التجارب الميكانيكية

3. تجربة الانضغاط: الخرسانة على أسطوانات 16×32

هدف التجربة

الخرسانة مادة تعمل أساسا في الانضغاط، وقيمتها الحسابية الأساسية هي المقاومة المميزة للانضغاط في عمر 28 يوما $f_{c28}$. كل حسابات الخرسانة المسلحة تنطلق منها: $f_{bu} = 0{,}85 f_{c28}/(\theta\gamma_b)$ و $f_{t28} = 0{,}6 + 0{,}06 f_{c28}$ و $\bar{\sigma}_{bc} = 0{,}6 f_{c28}$. تجربة الانضغاط تجيب عن سؤال الورشة: هل الخرسانة التي صببناها تبلغ $f_{c28}$ التي حسبنا بها؟

العينة النظامية

العينة المعتمدة في الجزائر (ومع قواعد BAEL) أسطوانة قطرها 16 cm وارتفاعها 32 cm (éprouvette cylindrique 16×32)، أي نسبة ارتفاع إلى قطر تساوي 2. مساحة مقطعها:

$ S = \frac{\pi \times 160^2}{4} = 20\,106\ mm^2 $

أي $201\ cm^2$، وكثيرا ما تقرب في التمارين إلى $200\ cm^2$ (نذكر في الحل القيمة التي استعملناها). بعض المخابر تستعمل مكعبات ضلعها 15 cm؛ مقاومة المكعب تكون أكبر من مقاومة الأسطوانة لنفس الخرسانة، فلا نخلط بين النتيجتين.

تحضير العينات في الورشة

• أخذ العينة: نأخذ الخرسانة من الخلطة نفسها التي تصب في العنصر (عند خروجها من الخلاطة أو الشاحنة)، ونسجل اسم العنصر والتاريخ.
• الملء: نملأ القالب المعدني المزيت على طبقات (ثلاث طبقات مثلا)، ونرص كل طبقة بقضيب الرص (عادة نحو 25 ضربة لكل طبقة) أو بالهزاز، ثم نسوي السطح العلوي بالمسطرة.
• الترقيم: نكتب على كل عينة رقمها وتاريخ صبها.
• نزع القالب بعد 24 ساعة.
• الحفظ (conservation): عادة في الماء أو في غرفة رطبة عند $20\ ^\circ C$ تقريبا حتى يوم التجربة، حتى يستمر تميه الإسمنت كما في الظروف المرجعية.
• تسوية الوجهين (surfaçage): قبل الكسر نجعل الوجه العلوي مستويا وعموديا على المحور، بطبقة رقيقة من ملاط الكبريت أو بالصقل، وإلا تركزت القوة على النتوءات فتنكسر العينة مبكرا.

نحضر عادة ثلاث عينات لكل عمر: ثلاث تكسر في 7 أيام (إنذار مبكر) وثلاث في 28 يوما (القرار).

إجراء التجربة


• (a): نضع الأسطوانة في وسط صفيحتي المكبس تماما، ثم نحمل بسرعة ثابتة (سرعة نموذجية نحو $0{,}5\ MPa$ في الثانية، أي نحو $10\ kN/s$ على أسطوانة 16×32) حتى الانكسار، ونسجل القوة العظمى $F_{max}$. بهذه السرعة يحدث الانكسار عادة في أقل من دقيقة لخرسانة عادية.
• (b): شكل الانكسار العادي: مخروطان متقابلان يبقيان سليمين وتتشقق الأجزاء الجانبية وتتساقط. احتكاك الصفيحتين يمنع الوجهين من التمدد جانبيا، فتتشكل المخاريط. شكل غير عادي (شق مائل وحيد، تفتت أحد الطرفين) يدل غالبا على عيب في تسوية الوجهين أو في الرص، ونذكره في التقرير.
• (c): تجربة الشد بالفلق (essai brésilien): نفس الأسطوانة توضع أفقيا بين الصفيحتين وتضغط على طول مولّدين متقابلين، فتنفلق في المستوي الشاقولي (الخط الأحمر) تحت إجهاد شد.

الحساب والنتائج

مقاومة الانضغاط في العمر j (بالأيام):

$ f_{cj} = \frac{F_{max}}{S} $

مع F بالـ N و S بالـ $mm^2$ تخرج $f_{cj}$ بالـ MPa.

مقاومة الشد بالفلق لأسطوانة قطرها D وطولها L (للاطلاع: الصيغة خارج البرنامج وتعطى في نص التمرين عند الحاجة):

$ f_{tj} = \frac{2 F}{\pi \cdot D \cdot L} $

مثال محلول 1: خرسانة أعمدة عمارة

خرسانة الأعمدة محسوبة بـ $f_{c28} = 25\ MPa$. كسرنا في 28 يوما ثلاث أسطوانات 16×32 فكانت القوى العظمى: 512 kN و 498 kN و 530 kN.

| العينة | $F_{max}$ (kN) | $f_{c28}$ (MPa) | |---|---|---| | 1 | 512 | $512\,000/20\,106 = 25{,}5$ | | 2 | 498 | $498\,000/20\,106 = 24{,}8$ | | 3 | 530 | $530\,000/20\,106 = 26{,}4$ | | المتوسط | 513 | 25,5 |

المتوسط $25{,}5\ MPa$ أكبر من $25\ MPa$ المطلوبة، والنتائج الثلاث متقاربة (الفرق الأقصى نحو 6 %): الخرسانة مقبولة. ملاحظة: النتيجة الثانية أقل قليلا من 25 MPa، وهذا عادي لأن المقاومة المميزة قيمة إحصائية؛ القرار يبنى على مجموع النتائج لا على عينة واحدة.

مثال محلول 2: تجربة الفلق

أسطوانة 16×32 من نفس الخرسانة انفلقت تحت $F = 175\ kN$:

$ f_{t28} = \frac{2 \times 175\,000}{\pi \times 160 \times 320} $

$ f_{t28} = 2{,}18\ MPa $

وبعلاقة BAEL: $f_{t28} = 0{,}6 + 0{,}06 \times 25{,}5 = 2{,}13\ MPa$. القيمتان متقاربتان، ونلاحظ أن مقاومة الشد لا تتجاوز عشر مقاومة الانضغاط تقريبا: لهذا نضع الفولاذ في المناطق المشدودة.

تقدير $f_{c28}$ من نتيجة 7 أيام

تعطي قواعد BAEL تطور المقاومة مع العمر (لخرسانة $f_{c28} \leq 40\ MPa$ وعمر $j \leq 28$ يوما):

$ f_{cj} = \frac{j}{4{,}76 + 0{,}83 j} \cdot f_{c28} $

عند $j = 7$: المعامل $7/(4{,}76 + 5{,}81) = 0{,}662$، أي أن الخرسانة تبلغ في 7 أيام نحو ثلثي مقاومتها في 28 يوما. ومنه تقدير عكسي:

$ f_{c28} \approx \frac{f_{c7}}{0{,}662} = 1{,}51 \cdot f_{c7} $

مثال: متوسط ثلاث أسطوانات في 7 أيام $f_{c7} = 17{,}2\ MPa$، فالتقدير $f_{c28} \approx 1{,}51 \times 17{,}2 = 26\ MPa$: النتيجة مطمئنة، لكن القرار النهائي يبقى لتجربة 28 يوما، لأن تطور المقاومة يتعلق بنوع الإسمنت والحرارة.

انضغاط مواد أخرى (للاطلاع)

• الملاط (mortier): أنصاف الموشورات 4×4×16 cm الناتجة عن تجربة الانحناء (الجزء 5) تكسر في الانضغاط بين صفيحتين $40 \times 40\ mm$، أي $S = 1600\ mm^2$.
• الآجر والحجارة الإسمنتية (parpaings): تختبر الوحدة كاملة، وتقسم القوة على مساحة الوجه المحمل.
• الفولاذ: نفس E في الشد والانضغاط، لكن العينة يجب أن تكون قصيرة وإلا تحدبت قبل أن تنضغط (ظاهرة التحدب التي تدرس في العمود المضغوط).

> ملاحظة للامتحان: في الحساب نستعمل $f_{c28}$ المحددة في المشروع (25 MPa مثلا)، فيكون $f_{bu} = 0{,}85 \times 25/1{,}5 = 14{,}17\ MPa$. نتائج الأسطوانات تتحقق من أن الخرسانة المنفذة تبلغ هذه القيمة، ولا تستعمل مكانها.

أخطاء شائعة

• قسمة القوة بالـ kN على المساحة بالـ $cm^2$ ثم كتابة «2,55 MPa»: في الحقيقة $512/201 = 2{,}55\ kN/cm^2 = 25{,}5\ MPa$ (عشرة أضعاف).
• حساب المساحة بـ $\pi D^2$ (نسيان القسمة على 4)، أو الخلط بين $201\ cm^2$ و $201\ mm^2$ (التحويل الصحيح $1\ cm^2 = 100\ mm^2$).
• اعتبار نتيجة 7 أيام هي $f_{c28}$، فتحكم على خرسانة جيدة بأنها ضعيفة.
• نسيان L (طول الأسطوانة) في صيغة الفلق، أو استعمال نصف القطر بدل القطر.
• الحكم على الخرسانة بعينة واحدة.

4. تجربة القص: القص المضاعف والثقب

هدف التجربة

المسامير والبراغي والمحاور (axes) التي تربط عناصر الأنظمة المثلثية والهياكل المعدنية تعمل في القص: قوتان متعاكستان تحاولان جعل مقطعين متجاورين ينزلقان أحدهما على الآخر. الإجهاد المماسي فيها $\tau = T/S$ يجب أن يبقى أصغر من $\bar{\tau}$. تجربة القص تعطينا مقاومة القص عند الانكسار $\tau_r$ للمادة، ومنها نختار $\bar{\tau}$ ونتحقق من الوصلات.

مقاومة الفولاذ للقص أصغر من مقاومته للشد (قيمة نموذجية: نحو 0,6 إلى 0,8 منها للفولاذ الطري)، فلا نستعمل $\sigma_r$ مكان $\tau_r$.

جهاز القص المضاعف


(a): العينة مسمار أسطواني قطره d يمر في ثقوب ثلاث كتل فولاذية مقساة. الكتلتان الخارجيتان ثابتتان على قاعدة الجهاز، والكتلة الوسطى تدفعها الآلة إلى الأسفل بالقوة F. يتعرض المسمار للقص في مقطعين P1 و P2 (الخطان الأحمران المتقطعان)، فيتحمل كل مقطع جهدا قاطعا:

$ T = \frac{F}{2} $

(b): عند الانكسار ينقسم المسمار إلى ثلاث قطع: القطعة الوسطى تنزل مع الكتلة الوسطى. وجود قطعتين خارجيتين مستويتي الطرفين دليل على أن الانكسار حدث فعلا بالقص في المستويين.

المساحة المقصوصة الكلية مساحتا مقطعين، ومنه مقاومة القص:

$ \tau_r = \frac{F_r}{2 \cdot \pi d^2/4} $

يجرى الجهاز في آلة التجارب العامة في وضع الانضغاط (الكتلة الوسطى تدفع إلى الأسفل).

طريقة العمل

• قياس قطر المسمار d بالميكرومتر في ثلاثة مواضع وأخذ المتوسط.
• إدخال المسمار في الكتل الثلاث (الثقوب مضبوطة على قطره دون خلوص كبير، وإلا دخل الانحناء).
• وضع الجهاز في وسط صفيحتي الآلة وتصفير لاقط القوة.
• التحميل ببطء حتى الانكسار وتسجيل القوة العظمى $F_r$.
• فحص القطع الثلاث: سطوح الكسر مستوية وعمودية على المحور.

القص البسيط

إذا كانت العينة تربط صفيحتين متراكبتين فقط (وصلة بسيطة)، فهناك مستوي قص واحد، والمساحة المقصوصة $\pi d^2/4$ فقط:

$ \tau = \frac{F}{\pi d^2/4} $

| الحالة | عدد مستويات القص | المساحة المقصوصة | |---|---|---| | قص بسيط (صفيحتان) | 1 | $\pi d^2/4$ | | قص مضاعف (ثلاث كتل أو وصلة شوكية) | 2 | $2 \cdot \pi d^2/4$ | | الثقب (poinçonnage) | سطح أسطواني | $\pi d \cdot e$ |

مثال محلول 1: مسمار في القص المضاعف

مسمار قطره المتوسط $d = 10{,}0\ mm$ انكسر في جهاز القص المضاعف تحت $F_r = 47{,}1\ kN$.

• مساحة مقطع واحد: $\pi \times 10^2/4 = 78{,}54\ mm^2$.
• المساحة المقصوصة: $2 \times 78{,}54 = 157{,}1\ mm^2$.
• مقاومة القص:

$ \tau_r = \frac{47\,100}{157{,}1} = 300\ MPa $

لو نسينا أن القص مضاعف لوجدنا 600 MPa، أي ضعف القيمة الحقيقية: خطأ خطير لأنه يجعلنا نختار مسامير أرق من اللازم.

الاستعمال: إذا كان حد المرونة في القص لهذا الفولاذ $\tau_e = 180\ MPa$ ومعامل الأمان $s = 2$، فإن $\bar{\tau} = 180/2 = 90\ MPa$. محور عقدة في نظام مثلثي يعمل في القص المضاعف تحت $F = 12\ kN$:

$ 2 \cdot \frac{\pi d^2}{4} \geq \frac{F}{\bar{\tau}} $

$ d \geq \sqrt{\frac{2F}{\pi \bar{\tau}}} = 9{,}2\ mm $

نختار محورا قطره $d = 10\ mm$.

تجربة الثقب (poinçonnage)

مخرز (poinçon) قطره d يدفع في صفيحة سمكها e موضوعة على قالب مثقوب. ينفصل قرص من الصفيحة، والسطح المقصوص سطح أسطواني محيطه $\pi d$ وارتفاعه e:

$ \tau_r = \frac{F}{\pi \cdot d \cdot e} $

مثال محلول 2

مخرز $d = 20\ mm$ ثقب صفيحة سمكها $e = 3\ mm$ تحت قوة عظمى $F = 65\ kN$:

$ \tau_r = \frac{65\,000}{\pi \times 20 \times 3} = 345\ MPa $

العكس: ما القوة اللازمة لثقب فتحة قطرها 22 mm في صفيحة وصل سمكها 8 mm من فولاذ $\tau_r = 350\ MPa$؟

$ F = 350 \times \pi \times 22 \times 8 $

أي $F = 193\,500\ N \approx 194\ kN$. استعمال مساحة القرص $\pi d^2/4$ بدل السطح الجانبي يعطي 133 kN، وهي قيمة خاطئة لأن القص يحدث على محيط الثقب لا على وجهه.

معامل المرونة العرضي G

في المجال المرن يتناسب الإجهاد المماسي مع زاوية الانزلاق γ (بالراديان): $\tau = G \cdot \gamma$. يقاس G عادة بتجربة الالتواء (torsion)، ويرتبط بـ E بمعامل بواسون ν:

$ G = \frac{E}{2(1 + \nu)} $

للفولاذ ($E = 2 \cdot 10^5\ MPa$ و $\nu = 0{,}3$): $G = 2 \cdot 10^5/2{,}6 = 7{,}7 \cdot 10^4\ MPa$، ويؤخذ في التمارين نحو $8 \cdot 10^4\ MPa$.

> للاطلاع: في الأشغال العمومية توجد أيضا تجربة القص المباشر للتربة (boîte de cisaillement) التي تعطي تماسك التربة وزاوية احتكاكها لحساب الأسس والمنحدرات؛ مبدؤها نفسه: نصفا علبة ينزلقان أحدهما على الآخر.

أخطاء شائعة

• نسيان العامل 2 في القص المضاعف، فتتضاعف $\tau_r$ المحسوبة.
• استعمال المحيط $\pi d$ مكان المساحة $\pi d^2/4$ في قص المسمار، أو العكس في الثقب.
• أخذ d نصف قطر: $\pi d^2/4$ تكتب بالقطر، أما $\pi r^2$ فبنصف القطر.
• استعمال $\sigma_r$ (الشد) مكان $\tau_r$ (القص) في التحقق من وصلة.

5. تجربة الانحناء: الانحناء بثلاث نقاط وقياس السهم

هدف التجربة

تجربة الانحناء (essai de flexion) تحمّل رافدة صغيرة كما تحمّل الروافد الحقيقية في المنشأ. نستعملها لغرضين:

• قياس معامل المرونة E من السهم (flèche) f، أي الانتقال الشاقولي لوسط الرافدة؛ وهذا مفيد خاصة للخشب الذي يصعب شده.
• قياس إجهاد الانكسار بالانحناء للمواد الهشة أو التي تعمل في الانحناء: الخشب، الملاط، خرسانة بلاطات الطرق الصلبة.

التركيب بثلاث نقاط


(a): العينة رافدة ذات مقطع مستطيل $b \times h$ موضوعة على مسندين أسطوانيين المسافة بينهما L (البحر، portée). تطبق الآلة القوة F في الوسط بواسطة سكين أسطوانية، فيكون رد فعل كل مسند بالتناظر $V_A = V_B = F/2$. تحت الوسط مقارن يقيس السهم f. الخط المتقطع يبين شكل الرافدة المشوهة (مكبرا كثيرا).

(b): مخطط عزم الانحناء مثلث قمته في الوسط، موجب (فوق المحور) لأن الرافدة تتقعر نحو الأعلى. كما درست في درس الانحناء:

$ M_{f,max} = \frac{F \cdot L}{4} $

ومنه الإجهاد الناظمي الأعظمي في الألياف السفلى (مشدودة) والعليا (مضغوطة)، مع $W = b h^2/6$:

$ \sigma_{max} = \frac{M_{f,max}}{W} $

السهم في الوسط: في المجال المرن، لرافدة على مسندين وقوة مركزة في وسطها، تعطي نظرية الانحناء (نقبلها هنا دون برهان):

$ f = \frac{F \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I} $

مع $I = b h^3/12$. فالسهم يتناسب مع F: منحنى F بدلالة f مستقيم في المجال المرن، ومنه:

$ E = \frac{\Delta F \cdot L^3}{48 \cdot I \cdot \Delta f} $

> انتبه: السهم يتعلق بـ $L^3$ و $h^3$. خطأ بسيط في L أو في وضع المقطع (h أفقيا بدل شاقوليا) يغير النتيجة كثيرا.

طريقة العمل

• قياس b و h بالقدم القنوية في ثلاثة مواضع (المتوسط)، وقياس البحر L بين محوري المسندين.
• وضع الرافدة بحيث تكون h شاقولية، والسكين في الوسط تماما.
• تطبيق حمل صغير أولي لتستقر الرافدة على المساند، ثم تصفير المقارن.
• التحميل على مراحل متساوية (كل 0,5 kN مثلا لرافدة خشبية صغيرة) مع قراءة f بعد كل مرحلة.
• التفريغ والتحقق من عودة المقارن إلى الصفر تقريبا: هذا يثبت أننا بقينا في المجال المرن.
• إن طلب ذلك: التحميل حتى الانكسار وتسجيل $F_r$ وملاحظة موضع بداية الكسر (الألياف السفلى المشدودة في الخشب).

مثال محلول: رافدة خشبية

رافدة من الصنوبر مقطعها $b = 40\ mm$ و $h = 60\ mm$، البحر $L = 1{,}00\ m$. القراءات:

| F (kN) | 0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | |---|---|---|---|---|---|---| | f (mm) | 0 | 1,45 | 2,90 | 4,35 | 5,80 | 7,25 |


النقاط على مستقيم يمر بالمبدأ: السلوك مرن خطي. نأخذ فرقين بعيدين من المستقيم: $\Delta F = 2{,}0 - 0{,}5 = 1{,}5\ kN$ يقابله $\Delta f = 5{,}80 - 1{,}45 = 4{,}35\ mm$.

• عزم العطالة: $I = 40 \times 60^3/12 = 720\,000\ mm^4$.
• معامل المرونة (L بالـ mm، F بالـ N): البسط $\Delta F \cdot L^3 = 1500 \times 1000^3 = 1{,}5 \cdot 10^{12}$ والمقام $48 \times 720\,000 \times 4{,}35 = 1{,}503 \cdot 10^8$:

$ E = \frac{1{,}5 \cdot 10^{12}}{1{,}503 \cdot 10^8} $

$ E = 9980\ MPa \approx 1 \cdot 10^4\ MPa $

وهي القيمة المعتادة للخشب، أي نحو عشرين مرة أصغر من الفولاذ.

• الإجهاد عند آخر قراءة ($F = 2{,}5\ kN$): $M_f = 2500 \times 1000/4 = 625\,000\ N \cdot mm$ و $W = 40 \times 60^2/6 = 24\,000\ mm^3$، فيكون $\sigma = 625\,000/24\,000 = 26\ MPa$: بقينا في المجال المرن.
• الانكسار: انكسرت رافدة أخرى من نفس الخشب تحت $F_r = 6{,}4\ kN$، فبدأ الكسر من الألياف السفلى:

$ M_{f,r} = \frac{6{,}4 \times 1{,}00}{4} = 1{,}6\ kN \cdot m $

$ \sigma_r = \frac{1{,}6 \cdot 10^6}{24\,000} = 66{,}7\ MPa $

هذا إجهاد الانكسار بالانحناء (contrainte de rupture en flexion) للخشب، ومنه نختار الإجهاد المسموح به بمعامل أمان كبير، لأن الخشب الحقيقي فيه عقد وعيوب.

الانحناء بأربع نقاط (للاطلاع)

نطبق قوتين متساويتين $F/2$ متناظرتين. بين القوتين يكون عزم الانحناء ثابتا والجهد القاطع منعدما: انحناء خالص. نستعمل هذا التركيب عندما نريد دراسة الانحناء دون تأثير القص، وفي تجارب انحناء موشورات الخرسانة لبلاطات الطرق الصلبة. مبدأ الحساب واحد: $\sigma = M_f/W$.

موشورات الملاط 4×4×16

لمراقبة الإسمنت والملاط نصنع موشورات $40 \times 40 \times 160\ mm$، ونكسرها في الانحناء بثلاث نقاط على بحر $l = 100\ mm$. بما أن $b = h$:

$ R_f = \frac{M_f}{W} = \frac{F l/4}{b^3/6} $

$ R_f = \frac{1{,}5 \cdot F \cdot l}{b^3} $

مثال: موشور انكسر تحت $F = 2{,}8\ kN$: $R_f = 1{,}5 \times 2800 \times 100/40^3 = 6{,}56\ MPa$.

نصفا الموشور المكسور يختبران بعد ذلك في الانضغاط بين صفيحتين $40 \times 40\ mm$: إذا انكسر نصف تحت $48\ kN$ فإن $R_c = 48\,000/1600 = 30\ MPa$. موشور واحد يعطي إذن نتيجة انحناء ونتيجتي انضغاط.

أخطاء شائعة

• كتابة $M_{f,max} = F L/8$ (خلط مع $qL^2/8$ للحمولة الموزعة) أو $F L/2$.
• حساب I بوضع b مكان h: $40 \times 60^3/12 = 720\,000$ ليست $60 \times 40^3/12 = 320\,000\ mm^4$.
• خلط الوحدات في $L^3$: L بالـ m مع I بالـ $mm^4$.
• قياس السهم في غير الوسط، أو عدم تصفير المقارن بعد الحمل الأولي.
• حساب E من نقطة تجاوزت المجال المرن (المنحنى لم يعد مستقيما).

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل

في أسئلة التجارب نتبع دائما نفس الترتيب: (1) نكتب المعطيات بوحدات منسجمة (N، mm، MPa)؛ (2) نقرأ من المنحنى أو الجدول القيم المطلوبة ونذكر النقطة التي قرأناها؛ (3) نكتب الصيغة ثم التعويض ثم النتيجة بوحدتها؛ (4) نقارن بالقيمة المنتظرة ونكتب حكما واضحا (مطابق / غير مطابق، مقبول / مرفوض).

التمرين 1: استلام فولاذ التسليح لورشة عمارة

المعطيات

وصلت إلى ورشة عمارة حزمة قضبان HA12 يفترض أنها من الصنف FeE400. أخذ المخبر:

• قطعة طولها $0{,}60\ m$ كتلتها $0{,}532\ kg$ ($\rho = 7850\ kg/m^3$)؛ المقطع الاسمي للقضيب HA12 هو $1{,}13\ cm^2$.
• عينة شد طولها المعاير $L_0 = 60\ mm$. قراءتان في المجال المرن بمقياس الاستطالة: $F = 10\ kN$ و $\Delta L = 0{,}031\ mm$، ثم $F = 40\ kN$ و $\Delta L = 0{,}111\ mm$.
• منحنى التجربة (الشكل)، وبعد الانكسار وضم الجزأين $L_u = 70{,}6\ mm$.


يبين المنحنى بداية الانسياب عند A، والقوة العظمى عند C، والانكسار عند D مع قيمها على المحورين.

الأسئلة

• تحقق بالوزن من أن القضيب فعلا من قطر 12.
• احسب معامل المرونة E.
• اقرأ $F_e$ و $F_m$ ثم احسب $\sigma_e$ و $\sigma_r$.
• احسب A%. لماذا يختلف $L_u - L_0$ قليلا عن الاستطالة المقروءة عند D؟
• هل الفولاذ مطابق للصنف FeE400؟
• يستعمل هذا الفولاذ في شداد يتحمل $N_u = 300\ kN$. احسب مقطع التسليح في الحالة النهائية الأخيرة واقترح عدد القضبان HA12.

الحل

1. المقطع بالوزن:

$ S = \frac{0{,}532}{7850 \times 0{,}60} $

أي $S = 1{,}129 \cdot 10^{-4}\ m^2 = 112{,}9\ mm^2$، وهو يساوي تقريبا المقطع الاسمي $113\ mm^2$: القضيب من قطر 12.

2. معامل المرونة بفرق القراءتين ($S = 113\ mm^2$):

$ \Delta\sigma = \frac{30\,000}{113} = 265{,}5\ MPa $

$ \Delta\varepsilon = \frac{0{,}111 - 0{,}031}{60} $

$ \Delta\varepsilon = 1{,}333 \cdot 10^{-3} $

$ E = \frac{265{,}5}{1{,}333 \cdot 10^{-3}} $

$ E = 1{,}99 \cdot 10^5\ MPa $

وهي قيمة الفولاذ ($2 \cdot 10^5\ MPa$).

3. القراءة والحساب: من المنحنى $F_e = 47{,}5\ kN$ (الانسياب عند A) و $F_m = 62{,}5\ kN$ (النقطة C):

| المقدار | الحساب | النتيجة | |---|---|---| | $\sigma_e$ | $47\,500/113$ | $420\ MPa$ | | $\sigma_r$ | $62\,500/113$ | $553\ MPa$ | | $\sigma_r/\sigma_e$ | $553/420$ | $1{,}32$ |

4. الاستطالة بعد الانكسار: $A = (70{,}6 - 60)/60 \times 100 = 17{,}7\ \%$. المنحنى يعطي عند D استطالة 10,8 mm، بينما $L_u - L_0 = 10{,}6\ mm$: الفرق هو الجزء المرن الذي زال عند الانكسار، $52\,000 \times 60/(2 \cdot 10^5 \times 113) \approx 0{,}14\ mm$، إضافة إلى دقة القراءة. A% تعرف بالتشوه الدائم فتقاس على العينة المكسورة.

5. الحكم: $\sigma_e = 420\ MPa \geq f_e = 400\ MPa$ و $\sigma_r = 553\ MPa \geq 480\ MPa$، مع هامش جيد قبل الانكسار ($\sigma_r/\sigma_e = 1{,}32$) واستطالة كبيرة (17,7 %): الفولاذ مطابق للصنف FeE400.

6. الشداد: نحسب بالقيمة النظامية لا بالقيمة المقيسة: $f_{su} = 400/1{,}15 = 348\ MPa$.

$ A_u = \frac{300\,000}{348} $

$ A_u = 862\ mm^2 $

أي $8{,}62\ cm^2$. ثمانية قضبان HA12 تعطي $8 \times 1{,}13 = 9{,}04\ cm^2$، وهي كافية (يبقى التحقق في الحالة النهائية للخدمة وشرط عدم الهشاشة كما في درس الشداد).

التمرين 2: مراقبة خرسانة أعمدة مدرسة

المعطيات

أعمدة مدرسة محسوبة بخرسانة $f_{c28} = 25\ MPa$. حضر المخبر من خلطة واحدة أسطوانات 16×32 ($S = 20\,106\ mm^2$):

• في 7 أيام انكسرت ثلاث أسطوانات تحت 340 kN و 352 kN و 331 kN.
• في 28 يوما انكسرت أربع أسطوانات تحت 515 kN و 530 kN و 488 kN و 380 kN. الأسطوانة الأخيرة انكسرت بشق مائل وحيد، ولوحظ أن وجهها العلوي غير مستو.
• في 28 يوما انفلقت أسطوانة في تجربة الفلق تحت $F = 172\ kN$ (مقاومة الشد بالفلق $f_t = 2F/(\pi D L)$).

الأسئلة

• احسب $f_{c7}$ المتوسطة، وقدر منها $f_{c28}$ بعلاقة BAEL.
• احسب نتائج 28 يوما. أي نتيجة يجب استبعادها؟ علل.
• احسب المتوسط واحكم على الخرسانة.
• احسب مقاومة الشد بالفلق وقارنها بعلاقة BAEL.
• ما قيمة $f_{bu}$ التي نستعملها في حساب الأعمدة؟ لماذا؟

الحل

1. نتائج 7 أيام: $340\,000/20\,106 = 16{,}9$ و $352\,000/20\,106 = 17{,}5$ و $331\,000/20\,106 = 16{,}5\ MPa$، والمتوسط $f_{c7} = 17{,}0\ MPa$. في 7 أيام يكون المعامل $7/(4{,}76 + 0{,}83 \times 7) = 0{,}662$، فالتقدير:

$ f_{c28} \approx \frac{17{,}0}{0{,}662} = 25{,}7\ MPa $

تقدير مطمئن، لكن القرار لنتائج 28 يوما.

2. نتائج 28 يوما:

| الأسطوانة | $F_{max}$ (kN) | $f_{c28}$ (MPa) | ملاحظة | |---|---|---|---| | 1 | 515 | 25,6 | انكسار عادي | | 2 | 530 | 26,4 | انكسار عادي | | 3 | 488 | 24,3 | انكسار عادي | | 4 | 380 | 18,9 | شق مائل، وجه غير مستو |

نستبعد الأسطوانة 4: نتيجتها بعيدة جدا عن الثلاث الأخرى (أقل منها بنحو 25 %)، وشكل انكسارها غير عادي ووجهها غير مستو، فالخلل في تحضير العينة (التسوية) لا في الخرسانة. نذكر ذلك في التقرير.

3. المتوسط: $(25{,}6 + 26{,}4 + 24{,}3)/3 = 25{,}4\ MPa$، أكبر من 25 MPa المطلوبة، والنتائج الثلاث متقاربة: الخرسانة مقبولة.

4. الفلق:

$ f_{t28} = \frac{2 \times 172\,000}{\pi \times 160 \times 320} $

$ f_{t28} = 2{,}14\ MPa $

وعلاقة BAEL تعطي $f_{t28} = 0{,}6 + 0{,}06 \times 25 = 2{,}1\ MPa$: النتيجتان متطابقتان تقريبا.

5. نستعمل القيمة المحددة في المشروع $f_{c28} = 25\ MPa$:

$ f_{bu} = \frac{0{,}85 \times 25}{1 \times 1{,}5} $

$ f_{bu} = 14{,}17\ MPa $

لأن التجربة دورها التحقق من أن الخرسانة المنفذة تبلغ القيمة المفروضة، والحساب يبقى على القيمة المميزة المضمونة.

التمرين 3: خشب جملون ومحاور عقده

المعطيات

جملون خشبي لسقف مستودع، عقده مربوطة بمحاور فولاذية تعمل في القص المضاعف.

• تجربة انحناء بثلاث نقاط على عينة من خشب القضبان: $b = 45\ mm$ و $h = 90\ mm$ (h شاقولي)، البحر $L = 1{,}20\ m$. القراءات: $f = 0{,}55\ mm$ تحت $F = 0{,}5\ kN$ و $f = 2{,}74\ mm$ تحت $F = 2{,}5\ kN$. انكسرت عينة مماثلة تحت $F_r = 16{,}2\ kN$.
• تجربة قص مضاعف على محور من فولاذ المحاور قطره $d = 14\ mm$: الانكسار تحت $F_r = 90\ kN$.

الأسئلة

• احسب عزم العطالة I ثم معامل مرونة الخشب E.
• احسب إجهاد انكسار الخشب بالانحناء.
• احسب مقاومة القص $\tau_r$ لفولاذ المحاور.
• نأخذ للمحاور $\bar{\tau} = \tau_r/3$. هل يكفي محور $d = 14\ mm$ في عقدة يؤثر فيها جهد $F = 20\ kN$ في القص المضاعف؟

الحل

1. $I = 45 \times 90^3/12 = 2\,733\,750\ mm^4$. نأخذ الفرقين: $\Delta F = 2000\ N$ و $\Delta f = 2{,}74 - 0{,}55 = 2{,}19\ mm$، و $L^3 = 1200^3 = 1{,}728 \cdot 10^9\ mm^3$:

$ E = \frac{\Delta F \cdot L^3}{48 \cdot I \cdot \Delta f} $

البسط $2000 \times 1{,}728 \cdot 10^9 = 3{,}456 \cdot 10^{12}$ والمقام $48 \times 2\,733\,750 \times 2{,}19 = 2{,}874 \cdot 10^8$، ومنه $E = 1{,}20 \cdot 10^4\ MPa$: قيمة خشب جيد.

2. $M_{f,r} = 16{,}2 \times 1{,}20/4 = 4{,}86\ kN \cdot m$، و $W = 45 \times 90^2/6 = 60\,750\ mm^3$:

$ \sigma_r = \frac{4{,}86 \cdot 10^6}{60\,750} $

$ \sigma_r = 80{,}0\ MPa $

3. مساحة مقطع واحد $\pi \times 14^2/4 = 153{,}9\ mm^2$، والقص مضاعف:

$ \tau_r = \frac{90\,000}{2 \times 153{,}9} = 292\ MPa $

4. $\bar{\tau} = 292/3 = 97{,}4\ MPa$. في العقدة: $\tau = 20\,000/(2 \times 153{,}9) = 65\ MPa$، و $65\ MPa \leq 97{,}4\ MPa$: المحور $d = 14\ mm$ يكفي.

> ملاحظة للامتحان: في كل تمرين تجارب، اكتب الحكم في جملة كاملة («الفولاذ مطابق»، «الخرسانة مقبولة»، «المحور يكفي») مع المقارنة الرقمية التي تبرره؛ النتيجة وحدها لا تكفي للحصول على كامل العلامة.