الأنظمة المثلثية: الفرضيات وعزل العقد

3. التحديد السكوني للنظام المثلثي

عدد المعادلات وعدد المجاهيل

نعزل كل عقدة على حدة. القوى المؤثرة فيها (حمولات، ردود أفعال، جهود القضبان) متلاقية في مركز العقدة، فمعادلة العزوم لا تفيد شيئاً، ويبقى لكل عقدة معادلتان:

$ \sum F_x = 0 \qquad \sum F_y = 0 $

إذا كان في النظام n عقدة فعدد المعادلات المستقلة هو 2n.

أما المجاهيل فهي:

• جهد واحد مجهول في كل قضيب: b مجهولاً (b عدد القضبان، barres)؛
• ردود الأفعال: r مجهولاً (مسند مضاعف 2، مسند بسيط 1).

يكون النظام محدداً سكونياً (isostatique) إذا تساوى عدد المجاهيل وعدد المعادلات:

$ b + r = 2n $

وفي الحالة المعتادة في البكالوريا، مسند مضاعف ومسند بسيط، يكون $r = 3$، فيصبح الشرط:

> شرط التحديد السكوني الداخلي: $b = 2n - 3$ (أو $b + 3 = 2n$)، حيث b عدد القضبان وn عدد العقد.

الحالات الثلاث


يعرض الشكل إطاراً مربعاً بأربع عقد ($n = 4$، أي $2n - 3 = 5$) على مسند مضاعف ومسند بسيط:

| الحالة | الشرط | المعنى | في الشكل | |---|---|---|---| | آلية (mécanisme، hypostatique) | $b < 2n - 3$ | النظام يتشوه ولا يحمل؛ مرفوض | المربع دون قطري ($b = 4$) ينطوي إلى متوازي أضلاع (الخط المتقطع) | | محدد سكونياً (isostatique) | $b = 2n - 3$ | معادلات العقد تكفي لحساب كل الجهود | المربع بقطري واحد ($b = 5$) | | غير محدد سكونياً (hyperstatique) | $b > 2n - 3$ | قضبان زائدة؛ درجة عدم التحديد $h = b - (2n - 3)$ | المربع بقطريين ($b = 6$، $h = 1$) |

في الحالة الثالثة القطريان يتقاطعان دون أن يُربطا في نقطة التقاطع، فهي ليست عقدة ولا تُعدّ. ولو رُبطا هناك لصارت العقد 5 والقضبان 8 (كل قطري ينقسم إلى قضيبين)، فيبقى $b = 8$ أكبر من $2n - 3 = 7$ وتبقى $h = 1$.

لماذا تتحقق العلاقة في كل نظام مبني من مثلثات؟

نبدأ بمثلث واحد: 3 قضبان و3 عقد، و$3 = 2 \times 3 - 3$. في كل مرة نضيف عقدة جديدة نربطها بالنظام بقضيبين غير متحاذيين، فيزيد n بواحد ويزيد b باثنين، وتبقى العلاقة محققة لأن $b + 2 = 2(n + 1) - 3$. هكذا تُبنى الجملونات البسيطة وروافد Pratt وHowe وWarren.

شرط لازم لكنه غير كافٍ

العلاقة $b = 2n - 3$ تعدّ القضبان ولا ترى ترتيبها. لو أخذنا رافدة من حقلين مربعين، ووضعنا القطريين معاً في الحقل الأول وتركنا الحقل الثاني دون قطري، لبقي العدد صحيحاً لكن الحقل الثاني يتشوه بينما الأول زائد القضبان. لهذا نتأكد دائماً بالنظر أن كل الحقول مثلثات، وهذا ما يسمى أحياناً شرط الاستقرار الهندسي.

وكذلك يجب أن تكون المساند مرتبة جيداً خارجياً: لا يجوز أن يمر حامل رد فعل المسند البسيط بالمسند المضاعف، وإلا أمكن للنظام أن يدور حوله.

الحالة العامة: مسندان مضاعفان أو مسند على جدار

إذا ارتكز النظام على مسندين مضاعفين صار $r = 4$ وأصبح الشرط $b + 4 = 2n$. مثلاً حامل مثبت في جدار بعقدتين مفصليتين A وB، فيه 5 عقد: يكون محدداً إذا كان $b = 2 \times 5 - 4 = 6$.

وإذا ارتكزت عقدة على جدار شاقولي بمسند بسيط فرد فعلها أفقي (عمودي على الجدار)، ويبقى $r = 3$ مع مسند مضاعف في عقدة أخرى.

أمثلة محلولة في العدّ

| النظام | العقد n | القضبان b | $2n - 3$ | الحكم | |---|---|---|---|---| | جملون الغماء (الجزء 1) | 8 | 13 | 13 | محدد سكونياً | | Warren بأربعة حقول (الشكل c في الجزء 1) | 9 | 15 | 15 | محدد سكونياً | | Pratt بأربعة حقول وقوائم طرفية (الشكل a) | 10 | 17 | 17 | محدد سكونياً | | مستطيل بحقلين وقطري في كل حقل | 6 | 9 | 9 | محدد سكونياً | | مستطيل بحقلين دون أي قطري | 6 | 7 | 9 | آلية | | مستطيل بحقلين وقطريين في كل حقل | 6 | 11 | 9 | غير محدد، $h = 2$ |

مثال مفصل: رافدة Pratt بأربعة حقول: الوتر السفلي فيه 5 عقد والوتر العلوي 5 عقد، أي $n = 10$. القضبان: 4 في الوتر السفلي، و4 في الوتر العلوي، و5 قوائم، و4 قطريات، أي $b = 17$. نحسب $2n - 3 = 20 - 3 = 17$، فالعلاقة محققة، وكل الحقول مثلثات، والمسندان مضاعف وبسيط: الرافدة محددة سكونياً داخلياً وخارجياً.

ملاحظة للامتحان

• اكتب الجواب كاملاً: «$b = 17$، $n = 10$، $2n - 3 = 17$، إذن $b = 2n - 3$: النظام محدد سكونياً». ذكر القيمتين دون المقارنة لا يكفي.
• عُدّ العقد بأسمائها (A، B، C…) والقضبان بأسمائها (AC، CD…) حتى لا تنسى عنصراً.
• أخطاء شائعة: نسيان عقد المساند؛ عدّ نقطة تقاطع قطريين غير مربوطين؛ كتابة $2n = b + 2$ بدل $2n = b + 3$؛ الخلط بين «محدد سكونياً» و«مستقر».

4. حساب ردود الأفعال

النظام المثلثي جسم صلب واحد

قبل الدخول إلى العقد ننظر إلى النظام المثلثي من الخارج: بما أنه غير قابل للتشوه فهو يتصرف كجسم صلب واحد، تؤثر فيه الحمولات الخارجية وردود أفعال المساند فقط (جهود القضبان داخلية تتعادل مثنى مثنى ولا تظهر). نكتب له المعادلات الثلاث المعروفة من علم السكون:

$ \sum F_x = 0 \qquad \sum F_y = 0 $

$ \sum M_{/A} = 0 $

ونتحقق دائماً بمعادلة رابعة: العزوم حول المسند الآخر B أو مجموع القوى الشاقولية.

المساند المعتادة:

• مسند مضاعف (articulation) في A: مركبتان $H_A$ و$V_A$.
• مسند بسيط (appui simple) في B على سطح أفقي: مركبة شاقولية واحدة $V_B$. وإذا ارتكزت العقدة على جدار شاقولي فرد فعلها أفقي $H_B$.

> نصطلح في كل الحلول: العزم المعاكس لاتجاه عقارب الساعة موجب. ونرسم ردود الأفعال باتجاه نفترضه (نحو اليمين ونحو الأعلى)؛ النتيجة السالبة تعني أن الاتجاه الحقيقي معاكس.

انتبه إلى ذراع القوة الأفقية

عزم قوة حول نقطة يساوي شدتها مضروبة في البعد العمودي بين النقطة وحامل القوة. للحمولة الشاقولية الذراع هو البعد الأفقي، أما للحمولة الأفقية (الرياح مثلاً) فالذراع هو ارتفاع العقدة التي تؤثر فيها فوق المسند. هذا هو الخطأ الأكثر تكراراً في أسئلة ردود الأفعال.

مثال محلول 1: رافدة Warren تحت حمولات شاقولية وأفقية


يبيّن الشكل رافدة مثلثية من نوع Warren: العقد A وC وB في الأسفل والعقدتان D وE في الأعلى على ارتفاع 1,5 m، والمسافات الأفقية بين العقد المتتالية 2 m (البحر 8 m). A مسند مضاعف وB مسند بسيط. الحمولات: في D قوة شاقولية 24 kN وقوة أفقية 16 kN نحو اليمين؛ في C قوة 36 kN؛ في E قوة 24 kN. المطلوب: ردود الأفعال.

1. التحديد السكوني: $n = 5$ (A، B، C، D، E)، $b = 7$ (AD، AC، DC، DE، CE، CB، EB)، و$2n - 3 = 7$: النظام محدد سكونياً.

2. المعادلة الأفقية: القوة الأفقية الوحيدة المعطاة هي 16 kN، والمسند البسيط لا يعطي مركبة أفقية:

$ H_A + 16 = 0 $

ومنه $H_A = -16\ kN$: الإشارة السالبة تعني أن رد الفعل الأفقي الحقيقي 16 kN نحو اليسار.

3. العزوم حول A: الحمولات الشاقولية نحو الأسفل وعلى يمين A تدور مع عقارب الساعة (سالبة)، والقوة 16 kN نحو اليمين على ارتفاع 1,5 m فوق A تدور أيضاً مع عقارب الساعة، و$V_B$ نحو الأعلى على بعد 8 m يدور عكسها (موجب). $H_A$ و$V_A$ يمران بـ A فعزمهما معدوم.

$ 8\,V_B - 24 \times 2 - 16 \times 1{,}5 $

$

• 36 \times 4 - 24 \times 6 = 0

$

$ 8\,V_B = 48 + 24 + 144 + 144 = 360 $

$ V_B = 45\ kN $

4. العزوم حول B: $V_A$ نحو الأعلى على بعد 8 m يسار B يدور مع عقارب الساعة (سالب)، والحمولات الشاقولية على يسار B تدور عكسها (موجبة)، والقوة 16 kN نحو اليمين فوق B تدور مع عقارب الساعة (سالبة):

$ -8\,V_A + 24 \times 6 - 16 \times 1{,}5 $

$ + 36 \times 4 + 24 \times 2 = 0 $

$ 8\,V_A = 144 - 24 + 144 + 48 = 312 $

$ V_A = 39\ kN $

5. التحقق: $V_A + V_B = 39 + 45 = 84\ kN$ ومجموع الحمولات الشاقولية $24 + 36 + 24 = 84\ kN$. النتائج صحيحة.

| رد الفعل | القيمة | الاتجاه الحقيقي | |---|---|---| | $H_A$ | $16\ kN$ | نحو اليسار | | $V_A$ | $39\ kN$ | نحو الأعلى | | $V_B$ | $45\ kN$ | نحو الأعلى |

لاحظ أن $V_B$ أكبر من $V_A$ رغم تناظر الحمولات الشاقولية: القوة الأفقية تحاول قلب الرافدة نحو اليمين فتزيد الضغط على B وتخففه على A.

مثال محلول 2: جملون غماء متناظر ثم تأثير الرياح

نعود إلى جملون الجزء الأول (البحر 8 m، العقد العلوية C وD وE على 2 m و4 m و6 m من A، ارتفاع C وE يساوي 1 m). تؤثر حمولة 12 kN في كل من C وD وE، وحمولة 6 kN في كل من A وB (نصف حقل فوق كل مسند).

أ) الحمولات الشاقولية وحدها: النظام والحمولات متناظران بالنسبة إلى المحور الشاقولي المار بـ D، إذن:

$ V_A = V_B = \frac{6 + 3 \times 12 + 6}{2} $

أي $V_A = V_B = 48/2 = 24\ kN$، و$H_A = 0$. الحمولتان المطبقتان مباشرة على المسندين تدخلان في المجموع، لكنهما تنتقلان إلى المسندين دون أن تمرا بأي قضيب.

ب) نضيف رياحاً أفقية $W = 4\ kN$ نحو اليمين في العقدة C (ارتفاعها 1 m):

• $\sum F_x = 0$: $H_A = -4\ kN$، أي 4 kN نحو اليسار.
• العزوم حول A (حمولة A ذراعها صفر):

$ 8\,V_B = 12 \times 2 + 4 \times 1 + 12 \times 4 $

$ + 12 \times 6 + 6 \times 8 = 196 $

ومنه $V_B = 196/8 = 24{,}5\ kN$.

• $\sum F_y = 0$: $V_A = 48 - 24{,}5 = 23{,}5\ kN$.
• التحقق حول B: $-8 \times 23{,}5 + 6 \times 8 + 12 \times 6 + 12 \times 4 + 12 \times 2 - 4 \times 1 = -188 + 188 = 0$. صحيح.

الرياح لم تغيّر مجموع ردود الأفعال الشاقولية (48 kN) لكنها نقلت 0,5 kN من A إلى B.

خطوات حساب ردود الأفعال

• ارسم النظام معزولاً مع كل الحمولات وردود الأفعال المفترضة.
• $\sum F_x = 0$ تعطي غالباً المركبة الأفقية للمسند المضاعف مباشرة.
• العزوم حول المسند المضاعف تعطي رد فعل المسند البسيط.
• العزوم حول المسند البسيط تعطي المركبة الشاقولية للمسند المضاعف.
• تحقق بـ $\sum F_y = 0$.
• إذا كان النظام والحمولات متناظرين فـ $V_A = V_B = \sum P/2$، ويبقى التحقق ضرورياً إذا وُجدت حمولة أفقية.

أخطاء شائعة

• أخذ البعد الأفقي ذراعاً للقوة الأفقية بدل ارتفاع نقطة تطبيقها.
• نسيان الحمولات المطبقة في عقد المساند عند جمع الحمولات الشاقولية.
• إعطاء المسند البسيط مركبة أفقية، فيصبح $H_A$ غير قابل للحساب.
• تطبيق التناظر بينما توجد حمولة أفقية أو حمولات غير متناظرة.

5. طريقة عزل العقد والقضبان المنعدمة الجهد

مبدأ الطريقة

بما أن النظام كله في توازن، فكل جزء منه في توازن، وخاصة كل عقدة. نعزل العقدة بقطع القضبان المتصلة بها، ونعوّض كل قضيب مقطوع بجهده N، فتصبح العقدة نقطة تؤثر فيها قوى متلاقية: الحمولات، وردود الأفعال إن كانت مسنداً، وجهود القضبان. معادلتا التوازن $\sum F_x = 0$ و$\sum F_y = 0$ تسمحان بحساب مجهولين على الأكثر في كل عقدة. هذه هي طريقة عزل العقد (méthode des nœuds)، وتسمى في بعض الكتب الطريقة التحليلية.

إسقاط جهد قضيب مائل

نرسم جهد كل قضيب مغادراً العقدة المعزولة نحو العقدة الأخرى للقضيب (افتراض الشد). إذا كان القضيب يمتد من العقدة المعزولة بمسافة أفقية $\Delta x$ ومسافة شاقولية $\Delta y$ (بإشارتيهما) وطوله $L = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$، فمركبتا جهده على العقدة:

$ N_x = N \cdot \frac{\Delta x}{L} \qquad N_y = N \cdot \frac{\Delta y}{L} $

وهذا يكافئ الكتابة بـ $\cos\alpha$ و$\sin\alpha$ مع إشارة يحددها اتجاه القضيب انطلاقاً من العقدة: نحو اليمين موجب، نحو الأعلى موجب.

الطريقة خطوة بخطوة

• تحقق من التحديد السكوني: $b = 2n - 3$.
• احسب ردود الأفعال (الجزء 4) وتحقق منها.
• احسب الزوايا: لكل قضيب مائل $\sin\alpha$ و$\cos\alpha$ من أبعاده.
• اختر عقدة فيها مجهولان على الأكثر، وغالباً تكون عقدة مسند.
• ارسم العقدة معزولة: الحمولات، وردود الأفعال المحسوبة (تُعوَّض بإشاراتها في الاتجاه المفترض)، والجهود المجهولة مغادرة للعقدة.
• اكتب $\sum F_x = 0$ و$\sum F_y = 0$ وحلّهما. ابدأ بالمعادلة التي فيها مجهول واحد إن وُجدت.
• انتقل إلى عقدة مجاورة أصبح فيها مجهولان فقط، وعوّض الجهود المعروفة بإشاراتها مع إبقاء أسهمها مغادرة للعقدة الجديدة.
• تحقق: آخر عقدة (أو آخر معادلتين) لا مجهول فيها، فيجب أن تتحقق المعادلات تلقائياً.
• لخّص في جدول: القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة.

> كل خطأ في العقدة الأولى ينتقل إلى كل العقد الموالية؛ لهذا نتحقق من ردود الأفعال قبل البدء ونستعمل العقدة الأخيرة للتأكد.

مثال محلول: الرافدة ABCDE

نكمل مثال الجزء 4: $H_A = -16\ kN$ (أي 16 kN نحو اليسار)، $V_A = 39\ kN$، $V_B = 45\ kN$. القضبان المائلة الأربعة (AD، DC، CE، EB) لها نفس الطول:

$ L = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = 2{,}5\ m $

ومنه $\cos\alpha = 2/2{,}5 = 0{,}8$ و$\sin\alpha = 1{,}5/2{,}5 = 0{,}6$.


يبيّن الشكل العقدتين A وD معزولتين: الجهود المجهولة بالأزرق مرسومة مغادرة للعقدة (افتراض الشد)، وردود الأفعال بالأحمر، والحمولات بالأزرق مع قيمها.

العقدة A (مجهولان: $N_{AD}$ و$N_{AC}$)

القضيب AD يتجه نحو اليمين والأعلى، والقضيب AC نحو اليمين أفقياً.

$ \sum F_y = 39 + 0{,}6\,N_{AD} = 0 $

$ N_{AD} = -65\ kN \ \text{(compression)} $

ثم الأفقية: $-16 + 0{,}8\,N_{AD} + N_{AC} = 0$، أي $-16 - 52 + N_{AC} = 0$:

$ N_{AC} = +68\ kN \ \text{(traction)} $

العقدة D (مجهولان: $N_{DC}$ و$N_{DE}$)

من D: القضيب DA يتجه نحو اليسار والأسفل، وDC نحو اليمين والأسفل، وDE نحو اليمين أفقياً. نعوّض $N_{DA} = -65\ kN$.

الشاقولية: $-24 - 0{,}6\,N_{DA} - 0{,}6\,N_{DC} = 0$، أي $-24 + 39 - 0{,}6\,N_{DC} = 0$:

$ N_{DC} = 15/0{,}6 = +25\ kN $

الأفقية: $16 - 0{,}8\,N_{DA} + 0{,}8\,N_{DC} + N_{DE} = 0$، أي $16 + 52 + 20 + N_{DE} = 0$:

$ N_{DE} = -88\ kN $

العقدة C (مجهولان: $N_{CE}$ و$N_{CB}$)

من C: CA نحو اليسار، وCD نحو اليسار والأعلى، وCE نحو اليمين والأعلى، وCB نحو اليمين. الحمولة 36 kN نحو الأسفل.

الشاقولية: $-36 + 0{,}6 \times 25 + 0{,}6\,N_{CE} = 0$:

$ N_{CE} = 21/0{,}6 = +35\ kN $

الأفقية: $-68 - 0{,}8 \times 25 + 0{,}8 \times 35 + N_{CB} = 0$:

$ N_{CB} = 68 + 20 - 28 = +60\ kN $

العقدة B (مجهول واحد: $N_{BE}$)

من B: BE نحو اليسار والأعلى، وBC نحو اليسار.

$ \sum F_y = 45 + 0{,}6\,N_{BE} = 0 $

ومنه $N_{BE} = -75\ kN$. تحقق بالأفقية: $-N_{BC} - 0{,}8\,N_{BE} = -60 + 60 = 0$. صحيح.

العقدة E (للتحقق فقط)

الأفقية: $-0{,}8 \times 35 - (-88) + 0{,}8 \times (-75) = -28 + 88 - 60 = 0$؛ الشاقولية: $-24 - 0{,}6 \times 35 - 0{,}6 \times (-75) = -24 - 21 + 45 = 0$. كل النتائج صحيحة.

جدول النتائج

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | |---|---|---| | AD | −65 | انضغاط | | AC | +68 | شد | | DC | +25 | شد | | DE | −88 | انضغاط | | CE | +35 | شد | | CB | +60 | شد | | EB | −75 | انضغاط |


يلخص الشكل النتائج على الرافدة نفسها: القضبان المشدودة بالأزرق مع إشارة +، والمنضغطة بالأحمر مع إشارة −، وردود الأفعال بقيمها واتجاهاتها الحقيقية. نلاحظ ما توقعناه في الجزء الأول: الوتر العلوي DE منضغط وهو الأكثر تحميلاً (88 kN)، والوتر السفلي AC وCB مشدود.

القضبان المنعدمة الجهد

بعض القضبان لا تحمل شيئاً تحت حالة تحميل معينة، ويمكن التعرف عليها قبل أي حساب، فيقل عدد المجاهيل:


يعرض الشكل الحالات الثلاث:

• عقدة بقضيبين غير متحاذيين ولا حمولة فيها: الجهدان منعدمان، لأن قوتين غير متوازيتين لا تتوازنان إلا إذا انعدمتا.
• عقدة بثلاثة قضبان، اثنان منها على استقامة واحدة، ولا حمولة فيها: القضيب الثالث منعدم الجهد، والقضيبان المتحاذيان لهما نفس الجهد. نُسقط على العمودي على المستقيم المشترك فلا يبقى إلا مركبة القضيب الثالث.
• عقدة بقضيبين غير متحاذيين، والحمولة على امتداد أحدهما: القضيب الآخر منعدم الجهد، والأول يحمل الحمولة كلها.

مثال: في جملون الغماء (الجزء الأول) تحت حمولات في العقد العلوية فقط، العقدة F فيها AF وFG على استقامة واحدة والقائم CF، ولا حمولة في F: إذن $N_{CF} = 0$، وكذلك $N_{EH} = 0$ في العقدة H.

القضيب المنعدم الجهد لا يُحذف: هو يمسك الشكل الهندسي، ويقصّر طول تحدب القضبان المنضغطة، ويحمل جهداً في حالات تحميل أخرى (رياح، حمولة معلقة). ويسمى في الجداول «منعدم الجهد» أو «تركيبي» (barre de construction)، ويُكتب جهده 0.

أخطاء شائعة

• رسم الجهد المجهول نحو العقدة في بعض العقد ومغادراً لها في أخرى: الاصطلاح واحد في كل العقد.
• تعويض جهد معلوم بقيمته المطلقة ونسيان إشارته السالبة.
• الخلط بين $\sin\alpha$ و$\cos\alpha$: حدد الزاوية التي تقيسها (مع الأفقي هنا) قبل الإسقاط.
• البدء بعقدة فيها ثلاثة مجاهيل.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل

أسئلة الأنظمة المثلثية في البكالوريا تأتي دائماً بنفس الترتيب: التحقق من التحديد السكوني، ثم ردود الأفعال، ثم الجهود بعزل العقد مع رسم كل عقدة، ثم جدول النتائج، ثم (في الدرس الموالي) تحديد المقطع. اكتب كل معادلة قبل التعويض، واذكر اصطلاح العزوم، وضع وحدة كل نتيجة، وتحقق في كل مرحلة.

التمرين 1: هيكل مظلة محطة حافلات

يحمل هيكل مثلثي فولاذي سقف مظلة محطة. الشكل يعطي أبعاده والحمولات المطبقة: في العقدة C قوة شاقولية 24 kN وقوة رياح أفقية 12 kN نحو اليمين، وفي العقدة E قوة شاقولية 40 kN. العقدة A ترتكز على مسند بسيط (رد فعل شاقولي)، والعقدة B على مسند مضاعف.


يبيّن الشكل العقد A وD وB على خط أفقي (4,00 m + 4,00 m)، والعقدة C فوق D بـ 3,00 m، والعقدة E فوق B بـ 6,00 m. القضبان: AC، AD، DB، DC، CE، CB، EB.

الأسئلة:

• تحقق من أن النظام محدد سكونياً.
• احسب ردود الأفعال وتحقق منها.
• حدد دون حساب القضبان المنعدمة الجهد مع التعليل.
• احسب الجهود في القضبان بطريقة عزل العقد.
• لخّص النتائج في جدول وحدد القضيب الأكثر تحميلاً.

الحل

1. التحديد السكوني: $n = 5$ (A، B، C، D، E) و$b = 7$. نحسب $2n - 3 = 10 - 3 = 7$، إذن $b = 2n - 3$: النظام محدد سكونياً، وكل حقوله مثلثات.

2. ردود الأفعال (العزوم المعاكسة لعقارب الساعة موجبة):

• $\sum F_x = 0$: $12 + H_B = 0$ فـ $H_B = -12\ kN$، أي 12 kN نحو اليسار.
• العزوم حول B: $V_A$ على بعد 8 m يسار B يدور مع عقارب الساعة؛ الحمولة 24 kN على بعد 4 m يسار B تدور عكسها؛ الرياح 12 kN نحو اليمين على ارتفاع 3 m تدور مع عقارب الساعة؛ الحمولة 40 kN تمر بـ B.

$ -8\,V_A + 24 \times 4 - 12 \times 3 = 0 $

$ V_A = 60/8 = 7{,}5\ kN $

• العزوم حول A:

$ 8\,V_B - 24 \times 4 - 12 \times 3 $

$

• 40 \times 8 = 0

$

$ V_B = 452/8 = 56{,}5\ kN $

• التحقق: $V_A + V_B = 7{,}5 + 56{,}5 = 64\ kN = 24 + 40$. صحيح.

3. القضبان المنعدمة الجهد:

• العقدة E: قضيبان غير متحاذيين (EC وEB)، والحمولة 40 kN شاقولية على امتداد EB؛ إذن $N_{EC} = 0$ و$N_{EB} = -40\ kN$.
• العقدة D: ثلاثة قضبان، AD وDB على استقامة واحدة، ولا حمولة في D؛ إذن $N_{DC} = 0$ و$N_{AD} = N_{DB}$.

4. عزل العقد: القضيبان AC وCB طولهما $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ m$، فـ $\cos\alpha = 0{,}8$ و$\sin\alpha = 0{,}6$.

*العقدة A* (المجهولان $N_{AC}$ و$N_{AD}$؛ AC يصعد نحو اليمين):

$ \sum F_y = 7{,}5 + 0{,}6\,N_{AC} = 0 $

فـ $N_{AC} = -12{,}5\ kN$. ثم $\sum F_x = 0{,}8\,N_{AC} + N_{AD} = 0$ فـ $N_{AD} = +10\ kN$.

*العقدة D*: $N_{DC} = 0$ و$N_{DB} = N_{AD} = +10\ kN$.

*العقدة C* (المجهول الوحيد $N_{CB}$؛ من C: CA نحو اليسار والأسفل، CB نحو اليمين والأسفل، و$N_{CD} = N_{CE} = 0$):

الأفقية: $12 - 0{,}8 \times (-12{,}5) + 0{,}8\,N_{CB} = 0$، أي $12 + 10 + 0{,}8\,N_{CB} = 0$:

$ N_{CB} = -22/0{,}8 = -27{,}5\ kN $

التحقق بالشاقولية في C: $-24 - 0{,}6 \times (-12{,}5) - 0{,}6 \times (-27{,}5) = -24 + 7{,}5 + 16{,}5 = 0$.

*العقدة B* (للتحقق): الأفقية $-12 - 10 + 0{,}8 \times 27{,}5 = -22 + 22 = 0$؛ الشاقولية $56{,}5 - 0{,}6 \times 27{,}5 - 40 = 56{,}5 - 16{,}5 - 40 = 0$. صحيح.

5. جدول النتائج:

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | |---|---|---| | AC | −12,5 | انضغاط | | AD | +10 | شد | | DB | +10 | شد | | DC | 0 | تركيبي (منعدم الجهد) | | CE | 0 | تركيبي (منعدم الجهد) | | CB | −27,5 | انضغاط | | EB | −40 | انضغاط |

القضيب الأكثر تحميلاً هو EB بانضغاط شدته 40 kN، وهو قائم يحمل حمولة العقدة E مباشرة إلى المسند. وأكبر جهد شد هو 10 kN في الوتر السفلي AD وDB.

التمرين 2: رافدة مثلثية لجسر رافعة في ورشة

رافدة مثلثية فولاذية من نوع Pratt تغطي ورشة صيانة وتحمل جهاز رفع. الوتر السفلي A-C-D-E-B والوتر العلوي F-G-H-I-J، أربعة حقول من 4,00 m وارتفاع 3,00 m، وقوائم عند كل العقد، والقطريات FC وGD وID وJE. A مسند مضاعف وB مسند بسيط. الحمولات: 12 kN في F وJ، و24 kN في G وH وI، و30 kN معلقة في D (جهاز الرفع).


يبيّن الشكل الرافدة بأبعادها وحمولاتها (بالـ kN): خمس حمولات على الوتر العلوي وحمولة جهاز الرفع تحت العقدة D في منتصف البحر.

الأسئلة:

• تحقق من أن الرافدة محددة سكونياً.
• احسب ردود الأفعال.
• احسب الجهود في قضبان النصف الأيسر بعزل العقد A وF وC وG وH، ثم استنتج الباقي بالتناظر.
• تحقق بتوازن العقدة D، ثم حدد أكبر جهد شد وأكبر جهد انضغاط.

الحل

1. $n = 10$ و$b = 17$ (4 + 4 في الوترين، 5 قوائم، 4 قطريات). $2n - 3 = 17 = b$: الرافدة محددة سكونياً.

2. الحمولات والرافدة متناظرة بالنسبة إلى المحور الشاقولي المار بـ D وH، ولا قوة أفقية:

$ V_A = V_B = \frac{12 + 3 \times 24 + 12 + 30}{2} $

أي $V_A = V_B = 126/2 = 63\ kN$ و$H_A = 0$.

3. عزل العقد. القطريات طولها $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ m$، فـ $\cos\alpha = 0{,}8$ و$\sin\alpha = 0{,}6$.

*العقدة A* (القائم AF نحو الأعلى، AC نحو اليمين): $\sum F_y = 63 + N_{AF} = 0$ فـ $N_{AF} = -63\ kN$؛ و$\sum F_x = N_{AC} + H_A = 0$ مع $H_A = 0$ فـ $N_{AC} = 0$ (القضيب منعدم الجهد: حالة الحمولة على امتداد أحد قضيبين).

*العقدة F* (FA نحو الأسفل، FG نحو اليمين، FC نحو اليمين والأسفل، الحمولة 12 kN):

$ -12 + 63 - 0{,}6\,N_{FC} = 0 $

فـ $N_{FC} = 51/0{,}6 = +85\ kN$. ثم $N_{FG} + 0{,}8 \times 85 = 0$ فـ $N_{FG} = -68\ kN$.

*العقدة C* (CA نحو اليسار وجهده 0، CF نحو اليسار والأعلى، CG نحو الأعلى، CD نحو اليمين): الشاقولية $0{,}6 \times 85 + N_{CG} = 0$ فـ $N_{CG} = -51\ kN$؛ الأفقية $-0{,}8 \times 85 + N_{CD} = 0$ فـ $N_{CD} = +68\ kN$.

*العقدة G* (GF نحو اليسار، GC نحو الأسفل، GD نحو اليمين والأسفل، GH نحو اليمين، الحمولة 24 kN):

$ -24 + 51 - 0{,}6\,N_{GD} = 0 $

فـ $N_{GD} = 27/0{,}6 = +45\ kN$. ثم الأفقية $68 + 0{,}8 \times 45 + N_{GH} = 0$ فـ $N_{GH} = -104\ kN$.

*العقدة H* (HG نحو اليسار، HI نحو اليمين، HD نحو الأسفل، الحمولة 24 kN): الشاقولية $-24 - N_{HD} = 0$ فـ $N_{HD} = -24\ kN$؛ الأفقية $104 + N_{HI} = 0$ فـ $N_{HI} = -104\ kN$، وهي نفس قيمة GH كما يقتضي التناظر.

4. التحقق في العقدة D: القطريان DG وDI يصعدان من D (كل منهما $+45\ kN$)، والقائم DH يصعد ($-24\ kN$)، والحمولة 30 kN نحو الأسفل:

$ -30 + 0{,}6 \times 45 \times 2 - 24 = 0 $

أي $-30 + 54 - 24 = 0$. والأفقية: $-68 + 68 - 0{,}8 \times 45 + 0{,}8 \times 45 = 0$. صحيح.

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | القضيب المتناظر | |---|---|---|---| | AF | −63 | انضغاط | BJ | | AC | 0 | تركيبي (منعدم الجهد) | EB | | FG | −68 | انضغاط | IJ | | FC | +85 | شد | JE | | CG | −51 | انضغاط | EI | | CD | +68 | شد | DE | | GH | −104 | انضغاط | HI | | GD | +45 | شد | ID | | DH | −24 | انضغاط | (في المحور) |

أكبر جهد شد: $+85\ kN$ في القطريين FC وJE. أكبر جهد انضغاط: $-104\ kN$ في الوتر العلوي GH وHI. نتحقق هنا مما قيل عن نوع Pratt: القطريات مشدودة والقوائم منضغطة، والوتر العلوي منضغط والسفلي مشدود. هذه القيم هي التي تُستعمل في الدرس الموالي لتحديد مقاطع القضبان.

ملاحظة للامتحان

• ارسم كل عقدة معزولة بأسهمها، فالرسم مطلوب ويُنقَّط.
• لا تنقل قيمة من عقدة إلى أخرى دون إشارتها.
• استعمل التناظر فقط إذا كانت الهندسة والحمولات متناظرة، واذكره صراحة.
• التحقق بالعقدة الأخيرة يأخذ سطرين ويكشف كل خطأ سابق.