المظهر العرضي

3. حساب طرفي المنحدرين: المسافة X

المطلوب

في كل جهة من المظهر يبدأ المنحدر من نقطة معلومة E، ويستمر حتى يلتقي بالأرض الطبيعية في نقطة M تسمى قدم منحدر الردم (pied de talus) في الردم و رأس منحدر الحفر (crête de talus) في الحفر. نريد:

• X: المسافة الأفقية بين E وM (الإسقاط الأفقي للمنحدر)؛
• منسوب M؛
• بُعد M عن المحور، أي حدّ الأشغال في هذه الجهة.

نقطة البداية E ليست نفسها في الحالتين:

| الجهة | نقطة البداية E | بُعدها عن المحور | منسوبها | |---|---|---|---| | ردم | حافة المسطّحة | $5{,}00\ m$ | منسوب المشروع $H_P$ | | حفر | الطرف الخارجي للخندق | $6{,}50\ m$ | منسوب المشروع $H_P$ |

نسمّي C نقطة الأرض الطبيعية التي على الشاقول نفسه مع E، و Y = الفرق الشاقولي بين E وC (قيمة موجبة دائما):

• في الردم: $Y = H_P - H_{TN}(5{,}00)$؛
• في الحفر: $Y = H_{TN}(6{,}50) - H_P$.

ونرمز بـ $\tan \beta$ لميل المنحدر ($2/3$ في الردم، أي $2\ m$ شاقوليا لـ $3\ m$ أفقيا، و $1$ في الحفر)، و بـ $\tan \alpha$ لميل الأرض الطبيعية بقيمته المطلقة (مثلا $0{,}08$ لأرض ميلها $8\ \%$).

استنتاج العلاقة في الردم


في الشكل، E حافة المسطّحة وC نقطة الأرض تحتها على بعد Y. نتقدّم أفقيا مسافة X نحو الخارج:

• المنحدر ينزل من E بمقدار $X \cdot \tan \beta$؛
• الأرض تنزل من C بمقدار $X \cdot \tan \alpha$ في الحالة (a)، وتصعد بالمقدار نفسه في الحالة (b).

يلتقي الخطان في M عندما يُستهلك الفرق Y كله:

(a) الأرض تنزل نحو الخارج (في الاتجاه نفسه مع منحدر الردم): الفرق يتناقص بـ $\tan \beta - \tan \alpha$ في كل متر: $ X \cdot (\tan \beta - \tan \alpha) = Y $ $ X = \frac{Y}{\tan \beta - \tan \alpha} $

(b) الأرض تصعد نحو الخارج (في اتجاه معاكس): المنحدر ينزل والأرض تصعد، فيتناقص الفرق بـ $\tan \beta + \tan \alpha$: $ X = \frac{Y}{\tan \beta + \tan \alpha} $

العلاقة في الحفر


في الحفر يصعد المنحدر من E (الطرف الخارجي للخندق المرسوم على يسارها) بميل $\tan \beta = 1$، والأرض C فوق E بـ Y. الاستدلال نفسه يعطي:

• (a) الأرض تصعد نحو الخارج (في الاتجاه نفسه مع منحدر الحفر): $X = Y/(1 - \tan \alpha)$؛
• (b) الأرض تنزل نحو الخارج (في اتجاه معاكس): $X = Y/(1 + \tan \alpha)$.

الجدول الجامع

| الجهة | الأرض خارج نقطة البداية | الحالة | العلاقة | |---|---|---|---| | ردم | تنزل نحو الخارج | الاتجاه نفسه | $X = Y/(2/3 - \tan \alpha)$ | | ردم | تصعد نحو الخارج | اتجاهان متعاكسان | $X = Y/(2/3 + \tan \alpha)$ | | حفر | تصعد نحو الخارج | الاتجاه نفسه | $X = Y/(1 - \tan \alpha)$ | | حفر | تنزل نحو الخارج | اتجاهان متعاكسان | $X = Y/(1 + \tan \alpha)$ |

> إذا «هربت» الأرض في اتجاه المنحدر نفسه، احتاج المنحدر مسافة أطول ليلحق بها: نطرح، فيكبر X. وإذا اتجهت الأرض نحو المنحدر التقيا بسرعة: نجمع، فيصغر X.

منسوب M وبُعدها عن المحور

بعد حساب X نحسب منسوب M بطريقتين، والثانية تحقق للأولى:

• على المنحدر: $H_M = H_P - \frac{2}{3} X$ في الردم، و $H_M = H_P + X$ في الحفر؛
• على الأرض: $H_M = H_{TN}(E) \pm X \cdot \tan \alpha$ ($+$ إذا كانت الأرض تصعد نحو الخارج).

البعد عن المحور: $5{,}00 + X$ في الردم، و $6{,}50 + X$ في الحفر.

متى لا يلتقي المنحدر بالأرض؟

في حالة «الاتجاه نفسه» يجب أن يكون $\tan \alpha < \tan \beta$. إذا كانت الأرض أشدّ ميلا من المنحدر (مثلا أرض تنزل بـ $70\ \%$ بجانب ردم ميله $2/3 \approx 67\ \%$) فإنّ المقام سالب: المنحدر لا يلتقي بالأرض أبدا، ويلجأ المصمّم إلى جدار استناد (mur de soutènement) أو إلى نقل المحور.

مثال محلول 1: مظهر في الردم من الجهتين

المقطع P2: منسوب المشروع $52{,}80\ m$، منسوب الأرض في المحور $51{,}60\ m$. الأرض تصعد نحو اليسار بـ $5\ \%$ و تنزل نحو اليمين بـ $8\ \%$. منحدر الردم $2/3$، نصف المسطّحة $5{,}00\ m$. احسب طرفي المنحدرين.

اليسار. منسوب الأرض عند الحافة: $51{,}60 + 0{,}05 \times 5 = 51{,}85\ m$، أخفض من المشروع فالجهة ردم: $ Y_g = 52{,}80 - 51{,}85 = 0{,}95\ m $ الأرض تصعد نحو الخارج والمنحدر ينزل: اتجاهان متعاكسان: $ X_g = \frac{0{,}95}{2/3 + 0{,}05} = 1{,}326\ m $ $ H_{Mg} = 52{,}80 - \frac{2}{3} \times 1{,}326 $ $ H_{Mg} = 52{,}80 - 0{,}884 = 51{,}92\ m $ تحقق على الأرض: $51{,}85 + 0{,}05 \times 1{,}326 = 51{,}92\ m$. نحتفظ بثلاثة أرقام عشرية في X أثناء الحساب ثم نقرّب: $X_g \approx 1{,}33\ m$، والبعد عن المحور $5{,}00 + 1{,}33 = 6{,}33\ m$.

اليمين. منسوب الأرض عند الحافة: $51{,}60 - 0{,}08 \times 5 = 51{,}20\ m$: $ Y_d = 52{,}80 - 51{,}20 = 1{,}60\ m $ الأرض تنزل نحو الخارج مثل منحدر الردم: الاتجاه نفسه: $ X_d = \frac{1{,}60}{0{,}667 - 0{,}08} = 2{,}73\ m $ $ H_{Md} = 52{,}80 - \frac{2}{3} \times 2{,}73 $ $ H_{Md} = 52{,}80 - 1{,}82 = 50{,}98\ m $ تحقق: $51{,}20 - 0{,}08 \times 2{,}73 = 50{,}98\ m$. البعد عن المحور: $5{,}00 + 2{,}73 = 7{,}73\ m$.

عرض الأشغال في هذا المقطع: $6{,}33 + 7{,}73 = 14{,}06\ m$. (للحساب الدقيق نستعمل $\tan \beta = 2/3$ في الآلة، لا $0{,}67$ المقرّبة.)

مثال محلول 2: مظهر في الحفر من الجهتين

المقطع P11: منسوب المشروع $74{,}20\ m$، منسوب الأرض في المحور $75{,}30\ m$. الأرض تصعد نحو اليمين بـ $6\ \%$ و تنزل نحو اليسار بـ $4\ \%$. خندق $50\vert 50\vert 50\ cm$ ومنحدر حفر $1/1$.

اليمين. الأرض عند الحافة $75{,}30 + 0{,}06 \times 5 = 75{,}60\ m$، أعلى من المشروع: حفر. نقطة البداية هي الطرف الخارجي للخندق على $6{,}50\ m$، ومنسوب الأرض فوقها: $ 75{,}30 + 0{,}06 \times 6{,}50 = 75{,}69\ m $ $ Y_d = 75{,}69 - 74{,}20 = 1{,}49\ m $ الأرض تصعد نحو الخارج مثل منحدر الحفر: الاتجاه نفسه: $ X_d = \frac{1{,}49}{1 - 0{,}06} = 1{,}59\ m $ $ H_{Md} = 74{,}20 + 1{,}59 = 75{,}79\ m $ تحقق: $75{,}69 + 0{,}06 \times 1{,}59 = 75{,}79\ m$. البعد عن المحور: $6{,}50 + 1{,}59 = 8{,}09\ m$.

اليسار. الأرض عند الحافة $75{,}30 - 0{,}04 \times 5 = 75{,}10\ m$، أعلى من المشروع: حفر. منسوب الأرض عند $6{,}50\ m$: $ 75{,}30 - 0{,}04 \times 6{,}50 = 75{,}04\ m $ $ Y_g = 75{,}04 - 74{,}20 = 0{,}84\ m $ الأرض تنزل نحو الخارج والمنحدر يصعد: اتجاهان متعاكسان: $ X_g = \frac{0{,}84}{1 + 0{,}04} = 0{,}81\ m $ $ H_{Mg} = 74{,}20 + 0{,}81 = 75{,}01\ m $ تحقق: $75{,}04 - 0{,}04 \times 0{,}81 = 75{,}01\ m$. البعد عن المحور: $6{,}50 + 0{,}81 = 7{,}31\ m$.

ملاحظة للامتحان

• اكتب قبل كل حساب جملة تحدّد الحالة: «الأرض تنزل نحو الخارج والمنحدر ينزل: الاتجاه نفسه، نطرح». هذه الجملة تُنقَط وتمنع خطأ الإشارة.
• تحقق دائما من منسوب M بالطريقتين؛ إذا لم تتطابق النتيجتان فالخطأ في الإشارة أو في Y.
• Y في الحفر يُقاس عند $6{,}50\ m$ لا عند $5{,}00\ m$.
• اتبع دائما ما يرسمه الموضوع: إذا لم يذكر خندقا، أو أعطى نصف عرض ينتهي عند بداية المنحدر مباشرة، يبدأ منحدر الحفر من تلك النقطة بمنسوب المشروع، وتبقى العلاقة $X = Y/(\tan \beta \mp \tan \alpha)$ نفسها.

أخطاء شائعة

• استعمال $\tan \beta = 1$ في الردم أو $\tan \beta = 2/3$ في الحفر.
• قلب الحالتين: في الردم، الأرض التي تنزل نحو الخارج هي حالة الطرح (الاتجاه نفسه)، وفي الحفر الأرض التي تصعد نحو الخارج هي حالة الطرح.
• إعطاء بعد M عن المحور مساويا لـ X وحده، ونسيان إضافة $5{,}00\ m$ أو $6{,}50\ m$.

4. جدول المظهر العرضي ورسمه

جدول المظهر العرضي (الخرطوشة)

تحت كل مظهر عرضي مرسوم يوضع جدول (cartouche) يجمع كل أرقامه، وغالبا ما يُطلب في البكالوريا إكماله على وثيقة الإجابة. أسطره المعتادة:

| السطر | ما نكتب فيه | |---|---| | منسوب خط الأرض الطبيعية | $H_{TN}$ في كل نقطة مميّزة | | منسوب خط المشروع | $H_P$ في النقاط نفسها | | المسافات الجزئية | المسافة الأفقية بين كل نقطتين متتاليتين | | المسافات المتراكمة | بُعد كل نقطة عن المحور (يبدأ العدّ من المحور $0{,}00$ نحو كل جهة) |

النقاط المميّزة التي نضع لها عمودا في الجدول هي كل نقطة ينكسر فيها أحد الخطين:

• المحور (منسوباه من المظهر الطولي)؛
• النقطة الوهمية إن وُجدت؛
• حافة المسطّحة ($5{,}00\ m$)؛
• في جهة الحفر: بداية قعر الخندق ($5{,}50\ m$)، نهايته ($6{,}00\ m$)، والطرف الخارجي للخندق ($6{,}50\ m$)؛
• طرف المنحدر M (قدم الردم أو رأس الحفر)، وفيه منسوب الأرض يساوي منسوب المشروع.

> في الطرف M يكتب المنسوب نفسه في السطرين، لأنّ المنحدر يلتقي فيه بالأرض. وفي النقطة الوهمية كذلك.

مثال محلول: جدول المقطع P7 ورسمه

نكمل المقطع P7 الذي بدأناه في الجزأين السابقين: مشروع $63{,}20\ m$، أرض المحور $63{,}50\ m$، الأرض تنزل نحو اليسار بـ $14\ \%$ وتصعد نحو اليمين بـ $6\ \%$. وجدنا: نقطة وهمية على $2{,}14\ m$ يسارا، قدم ردم على $5{,}76\ m$ يسارا بمنسوب $62{,}69\ m$، ورأس حفر على $7{,}23\ m$ يمينا بمنسوب $63{,}93\ m$.

1. مناسيب الأرض في نقاط الخندق

على اليمين: $H = 63{,}50 + 0{,}06 \cdot d$:

• عند $5{,}00\ m$: $63{,}80\ m$؛ عند $5{,}50\ m$: $63{,}83\ m$؛
• عند $6{,}00\ m$: $63{,}86\ m$؛ عند $6{,}50\ m$: $63{,}89\ m$.

2. مناسيب المشروع

المسطّحة أفقية عند $63{,}20\ m$؛ قعر الخندق أخفض بـ $0{,}50\ m$: $62{,}70\ m$ عند $5{,}50\ m$ و $6{,}00\ m$؛ والطرف الخارجي للخندق يعود إلى $63{,}20\ m$.

3. المسافات

المسافة الجزئية لكل نقطة هي بُعدها عن النقطة المجاورة لها من جهة المحور، والمتراكمة هي مجموع الجزئيات من المحور:

| النقطة | الموضع | الجزئية (m) | المتراكمة (m) | $H_{TN}$ (m) | $H_P$ (m) | $y$ (m) | |---|---|---|---|---|---|---| | 1 | قدم الردم (يسار) | $0{,}76$ | $5{,}76$ | $62{,}69$ | $62{,}69$ | $0$ | | 2 | حافة المسطّحة (يسار) | $2{,}86$ | $5{,}00$ | $62{,}80$ | $63{,}20$ | $-0{,}40$ | | 3 | النقطة الوهمية | $2{,}14$ | $2{,}14$ | $63{,}20$ | $63{,}20$ | $0$ | | 4 | المحور | — | $0{,}00$ | $63{,}50$ | $63{,}20$ | $+0{,}30$ | | 5 | حافة المسطّحة (يمين) | $5{,}00$ | $5{,}00$ | $63{,}80$ | $63{,}20$ | $+0{,}60$ | | 6 | بداية قعر الخندق | $0{,}50$ | $5{,}50$ | $63{,}83$ | $62{,}70$ | $+1{,}13$ | | 7 | نهاية قعر الخندق | $0{,}50$ | $6{,}00$ | $63{,}86$ | $62{,}70$ | $+1{,}16$ | | 8 | الطرف الخارجي للخندق | $0{,}50$ | $6{,}50$ | $63{,}89$ | $63{,}20$ | $+0{,}69$ | | 9 | رأس الحفر (يمين) | $0{,}73$ | $7{,}23$ | $63{,}93$ | $63{,}93$ | $0$ |

العمود y ($H_{TN} - H_P$) ليس من أسطر الخرطوشة، لكنه يفيد في التحقق وفي حساب المساحات (الجزء الخامس): موجب في الحفر، سالب في الردم، ومنعدم في النقاط 1 و3 و9.

تحقق: مجموع الجزئيات يسارا $0{,}76 + 2{,}86 + 2{,}14 = 5{,}76\ m$، ويمينا $5{,}00 + 3 \times 0{,}50 + 0{,}73 = 7{,}23\ m$. عرض الأشغال $5{,}76 + 7{,}23 = 12{,}99\ m$.

> في وثيقة البكالوريا يكون الجدول «مقلوبا»: الأسطر هي المقادير (المناسيب والمسافات) والأعمدة هي النقاط، مرتّبة من اليسار إلى اليمين كما في الرسم، والمحور في الوسط. نكتب المناسيب والمسافات المتراكمة شاقوليا تحت كل نقطة، والمسافات الجزئية بين عمودين.

4. الرسم


يبيّن الشكل المظهر P7 مرسوما بالسلّم نفسه في الاتجاهين: الأحمر ردم بين قدم المنحدر (1) والنقطة الوهمية (3)، والأصفر حفر من (3) حتى رأس المنحدر (9) مرورا بالخندق (6–7). الخطوط الرمادية تنزل من كل نقطة إلى مستوى المقارنة PC ($62{,}00\ m$)، والأرقام تحت الخط هي أرقام النقاط في الجدول.

خطوات الرسم

• السلّم: عادة $1/100$ في الاتجاهين: $1\ m$ في الطبيعة يساوي $1\ cm$ على الورقة.
• مستوى المقارنة (plan de comparaison): قيمة مستديرة أقل من أصغر منسوب في المظهر؛ هنا أصغر منسوب $62{,}69\ m$ فنختار $62{,}00\ m$. نرسمه خطّا أفقيا فوق الجدول.
• المحور: خط شاقولي متقطّع في وسط الورقة، والنقاط على بُعد مسافاتها المتراكمة يمينه ويساره: النقطة 9 على $7{,}23\ cm$ يمين المحور.
• الارتفاعات: لكل نقطة نقيس فوق مستوى المقارنة $(H - 62{,}00)$ بالسلّم: الأرض عند المحور $1{,}50\ cm$، والمشروع عند قعر الخندق $0{,}70\ cm$، ورأس الحفر $1{,}93\ cm$.
• الخطان: نصل نقاط الأرض بخط رفيع (أسود)، ونقاط المشروع بخط سميك (أحمر).
• التلوين: الحفر بالأصفر والردم بالأحمر، ونكتب الميول ($1/1$، $2/3$) ورقم المظهر والسلّم.

ملاحظة للامتحان

• رتّب النقاط من أبعد نقطة يسارا إلى أبعد نقطة يمينا، والمسافات المتراكمة تتناقص نحو المحور ثم تتزايد.
• لا تنسَ في جهة الحفر أربع نقاط بعد المحور: الحافة وقعرا الخندق وطرفه الخارجي، ثم رأس المنحدر.
• اختر مستوى المقارنة أقل من أصغر منسوب في المظهر كله (طرف منحدر الردم غالبا)، لا أقل من منسوب المحور فقط.

أخطاء شائعة

• كتابة المسافة المتراكمة لرأس الحفر $X$ وحدها ($0{,}73$) بدل $6{,}50 + X$.
• نسيان النقطة الوهمية في الجدول، فيبدو خط الأرض كأنه لا يقطع المشروع.
• كتابة منسوب المشروع في قعر الخندق مساويا لمنسوب المسطّحة.

5. مساحات الحفر والردم وحجوم أعمال التجريف

مساحة الحفر ومساحة الردم في مظهر

في كل مظهر عرضي نحسب مساحتين: مساحة الحفر $S_d$ (déblai، الجزء الأصفر بين الأرض فوق والمشروع تحت) و مساحة الردم $S_r$ (remblai، الجزء الأحمر بين المشروع فوق والأرض تحت). تُحسب بين خط الأرض الطبيعية وخط المشروع، بالمتر المربع.

طريقة أشباه المنحرفات

بين كل نقطتين متتاليتين من الجدول يكون الخطّان مستقيمين، فالشكل بينهما شبه منحرف قاعدتاه الشاقوليتان $y_i$ و $y_{i+1}$ (بالقيمة المطلقة) وارتفاعه المسافة الجزئية $d_i$: $ S_i = d_i \cdot \frac{y_i + y_{i+1}}{2} $ ومساحة الحفر (أو الردم) هي مجموع أشباه المنحرفات من النوع نفسه. عند طرف المنحدر وعند النقطة الوهمية $y = 0$، فيصير شبه المنحرف مثلثا.

> لهذا تحتاج النقاط المميّزة كلها في الجدول: بين نقطتين غير متتاليتين قد ينكسر أحد الخطين، فيصبح الحساب خاطئا.

يمكن أيضا حساب المساحة بالإحداثيات الديكارتية (المسافة من المحور والمنسوب) بالعلاقة نفسها التي نحسب بها مساحة قطعة أرض في الطبوغرافيا، $2S = \vert \sum X_n (Y_{n-1} - Y_{n+1}) \vert$، وهي طريقة جيدة للتحقق.

مثال محلول 1: مساحة الردم في المقطع P2

نعود إلى المقطع P2 من الجزء الثالث (ردم من الجهتين): المشروع $52{,}80\ m$، الأرض في المحور $51{,}60\ m$، الحافة اليسرى $51{,}85\ m$، الحافة اليمنى $51{,}20\ m$، و $X_g = 1{,}33\ m$، $X_d = 2{,}73\ m$.


يبيّن الشكل المظهر P2 بالسلّم الحقيقي: مساحة الردم مقسّمة بخطوط شاقولية عند النقاط المميّزة إلى مثلث S1، وشبهي منحرف S2 وS3، ومثلث S4. ارتفاعات الردم: $0{,}95\ m$ عند الحافة اليسرى، $1{,}20\ m$ في المحور، $1{,}60\ m$ عند الحافة اليمنى، وصفر عند قدمي المنحدرين. $ S_1 = 1{,}33 \times \frac{0 + 0{,}95}{2} = 0{,}63\ m^2 $ $ S_2 = 5{,}00 \times \frac{0{,}95 + 1{,}20}{2} $ $ S_2 = 5{,}38\ m^2 $ $ S_3 = 5{,}00 \times \frac{1{,}20 + 1{,}60}{2} $ $ S_3 = 7{,}00\ m^2 $ $ S_4 = 2{,}73 \times \frac{1{,}60 + 0}{2} = 2{,}18\ m^2 $ $ S_r = 0{,}63 + 5{,}38 + 7{,}00 + 2{,}18 $ $ S_r = 15{,}19\ m^2 $ ومساحة الحفر في هذا المقطع منعدمة: $S_d = 0$.

مثال محلول 2: مساحتا المقطع المختلط P7

نستعمل العمود y من جدول P7 (الجزء الرابع). الردم (يسار، بين النقطة 1 والنقطة 3): $ S_r = 0{,}76 \times \frac{0{,}40}{2} + 2{,}86 \times \frac{0{,}40}{2} $ $ S_r = 0{,}152 + 0{,}572 = 0{,}72\ m^2 $ الحفر (من النقطة 3 إلى النقطة 9):

| المجال | العرض (m) | $y_i$ ؛ $y_{i+1}$ (m) | المساحة ($m^2$) | |---|---|---|---| | 3 → 4 | $2{,}14$ | $0$ ؛ $0{,}30$ | $0{,}321$ | | 4 → 5 | $5{,}00$ | $0{,}30$ ؛ $0{,}60$ | $2{,}250$ | | 5 → 6 | $0{,}50$ | $0{,}60$ ؛ $1{,}13$ | $0{,}433$ | | 6 → 7 | $0{,}50$ | $1{,}13$ ؛ $1{,}16$ | $0{,}573$ | | 7 → 8 | $0{,}50$ | $1{,}16$ ؛ $0{,}69$ | $0{,}463$ | | 8 → 9 | $0{,}73$ | $0{,}69$ ؛ $0$ | $0{,}252$ | | المجموع | | | $S_d \approx 4{,}29$ |

نلاحظ أنّ المجالات الواقعة فوق الخندق (5 → 8) تحمل وحدها نحو $1{,}47\ m^2$ من الحفر.

حجم أعمال التجريف بين مظهرين: طريقة متوسط المساحات

بين مظهرين متتاليين يفصلهما طول L (المسافة الجزئية في المظهر الطولي)، نعتبر أنّ المساحة تتغيّر بانتظام، فالحجم هو متوسط المساحتين مضروبا في المسافة، ويُحسب للحفر وللردم كلّ على حدة: $ V_d = L \cdot \frac{S_{d1} + S_{d2}}{2} $ $ V_r = L \cdot \frac{S_{r1} + S_{r2}}{2} $ الحجم بالمتر المكعب $m^3$. إذا لم يكن في أحد المظهرين حفر (أو ردم) نضع مساحته صفرا.

الانتقال من حفر كامل إلى ردم كامل: المظهر الوهمي


إذا كان المظهر P3 كله في الحفر والمظهر P4 كله في الردم، فإنّ خط الأرض يقطع خط المشروع بينهما في المظهر الوهمي PF الذي مساحتاه منعدمتان. يبيّن الشكل (مقطع طولي، الارتفاعات مضخّمة) أنّ الحفر يمتد من P3 حتى PF فقط، والردم من PF حتى P4. نجد موضع PF من الحفر $h_1$ في محور P3 والردم $h_2$ في محور P4 كما في المظهر الطولي: $ x_1 = \frac{h_1 \cdot L}{h_1 + h_2} $ $ x_2 = L - x_1 $ ثم نحسب كل حجم على طوله الخاص: $ V_d = x_1 \cdot \frac{S_{d1} + 0}{2} $ $ V_r = x_2 \cdot \frac{0 + S_{r2}}{2} $

مثال محلول 3: حجوم بين P3 و P4

P3 في الحفر: $S_{d} = 6{,}40\ m^2$ وعمق الحفر في المحور $0{,}80\ m$. P4 في الردم: $S_r = 3{,}60\ m^2$ وارتفاع الردم في المحور $0{,}40\ m$. المسافة بينهما $30{,}00\ m$. $ x_1 = \frac{0{,}80 \times 30}{0{,}80 + 0{,}40} $ $ x_1 = \frac{24}{1{,}20} = 20{,}00\ m $ $ x_2 = 30{,}00 - 20{,}00 = 10{,}00\ m $ $ V_d = 20{,}00 \times \frac{6{,}40}{2} = 64{,}00\ m^3 $ $ V_r = 10{,}00 \times \frac{3{,}60}{2} = 18{,}00\ m^3 $ لو طبّقنا متوسط المساحات على الطول كله لوجدنا $V_d = 30 \times 6{,}40/2 = 96\ m^3$ و $V_r = 54\ m^3$: الحجمان مضخّمان بنحو $50\ \%$ و $200\ \%$.

مثال محلول 4: جدول الحجوم (التكعيب)

ثلاثة مظاهر متتالية: P7 (المختلط السابق)، ثم P8 على $25{,}00\ m$، ثم P9 على $20{,}00\ m$ من P8.

| المظهر | المسافة (m) | $S_d$ ($m^2$) | $S_r$ ($m^2$) | $V_d$ ($m^3$) | $V_r$ ($m^3$) | |---|---|---|---|---|---| | P7 | — | $4{,}29$ | $0{,}72$ | — | — | | P8 | $25{,}00$ | $2{,}15$ | $1{,}86$ | $80{,}50$ | $32{,}25$ | | P9 | $20{,}00$ | $0$ | $5{,}10$ | $21{,}50$ | $69{,}60$ | | المجموع | $45{,}00$ | | | $102{,}00$ | $101{,}85$ |

الحسابات: بين P7 و P8: $V_d = 25 \times (4{,}29 + 2{,}15)/2 = 80{,}50\ m^3$ و $V_r = 25 \times (0{,}72 + 1{,}86)/2 = 32{,}25\ m^3$. بين P8 و P9: $V_d = 20 \times 2{,}15/2 = 21{,}50\ m^3$ و $V_r = 20 \times (1{,}86 + 5{,}10)/2 = 69{,}60\ m^3$.

الحصيلة (le mouvement des terres): الحفر $102{,}00\ m^3$ والردم $101{,}85\ m^3$؛ الفرق $0{,}15\ m^3$ فقط: الأتربة المحفورة تكفي تقريبا للردم في هذا الجزء، وهذا هدف المصمّم حين يختار خط المشروع (أقل نقل للأتربة من خارج الورشة أو إليها).

> للاطلاع: التربة المحفورة يزداد حجمها حين تُنقل (التنفّش، foisonnement)، ثم ينقص بالدكّ في الردم. تمارين البكالوريا تهمل ذلك ما لم يُعطَ معامل.

ملاحظة للامتحان

• المساحة بـ $m^2$ والحجم بـ $m^3$: اكتب الوحدة في كل نتيجة.
• احسب الحفر والردم منفصلين دائما، ولا تطرح أحدهما من الآخر في المساحة نفسها.
• إذا انتقل الطريق من حفر كامل إلى ردم كامل بين مظهرين، استعمل المظهر الوهمي.

أخطاء شائعة

• ضرب المسافة في مجموع المساحتين دون القسمة على 2.
• استعمال المسافة بين المظهرين في المظهر العرضي (عرض الأشغال) بدل المسافة الجزئية في المظهر الطولي.
• نسيان مساحة الخندق في الحفر، لأنّ النقاط $5{,}50$ و $6{,}00\ m$ لم تُوضع في الجدول.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

تخصّ التمارين الثلاثة مشروع طريق جديدا واحدا؛ أرقام المظاهر فيها (P4 إلى P13) مستقلة عن أمثلة الأجزاء السابقة. حاول حلّ كل سؤال قبل قراءة الحل، واكتب الوحدة في كل نتيجة.

التمرين 1: إكمال جدول مظهر مختلط ورسمه

المعطيات. مشروع طريق ذي مسلكين. المظهر العرضي النموذجي: قارعة $2 \times 3{,}50\ m$، حاشيتان $1{,}50\ m$، خندق شبه منحرف $50\vert 50\vert 50\ cm$ في جهة الحفر، منحدر الحفر $1/1$ ومنحدر الردم $2/3$ (أي $2\ m$ شاقوليا لـ $3\ m$ أفقيا). المسطّحة تُعتبر أفقية.

في المظهر P5: منسوب الأرض الطبيعية في المحور يساوي منسوب المشروع، وكلاهما $47{,}20\ m$. الأرض تنزل نحو اليسار بـ $9\ \%$ و تصعد نحو اليمين بـ $6\ \%$.

المطلوب.

• احسب منسوب الأرض الطبيعية عند $5{,}00\ m$ يسارا، وعند $5{,}00$ و $5{,}50$ و $6{,}00$ و $6{,}50\ m$ يمينا، واستنتج نوع المظهر.
• احسب X (يسار) و X (يمين) ومنسوبي طرفي المنحدرين.
• أكمل جدول المظهر (المناسيب والمسافات الجزئية والمتراكمة).
• احسب مساحتي الحفر والردم.
• اختر مستوى مقارنة، وحدّد موضع طرفي المنحدرين على الورقة بسلّم $1/100$.

الحل.

1. يسارا: $47{,}20 - 0{,}09 \times 5 = 46{,}75\ m$، أخفض من المشروع: ردم. يمينا: $H = 47{,}20 + 0{,}06 \cdot d$:

• $5{,}00\ m$: $47{,}50$؛ $5{,}50\ m$: $47{,}53$؛ $6{,}00\ m$: $47{,}56$؛ $6{,}50\ m$: $47{,}59\ m$؛ أعلى من المشروع: حفر.

المظهر مختلط، والنقطة الوهمية هي المحور نفسه ($y = 0$ فيه).

2. اليسار (ردم). $Y = 47{,}20 - 46{,}75 = 0{,}45\ m$. الأرض تنزل نحو الخارج مثل منحدر الردم: الاتجاه نفسه: $ X_g = \frac{0{,}45}{0{,}667 - 0{,}09} = 0{,}78\ m $ $ H = 47{,}20 - \frac{2}{3} \times 0{,}78 = 46{,}68\ m $ تحقق: $46{,}75 - 0{,}09 \times 0{,}78 = 46{,}68\ m$. البعد عن المحور $5{,}78\ m$.

اليمين (حفر). $Y = 47{,}59 - 47{,}20 = 0{,}39\ m$ عند الطرف الخارجي للخندق. الأرض تصعد نحو الخارج مثل منحدر الحفر: الاتجاه نفسه: $ X_d = \frac{0{,}39}{1 - 0{,}06} = 0{,}41\ m $ $ H = 47{,}20 + 0{,}41 = 47{,}61\ m $ تحقق: $47{,}59 + 0{,}06 \times 0{,}41 = 47{,}61\ m$. البعد عن المحور $6{,}50 + 0{,}41 = 6{,}91\ m$.

3. الجدول (من اليسار إلى اليمين):

| النقطة | الجزئية (m) | المتراكمة (m) | $H_{TN}$ (m) | $H_P$ (m) | $y$ (m) | |---|---|---|---|---|---| | 1 قدم الردم | $0{,}78$ | $5{,}78$ | $46{,}68$ | $46{,}68$ | $0$ | | 2 الحافة اليسرى | $5{,}00$ | $5{,}00$ | $46{,}75$ | $47{,}20$ | $-0{,}45$ | | 3 المحور | — | $0{,}00$ | $47{,}20$ | $47{,}20$ | $0$ | | 4 الحافة اليمنى | $5{,}00$ | $5{,}00$ | $47{,}50$ | $47{,}20$ | $+0{,}30$ | | 5 قعر الخندق | $0{,}50$ | $5{,}50$ | $47{,}53$ | $46{,}70$ | $+0{,}83$ | | 6 قعر الخندق | $0{,}50$ | $6{,}00$ | $47{,}56$ | $46{,}70$ | $+0{,}86$ | | 7 طرف الخندق | $0{,}50$ | $6{,}50$ | $47{,}59$ | $47{,}20$ | $+0{,}39$ | | 8 رأس الحفر | $0{,}41$ | $6{,}91$ | $47{,}61$ | $47{,}61$ | $0$ |

4. المساحات. الردم (مثلثان بين النقطة 1 والمحور): $ S_r = 0{,}78 \times \frac{0{,}45}{2} + 5 \times \frac{0{,}45}{2} $ $ S_r = 0{,}176 + 1{,}125 \approx 1{,}30\ m^2 $ الحفر (من المحور إلى النقطة 8): $5 \times 0{,}30/2 = 0{,}750$؛ $0{,}50 \times 1{,}13/2 = 0{,}283$؛ $0{,}50 \times 1{,}69/2 = 0{,}423$؛ $0{,}50 \times 1{,}25/2 = 0{,}313$؛ $0{,}41 \times 0{,}39/2 = 0{,}080$: $ S_d \approx 1{,}85\ m^2 $

5. الرسم. أصغر منسوب $46{,}68\ m$، فنختار مستوى المقارنة $46{,}00\ m$. بسلّم $1/100$: قدم الردم على $5{,}78\ cm$ يسار المحور و $0{,}68\ cm$ فوق خط المقارنة، ورأس الحفر على $6{,}91\ cm$ يمين المحور و $1{,}61\ cm$ فوقه.


يبيّن الشكل المظهر P5 المرسوم: ردم أحمر يسار المحور بين النقطتين 1 و3، وحفر أصفر يمينه حتى النقطة 8 مع الخندق (5–6)، والأرقام تحت مستوى المقارنة هي أرقام أعمدة الجدول.

التمرين 2: حجوم أعمال التجريف على جزء من الطريق

المعطيات. أربعة مظاهر متتالية على جزء من الطريق نفسه:

| المظهر | المسافة من السابق (m) | $S_d$ ($m^2$) | $S_r$ ($m^2$) | ملاحظة | |---|---|---|---|---| | P4 | — | $5{,}20$ | $0$ | حفر كامل | | P5 | $20{,}00$ | $1{,}85$ | $1{,}30$ | المظهر المختلط للتمرين 1 | | P6 | $25{,}00$ | $0$ | $4{,}60$ | ردم كامل، ارتفاع الردم في المحور $0{,}90\ m$ | | P7 | $32{,}00$ | $3{,}90$ | $0$ | حفر كامل، عمق الحفر في المحور $0{,}70\ m$ |

المطلوب.

• احسب حجمي الحفر والردم بين P4 و P5، ثم بين P5 و P6.
• بين P6 و P7: حدّد موضع المظهر الوهمي، ثم احسب الحجمين.
• احسب المجموعين، واستنتج هل تكفي الأتربة المحفورة للردم (مع إهمال التنفّش).

الحل.

1. بين P4 و P5: $ V_d = 20 \times \frac{5{,}20 + 1{,}85}{2} $ $ V_d = 70{,}50\ m^3 $ $ V_r = 20 \times \frac{0 + 1{,}30}{2} = 13{,}00\ m^3 $ بين P5 و P6 (P5 مختلط، فنطبّق متوسط المساحات مباشرة): $ V_d = 25 \times \frac{1{,}85 + 0}{2} = 23{,}13\ m^3 $ $ V_r = 25 \times \frac{1{,}30 + 4{,}60}{2} $ $ V_r = 73{,}75\ m^3 $

2. P6 ردم كامل و P7 حفر كامل: بينهما مظهر وهمي. من P6: $ x_1 = \frac{0{,}90 \times 32}{0{,}90 + 0{,}70} $ $ x_1 = \frac{28{,}80}{1{,}60} = 18{,}00\ m $ $ x_2 = 32{,}00 - 18{,}00 = 14{,}00\ m $ $ V_r = 18 \times \frac{4{,}60}{2} = 41{,}40\ m^3 $ $ V_d = 14 \times \frac{3{,}90}{2} = 27{,}30\ m^3 $

3. المجموعان: $ V_d = 70{,}50 + 23{,}13 + 27{,}30 $ $ V_d = 120{,}93\ m^3 $ $ V_r = 13{,}00 + 73{,}75 + 41{,}40 $ $ V_r = 128{,}15\ m^3 $ الردم أكبر من الحفر بـ $128{,}15 - 120{,}93 = 7{,}22\ m^3$: الأتربة المحفورة لا تكفي، ويلزم جلب نحو $7{,}22\ m^3$ من مكان اقتراض (emprunt).

التمرين 3: مظهر في الحفر الكامل وعرض الأشغال

المعطيات. المظهر P12 من المشروع نفسه: منسوب المشروع $118{,}90\ m$، منسوب الأرض في المحور $120{,}40\ m$. الأرض تصعد نحو اليسار بـ $10\ \%$ و تنزل نحو اليمين بـ $4\ \%$.

المطلوب.

• بيّن أنّ المظهر في الحفر من الجهتين.
• احسب طرفي المنحدرين (X، المنسوب، البعد عن المحور)، وعرض الأشغال.
• احسب مساحة الحفر.
• المظهر الموالي P13 على $25{,}00\ m$ مساحة حفره $19{,}35\ m^2$. احسب حجم الحفر بين P12 و P13.
• لو كانت الأرض تصعد نحو اليسار بـ $105\ \%$، ماذا يحدث لمنحدر الحفر $1/1$؟

الحل.

1. عند الحافة اليسرى $120{,}40 + 0{,}50 = 120{,}90\ m$، وعند الحافة اليمنى $120{,}40 - 0{,}20 = 120{,}20\ m$: كلاهما أعلى من $118{,}90\ m$، فالجهتان في الحفر.

2. اليسار. الأرض عند $6{,}50\ m$: $120{,}40 + 0{,}10 \times 6{,}50 = 121{,}05\ m$، فـ $Y = 2{,}15\ m$. الأرض تصعد مثل المنحدر: $ X_g = \frac{2{,}15}{1 - 0{,}10} = 2{,}39\ m $ المنسوب $118{,}90 + 2{,}39 = 121{,}29\ m$ (تحقق: $121{,}05 + 0{,}10 \times 2{,}39 = 121{,}29\ m$)، والبعد $6{,}50 + 2{,}39 = 8{,}89\ m$.

اليمين. الأرض عند $6{,}50\ m$: $120{,}40 - 0{,}04 \times 6{,}50 = 120{,}14\ m$، فـ $Y = 1{,}24\ m$. الأرض تنزل والمنحدر يصعد: $ X_d = \frac{1{,}24}{1 + 0{,}04} = 1{,}19\ m $ المنسوب $118{,}90 + 1{,}19 = 120{,}09\ m$ (تحقق: $120{,}14 - 0{,}04 \times 1{,}19 = 120{,}09\ m$)، والبعد $6{,}50 + 1{,}19 = 7{,}69\ m$.

عرض الأشغال: $8{,}89 + 7{,}69 = 16{,}58\ m$.

3. مساحة الحفر. قيم y (الأرض ناقص المشروع، وقعر الخندق $118{,}40\ m$):

| النقطة | المتراكمة (m) | $H_{TN}$ | $H_P$ | $y$ | |---|---|---|---|---| | رأس يسار | $8{,}89$ | $121{,}29$ | $121{,}29$ | $0$ | | طرف الخندق | $6{,}50$ | $121{,}05$ | $118{,}90$ | $2{,}15$ | | قعر | $6{,}00$ | $121{,}00$ | $118{,}40$ | $2{,}60$ | | قعر | $5{,}50$ | $120{,}95$ | $118{,}40$ | $2{,}55$ | | الحافة | $5{,}00$ | $120{,}90$ | $118{,}90$ | $2{,}00$ | | المحور | $0{,}00$ | $120{,}40$ | $118{,}90$ | $1{,}50$ | | الحافة | $5{,}00$ | $120{,}20$ | $118{,}90$ | $1{,}30$ | | قعر | $5{,}50$ | $120{,}18$ | $118{,}40$ | $1{,}78$ | | قعر | $6{,}00$ | $120{,}16$ | $118{,}40$ | $1{,}76$ | | طرف الخندق | $6{,}50$ | $120{,}14$ | $118{,}90$ | $1{,}24$ | | رأس يمين | $7{,}69$ | $120{,}09$ | $120{,}09$ | $0$ |

يسار: $2{,}569 + 1{,}188 + 1{,}288 + 1{,}138 + 8{,}750 = 14{,}93\ m^2$. يمين: $7{,}000 + 0{,}770 + 0{,}885 + 0{,}750 + 0{,}738 = 10{,}14\ m^2$. $ S_d = 14{,}93 + 10{,}14 = 25{,}07\ m^2 $

4. $ V_d = 25 \times \frac{25{,}07 + 19{,}35}{2} $ $ V_d = 25 \times 22{,}21 = 555{,}25\ m^3 $

5. الأرض تصعد بـ $\tan \alpha = 1{,}05$ والمنحدر بـ $1$: الاتجاه نفسه، والمقام $1 - 1{,}05 < 0$. الأرض أشدّ ميلا من المنحدر، فيبقى المنحدر تحتها ولا يلتقي بها أبدا؛ يلزم جدار استناد في هذه الجهة، أو منحدر أشدّ إذا سمحت طبيعة التربة (صخر)، أو تعديل المحور.

ملاحظة للامتحان

• في مسائل المظهر العرضي تتكرر الخطوات نفسها: مناسيب الأرض ← نوع كل جهة ← Y ← اختيار علامة المقام ← X ← المنسوب بطريقتين ← البعد عن المحور ← الجدول ← المساحات ← الحجوم.
• اكتب الوحدة في كل نتيجة ($m$، $m^2$، $m^3$)، وقرّب المناسيب والمسافات إلى السنتيمتر.