الانحناء المستوي البسيط: الإجهادات وشرط المقاومة

3. تحديد أبعاد المقاطع المستطيلة والدائرية

مبدأ التحجيم

التحجيم (dimensionnement) هو إيجاد أصغر مقطع يحقق شرط المقاومة. نتبع دائما الخطوات نفسها:

• نستخرج $M_{f,max}$ (بالقيمة المطلقة) من مخطط عزم الانحناء.
• نحسب معامل المقاومة اللازم: $W_{nec} = M_{f,max} / \bar{\sigma}$.
• نكتب W للشكل المطلوب بدلالة البعد المجهول، ونحل المتراجحة $W \ge W_{nec}$.
• نقرّب إلى الأعلى إلى قيمة عملية (cm صحيح، أو كما يطلب النص: «a عدد طبيعي»).
• نتحقق بالمقطع المختار: $\sigma_{max} = M_{f,max}/W \le \bar{\sigma}$.

التقريب إلى الأسفل خطأ حتى لو كان الفرق صغيرا: 14,8 cm تصبح 15 cm لا 14 cm، لأن 14 cm لا تحقق الشرط.

صيغ التحجيم للمقاطع المعتادة

في المقطع المستطيل يكون b هو العرض (الأفقي) و h الارتفاع (الشاقولي، في مستوى الحمولات):

| المعطى | معامل المقاومة | البعد المطلوب | |---|---|---| | العرض b معلوم | $W = b h^2/6$ | $h \ge \sqrt{6 M_f/(b \bar{\sigma})}$ | | الارتفاع h معلوم | $W = b h^2/6$ | $b \ge 6 M_f/(h^2 \bar{\sigma})$ | | $h = 2b$ | $W = 2 b^3/3$ | $b \ge \sqrt[3]{3 M_f/(2 \bar{\sigma})}$ | | $h = 3b$ | $W = 3 b^3/2$ | $b \ge \sqrt[3]{2 M_f/(3 \bar{\sigma})}$ | | $h = k \cdot b$ (نسبة عامة) | $W = k^2 b^3/6$ | $b \ge \sqrt[3]{6 M_f/(k^2 \bar{\sigma})}$ | | مربع ضلعه a | $W = a^3/6$ | $a \ge \sqrt[3]{6 M_f/\bar{\sigma}}$ | | دائرة قطرها d | $W = \pi d^3/32$ | $d \ge \sqrt[3]{32 M_f/(\pi \bar{\sigma})}$ |

لا تحفظ الجدول كله: يكفي أن تكتب W بدلالة المجهول ثم تحل. مثلا مقطع عرضه a وارتفاعه 2a: $W = a \cdot (2a)^2/6 = 2 a^3/3$.

> القاعدة: نكتب W بدلالة المجهول، نحل $W \ge M_{f,max}/\bar{\sigma}$، نقرّب إلى الأعلى، ثم نتحقق.

مثال محلول 1: الارتفاع اللازم بعرض معلوم

رويفدة خشبية عرضها $b = 10\ cm$، فيها $M_{f,max} = 9\ kN \cdot m$، و$\bar{\sigma} = 12\ MPa$. أوجد الارتفاع h.

$ h^2 \ge \frac{6 \cdot 9 \cdot 10^6}{100 \cdot 12} $

أي $h^2 \ge 45\,000\ mm^2$، ومنه $h \ge 212{,}1\ mm$. نختار $h = 22\ cm$.

تحقق: $W = 100 \cdot 220^2/6 = 806\,667\ mm^3$:

$ \sigma_{max} = \frac{9 \cdot 10^6}{806\,667} $

$ \sigma_{max} = 11{,}16\ MPa $

وهي أقل من $12\ MPa$: الشرط محقق.

مثال محلول 2: مقطع بنسبة معطاة $h = 2b$

رافدة مستطيلة ارتفاعها ضعف عرضها، فيها $M_{f,max} = 40\ kN \cdot m$، و$\bar{\sigma} = 12\ MPa$.

$ W = \frac{b (2b)^2}{6} = \frac{2 b^3}{3} $

$ b^3 \ge \frac{3 \cdot 40 \cdot 10^6}{2 \cdot 12} $

أي $b^3 \ge 5 \cdot 10^6\ mm^3$، ومنه $b \ge 171{,}0\ mm$. المقطع المختار: $b = 18\ cm$ و$h = 36\ cm$.

تحقق: $W = 180 \cdot 360^2/6 = 3{,}888 \cdot 10^6\ mm^3$، و$\sigma_{max} = 40 \cdot 10^6 / 3{,}888 \cdot 10^6 = 10{,}29\ MPa$، وهي أقل من $12\ MPa$.

لاحظ أن العرض 17 cm (والارتفاع 34 cm) لا يكفي رغم قربه: $W = 170 \cdot 340^2/6 = 3{,}275 \cdot 10^6\ mm^3$ يعطي $12{,}21\ MPa$، وهي أكبر من $12\ MPa$.

مثال محلول 3: «a عدد طبيعي»

مقطع عرضه a وارتفاعه 2a (بالـ cm)، و$M_{f,max} = 21{,}6\ kN \cdot m$، و$\bar{\sigma} = 10\ MPa$. أوجد a عددا طبيعيا.

$ \frac{2 a^3}{3} \ge \frac{21{,}6 \cdot 10^6}{10} $

أي $a^3 \ge 3{,}24 \cdot 10^6\ mm^3$، فـ $a \ge 148{,}0\ mm = 14{,}8\ cm$. ومنه $a = 15\ cm$ والمقطع $15 \times 30\ cm$.

تحقق: $W = 2 \cdot 150^3/3 = 2{,}25 \cdot 10^6\ mm^3$ و$\sigma_{max} = 9{,}6\ MPa$، وهي أقل من $10\ MPa$.

مثال محلول 4: مقطع دائري

عمود خشبي دائري يعمل رافدة لسقيفة، فيه $M_{f,max} = 5\ kN \cdot m$، و$\bar{\sigma} = 10\ MPa$.

$ d^3 \ge \frac{32 \cdot 5 \cdot 10^6}{\pi \cdot 10} $

أي $d^3 \ge 5{,}093 \cdot 10^6\ mm^3$، فـ $d \ge 172{,}1\ mm$. نختار $d = 18\ cm$.

تحقق: $W = \pi \cdot 180^3/32 = 572\,555\ mm^3$ و$\sigma_{max} = 5 \cdot 10^6/572\,555 = 8{,}73\ MPa$، وهي أقل من $10\ MPa$.

أي الأشكال أكثر اقتصادا؟

نقارن ثلاثة مقاطع لها المساحة نفسها $S = 600\ cm^2$:

| المقطع | الأبعاد | W | النسبة | |---|---|---|---| | دائرة | $d = 27{,}64\ cm$ | $2073\ cm^3$ | 0,69 | | مستطيل قائم | $20 \times 30\ cm$ | $3000\ cm^3$ | 1 | | مستطيل قائم أعلى | $15 \times 40\ cm$ | $4000\ cm^3$ | 1,33 |

كلما ابتعدت المادة عن المحور الحيادي زاد W بالمساحة نفسها، لأن الألياف القريبة من G تكاد لا تعمل (إجهادها صغير). هذه الفكرة تقود إلى المجنبات I (IPE، IPN): جناحان بعيدان يحملان أغلب العزم وروح رقيقة تربطهما، وهي موضوع الجزء الموالي. لكن الارتفاع لا يُزاد بلا حد: مقطع رقيق جدا يتعرض للانبعاج الجانبي (déversement)، لذلك تحدد النصوص نسبة مثل $h = 2b$.

> ملاحظة للامتحان: كثيرا ما يُعطى $M_{f,max}$ في نص السؤال الأخير حتى يستطيع المترشح التحجيم ولو أخطأ في المعادلات؛ استعمل القيمة المعطاة. وإذا كانت المادة خرسانة أو خشبا ثقيلا وطلب النص الوزن الذاتي، أضف $g = \gamma \cdot b \cdot h$ إلى الحمولة (الخرسانة $\gamma = 25\ kN/m^3$) ثم أعد التحقق.

أخطاء شائعة

• التقريب إلى الأسفل، أو إلى أقرب عدد بدل العدد الأعلى.
• خلط b و h في $b h^2/6$: الارتفاع h هو الذي يُربّع، وهو البعد الموازي للحمولات.
• نسيان الجذر التكعيبي (أو التربيعي) بعد حل المتراجحة.
• خلط الوحدات داخل الجذر: احسب كل شيء بالـ N و mm ثم حوّل النتيجة إلى cm.
• إهمال التحقق النهائي، وهو مطلوب غالبا بسؤال مستقل.

4. اختيار المجنبات IPE وIPN من الجداول

لماذا المقطع I ؟

رأينا أن المادة القريبة من المحور الحيادي قليلة الفائدة في الانحناء. المجنب على شكل I يضع أغلب المادة في جناحين (ailes) بعيدين عن G، ويربطهما بروح (âme) رقيقة شاقولية تقاوم الجهد القاطع.


يرسم الشكل مقطع IPE 220 بمقياسه الحقيقي ($h = 220$، $b = 110$، سمك الروح $a = 5{,}9$، سمك الجناح $e = 9{,}2\ mm$) تحت عزم $M_f = 37{,}5\ kN \cdot m$. الإجهاد في الليف الطرفي $148{,}8\ MPa$، وفي ملتقى الجناح بالروح (على $100{,}8\ mm$ من G) ما زال $136{,}4\ MPa$: الجناح كله يعمل بإجهاد قريب من الأعظمي. وحساب سريع يبين أن الجناحين وحدهما يعطيان نحو 80 % من عزم العطالة $I_x = 2772\ cm^4$: $2 \cdot 1012 \cdot 105{,}4^2 \approx 2{,}25 \cdot 10^7\ mm^4$.

جدول المجنبات IPE (مقتطف)

الأبعاد بالـ mm، والكتلة P بالـ kg/m (a سمك الروح، e سمك الجناح):

| المجنب | h | b | a | e | $S\ (cm^2)$ | P | $I_x\ (cm^4)$ | $W_x\ (cm^3)$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | IPE 100 | 100 | 55 | 4,1 | 5,7 | 10,3 | 8,1 | 171 | 34,2 | | IPE 120 | 120 | 64 | 4,4 | 6,3 | 13,2 | 10,4 | 318 | 53,0 | | IPE 140 | 140 | 73 | 4,7 | 6,9 | 16,4 | 12,9 | 541 | 77,3 | | IPE 160 | 160 | 82 | 5,0 | 7,4 | 20,1 | 15,8 | 869 | 109 | | IPE 180 | 180 | 91 | 5,3 | 8,0 | 23,9 | 18,8 | 1317 | 146 | | IPE 200 | 200 | 100 | 5,6 | 8,5 | 28,5 | 22,4 | 1943 | 194 | | IPE 220 | 220 | 110 | 5,9 | 9,2 | 33,4 | 26,2 | 2772 | 252 | | IPE 240 | 240 | 120 | 6,2 | 9,8 | 39,1 | 30,7 | 3892 | 324 | | IPE 270 | 270 | 135 | 6,6 | 10,2 | 45,9 | 36,1 | 5790 | 429 | | IPE 300 | 300 | 150 | 7,1 | 10,7 | 53,8 | 42,2 | 8356 | 557 |

جدول المجنبات IPN (مقتطف)

| المجنب | h (mm) | b (mm) | $S\ (cm^2)$ | $I_x\ (cm^4)$ | $W_x\ (cm^3)$ | |---|---|---|---|---|---| | IPN 160 | 160 | 74 | 22,8 | 935 | 117 | | IPN 180 | 180 | 82 | 27,9 | 1450 | 161 | | IPN 200 | 200 | 90 | 33,4 | 2140 | 214 | | IPN 220 | 220 | 98 | 39,5 | 3060 | 278 | | IPN 240 | 240 | 106 | 46,1 | 4250 | 354 | | IPN 260 | 260 | 113 | 53,3 | 5740 | 442 |

الكتلة لكل متر تُستنتج من المساحة: $P = 0{,}785 \cdot S$ (S بالـ $cm^2$ و P بالـ kg/m، لأن كثافة الفولاذ $7850\ kg/m^3$).

تحقق من تماسك الجدول: $W_x \approx I_x/(h/2)$. مثلا IPE 240: $3892/12 = 324\ cm^3$. الجداول المرفقة بالمواضيع قد تحمل أخطاء طباعة، وهذا الاختبار يكشفها في ثوان.

طريقة اختيار المجنب

• $W_{nec} = M_{f,max}/\bar{\sigma}$ بالـ $cm^3$.
• نقرأ عمود $W_x$ من الأعلى ونتوقف عند أول مجنب يحقق $W_x \ge W_{nec}$: هو الأخف، أي الأكثر اقتصادا.
• نتحقق: $\sigma_{max} = M_{f,max}/W_x \le \bar{\sigma}$.
• (إذا طُلب) نضيف الوزن الذاتي للمجنب $g = P \cdot 9{,}81$ (بالـ N/m) إلى الحمولة، ونعيد حساب $M_{f,max}$ والتحقق.
• إذا لم يتحقق الشرط بمجنب مفروض، الحل المقترح هو المجنب الأعلى الذي يحقق W اللازم.

> لا يُقبل مجنب $W_x$ فيه أصغر من المطلوب ولو بقليل: IPE 240 ($324\ cm^3$) مرفوض إذا كان المطلوب $325\ cm^3$.

مثال محلول 1: رافدة سقف ورشة

رافدة فولاذية على مسندين بحرها $L = 5\ m$ تحمل $q = 12\ kN/m$، و$\bar{\sigma} = 160\ MPa$. اختر مجنب IPE.

$ M_{f,max} = \frac{q L^2}{8} = \frac{12 \cdot 5^2}{8} $

أي $M_{f,max} = 37{,}5\ kN \cdot m$.

$ W_{nec} = \frac{37{,}5 \cdot 10^6}{160} $

أي $W_{nec} = 234\,375\ mm^3 = 234{,}4\ cm^3$. المجنب IPE 200 ($194\ cm^3$) لا يكفي، أما IPE 220 ($252\ cm^3$) فيكفي.

تحقق: $\sigma_{max} = 37{,}5 \cdot 10^6 / 252 \cdot 10^3 = 148{,}8\ MPa$، وهي أقل من 160 MPa (هي القيم المرسومة في الشكل أعلاه).

الوزن الذاتي: $g = 26{,}2 \cdot 9{,}81 = 257\ N/m = 0{,}257\ kN/m$، فيزيد العزم بـ $0{,}257 \cdot 25/8 = 0{,}80\ kN \cdot m$:

$ \sigma_{max} = \frac{38{,}30 \cdot 10^6}{252 \cdot 10^3} $

$ \sigma_{max} = 152{,}0\ MPa $

وهي ما زالت أقل من $160\ MPa$: IPE 220 مقبول.

مثال محلول 2: IPN أم IPE ؟

رافدة فيها $M_{f,max} = 52\ kN \cdot m$ و$\bar{\sigma} = 160\ MPa$، فـ $W_{nec} = 52 \cdot 10^6/160 = 325\,000\ mm^3 = 325\ cm^3$.

• بمجنب IPN: IPN 220 ($278$) لا يكفي، أما IPN 240 ($354\ cm^3$) فيكفي: $\sigma = 52 \cdot 10^6/354 \cdot 10^3 = 146{,}9\ MPa$. كتلته $0{,}785 \cdot 46{,}1 = 36{,}2\ kg/m$.
• بمجنب IPE: IPE 240 ($324\ cm^3$) أقل من 325 فهو مرفوض، فنأخذ IPE 270 ($429\ cm^3$): $\sigma = 52 \cdot 10^6/429 \cdot 10^3 = 121{,}2\ MPa$. كتلته $36{,}1\ kg/m$.

الكتلتان متقاربتان هنا لأن IPE 240 فاته الشرط بفارق $1\ cm^3$؛ وفي العموم يعطي IPE المقاومة نفسها بكتلة أقل، ولهذا حل محل IPN في البناء الحديث.

مثال محلول 3: تحقق لا يتحقق، والحل المقترح

رافدة من IPE 180 فيها $M_{f,max} = 30\ kN \cdot m$، و$\bar{\sigma} = 1600\ daN/cm^2$. بالوحدات القديمة: $M_f = 30 \cdot 10^4 = 3 \cdot 10^5\ daN \cdot cm$:

$ \sigma_{max} = \frac{3 \cdot 10^5}{146} = 2055\ daN/cm^2 $

وهي أكبر من $1600\ daN/cm^2$: المجنب لا يقاوم. الحل المقترح: $W_{nec} = 3 \cdot 10^5/1600 = 187{,}5\ cm^3$، فنختار IPE 200 ($194\ cm^3$)، ويصبح $\sigma = 3 \cdot 10^5/194 = 1546\ daN/cm^2$، أي $154{,}6\ MPa$، وهي أقل من المسموح.

مثال محلول 4: الحمولة القصوى لمجنب معلوم

IPE 160 على مسندين بحرها $4\ m$، و$\bar{\sigma} = 160\ MPa$. العزم المسموح به:

$ M_{f,adm} = 160 \cdot 109 \cdot 10^3 $

أي $17{,}44 \cdot 10^6\ N \cdot mm = 17{,}44\ kN \cdot m$. ومن $q L^2/8 \le 17{,}44$ نجد $q \le 8 \cdot 17{,}44/16 = 8{,}72\ kN/m$.

أخطاء شائعة

• قراءة $W_y$ أو $I_x$ بدل $W_x$.
• اختيار مجنب W فيه أقل من المطلوب بقليل، أو اختيار مجنب أكبر بكثير من اللازم دون مبرر (غير اقتصادي).
• مقارنة W بالـ $cm^3$ مع ناتج حسب بالـ $mm^3$ دون القسمة على 1000.
• نسيان سؤال «في حالة عدم التحقق، ما الحل المقترح؟»: الجواب مجنب أكبر بـ W كاف، مع التحقق.
• خلط a (سمك الروح) و e (سمك الجناح): بعض الجداول تكتب الروح e والجناح e'، فاقرأ رأس الجدول.

5. الإجهاد المماسي في الانحناء والتحقق المزدوج

من أين يأتي الإجهاد المماسي؟

الجهد القاطع T يحاول أن يزلق مقطعا على المقطع المجاور له، فيولّد في مستوى المقطع إجهادا مماسيا τ (contrainte tangentielle). ولهذا الإجهاد وجه ثان أقل وضوحا: الطبقات الأفقية للرافدة تحاول أيضا أن تنزلق بعضها على بعض.


في الأعلى (a) لوحان موضوعان أحدهما فوق الآخر دون ربط: عند الانحناء ينحني كل لوح وحده، فيتمدد الوجه السفلي للوح العلوي وينكمش الوجه العلوي للوح السفلي، فيبرز طرفا اللوح العلوي على اللوح السفلي (الدائرتان). في الأسفل (b) اللوحان ملصوقان: الغراء يمنع هذا الانزلاق، فتنشأ في مستوى اللصق إجهادات مماسية τ (الأسهم المتعاكسة)، وتعمل القطعة كرافدة واحدة أقوى بكثير. هذه الإجهادات الطولية تساوي الإجهادات المماسية في المقطع العرضي عند الليف نفسه (مبدأ تبادل الإجهادات المماسية).

توزيع τ على مقطع مستطيل

الإجهاد المماسي ليس منتظما على المقطع: ينعدم في الليفين الطرفيين (لا شيء فوقهما ينزلق) ويبلغ أقصاه على المحور الحيادي. العلاقة العامة (علاقة جوراوسكي، Jourawski) هي:

$ \tau(y) = \frac{T \cdot \mu(y)}{b(y) \cdot I_{Gz}} $

حيث $\mu(y)$ العزم الساكن، بالنسبة إلى Gz، لجزء المقطع الواقع خارج الليف المدروس، و$b(y)$ عرض المقطع عند ذلك الليف. للمستطيل $b \times h$ تعطي توزيعا على شكل قطع مكافئ:

$ \tau(y) = \frac{3 T}{2 b h}\left(1 - \frac{4 y^2}{h^2}\right) $

وعلى المحور الحيادي ($y = 0$): $\mu = b \cdot (h/2) \cdot (h/4) = b h^2/8$، فـ:

$ \tau_{max} = \frac{3}{2} \cdot \frac{T}{S} $

أي مرة ونصف الإجهاد المتوسط $T/S$.


في (a) مقطع $20 \times 30\ cm$ تحت $T = 45\ kN$: τ منعدم في الأعلى والأسفل، يساوي $1{,}125\ MPa$ على Gz، و$0{,}844\ MPa$ على $7{,}5\ cm$ من G. في (b) مجنب I: الجناحان لا يحملان تقريبا أي إجهاد مماسي، والروح الرقيقة تحمل الجهد القاطع كله بإجهاد يكاد يكون منتظما، قيمته التقريبية $T/(h \cdot a)$.

الصيغة العملية $\tau_{max} = k \cdot T/S$

| المقطع | المعامل k | $\tau_{max}$ | |---|---|---| | مستطيل $b \times h$ | $3/2$ | $3 T/(2 b h)$ | | دائرة ممتلئة | $4/3$ | $4 T/(3 S)$ مع $S = \pi d^2/4$ | | أنبوب رقيق الجدار | 2 | $2 T/S$ | | مجنب IPE أو IPN | (الروح وحدها) | $T/(h \cdot a)$ تقريبا، a سمك الروح |

بعض المواضيع تأخذ للمجنب مساحة الروح بين الجناحين $(h - 2e) \cdot a$ بدل $h \cdot a$؛ اتبع ما يعطيه النص. وشرط المقاومة:

$ \tau_{max} \le \bar{\tau} $

حيث $\bar{\tau}$ الإجهاد المماسي المسموح به، ويُعطى دائما في نص التمرين. وللاستئناس فقط، قيم نموذجية: للفولاذ من رتبة $0{,}6 \cdot \bar{\sigma}$ إلى $0{,}65 \cdot \bar{\sigma}$ (نحو 100 MPa مع $\bar{\sigma} = 160\ MPa$)، وللخشب نحو 1 MPa فقط (الخشب ضعيف في القص الموازي للألياف).

> أين نحسب؟ σ بـ $M_{f,max}$ (غالبا في وسط البحر أو عند ترصيع)، و τ بـ $T_{max}$ (غالبا قرب المساند). المقطعان مختلفان في أغلب الأحيان، والتحقق يجب أن يشملهما معا.

مثال محلول 1: مقطع مستطيل

رافدة مقطعها $20 \times 30\ cm$ فيها $T_{max} = 45\ kN$:

$ \tau_{max} = \frac{3 \cdot 45\,000}{2 \cdot 200 \cdot 300} $

$ \tau_{max} = 1{,}125\ MPa $

وعلى ليف يبعد $y = 75\ mm$ عن G: $\tau = 1{,}125 \cdot (1 - 4 \cdot 75^2/300^2) = 1{,}125 \cdot 0{,}75 = 0{,}844\ MPa$ (القيمتان في الشكل).

مثال محلول 2: مقطع دائري

رافدة خشبية دائرية $d = 12\ cm$ فيها $T_{max} = 15\ kN$: $S = \pi \cdot 120^2/4 = 11\,310\ mm^2$، و:

$ \tau_{max} = \frac{4 \cdot 15\,000}{3 \cdot 11\,310} $

$ \tau_{max} = 1{,}77\ MPa $

مثال محلول 3: مجنب IPE

الرافدة IPE 220 من الجزء السابق (بحر 5 m، $q = 12\ kN/m$) فيها $T_{max} = q L/2 = 30\ kN$ عند المسندين. سمك الروح $a = 5{,}9\ mm$:

$ \tau \approx \frac{30\,000}{220 \cdot 5{,}9} $

$ \tau \approx 23{,}1\ MPa $

وهي أقل بكثير من $\bar{\tau} = 100\ MPa$ (قيمة نموذجية للفولاذ). في الروافد الفولاذية العادية يكون σ هو الحاسم، ويُطلب τ للتحقق فقط.

مثال محلول 4: رافدة قصيرة يحسمها τ

رافدة خشبية قصيرة على مسندين بحرها $L = 1{,}0\ m$ تحمل قوة $P = 50\ kN$ في منتصفها، مقطعها $12 \times 24\ cm$، و$\bar{\sigma} = 12\ MPa$ و$\bar{\tau} = 1{,}2\ MPa$.

الإجهاد الناظمي: $M_{f,max} = P L/4 = 12{,}5\ kN \cdot m$، و$W = 120 \cdot 240^2/6 = 1{,}152 \cdot 10^6\ mm^3$، فـ $\sigma_{max} = 10{,}85\ MPa$، أقل من 12 MPa.

الإجهاد المماسي: $T_{max} = P/2 = 25\ kN$:

$ \tau_{max} = \frac{3 \cdot 25\,000}{2 \cdot 120 \cdot 240} $

$ \tau_{max} = 1{,}30\ MPa $

وهي أكبر من $1{,}2\ MPa$: المقطع لا يقاوم القص رغم أنه يقاوم الانحناء. المساحة اللازمة: $S \ge 3 \cdot 25\,000/(2 \cdot 1{,}2) = 31\,250\ mm^2$، ومع $b = 12\ cm$ نجد $h \ge 260{,}4\ mm$، فنأخذ المقطع $12 \times 27\ cm$: $\tau = 37\,500/32\,400 = 1{,}16\ MPa$ و$\sigma = 12{,}5 \cdot 10^6/1{,}458 \cdot 10^6 = 8{,}57\ MPa$، والشرطان محققان.

التحقق المزدوج: الخطوات

• ردود الأفعال، ثم مخططا T و$M_f$ (درس الجهد القاطع وعزم الانحناء).
• نقرأ $M_{f,max}$ و$T_{max}$ بالقيمة المطلقة.
• الانحناء: نحجّم أو نتحقق بـ $\sigma_{max} = M_{f,max}/W \le \bar{\sigma}$.
• القص: نتحقق بـ $\tau_{max} = k \cdot T_{max}/S \le \bar{\tau}$ (أو $T/(h \cdot a)$ للمجنب).
• إذا لم يتحقق أحد الشرطين نكبّر المقطع ونعيد الشرطين.

أخطاء شائعة

• حساب τ بـ $M_{f,max}$ أو σ بـ $T_{max}$.
• نسيان المعامل $3/2$ للمستطيل والاكتفاء بـ $T/S$: النتيجة أقل من الحقيقة بالثلث.
• الاعتقاد أن τ أعظمي في الليف الطرفي كما σ: العكس، τ ينعدم هناك ويبلغ أقصاه على المحور الحيادي.
• قسمة T على مساحة المجنب كلها بدل مساحة الروح.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

طريقة العمل في تمرين الانحناء

تمرين الانحناء في البكالوريا يتبع غالبا هذا التسلسل، وكل خطوة تُنقط وحدها:

• ردود الأفعال ($\sum F_y = 0$، $\sum M/A = 0$، ثم التحقق بـ $\sum M/B = 0$؛ العزم المعاكس لعقارب الساعة موجب).
• معادلات $T(x)$ و$M_f(x)$ لكل مجال (القوى على يسار المقطع، x من الطرف الأيسر).
• القيم في أطراف المجالات، وموضع انعدام T إن وُجد، ثم الرسم بالسلم المعطى.
• $T_{max}$ و$M_{f,max}$ بالقيمة المطلقة (قد تُعطى $M_{f,max}$ في النص).
• شرط المقاومة: تحجيم مقطع مستطيل، أو اختيار مجنب، أو تحقق، مع «الحل المقترح» عند عدم التحقق.
• الإجهاد المماسي والتحقق منه.

التمرين 1: رافدة سقف مرأب من IPE

الوضعية: سقف مرأب سيارات تحمله روافد فولاذية متوازية. كل رافدة AB بحرها $6\ m$، مرتكزة في A على مسند مضاعف وفي B على مسند بسيط، وتحمل حمولة موزعة بانتظام $q = 8\ kN/m$ (السقف والحمولات) وقوة مركزة $P = 20\ kN$ في منتصفها تنقلها رافدة ثانوية.

المعطيات: فولاذ $\bar{\sigma} = 160\ MPa$ و$\bar{\tau} = 100\ MPa$؛ جدول IPE في الجزء 4.

المطلوب:

• احسب ردود الأفعال.
• اكتب معادلتي $T(x)$ و$M_f(x)$ في المجالين.
• ارسم المخططين (السلم: $1\ cm$ لـ $10\ kN$ و$1\ cm$ لـ $20\ kN \cdot m$).
• استنتج $T_{max}$ و$M_{f,max}$.
• اختر مجنب IPE المناسب.
• تحقق من المقاومة بإضافة الوزن الذاتي للمجنب المختار.
• تحقق من الإجهاد المماسي.

الحل:

1. ردود الأفعال. لا توجد قوى أفقية فـ $H_A = 0$. بالتناظر، أو بالعزوم حول A:

$ 6 V_B - 8 \cdot 6 \cdot 3 - 20 \cdot 3 = 0 $

فـ $V_B = 204/6 = 34\ kN$، ومن $\sum F_y = 0$: $V_A = 48 + 20 - 34 = 34\ kN$. تحقق بالعزوم حول B: $-6 V_A + 144 + 60 = 0$ يعطي $V_A = 34\ kN$.

2. المعادلات. المجال الأول $0 \le x \le 3\ m$:

$ T(x) = 34 - 8x $

$ M_f(x) = 34x - 4x^2 $

المجال الثاني $3 \le x \le 6\ m$ (أضفنا P على اليسار):

$ T(x) = 14 - 8x $

$ M_f(x) = -4x^2 + 14x + 60 $

3. القيم والرسم.

| x (m) | 0 | 1,5 | 3 | 4,5 | 6 | |---|---|---|---|---|---| | T (kN) | 34 | 22 | 10 ثم −10 | −22 | −34 | | $M_f$ (kN·m) | 0 | 42 | 66 | 42 | 0 |


يبين الشكل الرافدة بحمولتيها، ثم مخطط T: خطان مائلان بميل $-8\ kN/m$ يقفزان بـ $20\ kN$ تحت P (من 10 إلى −10)، ثم مخطط $M_f$: قوسا قطع مكافئ يلتقيان في القمة 66 kN·m تحت P حيث يغيّر T إشارته. بالسلم المعطى: $V_A$ ترسم بـ 3,4 cm، والقمة 66 kN·m بـ 3,3 cm.

4. $T_{max} = 34\ kN$ (عند المسندين) و$M_{f,max} = 66\ kN \cdot m$ (عند $x = 3\ m$).

5. اختيار المجنب.

$ W_x \ge \frac{66 \cdot 10^6}{160} = 412\,500\ mm^3 $

أي $412{,}5\ cm^3$. IPE 240 ($324$) لا يكفي، فنختار IPE 270 ($W_x = 429\ cm^3$): $\sigma_{max} = 66 \cdot 10^6/429 \cdot 10^3 = 153{,}8\ MPa$، أقل من 160 MPa.

6. الوزن الذاتي. $g = 36{,}1 \cdot 9{,}81 = 354\ N/m = 0{,}354\ kN/m$، وعزمه في المنتصف $0{,}354 \cdot 36/8 = 1{,}59\ kN \cdot m$:

$ \sigma_{max} = \frac{67{,}59 \cdot 10^6}{429 \cdot 10^3} $

$ \sigma_{max} = 157{,}6\ MPa $

وهي أقل من $160\ MPa$: IPE 270 مقبول.

7. الإجهاد المماسي. مع الوزن الذاتي $T_{max} = 34 + 0{,}354 \cdot 3 = 35{,}06\ kN$، وسمك الروح $a = 6{,}6\ mm$:

$ \tau \approx \frac{35\,060}{270 \cdot 6{,}6} = 19{,}7\ MPa $

وهي أقل بكثير من $100\ MPa$.

التمرين 2: رافدة خشبية ببروز

الوضعية: رافدة خشبية ABC لسقيفة: A مسند مضاعف، B مسند بسيط على بعد $4\ m$ من A، والجزء BC بروز طوله $1\ m$. على AB حمولة موزعة $q = 10\ kN/m$، وفي الطرف C قوة $F = 10\ kN$ (حمولة مزراب وجدار خفيف).

المعطيات: خشب $\bar{\sigma} = 10\ MPa$ و$\bar{\tau} = 1{,}0\ MPa$؛ مقطع مستطيل عرضه b وارتفاعه $h = 2b$.

المطلوب: ردود الأفعال؛ معادلات T و$M_f$ في AB وBC؛ موضع العزم الأعظمي الموجب وقيمته؛ المخططان؛ أبعاد المقطع (b بالـ cm الصحيح)؛ التحقق من σ و τ؛ الألياف المشدودة فوق المسند B.

الحل:

ردود الأفعال (العزوم حول A):

$ 4 V_B - 10 \cdot 4 \cdot 2 - 10 \cdot 5 = 0 $

فـ $V_B = 130/4 = 32{,}5\ kN$، و$V_A = 40 + 10 - 32{,}5 = 17{,}5\ kN$. تحقق حول B: $-4 V_A + 40 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 0$ يعطي $V_A = 70/4 = 17{,}5\ kN$.

المجال AB ($0 \le x \le 4\ m$):

$ T(x) = 17{,}5 - 10x $

$ M_f(x) = 17{,}5x - 5x^2 $

$T(0) = 17{,}5\ kN$ و$T(4) = -22{,}5\ kN$؛ $M_f(0) = 0$ و$M_f(4) = 70 - 80 = -10\ kN \cdot m$.

المجال BC ($4 \le x \le 5\ m$): على اليسار $V_A$ والحمولة كلها و$V_B$:

$ T(x) = 17{,}5 - 40 + 32{,}5 = 10\ kN $

$ M_f(x) = 10x - 50 $

$M_f(4) = -10\ kN \cdot m$ و$M_f(5) = 0$. تحقق بالجزء الأيمن عند B: F وحدها على بعد 1 m، $M_f = -10 \cdot 1 = -10\ kN \cdot m$.

العزم الأعظمي الموجب: T ينعدم في AB عند $17{,}5 - 10x = 0$ أي $x = 1{,}75\ m$:

$ M_f(1{,}75) = 30{,}625 - 15{,}3125 $

أي $M_f = 15{,}31\ kN \cdot m$.


في الشكل: مخطط T ينزل خطيا من 17,5 إلى −22,5 kN ويقطع المحور عند $x = 1{,}75\ m$، ثم يقفز بمقدار $V_B = 32{,}5\ kN$ إلى +10 kN ويبقى ثابتا على البروز. مخطط $M_f$ قطع مكافئ قمته 15,31 kN·m، يصبح سالبا قبل B ويبلغ −10 kN·m فوق المسند، ثم يعود خطيا إلى الصفر في C.

القيم العظمى: $|M_f|_{max} = 15{,}31\ kN \cdot m$ (لا 10) و$|T|_{max} = 22{,}5\ kN$ (على يسار B).

الأبعاد: $W = b (2b)^2/6 = 2b^3/3$:

$ b^3 \ge \frac{3 \cdot 15{,}31 \cdot 10^6}{2 \cdot 10} $

أي $b^3 \ge 2{,}297 \cdot 10^6\ mm^3$، فـ $b \ge 131{,}9\ mm$. نختار $b = 14\ cm$ و$h = 28\ cm$. (العرض 13 cm يعطي $W = 1464{,}7\ cm^3$ و$\sigma = 10{,}45\ MPa$، أكبر من المسموح.)

التحقق: $W = 140 \cdot 280^2/6 = 1{,}829 \cdot 10^6\ mm^3$:

$ \sigma_{max} = \frac{15{,}31}{1{,}829} = 8{,}37\ MPa $

$ \tau_{max} = \frac{3 \cdot 22\,500}{2 \cdot 39\,200} $

$ \tau_{max} = 0{,}86\ MPa $

الشرطان محققان ($8{,}37 \le 10$ و$0{,}86 \le 1{,}0$).

فوق المسند B العزم سالب ($-10\ kN \cdot m$): الألياف العليا مشدودة بـ $\sigma = 10 \cdot 10^6/1{,}829 \cdot 10^6 = 5{,}47\ MPa$، والسفلى مضغوطة. هذه المعلومة تحدد موضع التسليح لو كانت الرافدة من الخرسانة المسلحة.

التمرين 3: ظفر شرفة من IPE

الوضعية: رافدة AB لشرفة، مرصّعة (ترصيع، encastrement) في A داخل عمود خرساني، وطرفها B حر. طولها $L = 2\ m$، تحمل $q = 6\ kN/m$ على كامل طولها و$F = 12\ kN$ في الطرف B (درابزين وحمولة مركزة).

المعطيات: المجنب المقترح IPE 200، $\bar{\sigma} = 1600\ daN/cm^2$، $\bar{\tau} = 100\ MPa$.

المطلوب: ردود الأفعال في الترصيع؛ $T(x)$ و$M_f(x)$؛ المخططان؛ التحقق من IPE 200 والحل المقترح عند الحاجة؛ أكبر قوة F يتحملها IPE 200 مع بقاء q؛ τ في المجنب المختار؛ الألياف المشدودة عند A.

الحل:

ردود الأفعال: $H_A = 0$، و$V_A = 6 \cdot 2 + 12 = 24\ kN$. العزوم حول A (المعاكس لعقارب الساعة موجب):

$ M_A - 12 \cdot 1 - 12 \cdot 2 = 0 $

فـ $M_A = 36\ kN \cdot m$ عكس عقارب الساعة.

المعادلات ($0 \le x \le 2\ m$، على يسار المقطع $V_A$ و$M_A$ والحمولة على x):

$ T(x) = 24 - 6x $

$ M_f(x) = -36 + 24x - 3x^2 $

عزم الترصيع $M_A$ المعاكس لعقارب الساعة على يسار المقطع يُحسب في $M_f$ بإشارة سالبة (يقعّر الظفر نحو الأسفل). القيم: $T(0) = 24\ kN$ و$T(2) = 12\ kN$ (ثم ينعدم بعد F)؛ $M_f(0) = -36$ و$M_f(1) = -15$ و$M_f(2) = 0\ kN \cdot m$. تحقق بالجزء الأيمن عند $x = 1\ m$: $-(6 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot 1) = -15\ kN \cdot m$.


مخطط T موجب كله يتناقص خطيا من 24 إلى 12 kN، ومخطط $M_f$ سالب كله (تحت المحور)، أعظمي بالقيمة المطلقة عند الترصيع (−36 kN·m) وينعدم في الطرف الحر.

التحقق من IPE 200: $|M_f|_{max} = 36\ kN \cdot m = 36 \cdot 10^4\ daN \cdot cm$:

$ \sigma = \frac{36 \cdot 10^4}{194} = 1856\ daN/cm^2 $

وهي أكبر من $1600\ daN/cm^2$: IPE 200 لا يقاوم.

الحل المقترح: $W_x \ge 36 \cdot 10^4/1600 = 225\ cm^3$، فنختار IPE 220 ($252\ cm^3$): $\sigma = 36 \cdot 10^4/252 = 1429\ daN/cm^2$، أي $142{,}9\ MPa$، والشرط محقق.

أكبر F مع IPE 200: $M_{f,adm} = 1600 \cdot 194 = 310\,400\ daN \cdot cm = 31{,}04\ kN \cdot m$، والعزم عند الترصيع $2F + 12$:

$ 2F + 12 \le 31{,}04 $

فـ $F \le 9{,}52\ kN$.

الإجهاد المماسي في IPE 220: $T_{max} = 24\ kN$ عند الترصيع، و$a = 5{,}9\ mm$: $\tau \approx 24\,000/(220 \cdot 5{,}9) = 18{,}5\ MPa$، أقل من 100 MPa.

الألياف المشدودة عند A: العزم سالب فالرافدة تتقعر نحو الأسفل: الألياف العليا مشدودة والسفلى مضغوطة. في شرفة من الخرسانة المسلحة يوضع التسليح الرئيسي في الأعلى لهذا السبب.

> ملاحظة للامتحان: في الظفر $M_{f,max}$ عند الترصيع دائما (عندما تكون كل الحمولات نازلة)، ويساوي مجموع عزوم الحمولات حولها؛ لا تبحث عن مكان انعدام T.