موضوع بكالوريا نموذجي محلول 2: مشروع طريق وجسر

3. حل السؤال 2: المظهر العرضي P3 وهيكل القارعة (3 نقاط)

الطريقة

المظهر العرضي P3 يأخذ من المظهر الطولي منسوبيه في المحور: الأرض $343{,}60\ m$ والمشروع $343{,}26\ m$، أي حفر $0{,}34\ m$ في المحور. ثم نطبّق المظهر النموذجي (الوثيقة 2) على الأرض الطبيعية في كل جهة:

| الجهة | نوعها عند الحافة | نقطة بداية المنحدر | ميل المنحدر | العلاقة | |---|---|---|---|---| | حفر | الأرض فوق المسطّحة | الطرف الخارجي للخندق، $6{,}50\ m$ | $1/1$ | $X = Y/(1 \mp \tan \alpha)$ | | ردم | الأرض تحت المسطّحة | حافة المسطّحة، $5{,}00\ m$ | $2/3$ | $X = Y/(2/3 \mp \tan \alpha)$ |

نطرح في المقام إذا كانت الأرض والمنحدر في الاتجاه نفسه، ونجمع إذا كانا في اتجاهين متعاكسين. واليسار واليمين لشخص يسير من P1 نحو P6.

2.1 الأرض عند حافتي المسطّحة ونوع المظهر (0,5 ن)

منسوب الأرض على بعد d من المحور: $H = 343{,}60 \pm p \cdot d$.

• اليسار (الأرض تصعد $8\ \%$): $H_{5g} = 343{,}60 + 0{,}08 \times 5 = 344{,}00\ m$، أعلى من المسطّحة ($343{,}26\ m$) بـ $0{,}74\ m$: حفر.
• اليمين (الأرض تنزل $12\ \%$): $H_{5d} = 343{,}60 - 0{,}12 \times 5 = 343{,}00\ m$، أخفض من المسطّحة بـ $0{,}26\ m$: ردم.

المحور في الحفر، والجهة اليسرى كلها في الحفر، والجهة اليمنى تنتقل من حفر إلى ردم: المظهر P3 مظهر مختلط (profil mixte). الخندق ومنحدر $1/1$ في اليسار، ومنحدر $2/3$ بلا خندق في اليمين.

2.2 النقطة الوهمية وطرفا المنحدرين (1 ن)

النقطة الوهمية (يمين): الأرض تقطع المسطّحة حين تنزل $0{,}34\ m$ بميل $12\ \%$: $ d_0 = \frac{0{,}34}{0{,}12} = 2{,}83\ m $ وتحقق بتشابه المثلثين: $0{,}34 \times 5{,}00/(0{,}34 + 0{,}26) = 2{,}83\ m$ يمين المحور.

اليسار، منحدر الحفر. منسوب الأرض فوق الطرف الخارجي للخندق: $ H_{6,5} = 343{,}60 + 0{,}08 \times 6{,}50 $ أي $H_{6,5} = 343{,}60 + 0{,}52 = 344{,}12\ m$، ومنه: $ Y_g = 344{,}12 - 343{,}26 = 0{,}86\ m $ الأرض تصعد نحو الخارج والمنحدر يصعد أيضا: الاتجاه نفسه، نطرح: $ X_g = \frac{0{,}86}{1 - 0{,}08} = 0{,}93\ m $

• منسوب رأس المنحدر: $343{,}26 + 0{,}93 = 344{,}19\ m$؛ تحقق على الأرض: $344{,}12 + 0{,}08 \times 0{,}935 = 344{,}19\ m$.
• بعده عن المحور: $6{,}50 + 0{,}93 = 7{,}43\ m$.

اليمين، منحدر الردم. $Y_d = 343{,}26 - 343{,}00 = 0{,}26\ m$. الأرض تنزل نحو الخارج والمنحدر ينزل: الاتجاه نفسه، نطرح: $ X_d = \frac{0{,}26}{2/3 - 0{,}12} = 0{,}48\ m $

• منسوب قدم المنحدر: $343{,}26 - \frac{2}{3} \times 0{,}476 = 342{,}94\ m$؛ تحقق على الأرض: $343{,}00 - 0{,}12 \times 0{,}476 = 342{,}94\ m$.
• بعده عن المحور: $5{,}00 + 0{,}48 = 5{,}48\ m$.

عرض الأشغال في المقطع: $7{,}43 + 5{,}48 = 12{,}91\ m$.

2.3 جدول المظهر العرضي (0,5 ن)

النقاط من أبعد نقطة يسارا إلى أبعد نقطة يمينا. منسوب الأرض في نقاط الخندق: $343{,}60 + 0{,}08 \cdot d$؛ ومنسوب المشروع في قعر الخندق $343{,}26 - 0{,}50 = 342{,}76\ m$.

| النقطة | الموضع | الجزئية (m) | المتراكمة (m) | $H_{TN}$ (m) | $H_P$ (m) | $y$ (m) | |---|---|---|---|---|---|---| | 1 | رأس منحدر الحفر (يسار) | 0,93 | 7,43 | 344,19 | 344,19 | 0 | | 2 | الطرف الخارجي للخندق | 0,50 | 6,50 | 344,12 | 343,26 | +0,86 | | 3 | نهاية قعر الخندق | 0,50 | 6,00 | 344,08 | 342,76 | +1,32 | | 4 | بداية قعر الخندق | 0,50 | 5,50 | 344,04 | 342,76 | +1,28 | | 5 | حافة المسطّحة (يسار) | 5,00 | 5,00 | 344,00 | 343,26 | +0,74 | | 6 | المحور | — | 0,00 | 343,60 | 343,26 | +0,34 | | 7 | النقطة الوهمية | 2,83 | 2,83 | 343,26 | 343,26 | 0 | | 8 | حافة المسطّحة (يمين) | 2,17 | 5,00 | 343,00 | 343,26 | −0,26 | | 9 | قدم منحدر الردم (يمين) | 0,48 | 5,48 | 342,94 | 342,94 | 0 |

تحقق: يسارا $0{,}93 + 3 \times 0{,}50 + 5{,}00 = 7{,}43\ m$، ويمينا $2{,}83 + 2{,}17 + 0{,}48 = 5{,}48\ m$. العمود y ($H_{TN} - H_P$) للتحقق ولحساب المساحات، وليس من أسطر الخرطوشة.


يبيّن الشكل المظهر P3 مرسوما بالسلّم نفسه في الاتجاهين، ومستوى المقارنة $342{,}00\ m$ (أصغر منسوب في المظهر $342{,}76\ m$ في قعر الخندق). الحفر بالأصفر يمتد من رأس المنحدر (1) عبر الخندق (2 إلى 5) حتى النقطة الوهمية (7)، والردم بالأحمر مثلث صغير بين (7) وقدم المنحدر (9). وتحت المظهر تكبيران بالسلّم نفسه في الاتجاهين: (a) الخندق ومنحدر الحفر مع المسافات الجزئية $0{,}93$ و $3 \times 0{,}50\ m$، و(b) منحدر الردم $2/3$ وعرضه $0{,}48\ m$.

2.4 مساحتا الحفر والردم (0,5 ن)

بأشباه المنحرفات $S_i = d_i \cdot (y_i + y_{i+1})/2$ بين النقاط المتتالية:

| المجال | العرض (m) | $y_i$ ؛ $y_{i+1}$ (m) | المساحة ($m^2$) | |---|---|---|---| | 1 → 2 | 0,93 | 0 ؛ 0,86 | 0,400 | | 2 → 3 | 0,50 | 0,86 ؛ 1,32 | 0,545 | | 3 → 4 | 0,50 | 1,32 ؛ 1,28 | 0,650 | | 4 → 5 | 0,50 | 1,28 ؛ 0,74 | 0,505 | | 5 → 6 | 5,00 | 0,74 ؛ 0,34 | 2,700 | | 6 → 7 | 2,83 | 0,34 ؛ 0 | 0,481 | | الحفر | | | $S_d \approx 5{,}28\ m^2$ |

الردم (مثلثان بين النقاط 7 و 8 و 9): $ S_r = 2{,}17 \times \frac{0{,}26}{2} + 0{,}48 \times \frac{0{,}26}{2} $ أي $S_r = 0{,}282 + 0{,}062 = 0{,}34\ m^2$. الحفر يغلب كثيرا في هذا المقطع: $5{,}28\ m^2$ مقابل $0{,}34\ m^2$، والخندق وحده يحمل نحو $1{,}70\ m^2$ من الحفر (المجالات من 2 إلى 5).

2.5 هيكل القارعة (0,5 ن)

| الرقم | الطبقة | السمك | الدور | |---|---|---|---| | 1 | طبقة السير (couche de roulement) | $7\ cm$ | سطح كتيم خشن ومستوٍ يقاوم تآكل العجلات | | 2 | طبقة القاعدة (couche de base) | $20\ cm$ | الطبقة الحاملة الرئيسية، تقاوم الإجهادات الكبيرة وتوزّعها | | 3 | طبقة الأساس (couche de fondation) | $30\ cm$ | توزّع الحمولة على المسطّحة الحاملة | | 4 | طبقة الشكل (couche de forme) | $35\ cm$ | تحمي التربة وتسوّيها وتقطع صعود الماء | | 5 | التربة الحاملة (sol support) | — | تتلقّى كل الحمولات في الأخير |

حجم الطبقة 1 على طول الجزء ($175{,}45\ m$) وعرض القارعة ($7{,}00\ m$)، مع تحويل السمك إلى المتر: $ V = 175{,}45 \times 7{,}00 \times 0{,}07 $ أي $V = 85{,}97\ m^3$. الكتلة: $m = 85{,}97 \times 2{,}35 = 202{,}03\ t$.

سلّم التنقيط المقترح

| السؤال | العناصر المنقطة | |---|---| | 2.1 | منسوبا الحافتين: 0,25؛ نوع المظهر مع التعليل: 0,25 | | 2.2 | النقطة الوهمية: 0,25؛ الجهة اليسرى: 0,375؛ الجهة اليمنى: 0,375 | | 2.3 | المناسيب: 0,25؛ المسافات: 0,25 | | 2.4 | الحفر: 0,25؛ الردم: 0,25 | | 2.5 | التسمية: 0,25؛ الحجم والكتلة: 0,25 |

ملاحظة للامتحان

• اكتب قبل كل X جملة الحالة: «الأرض تصعد نحو الخارج والمنحدر يصعد: الاتجاه نفسه، نطرح». المصحّح ينقطها.
• في جهة الحفر تحسب Y عند $6{,}50\ m$ لا عند $5{,}00\ m$، لأن المنحدر يبدأ بعد الخندق.
• نوع الجهة يُحدَّد عند حافة المسطّحة لا في المحور: محور P3 في الحفر لكن جهته اليمنى تنتهي في الردم.

أخطاء شائعة

• نسيان النقطة الوهمية في الجدول، فتُحسب مساحة الردم بشبه منحرف واحد من المحور إلى الحافة خطأً.
• كتابة المسافة المتراكمة لرأس المنحدر $0{,}93\ m$ بدل $6{,}50 + 0{,}93 = 7{,}43\ m$.
• ضرب السمك $7$ مباشرة في حجم الطبقة دون تحويله إلى $0{,}07\ m$، فيخرج الحجم أكبر مئة مرة.

4. حل السؤال 3: الجسر (نقطتان)

الطريقة

أسئلة الجسر في البكالوريا ثلاثة أنواع: تصنيف المنشأة حسب معايير مستقلة، وتسمية عناصر مرقّمة على رسم مع دورها أحيانا، وحساب بسيط (خلوص، طول، عدد المساند، إجهاد على جهاز ارتكاز). التسمية لا تُخمَّن: نحدّد موقع العنصر في مسار الحمولة (السطح ⇐ أجهزة الارتكاز ⇐ المساند ⇐ الأساسات ⇐ التربة)، ثم نختار اسمه.

3.1 تصنيف الجسر (0,5 ن)

| المعيار | الصنف | التعليل | |---|---|---| | الغرض | جسر طريق (pont-route) | يحمل الطريق الولائي فوق الوادي | | المادة | جسر مختلط فولاذ وخرسانة (mixte) | روافد فولاذية IPE تحمل بلاطة من الخرسانة المسلحة | | البنية | جسر بروافد (à poutres) | روافد طولية تعمل بالانحناء وتنقل الحمولة إلى أجهزة الارتكاز | | الأهمية | قليل الأهمية | الطول $12{,}50\ m$ أقل من $50\ m$ |

ونستنتج أيضا: مجازان ⇐ ركيزة وسطية واحدة ($2 - 1 = 1$) ومتكآن، أي ثلاثة مساند. والمجازان مستقلان: لكل مجاز رافداته الخاصة المرتكزة على جهازين، لذلك ندرس رافدة مجاز واحد كرافدة على مسندين في السؤال 4.

3.2 تسمية العناصر (1 ن)


نقرأ الرسم من الأعلى إلى الأسفل: فوق السطح حاجز الراجلين، ثم طبقات السطح، ثم أجهزة الارتكاز، ثم الركيزة بعارضتها وعمودها، ثم المتكأ وخلفه البلاطة الانتقالية تحت الطريق.

| الرقم | العنصر | الدور | |---|---|---| | 1 | واقي الأجسام (garde-corps) | يحمي الراجلين من السقوط من الجسر | | 2 | بلاطة السطح (dalle, hourdis) | تحمل الحمولات المباشرة وتوزّعها على الروافد | | 3 | الرافدة الرئيسية IPE (poutre principale) | تحمل البلاطة وتنقل الحمولة بالانحناء إلى أجهزة الارتكاز | | 4 | جهاز الارتكاز (appareil d'appui) | ينقل رد فعل الرافدة إلى المسند ويسمح بالدوران والتمدد | | 5 | العارضة أو رافدة التاج (chevêtre) | تحمل أجهزة الارتكاز فوق الركيزة وتوزّع الحمولة على الأعمدة | | 6 | العمود أو الجذع (colonne, fût) | ينقل الحمولة من العارضة إلى القاعدة | | 7 | الجدار الجبهي للمتكأ C1 (mur de front) | يحمل طرف السطح ويقاوم دفع تربة الردم | | 8 | البلاطة الانتقالية (dalle de transition) | تمنع القفزة بين الردم الذي يهبط والمتكأ الذي لا يهبط |

وتظهر في الرسم أيضا عناصر غير مرقّمة: القاعدة (semelle) تحت كل مسند، والجدار الواقي (mur garde-grève) فوق الجدار الجبهي يحجز الردم خلف طرف السطح، وفاصل القارعة (joint de chaussée) في الفراغ بين طرف السطح والجدار الواقي.

3.3 الخلوص (0,5 ن)

الخلوص (tirant d'air) هو الارتفاع الحر بين أسفل السطح وأعلى مستوى للماء (PHE). أسفل السطح هو أسفل الرافدة: $ Z_{inf} = 343{,}27 - 0{,}64 = 342{,}63\ m $ $ TA = 342{,}63 - 341{,}40 = 1{,}23\ m $ وبما أن $1{,}23\ m \ge 1{,}00\ m$ فالشرط محقق: مياه الفيضان والأجسام الطافية تمر تحت الجسر بهامش $0{,}23\ m$.

مثال إضافي: لو كانت الرافدة أعلى

لو اختير لاحقا (في السؤال 4) مجنب IPE 400 بدل IPE 360، لزاد سمك السطح $0{,}04\ m$ وأصبح $0{,}68\ m$، فيصبح أسفل السطح $343{,}27 - 0{,}68 = 342{,}59\ m$ والخلوص $1{,}19\ m$: ما زال مقبولا. أما رافدة ارتفاعها $0{,}60\ m$ فتعطي سمكا $0{,}88\ m$ وخلوصا $343{,}27 - 0{,}88 - 341{,}40 = 0{,}99\ m$، أقل من $1{,}00\ m$: نرفض الحل أو نرفع منسوب الطريق. هكذا يرتبط اختيار الرافدة بشرط وظيفي للجسر.

سلّم التنقيط المقترح

| السؤال | العناصر المنقطة | |---|---| | 3.1 | أربعة معايير: 0,125 لكل معيار مع تعليل الأهمية بالطول | | 3.2 | ثمانية عناصر: 0,125 لكل عنصر | | 3.3 | أسفل السطح: 0,25؛ الخلوص والحكم: 0,25 |

ملاحظة للامتحان

• التصنيف حسب الأهمية يعتمد الطول الكلي للجسر، لا مدى أكبر مجاز.
• اكتب المصطلح الفرنسي بين قوسين بعد الاسم العربي، فأسماء عناصر الجسر تختلف بين الكتب (الركيزة، الدعامة، المسند…).
• الخلوص يُقاس من أسفل الرافدة، لا من أسفل البلاطة ولا من سطح الطريق.

أخطاء شائعة

• الخلط بين المتكأ (culée، في الطرفين، يسند الردم) والركيزة الوسطية (pile، بين مجازين، لا تسند تربة).
• تسمية جهاز الارتكاز «قاعدة» أو «وسادة»: دوره نقل الحمولة مع السماح بالدوران والتمدد.
• طرح سمك البلاطة وحدها في حساب الخلوص فنجد $1{,}67\ m$ بدل $1{,}23\ m$.

5. حل السؤال 4: رافدة السطح في الانحناء المستوي البسيط (6,5 نقاط)

الطريقة

نتبع خطوات درس الانحناء المستوي البسيط واصطلاحه:

• ردود الأفعال بمعادلات التوازن، ثم التحقق بمعادلة ثالثة؛
• المقطع على بعد x من المسند الأيسر A، ونعتبر القوى على يسار المقطع: T مجموع القوى الشاقولية (الصاعدة موجبة)، و Mf مجموع عزومها حول المقطع (الانحناء المقعّر نحو الأعلى موجب)؛
• مجال جديد عند كل حمولة مركزة: هنا مجالان، $0 \le x \le 2$ و $2 \le x \le 6$؛
• $M_{f,max}$ حيث يغيّر T إشارته؛
• شرط المقاومة $\sigma_{max} = M_{f,max}/W_x \le \bar{\sigma}$ لاختيار المجنب، ثم $\tau_{max} \approx T_{max}/(h \cdot a)$ لروح IPE.

4.1 ردود الأفعال (1 ن)

العزوم موجبة في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة. الحمولة الموزعة تكافئ قوة $Q = 10 \times 6 = 60\ kN$ في منتصف الرافدة ($3{,}00\ m$ من A). لا توجد حمولة أفقية، فـ $H_A = 0$. $ \sum M_{/A} = 6 V_B - 60 \times 2 - 60 \times 3 = 0 $ $ V_B = \frac{120 + 180}{6} = 50\ kN $ $ \sum F_y = V_A + V_B - 60 - 60 = 0 $ أي $V_A = 120 - 50 = 70\ kN$.

تحقق بالعزوم حول B: $ \sum M_{/B} = -6 V_A + 60 \times 4 + 60 \times 3 $ أي $-420 + 240 + 180 = 0$: النتيجة صحيحة. ومنطقيا $V_A > V_B$ لأن الحمولة المركزة أقرب إلى A.

4.2 معادلات T و Mf (1,5 ن)

المجال 1: $0 \le x \le 2\ m$ (على يسار المقطع: $V_A$ والحمولة الموزعة على طول x): $ T(x) = 70 - 10x $ $ M_f(x) = 70x - 5x^2 $

• $x = 0$: $T = 70\ kN$، $M_f = 0$؛
• $x = 2$: $T = 50\ kN$، $M_f = 140 - 20 = 120\ kN\cdot m$.

المجال 2: $2 \le x \le 6\ m$ (تضاف الحمولة P على بعد $x - 2$ من المقطع): $ T(x) = 70 - 60 - 10x = 10 - 10x $ $ M_f(x) = 70x - 60(x - 2) - 5x^2 $ أي $M_f(x) = -5x^2 + 10x + 120$.

• $x = 2$: $T = -10\ kN$، $M_f = 120\ kN\cdot m$ (القيمة نفسها من المجالين: Mf متصل)؛
• $x = 4$: $T = -30\ kN$، $M_f = -80 + 40 + 120 = 80\ kN\cdot m$؛
• $x = 6$: $T = -50\ kN$، $M_f = -180 + 60 + 120 = 0$.

تحقق: $T(6) = -50\ kN = -V_B$ و $M_f(6) = 0$ عند المسند البسيط: المعادلتان صحيحتان.

4.3 المنحنيان بالسلّم (1 ن)

بالسلّم $1\ cm$ لـ $20\ kN$: $T = 70$ ⇐ $3{,}5\ cm$، و $50$ ⇐ $2{,}5\ cm$، و $-10$ ⇐ $-0{,}5\ cm$، و $-50$ ⇐ $-2{,}5\ cm$. وبالسلّم $1\ cm$ لـ $40\ kN\cdot m$: $M_f = 120$ ⇐ $3\ cm$، و $80$ ⇐ $2\ cm$.


يبيّن الشكل الرافدة بردي فعلها، ثم منحنى T: قطعتان مستقيمتان مائلتان (ميلهما $-q = -10\ kN/m$) بينهما قفزة بمقدار $P = 60\ kN$ تحت الحمولة المركزة (من $+50$ إلى $-10\ kN$). ثم منحنى Mf: قوسان من قطع مكافئ يلتقيان في رأس زاوي عند $x = 2\ m$ حيث $M_f = 120\ kN\cdot m$، والقيم الموجبة فوق المحور.

4.4 العزم الأعظمي واختيار المجنب (1,25 ن)

T يغيّر إشارته عند $x = 2\ m$ (من $+50$ إلى $-10\ kN$)، فعزم الانحناء أعظمي هناك: $ M_{f,max} = 120\ kN\cdot m $ (في المجال 2 ينعدم $10 - 10x$ عند $x = 1\ m$، خارج المجال، فلا قيمة عظمى أخرى.)

شرط المقاومة: $ W_{nec} = \frac{M_{f,max}}{\bar{\sigma}} = \frac{120 \cdot 10^6}{160} $ أي $W_{nec} = 750\,000\ mm^3 = 750\ cm^3$، ونبحث عن أصغر مجنب يحقق $W_x \ge W_{nec}$. في الجدول: IPE 330 ($713\ cm^3$) لا يكفي، و IPE 360 ($904\ cm^3$) يكفي، فنختار IPE 360.

تحقق: $ \sigma_{max} = \frac{120 \cdot 10^6}{904 \cdot 10^3} $ أي $\sigma_{max} = 132{,}7\ MPa$. وبما أن $132{,}7\ MPa \le 160\ MPa$ فالشرط محقق.

4.5 الإجهاد المماسي (0,75 ن)

أكبر جهد قاطع بالقيمة المطلقة $T_{max} = 70\ kN$ عند A. في مجنب IPE تتحمّل الروح الجهد القاطع، فنأخذ $\tau_{max} \approx T_{max}/(h \cdot a)$ مع $h = 360\ mm$ و $a = 8{,}0\ mm$: $ \tau_{max} = \frac{70\,000}{360 \times 8{,}0} $ أي $\tau_{max} = 24{,}3\ MPa$. وبما أن $24{,}3\ MPa \le 100\ MPa$ فالشرط محقق بهامش كبير: في روافد الجسور القصيرة يحكم الانحناء غالبا لا القص.

4.6 جهاز الارتكاز (1 ن)

دوره: ينقل رد فعل الرافدة الشاقولي إلى المسند، ويسمح بدوران طرف الرافدة حين تنحني، وبانتقالها الأفقي حين يتمدد السطح أو ينكمش مع الحرارة. الجهاز في A ثابت (يقابل المسند المزدوج) والجهاز في B متحرك (يقابل المسند البسيط).

الإجهاد المتوسط في A: الحمولة هي $V_A = 70\ kN$ والمساحة $150 \times 200 = 30\,000\ mm^2$: $ \sigma_m = \frac{70\,000}{30\,000} = 2{,}33\ MPa $ وبما أن $2{,}33\ MPa \le 15\ MPa$ فالشرط محقق. (في B الحمولة أصغر، $50\ kN$، فالشرط محقق من باب أولى.)

سلّم التنقيط المقترح

| السؤال | العناصر المنقطة | |---|---| | 4.1 | $V_B$: 0,25؛ $V_A$: 0,25؛ التحقق: 0,25؛ $H_A = 0$: 0,25 | | 4.2 | لكل مجال: T بـ 0,25 و Mf بـ 0,5 مع القيم الحدية | | 4.3 | منحنى T: 0,5؛ منحنى Mf: 0,5 (السلّم والقيم والإشارات) | | 4.4 | $M_{f,max}$ وموضعه: 0,25؛ $W_x$ المطلوب: 0,5؛ الاختيار: 0,25؛ التحقق: 0,25 | | 4.5 | العلاقة والحساب: 0,5؛ الحكم: 0,25 | | 4.6 | الدور: 0,5؛ الحساب والحكم: 0,5 |

ملاحظة للامتحان

• مع حمولة مركزة وحمولة موزعة معا، $M_{f,max}$ ليس $qL^2/8$ ولا $PL/4$ ولا مجموعهما: نحسبه من المعادلات حيث يغيّر T إشارته.
• اكتب تحويل الوحدات صراحة: $kN\cdot m$ إلى $N\cdot mm$ بالضرب في $10^6$، و $mm^3$ إلى $cm^3$ بالقسمة على $1000$.
• نختار أصغر مجنب يحقق الشرط، لا أي مجنب أكبر.

أخطاء شائعة

• نسيان الحمولة الموزعة في معادلة المجال 2، أو كتابة عزمها $10x \times x$ بدل $10x \times x/2$.
• اختيار IPE 330 لأن $713$ «قريب» من $750\ cm^3$: الشرط $W_x \ge 750\ cm^3$ إلزامي.
• حساب $\tau$ بمساحة المقطع كله $S = 72{,}7\ cm^2$: نجد $9{,}6\ MPa$ ونقلّل الإجهاد الحقيقي في الروح.

6. حل السؤال 5: عمود الركيزة بالخرسانة المسلحة (4,5 نقاط)

الطريقة

نتبع الخطوات الثماني لتحجيم عمود في الانضغاط البسيط حسب BAEL، في الحالة النهائية الأخيرة ELU:

| الخطوة | العلاقة | |---|---| | 1. الجهد | $N_u = 1{,}35\,G + 1{,}5\,Q$ | | 2. طول التحدب | $l_f = 0{,}7 \cdot l_0$ (معطى في الموضوع) | | 3. النحافة لمقطع دائري | $\lambda = 4 l_f / D$ | | 4. المعامل (إذا $\lambda \le 50$) | $\alpha = 0{,}85/[1 + 0{,}2(\lambda/35)^2]$ | | 5. المقطع المختصر | $B_r = \pi (D - 2)^2/4$ (cm) | | 6. التسليح النظري | $A_{th} = [N_u/\alpha - B_r f_{c28}/(0{,}9\gamma_b)]\,\gamma_s/f_e$ | | 7. الحدود | $A_{min} = \max(4u\ ;\ 0{,}2\,\%\,B)$ (u بالمتر) و $A_{max} = 5\,\%\,B$ | | 8. التسليح العرضي | $\phi_t \ge \phi_{l,max}/3$ و $S_t \le \min(40\ cm\ ;\ D + 10\ cm\ ;\ 15\,\phi_{l,min})$ |

5.1 الجهد الناظمي (0,5 ن)

$ N_u = 1{,}35 \times 600 + 1{,}5 \times 360 $ أي $N_u = 810 + 540 = 1350\ kN = 1{,}35\ MN$. (للمقارنة، $N_{ser} = 600 + 360 = 960\ kN$، ولا نحتاجه في تحجيم العمود.)

5.2 طول التحدب والنحافة و α (1 ن)

العمود موثوق في القاعدة ومربوط بالعارضة: $ l_f = 0{,}7 \times 3{,}50 = 2{,}45\ m $ لمقطع دائري نصف قطر الدوران $i = D/4$، فـ: $ \lambda = \frac{4 \times 245}{35} = 28{,}0 $ وبما أن $\lambda = 28 \le 50$: $ \alpha = \frac{0{,}85}{1 + 0{,}2\,(28/35)^2} $ أي $\alpha = 0{,}85/1{,}128 = 0{,}754$.

5.3 المقطع المختصر والتسليح النظري (1 ن)

نحذف $1\ cm$ من المحيط كله، أي $2\ cm$ من القطر: $ B_r = \frac{\pi \times 33^2}{4} = 855{,}3\ cm^2 $ أي $B_r = 85\,530\ mm^2$. نحسب الحدّين بالنيوتن:

• $N_u/\alpha = 1\,350\,000/0{,}7535 = 1\,791\,500\ N$ تقريبا (نحتفظ بأربعة أرقام في α أثناء الحساب)؛
• ما تتحمّله الخرسانة المختصرة: $N_b = B_r f_{c28}/(0{,}9\,\gamma_b) = 85\,530 \times 25/1{,}35 = 1\,583\,900\ N$ تقريبا.

$ A_{th} = 207\,600 \times \frac{1{,}15}{400} $ حيث $207\,600\ N$ هو الفرق $N_u/\alpha - N_b = 1\,791\,500 - 1\,583\,900$، أي $A_{th} = 207\,600 \times 0{,}002875 = 597\ mm^2 = 5{,}97\ cm^2$.

> معنى النتيجة: الجهد المصحّح بالتحدب $N_u/\alpha \approx 1792\ kN$، والخرسانة المختصرة وحدها تتحمّل $N_b \approx 1584\ kN$، فالقضبان تتحمّل الباقي، أي نحو $208\ kN$. لو كان الفرق سالبا لكفت الخرسانة وحدها، ولأخذنا التسليح الأدنى.

5.4 التسليح الأدنى والأقصى واختيار القضبان (0,75 ن)

• المحيط $u = \pi \times 0{,}35 = 1{,}10\ m$، فـ $4u = 4 \times 1{,}10 = 4{,}40\ cm^2$؛
• المقطع $B = \pi \times 35^2/4 = 962{,}1\ cm^2$، فـ $0{,}2\,\%\,B = 1{,}92\ cm^2$؛
• $A_{min} = \max(4{,}40\ ;\ 1{,}92) = 4{,}40\ cm^2$؛
• $A_{max} = 5\,\% \times 962{,}1 = 48{,}1\ cm^2$.

$ A = \max(A_{th}\ ;\ A_{min}) = 5{,}97\ cm^2 $ في المقطع الدائري لا يقل عدد القضبان الطولية عن 6 قضبان موزّعة بانتظام على المحيط. نختار 6HA12 بمساحة $6 \times 1{,}13 = 6{,}79\ cm^2$، وهي أكبر من $5{,}97\ cm^2$ وأقل من $A_{max}$. (6HA10 تعطي $4{,}74\ cm^2$ فقط، لا تكفي.)

5.5 التسليح العرضي (0,5 ن)

• القطر: $\phi_t \ge 12/3 = 4\ mm$، فنأخذ أصغر قطر مستعمل ⌀6 (إطارات دائرية، cerces)؛
• التباعد: $S_t \le \min(40\ cm\ ;\ 35 + 10 = 45\ cm\ ;\ 15 \times 1{,}2 = 18\ cm) = 18\ cm$، فنأخذ $S_t = 15\ cm$.

5.6 رسم التسليح (0,75 ن)


يبيّن الشكل على اليسار المنظر الطولي للعمود بين القاعدة والعارضة ($l_0 = 3{,}50\ m$): القضبان الطولية تدخل في القاعدة بخطاطيف وتصعد في العارضة، والإطارات الدائرية الخضراء كل $15\ cm$. وعلى اليمين المقطع A-A: دائرة قطرها $35\ cm$، الإطار الدائري ⌀6 على بعد التغطية $3\ cm$ من الوجه، والقضبان الستة HA12 موزعة بزاوية $60°$ بينها، أي بتباعد نحو $14\ cm$ بين محاورها، وهو تباعد مقبول.

سلّم التنقيط المقترح

| السؤال | العناصر المنقطة | |---|---| | 5.1 | العلاقة: 0,25؛ النتيجة: 0,25 | | 5.2 | $l_f$: 0,25؛ λ: 0,25؛ اختيار العلاقة و α: 0,5 | | 5.3 | $B_r$: 0,25؛ $A_{th}$: 0,75 | | 5.4 | $A_{min}$ و $A_{max}$: 0,25؛ A والاختيار: 0,5 | | 5.5 | $\phi_t$: 0,25؛ $S_t$: 0,25 | | 5.6 | المقطع: 0,5؛ المنظر الطولي: 0,25 |

ملاحظة للامتحان

• النحافة للمقطع الدائري $4 l_f/D$ وللمستطيل $2\sqrt{3}\,l_f/a$: لا تخلط بينهما.
• استعمل $l_f$ لا $l_0$ في λ؛ مع $l_0$ نجد $\lambda = 40$ فيصغر α ويكبر التسليح خطأً.
• احتفظ بالوحدات منسجمة: $N$ و $mm^2$ و $MPa$، ثم حوّل النتيجة إلى $cm^2$ للاختيار من الجدول.

أخطاء شائعة

• حساب $B_r$ بطرح التغطية $3\ cm$ مرتين من القطر: الحذف الاصطلاحي $1\ cm$ من كل حافة مهما كانت التغطية.
• نسيان $\gamma_s/f_e$ أو كتابة $f_e/\gamma_s$ في آخر علاقة $A_{th}$.
• اختيار 4 قضبان لمقطع دائري، أو تباعد إطارات $20\ cm$ أكبر من $15\,\phi_{l,min} = 18\ cm$.

7. موضوع ثانٍ للتدرّب: طريق بلدي وممر للراجلين ومحطة حافلات

نص الموضوع (20 نقطة)

تهيّئ بلدية طريقا بلديا يمرّ قرب مدرسة. يتضمّن المشروع منعرجا، وممرا علويا للراجلين بنظام مثلثي فولاذي فوق قناة تصريف، ومظلة محطة حافلات سقفها مربوط بشداد من الخرسانة المسلحة. حاول الإجابة كاملة قبل قراءة الحل.

التمرين 1: الطريق (6 نقاط)

المعطيات: الزاوية بين الترصيفين عند رأس المنعرج S هي $\beta = 140°$، ونصف قطر المنعرج $R = 120\ m$، والمسافة المتراكمة لـ S مقيسة على الترصيف الأول $210{,}00\ m$. المظهر العرضي P8 في حفر كامل: مساحة الحفر $7{,}20\ m^2$ وعمق الحفر في المحور $0{,}90\ m$. المظهر P9 الذي يليه على $25{,}00\ m$ في ردم كامل: مساحة الردم $4{,}80\ m^2$ وارتفاع الردم في المحور $0{,}60\ m$. الميل العرضي للقارعة $2{,}5\ \%$ والمسلك $3{,}50\ m$.

• احسب زاوية الانحراف α، وطول المماس T، وطول القوس L، والمسافتين المتراكمتين لبداية المنعرج A ونهايته B. (2 ن)
• حدّد موضع المظهر الوهمي بين P8 و P9، واحسب حجمي الحفر والردم بينهما. (2,5 ن)
• احسب انخفاض حافة القارعة عن المحور. (0,5 ن)
• قارن بين القارعة المرنة والقارعة الصلبة (التركيب وطريقة العمل). (1 ن)

التمرين 2: الممر العلوي للراجلين (8 نقاط)


المعطيات: نظام مثلثي (الشكل) مداه $6{,}00\ m$ وارتفاعه $2{,}00\ m$: العقد السفلية A و C و B، والعلوية D و E في منتصفي المجالين. A مسند مزدوج و B مسند بسيط. الحمولات: $160\ kN$ في C (ممشى الراجلين معلّق بالحزام السفلي) و $40\ kN$ في كل من D و E (غطاء الممر). القضبان المائلة طولها $2{,}50\ m$، فـ $\sin \theta = 0{,}8$ و $\cos \theta = 0{,}6$ (θ زاويتها مع الأفق). الفولاذ: $\bar{\sigma} = 160\ MPa$، $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$. مقتطف من جدول الزوايا: L45×45×4,5 ($3{,}90\ cm^2$)، L50×50×5 ($4{,}80\ cm^2$)، L60×60×6 ($6{,}91\ cm^2$).

• تحقق من أن النظام محدّد سكونيا. (0,5 ن)
• احسب ردود الأفعال. (1 ن)
• احسب الجهود في القضبان بعزل العقد A ثم D ثم C، ولخّصها في جدول. (3,5 ن)
• القضبان كلها من زاويتين متماثلتين ظهرا لظهر: اختر الزاوية المناسبة. (1,5 ن)
• احسب استطالة القضيب 1. (1,5 ن)

التمرين 3: شداد مظلة المحطة (6 نقاط)

المعطيات: شداد بمقطع $20 \times 20\ cm$، الجهد الناظمي فيه من الحمولة الدائمة $N_G = 120\ kN$ ومن الحمولة المتغيرة $N_Q = 60\ kN$. $f_{c28} = 25\ MPa$، فولاذ HA FeE400، $\gamma_s = 1{,}15$، $\eta = 1{,}6$، التشقق ضار (préjudiciable) لأن الشداد معرّض للأمطار، والتغطية $2{,}5\ cm$.

• احسب $N_u$ و $N_{ser}$. (1 ن)
• احسب المقطع $A_u$. (1 ن)
• احسب $\bar{\sigma}_s$ و $A_{ser}$. (1,5 ن)
• حدّد المقطع اللازم واختر القضبان. (1 ن)
• تحقق من شرط عدم الهشاشة. (0,5 ن)
• حدّد قطر الإطارات وارسم مقطع الشداد. (1 ن)

الحل

التمرين 1

1. الزاوية بين الترصيفين وزاوية الانحراف متكاملتان: $\alpha = 180° - 140° = 40°$. $ T = 120 \times \tan 20° = 43{,}68\ m $ $ L = \frac{\pi \times 120 \times 40}{180} = 83{,}78\ m $ $s_A = 210{,}00 - 43{,}68 = 166{,}32\ m$، و $s_B = 166{,}32 + 83{,}78 = 250{,}10\ m$. والمنعرج يختصر $2T - L = 3{,}58\ m$.

2. الطريق ينتقل من حفر كامل إلى ردم كامل، فبينهما مظهر وهمي مساحتاه منعدمتان: $ x_1 = \frac{0{,}90 \times 25{,}00}{0{,}90 + 0{,}60} $ أي $x_1 = 22{,}50/1{,}50 = 15{,}00\ m$ من P8، و $x_2 = 25{,}00 - 15{,}00 = 10{,}00\ m$ من P9. ثم كل حجم على طوله: $ V_d = 15{,}00 \times \frac{7{,}20 + 0}{2} $ $ V_r = 10{,}00 \times \frac{0 + 4{,}80}{2} $ أي $V_d = 54{,}00\ m^3$ و $V_r = 24{,}00\ m^3$. فائض الحفر $54 - 24 = 30\ m^3$ يُستعمل في ردم أجزاء أخرى من الطريق. (لو طبّقنا متوسط المساحات على $25\ m$ كاملة لوجدنا $90\ m^3$ و $60\ m^3$، وهما مضخّمان.)

3. $\Delta h = 3{,}50 \times 0{,}025 = 0{,}0875\ m$، أي حافة القارعة أخفض من المحور بنحو $0{,}09\ m$.

4.

| المعيار | القارعة المرنة | القارعة الصلبة | |---|---|---| | التركيب | طبقة سير زفتية رقيقة فوق طبقات حبيبية غير معالجة (حصى، تف) | بلاطة من الخرسانة الإسمنتية نحو $20$ إلى $25\ cm$ فوق طبقة أساس معالجة، بفواصل | | طريقة العمل | تنتشر الحمولة تدريجيا عبر سمك الطبقات | البلاطة تعمل بالانحناء وتوزّع الحمولة على مساحة واسعة | | الكلفة والصيانة | إنجاز أرخص، صيانة دورية | إنجاز أغلى، صيانة قليلة |

التمرين 2

1. $n = 5$ عقد و $b = 7$ قضبان، و $2n - 3 = 7 = b$: النظام محدّد سكونيا داخليا، ومسنداه (مزدوج وبسيط) يعطيان ثلاثة مجاهيل خارجية تحلّها معادلات التوازن الثلاث.

2. الحمولات متناظرة بالنسبة لمحور C: المجموع $160 + 40 + 40 = 240\ kN$، فـ $V_A = V_B = 120\ kN$ و $H_A = 0$. تحقق بالعزوم حول A (الموجب عكس عقارب الساعة): $6 V_B - 40 \times 1{,}5 - 160 \times 3 - 40 \times 4{,}5 = 720 - 60 - 480 - 180 = 0$.

3. نفترض كل القضبان مشدودة (الجهد يبتعد عن العقدة)، والإشارة تعطي الطبيعة.

العقدة A (القضيبان 1 أفقي و 3 مائل نحو D):

• $\sum F_y = 120 + 0{,}8\,N_3 = 0$، فـ $N_3 = -150\ kN$ (انضغاط)؛
• $\sum F_x = N_1 + 0{,}6\,N_3 = 0$، فـ $N_1 = +90\ kN$ (شد).

العقدة D (القضبان 3 نحو A، و 4 نحو C، و 7 نحو E، والحمولة $40\ kN$):

• $\sum F_y = -0{,}8\,N_3 - 0{,}8\,N_4 - 40 = 0$، أي $120 - 0{,}8\,N_4 - 40 = 0$، فـ $N_4 = +100\ kN$ (شد)؛
• $\sum F_x = -0{,}6\,N_3 + 0{,}6\,N_4 + N_7 = 0$، أي $90 + 60 + N_7 = 0$، فـ $N_7 = -150\ kN$ (انضغاط).

العقدة C (القضبان 1 و 2 و 4 و 5، والحمولة $160\ kN$):

• $\sum F_y = 0{,}8\,N_4 + 0{,}8\,N_5 - 160 = 0$، فـ $N_5 = +100\ kN$ (شد)؛
• $\sum F_x = -N_1 + N_2 - 0{,}6\,N_4 + 0{,}6\,N_5 = 0$، فـ $N_2 = +90\ kN$ (شد).

وبالتناظر $N_6 = N_3 = -150\ kN$. تحقق في العقدة B: $\sum F_y = 120 + 0{,}8 \times (-150) = 0$.

| القضيب | الجهد (kN) | الطبيعة | |---|---|---| | 1 (AC) | +90 | شد | | 2 (CB) | +90 | شد | | 3 (AD) | −150 | انضغاط | | 4 (DC) | +100 | شد | | 5 (CE) | +100 | شد | | 6 (EB) | −150 | انضغاط | | 7 (DE) | −150 | انضغاط |

4. $N_{max} = 150\ kN$ (بالقيمة المطلقة). زاويتان والجدول لزاوية واحدة، فتحمل كل زاوية $N/2$: $ S_{1L} \ge \frac{150\,000}{2 \times 160} $ أي $S_{1L} \ge 468{,}8\ mm^2 = 4{,}69\ cm^2$ لكل زاوية: L45×45×4,5 ($3{,}90\ cm^2$) لا تكفي، فنختار 2L50×50×5 ($4{,}80\ cm^2$ للواحدة). تحقق: $\sigma = 150\,000/(2 \times 480) = 156{,}25\ MPa \le 160\ MPa$. (القضبان المضغوطة تُراجَع في الواقع للتحدب؛ الموضوع يكتفي بشرط المقاومة.)

5. القضيب 1: $N = 90\ kN$، $L = 3{,}00\ m$، $S = 960\ mm^2$: $ \Delta L = \frac{90\,000 \times 3000}{2 \cdot 10^5 \times 960} $ أي $\Delta L = 1{,}41\ mm$ (استطالة لأن القضيب مشدود).

التمرين 3

1. $N_u = 1{,}35 \times 120 + 1{,}5 \times 60 = 162 + 90 = 252\ kN$؛ و $N_{ser} = 120 + 60 = 180\ kN$.

2. $f_{su} = 400/1{,}15 = 347{,}83\ MPa$: $ A_u = \frac{252\,000}{347{,}83} = 724{,}5\ mm^2 $ أي $A_u = 7{,}24\ cm^2$.

3. $f_{t28} = 0{,}6 + 0{,}06 \times 25 = 2{,}1\ MPa$. التشقق ضار: $ \bar{\sigma}_s = \min(\tfrac{2}{3} f_e\ ;\ 110\sqrt{\eta f_{t28}}) $ أي $\bar{\sigma}_s = \min(266{,}67\ ;\ 110\sqrt{3{,}36} = 201{,}63) = 201{,}63\ MPa$، و: $ A_{ser} = \frac{180\,000}{201{,}63} $ أي $A_{ser} = 892{,}7\ mm^2 = 8{,}93\ cm^2$.

4. $A = \max(7{,}24\ ;\ 8{,}93) = 8{,}93\ cm^2$: الحالة النهائية للاستعمال هي التي تحكم. نختار 6HA14 ($6 \times 1{,}54 = 9{,}24\ cm^2$)، ثلاثة قضبان في كل من وجهين متقابلين، توزيع متناظر، فـ $A_r = 9{,}24\ cm^2 \ge 8{,}93\ cm^2$. (4HA16 تعطي $8{,}04\ cm^2$ فقط.) الاتساع: العرض داخل الإطار $20 - 2 \times 2{,}5 - 2 \times 0{,}6 = 13{,}8\ cm$، وتبقى بين القضبان الثلاثة ⌀14 مسافتان حرتان $(13{,}8 - 4{,}2)/2 = 4{,}8\ cm$: كافيتان.

5. الشرط $A \cdot f_e \ge B \cdot f_{t28}$، أي $A_{min} = B \cdot f_{t28}/f_e = 400 \times 2{,}1/400 = 2{,}10\ cm^2$. وبما أن $A_r = 9{,}24\ cm^2 \ge 2{,}10\ cm^2$ (أو بالقوى: $369{,}6\ kN \ge 84\ kN$) فشرط عدم الهشاشة محقق.

6. $\phi_t \ge 14/3 = 4{,}7\ mm$، فنأخذ إطارا ⌀6 مع مشبك (épingle) ⌀6 يربط القضيبين الأوسطين.


يبيّن الشكل مقطع الشداد: ستة قضبان HA14 في وجهين متقابلين، يحيط بها إطار أخضر ⌀6 على بعد التغطية $2{,}5\ cm$ من الوجه، ومشبك برتقالي يربط القضيبين الأوسطين ليمنع انتفاخ الإطار.

ملاحظة للامتحان

• في التمرين 1 الزاوية المعطاة هي الزاوية بين الترصيفين β، فنحسب أولا $\alpha = 180° - \beta$ قبل T و L.
• في النظام المثلثي ابدأ بعقدة فيها مجهولان فقط (A أو B)، واكتب الجدول بإشارة كل جهد وطبيعته.
• في الشداد قارن $A_u$ و $A_{ser}$ دائما: مع التشقق الضار كثيرا ما تحكم الحالة النهائية للاستعمال.