مدخل إلى مقاومة المواد

3. الأفعال الخارجية والمساند

الأفعال الخارجية

الأفعال الخارجية (actions extérieures) هي كل القوى والعزوم التي تؤثر في العنصر من خارجه: الحمولات التي يحملها، وردود أفعال المساند التي تمسكه. ونصنّف الحمولات بطريقتين.

حسب مدة تأثيرها

• الحمولات الدائمة G (charges permanentes): تؤثر طول عمر المنشأة بقيمة شبه ثابتة: الوزن الذاتي للعناصر، وزن الأرضيات والتكسيات والجدران والعزل.
• الحمولات المتغيرة Q (charges d'exploitation et climatiques): تتغير قيمتها أو تغيب أحياناً: الأشخاص والأثاث (حمولة الاستغلال)، الثلوج، الرياح.

هذا التمييز ضروري في الخرسانة المسلحة، حيث تُضرب G وQ في معاملات مختلفة عند الحساب.

حسب توزيعها


يعرض الشكل الأنواع الأربعة على رافدة طولها L. في (b) و(c) رُسمت المحصلة R بسهم أزرق متقطع في موضعها، مع المسافة التي تحددها انطلاقاً من الطرف الأيسر.

| النوع | الرمز والوحدة | المحصلة | موضع المحصلة | |---|---|---|---| | (a) مركزة | P بـ kN | P نفسها | نقطة تطبيقها | | (b) موزعة بانتظام | q بـ kN/m | $R = q \cdot L$ | منتصف الطول المحمّل | | (c) موزعة مثلثية | q الأعظمية بـ kN/m | $R = q \cdot L/2$ | على $2L/3$ من الطرف الذي تنعدم فيه | | (d) عزم مركز | C بـ kN·m | لا محصلة قوة | يدير العنصر فقط |

> المحصلة تساوي مساحة مخطط الحمولة وتمر بمركز ثقله: منتصف المستطيل، وفي المثلث على ثلث الطول من جهة الشدة العظمى.

من الأرضية إلى الرافدة: حمولة الأرضية g تُعطى بـ kN/m² (لكل متر مربع)، والرافدة تحمل شريطاً من الأرضية عرضه b يسمى عرض التأثير. فالحمولة الخطية على الرافدة هي $q = g \times b$. مثلاً أرضية حمولتها $5\ kN/m^2$ وعرض التأثير 4 m تعطي $q = 20\ kN/m$.

المساند وردود الأفعال

المسند (appui, liaison) يمنع بعض حركات العنصر، فيطبق عليه رد فعل في كل اتجاه ممنوع. في المسائل المستوية لدينا ثلاثة أنواع:


يبيّن الشكل رمز كل مسند وردود أفعاله بالأحمر. الاتجاه المرسوم لرد الفعل افتراضي: إذا خرجت قيمته سالبة بعد الحساب فاتجاهه الحقيقي معاكس.

| المسند | ما يمنعه | ردود الأفعال | عدد المجاهيل | |---|---|---|---| | بسيط (appui simple، على بكرات) | الانتقال العمودي على سطح الارتكاز | $V_A$ عمودي على السطح | 1 | | مضاعف (articulation) | الانتقالين | $H_A$ و$V_A$ | 2 | | ترصيع (encastrement) | الانتقالين والدوران | $H_A$ و$V_A$ والعزم $M_A$ | 3 |

معادلات التوازن

العنصر في حالة سكون، فالقوى الخارجية كلها (حمولات وردود أفعال) تحقق:

$ \sum F_x = 0 \quad \sum F_y = 0 $

$ \sum M_{/A} = 0 $

ثلاث معادلات في المستوي، فإذا كان عدد المجاهيل 3 كان النظام محدداً سكونياً (isostatique): رافدة على مسند مضاعف ومسند بسيط، أو رافدة مرصّعة في طرف واحد (ظفر، console). وإذا كان أكثر من 3 كان غير محدد سكونياً (hyperstatique) ولا تكفي معادلات السكون.

> نصطلح في كل الحلول: العزم المعاكس لاتجاه عقارب الساعة موجب، ثم نتحقق دائماً بمعادلة إضافية (العزوم حول المسند الآخر أو مجموع القوى الشاقولية).

مثال محلول 1: رافدة على مسندين

رافدة AB طولها 5 m، A مسند مضاعف وB مسند بسيط. تحمل حمولة موزعة $q = 4\ kN/m$ على كامل طولها، وحمولة مركزة $P = 10\ kN$ على بعد 3 m من A.

الحل: محصلة q هي $4 \times 5 = 20\ kN$ في منتصف الرافدة، أي على 2,5 m من A.

• $\sum F_x = 0$ تعطي $H_A = 0$.
• العزوم حول A:

$ 5\,V_B - 20 \times 2{,}5 - 10 \times 3 = 0 $

$ V_B = 80/5 = 16\ kN $

• $\sum F_y = 0$ تعطي $V_A = 20 + 10 - 16 = 14\ kN$.
• التحقق بالعزوم حول B: $-14 \times 5 + 20 \times 2{,}5 + 10 \times 2 = -70 + 50 + 20 = 0$. النتيجة صحيحة.

مثال محلول 2: حمولة مثلثية

رافدة على مسندين بحر 3 m، تحمل حمولة مثلثية تنعدم عند A وتبلغ $6\ kN/m$ عند B.

الحل: المحصلة $R = 6 \times 3/2 = 9\ kN$ على $2 \times 3/3 = 2\ m$ من A. العزوم حول A: $3\,V_B = 9 \times 2$ ومنه $V_B = 6\ kN$، ثم $V_A = 9 - 6 = 3\ kN$. يأخذ المسند B الحصة الأكبر لأن الحمولة أثقل من جهته.

مثال محلول 3: ظفر مرصّع

رافدة شرفة طولها 1,5 m مرصّعة في A (الترصيع على اليسار كما في شكل المساند)، تحمل $q = 8\ kN/m$ وحمولة مركزة $5\ kN$ في طرفها الحر.

الحل: محصلة q هي $12\ kN$ على 0,75 m من A.

• $V_A = 12 + 5 = 17\ kN$ و$H_A = 0$.
• العزوم حول A: $M_A - 12 \times 0{,}75 - 5 \times 1{,}5 = 0$، ومنه $M_A = 9 + 7{,}5 = 16{,}5\ kN\cdot m$، موجب أي معاكس لعقارب الساعة كما في الشكل.

أخطاء شائعة

• وضع محصلة الحمولة الموزعة عند طرف الرافدة بدل منتصف الطول المحمّل.
• أخذ محصلة المثلث $q \cdot L$ بدل $q \cdot L/2$، أو وضعها في المنتصف.
• نسيان العزم $M_A$ في الترصيع، أو إعطاء المسند البسيط مركبتين.
• عدم التحقق: معادلة إضافية واحدة تكشف أغلب أخطاء الإشارة وأذرع العزوم.

4. الجهود الداخلية بطريقة المقاطع

مفهوم الجهد الداخلي

عندما تؤثر الحمولات في رافدة، تتماسك أجزاؤها فلا تنفصل: كل جزء يؤثر في الجزء المجاور له بقوى داخلية. هذه القوى لا تظهر في معادلات توازن الرافدة كلها لأنها متبادلة (فعل ورد فعل)، لكنها هي التي تحدد هل تتحمّل المادة أم لا. لإظهارها نقطع الرافدة قطعاً تخيلياً، وهذه هي طريقة المقاطع (méthode des sections).

طريقة المقاطع خطوة بخطوة

• نحسب ردود الأفعال، فتصبح كل القوى الخارجية معروفة.
• نقطع الرافدة تخيلياً بمقطع مستقيم (s) على بعد x من الطرف الأيسر، عمودي على الخط المتوسط.
• نحتفظ بالجزء الأيسر ونهمل الجزء الأيمن.
• نعوّض تأثير الجزء الأيمن على الأيسر بجهود داخلية مطبقة في مركز ثقل المقطع G.
• نكتب توازن الجزء الأيسر فنستخرج هذه الجهود بدلالة x.


في الأعلى رافدة AB بحرها 6 m تحمل $F = 12\ kN$ على 2 m من A، وقد قطعناها بالمقطع (s) على $x = 4\ m$. في الأسفل الجزء الأيسر وحده: عليه رد الفعل $V_A$ والقوة F، وعلى وجهه الأيمن (عند G) الجهود الداخلية الثلاثة مرسومة بجهاتها الموجبة: N خارجة من المقطع، وT نحو الأسفل، وMf عكس عقارب الساعة.

الجهود الداخلية الثلاثة واصطلاح الإشارة

في المسائل المستوية يُختزل تأثير الجزء الأيمن إلى ثلاثة جهود:

| الجهد | الرمز والوحدة | اتجاهه | إشارته الموجبة | |---|---|---|---| | الجهد الناظمي (effort normal) | N بـ kN | عمودي على المقطع، على محور الرافدة | شد: يشدّ المقطع | | الجهد القاطع (effort tranchant) | T بـ kN | في مستوى المقطع | حسب القاعدة أدناه | | عزم الانحناء (moment fléchissant) | Mf بـ kN·m | عزم حول محور المقطع | تقعّر نحو الأعلى: الألياف السفلى مشدودة |

ونستعمل في كل دروس هذه المادة القاعدة العملية التالية، المأخوذة من توازن الجزء الأيسر:

> N = مجموع القوى الأفقية على يسار المقطع، والقوة المتجهة نحو اليسار (التي تشدّ الجزء الأيسر بعيداً عن المقطع) موجبة. > > T(x) = مجموع القوى الشاقولية على يسار المقطع، والقوة الصاعدة موجبة. > > Mf(x) = مجموع عزوم القوى الواقعة على يسار المقطع بالنسبة إلى G، ويكون موجباً إذا جعل الرافدة تتقعّر نحو الأعلى (الألياف السفلى مشدودة): القوة الصاعدة على بعد d يسار المقطع تعطي $+F \cdot d$، والقوة النازلة تعطي $-F \cdot d$.

تنبيه: لا تخلط بين اصطلاحين. في معادلات التوازن (حساب ردود الأفعال) العزم المعاكس لعقارب الساعة موجب، كما في درس علم السكون. أما Mf فاصطلاحه هو التقعّر: القوة الصاعدة يسار المقطع تدير حول G مع عقارب الساعة، ومع ذلك تعطي Mf موجباً. وفي الشكل رُسم Mf الموجب عكس عقارب الساعة لأنه العزم الذي يطبقه الجزء الأيمن على الوجه الأيمن للجزء الأيسر، أي عكس مجموع عزوم القوى الخارجية اليسرى.

ولهذا، في رافدة على مسندين تحت حمولات نازلة، يكون Mf موجباً في كل مقاطعها (تتقعر نحو الأعلى)، ويكون T مباشرة على يمين المسند الأيسر مساوياً $+V_A$.

التحقق بالجزء الأيمن: يمكن الحساب بالقوى الواقعة على اليمين: Mf هو مجموع عزومها حول G مع اعتبار القوة الصاعدة موجبة أيضاً، أما T فيساوي عكس مجموع القوى الشاقولية على اليمين. يجب أن نجد القيم نفسها.

> ملاحظة: في الفضاء يُختزل تأثير الجزء الأيمن إلى ست مركبات: N، وجهدان قاطعان $T_y$ و$T_z$، وعزم الالتواء $M_t$ (torsion)، وعزما انحناء $M_{fy}$ و$M_{fz}$. برنامجنا يقتصر على المسائل المستوية (N وT وMf)، والالتواء غير مقرر.

مثال محلول 1: رافدة تحت حمولة مركزة (الشكل)

رافدة AB بحرها 6 m، A مسند مضاعف وB مسند بسيط، تحمل $F = 12\ kN$ على 2 m من A. احسب الجهود الداخلية في المقطعين $x = 1\ m$ و$x = 4\ m$.

ردود الأفعال (العزوم حول A، المعاكس لعقارب الساعة موجب):

$ 6\,V_B - 12 \times 2 = 0 $

ومنه $V_B = 4\ kN$، و$V_A = 12 - 4 = 8\ kN$، و$H_A = 0$.

المجال الأول $0 < x < 2\ m$: على اليسار $V_A$ وحده.

$ N = 0 \quad T = 8\ kN \quad M_f = 8x $

عند $x = 1\ m$: $T = 8\ kN$ و$M_f = 8\ kN\cdot m$.

المجال الثاني $2 < x < 6\ m$: على اليسار $V_A$ وF.

$ T = 8 - 12 = -4\ kN $

$ M_f = 8x - 12\,(x - 2) = -4x + 24 $

عند $x = 4\ m$ (الشكل): $T = -4\ kN$ و$M_f = -16 + 24 = 8\ kN\cdot m$.

التحقق بالجزء الأيمن عند $x = 4\ m$: على اليمين $V_B = 4\ kN$ صاعدة على بعد 2 m، فـ $M_f = 4 \times 2 = 8\ kN\cdot m$، و$T = -4\ kN$. القيم متطابقة.

| x (m) | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---|---| | T (kN) | 8 | 8 | 8 ثم −4 | −4 | −4 | | Mf (kN·m) | 0 | 8 | 16 | 8 | 0 |

يقفز T تحت القوة من 8 إلى −4 kN (بمقدار F نفسه)، ويبلغ Mf قيمته العظمى 16 kN·m تحت القوة حيث يغيّر T إشارته. رسم هذه المخططات بالتفصيل موضوع درس الانحناء المستوي البسيط.

مثال محلول 2: قضيب تحت قوى محورية

قضيب أفقي ABCD تؤثر فيه قوى على محوره: في A قوة 40 kN نحو اليسار، في B قوة 70 kN نحو اليمين، في C قوة 50 kN نحو اليسار، في D قوة 20 kN نحو اليمين. التوازن محقق: $-40 + 70 - 50 + 20 = 0$. احسب الجهد الناظمي في كل جزء.

الحل (القوى على يسار المقطع):

• الجزء AB: على اليسار 40 kN نحو اليسار، تشدّ: $N_{AB} = +40\ kN$ (شد).
• الجزء BC: $N_{BC} = 40 - 70 = -30\ kN$ (انضغاط).
• الجزء CD: $N_{CD} = 40 - 70 + 50 = +20\ kN$ (شد).
• تحقق CD بالجزء الأيمن: عليه 20 kN نحو اليمين تشدّه بعيداً عن المقطع، أي شد 20 kN.

القضيب نفسه مشدود في جزأين ومضغوط في جزء، لذلك نحسب N في كل جزء ولا نكتفي بقوة واحدة.

أخطاء شائعة

• نسيان ردود الأفعال على يسار المقطع، أو حساب الجهود قبلها.
• كتابة T بالـ kN·m أو Mf بالـ kN.
• عدم تغيير المجال بعد المرور بقوة مركزة: لكل مجال بين حمولتين عبارة خاصة.
• استعمال ذراع خاطئ: ذراع القوة F في المجال الثاني هو $x - 2$ وليس x.

5. التحريضات البسيطة والإجهادان الناظمي والمماسي

التحريض البسيط

التحريض (sollicitation) هو حالة الجهود الداخلية في مقاطع العنصر. ونقول إن التحريض بسيط إذا كان في المقطع جهد داخلي واحد غير منعدم، والبقية منعدمة. والانحناء حالة خاصة: يرافق عزمَ الانحناء في أغلب الأحيان جهدٌ قاطع، ويسمي البرنامج هذه الحالة الانحناء المستوي البسيط ($N = 0$، و$T \ne 0$، و$M_f \ne 0$). أما إذا اجتمع تحريضان أو أكثر (مثلاً N مع Mf) فالتحريض مركّب، كعمود تحت حمولة لا مركزية.


يمثّل الشكل من الأعلى إلى الأسفل: قضيب تشدّه قوتان متعاكستان نحو الخارج (شد)، ثم قوتان نحو الداخل (انضغاط)، ثم صفيحتان يربطهما برغي تحاول القوتان F زلق إحداهما على الأخرى فيُقطع البرغي في المستوى المتقطع (قص)، ثم رافدة على مسندين تنحني تحت P (انحناء).

| التحريض | الجهود في المقطع | الإجهاد | التشوه | أمثلة في البناء | |---|---|---|---|---| | الشد البسيط | $N > 0$ فقط | $\sigma = N/S$ منتظم | استطالة | شداد، قضيب مشدود في نظام مثلثي، حبل رافعة | | الانضغاط البسيط | $N < 0$ فقط | $\sigma = N/S$ منتظم | تقصّر | عمود، ركيزة، قضيب مضغوط في نظام مثلثي | | القص البسيط | T فقط | $\tau = T/S$ (متوسط) | انزلاق | برغي، مسمار برشام، محور مفصل | | الانحناء المستوي البسيط | Mf وT | σ خطي وτ | انحناء (سهم) | رافدة، رويفدة، بلاطة، عتبة |

ولكل تحريض درس خاص في هذا المجال: الشد البسيط، ثم الانضغاط والقص، ثم الأنظمة المثلثية (قضبان مشدودة أو مضغوطة)، ثم الانحناء.

الإجهاد: قوة على وحدة المساحة

الجهد الداخلي (N أو T) محصلة، أما المادة فتتحمّل توزّعه على المقطع. نأخذ مساحة صغيرة جداً dS حول نقطة M من المقطع، تنتقل عبرها قوة صغيرة dF. نسمي إجهاداً (contrainte) القوة على وحدة المساحة، ونحلّل dF إلى مركبتين:


في الأعلى: المقطع S (بالأزرق) ومساحة عنصرية dS حول M. القوة dF تتحلل إلى مركبة عمودية على المقطع $\sigma \cdot dS$ (على المحور x) ومركبة في مستوى المقطع $\tau \cdot dS$. في الأسفل: قضيب مشدود قُطع، فتتوزع الإجهادات بانتظام على مقطعه وتساوي محصلتُها الجهدَ N.

• الإجهاد الناظمي σ (contrainte normale): عمودي على المقطع، ينتج عن N (وعن Mf في الانحناء). يكون موجباً في الشد وسالباً في الانضغاط.
• الإجهاد المماسي τ (contrainte tangentielle): يقع في مستوى المقطع، ينتج عن الجهد القاطع T.

وحدة الإجهاد هي وحدة ضغط: MPa، أي N/mm². وفي الشد والانضغاط البسيطين، بعيداً عن الأطراف (مبدأ سان فونان)، يتوزع σ بانتظام:

$ \sigma = \frac{N}{S} $

وفي القص البسيط نستعمل الإجهاد المماسي المتوسط:

$ \tau = \frac{T}{S} $

حيث S مساحة المقطع المقصوص. أما في الانحناء فلا يتوزع σ بانتظام: ينعدم على الليفة المحايدة (المارة بمركز ثقل المقطع) ويبلغ أقصاه في الليفتين الطرفيتين، وهذا موضوع درس الإجهادات في الانحناء.

شرط المقاومة

لكل مادة إجهاد مسموح به (contrainte admissible) نحصل عليه بقسمة حد المرونة $\sigma_e$ على معامل أمان s أكبر من 1:

$ \bar{\sigma} = \frac{\sigma_e}{s} $

مثلاً فولاذ حد مرونته $235\ MPa$ مع $s = 1{,}5$ يعطي $\bar{\sigma} \approx 157\ MPa$، وكثيراً ما تعطي مواضيع البكالوريا $\bar{\sigma} = 160\ MPa$ (أي $1600\ daN/cm^2$). وشرط المقاومة:

> $\sigma_{max} \le \bar{\sigma}$ للإجهاد الناظمي، و$\tau_{max} \le \bar{\tau}$ للإجهاد المماسي.

ومنه الاستعمالات الثلاثة في الشد والانضغاط:

| الاستعمال | المعطيات | العلاقة | |---|---|---| | التحقق | N وS و$\bar{\sigma}$ | $\sigma = N/S \le \bar{\sigma}$ | | التحجيم | N و$\bar{\sigma}$ | $S \ge N/\bar{\sigma}$ | | الحمولة القصوى | S و$\bar{\sigma}$ | $N_{max} = \bar{\sigma} \cdot S$ |

أمثلة محلولة

مثال 1 (تحقق، شد): شداد فولاذي دائري قطره $d = 16\ mm$ يخضع لـ $N = 25\ kN$، و$\bar{\sigma} = 160\ MPa$.

$ S = \frac{\pi d^2}{4} = 201{,}1\ mm^2 $

$ \sigma = \frac{25\,000}{201{,}1} = 124{,}3\ MPa $

بما أن $124{,}3 \le 160\ MPa$ فالشداد يقاوم.

مثال 2 (تحجيم، انضغاط): عمود خشبي مربع المقطع يحمل $N = 60\ kN$ انضغاطاً، و$\bar{\sigma} = 8\ MPa$.

$ S \ge \frac{60\,000}{8} = 7500\ mm^2 $

ومنه $a \ge \sqrt{7500} = 86{,}6\ mm$، فنختار مقطعاً تجارياً $10 \times 10\ cm$.

مثال 3 (حمولة قصوى): صفيحة فولاذية مقطعها $50 \times 8\ mm$ و$\bar{\sigma} = 160\ MPa$: $S = 400\ mm^2$ و$N_{max} = 160 \times 400 = 64\,000\ N = 64\ kN$.

مثال 4 (قص): برغي قطره $12\ mm$ يربط صفيحتين (مستوى قص واحد) وينقل $T = 9\ kN$، و$\bar{\tau} = 100\ MPa$: $S = \pi \times 12^2/4 = 113{,}1\ mm^2$ و$\tau = 9000/113{,}1 = 79{,}6\ MPa$، وهي أقل من 100 MPa فالبرغي يقاوم. وإذا كان البرغي يقطع في مستويين (قص مضاعف) تتضاعف المساحة المقاومة.

أخطاء شائعة

• حساب مساحة الدائرة بـ $\pi d^2$ (أي استعمال القطر مكان نصف القطر في $\pi r^2$): النتيجة أكبر بأربع مرات.
• مقارنة إجهاد بالـ MPa بإجهاد مسموح بالـ daN/cm² دون تحويل.
• تطبيق $\sigma = N/S$ المنتظمة على رافدة في الانحناء.
• استعمال $\sigma_e$ مكان $\bar{\sigma}$ في شرط المقاومة: ذلك يلغي معامل الأمان.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل

في كل تمرين: اقرأ المعطيات وحوّل وحداتها أولاً (N، mm²، MPa)، ثم احترم الترتيب: ردود الأفعال ← الجهود الداخلية ← الإجهادات ← شرط المقاومة. واكتب الاصطلاحين اللذين تستعملهما (العزم المعاكس لعقارب الساعة موجب في معادلات التوازن، وMf موجب إذا تقعّرت الرافدة نحو الأعلى)، وأعطِ كل نتيجة بوحدتها.

التمرين 1: رافدة سقيفة على عمود من الآجر

سقيفة مدرسة محمولة على رافدة فولاذية AB بحرها 6 m. ترتكز الرافدة في A على مسند مضاعف (مفصل: محور فولاذي يمر بطرف الرافدة وبكتيفة مزدوجة (chape) مثبتة في جدار من الآجر، فيعمل في القص المضاعف)، وفي B على مسند بسيط فوق عمود صغير مربع من الآجر المليء (pilier). تحمل الرافدة حمولة موزعة $q = 10\ kN/m$ (تشمل وزنها) على كامل طولها، وحمولة مركزة $P = 30\ kN$ على 2 m من A.


يبيّن الشكل الرافدة بحمولتيها: q على كامل البحر وP على 2 m من A، والمفصل في A (المحور داخل الكتيفة المثبتة في الجدار المهشّر)، والعمود المهشّر تحت B. المعطيات: الإجهاد المسموح لبناء الآجر $\bar{\sigma}_m = 1{,}5\ MPa$، والإجهاد المماسي المسموح لفولاذ المحور $\bar{\tau} = 100\ MPa$. يُهمل وزن العمود.

المطلوب:

• حدّد التحريض الذي يخضع له كل من: الرافدة، العمود، المحور في A.
• احسب ردود الأفعال.
• احسب N وT وMf في المقطعين $x = 1\ m$ و$x = 3\ m$.
• احسب الضلع الأدنى a للعمود، ثم اختره بمضاعفات 5 cm.
• احسب القطر الأدنى d للمحور في A.

الحل:

1. الرافدة تحمل قوى عمودية على محورها: انحناء مستوٍ بسيط. العمود ينقل رد الفعل $V_B$ على محوره نحو الأرض: انضغاط بسيط. المحور يمنع انزلاق الرافدة على مثبتها فيُقطع في مستويين: قص بسيط (مضاعف).

2. محصلة q هي $10 \times 6 = 60\ kN$ على 3 m من A. لا توجد قوى أفقية فـ $H_A = 0$. العزوم حول A:

$ 6\,V_B - 60 \times 3 - 30 \times 2 = 0 $

$ V_B = 240/6 = 40\ kN $

ثم $V_A = 60 + 30 - 40 = 50\ kN$. التحقق حول B: $-50 \times 6 + 60 \times 3 + 30 \times 4 = -300 + 180 + 120 = 0$.

3. في كل المقاطع $N = 0$ (لا قوى أفقية).

عند $x = 1\ m$ (قبل P): على اليسار $V_A$ وحمولة موزعة على 1 m (10 kN بذراع 0,5 m):

$ T = 50 - 10 = 40\ kN $

$ M_f = 50 \times 1 - 10 \times 0{,}5 = 45\ kN\cdot m $

عند $x = 3\ m$ (بعد P): على اليسار $V_A$، وP بذراع 1 m، وحمولة موزعة 30 kN بذراع 1,5 m:

$ T = 50 - 30 - 30 = -10\ kN $

$ M_f = 150 - 30 - 45 = 75\ kN\cdot m $

التحقق بالجزء الأيمن عند 3 m: $V_B$ بذراع 3 m وحمولة موزعة 30 kN بذراع 1,5 m: $M_f = 120 - 45 = 75\ kN\cdot m$.

4. العمود مضغوط بـ $N = -40\ kN$. شرط المقاومة بالقيمة المطلقة:

$ S \ge \frac{40\,000}{1{,}5} = 26\,667\ mm^2 $

ومنه $a \ge 163{,}3\ mm$، فنختار $a = 20\ cm$. التحقق: $\sigma = 40\,000/40\,000 = 1{,}0\ MPa$، وهي أقل من 1,5 MPa.

5. المحور ينقل $V_A = 50\ kN$ عبر مستويين، فالمساحة المقاومة $2 \cdot \pi d^2/4$:

$ \frac{\pi d^2}{4} \ge \frac{50\,000}{2 \times 100} $

$ \frac{\pi d^2}{4} \ge 250\ mm^2 $

ومنه $d \ge 17{,}8\ mm$، فنختار محوراً قطره 20 mm. التحقق: $\tau = 50\,000/(2 \times 314{,}2) = 79{,}6\ MPa$، وهي أقل من 100 MPa.

التمرين 2: عمود بناية من ثلاثة طوابق

عمود ABCD (A عند الأساس، D في الأعلى) طول كل جزء منه 3 m، ومقاطعه مربعة: DC بـ $20 \times 20\ cm$، وCB بـ $25 \times 25\ cm$، وBA بـ $30 \times 30\ cm$. يحمل في D حمولة السطح $F_1 = 120\ kN$، وفي C حمولة أرضية $F_2 = 150\ kN$، وفي B حمولة أرضية $F_3 = 150\ kN$، كلها على محوره. نعتبر مادة العمود متجانسة بإجهاد مسموح في الانضغاط $\bar{\sigma} = 5\ MPa$، ونهمل وزنه الذاتي.


يبيّن الشكل العمود بأجزائه الثلاثة (المقطع يكبر نحو الأسفل) والحمولات الثلاث المطبقة عند مستويات الطوابق، ويرتكز في A على أساس.

المطلوب:

• ما التحريض الذي يخضع له العمود؟
• احسب الجهد الناظمي في كل جزء، ورد فعل الأساس.
• احسب الإجهاد في كل جزء وتحقق من المقاومة. أي جزء هو الأكثر إجهاداً؟
• إلى أي قيمة يمكن رفع $F_1$ مع بقاء $F_2$ و$F_3$ كما هما؟

الحل:

1. كل القوى على محور العمود ومتجهة نحو داخله: انضغاط بسيط.

2. نقطع العمود في كل جزء ونحتفظ بالجزء العلوي (الجزء الذي لا يحتوي على الأساس): كل الحمولات فوق المقطع تضغطه.

| الجزء | القوى فوق المقطع | N (kN) | |---|---|---| | DC | $F_1$ | −120 | | CB | $F_1 + F_2$ | −270 | | BA | $F_1 + F_2 + F_3$ | −420 |

رد فعل الأساس صاعد ويساوي $420\ kN$.

3. المساحات: $40\,000$ و$62\,500$ و$90\,000\ mm^2$.

$ \sigma_{DC} = -\frac{120\,000}{40\,000} = -3{,}00 $

$ \sigma_{CB} = -\frac{270\,000}{62\,500} = -4{,}32 $

$ \sigma_{BA} = -\frac{420\,000}{90\,000} = -4{,}67 $

القيم بالـ MPa، والإشارة السالبة تعني انضغاطاً، ونقارن القيم المطلقة بـ 5 MPa: كلها أقل، فالعمود يقاوم. الجزء الأكثر إجهاداً هو BA (4,67 MPa)، مع أنه الأعرض، لأنه يحمل الحمولات الثلاث.

4. نكتب شرط المقاومة لكل جزء بدلالة $F_1$:

• DC: $F_1 \le 5 \times 40\,000\ N = 200\ kN$.
• CB: $F_1 + 150 \le 5 \times 62{,}5 = 312{,}5\ kN$ أي $F_1 \le 162{,}5\ kN$.
• BA: $F_1 + 300 \le 5 \times 90 = 450\ kN$ أي $F_1 \le 150\ kN$.

(لأن $5\ MPa \times 1000\ mm^2 = 5\ kN$، فنكتب المساحات بالألف mm²: 40 و62,5 و90.)

يجب تحقيق الشروط الثلاثة معاً، فـ $F_{1,max} = 150\ kN$ ويحدّها الجزء السفلي، لا الجزء العلوي الذي تُطبَّق عليه $F_1$ مباشرة.

التمرين 3: معلاق جسر مشاة بوحدات قديمة

جسر مشاة صغير معلّق بقضبان فولاذية دائرية (معاليق) قطر كل منها $d = 20\ mm$. أكبر قوة في معلاق هي $N = 4\ tf$. الإجهاد المسموح $\bar{\sigma} = 1600\ daN/cm^2$. يُثبَّت المعلاق في طرفه ببرغي يعمل في القص في مستوى واحد، والإجهاد المماسي المسموح $\bar{\tau} = 1000\ daN/cm^2$.

المطلوب:

• حوّل المعطيات إلى kN وMPa.
• ما تحريض المعلاق؟ تحقق من مقاومته.
• احسب أكبر قوة يتحملها المعلاق.
• احسب القطر الأدنى للبرغي، ثم القطر لو كان البرغي في قص مضاعف.

الحل:

1. $N = 4\ tf = 40\ kN = 40\,000\ N$ ؛ $\bar{\sigma} = 1600\ daN/cm^2 = 160\ MPa$ ؛ $\bar{\tau} = 1000\ daN/cm^2 = 100\ MPa$.

2. المعلاق يحمل الجسر من الأسفل ويُشدّ من الأعلى: شد بسيط.

$ S = \frac{\pi \times 20^2}{4} = 314{,}2\ mm^2 $

$ \sigma = \frac{40\,000}{314{,}2} = 127{,}3\ MPa $

وبما أن $127{,}3 \le 160\ MPa$ فالمعلاق يقاوم (أي $1273\ daN/cm^2$ أقل من $1600$).

3. $N_{max} = \bar{\sigma} \cdot S = 160 \times 314{,}2 = 50\,265\ N$، أي نحو $50{,}3\ kN$ (قرابة 5 tf).

4. قص في مستوى واحد:

$ \frac{\pi d^2}{4} \ge \frac{40\,000}{100} = 400\ mm^2 $

ومنه $d \ge 22{,}6\ mm$، فنختار برغياً قطره 24 mm. وفي القص المضاعف تكفي $200\ mm^2$ لكل مقطع، فـ $d \ge 15{,}96\ mm$ ونختار 16 mm. القطر لا ينقص إلى النصف بل يُقسم على $\sqrt{2}$ تقريباً، لأن المساحة هي التي تنقص إلى النصف.

ملاحظة للامتحان

• اكتب دائماً العلاقة قبل التعويض، ثم التعويض بالوحدات المتجانسة، ثم النتيجة بوحدتها.
• في التحجيم قرّب إلى الأعلى (قطر، ضلع) ثم تحقق بالقيمة المختارة.
• في عنصر بعدة أجزاء احسب N وσ في كل جزء: أكبر إجهاد ليس بالضرورة حيث أكبر قوة ولا حيث أصغر مقطع.