العمود في الانضغاط البسيط

3. المعامل α، المقطع المختصر والتسليح النظري

معامل التحدب α

يأخذ BAEL التحدب في الحساب بتخفيض قدرة العمود بمعامل α (أصغر من 1) يتعلق بالنحافة λ وحدها:

• إذا كانت $\lambda \le 50$:

$ \alpha = \frac{0{,}85}{1 + 0{,}2\,(\lambda/35)^2} $

• إذا كانت $50 < \lambda \le 70$:

$ \alpha = 0{,}6\,\left(\frac{50}{\lambda}\right)^2 $


يبين المنحنى أن α يبدأ من 0,85 لعمود قصير جدا، وينقص ببطء حتى $\lambda = 50$ (الفرع الأزرق)، ثم بسرعة بين 50 و 70 (الفرع البرتقالي). النقاط المعلّمة هي أمثلة هذا الدرس. فوق 70 لا تصلح الطريقة.

| λ | 10 | 20 | 30 | 35 | 40 | 50 | 60 | 70 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | α | 0,836 | 0,798 | 0,741 | 0,708 | 0,674 | 0,604 | 0,417 | 0,306 |

عند $\lambda = 50$ تعطي الصيغة الثانية 0,600 والأولى 0,604: الفرق صغير، والقاعدة أن نستعمل الأولى ما دامت $\lambda \le 50$. نحتفظ بثلاثة أرقام بعد الفاصلة.

> ملاحظة (حسب نص الموضوع فقط): إذا طُبّق أكثر من نصف الحمولات قبل 90 يوما نقسم α على 1,1؛ وإذا طُبّقت أغلبها قبل 28 يوما نقسمه على 1,2 ونستعمل $f_{cj}$ بدل $f_{c28}$. إذا لم يذكر الموضوع شيئا نستعمل α كما هو.

المقطع المختصر $B_r$

لا يحتسب BAEL الخرسانة السطحية: نحذف 1 cm من كل وجه من المقطع، لأن هذه القشرة الخارجية أقل جودة (عيوب الصب والقالب، احتمال تشظي التغطية). المقطع الباقي هو المقطع المختصر (section réduite) $B_r$، بالـ $cm^2$:


يبين الشكل بالأحمر المخطط الشريط المحذوف وبالأزرق المتقطع المقطع المختصر:

$ B_r = (a - 2)(b - 2) $

$ B_r = \frac{\pi\,(D - 2)^2}{4} $

a و b و D بالسنتيمتر. نطرح 2 cm من كل بعد لأننا نحذف 1 cm من كل جهة.

من شرط المقاومة إلى التسليح النظري $A_{th}$

قدرة العمود في ELU هي مجموع ما تحمله الخرسانة وما يحمله الفولاذ، مضروبا في α. نسمي:

$ N_b = \frac{B_r \cdot f_{c28}}{0{,}9\,\gamma_b} $

الجزء الذي تحمله الخرسانة، و $N_s = A \cdot f_e/\gamma_s$ الجزء الذي يحمله الفولاذ (A مقطع التسليح الطولي). شرط BAEL:

$ N_u \le \alpha\,(N_b + N_s) $

نعزل A فنجد التسليح النظري (section théorique):

$ A_{th} = \left(\frac{N_u}{\alpha} - N_b\right)\frac{\gamma_s}{f_e} $

> $A_{th} = \left[N_u/\alpha - B_r f_{c28}/(0{,}9\,\gamma_b)\right] \cdot \gamma_s/f_e$ مع $\gamma_b = 1{,}5$ و $\gamma_s = 1{,}15$، أي $0{,}9\,\gamma_b = 1{,}35$.

والمقدار $f_e/\gamma_s$ هو نفسه $f_{su}$ الذي استعملناه في درس الشداد (348 MPa لـ FeE400)، فيمكن الكتابة أيضا $A_{th} = (N_u/\alpha - N_b)/f_{su}$.

الوحدات: طريقة kN و $cm^2$

أسهل طريقة أن نعمل بالـ kN والـ $cm^2$، فنحوّل الإجهادات إلى $kN/cm^2$ بالقاعدة $1\ MPa = 0{,}1\ kN/cm^2$:

• $f_{c28} = 25\ MPa = 2{,}5\ kN/cm^2$ ؛
• $f_e = 400\ MPa = 40\ kN/cm^2$ ، و $f_e = 500\ MPa = 50\ kN/cm^2$.

عندها $N_b$ بالـ kN إذا كان $B_r$ بالـ $cm^2$، و $A_{th}$ يخرج مباشرة بالـ $cm^2$. ويمكن العمل بالـ MN والـ $m^2$ والـ MPa، فيخرج $A_{th}$ بالـ $m^2$ ونضربه في $10^4$.

إذا خرج $A_{th}$ سالبا

معناه أن $\alpha \cdot N_b > N_u$: الخرسانة وحدها تكفي نظريا. لكن العمود لا يُترك بلا فولاذ أبدا، فنضع التسليح الأدنى (الجزء الرابع).

المثال الموجّه (الخطوات 4 و 5 و 6)

العمود المستطيل $25 \times 30\ cm$: $N_u = 1110\ kN$ ، $\lambda = 29{,}10$ ، $f_{c28} = 25\ MPa$ ، FeE400.

4. المعامل α. النحافة أقل من 50:

$ \alpha = \frac{0{,}85}{1 + 0{,}2\,(29{,}10/35)^2} $

$ \alpha = \frac{0{,}85}{1{,}138} = 0{,}747 $

5. المقطع المختصر. $B_r = (25 - 2)(30 - 2) = 23 \times 28 = 644\ cm^2$.

6. التسليح النظري. حصة الخرسانة:

$ N_b = \frac{644 \times 2{,}5}{1{,}35} = 1192{,}59\ kN $

و $N_u/\alpha = 1110/0{,}747 = 1485{,}94\ kN$، إذن:

$ A_{th} = (1485{,}94 - 1192{,}59)\,\frac{1{,}15}{40} $

$ A_{th} = 293{,}35 \times 0{,}02875 = 8{,}43\ cm^2 $

تحقق بوحدات MN و $m^2$: $1{,}11/0{,}747 - 0{,}0644 \times 25/1{,}35 = 1{,}4859 - 1{,}1926 = 0{,}2934\ MN$، ثم $0{,}2934 \times 1{,}15/400 = 8{,}43 \cdot 10^{-4}\ m^2 = 8{,}43\ cm^2$. النتيجة نفسها.

العمود الدائري $D = 35\ cm$: $N_u = 1395\ kN$ ، $\lambda = 33{,}60$:

• $\alpha = 0{,}85/(1 + 0{,}2 \times 0{,}96^2) = 0{,}85/1{,}184 = 0{,}718$ ؛
• $B_r = \pi \times 33^2/4 = 855{,}30\ cm^2$ ؛
• $N_b = 855{,}30 \times 2{,}5/1{,}35 = 1583{,}89\ kN$ ؛
• $N_u/\alpha = 1395/0{,}718 = 1942{,}90\ kN$ ؛
• $A_{th} = (1942{,}90 - 1583{,}89) \times 0{,}02875 = 10{,}32\ cm^2$.

نلاحظ أن الخرسانة تحمل الجزء الأكبر: في العمود المستطيل $N_b = 1192{,}59\ kN$ من أصل $1485{,}94\ kN$ مطلوبة، أي نحو 80 %.

أخطاء شائعة

• حساب $B_r$ بالمقطع الكامل $a \cdot b$، أو بحذف 1 cm فقط من كل بعد ($(a - 1)(b - 1)$).
• في الدائرة: $B_r = \pi (D - 2)^2/4$ لا $\pi D^2/4$ ولا $\pi (D - 2)^2$.
• نسيان القسمة على α، أو الضرب فيه: $N_u \cdot \alpha$ بدل $N_u/\alpha$.
• استعمال $f_e/\gamma_s$ في البسط بدل $\gamma_s/f_e$، أو نسيان $\gamma_s$.
• الخلط بين $0{,}9\,\gamma_b = 1{,}35$ ومعامل الحمولات الدائمة 1,35: هما عددان متساويان صدفة ولا علاقة بينهما.
• خلط الوحدات: $B_r$ بالـ $cm^2$ مع $f_{c28}$ بالـ MPa يعطي $N_b$ أكبر بعشر مرات.

4. التسليح الأدنى والأقصى واختيار القضبان

التسليح الأدنى $A_{min}$

حتى لو كانت الخرسانة تكفي وحدها، يفرض BAEL في كل عمود مقطع فولاذ أدنى، لأن العمود يتلقى دائما عزوما طفيلية (لامركزية صغيرة، عيوب التنفيذ) وينكمش، ويحتاج هيكلا من القضبان تُربط إليه الإطارات:

$ A_{min} = \max\,(4u\ ;\ 0{,}2\,\%\,B) $

• 4u: أربعة $cm^2$ لكل متر من محيط المقطع، و u هو المحيط بالمتر: $u = 2(a + b)$ للمستطيل و $u = \pi D$ للدائرة؛
• 0,2 % B: أي $0{,}002 \times B$، و B مساحة المقطع الكاملة بالـ $cm^2$.

في الأعمدة العادية يكون الحد $4u$ هو الأكبر غالبا.

التسليح الأقصى $A_{max}$

لا يُقبل مقطع فولاذ يتجاوز 5 % من مقطع الخرسانة، وإلا صار الصب صعبا (القضبان متلاصقة) والعمود غير اقتصادي:

$ A_{max} = 5\,\%\,B = 0{,}05\,B $

المقطع المعتمد

$ A = \max\,(A_{th}\ ;\ A_{min}) $

ثم نتحقق من أن $A \le A_{max}$. إذا تجاوز A الحد الأقصى فالمقطع صغير جدا: نكبّر المقطع (أو نرفع $f_{c28}$) ونعيد الحساب من الخطوة 3.

> $A_{min} = \max(4u\ ;\ 0{,}2\,\%\,B)$ مع u بالمتر، $A_{max} = 5\,\%\,B$، و $A = \max(A_{th}\ ;\ A_{min}) \le A_{max}$.

قواعد اختيار القضبان

نختار من جدول مقاطع القضبان (درس «الخرسانة المسلحة: عموميات») عددا وقطرا يعطيان مقطعا حقيقيا لا يقل عن A بأقل زيادة معقولة، مع احترام قواعد الترتيب:

• قضيب في كل زاوية: 4 قضبان على الأقل في المقطع المستطيل، و 6 قضبان على الأقل في المقطع الدائري، موزعة بانتظام.
• توزيع متناظر: عدد زوجي (4، 6، 8) في المستطيل، وقطر واحد في المقطع إن أمكن.
• عمليا لا ينزل قطر القضبان الطولية للأعمدة تحت ⌀12.
• التباعد بين قضيبين متجاورين على الوجه نفسه لا يتجاوز $\min(a + 10\ cm\ ;\ 40\ cm)$، وإلا أضفنا قضبانا وسطية.
• في المستطيل نضع القضبان الإضافية (بعد قضبان الزوايا) على الوجهين الكبيرين b، لأنها تبتعد عن محور التحدب فتقاوم التحدب أحسن.


يبين الشكل الترتيبات المعتادة: (a) أربعة قضبان في الزوايا يمسكها إطار واحد؛ (b) ستة قضبان، والقضيبان الوسطيان على الوجهين الكبيرين يربطهما مشبك (épingle)؛ (c) ثمانية قضبان يمسكها إطار و إطار معيني (losange) يمر بالقضبان الوسطى؛ (d) ستة قضبان في دائرة يمسكها إطار دائري (cerce). القاعدة: كل قضيب طولي يجب أن يمسكه إطار أو مشبك.

المثال الموجّه (الخطوة 7)

العمود المستطيل $25 \times 30\ cm$ ، $A_{th} = 8{,}43\ cm^2$:

• المحيط: $u = 2 \times (0{,}25 + 0{,}30) = 1{,}10\ m$، فـ $4u = 4{,}40\ cm^2$ ؛
• $0{,}2\,\%\,B = 0{,}002 \times 750 = 1{,}50\ cm^2$ ؛
• $A_{min} = \max(4{,}40\ ;\ 1{,}50) = 4{,}40\ cm^2$ ؛
• $A_{max} = 0{,}05 \times 750 = 37{,}50\ cm^2$ ؛
• $A = \max(8{,}43\ ;\ 4{,}40) = 8{,}43\ cm^2$ ، وهو أقل من $A_{max}$.

نقارن بعض الاختيارات:

| الاختيار | المقطع ($cm^2$) | الحكم | |---|---|---| | 4HA16 | $8{,}04$ | أقل من $8{,}43$: مرفوض | | 8HA12 | $9{,}05$ | يكفي بأقل زيادة (7 %)، لكن ثمانية قضبان وإطار معيني | | 6HA14 | $9{,}24$ | يكفي بزيادة 10 %، ستة قضبان، إطار ومشبك | | 4HA20 | $12{,}57$ | يكفي، لكن الزيادة كبيرة (49 %) |

الاختياران 8HA12 و 6HA14 كلاهما كاف. صحيح أن 8HA12 أقرب إلى A (يوفر $9{,}24 - 9{,}05 = 0{,}19\ cm^2$ فقط من الفولاذ)، لكن هذا الفرق الصغير لا يعوض ما يكلفه في مقطع صغير $25 \times 30$:

• ثمانية قضبان بدل ستة، أي ثلاثة على كل وجه، فتضيق الفراغات أمام الحصى أثناء الصب؛
• إطار معيني في كل مستوى إطارات بدل مشبك واحد؛
• تباعد إطارات أقصى أصغر: $15 \times 1{,}2 = 18\ cm$ بدل $15 \times 1{,}4 = 21\ cm$، أي إطارات أكثر.

لذلك نعتمد 6HA14 بمقطع حقيقي $9{,}24\ cm^2 \ge 8{,}43\ cm^2$: قضيب في كل زاوية وقضيب في وسط كل وجه كبير (30 cm). ومن اختار 8HA12 مع إطار معيني فحله صحيح أيضا ما دام رسمه يوافق اختياره.

تحقق التباعد: محور القضيب على $2{,}5 + 0{,}6 + 0{,}7 = 3{,}8\ cm$ من الوجه (التغطية + الإطار ⌀6 + نصف القضيب). على الوجه 30: $(30 - 2 \times 3{,}8)/2 = 11{,}2\ cm$ ، وعلى الوجه 25: $25 - 7{,}6 = 17{,}4\ cm$. كلاهما أقل من $\min(25 + 10\ ;\ 40) = 35\ cm$.

العمود الدائري $D = 35\ cm$ ، $A_{th} = 10{,}32\ cm^2$:

• $u = \pi \times 0{,}35 = 1{,}10\ m$ ، $4u = 4{,}40\ cm^2$ ؛
• $B = \pi \times 35^2/4 = 962{,}11\ cm^2$ ، $0{,}2\,\%\,B = 1{,}92\ cm^2$ ؛
• $A_{min} = 4{,}40\ cm^2$ و $A_{max} = 48{,}11\ cm^2$ ؛
• $A = 10{,}32\ cm^2$.

الاختيار 6HA14 ($9{,}24\ cm^2$) لا يكفي. يكفي 7HA14 ($10{,}78\ cm^2$) أو 6HA16 ($12{,}06\ cm^2$)؛ نعتمد 6HA16: العدد الأدنى في الدائرة، وعدد زوجي من القضبان المتقابلة مثنى مثنى (كل 60°) يعطي مقطعا متناظرا بالنسبة لمحورين متعامدين. ومن اختار 7HA14 فحله مقبول أيضا.

أخطاء شائعة

• كتابة المحيط بالسنتيمتر في $4u$: $4 \times 110 = 440\ cm^2$، وهذا عبث.
• محيط الدائرة $2\pi D$ أو $\pi D^2$ بدل $\pi D$؛ أو حساب B الدائرة كمربع $D^2$.
• أخذ $0{,}2\,\%$ على أنها $0{,}2 \times B$ بدل $0{,}002 \times B$.
• اختيار قضبان مقطعها أقل من A «لأنها قريبة»، أو 3 قضبان في عمود مستطيل، أو 4 قضبان في عمود دائري.
• نسيان التحقق من $A_{max}$.

5. التسليح العرضي، التغطية ورسم تسليح العمود

دور التسليح العرضي

التسليح العرضي (armatures transversales) حلقات من قضبان رقيقة تحيط بالقضبان الطولية وتتكرر على طول العمود. أشكاله (الشكل في الجزء الرابع):

• الإطار (cadre): حلقة مستطيلة تمر بقضبان الزوايا، تُغلق بخطافين مثنيين نحو داخل المقطع؛
• المشبك (épingle): قضيب مستقيم بطرفين معقوفين يمسك قضيبين وسطيين متقابلين؛
• الإطار المعيني (losange): يمسك القضبان الوسطى في الأوجه الأربعة؛
• الإطار الدائري (cerce) أو الحلزون (spirale) في العمود الدائري.

دوره: يثبت القضبان الطولية في مكانها أثناء الصب، يمنعها من التحدب بين نقطتي تثبيت متتاليتين، ويحصر الخرسانة فيؤخر انهيارها.

قطر الإطارات $\phi_t$

نرمز للقطر في الرسم بالرمز ⌀ (⌀6 إطار قطره 6 mm)، وفي العلاقات بالحرف $\phi$.

$ \phi_t \ge \frac{\phi_{l,max}}{3} $

حيث $\phi_{l,max}$ أكبر قطر للقضبان الطولية. نأخذ القطر التجاري الأعلى مباشرة: 6 أو 8 أو 10 mm. أمثلة: $\phi_l = 12$ أو 14 أو 16 يعطي $\phi_t = 6\ mm$ ؛ $\phi_l = 20$ يعطي $20/3 = 6{,}67$ فـ $\phi_t = 8\ mm$ ؛ $\phi_l = 25$ يعطي $8{,}33$ فـ $\phi_t = 10\ mm$.

تباعد الإطارات $S_t$

التباعد لا يتجاوز أصغر الحدود الثلاثة:

$ S_t \le 40\ cm $

$ S_t \le a + 10\ cm $

$ S_t \le 15\,\phi_{l,min} $

حيث:

• a البعد الأصغر للمقطع (القطر D في الدائرة)؛
• $\phi_{l,min}$ أصغر قطر للقضبان الطولية، نحوله إلى cm قبل الضرب: $15 \times 1{,}4\ cm = 21\ cm$.

نختار تباعدا عمليا لا يتجاوز الحد، مضاعفا لـ 5 cm غالبا (15، 20، 25 cm).

> $\phi_t \ge \phi_{l,max}/3$ (6 أو 8 أو 10 mm)، $S_t \le \min(40\ cm\ ;\ a + 10\ cm\ ;\ 15\,\phi_{l,min})$. الأكبر يحدد القطر، والأصغر يحدد التباعد.

للاطلاع: عند وصل القضبان الطولية بين طابقين (قضبان الانتظار في الأساس أو في الأرضية)، يتراكب القضيبان على طول تراكب (recouvrement) لا يقل عن $0{,}6\,l_s$، حيث $l_s \approx 40\,\phi$ لقضبان HA FeE400، ونضع في منطقة التراكب ثلاثة إطارات على الأقل.

التغطية

التغطية c هي المسافة بين وجه الخرسانة والسطح الخارجي للإطار (أقرب قضيب للوجه). نأخذ في الأعمدة عادة $c = 2{,}5\ cm$، و $3\ cm$ للأعمدة المعرضة للطقس. محور القضيب الطولي يبعد إذن عن الوجه بـ:

$ d' = c + \phi_t + \phi_l/2 $

رسم التسليح

يطلب موضوع البكالوريا عادة منظرا طوليا للعمود ومقطعا عرضيا A-A. نتبع اصطلاحات الرسم:

• القضبان الطولية خطوط غليظة في المنظر ودوائر مملوءة في المقطع، بعددها الحقيقي ومكانها؛
• الإطارات خطوط رقيقة بتباعدها $S_t$، مع خطاف الإطار في إحدى الزوايا؛
• نكتب على الرسم: عدد القضبان ونوعها وقطرها (6HA14)، قطر الإطارات (cadres ⌀6)، تباعدها $S_t$، أبعاد المقطع، التغطية؛
• نبيّن موضع المقطع A-A على المنظر الطولي، والسلّم أو وحدة الأبعاد.


يبين الشكل تسليح العمود الموجّه: في المنظر الطولي (الوجه 30 cm) ثلاثة خطوط قضبان طولية تنزل في النعل بثنية (قضبان انتظار) وتصعد عبر الأرضية لتتراكب مع قضبان الطابق العلوي، وإطارات ⌀6 كل 20 cm. وفي المقطع A-A: $25 \times 30\ cm$، ستة قضبان HA14، إطار ⌀6 بخطافه ومشبك ⌀6 يربط القضيبين الوسطيين، وتغطية 2,5 cm.

المثال الموجّه (الخطوة 8)

العمود المستطيل: 6HA14، $a = 25\ cm$.

• القطر: $\phi_t \ge 14/3 = 4{,}67\ mm$، فنأخذ ⌀6.
• التباعد: $S_t \le \min(40\ ;\ 25 + 10\ ;\ 15 \times 1{,}4) = \min(40\ ;\ 35\ ;\ 21) = 21\ cm$، فنأخذ $S_t = 20\ cm$.

العمود الدائري: 6HA16، $D = 35\ cm$.

• $\phi_t \ge 16/3 = 5{,}33\ mm$، فنأخذ ⌀6 (إطارات دائرية).
• $S_t \le \min(40\ ;\ 45\ ;\ 24) = 24\ cm$، فنأخذ $S_t = 20\ cm$.

الطريقة ذات الخطوات الثماني


يلخص المخطط الحساب كله؛ وهذه الخطوات مع نتائج العمود الموجّه:

| الخطوة | العلاقة | العمود $25 \times 30$ | |---|---|---| | 1. الجهد الأخير | $N_u = 1{,}35\,G + 1{,}5\,Q$ | $1110\ kN$ | | 2. طول التحدب | $l_f = 0{,}7\,l_0$ (بناية) | $2{,}10\ m$ | | 3. النحافة | $\lambda = 2\sqrt{3}\,l_f/a$ أو $4\,l_f/D$ | $29{,}10$ | | 4. المعامل α | حسب $\lambda \le 50$ أو $\lambda \le 70$ | $0{,}747$ | | 5. المقطع المختصر | $B_r = (a - 2)(b - 2)$ | $644\ cm^2$ | | 6. التسليح النظري | $A_{th} = (N_u/\alpha - N_b)\,\gamma_s/f_e$ | $8{,}43\ cm^2$ | | 7. التسليح المعتمد | $A = \max(A_{th}\ ;\ A_{min}) \le A_{max}$ | $8{,}43\ cm^2$ ← 6HA14 | | 8. الإطارات | $\phi_t$ و $S_t$ ثم الرسم | ⌀6 ، $S_t = 20\ cm$ |

> ملاحظة للامتحان: اكتب كل خطوة بعلاقتها ثم التعويض ثم النتيجة بوحدتها، وارسم المقطع بعدد القضبان الذي اخترته فعلا. علامة الرسم تضيع إذا خالف الرسم الحساب.

أخطاء شائعة

• حساب $\phi_t$ بأصغر قطر طولي، أو تقريبه نحو الأسفل ($4{,}67 \to 4\ mm$).
• كتابة $15\,\phi_l$ بالمليمتر مع الحدين الآخرين بالسنتيمتر: $15 \times 14 = 210$ «cm».
• استعمال البعد الأكبر b في $a + 10\ cm$.
• قياس التغطية إلى محور القضيب الطولي بدل السطح الخارجي للإطار.
• رسم قضيب طولي وسطي دون مشبك أو إطار يمسكه.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

نطبق في هذا الجزء الطريقة ذات الخطوات الثماني على ثلاثة أعمدة: عمود مستطيل في بناية، عمود دائري في قاعة، وعمود نحيف حر الرأس. في كل الحلول: $\gamma_b = 1{,}5$ ، $\gamma_s = 1{,}15$ ، التغطية $c = 2{,}5\ cm$، ونعمل بالـ kN والـ $cm^2$ ($1\ MPa = 0{,}1\ kN/cm^2$).


يبين الشكل المقاطع التي يصل إليها الحل في كل تمرين، ومخطط عمود الخزان في التمرين 3.

التمرين 1: عمود داخلي في بناية R+2

المعطيات. عمود داخلي في الطابق الأرضي لبناية من طابق أرضي وطابقين، مقطعه $30 \times 35\ cm$، ارتفاعه الحر $l_0 = 3{,}40\ m$، موثوق في نعل الأساس ومربوط بالروافد في الأرضية. نزول الحمولات أعطى عند قاعدته: $G = 850\ kN$ و $Q = 300\ kN$. الخرسانة $f_{c28} = 25\ MPa$، الفولاذ HA FeE400.

المطلوب. (1) $N_u$ ؛ (2) $l_f$ و λ ؛ (3) α ؛ (4) $B_r$ و $A_{th}$ ؛ (5) $A_{min}$ و $A_{max}$ والمقطع المعتمد ؛ (6) اختيار القضبان ؛ (7) الإطارات ؛ (8) رسم المقطع العرضي.

الحل.

1. الجهد الأخير:

$ N_u = 1{,}35 \times 850 + 1{,}5 \times 300 $

$ N_u = 1147{,}5 + 450 = 1597{,}5\ kN $

2. عمود بناية: $l_f = 0{,}7 \times 3{,}40 = 2{,}38\ m = 238\ cm$. البعد الأصغر $a = 30\ cm$:

$ \lambda = \frac{2\sqrt{3} \times 238}{30} = 27{,}48 $

3. $\lambda \le 50$: $(27{,}48/35)^2 = 0{,}6165$، فـ

$ \alpha = \frac{0{,}85}{1 + 0{,}2 \times 0{,}6165} = 0{,}757 $

4. $B_r = (30 - 2)(35 - 2) = 28 \times 33 = 924\ cm^2$، و:

$ N_b = \frac{924 \times 2{,}5}{1{,}35} = 1711{,}11\ kN $

$N_u/\alpha = 1597{,}5/0{,}757 = 2110{,}30\ kN$، والفرق $N_u/\alpha - N_b = 2110{,}30 - 1711{,}11 = 399{,}19\ kN$، إذن:

$ A_{th} = 399{,}19 \times \frac{1{,}15}{40} $

$ A_{th} = 11{,}48\ cm^2 $

5. $u = 2 \times (0{,}30 + 0{,}35) = 1{,}30\ m$ فـ $4u = 5{,}20\ cm^2$ ؛ $B = 1050\ cm^2$ فـ $0{,}2\,\%\,B = 2{,}10\ cm^2$ ؛ $A_{min} = 5{,}20\ cm^2$ ؛ $A_{max} = 0{,}05 \times 1050 = 52{,}50\ cm^2$. المقطع المعتمد $A = \max(11{,}48\ ;\ 5{,}20) = 11{,}48\ cm^2 \le A_{max}$.

6. الاختيارات الممكنة: 6HA16 ($12{,}06\ cm^2$)، 8HA14 ($12{,}32\ cm^2$)، 4HA20 ($12{,}57\ cm^2$). نعتمد 6HA16 (أقل زيادة): قضيب في كل زاوية وقضيب في وسط كل وجه كبير (35 cm). تحقق التباعد: محور القضيب على $2{,}5 + 0{,}6 + 0{,}8 = 3{,}9\ cm$ من الوجه، فالتباعد على الوجه 35 هو $(35 - 7{,}8)/2 = 13{,}6\ cm$ وعلى الوجه 30 هو $22{,}2\ cm$، وكلاهما أقل من $\min(30 + 10\ ;\ 40) = 40\ cm$.

7. $\phi_t \ge 16/3 = 5{,}33\ mm$ فنأخذ ⌀6 (إطار + مشبك يربط القضيبين الوسطيين). $S_t \le \min(40\ ;\ 30 + 10\ ;\ 15 \times 1{,}6) = 24\ cm$، فنأخذ $S_t = 20\ cm$.

8. المقطع في الشكل (exercice 1): $30 \times 35$، 6HA16، إطار ومشبك ⌀6 كل 20 cm، تغطية 2,5 cm.

التمرين 2: عمود دائري لقاعة متعددة الرياضات

المعطيات. يحمل سقف قاعة رياضية على أعمدة دائرية قطرها $D = 40\ cm$ وطولها الحر $l_0 = 5{,}00\ m$. كل عمود موثوق في أساسه ويرتكز عليه الجملون بمفصل في رأسه. الحمولات: $G = 900\ kN$ و $Q = 400\ kN$. الخرسانة $f_{c28} = 25\ MPa$، الفولاذ HA FeE500.

المطلوب. (1) $N_u$ ؛ (2) λ و α ؛ (3) $A_{th}$ ؛ (4) المقطع المعتمد والقضبان ؛ (5) الإطارات ؛ (6) التحقق من أن العمود المسلح يتحمل $N_u$.

الحل.

1. $N_u = 1{,}35 \times 900 + 1{,}5 \times 400 = 1215 + 600 = 1815\ kN$.

2. وثاقة ومفصل: $l_f = 0{,}7 \times 5{,}00 = 3{,}50\ m$. ثم $\lambda = 4 \times 350/40 = 35{,}0$، وبما أن $\lambda/35 = 1$:

$ \alpha = \frac{0{,}85}{1 + 0{,}2} = 0{,}708 $

3. $B_r = \pi \times 38^2/4 = 1134{,}11\ cm^2$ ؛ $N_b = 1134{,}11 \times 2{,}5/1{,}35 = 2100{,}21\ kN$ ؛ $N_u/\alpha = 1815/0{,}708 = 2563{,}56\ kN$. الفرق $2563{,}56 - 2100{,}21 = 463{,}35\ kN$، ومع $f_e = 50\ kN/cm^2$:

$ A_{th} = 463{,}35 \times \frac{1{,}15}{50} $

$ A_{th} = 10{,}66\ cm^2 $

4. $u = \pi \times 0{,}40 = 1{,}257\ m$ فـ $4u = 5{,}03\ cm^2$ ؛ $B = \pi \times 40^2/4 = 1256{,}64\ cm^2$ فـ $0{,}2\,\%\,B = 2{,}51\ cm^2$ ؛ $A_{min} = 5{,}03\ cm^2$ ؛ $A_{max} = 62{,}83\ cm^2$. إذن $A = 10{,}66\ cm^2$. الاختيار 6HA14 ($9{,}24$) لا يكفي؛ 7HA14 ($10{,}78$) يكفي ويُقبل، لكننا نعتمد كما في المثال الموجّه 6HA16 ($12{,}06\ cm^2$) موزعة بانتظام كل 60°.

5. $\phi_t \ge 16/3 = 5{,}33$ فـ إطارات دائرية ⌀6؛ $S_t \le \min(40\ ;\ 40 + 10\ ;\ 24) = 24\ cm$ فـ $S_t = 20\ cm$.

6. قدرة العمود بالتسليح المختار: $N_s = A \cdot f_e/\gamma_s = 12{,}06 \times 50/1{,}15 = 524{,}35\ kN$، والمجموع $N_b + N_s = 2624{,}56\ kN$:

$ N_{u,lim} = 0{,}708 \times 2624{,}56 $

$ N_{u,lim} = 1858{,}19\ kN \ge 1815\ kN $

العمود يتحمل الجهد الأخير بهامش صغير، وهذا طبيعي لأن التسليح اختير قريبا من $A_{th}$.

التمرين 3: عمود خزان ماء حر الرأس

المعطيات. خزان ماء صغير محمول على عمود مربع واحد، موثوق في نعل أساسه وحر في رأسه (الشكل، exercice 3)، طوله الحر $l_0 = 2{,}80\ m$. الحمولات: $G = 150\ kN$ (الخزان والعمود) و $Q = 60\ kN$ (الماء). الخرسانة $f_{c28} = 25\ MPa$، الفولاذ HA FeE400.

المطلوب. (1) اقترح المصمم مقطعا $25 \times 25\ cm$: تحقق من نحافته ؛ (2) احسب أصغر ضلع a يحقق $\lambda \le 70$ واختر ضلعا مضاعفا لـ 5 cm ؛ (3) احسب α ؛ (4) احسب $A_{th}$ وفسّر النتيجة ؛ (5) اختر التسليح الطولي والإطارات ؛ (6) احسب أكبر جهد أخير يتحمله العمود المسلح ؛ (7) قارن α بقيمته لو كان العمود نفسه في بناية.

الحل.

1. طرف حر: $l_f = 2 \times 2{,}80 = 5{,}60\ m = 560\ cm$. للمقطع $25 \times 25$: $\lambda = 2\sqrt{3} \times 560/25 = 77{,}60$. بما أن $\lambda > 70$ فالمقطع مرفوض: الطريقة المبسطة لا تنطبق والعمود نحيف جدا.

2. الشرط $2\sqrt{3} \times 560/a \le 70$ يعطي $a \ge 27{,}71\ cm$، فنأخذ $a = 30\ cm$، وتكون:

$ \lambda = \frac{2\sqrt{3} \times 560}{30} = 64{,}66 $

3. $50 < \lambda \le 70$:

$ \alpha = 0{,}6 \times \left(\frac{50}{64{,}66}\right)^2 = 0{,}359 $

4. $N_u = 1{,}35 \times 150 + 1{,}5 \times 60 = 202{,}5 + 90 = 292{,}5\ kN$ ؛ $B_r = 28 \times 28 = 784\ cm^2$ ؛ $N_b = 784 \times 2{,}5/1{,}35 = 1451{,}85\ kN$ ؛ $N_u/\alpha = 292{,}5/0{,}359 = 814{,}76\ kN$:

$ A_{th} = (814{,}76 - 1451{,}85) \times 0{,}02875 $

$ A_{th} = -18{,}32\ cm^2 < 0 $

النتيجة سالبة: الخرسانة وحدها تكفي نظريا، والمقطع حدده شرط النحافة لا الحمولة.

5. $u = 4 \times 0{,}30 = 1{,}20\ m$ فـ $A_{min} = \max(4{,}80\ ;\ 1{,}80) = 4{,}80\ cm^2$، و $A = 4{,}80\ cm^2$. 4HA12 تعطي $4{,}52\ cm^2$ فقط، فنعتمد 4HA14 ($6{,}16\ cm^2$). الإطارات: $\phi_t \ge 14/3 = 4{,}67$ فـ ⌀6؛ $S_t \le \min(40\ ;\ 40\ ;\ 21) = 21\ cm$ فـ $S_t = 20\ cm$.

6. $N_s = 6{,}16 \times 40/1{,}15 = 214{,}26\ kN$، والمجموع $N_b + N_s = 1666{,}11\ kN$:

$ N_{u,lim} = 0{,}359 \times 1666{,}11 $

$ N_{u,lim} = 598{,}13\ kN $

الجهد الفعلي 292,5 kN أي نحو نصف القدرة.

7. لو كان العمود نفسه عمود بناية مثبتا في الأساس والأرضية: $l_f = 0{,}7 \times 2{,}80 = 1{,}96\ m$، $\lambda = 2\sqrt{3} \times 196/30 = 22{,}63$، $\alpha = 0{,}85/(1 + 0{,}2 \times 0{,}418) = 0{,}784$. الطرف الحر قسم α على نحو 2,2: التحدب هو الذي يحكم الأعمدة الحرة الرأس.

> ملاحظة للامتحان: ابدأ دائما بالتحقق من $\lambda \le 70$؛ وإذا خرج $A_{th}$ سالبا فلا تتوقف: التسليح الأدنى والإطارات والرسم مطلوبة دائما.