الطبوغرافيا: الإحداثيات والسمت الإحداثي

3. الحالات الخاصة والسمت المعاكس والتحقق من النتيجة

الحالات الخاصة: أحد الفرقين معدوم

إذا انعدم $\Delta Y$ لا يمكن حساب $\tan g = |\Delta X|/|\Delta Y|$ (قسمة على صفر)، وإذا انعدم $\Delta X$ تكون $g = 0$ ولا نعرف الربع. في هذه الحالات يكون الاتجاه موازيا لأحد المحورين، فنقرأ السمت مباشرة:

| ΔX | ΔY | الاتجاه AB | السمت $G_{AB}$ | |---|---|---|---| | 0 | موجب | نحو الشمال | $0\ gr$ (أو $400\ gr$) | | موجب | 0 | نحو الشرق | $100\ gr$ | | 0 | سالب | نحو الجنوب | $200\ gr$ | | سالب | 0 | نحو الغرب | $300\ gr$ |


يبين الشكل الاتجاهات الأربعة الموازية للمحورين انطلاقا من النقطة A، مع شرط كل حالة على الفرقين والسمت المقابل. لاحظ أن الشمال يوافق $0\ gr$ وهو نفسه $400\ gr$ بعد دورة كاملة.

مثال: $A(150{,}00\ ;\ 80{,}00)$ و $B(150{,}00\ ;\ 20{,}00)$: $\Delta X = 0$ و $\Delta Y = -60{,}00\ m$، فالاتجاه نحو الجنوب و $G_{AB} = 200\ gr$، و $L_{AB} = 60{,}00\ m$ مباشرة.

السمت المعاكس $G_{BA}$

في المعلم الطبوغرافي، شمال النقطة B يوازي شمال النقطة A (المحور Y واحد في كل الورشة). الاتجاهان AB و BA متعاكسان على المستقيم نفسه، فالفرق بين سمتيهما نصف دورة:

$ G_{BA} = G_{AB} \pm 200\ gr $

> نضيف 200 إذا كان $G_{AB} < 200\ gr$، ونطرح 200 إذا كان $G_{AB} \ge 200\ gr$، حتى تبقى النتيجة بين 0 و 400.


في الشكل سهما الشمال عند A و B متوازيان؛ القوس الأزرق هو $G_{AB}$ والقوس الأحمر $G_{BA}$، والقوس الأخضر المتقطع يبين أن الانتقال من امتداد AB (الخط المنقط بعد B) إلى الاتجاه BA نصف دورة، أي $200\ gr$.

مثالان:

• $G_{AB} = 59{,}67\ gr$ (أقل من 200) إذن $G_{BA} = 59{,}67 + 200 = 259{,}67\ gr$.
• $G_{CD} = 322{,}84\ gr$ (أكبر من 200) إذن $G_{DC} = 322{,}84 - 200 = 122{,}84\ gr$.

تحقق بالإحداثيات: للمثال الأول نعكس الفرقين: $\Delta X_{BA} = -64{,}40$ و $\Delta Y_{BA} = -47{,}30$، فالربع III و g لا تتغير ($59{,}67\ gr$)، و $G_{BA} = 200 + 59{,}67 = 259{,}67\ gr$. النتيجتان متطابقتان.

التحقق من السمت بالجيب وجيب التمام

في المثلث القائم الذي وتره $L_{AB}$ نجد علاقتين تبقيان صحيحتين بإشارتيهما في الأرباع الأربعة:

$ \sin G_{AB} = \frac{\Delta X}{L_{AB}} $

$ \cos G_{AB} = \frac{\Delta Y}{L_{AB}} $

تستعمل هاتان العلاقتان للتحقق: بعد حساب G نحسب $L \sin G$ و $L \cos G$ (الآلة على GRAD)، فيجب أن نجد ΔX و ΔY بإشارتيهما. أما استعمال $\sin^{-1}$ وحده لإيجاد G فخطير: الآلة تعيد دائما زاوية بين $-100$ و $+100\ gr$، فلا تميز بين الربع I والربع II مثلا.

مثال تحقق: وجدنا في الجزء السابق $G_{SP_3} = 235{,}56\ gr$ و $L = 94{,}34\ m$، مع $\Delta X = -50$ و $\Delta Y = -80$.

$ 94{,}34 \times \sin 235{,}56 = -50{,}00\ m $

$ 94{,}34 \times \cos 235{,}56 = -80{,}00\ m $

نجد الفرقين بإشارتيهما، فالسمت صحيح. لو كتبنا خطأ $264{,}44\ gr$ لوجدنا $\Delta X = -80$ و $\Delta Y = -50$، أي تبادل الفرقين، فيظهر الخطأ فورا.

مثال محلول شامل

$A(410{,}00\ ;\ 380{,}00)$ و $B(338{,}00\ ;\ 332{,}00)$. احسب $G_{AB}$ و $L_{AB}$ و $G_{BA}$ وتحقق.

• $\Delta X = 338 - 410 = -72{,}00\ m$ و $\Delta Y = 332 - 380 = -48{,}00\ m$.
• $\tan g = 72/48 = 1{,}5$ فـ $g = 62{,}57\ gr$.
• الفرقان سالبان: الربع III، و $G_{AB} = 200 + 62{,}57 = 262{,}57\ gr$.
• $L_{AB} = \sqrt{72^2 + 48^2} = \sqrt{7488} = 86{,}53\ m$.
• $G_{BA} = 262{,}57 - 200 = 62{,}57\ gr$ (ربع I، وهذا منطقي: A شمال شرق B).
• تحقق: $86{,}53 \times \sin 262{,}57 \approx -72{,}0$ و $86{,}53 \times \cos 262{,}57 \approx -48{,}0$ (يبقى فرق صغير لأن G مقرب إلى رقمين). صحيح.

أخطاء شائعة

• حساب $G_{BA} = 200 - G_{AB}$ أو $400 - G_{AB}$: هاتان ليستا علاقتي السمت المعاكس؛ الصحيح إضافة 200 أو طرحها.
• إضافة 200 دائما فتظهر قيمة أكبر من 400 (مثل 522,84 gr) دون إرجاعها إلى المجال.
• كتابة 100 للاتجاه نحو الشمال لأن «الزاوية قائمة»: الشمال هو مرجع السمت، فسمته 0.
• الاكتفاء بـ $\sin^{-1}(\Delta X/L)$ دون تحديد الربع.

> ملاحظة للامتحان: إذا طلب منك $G_{AB}$ ثم $G_{BA}$، احسب الأول بالإحداثيات واستنتج الثاني بإضافة أو طرح 200؛ ويمكنك التحقق بحسابه مباشرة من الفرقين المعكوسين.

4. الزاوية بين اتجاهين ونقل السمت في مسار

الزاوية الأفقية بين اتجاهين من محطة واحدة

إذا رصدنا من المحطة S نقطتين A و B، فإن الزاوية الأفقية من SA إلى SB، مقاسة مع عقارب الساعة، هي فرق السمتين:

$ \alpha = G_{SB} - G_{SA} $

> إذا كانت النتيجة سالبة نضيف لها $400\ gr$. والزاوية في الجهة الأخرى (من SB إلى SA مع عقارب الساعة) هي $400 - \alpha$.

مثال: $G_{SA} = 48{,}20\ gr$ و $G_{SB} = 312{,}70\ gr$. الزاوية من SA إلى SB مع عقارب الساعة: $312{,}70 - 48{,}20 = 264{,}50\ gr$، والزاوية من SB إلى SA: $400 - 264{,}50 = 135{,}50\ gr$. الزاوية الأصغر بين الاتجاهين إذن $135{,}50\ gr$.

وهذا ما يفعله جهاز المزولة (théodolite) في الميدان: دائرته الأفقية مدرجة بالغراد وتزيد قراءتها مع عقارب الساعة، فالزاوية بين اتجاهين هي فرق القراءتين الأفقيتين $Hz_B - Hz_A$.

نقل السمت (transmission du gisement)

في المسار (cheminement) ننتقل من نقطة إلى أخرى: نعرف سمت الضلع الأول AB، ونقيس بالمزولة الزاوية الأفقية α في كل رأس، فنستنتج سمت الضلع الموالي دون حساب إحداثيات جديدة.

اصطلاح القياس (نعتمده في كل الدرس): في الرأس B نضع المزولة، ونصوب أولا نحو النقطة الخلفية A (تصويب خلفي)، ثم ندير الجهاز مع عقارب الساعة حتى النقطة الأمامية C (تصويب أمامي). الزاوية المقروءة α هي إذن الزاوية من BA إلى BC مع عقارب الساعة.


في الشكل (توضيحي، ليس بمقياس رسم): $G_{AB}$ مقاس عند A، ثم في B يكون الاتجاه BA هو $G_{BA} = G_{AB} + 200$، وتضاف إليه الزاوية α (القوس الأحمر من BA إلى BC مع عقارب الساعة) فنحصل على $G_{BC}$ (القوس الأخضر).

بما أن $G_{BC} = G_{BA} + \alpha$ و $G_{BA} = G_{AB} \pm 200$:

$ G_{BC} = G_{AB} + \alpha \pm 200 $

> قاعدة عملية: احسب $G_{AB} + \alpha$؛ إذا كان أقل من 200 أضف 200، وإذا كان 200 أو أكثر اطرح 200. وإن بقيت النتيجة أكبر من 400 اطرح 400.

وتكتب مواضيع البكالوريا العلاقة نفسها على الشكل $G_{BC} = G_{AB} + 200 + \alpha$ (أي $G_{BA} + \alpha$)، ثم تطرح 400 إذا تجاوزت النتيجة 400؛ النتيجة واحدة في الطريقتين.

إذا أعطيت الزاوية عكس عقارب الساعة (من BA إلى BC في الاتجاه المعاكس)، نسميها β، فإن $G_{BC} = G_{AB} - \beta \pm 200$. لذلك اقرأ جيدا في الشكل جهة القوس قبل اختيار العلاقة؛ الأمر نفسه يتكرر في كل رأس.

مثال محلول 1: مسار A ← B ← C ← D

لدينا $A(210{,}00\ ;\ 140{,}00)$ و $B(260{,}00\ ;\ 260{,}00)$. قسنا في B الزاوية $\alpha_B = 132{,}50\ gr$، وفي C الزاوية $\alpha_C = 160{,}00\ gr$ (كلتاهما من التصويب الخلفي إلى الأمامي مع عقارب الساعة). احسب $G_{AB}$ و $G_{BC}$ و $G_{CD}$.

1) سمت الضلع الأول: $\Delta X = 50{,}00\ m$ و $\Delta Y = 120{,}00\ m$، و $\tan g = 50/120 = 0{,}4167$ فـ $g = 25{,}13\ gr$، والربع I: $G_{AB} = 25{,}13\ gr$ (و $L_{AB} = 130{,}00\ m$).

2) في B: $G_{AB} + \alpha_B = 25{,}13 + 132{,}50 = 157{,}63$، وهو أقل من 200 فنضيف 200:

$ G_{BC} = 157{,}63 + 200 = 357{,}63\ gr $

3) في C: $G_{BC} + \alpha_C = 357{,}63 + 160{,}00 = 517{,}63$، وهو أكبر من 200 فنطرح 200:

$ G_{CD} = 517{,}63 - 200 = 317{,}63\ gr $

تحقق بالمعنى: $G_{BC} = 357{,}63\ gr$ يعني أن الضلع BC يتجه نحو الشمال الغربي (الربع IV)، وهذا يوافق دوران المسار نحو اليسار بعد B لأن $\alpha_B$ أقل من $200\ gr$.

مراقبة مضلع مغلق

إذا عاد المسار إلى نقطة انطلاقه (مضلع مغلق بـ n رؤوس)، فمجموع زواياه الداخلية معروف نظريا:

$ \Sigma\ \alpha_{int} = (n - 2) \times 200\ gr $

مثلث: $200\ gr$، رباعي: $400\ gr$، خماسي: $600\ gr$. الفرق بين مجموع الزوايا المقاسة والقيمة النظرية هو خطأ الإغلاق الزاوي، ويجب أن يبقى صغيرا جدا (بضعة أجزاء من مائة الغراد) وإلا أعيد القياس.

مثال: مثلث ABC سموت أضلاعه $G_{AB} = 60\ gr$ و $G_{BC} = 170\ gr$ و $G_{CA} = 330\ gr$.

• الزاوية في B بين BA ($260\ gr$) و BC ($170\ gr$): $260 - 170 = 90\ gr$.
• الزاوية في C بين CB ($370\ gr$) و CA ($330\ gr$): $370 - 330 = 40\ gr$.
• الزاوية في A بين AC ($130\ gr$) و AB ($60\ gr$): $130 - 60 = 70\ gr$.

المجموع $90 + 40 + 70 = 200\ gr$، وهو مجموع زوايا المثلث: الحساب صحيح. انتبه: الزوايا المستنتجة من السموت تعطي هذا المجموع دائما، فهو يراقب الحساب فقط؛ أما مراقبة القياس الميداني فتكون بجمع الزوايا المقاسة بالمزولة ومقارنتها بالقيمة النظرية.

أخطاء شائعة

• نسيان ± 200: كتابة $G_{BC} = G_{AB} + \alpha$ تعطي اتجاها خاطئا تماما.
• طرح 400 بدل 200 حين يتجاوز المجموع 400 (في المثال: $517{,}63 - 400 = 117{,}63$ بدل $317{,}63$).
• تطبيق علاقة الزاوية مع عقارب الساعة على زاوية معطاة في الاتجاه المعاكس.
• حساب الزاوية بين اتجاهين بطرح السمتين بالترتيب المعكوس دون الانتباه إلى أي زاوية يطلبها السؤال.

> ملاحظة للامتحان: اكتب أمام كل رأس سطرا واحدا: سمت الضلع السابق زائد α، ثم إضافة 200 أو طرحها، ثم النتيجة؛ فالطريقة المكتوبة بوضوح تنقط حتى لو أخطأت في رقم.

5. من الإحداثيات القطبية إلى القائمة وقياس المسافة بالتاكيومتر

الإحداثيات القطبية

في الميدان لا نقيس X و Y مباشرة: نضع الجهاز في محطة معلومة S ونقيس نحو كل نقطة P سمتا $G_{SP}$ و مسافة أفقية $L_{SP}$. هذا الزوج $(L\ ;\ G)$ هو الإحداثيات القطبية للنقطة P بالنسبة للمحطة S. وتسمى طريقة رفع عدة نقاط من محطة واحدة الطريقة الإشعاعية (rayonnement).

علاقتا الانتقال إلى الإحداثيات القائمة

من العلاقتين $\sin G = \Delta X/L$ و $\cos G = \Delta Y/L$ (الجزء الثالث) نستخرج الفرقين ثم الإحداثيات:

$ \Delta X = L_{SP} \cdot \sin G_{SP} $

$ \Delta Y = L_{SP} \cdot \cos G_{SP} $

$ X_P = X_S + L_{SP} \cdot \sin G_{SP} $

$ Y_P = Y_S + L_{SP} \cdot \cos G_{SP} $


يمثل الشكل محطة S (المثلث) ونقطة مرصودة P: القطعة الزرقاء هي المسافة L، والقوس هو السمت $G_{SP}$ من الشمال، والضلعان المتقطعان هما $\Delta X = L \sin G$ نحو الشرق و $\Delta Y = L \cos G$ نحو الشمال.

> مع الآلة على وضع GRAD تعطي $\sin G$ و $\cos G$ الإشارة الصحيحة تلقائيا في الأرباع الأربعة: لا حاجة هنا إلى جدول الأرباع ولا إلى الزاوية المختصرة.

| الربع | مجال G (gr) | إشارة $\sin G$ (ΔX) | إشارة $\cos G$ (ΔY) | |---|---|---|---| | I | من 0 إلى 100 | + | + | | II | من 100 إلى 200 | + | − | | III | من 200 إلى 300 | − | − | | IV | من 300 إلى 400 | − | + |

مثال محلول 1: نقطة مرصودة من محطة

المحطة $S(500{,}00\ ;\ 800{,}00)$، ورصدنا النقطة A بسمت $G_{SA} = 78{,}40\ gr$ ومسافة أفقية $L_{SA} = 64{,}25\ m$.

$ \Delta X = 64{,}25 \sin 78{,}40 = 60{,}59\ m $

$ \Delta Y = 64{,}25 \cos 78{,}40 = 21{,}38\ m $

إذن $X_A = 500 + 60{,}59 = 560{,}59\ m$ و $Y_A = 800 + 21{,}38 = 821{,}38\ m$، أي $A(560{,}59\ ;\ 821{,}38)$.

تحقق: $\sqrt{60{,}59^2 + 21{,}38^2} = 64{,}25\ m$، و $\tan g = 60{,}59/21{,}38$ تعطي $78{,}40\ gr$ في الربع I.

توجيه الجهاز: من القراءة الأفقية Hz إلى السمت

قراءة الدائرة الأفقية Hz لا تساوي السمت إلا إذا وجهنا الجهاز، أي ضبطنا الصفر على الشمال. في الحالة العامة نصوب على نقطة مرجعية R سمتها $G_{SR}$ معلوم، ثم:

$ G_{SP} = G_{SR} + (Hz_P - Hz_R) $

(نضيف 400 أو نطرحها لتبقى النتيجة بين 0 و 400.)

مثال: المحطة $S(300{,}00\ ;\ 500{,}00)$ و $G_{SR} = 112{,}35\ gr$. صفرنا الجهاز على R ($Hz_R = 0{,}00$) فقرأنا على P: $Hz_P = 86{,}40\ gr$ و $L_{SP} = 42{,}80\ m$. إذن $G_{SP} = 112{,}35 + 86{,}40 = 198{,}75\ gr$، ثم:

$ X_P = 300 + 42{,}80 \sin 198{,}75 $

$ X_P = 300{,}84\ m $

$ Y_P = 500 + 42{,}80 \cos 198{,}75 $

$ Y_P = 457{,}21\ m $

السمت قريب من 200، فالنقطة تقريبا جنوب المحطة تماما، وهذا ما تؤكده النتيجة.

قياس المسافة الأفقية بالتاكيومتر (القياس الاستاديمتري)

في منظار التاكيومتر (tachéomètre) أو جهاز التسوية ثلاثة خيوط أفقية؛ نقرأ عليها ثلاث قراءات على القامة المدرجة (mire) الموضوعة شاقوليا في النقطة المرصودة:

• $L_s$: قراءة الخيط العلوي، $L_m$: الخيط الأوسط، $L_i$: الخيط السفلي (بالمتر).
• مراقبة القراءة: يجب أن يكون $L_m = (L_s + L_i)/2$ تقريبا (بفارق ملمتر أو اثنين)، وإلا أعيدت القراءة.


يبين الشكل الجهاز في A والقامة في B: الخطوط المتقطعة تمر بالخيطين العلوي والسفلي والخط المتصل بالخيط الأوسط. الزاوية i (زاوية الميل، وتسمى أيضا زاوية الموقع angle de site) بين خط النظر والأفق، والزاوية V (الزاوية الشاقولية السمتية، angle zénithal) بين الشاقول نحو الأعلى وخط النظر، والمسافة المطلوبة D أفقية.

ثابت المنظار الاستاديمتري في الأجهزة المستعملة $K = 100$:

خط نظر أفقي ($V = 100\ gr$، حالة جهاز التسوية):

$ D = 100 \cdot (L_s - L_i) $

خط نظر مائل بزاوية ميل i، حيث $i = 100 - V$:

$ D = 100 \cdot (L_s - L_i) \cdot \cos^2 i $

وهي نفسها $D = 100 \cdot (L_s - L_i) \cdot \sin^2 V$. إذا كان $V 0$)، وإذا كان $V > 100\ gr$ فنحو الأسفل ($i < 0$)؛ والتربيع يجعل الإشارة بلا أثر على D.

> لا تخلط بين الزاوية الشاقولية السمتية V التي تقاس من الشاقول، والسمت الإحداثي G الذي يقاس أفقيا من الشمال: الأولى تدخل في حساب المسافة، والثاني في حساب الإحداثيات.

مثال محلول 2: مسافة بخط نظر مائل

القراءات على القامة: $L_s = 1{,}845\ m$ و $L_m = 1{,}530\ m$ و $L_i = 1{,}215\ m$، والزاوية الشاقولية $V = 96{,}50\ gr$.

• مراقبة: $(1{,}845 + 1{,}215)/2 = 1{,}530\ m$ تساوي $L_m$، القراءة سليمة.
• $L_s - L_i = 0{,}630\ m$، فالمسافة لو كان النظر أفقيا $100 \times 0{,}630 = 63{,}00\ m$.
• زاوية الميل $i = 100 - 96{,}50 = 3{,}50\ gr$ (رصد نحو الأعلى).
• المسافة الأفقية:

$ D = 63{,}00 \times \cos^2 3{,}50 = 62{,}81\ m $

إهمال الميل كان سيعطي $63{,}00\ m$، أي خطأ 19 cm؛ وهو خطأ يكبر بسرعة مع زاوية الميل.

أخطاء شائعة

• تبديل sin و cos: كتابة $X_P = X_S + L \cos G$؛ في المثال 1 تعطي A في موضع آخر تماما.
• حساب الإحداثيات والآلة على DEG: الجيب وجيب التمام خاطئان دون أي إنذار.
• استعمال $L_m$ بدل $L_s - L_i$ في حساب المسافة، أو نسيان المعامل 100.
• استعمال V مكان i في $\cos^2$: مع $V = 96{,}50$ نجد مسافة صغيرة جدا لا معنى لها.
• نسيان توجيه الجهاز: اعتبار القراءة Hz سمتا والصفر غير مضبوط على الشمال.

> ملاحظة للامتحان: رتب الرصد في جدول (النقطة، $L_s$، $L_i$، V، D، G، ΔX، ΔY، X، Y)؛ فهو يقلل الأخطاء ويسهل المراجعة.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

كيف يظهر هذا الدرس في البكالوريا؟

تأتي الطبوغرافيا في الموضوع ضمن مجال البناء، حول مشروع واحد (قطعة أرض لمؤسسة، بناية يراد توقيعها، رفع ميداني). الأسئلة المعتادة: حساب السمت والمسافة من إحداثيات نقطتين، السمت المعاكس، نقل السمت بزاوية مقاسة، إحداثيات نقطة من سمت ومسافة، وأحيانا مسافة بالتاكيومتر. وغالبا تكمل هذه النتائج بحساب مساحة (درس حساب المساحات). اكتب كل خطوة بعلاقتها ثم بالتعويض ثم بالنتيجة ووحدتها، والآلة على GRAD.

التمرين الأول: قطعة أرض لمؤسسة تربوية

المعطيات: قطعة أرض مثلثة ABC مخصصة لإنجاز مؤسسة تربوية. نعرف إحداثيات الرأسين $A(312{,}40\ ;\ 508{,}20)$ و $B(398{,}75\ ;\ 571{,}60)$ بالمتر. وضعنا المزولة في B، فصوبنا نحو A ثم دورنا مع عقارب الساعة نحو C فقرأنا الزاوية $\alpha = 118{,}25\ gr$، وقسنا المسافة الأفقية $L_{BC} = 64{,}30\ m$.


يبين الشكل القطعة ABC بإحداثيات A و B، والزاوية α في B من BA إلى BC مع عقارب الساعة، والضلع BC المقاس، والمدخل M في منتصف الضلع AC.

المطلوب:

• احسب السمت $G_{AB}$ والمسافة $L_{AB}$.
• استنتج السمت $G_{BA}$.
• احسب السمت $G_{BC}$.
• احسب إحداثيات الرأس C.
• احسب $G_{CA}$ و $L_{CA}$.
• احسب الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث وتحقق من مجموعها.
• يراد وضع المدخل M في منتصف الضلع AC: احسب إحداثياته.

الحل:

1) $\Delta X = 398{,}75 - 312{,}40 = 86{,}35\ m$ و $\Delta Y = 571{,}60 - 508{,}20 = 63{,}40\ m$.

$ \tan g = \frac{86{,}35}{63{,}40} = 1{,}3620 $

إذن $g = 59{,}68\ gr$، والفرقان موجبان (الربع I): $G_{AB} = 59{,}68\ gr$.

$ L_{AB} = \sqrt{86{,}35^2 + 63{,}40^2} $

$ L_{AB} = \sqrt{11\,475{,}88} = 107{,}13\ m $

2) $G_{AB} < 200$، إذن $G_{BA} = 59{,}68 + 200 = 259{,}68\ gr$.

3) $G_{AB} + \alpha = 59{,}68 + 118{,}25 = 177{,}93$، وهو أقل من 200 فنضيف 200:

$ G_{BC} = 177{,}93 + 200 = 377{,}93\ gr $

4) الآلة على GRAD:

$ \Delta X_{BC} = 64{,}30 \sin 377{,}93 = -21{,}85\ m $

$ \Delta Y_{BC} = 64{,}30 \cos 377{,}93 = +60{,}47\ m $

$X_C = 398{,}75 - 21{,}85 = 376{,}90\ m$ و $Y_C = 571{,}60 + 60{,}47 = 632{,}07\ m$، أي $C(376{,}90\ ;\ 632{,}07)$. الإشارتان توافقان الربع IV (شمال غرب B)، كما في الشكل.

5) $\Delta X_{CA} = 312{,}40 - 376{,}90 = -64{,}50\ m$ و $\Delta Y_{CA} = 508{,}20 - 632{,}07 = -123{,}87\ m$. $\tan g = 64{,}50/123{,}87 = 0{,}5207$ فـ $g = 30{,}56\ gr$؛ الفرقان سالبان (الربع III):

$ G_{CA} = 200 + 30{,}56 = 230{,}56\ gr $

$ L_{CA} = \sqrt{64{,}50^2 + 123{,}87^2} $

$ L_{CA} = 139{,}66\ m $

6) نحتاج في كل رأس سمتي الضلعين: $G_{AC} = 230{,}56 - 200 = 30{,}56\ gr$ و $G_{CB} = 377{,}93 - 200 = 177{,}93\ gr$.

| الرأس | الحساب | الزاوية (gr) | |---|---|---| | A | $G_{AB} - G_{AC} = 59{,}68 - 30{,}56$ | 29,12 | | B | الزاوية المقاسة α | 118,25 | | C | $G_{CA} - G_{CB} = 230{,}56 - 177{,}93$ | 52,63 | | المجموع | | 200,00 |

المجموع يساوي $200\ gr$ (مجموع زوايا المثلث): الحسابات متسقة.

7) $X_M = (312{,}40 + 376{,}90)/2 = 344{,}65\ m$ و $Y_M = (508{,}20 + 632{,}07)/2 = 570{,}14\ m$ (بالتقريب إلى السنتيمتر)، أي $M(344{,}65\ ;\ 570{,}14)$.

التمرين الثاني: رفع بالتاكيومتر من محطة موجهة

المعطيات: تاكيومتر في المحطة $S(500{,}00\ ;\ 400{,}00)$، موجه (صفر الدائرة الأفقية على الشمال، فالقراءة Hz هي السمت). رصدنا نقطتين من حدود قطعة أرض:

| النقطة | $L_s$ (m) | $L_m$ (m) | $L_i$ (m) | V (gr) | Hz (gr) | |---|---|---|---|---|---| | P | 1,742 | 1,421 | 1,100 | 97,40 | 64,80 | | Q | 2,108 | 1,654 | 1,200 | 103,20 | 148,30 |

المطلوب: 1) تحقق من القراءات. 2) احسب المسافتين الأفقيتين $D_{SP}$ و $D_{SQ}$. 3) احسب إحداثيات P و Q. 4) احسب الزاوية الأفقية PSQ. 5) احسب $G_{PQ}$ و $L_{PQ}$.

الحل:

1) $(1{,}742 + 1{,}100)/2 = 1{,}421\ m$ و $(2{,}108 + 1{,}200)/2 = 1{,}654\ m$: القراءتان الوسطيان مطابقتان، القراءات سليمة.

2) للنقطة P: $L_s - L_i = 0{,}642\ m$ و $i = 100 - 97{,}40 = 2{,}60\ gr$:

$ D_{SP} = 64{,}20 \cos^2 2{,}60 = 64{,}09\ m $

للنقطة Q: $L_s - L_i = 0{,}908\ m$ و $i = 100 - 103{,}20 = -3{,}20\ gr$ (رصد نحو الأسفل):

$ D_{SQ} = 90{,}80 \cos^2 3{,}20 = 90{,}57\ m $

3) السمت هو القراءة Hz لأن الجهاز موجه:

| النقطة | D (m) | G (gr) | ΔX (m) | ΔY (m) | X (m) | Y (m) | |---|---|---|---|---|---|---| | P | 64,09 | 64,80 | +54,54 | +33,66 | 554,54 | 433,66 | | Q | 90,57 | 148,30 | +65,73 | −62,31 | 565,73 | 337,69 |

4) الزاوية من SP إلى SQ مع عقارب الساعة: $148{,}30 - 64{,}80 = 83{,}50\ gr$.

5) $\Delta X_{PQ} = 565{,}73 - 554{,}54 = 11{,}19\ m$ و $\Delta Y_{PQ} = 337{,}69 - 433{,}66 = -95{,}97\ m$. $\tan g = 11{,}19/95{,}97 = 0{,}1166$ فـ $g = 7{,}39\ gr$؛ الربع II:

$ G_{PQ} = 200 - 7{,}39 = 192{,}61\ gr $

$ L_{PQ} = \sqrt{11{,}19^2 + 95{,}97^2} = 96{,}62\ m $

تحقق مستقل: في المثلث SPQ نعرف ضلعين والزاوية المحصورة 83,50 gr؛ قانون جيب التمام يعطي:

$ L_{PQ}^2 = 64{,}09^2 + 90{,}57^2 $

$

• 2 \times 64{,}09 \times 90{,}57 \cos 83{,}50

$

أي $L_{PQ} = 96{,}62\ m$. النتيجتان متطابقتان.

التمرين الثالث: توقيع بناية مستطيلة

المعطيات: يراد توقيع بناية مستطيلة ABCD طولها $50{,}00\ m$ وعرضها $15{,}00\ m$. محور الواجهة AB معلوم: $A(100{,}00\ ;\ 100{,}00)$ و $B(130{,}00\ ;\ 140{,}00)$. تقع البناية على يمين الاتجاه AB (لمن يسير من A نحو B)، وزواياها قائمة.


يمثل الشكل مسقط البناية: الواجهة AB وسمتها $G_{AB}$ من الشمال، والطول 50,00 m مقيس على الضلع DC الموازي لها، والعرض BC بطول 15,00 m عمودي عليها نحو اليمين، والرأسان C و D المطلوب توقيعهما.

المطلوب: 1) احسب $G_{AB}$ و $L_{AB}$ وتحقق من طول الواجهة. 2) استنتج $G_{BC}$ و $G_{AD}$. 3) احسب إحداثيات C و D. 4) تحقق بطول CD وسمته وبالقطرين. 5) ما الزاوية التي يديرها المساح في B (الصفر على A، مع عقارب الساعة) ليوجه المنظار نحو C؟

الحل:

1) $\Delta X = 30{,}00\ m$ و $\Delta Y = 40{,}00\ m$، و $\tan g = 0{,}75$ فـ $g = 40{,}97\ gr$ (الربع I): $G_{AB} = 40{,}97\ gr$. و $L_{AB} = \sqrt{900 + 1600} = 50{,}00\ m$: يساوي طول البناية، فالمحور صحيح.

2) «على اليمين» يعني الدوران مع عقارب الساعة بزاوية قائمة انطلاقا من اتجاه AB:

$ G_{BC} = G_{AB} + 100 = 140{,}97\ gr $

والضلع AD يوازي BC وفي جهته، فـ $G_{AD} = 140{,}97\ gr$ أيضا.

3) $15{,}00 \sin 140{,}97 = +12{,}00\ m$ و $15{,}00 \cos 140{,}97 = -9{,}00\ m$:

• $C(130 + 12{,}00\ ;\ 140 - 9{,}00) = C(142{,}00\ ;\ 131{,}00)$
• $D(100 + 12{,}00\ ;\ 100 - 9{,}00) = D(112{,}00\ ;\ 91{,}00)$

4) $\Delta X_{CD} = -30{,}00$ و $\Delta Y_{CD} = -40{,}00$: $L_{CD} = 50{,}00\ m$ و $G_{CD} = 200 + 40{,}97 = 240{,}97\ gr = G_{AB} + 200$ (CD يوازي AB ويعاكسه). القطران: $L_{AC} = \sqrt{42^2 + 31^2} = 52{,}20\ m$ و $L_{BD} = \sqrt{18^2 + 49^2} = 52{,}20\ m$، ويساويان $\sqrt{50^2 + 15^2} = 52{,}20\ m$: المستطيل صحيح.

5) $G_{BA} = 240{,}97\ gr$ و $G_{BC} = 140{,}97\ gr$، فالزاوية من BA إلى BC مع عقارب الساعة:

$ \alpha = 140{,}97 - 240{,}97 + 400 $

$ \alpha = 300{,}00\ gr $

أي أن المساح يدير الجهاز $300\ gr$ مع عقارب الساعة، وهو نفسه $100\ gr$ عكسها: الزاوية الداخلية القائمة تقع في الجهة الأخرى. هذا مثال على أن الزاوية المقروءة مع عقارب الساعة ليست دائما الزاوية الداخلية.

> ملاحظة للامتحان: في كل تمرين ختم بتحقق مستقل (مجموع الزوايا، قانون جيب التمام، تساوي القطرين، $G_{CD} = G_{AB} \pm 200$)؛ فهو يكشف الخطأ قبل أن يمتد إلى حساب المساحة.