المدارج: الحساب والتصميم

3. مدرج بقلبتين: توزيع الدرجات وفسحة الراحة وقفص الدرج

لماذا نقسم المدرج إلى قلبتين؟

مدرج بقلبة واحدة يقطع طابقا كاملا يحتاج طولا يقارب 5 m في خط مستقيم، وهو متعب لأنّ المستعمل لا يجد أين يتوقف، والسقوط عليه أخطر لأنه لا فسحة تعترضه. لذلك نقسمه في أغلب البنايات إلى قلبتين (deux volées) تفصل بينهما فسحة راحة (palier de repos). الأشكال الأكثر استعمالا:

• قلبتان متوازيتان (نصف دورة، escalier à deux volées parallèles): القلبة الثانية تعود في الاتجاه المعاكس للأولى، والفسحة تشغل عرض القفص كله؛
• قلبتان متعامدتان (ربع دورة، escalier à deux volées perpendiculaires): القلبة الثانية تنعطف بزاوية قائمة، والفسحة مربعة في الركن.

قواعد التوزيع

نحسب أولا n و h و g للمدرج كله كما في الجزء 2، ثم نوزّع القوائم:

$ n = n_1 + n_2 $

حيث $n_1$ قوائم القلبة الأولى و $n_2$ قوائم الثانية. ولكل قلبة القاعدة نفسها: قلبة فيها k قائمة لها $k - 1$ نائمة، لأنّ فسحة الراحة تقوم مقام النائمة الأخيرة للقلبة الأولى، والأرضية العلوية تقوم مقام النائمة الأخيرة للقلبة الثانية.

| المقدار | العلاقة | |---|---| | منسوب فسحة الراحة | $H_1 = n_1 \cdot h$ | | طول القلبة الأولى | $L_1 = (n_1 - 1) \cdot g$ | | طول القلبة الثانية | $L_2 = (n_2 - 1) \cdot g$ | | مجموع النائمات | $n - 2$ (دون الفسحة) |

• إذا كان n زوجيا نأخذ قلبتين متساويتين: $n_1 = n_2 = n/2$.
• إذا كان n فرديا تأخذ إحدى القلبتين قائمة زائدة، مثلا $n_1 = (n + 1)/2$ و $n_2 = (n - 1)/2$.
• قد يفرض المخطط توزيعا آخر (فتحة باب تحت القلبة، طول قفص محدود…): نطبّق القواعد نفسها على الأعداد المعطاة.

> منسوب فسحة الراحة يُحسب بعدد قوائم القلبة الأولى: $H_1 = n_1 \cdot h$، أو بعدد نائماتها زائد واحد: $H_1 = (n_1' + 1) \cdot h$ حيث $n_1'$ عدد النائمات.

أبعاد قفص مدرج بقلبتين متوازيتين


يمثّل المسقط مدرجا بقلبتين متوازيتين: القلبة الأولى (في الأسفل) تنطلق من المنسوب ±0.00 وفيها النائمات 1 إلى 8، ثم فسحة الراحة على اليمين في المنسوب +1.53 (تقوم مقام النائمة 9)، ثم القلبة الثانية (في الأعلى) بالنائمات 10 إلى 17 حتى المنسوب +3.06. الخط الأحمر هو خط السير (ligne de foulée) الذي يتبعه المستعمل، والشريط الرمادي بين القلبتين هو الفراغ الوسطي (jour).

أبعاد القفص الداخلية (Q طول الدرجة، j عرض الفراغ بين القلبتين، $l_p$ عمق فسحة الراحة):

$ L_{cage} = L_{max} + l_p $

$ W_{cage} = 2Q + j $

حيث $L_{max}$ طول أطول القلبتين. ويُشترط أن يكون عمق الفسحة $l_p$ على الأقل مساويا لطول الدرجة Q، لكي يستدير المستعمل دون أن يضيق به المكان.


يبيّن المقطع الشاقولي المدرج نفسه: القلبة الأولى في الأمام (رمادي غامق) ترتفع 9 قوائم من ±0.00 إلى فسحة الراحة +1.53 المسنودة إلى الجدار، والقلبة الثانية في الخلف (رمادي فاتح) تنطلق من الفسحة نحو اليسار وترتفع 9 قوائم أخرى حتى +3.06. وتشغل القلبتان في المقطع الطول الأفقي نفسه (2,40 m) لأنّ لهما عدد النائمات نفسه.

مثال محلول 1: قلبتان متوازيتان متساويتان

المعطيات: مسكن، $H = 3{,}06\ m$، $h_0 = 17\ cm$، مدرج بقلبتين متوازيتين، طول الدرجة $Q = 1{,}10\ m$، فراغ $j = 0{,}20\ m$، فسحة راحة عمقها $l_p = 1{,}20\ m$.

• $n = 306/17 = 18$ قائمة، $h = 17\ cm$، و $g = 64 - 34 = 30\ cm$.
• n زوجي: $n_1 = n_2 = 9$ قوائم، ولكل قلبة $9 - 1 = 8$ نائمات.
• طول كل قلبة: $L = 8 \times 30 = 240\ cm = 2{,}40\ m$.
• منسوب فسحة الراحة: $H_1 = 9 \times 17 = 153\ cm$، أي المنسوب +1,53 m.
• القفص: $L_{cage} = 2{,}40 + 1{,}20 = 3{,}60\ m$، و $W_{cage} = 2 \times 1{,}10 + 0{,}20 = 2{,}40\ m$.
• تحقق: $l_p = 1{,}20\ m$ أكبر من $Q = 1{,}10\ m$، و Q أكبر من 0,80 m للمسكن: مقبول.

الأبعاد الداخلية للقفص إذن $3{,}60 \times 2{,}40\ m$، وهي الأبعاد المكتوبة على المسقط.

مثال محلول 2: قلبتان متعامدتان (ربع دورة)


المعطيات: $H = 2{,}72\ m$ و $h = 17\ cm$، فـ $n = 16$ و $g = 30\ cm$. يفرض المخطط 10 قوائم في القلبة الأولى، و $Q = 0{,}90\ m$.

• $n_1 = 10$ و $n_2 = 16 - 10 = 6$.
• $L_1 = (10 - 1) \times 30 = 270\ cm = 2{,}70\ m$، و $L_2 = (6 - 1) \times 30 = 150\ cm = 1{,}50\ m$.
• منسوب الفسحة: $H_1 = 10 \times 17 = 170\ cm$، أي +1,70 m.
• الفسحة مربعة ضلعها Q، فيشغل المدرج في المسقط مستطيلا بعداه:

$ L_1 + Q = 2{,}70 + 0{,}90 = 3{,}60\ m $

$ L_2 + Q = 1{,}50 + 0{,}90 = 2{,}40\ m $

يبيّن المسقط النائمات 1 إلى 9 في القلبة الأولى، والفسحة في الركن (مكان النائمة 10)، ثم النائمات 11 إلى 15 في القلبة الثانية؛ أي 14 نائمة لـ 16 قائمة.

حالة n فردي

$H = 2{,}89\ m$ و $h = 17\ cm$ يعطيان $n = 17$: نأخذ $n_1 = 9$ و $n_2 = 8$. القلبة الأولى 8 نائمات ($L_1 = 2{,}40\ m$) والثانية 7 نائمات ($L_2 = 2{,}10\ m$)، ومنسوب الفسحة $9 \times 17 = 153\ cm$. طول القفص يحدّده أطول القلبتين: $2{,}40\ m + l_p$.

المسألة العكسية: من المسقط إلى الارتفاعات

كثيرا ما يعطي موضوع البكالوريا مسقطا نعدّ فيه النائمات ونقرأ طول القلبة، ويطلب g ثم h ثم المناسيب:

$ g = \frac{L}{n'} $

حيث $n'$ عدد النائمات المعدودة، ثم $h = (64 - g)/2$، ثم منسوب الفسحة $H_1 = (n_1' + 1) \cdot h$. مثال: قلبة أولى من 6 نائمات طولها 1,74 m: $g = 174/6 = 29\ cm$، $h = (64 - 29)/2 = 17{,}5\ cm$، $H_1 = 7 \times 17{,}5 = 122{,}5\ cm$.

أخطاء شائعة

• حساب منسوب الفسحة بعدد النائمات: $8 \times 17 = 136\ cm$ بدل $9 \times 17 = 153\ cm$.
• نسيان عمق فسحة الراحة في طول القفص، أو أخذ عرض القفص مساويا لـ Q بدل $2Q + j$.
• عدّ الفسحة نائمة عادية فيصبح طول القلبة $9 \times 30$ بدل $8 \times 30$.

4. الميل وطول القلبة المائل وسمك الحصيرة

زاوية ميل القلبة

كل الدرجات في المدرج متساوية، فأنوفها تقع على مستقيم واحد هو خط الميل. في المثلث القائم الذي ضلعاه h (شاقولي) و g (أفقي):

$ \tan \alpha = \frac{h}{g} $

والزاوية نفسها لكل قلبات المدرج ما دام h و g لم يتغيرا. تُحسب α بالآلة الحاسبة في نمط الدرجات (DEG)، لا في نمط الغراد المستعمل في الطبوغرافيا.

الطول المائل للقلبة L'


يبيّن الشكل قلبة فيها k قائمة: خط الأنوف (المتقطّع الأحمر) يقطع أفقيا الطول $L = (k - 1) \cdot g$ ويرتفع $(k - 1) \cdot h$ بين أنف الدرجة الأولى وحافة فسحة الراحة. طوله الحقيقي L' هو وتر هذا المثلث. أما الحصيرة فبلاطة مائلة سمكها e يقاس عموديا على وجهها السفلي، والخط المنقّط هو خط الأركان الداخلية للدرجات الذي تبدأ منه الدرجات فوق الحصيرة.

نحسب L' بإحدى ثلاث طرق متكافئة:

$ L' = \sqrt{L^2 + \left[(k - 1)\,h\right]^2} $

$ L' = \frac{L}{\cos \alpha} $

$ L' = (k - 1)\sqrt{g^2 + h^2} $

الطريقة الثالثة سريعة: $\sqrt{g^2 + h^2}$ هو الطول المائل لدرجة واحدة (المسافة بين أنفين متتاليين).

الحصيرة (paillasse) وسمكها

الحصيرة بلاطة مائلة من الخرسانة المسلحة تحمل الدرجات وتنقل حمولتها إلى المساند: رافدة الأرضية أو رافدة الفسحة أو الجدار. تعمل كبلاطة في الانحناء، ومجازها (portée) ℓ هو طولها بين مسنديها مقيسا على امتدادها؛ فإذا كانت الحصيرة وفسحة الراحة بلاطة واحدة مسنودة عند طرفيها كان:

$ \ell = L' + l_p $

قاعدة التحديد المسبق للسمك (pré-dimensionnement):

$ e \approx \frac{\ell}{30} $

نأخذ $e \approx \ell/30$ مقرّبا إلى السنتيمتر الأعلى.

للاطلاع: تكتب بعض المراجع هذه القاعدة في شكل مجال $\ell/30 \le e \le \ell/20$، فنتحقق أيضا أنّ e لا يتجاوز ℓ/20؛ والقيم المعتادة في المساكن بين 12 و 18 cm تقريبا.

> قاعدة السمك ليست حساب مقاومة: هي تقدير أولي يُراجع لاحقا بحساب الخرسانة المسلحة. لكنها تكفي في البكالوريا لتحديد e.

مثال محلول: قلبة من مدرج بقلبتين

المعطيات (المدرج المحسوب في الجزء 3): قلبة من 9 قوائم، $h = 17\ cm$، $g = 30\ cm$، والحصيرة مع فسحة الراحة ($l_p = 1{,}20\ m$) بلاطة واحدة.

1) الميل:

$ \tan \alpha = \frac{17}{30} = 0{,}567 $

ومنه $\alpha = 29{,}54°$ و $\cos \alpha = 0{,}870$.

2) الطول الأفقي والارتفاع: 8 نائمات، $L = 8 \times 30 = 240\ cm$، والارتفاع بين الأنف الأول والفسحة $8 \times 17 = 136\ cm$.

3) الطول المائل:

$ L' = \sqrt{240^2 + 136^2} = 275{,}9\ cm $

تحقق بالطريقتين الأخريين: $240/0{,}870 = 275{,}9\ cm$ و $8 \times \sqrt{900 + 289} = 8 \times 34{,}48 = 275{,}9\ cm$. نأخذ $L' = 2{,}76\ m$.

4) مجاز الحصيرة: $\ell = 2{,}76 + 1{,}20 = 3{,}96\ m$.

5) السمك:

$ \frac{\ell}{30} = \frac{396}{30} = 13{,}2\ cm $

$ \frac{\ell}{20} = \frac{396}{20} = 19{,}8\ cm $

نأخذ $e = 14\ cm$، وهو داخل المجال.

للاطلاع: الحمولة الذاتية للحصيرة

عند حساب الحمولات (درس الخرسانة المسلحة) نحتاج وزن الحصيرة والدرجات لكل متر مربع أفقي. الحصيرة المائلة سمكها الشاقولي $e/\cos \alpha$، والدرجات مثلثات متوسط ارتفاعها $h/2$. مع وزن حجمي للخرسانة $25\ kN/m^3$:

$ G = 25 \left( \frac{e}{\cos \alpha} + \frac{h}{2} \right) $

في مثالنا: $e/\cos \alpha = 0{,}14/0{,}870 = 0{,}161\ m$ و $h/2 = 0{,}085\ m$، فـ $G = 25 \times 0{,}246 = 6{,}15\ kN/m^2$ دون طبقات التلبيس.

ملاحظة للامتحان

• أعطِ L' بالمتر برقمين بعد الفاصلة، والسمك e بالسنتيمتر مقرّبا إلى الأعلى.
• إذا أعطى الموضوع قاعدة أخرى للسمك (ℓ/25 مثلا) نطبّقها كما هي.
• اكتب قيمة α بالدرجات واذكر أنّ الآلة في نمط DEG.

أخطاء شائعة

• كتابة $L' = L \cdot \cos \alpha$: الطول المائل أكبر من الطول الأفقي، فنقسم على $\cos \alpha$.
• أخذ الارتفاع $k \cdot h$ بدل $(k - 1) \cdot h$ في حساب L' بفيثاغورس مع $L = (k - 1) \cdot g$: يجب أن يكون الضلعان لنفس عدد الدرجات.
• قياس سمك الحصيرة شاقوليا: e يقاس عموديا على الوجه السفلي، والسمك الشاقولي $e/\cos \alpha$ أكبر منه.
• حساب α والآلة في نمط الغراد: $\arctan 0{,}567$ يعطي 32,8 gr بدل 29,5°.

5. فتحة الأرضية والارتفاع الحر

المشكلة

ليصعد المستعمل إلى الطابق العلوي يجب أن نترك في أرضية هذا الطابق فتحة يمرّ منها المدرج، هي فتحة الأرضية (trémie). إذا كانت الفتحة قصيرة اصطدم رأس الصاعد بحافة الأرضية؛ وإذا كانت طويلة جدا ضاعت مساحة من الطابق العلوي وكثرت الحواجز. نحتاج إذن طولا أدنى للفتحة يضمن الارتفاع الحر (échappée).

> الارتفاع الحر E هو المسافة الشاقولية بين خط أنوف الدرجات وأوّل عائق فوقه (حافة الأرضية العلوية، أو الوجه السفلي لقلبة أو فسحة تمرّ فوقه). نشترط ألا يقل عن 2,00 m، ويُنصح بـ 2,10 m.

الشكل والعلاقة


يبيّن الشكل قلبة تصل إلى الطابق العلوي (+2.72)، وأرضية هذا الطابق (dalle) سمكها $e_p$ تتوقف عند حافة الفتحة. الخط الأحمر المتقطّع هو خط الأنوف، والسهم الأزرق E هو الارتفاع الحر عند حافة الأرضية، وهو أصغر ارتفاع حر في المدرج كله لأنّ الحافة أقرب نقطة من الأرضية إلى الدرجات.

الاستنتاج: خط الأنوف يصل إلى المنسوب H بالضبط عند حافة الوصول، وينخفض بمقدار $x \cdot \tan \alpha$ كلما ابتعدنا أفقيا مسافة x إلى الوراء. عند حافة الفتحة (على بعد T من حافة الوصول) يكون:

• منسوب خط الأنوف: $H - T \tan \alpha$؛
• منسوب الوجه السفلي للأرضية: $H - e_p$.

الفرق بينهما هو الارتفاع الحر:

$ E = T \cdot \tan \alpha - e_p $

ومنه الطول الأدنى للفتحة:

$ T_{min} = \frac{E + e_p}{\tan \alpha} $

> علاقة فتحة الأرضية: $T \ge (E + e_p)/\tan \alpha$، حيث T مقيس أفقيا من حافة الوصول، و $e_p$ السمك الكلي للأرضية العلوية (مع طبقات التلبيس إن أُعطيت).

عرض الفتحة يساوي على الأقل طول الدرجة Q (أي عرض القلبة)، ويُزاد سمك التلبيس إن وُجد. وفي المدرج ذي القلبتين المتوازيتين تشمل الفتحة عادة القفص كله تقريبا، ونتحقق من الارتفاع الحر فوق القلبة الثانية بالطريقة نفسها.

مثال محلول 1: حساب طول الفتحة

المعطيات: مدرج بقلبة واحدة، $H = 2{,}72\ m$، $h = 17\ cm$، $g = 30\ cm$ (16 قائمة، $L = 4{,}50\ m$). الأرضية العلوية بأجسام مجوفة (16+4)، أي $e_p = 0{,}20\ m$. الارتفاع الحر المطلوب $E = 2{,}00\ m$.

1) الميل: $\tan \alpha = 17/30 = 0{,}567$.

2) طول الفتحة الأدنى:

$ T_{min} = \frac{2{,}00 + 0{,}20}{0{,}567} = 3{,}88\ m $

3) موقع حافة الفتحة: على بعد $4{,}50 - 3{,}88 = 0{,}62\ m$ أفقيا من القائمة الأولى؛ أي أنّ الأرضية العلوية يمكن أن تمتد فوق بداية القلبة مسافة 0,62 m فقط.

مثال محلول 2: التحقق من فتحة مقترحة

في المدرج نفسه اقترح المهندس المعماري فتحة طولها 3,50 m. هل هي مقبولة؟

$ E = 3{,}50 \times 0{,}567 - 0{,}20 = 1{,}78\ m $

الارتفاع الحر 1,78 m أقل من 2,00 m: الفتحة غير مقبولة؛ سيصطدم رأس شخص طوله 1,80 m بحافة الأرضية. الحلّ: تطويل الفتحة إلى 3,90 m على الأقل (قيمة مقرّبة إلى الأعلى)، فيصبح:

$ E = 3{,}90 \times 0{,}567 - 0{,}20 = 2{,}01\ m $

وهو مقبول. (حلّ آخر: تغيير شكل المدرج إلى قلبتين بحيث لا تمرّ القلبة تحت الأرضية.)

جدول للحفظ

| المقدار | العلاقة | ملاحظة | |---|---|---| | الارتفاع الحر عند حافة الفتحة | $E = T \tan \alpha - e_p$ | يقاس شاقوليا | | الطول الأدنى للفتحة | $T = (E + e_p)/\tan \alpha$ | يُقرّب إلى الأعلى | | موقع حافة الفتحة من القائمة الأولى | $L - T$ | يقاس أفقيا | | عرض الفتحة | لا يقل عن Q | — |

ملاحظة للامتحان

• لا تنس سمك الأرضية $e_p$: الرأس يصطدم بالوجه السفلي للأرضية لا بسطحها.
• نقرّب T إلى الأعلى (3,88 m تصبح 3,90 m)؛ التقريب إلى الأدنى يعطي ارتفاعا حرا أقل من المطلوب.
• إذا أعطى الموضوع $E = 2{,}10\ m$ نستعمله بدل 2,00 m.

أخطاء شائعة

• استعمال $\sin \alpha$ بدل $\tan \alpha$: الارتفاع الحر شاقولي والفتحة أفقية، فالنسبة بينهما هي الظل.
• قياس الارتفاع الحر عموديا على خط الميل: يقاس شاقوليا.
• قياس T من بداية القلبة بدل حافة الوصول.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل

في موضوع البكالوريا يأتي المدرج عادة ضمن مشروع بناية: يُعطى ارتفاع الطابق وارتفاع القائمة (أو مسقط نعدّ فيه الدرجات)، وتُطلب الحسابات بالترتيب الذي درسناه. اكتب لكل سؤال: العلاقة، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها، واذكر كل تقريب ولماذا.

التمرين 1: مدرج مسكن بقلبتين متوازيتين

المعطيات: مسكن فردي من طابقين. منسوب الطابق الأرضي ±0,00 ومنسوب الطابق الأول +3,40 m. يُنجز مدرج بقلبتين متوازيتين متساويتين داخل قفص أبعاده الداخلية $3{,}90 \times 2{,}30\ m$. ارتفاع القائمة المبدئي 17 cm، طول الدرجة $Q = 1{,}00\ m$، الفراغ الوسطي $j = 0{,}20\ m$. الحصيرة وفسحة الراحة بلاطة واحدة. الخطوة المتوسطة 64 cm.

الأسئلة:

• احسب عدد القوائم n وارتفاع القائمة h.
• احسب عرض النائمة g.
• وزّع القوائم على القلبتين واحسب منسوب فسحة الراحة.
• احسب طول القلبة L، ثم عمق فسحة الراحة الذي يتركه القفص، وتحقق من العرض.
• احسب زاوية الميل α.
• احسب سمك الحصيرة بالقاعدة $\ell/30$.

الحل:

1) $H = 340\ cm$، و $n = 340/17 = 20$ قائمة بالضبط، فـ $h = 17\ cm$.

2) بلوندل: $g = 64 - 2 \times 17 = 30\ cm$.

3) n زوجي: 10 قوائم في كل قلبة. منسوب الفسحة:

$ H_1 = 10 \times 17 = 170\ cm $

أي المنسوب +1,70 m.

4) كل قلبة فيها $10 - 1 = 9$ نائمات:

$ L = 9 \times 30 = 270\ cm = 2{,}70\ m $

عمق الفسحة المتبقي في القفص: $l_p = 3{,}90 - 2{,}70 = 1{,}20\ m$، أكبر من $Q = 1{,}00\ m$: مقبول. العرض اللازم $2Q + j = 2{,}00 + 0{,}20 = 2{,}20\ m$، أقل من 2,30 m: المدرج يدخل في القفص (يبقى 10 cm لتلبيس الجدران).

5) $\tan \alpha = 17/30 = 0{,}567$، ومنه $\alpha = 29{,}5°$ (الآلة في نمط DEG).

6) الطول المائل لدرجة $\sqrt{30^2 + 17^2} = 34{,}48\ cm$، فـ $L' = 9 \times 34{,}48 = 310{,}3\ cm$. المجاز مع الفسحة: $\ell = 3{,}10 + 1{,}20 = 4{,}30\ m$.

$ \frac{\ell}{30} = \frac{430}{30} = 14{,}3\ cm $

نأخذ $e = 15\ cm$، وهو أقل من $\ell/20 = 21{,}5\ cm$: مقبول.

التمرين 2: قراءة مسقط مدرج في مدرسة


المعطيات: يمثّل الشكل المسقط الأفقي لمدرج في مدرسة (مبنى عمومي). القلبة الأولى (في الأسفل) فيها 7 نائمات طولها 2,03 m، والقلبة الثانية (في الأعلى) فيها 9 نائمات طولها 2,61 m. طول الدرجة 1,10 m، والفراغ الوسطي 0,10 m، وعمق فسحة الراحة 1,30 m. الخطوة المتوسطة 64 cm.

الأسئلة:

• سمّ العناصر المرقمة من 1 إلى 4.
• احسب عرض النائمة g ثم ارتفاع القائمة h.
• احسب منسوب فسحة الراحة وارتفاع الطابق H.
• احسب الأبعاد الداخلية للقفص.
• هل طول الدرجة مطابق لمبنى عمومي؟ علّل.

الحل:

1) 1: فسحة الراحة (palier de repos)؛ 2: القلبة الأولى (volée)؛ 3: فسحة الانطلاق (palier de départ)؛ 4: خط السير (ligne de foulée).

2) $g = 203/7 = 29\ cm$، ثم من بلوندل:

$ h = \frac{64 - 29}{2} = 17{,}5\ cm $

القيمتان داخل المجالين المعتادين (h في حدّه الأعلى).

3) القلبة الأولى 7 نائمات أي 8 قوائم: $H_1 = 8 \times 17{,}5 = 140\ cm$، المنسوب +1,40 m. القلبة الثانية 9 نائمات أي 10 قوائم، ترتفع $10 \times 17{,}5 = 175\ cm$. فارتفاع الطابق:

$ H = 140 + 175 = 315\ cm = 3{,}15\ m $

تحقق: $n = 8 + 10 = 18$ قائمة و $18 \times 17{,}5 = 315\ cm$.

4) الطول: أطول قلبة زائد الفسحة، $2{,}61 + 1{,}30 = 3{,}91\ m$. العرض: $2 \times 1{,}10 + 0{,}10 = 2{,}30\ m$. القفص $3{,}91 \times 2{,}30\ m$.

5) في مبنى عمومي يجب ألا يقل طول الدرجة عن 1,20 m؛ هنا 1,10 m فقط: غير مطابق. يجب توسيع كل قلبة إلى 1,20 m على الأقل، فيصبح عرض القفص $2 \times 1{,}20 + 0{,}10 = 2{,}50\ m$، وعمق الفسحة 1,30 m يبقى كافيا لأنه أكبر من 1,20 m.

التمرين 3: مدرج بقلبة واحدة نحو طابق نصفي

المعطيات: مدرج مستقيم بقلبة واحدة يربط محلا تجاريا بطابقه النصفي (mezzanine). الارتفاع بين الأرضيتين $H = 2{,}55\ m$، ارتفاع القائمة المبدئي 17 cm. أرضية الطابق النصفي سمكها $e_p = 0{,}20\ m$، والمعماري يقترح فتحة أرضية طولها 3,60 m. الارتفاع الحر المطلوب 2,00 m. الحصيرة مسنودة عند طرفيها فقط (مجازها هو طولها المائل L'). وزن الخرسانة الحجمي $25\ kN/m^3$.

الأسئلة:

• احسب n و h و g وعدد النائمات وطول القلبة L.
• احسب α والطول المائل L'.
• تحقق من الارتفاع الحر بالفتحة المقترحة، ثم احسب الطول الأدنى للفتحة مقرّبا إلى 10 cm الأعلى.
• احسب سمك الحصيرة e بالقاعدة $\ell/30$.
• احسب الوزن الذاتي للحصيرة مع الدرجات لكل متر مربع أفقي.

الحل:

1) $n = 255/17 = 15$ قائمة و $h = 17\ cm$؛ $g = 64 - 34 = 30\ cm$؛ النائمات $15 - 1 = 14$؛ $L = 14 \times 30 = 420\ cm = 4{,}20\ m$.

2) $\tan \alpha = 0{,}567$ ومنه $\alpha = 29{,}5°$ و $\cos \alpha = 0{,}870$.

$ L' = 14 \times 34{,}48 = 482{,}7\ cm $

أي $L' = 4{,}83\ m$ (تحقق: $420/0{,}870 = 482{,}8\ cm$).

3) بالفتحة المقترحة:

$ E = 3{,}60 \times 0{,}567 - 0{,}20 = 1{,}84\ m $

أقل من 2,00 m: غير مقبولة. الطول الأدنى:

$ T = \frac{2{,}00 + 0{,}20}{0{,}567} = 3{,}88\ m $

نأخذ $T = 3{,}90\ m$، فيصبح $E = 3{,}90 \times 0{,}567 - 0{,}20 = 2{,}01\ m$. تبدأ الفتحة على بعد $4{,}20 - 3{,}90 = 0{,}30\ m$ من القائمة الأولى.

4) $\ell = L' = 4{,}83\ m$، و $\ell/30 = 483/30 = 16{,}1\ cm$ فنأخذ $e = 17\ cm$، وهو أقل من $\ell/20 = 24{,}1\ cm$.

5) السمك الشاقولي $0{,}17/0{,}870 = 0{,}195\ m$ ومتوسط الدرجات $0{,}085\ m$، ومجموعهما $0{,}280\ m$:

$ G = 25 \times 0{,}280 = 7{,}0\ kN/m^2 $

> تعليق: سمك 17 cm قريب من الحدّ الأعلى للقيم المعتادة، والسبب طول القلبة الواحدة (14 نائمة دون فسحة). لو قسمنا المدرج إلى قلبتين بفسحة راحة لقصر المجاز وقلّ السمك.

خلاصة الطريقة

| الخطوة | العلاقة | |---|---| | 1. القوائم | $n = H/h_0$ ثم التقريب و $h = H/n$ | | 2. النائمة | $g = 64 - 2h$ والتحقق من 60 إلى 66 cm | | 3. التوزيع | $n = n_1 + n_2$ و $H_1 = n_1 \cdot h$ | | 4. الأطوال | $L_i = (n_i - 1) \cdot g$ | | 5. القفص | $L_{max} + l_p$ و $2Q + j$ | | 6. الميل | $\tan \alpha = h/g$ | | 7. الحصيرة | $L' = L/\cos \alpha$ و $e \approx \ell/30$ | | 8. الفتحة | $T \ge (E + e_p)/\tan \alpha$ |