الانضغاط البسيط والقص البسيط

3. ضغط الارتكاز على المساند والتربة، وحدود الطريقة: التحدب

ضغط الارتكاز (pression de contact)

حين يرتكز عنصر على آخر تنتقل القوة عبر سطح التماس بينهما، فيخضع هذا السطح لانضغاط. نسمي الإجهاد على سطح التماس ضغط الارتكاز ونحسبه كإجهاد انضغاط عادي:

$ \sigma = \frac{R}{S_{contact}} \le \bar{\sigma} $

حيث R القوة المنقولة و $S_{contact}$ مساحة التماس، و $\bar{\sigma}$ الإجهاد المسموح به للمادة الأضعف بين العنصرين (غالبا البناء أو الخرسانة أو التربة، لا الفولاذ).


يبين الشكل (a) طرف رافدة يرتكز على جدار من البناء عبر صفيحة ارتكاز (plaque d'appui) أبعادها $a \times b$: الجدار يرد على الصفيحة بإجهادات صاعدة منتظمة σ. والشكل (b) عمودا ينقل الجهد N إلى قاعدة (semelle) خرسانية مربعة $B \times B$ سمكها h، والتربة ترد بإجهاد $\sigma_{sol}$ موزع على كل سطح القاعدة.

ثلاث حالات نموذجية

| الحالة | سطح التماس | المادة الأضعف | المجهول عادة | |---|---|---|---| | رافدة على جدار | $a \times b$ (طول الارتكاز × سمك الجدار) | البناء | طول الارتكاز a | | عمود معدني على كتلة خرسانية | صفيحة القاعدة (platine) | الخرسانة | ضلع الصفيحة | | قاعدة على التربة | $B \times B$ | التربة | ضلع القاعدة B |

قيم تقريبية لإجهاد التربة المسموح به: من $0{,}1$ إلى $0{,}3\ MPa$ للتربة العادية، أي من 1 إلى 3 bars. انتبه: $0{,}2\ MPa = 2\ daN/cm^2 = 2\ bars$. القيمة الصحيحة تعطيها دراسة التربة، وتذكر في نص التمرين.

> مساحة التماس أكبر كلما كانت المادة أضعف: الصفيحة توزع حمولة الرافدة على البناء، والقاعدة توزع حمولة العمود على التربة. هذا هو دور الأساسات: تخفيض الإجهاد من نحو مئة MPa أو أكثر في العمود الفولاذي، إلى بضعة MPa في الخرسانة، ثم إلى أعشار الـ MPa في التربة.

أمثلة محلولة

مثال 1: طول ارتكاز رافدة على جدار. رافدة ترتكز على جدار سمكه $b = 20\ cm$ برد فعل $R = 54\ kN$، والإجهاد المسموح به للبناء $\bar{\sigma}_m = 1{,}5\ MPa$.

• $a \cdot b \ge R/\bar{\sigma}_m$، ومنه $a \ge 54\,000/(1{,}5 \times 200) = 180\ mm$.
• نأخذ $a = 20\ cm$: $\sigma = 54\,000/(200 \times 200) = 1{,}35\ MPa$، والشرط محقق.

مثال 2: صفيحة قاعدة عمود معدني. عمود ينقل $N = 400\ kN$ إلى كتلة خرسانية، والإجهاد المسموح به للخرسانة $8\ MPa$.

• $S \ge 400\,000/8 = 50\,000\ mm^2$، أي ضلع $a \ge \sqrt{50\,000} = 223{,}6\ mm$.
• نأخذ صفيحة $250 \times 250\ mm$: $\sigma = 400\,000/62\,500 = 6{,}4\ MPa$.

مثال 3: قاعدة على التربة مع وزنها. العمود نفسه (400 kN) ترتكز قاعدته المربعة على تربة $\bar{\sigma}_{sol} = 0{,}2\ MPa$. سمك القاعدة $h = 0{,}40\ m$ والخرسانة $25\ kN/m^3$، والضلع مضاعف لـ 5 cm.

• بإهمال وزن القاعدة: $B^2 \ge 400\,000/0{,}2 = 2 \cdot 10^6\ mm^2$، ومنه $B \ge 1414\ mm$، فنجرب $B = 1{,}45\ m$.
• التحقق بوزن القاعدة: $W = 1{,}45^2 \times 0{,}40 \times 25 = 21{,}0\ kN$، فتصبح الحمولة على التربة $421{,}0\ kN$ و $\sigma_{sol} = 421\,000/2\,102\,500 = 0{,}2002\ MPa$: يتجاوز $0{,}2\ MPa$ قليلا، غير محقق.
• نأخذ $B = 1{,}50\ m$: $W = 22{,}5\ kN$ و $\sigma_{sol} = 422\,500/2\,250\,000 = 0{,}188\ MPa$، وبما أن $0{,}188 \le 0{,}2$ فالشرط محقق.

الدرس: الوزن الذاتي للقاعدة يضاف إلى حمولة العمود، ولا يجوز نسيانه حين يكون الضلع على الحد.

حدود الانضغاط البسيط: التحدب


الشكل (a) كتلة قصيرة: إذا زادت القوة كثيرا تنسحق المادة (écrasement) بعد أن تنتفخ قليلا، وهذا ما يحميه شرط المقاومة $|\sigma| \le \bar{\sigma}$. الشكل (b) قضيب نحيف (élancé): تحت قوة أصغر بكثير من قوة السحق ينحني فجأة جانبيا ويفقد استقراره. هذه الظاهرة هي التحدب (flambement)، وهي خطر خاص بالانضغاط لا وجود له في الشد.

النحافة وطول التحدب

خطر التحدب يقاس بـ النحافة (élancement):

$ \lambda = \frac{l_f}{i_{min}} $

$ i_{min} = \sqrt{\frac{I_{min}}{S}} $

• $i_{min}$ أصغر نصف قطر دوران للمقطع، لأن العنصر يتحدب في اتجاهه الأضعف: للدائرة $i = d/4$، وللمستطيل $a \times b$ ($a \le b$) $i_{min} = a/\sqrt{12}$.
• $l_f$ طول التحدب (longueur de flambement)، يتعلق بالطول الحر $l_0$ وبطريقة تثبيت الطرفين (الصف السفلي من الشكل):

| تثبيت الطرفين | $l_f$ | |---|---| | مفصلان (articulé – articulé) | $l_0$ | | وثاقة في الأسفل وطرف حر في الأعلى (encastré – libre) | $2\,l_0$ | | وثاقتان (encastré – encastré) | $0{,}5\,l_0$ | | وثاقة ومفصل (encastré – articulé) | $0{,}7\,l_0$ |

في البنايات يؤخذ عادة لعمود مثبت في أرضيتين $l_f = 0{,}7\,l_0$، وهذا ما يستعمله درس العمود في الخرسانة المسلحة.

> قاعدة تقريبية مستعملة في دروس مقاومة المواد: إذا كانت $\lambda \le 20$ تقريبا فالعنصر قصير ويكفي حساب الانضغاط البسيط. وإذا كانت أكبر وجب حساب خاص بالتحدب، يأخذه الحساب بالـ BAEL في الأعمدة بمعامل تخفيض α.

مثال: القضيب نفسه بطولين

قضيب فولاذي دائري $d = 40\ mm$ مفصلي الطرفين، $\bar{\sigma} = 160\ MPa$: $i = 40/4 = 10\ mm$ و $S = 1256{,}6\ mm^2$، والحمولة المسموحة حسب الانضغاط البسيط $160 \times 1256{,}6 = 201\ kN$.

• بطول $l_0 = 0{,}20\ m$: $\lambda = 200/10 = 20$، عنصر قصير، والحساب السابق صالح.
• بطول $l_0 = 2{,}00\ m$: $\lambda = 2000/10 = 200$، عنصر نحيف جدا. للاطلاع فقط: حمولة التحدب النظرية (أويلر) $F_{cr} = \pi^2 E I/l_f^2$، مع $E = 2 \cdot 10^5\ MPa$، تعطي هنا حوالي 62 kN فقط، أي أقل من ثلث الـ 201 kN. لو اعتمدنا الانضغاط البسيط لانهار القضيب.

مثال: عمود خرساني في بناية

عمود $30 \times 30\ cm$ طوله الحر $l_0 = 3{,}20\ m$ مثبت في أرضيتين: $l_f = 0{,}7 \times 3{,}20 = 2{,}24\ m$، و $\lambda = 2\sqrt{3} \times 224/30 = 25{,}9$. النحافة أكبر من 20، ولذلك لا يكتفي حساب الأعمدة في الخرسانة المسلحة بـ $N/S$، بل يدخل معامل α الذي يتعلق بـ λ.

أخطاء شائعة

• نسيان وزن القاعدة في حساب ضغط التربة، أو قسمة الحمولة على $B$ بدل $B^2$.
• الخلط بين وحدات التربة: $2\ bars = 0{,}2\ MPa$، لا $2\ MPa$.
• حساب النحافة بأكبر نصف قطر دوران بدل أصغره.
• أخذ $i = d$ أو $i = d/2$ للدائرة بدل $i = d/4$.
• تطبيق $|\sigma| \le \bar{\sigma}$ وحدها على قضيب طويل نحيف.

4. القص البسيط: التعريف والإجهاد المماسي وقانون هوك

تعريف القص البسيط

يخضع عنصر إلى القص البسيط (cisaillement simple) إذا طبقت عليه قوتان متساويتان ومتعاكستان، عموديتان على محوره و متقاربتان جدا، تعملان على زلق مقطعين متجاورين أحدهما على الآخر. في المقطع المحصور بينهما يكون الجهد الوحيد غير المعدوم هو الجهد القاطع T (effort tranchant):

$ N = 0 \quad T \ne 0 \quad M_f = 0 $

القوتان متقاربتان إلى حد يمكن معه إهمال عزم الانحناء. لو تباعدتا لظهر عزم $M_f = T \cdot d$ وصار التحريض انحناء.

أمثلة

• البراغي (boulons) و المسامير المبرشمة (rivets) في الوصلات المعدنية؛
• المحاور (axes) في المفاصل: مسند مزدوج لرافدة، عقدة جملون، وصلة شوكية (chape)؛
• قطع قضبان التسليح بالمقص، و ثقب الصفائح بالمخرز (poinçonnage)؛
• أجهزة الارتكاز المطاطية في الجسور: تتشوه بالقص حين يتمدد سطح الجسر بالحرارة؛
• مقطع رافدة قصيرة جدا قريب من الوثاقة تحت حمولة مطبقة بجانبه (الشكل a أسفله).

الإجهاد المماسي


في الشكل (a) صفيحة مثبتة في كتلة، والقوة F مطبقة ملاصقة لوجه التثبيت: الصفيحة تميل إلى الانقطاع وفق المستوى (s). نعزل الجزء الحر (الشكل b) ونكتب التوازن الشاقولي: الجهد في المستوى (s) هو $T = F$، يقع في مستوى المقطع لا عموديا عليه.

يتوزع T على مساحة المقطع المقصوص S، فنحصل على الإجهاد المماسي τ (contrainte tangentielle):

$ \tau = \frac{T}{S} $

τ بالـ MPa إذا كانت T بالنيوتن و S بالـ $mm^2$. هذه قيمة متوسطة: نفترض في القص البسيط أن τ موزع بانتظام، وهو تقريب مقبول للبراغي والمحاور. (في الانحناء لا يتوزع τ بانتظام، ويبلغ أقصاه $\tau_{max} = 1{,}5\,T/S$ في مقطع مستطيل؛ ذلك موضوع درس الانحناء.)

| | الإجهاد الناظمي σ | الإجهاد المماسي τ | |---|---|---| | ينتج عن | الجهد الناظمي N | الجهد القاطع T | | اتجاهه | عمودي على المقطع | في مستوى المقطع | | أثره | إطالة أو تقصير | انزلاق | | العلاقة | $\sigma = N/S$ | $\tau = T/S$ |

شرط المقاومة في القص

$ \tau_{max} = \frac{T_{max}}{S} \le \bar{\tau} $

حيث $\bar{\tau} = \tau_e/s$ الإجهاد المماسي المسموح به، و $\tau_e$ حد المرونة في القص. للمادة نفسها يكون $\tau_e$ أصغر من $\sigma_e$ (للفولاذ حوالي 0,5 إلى 0,7 منه)، ولذلك يعطى $\bar{\tau}$ مستقلا في النص، مثلا $\bar{\tau} = 100\ MPa$ أو $900\ daN/cm^2$. ونستعمل الشرط كما في الشد: التحقق ($\tau \le \bar{\tau}$)، التحجيم ($S \ge T/\bar{\tau}$)، الحمولة القصوى ($T_{max} = \bar{\tau} \cdot S$).

قانون هوك في القص

تحت τ يتشوه مكعب صغير من المادة: يبقى ارتفاعه h ويزلق وجهه العلوي بمقدار Δ (الشكل c)، فيتحول المربع إلى متوازي أضلاع. الزاوية γ بين الضلع قبل التشوه وبعده هي زاوية الانزلاق (glissement)، بالراديان، وهي صغيرة جدا: $\gamma \approx \tan\gamma = \Delta/h$.

في المجال المرن يتناسب الإجهاد المماسي مع زاوية الانزلاق:

$ \tau = G \cdot \gamma $

G معامل المرونة العرضي (module de Coulomb)، بوحدة الإجهاد (MPa)، ويرتبط بـ E وبمعامل بواسون ν:

$ G = \frac{E}{2(1 + \nu)} $

| المادة | E (MPa) | ν | G (MPa) تقريبا | |---|---|---|---| | الفولاذ | $2 \cdot 10^5$ | 0,3 | $8 \cdot 10^4$ | | النحاس | $1{,}2 \cdot 10^5$ | 0,34 | $4{,}5 \cdot 10^4$ | | الألمنيوم | $0{,}7 \cdot 10^5$ | 0,33 | $2{,}6 \cdot 10^4$ | | المطاط الصناعي (élastomère) | — | — | 0,8 إلى 1,2 |

للفولاذ: $G = 2 \cdot 10^5/(2 \times 1{,}3) = 7{,}7 \cdot 10^4\ MPa$، وتقرب غالبا إلى $8 \cdot 10^4\ MPa$.

تجربة القص

تقاس مقاومة الفولاذ في القص بعينة أسطوانية توضع في جهاز قص مضاعف: ثلاث قطع، الوسطى تدفع بالقوة F والطرفيتان ثابتتان، فتنقطع العينة في مقطعين معا. نسجل القوة عند نهاية المجال المرن $F_e$ والقوة عند الانقطاع $F_r$:

$ \tau_e = \frac{F_e}{2S} \qquad \tau_r = \frac{F_r}{2S} $

مثال. عينة $d = 10\ mm$ ($S = 78{,}54\ mm^2$): $F_e = 28{,}3\ kN$ و $F_r = 47{,}1\ kN$.

• $\tau_e = 28\,300/(2 \times 78{,}54) = 180\ MPa$ و $\tau_r = 47\,100/157{,}08 = 300\ MPa$.
• بمعامل أمان $s = 1{,}5$: $\bar{\tau} = 180/1{,}5 = 120\ MPa$.

أمثلة محلولة

مثال 1: تحقق. محور قطره 16 mm في قص بمستوى واحد ينقل $T = 12\ kN$، و $\bar{\tau} = 100\ MPa$: $S = 201{,}06\ mm^2$ و $\tau = 12\,000/201{,}06 = 59{,}7\ MPa$، وبما أن $59{,}7 \le 100$ فالمحور يقاوم.

مثال 2: زاوية الانزلاق في الفولاذ. إذا بلغ الإجهاد في محور فولاذي $\tau = 80\ MPa$ و $G = 8 \cdot 10^4\ MPa$:

$ \gamma = \frac{\tau}{G} = \frac{80}{8 \cdot 10^4} = 10^{-3}\ rad $

أي حوالي $0{,}057°$: تشوه صغير جدا لا يُرى.

مثال 3: جهاز ارتكاز مطاطي لجسر. وسادة مطاطية $300 \times 400\ mm$ سمك المطاط فيها $h = 40\ mm$، و $G = 0{,}9\ MPa$. تمدد سطح الجسر بالحرارة يولد عليها قوة أفقية $H = 30\ kN$.

• $\tau = 30\,000/(300 \times 400) = 0{,}25\ MPa$.
• $\gamma = 0{,}25/0{,}9 = 0{,}278\ rad$ (حوالي 16°).
• الانتقال الأفقي لوجهها العلوي $\Delta = \gamma \cdot h = 0{,}278 \times 40 = 11{,}1\ mm$.

هنا γ كبيرة لأن G المطاط صغير جدا: هذا مقصود، فالوسادة تسمح لسطح الجسر بالتمدد دون أن تدفع الركيزة بقوة كبيرة.

أخطاء شائعة

• أخذ المساحة العمودية على القوة بدل المساحة الموازية لها (مستوى القص).
• استعمال E مكان G في $\tau = G\gamma$.
• كتابة γ بالدرجات في العلاقة: γ بالراديان دائما.
• استعمال $\bar{\sigma}$ في شرط القص بدل $\bar{\tau}$.
• نسيان القسمة على 2 في تجربة القص المضاعف.

5. تطبيقات القص: البراغي والمسامير والمحاور والثقب

الوصلات المعدنية

في المنشآت المعدنية (جملونات، أعمدة، روافد) تربط القطع بـ براغي (boulons) أو مسامير مبرشمة (rivets)، وتربط المفاصل بـ محاور (axes). هذه العناصر تعمل أساسا في القص: القطع المربوطة تحاول الانزلاق بعضها على بعض، فيقطع كل برغي في المستوى (أو المستويات) الذي تلتقي فيه قطعتان.


• الشكل (a) وصلة بالتراكب (assemblage à recouvrement): صفيحتان فوق بعضهما، كل منهما تجذب في اتجاه. البرغي يقطع في مستوى واحد (الخط الأحمر المتقطع): قص بسيط، $m = 1$.
• الشكل (b) وصلة شوكية (chape): صفيحة وسطى بين صفيحتين جانبيتين. الوسطى تجذب بالقوة F، وكل جانبية تجذب بـ $F/2$. البرغي يقطع في مستويين: قص مضاعف، $m = 2$، وكل مقطع ينقل $F/2$.

التحريض في الحالتين قص بسيط بالمعنى الذي عرفناه (T وحده في كل مقطع مقصوص)؛ كلمتا «بسيط» و«مضاعف» هنا تعدان مستويات القص فقط.

العلاقات

إذا نقلت الوصلة قوة T بواسطة n برغيا متماثلا قطرها d، وكل برغي يقطع في m مستو، فإن المساحة المقاومة الكلية هي:

$ S = n \cdot m \cdot \frac{\pi d^2}{4} $

$ \tau = \frac{T}{n \cdot m \cdot \pi d^2/4} \le \bar{\tau} $

ومنه قطر البرغي (n و m معروفان) أو عدد البراغي (d معروف):

$ d \ge \sqrt{\frac{4\,T}{\pi \cdot n \cdot m \cdot \bar{\tau}}} $

$ n \ge \frac{T}{m \cdot \bar{\tau} \cdot \pi d^2/4} $

نقرب d إلى أول قطر تجاري أعلى (10، 12، 14، 16، 18، 20، 22، 24، 27، 30 mm)، و n إلى العدد الصحيح الأعلى.

> القص المضاعف يقسم المساحة اللازمة لكل مقطع على 2، فيقسم القطر على $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ فقط، لا على 2.

أمثلة محلولة: البراغي

مثال 1: وصلة بالتراكب بثلاثة براغي. $T = 60\ kN$ ، $n = 3$ ، $m = 1$ ، $\bar{\tau} = 80\ MPa$.

• مساحة برغي واحد: $\pi d^2/4 \ge 60\,000/(3 \times 80) = 250\ mm^2$ ، ومنه $d \ge 17{,}8\ mm$.
• نأخذ $d = 18\ mm$ ($254{,}47\ mm^2$): $\tau = 60\,000/(3 \times 254{,}47) = 78{,}6\ MPa$، وبما أن $78{,}6 \le 80$ فالشرط محقق.

مثال 2: الوصلة نفسها في قص مضاعف. $m = 2$: $\pi d^2/4 \ge 60\,000/(3 \times 2 \times 80) = 125\ mm^2$ ، ومنه $d \ge 12{,}6\ mm$، فنأخذ $d = 14\ mm$ و $\tau = 60\,000/(6 \times 153{,}94) = 65{,}0\ MPa$. انتقلنا من 18 mm إلى 14 mm، لا إلى 9 mm.

مثال 3: عدد البراغي. وصلة شوكية تنقل $T = 120\ kN$ ببراغي قطرها 16 mm، و $\bar{\tau} = 100\ MPa$.

• ما يتحمله برغي واحد في قص مضاعف: $2 \times 201{,}06 \times 100 = 40\,212\ N = 40{,}2\ kN$.
• $n \ge 120/40{,}2 = 2{,}98$، فنأخذ 3 براغي، و $\tau = 120\,000/(3 \times 2 \times 201{,}06) = 99{,}5\ MPa$.

مثال 4: محور مسند مزدوج. مسند مزدوج لرافدة رد فعله بمركبتين $H = 38{,}4\ kN$ و $V = 51{,}2\ kN$، والمحور في قص مضاعف، و $\bar{\tau} = 100\ MPa$.

• المحور يقطع تحت محصلة رد الفعل لا تحت مركبة واحدة: $R = \sqrt{38{,}4^2 + 51{,}2^2} = 64\ kN$.
• $\pi d^2/4 \ge 64\,000/(2 \times 100) = 320\ mm^2$ ، ومنه $d \ge 20{,}2\ mm$، فنأخذ $d = 22\ mm$ و $\tau = 64\,000/(2 \times 380{,}13) = 84{,}2\ MPa$.

الثقب (poinçonnage)


لصنع ثقوب البراغي في الصفائح يستعمل مخرز (poinçon) قطره d يدفع الصفيحة (tôle) فوق قالب (matrice). القطعة المقتلعة قرص قطره d، والمادة تنقطع على السطح الجانبي لأسطوانة قطرها d وارتفاعها سمك الصفيحة e (الخطان الأحمران في الشكل):

$ S = \pi \cdot d \cdot e $

هنا نريد أن تنقطع المادة، فنستعمل مقاومة الانقطاع في القص $\tau_r$ لا الإجهاد المسموح به:

$ F \ge \tau_r \cdot \pi \cdot d \cdot e $

والمخرز نفسه يعمل في الانضغاط تحت القوة نفسها، على مقطعه $\pi d^2/4$:

$ \sigma_p = \frac{4F}{\pi d^2} \le \bar{\sigma}_p $

مثال 5: قوة الثقب. ثقب قطره $d = 20\ mm$ في صفيحة $e = 8\ mm$، و $\tau_r = 320\ MPa$، والإجهاد المسموح به لفولاذ المخرز $\bar{\sigma}_p = 900\ MPa$.

• $S = \pi \times 20 \times 8 = 502{,}65\ mm^2$ و $F = 320 \times 502{,}65 = 160\,850\ N \approx 160{,}8\ kN$.
• إجهاد المخرز: $\sigma_p = 160\,850/314{,}16 = 512\ MPa$، وبما أن $512 \le 900$ فالمخرز يقاوم.
• أكبر سمك يمكن ثقبه بهذا المخرز: من $\tau_r \pi d e \le \bar{\sigma}_p \pi d^2/4$ نجد $e \le \bar{\sigma}_p d/(4 \tau_r) = 900 \times 20/(4 \times 320) = 14{,}1\ mm$.

مثال 6: قطع قضيب تسليح. قص قضيب ⌀12 بالمقص (مستوى واحد)، و $\tau_r = 300\ MPa$: $F = 300 \times 113{,}1 = 33\,930\ N \approx 33{,}9\ kN$.

| الحالة | المساحة المقصوصة | القيمة المستعملة | |---|---|---| | برغي أو مسمار أو محور | $n \cdot m \cdot \pi d^2/4$ | $\bar{\tau}$ (يجب ألا ينقطع) | | ثقب صفيحة | $\pi \cdot d \cdot e$ | $\tau_r$ (يجب أن تنقطع) | | قطع قضيب | $\pi d^2/4$ لكل مستوى | $\tau_r$ (يجب أن ينقطع) |

أخطاء شائعة

• الخطأ في m: حساب وصلة شوكية بمستوى واحد يعطي قطرا أكبر من اللازم (تبذير)، وحساب وصلة بالتراكب بمستويين يعطي قطرا غير كاف (خطر).
• قسمة القطر على 2 عند الانتقال إلى القص المضاعف.
• حساب مساحة الثقب بـ $\pi d^2/4$ بدل $\pi d e$.
• استعمال $\bar{\tau}$ في حساب قوة الثقب أو القطع: نريد الانقطاع، فنستعمل $\tau_r$.
• حساب المحور بمركبة واحدة من رد الفعل بدل المحصلة.
• تقريب عدد البراغي إلى الأسفل (2,98 يعطي 3 لا 2).

> ملاحظة للامتحان: في أسئلة الأنظمة المثلثية يطلب غالبا في الأخير «قطر البراغي التي تثبت القضيب في الصفيحة الجامعة (gousset)»: الجهد في القضيب هو T، ونحدد m من الرسم (قضيب بزاوية واحدة على صفيحة: $m = 1$؛ زاويتان على جانبي الصفيحة: $m = 2$).

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: مسار حمولة رافدة نحو التربة

المعطيات

ترتكز رافدة معدنية لسقيفة ورشة، عند أحد طرفيها، على دعامة (pilier) من الآجر عبر صفيحة ارتكاز فولاذية مربعة. رد الفعل الذي تنقله الرافدة إلى الدعامة شاقولي ومحوري: $R = 90\ kN$.

• الدعامة: مقطع $40 \times 40\ cm$، ارتفاع $h = 2{,}80\ m$، مثبتة في قاعدتها ورأسها مسنود جانبيا بالرافدة، الوزن الحجمي للبناء $18\ kN/m^3$، الإجهاد المسموح به للبناء في الانضغاط $\bar{\sigma}_m = 1{,}5\ MPa$، معامل مرونة البناء $E_m = 4000\ MPa$.
• القاعدة: مربعة $B \times B$، سمكها 0,40 m، خرسانة وزنها الحجمي $25\ kN/m^3$، والضلع B مضاعف لـ 5 cm.
• التربة: إجهاد مسموح به $\bar{\sigma}_{sol} = 0{,}15\ MPa$.


يبين الشكل طرف الرافدة فوق الصفيحة، والدعامة (البناء مهشر بخطوط مائلة)، والقاعدة الخرسانية (منقطة) فوق التربة. المقطع 1 أعلى الدعامة، والمقطع 2 أسفلها، والمقطع 3 سطح التماس بين القاعدة والتربة.

الأسئلة

• ما التحريض الذي تخضع له الدعامة؟ احسب ضلع صفيحة الارتكاز (مضاعف لـ 50 mm) ثم ضغط الارتكاز تحتها.
• احسب الوزن الذاتي للدعامة، ثم الجهد الناظمي والإجهاد في المقطعين 1 و 2، وتحقق من المقاومة.
• احسب تقصير الدعامة تحت R وحدها (بإهمال وزنها في هذا السؤال).
• احسب ضلع القاعدة بإهمال وزنها، ثم تحقق من ضغط التربة مع وزنها، وصحح إن لزم.

الحل

1. الصفيحة. القوى محورية ومتجهة نحو الدعامة: انضغاط بسيط. المادة الأضعف تحت الصفيحة هي البناء:

$ a^2 \ge \frac{90\,000}{1{,}5} = 60\,000\ mm^2 $

ومنه $a \ge 244{,}9\ mm$، فنأخذ $a = 250\ mm$. ضغط الارتكاز $\sigma = 90\,000/62\,500 = 1{,}44\ MPa$، وبما أن $1{,}44 \le 1{,}5$ فالشرط محقق.

2. الدعامة. الوزن $W = 0{,}40 \times 0{,}40 \times 2{,}80 \times 18 = 8{,}06\ kN$، و $S = 400 \times 400 = 160\,000\ mm^2$.

| المقطع | N (kN) | σ (MPa) | |---|---|---| | 1 (أعلى) | −90 | −0,563 | | 2 (أسفل) | $-(90 + 8{,}06) = -98{,}06$ | −0,613 |

أكبر قيمة مطلقة $0{,}613\ MPa$، وبما أن $0{,}613 \le 1{,}5$ فالدعامة تقاوم. لاحظ أن الإجهاد تحت الصفيحة (1,44 MPa) أكبر بكثير من الإجهاد في مقطع الدعامة: الصفيحة صغيرة، ولذلك يحسب ضغط الارتكاز وحده.

النحافة: الدعامة مثبتة في أسفلها ومسنودة في رأسها، فـ $l_f = 0{,}7 \times 2{,}80 = 1{,}96\ m$ و $\lambda = 2\sqrt{3} \times 196/40 = 17{,}0$. وبما أن $17{,}0 \le 20$ فالدعامة عنصر قصير وحساب الانضغاط البسيط كاف.

3. التقصير.

$N \cdot L = -90\,000 \times 2800 = -2{,}52 \cdot 10^8\ N \cdot mm$ و $E_m \cdot S = 4000 \times 160\,000 = 6{,}4 \cdot 10^8\ N$، إذن:

$ \Delta L = \frac{-2{,}52 \cdot 10^8}{6{,}4 \cdot 10^8} $

أي $\Delta L = -0{,}39\ mm$: تنزل الصفيحة 0,39 mm تقريبا.

4. القاعدة. الحمولة على القاعدة من الدعامة $98{,}06\ kN$.

• بإهمال وزن القاعدة: $B^2 \ge 98\,060/0{,}15 = 653\,733\ mm^2$، ومنه $B \ge 809\ mm$، فنأخذ $B = 0{,}85\ m$.
• وزن القاعدة: $W_s = 0{,}85^2 \times 0{,}40 \times 25 = 7{,}23\ kN$، والحمولة على التربة $98{,}06 + 7{,}23 = 105{,}29\ kN$.
• ضغط التربة: $\sigma_{sol} = 105\,290/722\,500 = 0{,}146\ MPa$، وبما أن $0{,}146 \le 0{,}15$ فالشرط محقق: $B = 0{,}85\ m$.

(لو أخذنا $B = 0{,}80\ m$ لوجدنا $\sigma_{sol} = 104\,460/640\,000 = 0{,}163\ MPa$: غير محقق.)

التمرين 2: مسند مفصلي لرافدة معدنية

المعطيات

ترتكز رافدة معدنية على عمود عبر مسند مفصلي: صفيحة الرافدة (gousset) تدخل بين خدّي شوكة (chape) ملحومة على صفيحة قاعدة، ويمر محور (axe) أفقي عبر الثلاث. صفيحة القاعدة مثبتة على العمود بـ 4 براغي أفقية. رد الفعل شاقولي: $R = 96\ kN$.

• المحور: $\bar{\tau} = 100\ MPa$، $G = 8 \cdot 10^4\ MPa$، الأقطار المتوفرة 20، 22، 24، 27، 30 mm.
• البراغي: $\bar{\tau}_b = 80\ MPa$، الأقطار المتوفرة 16، 18، 20، 22 mm.
• صفيحة الرافدة: سمك $e = 10\ mm$، مقاومة الانقطاع في القص $\tau_r = 300\ MPa$؛ ثقب المحور يصنع بمخرز قطره 28 mm، والإجهاد المسموح به لفولاذ المخرز $600\ MPa$.


الشكل (a) منظر جانبي: العمود، صفيحة القاعدة وبراغيها (يظهر اثنان، والآخران خلفهما)، الشوكة، والمحور يرى كدائرة، وصفيحة الرافدة. الشكل (b) المقطع A-A الشاقولي عبر المحور: الخدان على الجانبين، وصفيحة الرافدة في الوسط تحمل R، ومستويا القص بالأحمر، وكل خد يرد على المحور بـ $R/2$.

الأسئلة

• ما تحريض المحور؟ كم مستوى قص فيه؟ احسب قطره واختره من القائمة، ثم تحقق.
• احسب زاوية الانزلاق في المحور.
• البراغي الأربعة تعمل في قص بسيط وتتقاسم R بالتساوي. احسب قطرها وتحقق. هل تكفي 3 براغي بهذا القطر؟
• لو استعملنا براغي ⌀16، كم برغيا يلزم؟
• احسب القوة اللازمة لثقب صفيحة الرافدة، وتحقق من المخرز.

الحل

1. المحور. R عمودية على المحور وتحاول زلق صفيحة الرافدة بين الخدين: قص مضاعف في مستويين ($m = 2$)، كل مقطع ينقل $R/2 = 48\ kN$.

$ \frac{\pi d^2}{4} \ge \frac{96\,000}{2 \times 100} $

أي $\pi d^2/4 \ge 480\ mm^2$، ومنه $d \ge 24{,}7\ mm$. القطر 24 لا يكفي، فنختار $d = 27\ mm$ ($572{,}56\ mm^2$). التحقق: $\tau = 96\,000/(2 \times 572{,}56) = 83{,}8\ MPa$، وبما أن $83{,}8 \le 100$ فالشرط محقق.

2. زاوية الانزلاق. $\gamma = \tau/G = 83{,}8/(8 \cdot 10^4) = 1{,}05 \cdot 10^{-3}\ rad$ (حوالي $0{,}06°$).

3. البراغي. $n = 4$ و $m = 1$:

$ \frac{\pi d^2}{4} \ge \frac{96\,000}{4 \times 80} = 300\ mm^2 $

ومنه $d \ge 19{,}5\ mm$، فنأخذ $d = 20\ mm$ و $\tau = 96\,000/(4 \times 314{,}16) = 76{,}4\ MPa \le 80\ MPa$.

بثلاثة براغي ⌀20: $\tau = 96\,000/(3 \times 314{,}16) = 101{,}9\ MPa$، وهو أكبر من 80: لا تكفي.

4. براغي ⌀16. برغي واحد يتحمل $201{,}06 \times 80 = 16\,085\ N$، ومنه $n \ge 96\,000/16\,085 = 5{,}97$: 6 براغي.

5. الثقب. $S = \pi \times 28 \times 10 = 879{,}6\ mm^2$ و $F = 300 \times 879{,}6 = 263\,900\ N \approx 263{,}9\ kN$. المخرز: $\sigma_p = 263\,900/(\pi \times 28^2/4) = 263\,900/615{,}75 = 428{,}6\ MPa$، وبما أن $428{,}6 \le 600$ فالمخرز يقاوم.

التمرين 3: استغلال تجربتي الانضغاط والقص

المعطيات

قبل صب كتل خرسانية قصيرة (dés) تحت أعمدة معدنية، أجرى المخبر:

• تجربة انضغاط على ثلاث أسطوانات $16 \times 32\ cm$ عمرها 28 يوما، انكسرت تحت 528 و 540 و 534 kN. وعلى الأسطوانة الثانية، تحت قوة 180 kN، قيس تقصير قدره 0,060 mm على قاعدة قياس طولها 200 mm.
• تجربة قص مضاعف على عينة من فولاذ القضبان قطرها 12 mm، انقطعت تحت $F_r = 72{,}4\ kN$.

الأسئلة

• احسب $f_{c28}$ (متوسط العينات الثلاث).
• احسب الإجهاد والتشوه النسبي تحت 180 kN، ثم معامل المرونة E للخرسانة.
• يؤخذ للخرسانة غير المسلحة إجهاد مسموح به $\bar{\sigma} = f_{c28}/3$. احسب أكبر حمولة على كتلة $30 \times 30\ cm$.
• احسب مقاومة الانقطاع في القص $\tau_r$ للفولاذ، ثم القوة اللازمة لقطع قضيب ⌀10 من الفولاذ نفسه بالمقص.

الحل

1. $S = \pi \times 160^2/4 = 20\,106\ mm^2$. المتوسط $F_r = (528 + 540 + 534)/3 = 534\ kN$، ومنه $f_{c28} = 534\,000/20\,106 = 26{,}6\ MPa$.

2. $\sigma = -180\,000/20\,106 = -8{,}95\ MPa$، و $\varepsilon = -0{,}060/200 = -3{,}0 \cdot 10^{-4}$. القوة لا تتجاوز ثلث قوة انكسار هذه الأسطوانة (540 kN)، فنحن في المجال المرن تقريبا:

$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{8{,}95}{3{,}0 \cdot 10^{-4}} $

أي $E \approx 2{,}98 \cdot 10^4\ MPa$، وهي القيمة المعتادة للخرسانة ($3 \cdot 10^4\ MPa$ تقريبا)، أصغر من E الفولاذ بحوالي 7 مرات.

3. $\bar{\sigma} = 26{,}6/3 = 8{,}87\ MPa$ و $S = 90\,000\ mm^2$، ومنه $|N|_{max} = 8{,}87 \times 90\,000 = 798\,300\ N \approx 798\ kN$.

4. العينة تنقطع في مقطعين: $\tau_r = 72\,400/(2 \times 113{,}1) = 320\ MPa$. لقطع قضيب ⌀10 (مستوى واحد) نحتاج $F = 320 \times 78{,}54 = 25\,130\ N \approx 25{,}1\ kN$.

> منهجية: في كل سؤال اكتب العلاقة الحرفية، ثم التعويض بوحدات منسجمة (N، mm، MPa)، ثم النتيجة بوحدتها، واختم بالحكم (محقق أو غير محقق). في الانضغاط قارن القيمة المطلقة، وفي القص حدد عدد المستويات m قبل أي حساب.