مراقبة المنشآت: الشاقولية والأفقية

3. حساب الانحراف عن الشاقولية والحكم على العنصر

العلاقة المعتمدة في البرنامج والبكالوريا

يكتب البرنامج ومواضيع البكالوريا الانحراف بدلالة ارتفاع العنصر H، وهي العلاقة التي تُستعمل في الامتحان:

$ \Delta Hz = \left|Hz_B - Hz_A\right| $

$ d = H\cdot\tan\Delta Hz $

الوحدات: نكتب H بالـ mm فيخرج d بالـ mm مباشرة، والآلة الحاسبة على وضع GRAD.

> ملاحظة (أصل العلاقة): في المسقط الأفقي لشكل الجزء السابق، المثلث $SAB'$ قائم في A والزاوية في S هي ΔHz، فالعلاقة الهندسية الدقيقة تستعمل بعد المحطة L عن العمود: $d = L\cdot\tan\Delta Hz$. وهي تطابق علاقة البرنامج حين تُنصب المحطة على بعد أفقي يساوي ارتفاع العنصر ($L = H$)، وهو الوضع الموصى به في طريقة العمل. لا تُستعمل $d = L\cdot\tan\Delta Hz$ إلا إذا أعطى النص بعد المحطة L صراحة وطلب العمل به.

المسألة العكسية

إذا عُرف الانحراف (أو التسامح) وطُلبت القراءة الثانية:

$ \Delta Hz = \arctan\frac{d}{H} $

ثم $Hz_B = Hz_A + \Delta Hz$ إذا كان الرأس منحرفا نحو يمين الملاحظ، أو $Hz_B = Hz_A - \Delta Hz$ إذا كان منحرفا نحو يساره. إذا لم يحدد النص الجهة، نذكر القيمتين.

الانحراف الكلي من محطتين متعامدتين

المركبتان $d_1$ (من S1) و$d_2$ (من S2) متعامدتان، فالانحراف الكلي لرأس العمود هو وتر المثلث القائم:

$ d = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} $

لا نجمع المركبتين جمعا عاديا، لأنهما في اتجاهين متعامدين.

التسامح واتخاذ القرار

التسامح (tolérance) t هو أكبر انحراف مقبول، يحدده دفتر الشروط (CPS) أو نص التمرين: إما قيمة ثابتة بالـ mm، وإما كسرا من الارتفاع مثل $H/1000$ (أي 1 mm لكل متر).

| النتيجة | القرار | الإجراء | |---|---|---| | $d \le t$ | العنصر مقبول | يُسجَّل في محضر المراقبة ويتواصل العمل | | $d > t$ | العنصر مرفوض | يُصحَّح القالب قبل الصب، أو يُرفع الأمر إلى مكتب الدراسات إن كان العنصر مصبوبا |

> منهجية الحل: (1) احسب ΔHz من كل محطة؛ (2) احكم: معدوم أم لا؛ (3) احسب $d = H\cdot\tan\Delta Hz$ بالـ mm؛ (4) إن وُجدت محطتان فاحسب المحصلة؛ (5) قارن بالتسامح واكتب القرار بجملة.

أمثلة محلولة

مثال 1: محطة واحدة

عمود ارتفاعه $H = 3{,}20\ m$، قراءات المحطة: $Hz_A = 36{,}250\ gr$ و$Hz_B = 36{,}310\ gr$. التسامح 5 mm، والقراءات من المحطة المتعامدة متساوية.

• $\Delta Hz = 36{,}310 - 36{,}250 = 0{,}060\ gr$، غير معدوم، فالعمود مائل نحو يمين الملاحظ.
• $d = 3200\times\tan(0{,}060\ gr) = 3200\times9{,}425\cdot10^{-4} = 3{,}02\ mm$.
• المحطة الثانية لم تُظهر فرقا، فالانحراف الكلي $d = 3{,}02\ mm$.
• $3{,}02 < 5$: العمود مقبول.

مثال 2: تتمة مثال الجزء السابق

العمود ارتفاعه $H = 3{,}00\ m$، من S1 الفرق معدوم ومن S2 $\Delta Hz = 0{,}047\ gr$.

$ d = 3000\times\tan 0{,}047 = 2{,}21\ mm $

مثال 3: محطتان متعامدتان

عمود $H = 3{,}00\ m$. من S1: $\Delta Hz = 0{,}050\ gr$، ومن S2: $\Delta Hz = 0{,}030\ gr$.

• $d_1 = 3000\times\tan 0{,}050 = 2{,}36\ mm$.
• $d_2 = 3000\times\tan 0{,}030 = 1{,}41\ mm$.

$ d = \sqrt{2{,}36^2 + 1{,}41^2} = 2{,}75\ mm $

ملاحظة: الجمع الخاطئ $2{,}36 + 1{,}41 = 3{,}77\ mm$ يبالغ في الانحراف، وقد يرفض عمودا مقبولا.

مثال 4: المسألة العكسية والقراءات المقبولة

عمود $H = 4{,}00\ m$، التسامح 4 mm، والقراءة عند القاعدة $Hz_A = 80{,}000\ gr$. ما مجال القراءة $Hz_B$ المقبول؟

$ \Delta Hz_{max} = \arctan\frac{4}{4000} = 0{,}0637\ gr $

فالقراءة المقبولة عند الرأس بين $80{,}000 - 0{,}0637$ و$80{,}000 + 0{,}0637$، أي بقراءات إلى الميليغراد: من 79,937 gr إلى 80,063 gr. قرّبنا نحو الداخل حتى لا نقبل انحرافا أكبر من التسامح.

مثال 5 (ملاحظة): حين يعطي النص بعد المحطة L

المحطة على بعد أفقي $L = 12{,}00\ m$ من عمود، و$\Delta Hz = 0{,}015\ gr$:

$ d = 12000\times\tan 0{,}015 = 2{,}83\ mm $

نلاحظ أن الزاوية نفسها تعني انحرافا أكبر كلما ابتعدت المحطة، لذلك يجب أن تكون القراءات دقيقة إلى الميليغراد.

أخطاء شائعة

• ترك H بالمتر: $3{,}20\times9{,}425\cdot10^{-4} = 0{,}0030$ هي بالمتر، أي 3,02 mm، لا 0,003 mm.
• الآلة الحاسبة على DEG.
• جمع $d_1$ و$d_2$ جمعا عاديا بدل المحصلة.
• الحكم بالقبول لأن كل مركبة وحدها أصغر من التسامح، مع أن المحصلة قد تتجاوزه.
• في المسألة العكسية: نسيان الجهتين الممكنتين ($Hz_A + \Delta Hz$ أو $Hz_A - \Delta Hz$).

4. مراقبة الأفقية: المبدأ وطريقة العمل

ما معنى أن يكون العنصر أفقيا؟

تكون الرافدة أو الأرضية أفقية (horizontale) إذا كان طرفاها A وB على المنسوب نفسه. إذا لم يكونا كذلك، نسمّي الميلان c (dénivelée) فرق المنسوب بين الطرفين، ويُعبَّر عنه بالـ mm، ونسمّي الميل p نسبة الميلان إلى طول العنصر D:

$ p = \frac{c}{D} $

ويُكتب الميل بالـ mm/m أو بالنسبة المئوية: 1 mm/m يساوي 0,1 %.

نراقب الأفقية بثلاث أدوات حسب الطول والدقة المطلوبة:

| الأداة | المجال | ما نقرؤه | |---|---|---| | ميزان الماء مع مسطرة | عنصر قصير، مراقبة سريعة أثناء التنفيذ | وضع الفقاعة | | جهاز التسوية والقامة | أرضية، رافدة، سطح جسر | قراءتان على القامة | | المزولة | رافدة عالية أو بعيدة يصعب وضع القامة عليها | الزاويتان الشاقوليتان $V_A$ و$V_B$ |

1. ميزان الماء والمسطرة

نضع مسطرة مستقيمة طولها 2 m على العنصر وفوقها ميزان الماء. إذا لم تتوسط الفقاعة، نرفع الطرف المنخفض للمسطرة بأسافين رقيقة حتى تتوسط، فيكون سمك الأسافين هو الميلان على طول 2 m.

مثال: احتاجت الفقاعة إلى إسفين سمكه 3 mm تحت طرف مسطرة طولها 2 m. الميل $p = 3/2 = 1{,}5\ mm/m$؛ فإذا كان الميل منتظما على رافدة طولها 6 m، فميلانها الكلي $c = 1{,}5\times6 = 9\ mm$. هذه طريقة سريعة لكنها تقريبية، ولا تكشف إلا الميل المحلي تحت المسطرة.

2. جهاز التسوية والقامة

جهاز التسوية (niveau) يعطي بعد تسويته خط نظر أفقيا في كل الاتجاهات. نضعه بين طرفي العنصر، ونضع القامة شاقولية على A ثم على B، ونقرأ عليها الارتفاع بين نقطة الارتكاز وخط النظر: $\ell_A$ ثم $\ell_B$.


يبيّن الشكل خط النظر الأفقي المشترك والقراءتين $\ell_A$ و$\ell_B$ على القامتين (الميل مضخَّم). بما أن خط النظر واحد، فإن القراءة الأكبر تقابل النقطة الأخفض:

$ \Delta h = \ell_A - \ell_B $

• $\Delta h = 0$: الطرفان على المنسوب نفسه، العنصر أفقي.
• $\Delta h > 0$: B أعلى من A.
• $\Delta h < 0$: B أخفض من A.

والميلان $c = \left|\Delta h\right|$ مباشرة، دون أي زاوية.

مثال محلول 1

قرئ على القامة فوق طرف أرضية $\ell_A = 1{,}426\ m$ وفوق الطرف الآخر $\ell_B = 1{,}418\ m$، والطول بينهما 6,00 m.

• $\Delta h = 1{,}426 - 1{,}418 = 0{,}008\ m = 8\ mm$، موجب: B أعلى من A بـ 8 mm.
• الميل: $p = 8/6 = 1{,}33\ mm/m$، أي $0{,}133\ \%$.

3. المزولة

المبدأ

ننصب المزولة في محطة S على البعد الأفقي نفسه من طرفي الرافدة ($SA = SB$، أي على المحور العمودي على منتصف AB)، ونصوّب على الحافة نفسها (السفلية مثلا) عند A ثم عند B، ونقرأ في كل مرة الزاوية الشاقولية على الدائرة الشاقولية: $V_A$ ثم $V_B$.


في الجزء (a) من الشكل، المسقط الأفقي: المحطة S على البعد $L'$ نفسه من الطرفين، والمثلث SAB متساوي الساقين. في الجزء (b) أُدير المستويان الشاقوليان SA وSB إلى مستوي الرسم، فيظهر كل طرف على البعد الأفقي $L'$ من المنظار: الزاويتان السمتيتان $V_A$ و$V_B$ محسوبتان من السمت، وزاويتا الموقع $i_A$ و$i_B$ من الأفق، و$h_A$ و$h_B$ ارتفاعا الطرفين فوق المحور الأفقي للمنظار، والميلان c فرقهما (الميل مضخَّم).

• لأن البعدين الأفقيين متساويان، فإن الطرفين على المنسوب نفسه إذا وفقط إذا تساوت الزاويتان: $V_A = V_B$، والرافدة أفقية.
• إذا اختلفتا، فالرافدة مائلة، والطرف ذو الزاوية السمتية الأصغر هو الأعلى.

لو لم تكن المحطة على البعد نفسه من الطرفين، لاختلفت الزاويتان حتى لرافدة أفقية تماما، لأن الطرف الأقرب يُرى بزاوية رفع أكبر؛ لذلك شرط تساوي البعدين أساسي.

طريقة العمل

• نحدد منتصف الرافدة ونختار المحطة S على العمودي على AB المار به، على بعد يسمح برؤية الطرفين بوضوح.
• نتمركز ونسوّي المزولة.
• نصوّب على الحافة السفلية عند A ونقرأ $V_A$ على الدائرة الشاقولية.
• نصوّب على الحافة نفسها عند B ونقرأ $V_B$.
• نحسب $\Delta V = \left|V_B - V_A\right|$ ونحكم، ثم نحسب الميلان (الجزء الموالي).

ورقة التسجيل ومثال محلول 2

| المحطة | النقطة | القراءة V (gr) | ΔV (gr) | الحكم | |---|---|---|---|---| | S | A | 85,320 | | | | S | B | 85,390 | 0,070 | مائلة، A أعلى |

• $\Delta V = 85{,}390 - 85{,}320 = 0{,}070\ gr$، غير معدوم: الرافدة غير أفقية.
• $V_A < V_B$: خط النظر نحو A أقرب إلى السمت، فالطرف A أعلى من B.
• القراءتان أصغر من 100 gr: الرافدة أعلى من منظار الجهاز، وهي الحالة المعتادة.

> قاعدة: الشاقولية بالدائرة الأفقية (Hz)، والأفقية بالدائرة الشاقولية (V) من محطة على البعد نفسه من الطرفين.

أخطاء شائعة

• وضع المحطة أقرب إلى أحد الطرفين ثم مقارنة $V_A$ و$V_B$ مباشرة.
• التصويب على الحافة السفلية عند A وعلى العلوية عند B: يدخل سمك الرافدة في الفرق.
• عكس قاعدة القامة: القراءة الأكبر على القامة تعني نقطة أخفض، لا أعلى.
• عكس قاعدة الزاوية السمتية: V الأصغر تعني نقطة أعلى.

5. حساب الميلان عن الأفقية والحكم على العنصر

العلاقة المعتمدة في البرنامج والبكالوريا

بعد قراءة $V_A$ و$V_B$ من محطة على البعد نفسه من الطرفين، يحسب البرنامج الميلان c بدلالة طول الرافدة D:

$ \Delta V = \left|V_B - V_A\right| $

$ c = D\cdot\tan\Delta V $

في الامتحان هذه هي العلاقة التي تُستعمل كلما أعطى النص طول الرافدة D والقراءتين، وهي الحالة المعتادة. وهي علاقة مبسطة على غرار $d = H\cdot\tan\Delta Hz$ في الشاقولية.

ملاحظة: الصيغة الدقيقة (فرق ميلين)

هذه الفقرة لفهم أصل العلاقة، ولا تُستعمل إلا إذا أعطى النص صراحة البعد الأفقي $L'$ بين المحطة وكل طرف (الشكل (b) في الجزء السابق). نحسب ارتفاع كل طرف فوق المحور الأفقي للمنظار بزاوية موقعه $i = 100 - V$:

$ h_A = L'\cdot\tan i_A $

$ h_B = L'\cdot\tan i_B $

والميلان هو الفرق بينهما:

$ c = L'\cdot\left|\tan i_A - \tan i_B\right| $

هذه الصيغة صحيحة مهما كانت زاوية الرفع، لأنها تحسب منسوب كل طرف ثم تطرح. ولفرق صغير ΔV تعطي تقريبا $c \approx L'\cdot\tan\Delta V/\cos^2 i$، فهي تطابق علاقة البرنامج $c = D\cdot\tan\Delta V$ حين يكون بعد المحطة عن كل طرف مساويا لطول الرافدة ($L' = D$) وخطّا النظر قريبين من الأفق ($i \approx 0$).

بجهاز التسوية

لا زاوية هنا: الميلان هو فرق القراءتين على القامة مباشرة:

$ c = \left|\ell_A - \ell_B\right| $

المسألة العكسية

إذا عُرف الميلان c (أو التسامح) وإحدى القراءتين:

$ \Delta V = \arctan\frac{c}{D} $

• إذا كان B أخفض من A: $V_B = V_A + \Delta V$ (زاوية سمتية أكبر).
• إذا كان B أعلى من A: $V_B = V_A - \Delta V$.

الحكم

نقارن الميلان c بالتسامح t المعطى بالـ mm، أو نقارن الميل $p = c/D$ بتسامح معطى بالـ mm/m:

| النتيجة | القرار | |---|---| | $c \le t$ (أو $p \le t$) | العنصر مقبول | | $c > t$ (أو $p > t$) | العنصر مرفوض: يُعدَّل القالب أو الدعامات قبل الصب، ويُبلَّغ مكتب الدراسات إن كان العنصر مصبوبا |

> منهجية الحل: (1) احسب ΔV واحكم: معدوم أم لا؛ (2) حدد الطرف الأعلى (V الأصغر)؛ (3) احسب c بالـ mm بالعلاقة التي تناسب المعطيات؛ (4) احسب الميل إن طُلب؛ (5) قارن بالتسامح واكتب القرار.

أمثلة محلولة

مثال 1: تتمة مثال الجزء السابق

رافدة $D = 5{,}00\ m$، $V_A = 85{,}320\ gr$ و$V_B = 85{,}390\ gr$، التسامح 5 mm.

• $\Delta V = 0{,}070\ gr$، غير معدوم؛ $V_A$ أصغر فالطرف A أعلى.
• $c = 5000\times\tan 0{,}070 = 5000\times1{,}100\cdot10^{-3} = 5{,}50\ mm$.
• الميل: $p = 5{,}50/5 = 1{,}10\ mm/m$.
• $5{,}50 > 5$: الرافدة مرفوضة، ويجب رفع الطرف B (أو خفض A) بنحو 5,5 mm قبل الصب.

مثال 2 (ملاحظة): الصيغة الدقيقة حين يُعطى $L'$

المحطة على بعد أفقي $L' = 4{,}00\ m$ من كل طرف. $V_A = 70{,}000\ gr$ و$V_B = 70{,}050\ gr$.

• $i_A = 100 - 70{,}000 = 30{,}000\ gr$، و$i_B = 100 - 70{,}050 = 29{,}950\ gr$.
• $h_A = 4000\times\tan 30{,}000 = 4000\times0{,}5095254 = 2038{,}102\ mm$.
• $h_B = 4000\times\tan 29{,}950 = 4000\times0{,}5085365 = 2034{,}146\ mm$.
• $c = 2038{,}102 - 2034{,}146 = 3{,}96\ mm$، والطرف A أعلى.

ملاحظة: احتفظ بسبعة أرقام عشرية للظل، لأننا نطرح عددين متقاربين جدا.

مثال 3: المسألة العكسية

رافدة $D = 6{,}00\ m$ مائلة بميلان $c = 5\ mm$، والقراءة عند A هي $V_A = 50{,}000\ gr$. ما القراءة عند B؟

$ \Delta V = \arctan\frac{5}{6000} = 0{,}053\ gr $

• إذا كان B أخفض: $V_B = 50{,}053\ gr$.
• إذا كان B أعلى: $V_B = 49{,}947\ gr$.

مثال 4: بجهاز التسوية

من مثال الجزء السابق: $\ell_A = 1{,}426\ m$ و$\ell_B = 1{,}418\ m$ على طول 6,00 m، والتسامح المحدد في دفتر الشروط 1 mm/m.

• $c = 8\ mm$ و$p = 8/6 = 1{,}33\ mm/m$.
• $1{,}33 > 1$: الأرضية مرفوضة (B أعلى بـ 8 mm).

أخطاء شائعة

• استعمال ΔHz بدل ΔV في الأفقية.
• تقريب الظلين إلى ثلاثة أرقام في الصيغة الدقيقة فيضيع الفرق كله.
• كتابة $V_B = V_A + \Delta V$ دائما دون النظر إلى الطرف الأعلى.
• مقارنة الميل بالـ mm/m بتسامح معطى بالـ mm (أو العكس) دون تحويل.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين الأول: مراقبة إطار مدرسة

في ورشة إنجاز مدرسة، وبعد صب العمودين P1 وP2 وتركيب قالب الرافدة AB وقبل صبها، طُلب من الطبوغرافي مراقبة هذا الإطار (portique).


يبيّن الجزء (a) من الشكل الإطار: ارتفاع كل عمود 3,40 m، وطول الرافدة بين محوري العمودين 6,00 m، والنقطتان A وB على الحافة السفلية للرافدة فوق محوري العمودين. ويبيّن الجزء (b) في المسقط الأفقي المحطة S1 جنوب العمود P1، والمحطة S2 غربه على امتداد محور الرافدة، والمحطة S3 على البعد نفسه من P1 وP2.

المعطيات:

• التسامح حسب دفتر الشروط: انحراف العمود عن الشاقولية 4 mm على الأكثر، وميلان الرافدة 5 mm على الأكثر.
• القراءات:

| المحطة | النقطة المرصودة | الدائرة | القراءة (gr) | |---|---|---|---| | S1 | قاعدة P1 | Hz | 62,180 | | S1 | رأس P1 | Hz | 62,180 | | S2 | قاعدة P1 | Hz | 145,520 | | S2 | رأس P1 | Hz | 145,585 | | S3 | A | V | 78,460 | | S3 | B | V | 78,520 |

المطلوب:

• ما الجهاز المستعمل؟ وأيّ دائرة تُقرأ في كل مراقبة؟ ولماذا وُضعت S3 على البعد نفسه من العمودين؟
• احكم على شاقولية P1 من كل محطة.
• احسب انحراف P1 وقرر قبوله أو رفضه، وحدد جهة ميله.
• ما مجال القراءة عند رأس P1 من S2 الذي كان سيجعل العمود مقبولا؟
• احكم على أفقية الرافدة: الطرف الأعلى، الميلان، الميل، القرار.

الحل

1) الجهاز هو المزولة (théodolite). الشاقولية تُراقب بالدائرة الأفقية (Hz)، والأفقية بالدائرة الشاقولية (V). وُضعت S3 على البعد الأفقي نفسه من A وB حتى لا ينتج فرق الزاويتين الشاقوليتين إلا عن فرق المنسوب بين الطرفين.

2) من S1: $\Delta Hz = 62{,}180 - 62{,}180 = 0$. المحطة جنوب العمود وخط نظرها نحو الشمال، فلا ميل شرق–غرب.

من S2: $\Delta Hz = 145{,}585 - 145{,}520 = 0{,}065\ gr$، غير معدوم، فالعمود P1 غير شاقولي: له ميل شمال–جنوب.

3) الانحراف (الآلة على GRAD):

$ d = 3400\times\tan 0{,}065 = 3{,}47\ mm $

المركبة الأخرى معدومة، فالانحراف الكلي $d = 3{,}47\ mm$. وبما أن $3{,}47 < 4$: العمود P1 مقبول.

جهة الميل: $Hz_B > Hz_A$، فالرأس منحرف نحو يمين الملاحظ في S2. الملاحظ في S2 غرب العمود ينظر نحو الشرق، ويمينه هو الجنوب: رأس P1 مائل نحو الجنوب بـ 3,47 mm.

4) أكبر فرق مقبول:

$ \Delta Hz_{max} = \arctan\frac{4}{3400} = 0{,}0749\ gr $

فالقراءة عند الرأس مقبولة إذا كانت بين $145{,}520 - 0{,}0749$ و$145{,}520 + 0{,}0749$، أي من 145,446 gr إلى 145,594 gr (قرّبنا نحو الداخل). القراءة المسجلة 145,585 داخل المجال، وهذا يؤكد القرار.

5) $\Delta V = 78{,}520 - 78{,}460 = 0{,}060\ gr$، غير معدوم: الرافدة غير أفقية. $V_A < V_B$، فخط النظر نحو A أقرب إلى السمت: الطرف A أعلى.

$ c = 6000\times\tan 0{,}060 = 5{,}65\ mm $

الميل: $p = 5{,}65/6{,}00 = 0{,}94\ mm/m$. وبما أن $5{,}65 > 5$: الرافدة مرفوضة؛ يُعدَّل قالبها بخفض الطرف A أو رفع الطرف B بنحو 5,7 mm قبل الصب.

التمرين الثاني: عمود قاعة رياضية

عمود في قاعة رياضية ارتفاعه $H = 4{,}60\ m$، والتسامح المسموح به $H/1000$. رُصد من محطتين متعامدتين S1 وS2:

| المحطة | $Hz_A$ عند القاعدة (gr) | $Hz_B$ عند الرأس (gr) | |---|---|---| | S1 | 312,405 | 312,450 | | S2 | 12,640 | 12,600 |

المطلوب: (1) احسب التسامح بالـ mm. (2) احسب المركبتين $d_1$ و$d_2$ وحدد جهة كل منهما بالنسبة إلى الملاحظ. (3) احسب الانحراف الكلي واحكم. (4) جمع تلميذ المركبتين جمعا عاديا: ما القرار الذي يصل إليه، ولماذا هو خاطئ؟

الحل

1) $t = 4600/1000 = 4{,}6\ mm$.

2) من S1: $\Delta Hz = 312{,}450 - 312{,}405 = +0{,}045\ gr$، والرأس منحرف نحو يمين الملاحظ في S1:

$ d_1 = 4600\times\tan 0{,}045 = 3{,}25\ mm $

من S2: $\Delta Hz = 12{,}600 - 12{,}640 = -0{,}040\ gr$، والرأس منحرف نحو يسار الملاحظ في S2:

$ d_2 = 4600\times\tan 0{,}040 = 2{,}89\ mm $

3) المركبتان متعامدتان:

$ d = \sqrt{3{,}25^2 + 2{,}89^2} = 4{,}35\ mm $

وبما أن $4{,}35 < 4{,}6$: العمود مقبول، لكنه قريب من الحد، فيُسجَّل في المحضر ويُراقب العمود الذي فوقه بعناية.

4) الجمع العادي يعطي $3{,}25 + 2{,}89 = 6{,}14\ mm$، فيرفض التلميذ العمود. هذا خطأ لأن المركبتين في اتجاهين متعامدين، فالرأس لم يبتعد عن موضعه الشاقولي إلا بوتر المثلث القائم (4,35 mm)، لا بمجموع ضلعيه.

التمرين الثالث: أرضية طابق بجهاز التسوية ثم بالمزولة

لمراقبة أفقية أرضية طابق بين نقطتين A وB تبعدان $D = 5{,}40\ m$، نُصب جهاز تسوية بينهما، وقرئ على القامة الموضوعة شاقولية على كل نقطة (الخيط الأوسط): $\ell_A = 1{,}532\ m$ و$\ell_B = 1{,}537\ m$. التسامح في دفتر الشروط 1 mm/m.

المطلوب: (1) احسب Δh وحدد النقطة الأعلى. (2) احسب الميل بالـ mm/m وبالنسبة المئوية واحكم. (3) أُعيدت المراقبة بالمزولة من محطة على البعد نفسه من A وB، فقرئ $V_A = 92{,}300\ gr$. ما القراءة $V_B$ المنتظرة إذا طبّقنا علاقة البرنامج؟

الحل

1)

$ \Delta h = 1{,}532 - 1{,}537 = -0{,}005\ m $

Δh سالب، فـ B أخفض من A بـ 5 mm (القراءة الأكبر على B تقابل النقطة الأخفض). الميلان $c = 5\ mm$.

2) $p = 5/5{,}40 = 0{,}93\ mm/m$، أي $0{,}093\ \%$. وبما أن $0{,}93 < 1$: الأرضية مقبولة.

3) بعلاقة البرنامج $c = D\cdot\tan\Delta V$:

$ \Delta V = \arctan\frac{5}{5400} = 0{,}059\ gr $

الطرف B أخفض، فزاويته السمتية أكبر:

$ V_B = 92{,}300 + 0{,}059 = 92{,}359\ gr $

> ملاحظة للامتحان: نظّم الحل في جدول (محطة، نقطة، قراءة، فرق، نتيجة)، واكتب لكل عنصر جملة قرار صريحة: «مقبول لأن $d \le t$» أو «مرفوض لأن $c > t$». لا تنس الوحدة في كل نتيجة، ولا تنس جهة الميل إذا طُلبت.

أخطاء شائعة في هذا النوع من المواضيع

• الحكم على الشاقولية من محطة واحدة بقراءتين متساويتين.
• استعمال V للأعمدة أو Hz للروافد.
• كتابة d بالمتر ثم مقارنته بتسامح بالـ mm.
• نسيان أن الطرف الأعلى هو صاحب الزاوية السمتية الأصغر، أو القراءة الأصغر على القامة.