحه الحالي 4HA16، ثم بالتسليح المقترح 6HA16.
• تحقق من إجهاد الخرسانة في العمود في ELS ($n = 15$).

الحل

1. التسمية: (1) القوس (arc)، (2) الشداد (tirant)، (3) العمود (poteau)، (4) الأساس المنفرد (semelle). الشداد يخضع إلى شد بسيط: يمنع تباعد رأسي العمودين. العمود يخضع إلى انضغاط بسيط: ينقل حمولة القوس إلى الأساس.

2. الجهود:

الشداد:

$ N_u = 1{,}35 \times 150 + 1{,}5 \times 45 $

$ N_u = 202{,}5 + 67{,}5 = 270\ kN $

$ N_{ser} = 150 + 45 = 195\ kN $

العمود:

$ N_u = 1{,}35 \times 420 + 1{,}5 \times 130 $

$ N_u = 567 + 195 = 762\ kN $

$ N_{ser} = 420 + 130 = 550\ kN $

3. حالة التشقق والمواد: السقيفة مفتوحة الجوانب، فالشداد معرض للمطر والرطوبة: التشقق ضار.

| الخاصية | الحساب | القيمة | |---|---|---| | $f_{t28}$ | $0{,}6 + 0{,}06 \times 25$ | $2{,}10\ MPa$ | | $f_{bu}$ | $0{,}85 \times 25/(1 \times 1{,}5)$ | $14{,}17\ MPa$ | | $\bar{\sigma}_{bc}$ | $0{,}6 \times 25$ | $15\ MPa$ | | $f_{su}$ | $400/1{,}15$ | $347{,}83\ MPa$ | | $\bar{\sigma}_s$ | $\min(266{,}67\ ;\ 110\sqrt{1{,}6 \times 2{,}1})$ | $201{,}63\ MPa$ |

4. تحقق الشداد ($A = 8{,}04\ cm^2 = 804\ mm^2$):

$ \sigma_u = \frac{270\,000}{804} = 335{,}8\ MPa $

$335{,}8 \le 347{,}83\ MPa$: ELU محقق.

$ \sigma_s = \frac{195\,000}{804} = 242{,}5\ MPa $

$242{,}5 > 201{,}63\ MPa$: ELS غير محقق؛ الشقوق ستنفتح أكثر من المسموح.

التسليح المقترح 6HA16 ($A = 12{,}06\ cm^2 = 1206\ mm^2$، عدد زوجي متناظر بقطر واحد):

$ \sigma_s = \frac{195\,000}{1206} = 161{,}7\ MPa $

$161{,}7 \le 201{,}63\ MPa$: ELS محقق، و $\sigma_u = 270\,000/1206 = 223{,}9\ MPa \le 347{,}83\ MPa$: ELU محقق. (طريقة حساب مقطع الشداد كاملة، مع شرط عدم الهشاشة والإطارات، موضوع الدرس الموالي.)

5. العمود في ELS: $A = 6{,}16\ cm^2$، $B = 900\ cm^2$.

$ B_h = 900 + 15 \times 6{,}16 = 992{,}4\ cm^2 $

$ \sigma_{bc} = \frac{550\,000}{99\,240} = 5{,}54\ MPa $

$5{,}54 \le 15\ MPa$: محقق بهامش كبير؛ تسليح العمود يحدده حساب ELU مع التحدب.

التمرين 2: استغلال نتائج المخبر

المعطيات: لمراقبة جودة مواد ورشة:

• سُحقت في عمر 28 يوما ثلاث عينات خرسانة نظامية $16 \times 32$ تحت القوى 452 kN و 445 kN و 460 kN.
• شُد قضيب HA قطره 12 mm: بدأ السيلان تحت قوة $F_e = 45{,}5\ kN$ وانكسر تحت $F_r = 55{,}0\ kN$. وتحت قوة $20\ kN$ قيست استطالة نسبية $0{,}884\ \text{‰}$.

المطلوب:

• احسب $f_{c28}$، ثم $f_{t28}$ و $f_{bu}$ و $\bar{\sigma}_{bc}$.
• احسب مقاومة الخرسانة لو حُمّلت في عمر 7 أيام.
• احسب حد المرونة ومقاومة الانكسار للقضيب، واستنتج درجته.
• احسب معامل المرونة للفولاذ وقارنه بالقيمة النظامية، ثم احسب $f_{su}$.

الحل

1. الخرسانة: القوة المتوسطة $F_m = (452 + 445 + 460)/3 = 452{,}33\ kN$، ومساحة العينة $S = 20\,106\ mm^2$:

$ f_{c28} = \frac{452\,330}{20\,106} $

$ f_{c28} = 22{,}50\ MPa $

• $f_{t28} = 0{,}6 + 0{,}06 \times 22{,}5 = 1{,}95\ MPa$
• $f_{bu} = 0{,}85 \times 22{,}5/1{,}5 = 12{,}75\ MPa$
• $\bar{\sigma}_{bc} = 0{,}6 \times 22{,}5 = 13{,}5\ MPa$

2. في عمر 7 أيام ($f_{c28} \le 40\ MPa$):

$ f_{c7} = \frac{7}{4{,}76 + 0{,}83 \times 7} \times 22{,}5 $

$ f_{c7} = \frac{7}{10{,}57} \times 22{,}5 = 14{,}90\ MPa $

3. الفولاذ: مساحة القضيب $S = \pi \times 12^2/4 = 113{,}1\ mm^2$.

$ f_e = \frac{45\,500}{113{,}1} = 402{,}3\ MPa $

$ \sigma_r = \frac{55\,000}{113{,}1} = 486{,}3\ MPa $

حد المرونة يتجاوز $400\ MPa$ والقضيب عالي التلاحم: الدرجة FeE400 (مقاومة انكسارها المضمونة $480\ MPa$، وهي محققة).

4. معامل المرونة: تحت $20\ kN$ الإجهاد $\sigma = 20\,000/113{,}1 = 176{,}8\ MPa$ (في المجال المرن)، فـ:

$ E_s = \frac{176{,}8}{0{,}000884} $

$ E_s = 2{,}0 \cdot 10^5\ MPa $

وهي القيمة النظامية $E_s = 2 \cdot 10^5\ MPa$. نأخذ في الحساب القيمة المضمونة $f_e = 400\ MPa$ لا القيمة المقيسة، فـ $f_{su} = 400/1{,}15 = 347{,}83\ MPa$.

التمرين 3: رافدة أرضية قسم دراسي

المعطيات: رافدة بسيطة الارتكاز مجالها $L = 4{,}50\ m$، تحمل شريطا من أرضية عرضه $3{,}60\ m$. الأرضية: $G = 5{,}60\ kN/m^2$ ، $Q = 2{,}50\ kN/m^2$ (قسم دراسي). مقطع الرافدة $30 \times 40\ cm$ (الخرسانة المسلحة $25\ kN/m^3$). تسليحها كما في رسم الرافدة في الجزء الأول: في الأسفل 3HA16، في الأعلى 2HA12، إطارات ⌀8، تغطية $c = 3\ cm$، وأكبر قطر للحصى $25\ mm$.

المطلوب:

• احسب الحمولتين الموزعتين g و q على الرافدة، ثم $q_u$ و $q_{ser}$.
• احسب $M_u$ و $M_{ser}$ في وسط المجال، والجهد القاطع $V_u$ عند المسند.
• تحقق من الفراغ بين القضبان السفلية، واحسب الارتفاع المفيد d.
• احسب كتلة القضبان الطولية إذا كان طول كل قضيب $4{,}70\ m$.

الحل

1. الحمولات: الوزن الذاتي $0{,}30 \times 0{,}40 \times 25 = 3{,}00\ kN/m$.

$ g = 5{,}60 \times 3{,}60 + 3{,}00 $

$ g = 23{,}16\ kN/m $

$ q = 2{,}50 \times 3{,}60 = 9{,}00\ kN/m $

$ q_u = 1{,}35 \times 23{,}16 + 1{,}5 \times 9{,}00 $

$ q_u = 31{,}27 + 13{,}50 = 44{,}77\ kN/m $

$ q_{ser} = 23{,}16 + 9{,}00 = 32{,}16\ kN/m $

2. العزم والجهد القاطع (حمولة موزعة بانتظام على رافدة بسيطة: العزم الأعظمي $qL^2/8$ في الوسط):

$ M_u = \frac{44{,}77 \times 4{,}50^2}{8} $

$ M_u = 113{,}3\ kN \cdot m $

$ M_{ser} = \frac{32{,}16 \times 4{,}50^2}{8} $

$ M_{ser} = 81{,}4\ kN \cdot m $

$ V_u = \frac{44{,}77 \times 4{,}50}{2} = 100{,}7\ kN $

3. التغطية والارتفاع المفيد: العرض داخل الإطار $b_0 = 30 - 2 \times 3 - 2 \times 0{,}8 = 22{,}4\ cm$. القضبان الثلاثة تشغل $3 \times 1{,}6 = 4{,}8\ cm$، فالفراغ:

$ e = \frac{22{,}4 - 4{,}8}{2} = 8{,}8\ cm $

$8{,}8 \ge \max(1{,}6\ ;\ 1{,}5 \times 2{,}5) = 3{,}75\ cm$: محقق. الارتفاع المفيد:

$ d = 40 - 3 - 0{,}8 - 0{,}8 = 35{,}4\ cm $

4. الكتلة (من عمود kg/m في الجدول):

| القضبان | الحساب | الكتلة (kg) | |---|---|---| | 3HA16 | $3 \times 4{,}70 \times 1{,}578$ | $22{,}25$ | | 2HA12 | $2 \times 4{,}70 \times 0{,}888$ | $8{,}35$ | | المجموع | | $30{,}60$ |

ملاحظة للامتحان

في تمارين الخرسانة المسلحة تأتي نقاط كثيرة من الخطوات "السهلة": $N_u$ و $N_{ser}$، خصائص المواد، قراءة جدول القضبان، الوحدات. اكتبها كاملة ومنظمة في جداول، فهي أساس الدرسين المواليين (الشداد والعمود).