الشد البسيط

3. قانون هوك وحساب الاستطالة

التشوه النسبي

إذا كان طول القضيب قبل التحميل L وصار بعده $L + \Delta L$، فإن $\Delta L$ هي الاستطالة المطلقة (allongement) بوحدة الطول، و التشوه النسبي أو الاستطالة النسبية هو:

$ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} $

ε بلا وحدة لأنه نسبة طولين، ويكتب غالبا بقوى العشرة أو بالألف: $\varepsilon = 0{,}75 \cdot 10^{-3} = 0{,}75\ ‰$.

قانون هوك


في المجال المرن يتناسب الإجهاد مع التشوه النسبي، وهذا قانون هوك (loi de Hooke):

$ \sigma = E \cdot \varepsilon $

• E معامل المرونة الطولي أو معامل يونغ (module d'Young)، وحدته وحدة الإجهاد (MPa) لأن ε بلا وحدة.
• E خاصية للمادة وحدها، لا يتعلق بطول القضيب ولا بمقطعه. هندسيا هو ميل المستقيم في المنحنى $\sigma = f(\varepsilon)$.
• القانون صالح فقط ما دام $\sigma \le \sigma_e$.

الشكل العلوي يبين القضيب قبل التحميل (طوله L) وبعده (طوله $L + \Delta L$). الشكل السفلي يبين أن المادة ذات E الأكبر (الفولاذ) يكون مستقيمها أشد ميلا: لبلوغ الإجهاد نفسه تتشوه أقل، فهي أصلب (plus rigide).

قيم E الشائعة

| المادة | E (MPa) | بالوحدات القديمة | |---|---|---| | الفولاذ | $2 \cdot 10^5$ | $2 \cdot 10^6\ daN/cm^2$ (وأحيانا $2{,}1 \cdot 10^6$) | | النحاس | $1{,}2 \cdot 10^5$ تقريبا | بعض المواضيع تعطي $0{,}9 \cdot 10^6\ daN/cm^2$ | | الحديد الصب | $1 \cdot 10^5$ تقريبا | — | | الألمنيوم | $0{,}7 \cdot 10^5$ | $0{,}7 \cdot 10^6\ daN/cm^2$ | | الخرسانة | $3 \cdot 10^4$ تقريبا | — | | الخشب (باتجاه الألياف) | $1 \cdot 10^4$ تقريبا | — |

> نستعمل دائما قيمة E المعطاة في نص التمرين.

قانون الاستطالة

بالتعويض في قانون هوك: $\sigma = N/S$ و $\varepsilon = \Delta L/L$، نجد $N/S = E \cdot \Delta L/L$، ومنه:

$ \Delta L = \frac{N \cdot L}{E \cdot S} $

> ΔL بالـ mm إذا كانت N بالـ N و L بالـ mm و E بالـ MPa و S بالـ $mm^2$. وبالوحدات القديمة: N بالـ daN و L بالـ cm و E بالـ $daN/cm^2$ و S بالـ $cm^2$ فتكون ΔL بالـ cm.

قراءة العلاقة: الاستطالة تتناسب طردا مع الجهد N والطول L، وعكسا مع صلابة المقطع $E \cdot S$. إذا ضاعفنا القطر تتضاعف المساحة أربع مرات، فتنقسم الاستطالة على 4.

ملاحظة. حين يستطيل القضيب يضيق مقطعه قليلا (التقلص العرضي)؛ نسبة التشوه العرضي إلى الطولي هي معامل بواسون ν (حوالي 0,3 للفولاذ). نهمل هذا التغير في حساب σ.

أمثلة محلولة

مثال 1: حساب الاستطالة. قضيب فولاذي طوله $L = 3{,}00\ m$ وقطره $d = 16\ mm$، يخضع لشد $N = 30\ kN$، و $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$.

• $S = \pi \times 16^2/4 = 201{,}06\ mm^2$ ، $\sigma = 30\,000/201{,}06 = 149{,}2\ MPa$: أقل من حد مرونة الفولاذ، فقانون هوك صالح.
• $\varepsilon = \sigma/E = 149{,}2/(2 \cdot 10^5) = 7{,}46 \cdot 10^{-4}$.
• $\Delta L = \varepsilon \cdot L = 7{,}46 \cdot 10^{-4} \times 3000 = 2{,}24\ mm$.

نتحقق بالعلاقة المباشرة: $N \cdot L = 30\,000 \times 3000 = 9 \cdot 10^7\ N \cdot mm$ و $E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 201{,}06 = 4{,}021 \cdot 10^7\ N$، إذن:

$ \Delta L = \frac{9 \cdot 10^7}{4{,}021 \cdot 10^7} $

أي $\Delta L = 2{,}24\ mm$، وهي النتيجة نفسها.

مثال 2: التعرف على المادة. قضيب طوله 2 m ومقطعه $100\ mm^2$ استطال 2 mm تحت شد قدره 7 kN.

• $\sigma = 7000/100 = 70\ MPa$ و $\varepsilon = 2/2000 = 10^{-3}$.
• $E = \sigma/\varepsilon = 70/10^{-3} = 7 \cdot 10^4\ MPa$: إنه الألمنيوم.

مثال 3: المقارنة بين مادتين. لو صنعنا قضيب المثال 1 من الألمنيوم ($E = 0{,}7 \cdot 10^5\ MPa$):

$E \cdot S = 0{,}7 \cdot 10^5 \times 201{,}06 = 1{,}407 \cdot 10^7\ N$، إذن:

$ \Delta L = \frac{9 \cdot 10^7}{1{,}407 \cdot 10^7} $

أي $\Delta L = 6{,}39\ mm$، وهي أكبر بـ $2 \cdot 10^5/(0{,}7 \cdot 10^5) = 2{,}86$ مرة: الإجهاد نفسه، لكن المادة أقل صلابة.

مثال 4: بالوحدات القديمة. قضيب مقطعه $30 \times 40\ mm$ طوله 5 m يخضع لشد 12 tf، و $E = 2{,}1 \cdot 10^6\ daN/cm^2$.

• $N = 12\,000\ daN$ ، $L = 500\ cm$ ، $S = 3 \times 4 = 12\ cm^2$.
• $\Delta L = 12\,000 \times 500/(2{,}1 \cdot 10^6 \times 12) = 0{,}238\ cm = 2{,}38\ mm$.

وبالـ MPa: $\Delta L = 120\,000 \times 5000/(2{,}1 \cdot 10^5 \times 1200) = 2{,}38\ mm$: النتيجة نفسها. احذر من الخطأ في الفاصلة: الاستطالة هنا مليمترات قليلة لا سنتيمترات.

مثال 5: الجهد الأقصى لاستطالة محددة. قضيب فولاذي $d = 20\ mm$ وطوله 4 m، لا يجوز أن تتجاوز استطالته 2 mm. من $\Delta L = N L/(E S)$:

$ N \le \frac{E \cdot S \cdot \Delta L}{L} $

$ N \le \frac{2 \cdot 10^5 \times 314{,}16 \times 2}{4000} $

أي $N \le 31\,416\ N = 31{,}4\ kN$، والإجهاد المقابل $\sigma = 31\,416/314{,}16 = 100\ MPa$.

أخطاء شائعة

• وضع L بالمتر مع S بالـ $mm^2$ و E بالـ MPa: النتيجة أصغر بألف مرة.
• نسيان تحويل ‰ أو % في ε.
• تطبيق قانون هوك بعد حد المرونة.
• كتابة الاستطالة بلا وحدة، أو الخلط بين ΔL (بالـ mm) و ε (بلا وحدة).

4. شرط المقاومة وتحديد أبعاد المقطع

الإجهاد المسموح به

لا نترك المادة تعمل حتى حد مرونتها، لأن الحمولات الحقيقية قد تفوق المتوقع، وخصائص المادة قد تكون أضعف من القيم الاسمية، والحساب نفسه مبني على فرضيات. لذلك نقسم حد المرونة على معامل أمان s (coefficient de sécurité) أكبر من 1، فنحصل على الإجهاد المسموح به (contrainte admissible):

$ \bar{\sigma} = \frac{\sigma_e}{s} $

• s يعطى في النص، وهو عادة بين 1,5 و 2 للفولاذ.
• مثال: فولاذ $\sigma_e = 240\ MPa$ بمعامل أمان $s = 1{,}5$ يعطي $\bar{\sigma} = 160\ MPa = 1600\ daN/cm^2$، وهي القيمة الأكثر ورودا في مواضيع البكالوريا.

شرط المقاومة

يقاوم القضيب المشدود إذا لم يتجاوز الإجهاد الأعظمي فيه الإجهاد المسموح به:

$ \sigma_{max} = \frac{N_{max}}{S} \le \bar{\sigma} $

حيث $N_{max}$ أكبر جهد ناظمي في القضيب. يستعمل هذا الشرط بثلاث طرق:

| الاستعمال | المعطيات | المجهول | العلاقة | |---|---|---|---| | 1. التحقق (vérification) | N و S و $\bar{\sigma}$ | هل يقاوم؟ | نحسب $\sigma = N/S$ ونقارنه بـ $\bar{\sigma}$ | | 2. التحجيم (dimensionnement) | N و $\bar{\sigma}$ | المقطع | $S \ge N/\bar{\sigma}$ | | 3. الحمولة القصوى | S و $\bar{\sigma}$ | أكبر جهد | $N \le \bar{\sigma} \cdot S$ |

> في التحجيم نقرب البعد دائما إلى الأعلى (إلى المليمتر أو إلى قيمة تجارية)، لأن التقريب إلى الأسفل يعطي مقطعا أصغر من اللازم.

من المساحة إلى الأبعاد


يجمع الشكل المقاطع الشائعة لعناصر الشد ومساحاتها. بعد حساب $S_{min}$ نستخرج البعد:

| المقطع | المساحة | البعد الأدنى | |---|---|---| | دائري مملوء قطره d | $S = \pi d^2/4$ | $d \ge \sqrt{4 S_{min}/\pi}$ | | مربع ضلعه a | $S = a^2$ | $a \ge \sqrt{S_{min}}$ | | مستطيل أو صفيحة $b \times e$ | $S = b \cdot e$ | نثبت بعدا ونحسب الآخر | | أنبوب D و d | $S = \pi (D^2 - d^2)/4$ | نثبت D ونحسب d الأقصى | | زاوية L (cornière) | من جدول المجنبات | نختار أول مجنب مساحته لا تقل عن $S_{min}$ |

اختيار الزوايا والمجنبات من الجداول يُدرس بالتفصيل مع الأنظمة المثلثية.

شرط الصلابة

قد يُفرض أيضا ألا تتجاوز الاستطالة قيمة مسموحة $\Delta L_{adm}$، فنكتب $S \ge N L/(E \cdot \Delta L_{adm})$. نأخذ عندئذ أكبر المساحتين: مساحة المقاومة ومساحة الصلابة.

أمثلة محلولة

مثال 1: التحقق. شداد فولاذي قطره 16 mm يخضع لجهد $N = 35\ kN$، و $\bar{\sigma} = 160\ MPa$.

• $S = 201{,}06\ mm^2$ ، $\sigma = 35\,000/201{,}06 = 174{,}1\ MPa$.
• بما أن $174{,}1 > 160$ فشرط المقاومة غير محقق.
• نجرب قطر 18 mm: $S = 254{,}47\ mm^2$ و $\sigma = 137{,}5\ MPa$، وبما أن $137{,}5 \le 160$ فالشرط محقق.

مثال 2: التحجيم. قضيب يخضع لشد قدره 10 tf، و $\bar{\sigma} = 1600\ daN/cm^2$. حدد أبعاده لثلاثة أشكال.

• نحول: $N = 100\ kN = 100\,000\ N$ و $\bar{\sigma} = 160\ MPa$.
• المساحة الدنيا: $S_{min} = 100\,000/160 = 625\ mm^2$.

• مقطع دائري: $d \ge \sqrt{4 \times 625/\pi} = 28{,}21\ mm$؛ القطر 28 لا يكفي، نأخذ $d = 30\ mm$ ($S = 706{,}86\ mm^2$ و $\sigma = 141{,}5\ MPa$).
• مقطع مربع: $a \ge \sqrt{625} = 25\ mm$؛ نأخذ $a = 25\ mm$ فيكون $\sigma = 160\ MPa$ بالضبط، والشرط محقق لأنه «أصغر أو يساوي».
• أنبوب قطره الخارجي $D = 60\ mm$: يجب أن يكون $\pi (60^2 - d^2)/4 \ge 625$، أي $d^2 \le 3600 - 795{,}8 = 2804{,}2$، ومنه $d \le 52{,}95\ mm$. نأخذ $d = 52\ mm$ (سمك 4 mm): $S = 703{,}7\ mm^2$ و $\sigma = 142{,}1\ MPa$.

لاحظ أن القطر الداخلي يقرب إلى الأسفل، لأن تكبيره ينقص المساحة.

مثال 3: الحمولة القصوى. صفيحة $50 \times 8\ mm$ و $\bar{\sigma} = 140\ MPa$: $S = 400\ mm^2$ و $N_{max} = 140 \times 400 = 56\,000\ N = 56\ kN$.

مثال 4: المقاومة والصلابة معا. قضيب فولاذي طوله 4 m يخضع لشد 40 kN، و $\bar{\sigma} = 160\ MPa$، و $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$، والاستطالة المسموحة 2 mm.

• المقاومة: $S \ge 40\,000/160 = 250\ mm^2$.
• الصلابة: $S \ge 40\,000 \times 4000/(2 \cdot 10^5 \times 2) = 400\ mm^2$.
• الصلابة هي الحاسمة: $d \ge \sqrt{4 \times 400/\pi} = 22{,}57\ mm$، نأخذ $d = 23\ mm$.
• تحقق: $S = 415{,}5\ mm^2$ ، $\sigma = 96{,}3\ MPa$ ، $\Delta L = 1{,}93\ mm$: الشرطان محققان.

أخطاء شائعة

• استعمال $\sigma_e$ في الشرط بدل $\bar{\sigma}$ (نسيان معامل الأمان).
• تقريب القطر إلى الأسفل (28 بدل 30 في المثال 2).
• مقارنة σ بالـ MPa مع $\bar{\sigma}$ بالـ $daN/cm^2$ دون تحويل.
• إيجاد نصف القطر من $\sqrt{4S/\pi}$ أو القطر من $\sqrt{S/\pi}$: الأولى تعطي القطر، والثانية نصف القطر.

> ملاحظة للامتحان: اختم دائما بجملة: «بما أن $\sigma \le \bar{\sigma}$ فالشرط محقق» أو العكس، مع القيمتين بالوحدة نفسها.

5. القضبان متعددة المقاطع والقوى: مخطط الجهد الناظمي والاستطالة الكلية

متى يتغير الجهد الناظمي؟

في الأجزاء السابقة كان القضيب مشدودا بقوتين في طرفيه، فكان N ثابتا على كل طوله. في كثير من تمارين البكالوريا تطبق قوى محورية في نقاط وسطية، أو يتغير المقطع على طول القضيب. عندها نقسم القضيب إلى أجزاء (tronçons): كل جزء محصور بين نقطتي تطبيق متتاليتين أو بين تغيرين للمقطع، ويكون N و S ثابتين في كل جزء.

الطريقة خطوة بخطوة

• التوازن: نتحقق من أن مجموع القوى المحورية معدوم، أو نحسب رد فعل التثبيت (إن وجد) من $\sum F_x = 0$.
• التقسيم: نسمي الأجزاء AB، BC، CD…
• الجهد في كل جزء: نقطع الجزء ونعزل الجزء الأيسر، ونرسم N خارجا من المقطع (شد مفترض)، ونكتب $\sum F_x = 0$ (المحور x نحو اليمين). إشارة النتيجة تعطي الطبيعة.
• المخطط: نرسم N على محور تحت القضيب، القيم الموجبة (شد) فوق المحور والسالبة (انضغاط) تحته.
• الإجهادات: $\sigma_i = N_i/S_i$ لكل جزء، ثم شرط المقاومة على أكبر إجهاد بالقيمة المطلقة.
• الاستطالة الكلية: مجموع استطالات الأجزاء بإشاراتها:

$ \Delta L = \sum \frac{N_i \cdot L_i}{E \cdot S_i} $

إذا كانت النتيجة موجبة فالقضيب يستطيل إجمالا، وإن كانت سالبة فهو يقصر.


مثال محلول 1: قضيب ثابت المقطع وأربع قوى (الشكل a)

قضيب فولاذي ABCD مقطعه ثابت $S = 250\ mm^2$، و $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$، و $\bar{\sigma} = 160\ MPa$. الأطوال: $AB = 800\ mm$ ، $BC = 600\ mm$ ، $CD = 1000\ mm$. القوى: 20 kN نحو اليسار في A، و 35 kN نحو اليمين في B، و 25 kN نحو اليسار في C، و 10 kN نحو اليمين في D.

التوازن: $-20 + 35 - 25 + 10 = 0$: القضيب متوازن.

الجهود (عزل الجزء الأيسر في كل مرة):

• الجزء AB: $-20 + N_1 = 0$ ومنه $N_1 = +20\ kN$ (شد).
• الجزء BC: $-20 + 35 + N_2 = 0$ ومنه $N_2 = -15\ kN$ (انضغاط).
• الجزء CD: $-20 + 35 - 25 + N_3 = 0$ ومنه $N_3 = +10\ kN$ (شد).

تحقق بالجزء الأيمن للجزء CD: القوة الوحيدة على يمين المقطع هي 10 kN نحو اليمين تشد المقطع، إذن $N_3 = +10\ kN$. ✓

الإجهادات:

| الجزء | N (kN) | الطبيعة | σ (MPa) | الطول (mm) | ΔL (mm) | |---|---|---|---|---|---| | AB | +20 | شد | +80 | 800 | +0,32 | | BC | −15 | انضغاط | −60 | 600 | −0,18 | | CD | +10 | شد | +40 | 1000 | +0,20 |

مثال لحساب سطر: $\Delta L_{AB} = 20\,000 \times 800/(2 \cdot 10^5 \times 250) = 0{,}32\ mm$.

• أكبر إجهاد بالقيمة المطلقة $80\ MPa$، وبما أن $80 \le 160$ فالشرط محقق.
• الاستطالة الكلية: $\Delta L = 0{,}32 - 0{,}18 + 0{,}20 = +0{,}34\ mm$: القضيب يستطيل بـ 0,34 mm.

المخطط (a) يبين القفزات: عند كل نقطة تطبيق يقفز N بقيمة القوة المطبقة فيها (عند B مثلا من +20 إلى −15، أي قفزة قدرها 35).

مثال محلول 2: قضيب متدرج المقطع مثبت في جدار (الشكل b)

قضيب فولاذي مثبت في جدار عند A: الجزء AB مقطعه $S_1 = 400\ mm^2$ وطوله 1200 mm، والجزء BC مقطعه $S_2 = 200\ mm^2$ وطوله 800 mm. تطبق قوة 20 kN نحو اليمين في B، وقوة 30 kN نحو اليمين في C. $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$.

• رد فعل الجدار: $-R_A + 20 + 30 = 0$ ومنه $R_A = 50\ kN$ نحو اليسار.
• الجزء AB: $-50 + N_1 = 0$ ومنه $N_1 = +50\ kN$ (شد)، و $\sigma_1 = 50\,000/400 = 125\ MPa$.
• الجزء BC: $-50 + 20 + N_2 = 0$ ومنه $N_2 = +30\ kN$ (شد)، و $\sigma_2 = 30\,000/200 = 150\ MPa$.
• الاستطالة: $\Delta L_1 = 50\,000 \times 1200/(2 \cdot 10^5 \times 400) = 0{,}75\ mm$، و $\Delta L_2 = 30\,000 \times 800/(2 \cdot 10^5 \times 200) = 0{,}60\ mm$.
• الاستطالة الكلية: $\Delta L = 0{,}75 + 0{,}60 = 1{,}35\ mm$.

> درس مهم: أكبر إجهاد (150 MPa) يقع في الجزء الرفيع BC رغم أن جهده (30 kN) أصغر من جهد AB (50 kN). نتحقق من المقاومة في كل جزء، لا في جزء أكبر جهد فقط.

أخطاء شائعة

• حساب الاستطالة بجهد واحد وطول القضيب الكلي.
• جمع الاستطالات بقيمها المطلقة ونسيان إشارة الأجزاء المضغوطة.
• اعتبار N في جزء ما مساويا للقوة المطبقة في بدايته فقط، بدل مجموع كل القوى على يساره.
• رسم المخطط دون إشارات أو دون قيم.

> ملاحظة للامتحان: هذا النوع من الأسئلة متكرر في البكالوريا: «احسب N في كل جزء، ارسم مخططه، احسب σ في كل جزء، ثم الاستطالة الكلية وحدد طبيعتها». قدّم النتائج في جدول كالجدول أعلاه.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: شداد مظلة مدخل (marquise)

المعطيات

مظلة مدخل عمارة تحملها رافدة أفقية AB طولها 3,00 m، مرتبطة بالجدار في A بمفصل (مسند مزدوج)، ومعلقة من طرفها B بشداد فولاذي BC مثبت في الجدار عند C على ارتفاع 2,25 m فوق A. تحمل الرافدة حمولة موزعة بانتظام $q = 8\ kN/m$ (تشمل الوزن الذاتي والحمولة المتغيرة). يهمل وزن الشداد. فولاذ الشداد: $\sigma_e = 240\ MPa$ ، معامل الأمان $s = 1{,}5$ ، $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$. الأقطار المتوفرة: 10، 12، 14، 16 mm.


يبين الشكل الرافدة AB والشداد BC والحمولة الموزعة q مع الأبعاد. رُسمت الزاوية α عند C بين الشداد والخط الأفقي المار بـ C، وهي تساوي الزاوية بين الشداد والرافدة عند B لأنهما زاويتان متبادلتان داخليا (الخط الأفقي يوازي الرافدة).

الأسئلة

• احسب طول الشداد وجيب وجيب تمام الزاوية α بين الشداد والرافدة.
• احسب الجهد في الشداد وحدد طبيعته، ثم ردود الأفعال في A.
• احسب الإجهاد المسموح به، ثم اختر قطر الشداد.
• تحقق من المقاومة بالقطر المختار.
• احسب استطالة الشداد.

الحل

1. الهندسة. $BC = \sqrt{3{,}00^2 + 2{,}25^2} = 3{,}75\ m$، و $\sin\alpha = 2{,}25/3{,}75 = 0{,}6$ ، $\cos\alpha = 3{,}00/3{,}75 = 0{,}8$.

2. الجهد في الشداد. نعزل الرافدة AB. القوى: محصلة الحمولة $Q = q \cdot L = 8 \times 3 = 24\ kN$ في منتصف AB، وجهد الشداد T في B موجه من B نحو C، ورد الفعل في A بمركبتيه $H_A$ و $V_A$. نأخذ العزوم الموجبة في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة.

المركبة الأفقية لـ T تمر بـ A فعزمها حول A معدوم، إذن:

$ \sum M_{/A} = T \sin\alpha \cdot 3 - 24 \times 1{,}5 = 0 $

ومنه $T = 36/(0{,}6 \times 3) = 20\ kN$. الجهد موجب والشداد يجذب الرافدة نحو C: الشداد مشدود، $N_{BC} = +20\ kN$.

ردود الأفعال:

• $\sum F_x = 0$: $H_A - T\cos\alpha = 0$ ومنه $H_A = 20 \times 0{,}8 = 16\ kN$ (نحو اليمين، أي الجدار يدفع الرافدة).
• $\sum F_y = 0$: $V_A + T\sin\alpha - 24 = 0$ ومنه $V_A = 24 - 12 = 12\ kN$ (نحو الأعلى).
• تحقق بالعزوم حول B: $-V_A \times 3 + 24 \times 1{,}5 = -36 + 36 = 0$. ✓

(الرافدة AB تخضع إذن لانضغاط قدره 16 kN إضافة إلى الانحناء، وهذا خارج موضوع هذا التمرين.)

3. التحجيم. $\bar{\sigma} = 240/1{,}5 = 160\ MPa$، و $S_{min} = 20\,000/160 = 125\ mm^2$، ومنه $d \ge \sqrt{4 \times 125/\pi} = 12{,}62\ mm$. القطر 12 mm لا يكفي، نختار $d = 14\ mm$.

4. التحقق. $S = 153{,}94\ mm^2$ و $\sigma = 20\,000/153{,}94 = 129{,}9\ MPa$. بما أن $129{,}9 \le 160$ فالشرط محقق. معامل الأمان الفعلي بالنسبة لحد المرونة $240/129{,}9 = 1{,}85$.

5. الاستطالة. $L = 3750\ mm$، و $N \cdot L = 7{,}5 \cdot 10^7\ N \cdot mm$، و $E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 153{,}94 = 3{,}079 \cdot 10^7\ N$:

$ \Delta L = \frac{7{,}5 \cdot 10^7}{3{,}079 \cdot 10^7} $

أي $\Delta L = 2{,}44\ mm$، والتشوه النسبي $\varepsilon = 129{,}9/(2 \cdot 10^5) = 6{,}5 \cdot 10^{-4}$.

التمرين 2: قضيب تعليق أرضية معلقة (suspente)

المعطيات

قضيب فولاذي شاقولي ABCD معلق من بلاطة عند A، يحمل ثلاث روافد لأرضية معلقة: 10 kN في B، و 18 kN في C، و 12 kN في D (حمولات شاقولية نحو الأسفل). الأطوال: $AB = 1{,}0\ m$ ، $BC = 1{,}5\ m$ ، $CD = 1{,}5\ m$. يهمل وزن القضيب. $\bar{\sigma} = 160\ MPa$ ، $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$.


على يسار الشكل القضيب بحمولاته وأطواله، وعلى يمينه مخطط الجهد الناظمي الذي يحصل عليه في الحل (السؤال 2).

الأسئلة

• احسب رد الفعل في A.
• احسب الجهد الناظمي في كل جزء وارسم مخططه.
• احسب القطر الثابت للقضيب كله.
• احسب الاستطالة الكلية بهذا القطر.
• اقترح قضيبا متدرجا (قطر لكل جزء) واحسب نسبة الاقتصاد في الفولاذ.

الحل

1. $R_A - 10 - 18 - 12 = 0$ ومنه $R_A = 40\ kN$ نحو الأعلى.

2. في قضيب شاقولي نعزل الجزء السفلي تحت المقطع (فيه الحمولات المعروفة فقط)، ونرسم N خارجا من المقطع أي نحو الأعلى:

• الجزء CD: $N_{CD} - 12 = 0$ ومنه $N_{CD} = +12\ kN$.
• الجزء BC: $N_{BC} - 18 - 12 = 0$ ومنه $N_{BC} = +30\ kN$.
• الجزء AB: $N_{AB} - 10 - 18 - 12 = 0$ ومنه $N_{AB} = +40\ kN$، ويساوي $R_A$. ✓

كل الأجزاء مشدودة، والجهد يزداد كلما صعدنا لأن كل جزء يحمل كل ما تحته (المخطط على يمين الشكل).

3. القطر الثابت يحسب بأكبر جهد: $S_{min} = 40\,000/160 = 250\ mm^2$، و $d \ge 17{,}84\ mm$، نأخذ $d = 18\ mm$ ($S = 254{,}47\ mm^2$ و $\sigma_{max} = 157{,}2\ MPa$).

4. $E \cdot S = 2 \cdot 10^5 \times 254{,}47 = 5{,}089 \cdot 10^7\ N$:

| الجزء | N (kN) | L (mm) | ΔL (mm) | |---|---|---|---| | AB | +40 | 1000 | 0,786 | | BC | +30 | 1500 | 0,884 | | CD | +12 | 1500 | 0,354 | | المجموع | | 4000 | 2,02 |

الاستطالة الكلية $\Delta L = 2{,}02\ mm$: القضيب يستطيل وتنزل النقطة D بـ 2,02 mm.

5. القضيب المتدرج.

• AB: $S \ge 250\ mm^2$ ومنه $d = 18\ mm$ ($\sigma = 157{,}2\ MPa$).
• BC: $S \ge 30\,000/160 = 187{,}5\ mm^2$ ومنه $d \ge 15{,}45$ فنأخذ $d = 16\ mm$ ($\sigma = 149{,}2\ MPa$).
• CD: $S \ge 12\,000/160 = 75\ mm^2$ ومنه $d \ge 9{,}77$ فنأخذ $d = 10\ mm$ ($\sigma = 152{,}8\ MPa$).

حجم الفولاذ: القضيب الثابت $254{,}47 \times 4000 \approx 1{,}018 \cdot 10^6\ mm^3$، والمتدرج $254{,}47 \times 1000 + 201{,}06 \times 1500 + 78{,}54 \times 1500 \approx 0{,}674 \cdot 10^6\ mm^3$: اقتصاد حوالي 34 %. لكن القضيب المتدرج أقل صلابة، فاستطالته 3,05 mm بدل 2,02 mm.

التمرين 3: استغلال تجربة شد لاختيار الفولاذ

المعطيات

لمعرفة فولاذ قضبان التعليق أجرى المخبر تجربة شد على عينة قطرها $d_0 = 8\ mm$ وطولها بين العلامتين $L_0 = 40\ mm$:

| F (kN) | 0 | 4 | 8 | 12 | |---|---|---|---|---| | ΔL (mm) | 0 | 0,016 | 0,032 | 0,048 |

ثم سُجلت القوة عند حد المرونة $F_e = 13{,}07\ kN$، والقوة العظمى $F_m = 21{,}11\ kN$، والطول بعد الانكسار $L_u = 50{,}4\ mm$.

الأسئلة

• بيّن أن القراءات الأربع في المجال المرن، واحسب E.
• احسب $\sigma_e$ و $\sigma_r$ و A%.
• احسب الإجهاد المسموح به بمعامل أمان 1,5، ثم أكبر حمولة يحملها قضيب من هذا الفولاذ قطره 20 mm.

الحل

1. $S_0 = \pi \times 8^2/4 = 50{,}27\ mm^2$. الاستطالة تتضاعف حين تتضاعف القوة (0,016 ثم 0,032 ثم 0,048 mm لـ 4 ثم 8 ثم 12 kN): التناسب محقق فنحن في المجال المرن. عند $F = 12\ kN$: $\sigma = 12\,000/50{,}27 = 238{,}7\ MPa$ و $\varepsilon = 0{,}048/40 = 1{,}2 \cdot 10^{-3}$، ومنه:

$ E = \frac{238{,}7}{1{,}2 \cdot 10^{-3}} = 1{,}99 \cdot 10^5 $

أي $E \approx 2 \cdot 10^5\ MPa$: إنه فولاذ.

2. $\sigma_e = 13\,070/50{,}27 = 260\ MPa$ ، $\sigma_r = 21\,110/50{,}27 = 420\ MPa$ ، $A\% = (50{,}4 - 40)/40 \times 100 = 26\ \%$: فولاذ لدن.

3. $\bar{\sigma} = 260/1{,}5 = 173{,}3\ MPa$. للقطر 20 mm: $S = 314{,}16\ mm^2$ و $N_{max} = 173{,}3 \times 314{,}16 = 54\,450\ N \approx 54{,}5\ kN$.

> منهجية: في كل تمرين اكتب المعطيات بوحدات منسجمة (N، mm، MPa)، ثم العلاقة الحرفية، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها، واختم بجملة الحكم (محقق أو غير محقق، استطالة أو تقصير).