حساب المساحات

3. مساحة المثلث بضلعين وزاوية محصورة

العلاقة

إذا عرفنا ضلعين $a$ و$b$ لمثلث والزاوية $\alpha$ المحصورة بينهما، فإنّ ارتفاع المثلث النازل على الضلع $a$ هو $h = b \sin\alpha$، ومنه:

$ S = \frac{1}{2}\, a\, b \sin\alpha $

> مساحة المثلث تساوي نصف جداء ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما.

• تكون المساحة أكبر ما يمكن عندما $\alpha = 100\ gr$ (زاوية قائمة، $\sin\alpha = 1$).
• $\sin\alpha = \sin(200 - \alpha)$: زاويتان متكاملتان تعطيان نفس المساحة.
• الزاوية في الطبوغرافيا بالغراد، فالآلة الحاسبة على وضع GRAD.

الزاوية من فرق سمتين

في الميدان أو انطلاقا من الإحداثيات نعرف سمتي الضلعين الخارجين من الرأس A: $G_{AB}$ و$G_{AC}$. الزاوية الأفقية المحصورة بينهما هي فرق السمتين:

$ \alpha = G_{AC} - G_{AB} $

حيث AC هو الضلع الذي يأتي بعد AB عند الدوران في اتجاه عقارب الساعة. إذا كان الفرق سالبا نضيف $400\ gr$ (حالة عبور الشمال). مثال: $G_{AB} = 350{,}00\ gr$ و$G_{AC} = 30{,}00\ gr$ تعطيان $\alpha = 30 - 350 + 400 = 80{,}00\ gr$.


يبيّن الشكل الرأس A واتجاه الشمال فيه، والسمت $G_{AB}$ (بالأزرق) والسمت $G_{AC}$ (بالأحمر) يقاسان من الشمال في اتجاه عقارب الساعة، والزاوية $\alpha$ (بالأخضر) هي فرقهما، والضلعان $L_{AB}$ و$L_{AC}$ يحصرانها.

مثال محلول

مثلث ABC إحداثياته بالمتر: $A(210{,}00 ; 340{,}00)$، $B(290{,}00 ; 395{,}00)$، $C(305{,}00 ; 280{,}00)$. احسب مساحته بالإحداثيات القطبية انطلاقا من الرأس A، ثم تحقّق بالإحداثيات القائمة.

1) السمت والطول للضلع AB: $\Delta X = 80{,}00\ m$ و$\Delta Y = 55{,}00\ m$ (الربع الأول).

$ \tan g = \frac{80}{55} = 1{,}4545 $

ومنه $g = 61{,}66\ gr$ و$G_{AB} = 61{,}66\ gr$، و$L_{AB} = \sqrt{80^2 + 55^2} = 97{,}08\ m$.

2) السمت والطول للضلع AC: $\Delta X = 95{,}00\ m$ و$\Delta Y = -60{,}00\ m$ (الربع الثاني).

$ \tan g = \frac{95}{60} = 1{,}5833 $

ومنه $g = 64{,}14\ gr$ و$G_{AC} = 200 - 64{,}14 = 135{,}86\ gr$، و$L_{AC} = \sqrt{95^2 + 60^2} = 112{,}36\ m$.

3) الزاوية: $\alpha = 135{,}86 - 61{,}66 = 74{,}20\ gr$.

4) المساحة:

$ S = \frac{1}{2} \times 97{,}08 \times 112{,}36 \times \sin 74{,}20 $

$ S = 5453{,}95 \times 0{,}91900 $

$ S = 5012{,}17\ m^2 $

5) التحقق بالإحداثيات القائمة:

$ 2S = 210(280 - 395) $

$ \quad + 290(340 - 280) + 305(395 - 340) $

$ 2S = -24150 + 17400 + 16775 $

$ 2S = 10\,025 $

أي $S = 5012{,}50\ m^2$. الفرق $0{,}33\ m^2$ (أقلّ من $0{,}01\ \%$) سببه تقريب السموت والأطوال إلى $0{,}01$؛ فالطريقتان متطابقتان عمليا.

تعميم: تقسيم مضلع إلى مثلثات من رأس واحد

كلّ مضلع محدّب يمكن تقسيمه بأقطار تخرج من رأس واحد A إلى مثلثات متجاورة. إذا عرفنا من A طول وسمت كلّ رأس (B، C، D…) فإنّ:

$ S = S_{ABC} + S_{ACD} + \dots $

وكلّ حدّ يحسب بالعلاقة $\frac{1}{2}\, L_1 L_2 \sin(G_2 - G_1)$. هذه هي الطريقة القطبية والمحطة في رأس من رؤوس القطعة، وسنعمّمها في الجزء الموالي على محطة كيفية.

الاستعمال العكسي

• طول مجهول: إذا عرفنا المساحة المطلوبة $S$ والضلع $a$ والزاوية $\alpha$، فإنّ $b = \frac{2S}{a \sin\alpha}$.
• زاوية مجهولة: $\sin\alpha = \frac{2S}{a\, b}$؛ لهذه المعادلة حلّان $\alpha$ و$200 - \alpha$، ونختار بينهما بالشكل (زاوية حادة أو منفرجة).

أخطاء شائعة

• الآلة على وضع الدرجات: في المثال $\sin 74{,}20^{\circ} = 0{,}9622$ يعطي $5247{,}89\ m^2$ بدل $5012{,}17\ m^2$؛ خطأ يقارب $236\ m^2$.
• جمع السمتين بدل طرحهما، أو طرح السمت الأكبر من الأصغر دون إضافة $400\ gr$.
• نسيان $\frac{1}{2}$.
• الخلط بين الربعين عند حساب $G_{AC}$: هنا $\Delta Y 0$ فالسمت $200 - g$ لا $g$.

4. المساحة بالإحداثيات القطبية (الطريقة الإشعاعية)

المبدأ

في الميدان نضع جهاز المزولة (théodolite) أو التاكيومتر في محطة O، ونرصد منه كلّ رؤوس القطعة: لكلّ رأس نقيس المسافة الأفقية $L_n$ (بالشريط، أو بالقياس الإلكتروني، أو بالقياس الاستاديمتري: المسافة $D = 100\,(L_s - L_i)$ بخط نظر أفقي كما في درس السمت الإحداثي، ونسمّيها هنا $L_n$ لأنّها ضلع المثلث القطبي) والزاوية الأفقية التي تعطي سمته $G_n$. تُسمّى هذه الطريقة الإشعاعية (rayonnement)، والثنائية $(L_n ; G_n)$ هي الإحداثيات القطبية للرأس بالنسبة للمحطة.

تنقسم القطعة إلى مثلثات رأسها المشترك O: المثلث OAB ضلعاه $L_A$ و$L_B$ والزاوية بينهما $G_B - G_A$، فمساحته $\frac{1}{2}\, L_A L_B \sin(G_B - G_A)$. وبجمع كلّ المثلثات:

$ S = \frac{1}{2} \sum L_n\, L_{n+1} \sin(G_{n+1} - G_n) $

> الرؤوس مرقّمة بالترتيب على محيط القطعة في اتجاه عقارب الساعة، والترقيم دوري: الحدّ الأخير يربط الرأس الأخير بالرأس الأول.

إذا رُقّمت الرؤوس عكس عقارب الساعة جاء المجموع سالبا بنفس القيمة، فنأخذ قيمته المطلقة كما في الإحداثيات القائمة.

ملاحظة مهمّة: العلاقة لا تستعمل إلا فروق السموت. فإذا لم يكن الجهاز موجّها نحو الشمال، يمكن استعمال قراءات الدائرة الأفقية $Hz$ مباشرة بدل السموت، لأنّ الفرق بين قراءتين هو نفسه الفرق بين السمتين.

الحالة 1: المحطة داخل القطعة


يبيّن الشكل المحطة O داخل القطعة ABCDE والأشعة الخمسة نحو الرؤوس، والسمتين $G_A$ و$G_B$ المقاسين من الشمال، والمثلث الأول OAB (المساحة S1). كلّ المثلثات الخمسة تُجمع.

مثال محلول: من محطة O داخل القطعة قيست المعطيات التالية:

| الرأس | $L$ (m) | $G$ (gr) | |---|---|---| | A | $52{,}30$ | $28{,}40$ | | B | $61{,}20$ | $112{,}75$ | | C | $47{,}85$ | $186{,}10$ | | D | $55{,}40$ | $254{,}60$ | | E | $49{,}70$ | $341{,}25$ |

نحسب في جدول، مع الانتباه إلى الحدّ الأخير (من E إلى A) الذي يعبر الشمال: $G_A - G_E = 28{,}40 - 341{,}25 = -312{,}85\ gr$، فنضيف $400$ لنجد $87{,}15\ gr$ (وللزاويتين نفس الجيب).

| المثلث | $L_n L_{n+1}$ | $G_{n+1} - G_n$ (gr) | $\sin$ | الجداء | |---|---|---|---|---| | OAB | $3200{,}76$ | $84{,}35$ | $0{,}96994$ | $3104{,}53$ | | OBC | $2928{,}42$ | $73{,}35$ | $0{,}91365$ | $2675{,}56$ | | OCD | $2650{,}89$ | $68{,}50$ | $0{,}88006$ | $2332{,}95$ | | ODE | $2753{,}38$ | $86{,}65$ | $0{,}97809$ | $2693{,}06$ | | OEA | $2599{,}31$ | $87{,}15$ | $0{,}97970$ | $2546{,}54$ | | المجموع | | $400{,}00$ | | $13\,352{,}64$ |

$ S = \frac{13\,352{,}64}{2} = 6676{,}32\ m^2 $

مراقبة الزوايا: عندما تكون المحطة داخل القطعة تدور الأشعة دورة كاملة، فمجموع الزوايا $G_{n+1} - G_n$ (بعد التصحيح) يساوي $400\ gr$. هنا: $84{,}35 + 73{,}35 + 68{,}50 + 86{,}65 + 87{,}15 = 400{,}00\ gr$.

التحقق بالإحداثيات القائمة: إذا كانت المحطة $O(300{,}00 ; 200{,}00)$ فإنّ $X = X_O + L \sin G$ و$Y = Y_O + L \cos G$ تعطي $A(322{,}57 ; 247{,}18)$، $B(359{,}98 ; 187{,}82)$، $C(310{,}36 ; 153{,}29)$، $D(258{,}10 ; 163{,}76)$، $E(260{,}37 ; 230{,}00)$، وتعطي صيغة X بهذه الإحداثيات $2S = 13\,352{,}87$ أي $S \approx 6676{,}44\ m^2$. الفرق $0{,}12\ m^2$ ناتج عن التقريب إلى السنتيمتر.

الحالة 2: المحطة خارج القطعة

قد لا يمكن الدخول إلى القطعة (بناية، بستان مسيّج، وادٍ…)، فنرصدها من محطة خارجها. العلاقة نفسها تبقى صالحة، لكن أحد الحدود يصبح سالبا تلقائيا: إشارة الجيب هي التي تطرح المثلث الزائد.


يبيّن الشكل المحطة O خارج المثلث ABC: المثلثان OAB وOBC (بالأخضر) يغطيان المثلث ABC ومعه المثلث OAC (بالأحمر) الذي يجب طرحه، فـ $S = S_{OAB} + S_{OBC} - S_{OAC}$.

مثال محلول: من محطة O خارج القطعة المثلثية ABC:

| الرأس | $L$ (m) | $G$ (gr) | |---|---|---| | A | $85{,}00$ | $42{,}00$ | | B | $120{,}00$ | $78{,}00$ | | C | $70{,}00$ | $118{,}00$ |

• الحدّ OAB: $85 \times 120 \times \sin(78 - 42) = 10\,200 \times 0{,}53583 = 5465{,}43$
• الحدّ OBC: $120 \times 70 \times \sin(118 - 78) = 8400 \times 0{,}58779 = 4937{,}40$
• الحدّ OCA: $70 \times 85 \times \sin(42 - 118) = 5950 \times (-0{,}92978) = -5532{,}17$

$ S = \frac{5465{,}43 + 4937{,}40 - 5532{,}17}{2} $

$ S = \frac{4870{,}66}{2} = 2435{,}33\ m^2 $

مراقبة الزوايا: عندما تكون المحطة خارج القطعة لا تدور الأشعة دورة كاملة، فمجموع الفروق يساوي صفرا: $36 + 40 - 76 = 0$.

ملاحظة للامتحان

• نظّم الحساب في جدول: الرأس، $L$، $G$، فرق السمتين، الجداء $L_n L_{n+1}$، الجيب، الحدّ.
• اكتب الجيب بإشارته: جيب زاوية بين $200$ و$400\ gr$ (أو سالبة) سالب.
• راقب مجموع الفروق: $400\ gr$ للمحطة الداخلية، $0$ للمحطة الخارجية.
• إذا كانت المحطة رأسا من رؤوس القطعة نعود إلى تقسيم المضلع إلى مثلثات من رأس (الجزء 3).

أخطاء شائعة

• استعمال السمت نفسه $G_n$ داخل الجيب بدل الفرق $G_{n+1} - G_n$.
• نسيان الحدّ الأخير الذي يغلق المضلع (من الرأس الأخير إلى الأول).
• مع محطة خارجية: أخذ القيمة المطلقة لكلّ حدّ، فيُجمع المثلث الزائد بدل أن يُطرح.
• الآلة الحاسبة على وضع الدرجات.

5. مقارنة الطريقتين، كفاية القطعة وتقسيم الأراضي

مقارنة النتيجتين

في الامتحان يُطلب غالبا حساب المساحة بطريقتين (القائمة والقطبية) ثم المقارنة. نميّز حالتين:

| الفرق بين النتيجتين | التفسير | ماذا نفعل | |---|---|---| | صغير جدا (أجزاء من m² على آلاف m²) | تقريب السموت والأطوال إلى $0{,}01$ | نقبل النتيجة ونذكر سبب الفرق | | كبير (عشرات أو مئات m²) | خطأ حساب | نبحث عن الخطأ |

أهمّ مصادر الخطأ الكبير: الآلة على وضع الدرجات، خطأ في ربع السمت، نسيان إضافة $400\ gr$، ترتيب خاطئ للرؤوس، نسيان الحدّ الأخير أو القسمة على 2.

الفرق النسبي يعطي فكرة واضحة:

$ e = \frac{|S_1 - S_2|}{S_1} \times 100 $

مثال الجزء 3: $S_1 = 5012{,}50\ m^2$ و$S_2 = 5012{,}17\ m^2$ فـ $e = 0{,}007\ \%$: الطريقتان متطابقتان عمليا.

هل القطعة كافية للمشروع؟

سؤال متكرّر: تُعطى قطعة أرض ويُعطى برنامج المشروع (مساحات المباني والساحات والموقف والمساحات الخضراء، أو مساحة دنيا بالهكتار). الطريقة:

• نحسب مساحة القطعة $S$ (بطريقة أو بطريقتين).
• نحسب المساحة المطلوبة $S_{req}$ بجمع مكوّنات البرنامج، بعد توحيد الوحدات (m²).
• نقارن: إذا كان $S \ge S_{req}$ فالقطعة كافية والفائض $S - S_{req}$؛ وإلا فهي غير كافية والعجز $S_{req} - S$.

مثال محلول: يتطلّب مستوصف مساحة دنيا $0{,}60\ ha$. هل تكفيه القطعة ABCD المدروسة في الجزء 2 ($S = 5828{,}51\ m^2$)؟

• المساحة المطلوبة: $0{,}60\ ha = 6000\ m^2$.
• المقارنة: $5828{,}51 < 6000$، فالقطعة غير كافية.
• العجز: $6000 - 5828{,}51 = 171{,}49\ m^2$؛ يجب اقتناء قطعة مجاورة لا تقلّ عن هذه المساحة أو تقليص البرنامج.

تقسيم قطعة مثلثية بمستقيم من رأس


يبيّن الشكل (a) المثلث ABC مقسوما بالمستقيم AD حيث D على الضلع BC، والشكل (b) المثلث نفسه مقسوما بالمستقيم CE حيث E على الضلع AB.

القاعدة: المثلثان ABD وADC لهما نفس الارتفاع النازل من A على BC، فمساحتاهما متناسبتان مع قاعدتيهما:

$ \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{BD}{BC} = k $

> لتقسيم مثلث بنسبة $k$ بمستقيم من رأسه A، نأخذ النقطة D على الضلع المقابل BC بحيث $BD = k \cdot BC$. وللقسمة إلى نصفين متساويين: D منتصف BC.

إحداثيات النقطة D التي تقسم القطعة BC بنسبة $k$ (انطلاقا من B):

$ X_D = X_B + k\,(X_C - X_B) $

$ Y_D = Y_B + k\,(Y_C - Y_B) $

مثال محلول: قطعة مثلثية $A(50 ; 180)$، $B(170 ; 200)$، $C(140 ; 60)$ (بالمتر) يرثها أخ وأخت: للأخت الثلث، يحدّه مستقيم من A.

• المساحة الكلّية: $2S = 50(60 - 200) + 170(180 - 60) + 140(200 - 180) = -7000 + 20\,400 + 2800 = 16\,200$، أي $S = 8100\ m^2$.
• حصّة الأخت: $S_1 = 8100 / 3 = 2700\ m^2$، أي $k = 1/3$.
• النقطة D: $X_D = 170 + \frac{1}{3}(140 - 170) = 160{,}00\ m$ و$Y_D = 200 + \frac{1}{3}(60 - 200) = 153{,}33\ m$.
• التحقق: $2S_{ABD} = 50(153{,}33 - 200) + 170(180 - 153{,}33) + 160(200 - 180) = 5400$ تقريبا، أي $S_{ABD} = 2700\ m^2$، والباقي $S_{ADC} = 5400\ m^2$ للأخ.

نقطة على ضلع لمساحة معلومة

في الشكل (b) نريد أن تكون مساحة المثلث AEC معلومة $S_1$، والنقطة E على الضلع AB. نستعمل علاقة الجزء 3: $S_1 = \frac{1}{2}\, L_{AC}\, L_{AE} \sin\alpha$ حيث $\alpha$ الزاوية عند A، ومنه:

$ L_{AE} = \frac{2 S_1}{L_{AC} \sin\alpha} $

ثم نحسب إحداثيات E بالسمت $G_{AE} = G_{AB}$ (E على AB):

$ X_E = X_A + L_{AE} \sin G_{AB} $

$ Y_E = Y_A + L_{AE} \cos G_{AB} $

مثال محلول: في المثلث السابق نريد $S_{AEC} = 4000\ m^2$.

• $G_{AB} = 89{,}49\ gr$ و$L_{AB} = 121{,}66\ m$؛ $G_{AC} = 159{,}03\ gr$ و$L_{AC} = 150{,}00\ m$؛ $\alpha = 159{,}03 - 89{,}49 = 69{,}54\ gr$.
• $L_{AE} = \frac{2 \times 4000}{150 \times \sin 69{,}54} = \frac{8000}{133{,}16} = 60{,}08\ m$.
• تحقق بالتناسب: $L_{AE} = L_{AB} \times \frac{4000}{8100} = 121{,}66 \times 0{,}4938 = 60{,}08\ m$.
• $X_E = 50 + 60{,}08 \sin 89{,}49 = 109{,}26\ m$ و$Y_E = 180 + 60{,}08 \cos 89{,}49 = 189{,}87\ m$.
• تحقق بنقطة التقسيم على AB بالنسبة $k = 4000/8100 = 0{,}4938$: $X_E = 50 + 0{,}4938 \times 120 = 109{,}26\ m$ و$Y_E = 180 + 0{,}4938 \times 20 = 189{,}88\ m$؛ الفرق $1\ cm$ سببه تقريب السمت إلى $0{,}01\ gr$.

تقسيم قطعة رباعية

نقسم الرباعي ABCD بالقطر AC إلى مثلثين ABC وACD ونحسب مساحتيهما. إذا كانت الحصّة المطلوبة $S_1$ أصغر من $S_{ACD}$، فإنّ خطّ التقسيم يخرج من A ويقطع الضلع CD في نقطة E بحيث $\frac{DE}{DC} = \frac{S_1}{S_{ACD}}$؛ وإلا فإنّه يقطع الضلع BC. (حلّ كامل في التمرين 3 من الجزء الأخير.)

أخطاء شائعة

• الظنّ أنّ مستقيما من رأس إلى منتصف ضلع يقسم الرباعي إلى نصفين: هذا صحيح للمثلث فقط.
• قياس النسبة $k$ انطلاقا من الرأس الخطأ (C بدل B).
• مقارنة مساحة بـ m² بمساحة مطلوبة بالهكتار دون تحويل.
• اعتبار فرق كبير بين الطريقتين «فرق تقريب».

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: قطعة أرض لإنجاز متوسطة

المعطيات: خُصّصت قطعة أرض خماسية ABCDE لإنجاز متوسطة. إحداثيات رؤوسها (بالمتر):

| الرأس | A | B | C | D | E | |---|---|---|---|---|---| | $X$ (m) | $210{,}00$ | $230{,}00$ | $320{,}00$ | $375{,}00$ | $300{,}00$ | | $Y$ (m) | $150{,}00$ | $255{,}00$ | $280{,}00$ | $190{,}00$ | $120{,}00$ |

برنامج المشروع: مبانٍ $4200\ m^2$، ساحة $5000\ m^2$، ملعب $6000\ m^2$، مساحات خضراء وموقف $2500\ m^2$.


يبيّن الشكل القطعة مرسومة بالسلّم واتجاه الشمال، والقطرين AC وAD (بالأحمر المتقطّع) اللذين يقسمانها إلى ثلاثة مثلثات S1 وS2 وS3.

المطلوب:

• احسب مساحة القطعة بالإحداثيات القائمة، وتحقّق بصيغة Y.
• عبّر عنها بالآر وبالهكتار.
• احسب $G_{AC}$ و$L_{AC}$ و$G_{AD}$ و$L_{AD}$، ثم الزاوية $\alpha$ بين AC وAD، ومساحة المثلث ACD بالطريقة القطبية.
• هل القطعة كافية للمشروع؟

الحل:

1) الجدول بصيغة X (سابق A هو E ولاحق E هو A):

| الرأس | $X_n$ | $Y_{n-1} - Y_{n+1}$ | الجداء | |---|---|---|---| | A | $210$ | $120 - 255 = -135$ | $-28\,350$ | | B | $230$ | $150 - 280 = -130$ | $-29\,900$ | | C | $320$ | $255 - 190 = 65$ | $20\,800$ | | D | $375$ | $280 - 120 = 160$ | $60\,000$ | | E | $300$ | $190 - 150 = 40$ | $12\,000$ | | المجموع | | $0$ | $34\,550$ |

بصيغة Y: الفروق $X_{n+1} - X_{n-1}$ هي $-70$، $110$، $145$، $-20$، $-165$ (مجموعها 0)، والجداءات $-10\,500$، $28\,050$، $40\,600$، $-3800$، $-19\,800$، ومجموعها $34\,550$ أيضا.

$ S = \frac{34\,550}{2} = 17\,275{,}00\ m^2 $

2) $S = 172{,}75\ a = 1{,}7275\ ha$.

3) من الرأس A:

• AC: $\Delta X = 110$، $\Delta Y = 130$ (الربع الأول)، $\tan g = 0{,}84615$، $G_{AC} = 44{,}71\ gr$، $L_{AC} = \sqrt{29\,000} = 170{,}29\ m$.
• AD: $\Delta X = 165$، $\Delta Y = 40$ (الربع الأول)، $\tan g = 4{,}125$، $G_{AD} = 84{,}86\ gr$، $L_{AD} = \sqrt{28\,825} = 169{,}78\ m$.
• $\alpha = 84{,}86 - 44{,}71 = 40{,}15\ gr$.

$ S_{ACD} = \frac{1}{2}\, L_{AC}\, L_{AD} \sin\alpha $

بالتعويض: $\frac{1}{2} \times 170{,}29 \times 169{,}78 = 14\,455{,}92$ و$\sin 40{,}15\ gr = 0{,}58969$، ومنه:

$ S_{ACD} = 8524{,}51\ m^2 $

(بالإحداثيات القائمة نجد بالضبط $8525\ m^2$؛ ومع $S_{ABC} = 4475\ m^2$ و$S_{ADE} = 4275\ m^2$ نجد المجموع $17\,275\ m^2$، وهو تحقق ثالث.)

4) المساحة المطلوبة: $4200 + 5000 + 6000 + 2500 = 17\,700\ m^2$. بما أنّ $17\,275 < 17\,700$ فالقطعة غير كافية، والعجز $425\ m^2$.

التمرين 2: رفع قطعة بالتاكيومتر من محطة واحدة

المعطيات: لرفع قطعة ABCD وُضع تاكيومتر في المحطة $S(500{,}00 ; 400{,}00)$ ووُجّهت دائرته الأفقية نحو الشمال (فالقراءة $Hz$ هي السمت $G$)، وكلّ التصويبات أفقية. القراءات على القامة (mire):

| النقطة | $L_s$ (m) | $L_i$ (m) | $G$ (gr) | |---|---|---|---| | A | $1{,}842$ | $1{,}375$ | $356{,}20$ | | B | $2{,}105$ | $1{,}520$ | $48{,}60$ | | C | $1{,}960$ | $1{,}438$ | $132{,}40$ | | D | $1{,}735$ | $1{,}301$ | $241{,}80$ |


يبيّن الشكل المحطة S داخل القطعة والأشعة الأربعة، والسمت $G_B$ (قصير، الربع الأول) والسمت $G_A$ (دورة شبه كاملة، الربع الرابع).

المطلوب: 1) المسافات الأفقية. 2) المساحة بالإحداثيات القطبية مع مراقبة الزوايا. 3) إحداثيات الرؤوس والتحقق بالإحداثيات القائمة. 4) هل تكفي القطعة لمشروع يتطلّب $0{,}50\ ha$؟

الحل:

1) تصويب أفقي، فالمسافة الأفقية $D = 100\,(L_s - L_i)$ وهي الضلع $L_n$ في علاقة المساحة: $L_A = 46{,}70\ m$، $L_B = 58{,}50\ m$، $L_C = 52{,}20\ m$، $L_D = 43{,}40\ m$.

2) الترتيب على المحيط مع عقارب الساعة: A ثم B ثم C ثم D. الفرق الأول يعبر الشمال: $48{,}60 - 356{,}20 + 400 = 92{,}40\ gr$.

| المثلث | $L_n L_{n+1}$ | الزاوية (gr) | $\sin$ | الحدّ | |---|---|---|---|---| | SAB | $2731{,}95$ | $92{,}40$ | $0{,}99288$ | $2712{,}51$ | | SBC | $3053{,}70$ | $83{,}80$ | $0{,}96780$ | $2955{,}36$ | | SCD | $2265{,}48$ | $109{,}40$ | $0{,}98912$ | $2240{,}83$ | | SDA | $2026{,}78$ | $114{,}40$ | $0{,}97453$ | $1975{,}15$ | | المجموع | | $400{,}00$ | | $9883{,}85$ |

مجموع الزوايا $400\ gr$: المحطة داخل القطعة والقراءات منسجمة. $S = 9883{,}85 / 2 = 4941{,}92\ m^2$ (بالحساب دون تقريب الحدود).

3) $X = 500 + L \sin G$ و$Y = 400 + L \cos G$:

| الرأس | $X$ (m) | $Y$ (m) | |---|---|---| | A | $470{,}35$ | $436{,}08$ | | B | $540{,}45$ | $442{,}27$ | | C | $545{,}58$ | $374{,}57$ | | D | $473{,}51$ | $365{,}62$ |

صيغة X: الجداءات $-36\,052{,}33$، $33\,243{,}08$، $41\,818{,}71$، $-29\,125{,}60$، ومجموعها $2S = 9883{,}86$، أي $S = 4941{,}93\ m^2$. الفرق مع الطريقة القطبية $0{,}01\ m^2$: النتيجتان متطابقتان.

4) $0{,}50\ ha = 5000\ m^2 > 4941{,}92\ m^2$: القطعة غير كافية والعجز $58{,}08\ m^2$. (فرق صغير، لذلك لا يُحكم بالتقدير بالعين: الحساب الدقيق ضروري.)

التمرين 3: تقسيم ميراث

المعطيات: قطعة ABCD (بالمتر) $A(100 ; 100)$، $B(132 ; 230)$، $C(260 ; 250)$، $D(212 ; 80)$ يرثها أخ (الثلثان) وأخت (الثلث). تأخذ الأخت الجزء المجاور للرأس D، ويحدّه مستقيم AE حيث E على الضلع CD.


يبيّن الشكل القطر AC (متقطّع) ومستقيم التقسيم AE (بالأحمر): حصّة الأخ S1 هي الرباعي ABCE، وحصّة الأخت S2 هي المثلث AED.

المطلوب: 1) مساحة القطعة. 2) مساحتا المثلثين ABC وACD. 3) إحداثيات E والطول $L_{DE}$. 4) $G_{AE}$ و$L_{AE}$ لتوقيع خطّ التقسيم من A. 5) تحقّق من حصّة الأخت بالطريقة القطبية من A.

الحل:

1) $2S = 100(80 - 230) + 132(100 - 250) + 260(230 - 80) + 212(250 - 100)$، أي $2S = -15\,000 - 19\,800 + 39\,000 + 31\,800 = 36\,000$ و$S = 18\,000\ m^2 = 1{,}80\ ha$.

2) $2S_{ABC} = 100(250 - 230) + 132(100 - 250) + 260(230 - 100) = 16\,000$ فـ $S_{ABC} = 8000\ m^2$؛ و$S_{ACD} = 18\,000 - 8000 = 10\,000\ m^2$ (وتعطيه صيغة X مباشرة أيضا).

3) حصّة الأخت $18\,000 / 3 = 6000\ m^2$، وهي أصغر من $S_{ACD}$، فالنقطة E على CD. المثلثان AED وACD لهما نفس الارتفاع من A على CD:

$ \frac{DE}{DC} = \frac{6000}{10\,000} = 0{,}6 $

• $X_E = 212 + 0{,}6 \times (260 - 212) = 240{,}80\ m$
• $Y_E = 80 + 0{,}6 \times (250 - 80) = 182{,}00\ m$
• $L_{DC} = \sqrt{48^2 + 170^2} = 176{,}65\ m$ و$L_{DE} = 0{,}6 \times 176{,}65 = 105{,}99\ m$.

4) $\Delta X = 140{,}80$، $\Delta Y = 82{,}00$ (الربع الأول): $\tan g = 1{,}71707$، $G_{AE} = 66{,}43\ gr$، $L_{AE} = \sqrt{140{,}80^2 + 82^2} = 162{,}94\ m$.

5) AD: $\Delta X = 112$، $\Delta Y = -20$ (الربع الثاني)، $g = 88{,}75\ gr$، $G_{AD} = 200 - 88{,}75 = 111{,}25\ gr$، $L_{AD} = 113{,}77\ m$. الزاوية $\alpha = 111{,}25 - 66{,}43 = 44{,}82\ gr$:

$ S_{AED} = \frac{1}{2}\, L_{AE}\, L_{AD} \sin\alpha $

بالتعويض: $\frac{1}{2} \times 162{,}94 \times 113{,}77 = 9268{,}84$ و$\sin 44{,}82\ gr = 0{,}64730$، ومنه:

$ S_{AED} = 5999{,}68\ m^2 $

أي $6000\ m^2$ بفارق التقريب: القسمة صحيحة، والأخ يأخذ $12\,000\ m^2$.

نصائح للامتحان

• اقرأ الشكل: ترتيب الرؤوس، مكان المحطة (داخل أو خارج)، اتجاه الشمال.
• اكتب العلاقة العامة قبل التعويض، ثم الجدول، ثم النتيجة بوحدتها.
• استعمل الطريقة الثانية للتحقق كلّما طُلب «تحقّق» أو «قارن»، واذكر سبب الفرق الصغير.
• في أسئلة الكفاية والتقسيم: وحّد الوحدات واكتب جملة الحكم بوضوح (كافية / غير كافية، الفائض أو العجز).