المحول أحادي الطور: المبدأ والاختبارات

3. لوحة الاستعلامات والمقادير الاسمية

ماذا تقول لوحة الاستعلامات؟

يحمل كل محول لوحة استعلامات (plaque signalétique) يكتب عليها الصانع القيم التي صُمّم ليعمل بها دون أن يسخن أكثر من المسموح، وتسمى القيم الاسمية (valeurs nominales) ويُرمز لها بالحرف N. مثال لمحول تغذية دارة التحكم في موضوع بكالوريا:

| ما هو مكتوب | المقدار | معناه | |---|---|---| | 220 V / 24 V | $U_{1N}$ / $U_{2N}$ | التوتر الاسمي للأولي / التوتر الاسمي للثانوي | | 160 VA | $S_N$ | الاستطاعة الظاهرية الاسمية | | 50 Hz | $f$ | تواتر الشبكة |

التوتر الاسمي للأولي $U_{1N}$

هو التوتر الذي يجب أن يُغذّى به الأولي، أي توتر الشبكة. إذا غذّيناه بتوتر أكبر كبر الحقل $\hat{B}$ (علاقة بوشرو) فتتشبّع النواة ويسخن المحول، وإذا غذّيناه بتوتر أصغر نقص توتر الثانوي.

التوتر في الفراغ $U_{20}$ والتوتر الاسمي للثانوي $U_{2N}$

• التوتر في الفراغ $U_{20}$: توتر الثانوي حين لا يمرّ فيه أي تيار ($I_2 = 0$) والأولي تحت $U_{1N}$. نقيسه بالاختبار في الفراغ.
• التوتر الاسمي للثانوي $U_{2N}$: توتر الثانوي حين يعطي تياره الاسمي.

ولأن الملفين حقيقيان (لهما مقاومة ويتسرّب منهما جزء من التدفق) ينخفض توتر الثانوي حين يُحمَّل: يكون $U_{20} > U_{2N}$ بنحو 5 إلى 10 % في المحولات الصغيرة. هذا الفرق هو الهبوط في التوتر $\Delta U = U_{20} - U_2$، وسندرسه في الدرس الموالي.

> اصطلاح مواضيع البكالوريا: في «220 V / 24 V» يكون 24 V هو التوتر الاسمي للثانوي تحت الحمولة، ويُعطى $U_{20}$ (26 V مثلًا) منفصلًا أو يُستنتج من الاختبار في الفراغ. بعض الصانعين، خاصة في محولات التوزيع الكبيرة، يكتبون على اللوحة توتر الفراغ؛ نصّ الموضوع يحدد دائمًا أيّ التوترين هو المقصود.

نسبة التحويل في الفراغ

نسبة التحويل الحقيقية تُحسب في الفراغ، لأن التوترين حينئذ يتناسبان تمامًا تقريبًا مع عددي اللفات:

$m = \dfrac{U_{20}}{U_{1N}} = \dfrac{N_2}{N_1}$

ويكتبها بعض الأساتذة $m_0$ للتذكير بأنها في الفراغ. مثال: $U_{20} = 26{,}4\ V$ تحت 220 V يعطي $m = 0{,}12$، بينما يعطي $\dfrac{U_{2N}}{U_{1N}} = \dfrac{24}{220} \approx 0{,}109$، والفرق نحو 9 %: هذا خطأ يكلّف النقطة.

الاستطاعة الظاهرية الاسمية $S_N$

$S_N = U_{1N}\,I_{1N} = U_{2N}\,I_{2N}$

لماذا تُعطى بالفولط-أمبير (VA) لا بالواط؟ لأن تسخين المحول يأتي من التيار (ضياع جول في النحاس) ومن التوتر (ضياع في الحديد يحدده $\hat{B}$)، ولا يتعلق بمعامل استطاعة الحمولة. المحول نفسه 160 VA يستطيع أن يعطي 160 W لحمولة مقاومية، لكنه لا يعطي إلا 96 W لحمولة معامل استطاعتها 0,6، ويسخن في الحالتين بالقدر نفسه لأن التيار هو نفسه.

| $\cos\varphi_2$ للحمولة | 1 | 0,8 | 0,6 | |---|---|---|---| | الاستطاعة الفعلية العظمى (W) | 160 | 128 | 96 |

التياران الاسميان

$I_{1N} = \dfrac{S_N}{U_{1N}} \qquad I_{2N} = \dfrac{S_N}{U_{2N}}$

التيار الاسمي للثانوي هو أكبر تيار يمكن أن تطلبه الحمولة باستمرار. إذا تجاوزته الحمولة كان المحول في حمولة زائدة (surcharge): يسخن أكثر من المسموح، ويحميه في الغالب منصهر أو قاطع على الأولي أو الثانوي.

مثال محلول: تفسير لوحة واستغلالها

لوحة المحول Tr1: «220 V / 24 V – 160 VA – 50 Hz».

• التفسير: يُغذّى الأولي تحت 220 V بتواتر 50 Hz، ويعطي الثانوي 24 V تحت حمولته الاسمية، واستطاعته الظاهرية الاسمية 160 VA.
• التيار الاسمي للأولي: $I_{1N} = \dfrac{160}{220} \approx 0{,}727\ A$.
• التيار الاسمي للثانوي: $I_{2N} = \dfrac{160}{24} \approx 6{,}67\ A$.
• هل يغذّي حمولة تمتص 6 A بمعامل استطاعة 0,6؟ $6\ A < 6{,}67\ A$، فنعم. استطاعتها الظاهرية $24 \times 6 = 144\ VA$ أقل من 160 VA، لكن استطاعتها الفعلية لا تتجاوز $144 \times 0{,}6 = 86{,}4\ W$.
• هل يغذّي سخانًا مقاوميًا 24 V – 200 W؟ تياره $\dfrac{200}{24} \approx 8{,}33\ A > 6{,}67\ A$، فلا: المحول يكون في حمولة زائدة.

اختيار محول لدارة تحكم

تتغذى دارة التحكم في نظام آلي تحت 24 V، وفيها: معقب كهربائي يمتص 1,2 A، وكهروصمامان يمتص كل منهما 0,6 A، ووشيعة ملامس تمتص 0,5 A في حالة المسك.

• التيار الكلي الأعظمي: نجمع التيارات جمعًا حسابيًا، وهذا تقدير بالزيادة يضعنا في جهة الأمان: $1{,}2 + 2 \times 0{,}6 + 0{,}5 = 2{,}9\ A$.
• الاستطاعة الظاهرية اللازمة: $24 \times 2{,}9 = 69{,}6\ VA$.
• الاختيار: من السلسلة المعيارية للصانع (40، 63، 100، 160، 250، 400 VA) نأخذ أول قيمة لا تقل عن 69,6 VA، وهي 100 VA. محول 63 VA لا يكفي لأن $I_{2N} = \dfrac{63}{24} \approx 2{,}63\ A < 2{,}9\ A$.

> في الواقع تمتص وشيعة الملامس عند الجذب تيارًا أكبر من تيار المسك لمدة قصيرة، والصانعون يأخذونه في الحساب. في البكالوريا تُعطى التيارات اللازمة دائمًا في نص الموضوع.

> ملاحظة للامتحان: سؤال «فسّر المعلومات المسجلة على لوحة الاستعلامات» يُجاب عنه بذكر كل مقدار باسمه ورمزه وقيمته: $U_{1N} = 220\ V$ التوتر الاسمي للأولي، $U_{2N} = 24\ V$ التوتر الاسمي للثانوي، $S_N = 160\ VA$ الاستطاعة الظاهرية الاسمية، $f = 50\ Hz$ التواتر. ثم يأتي غالبًا سؤال حساب $I_{1N}$ و$I_{2N}$.

> أخطاء شائعة: قسمة $S_N$ على $U_{1N}$ لحساب $I_{2N}$، وكتابة الاستطاعة الاسمية بالواط، وحساب m بالتوتر الاسمي للثانوي بدل التوتر في الفراغ.

4. الاختبار في الفراغ

لماذا نختبر المحول؟

لا يمكن في المخبر تحميل كل محول بحمولته الاسمية لقياس ضياعاته: ذلك يحتاج حمولات كبيرة ويبدّد طاقة كثيرة، خاصة في المحولات الكبيرة. لذلك نجري اختبارين بسيطين لا يستهلكان إلا استطاعة صغيرة:

| الاختبار | بالفرنسية | ما نستنتجه منه | |---|---|---| | الاختبار في الفراغ | essai à vide | نسبة التحويل m، والضياعات في الحديد $P_{fer}$ | | الاختبار في الدارة القصيرة | essai en court-circuit | الضياعات بمفعول جول $P_J$، وعناصر النموذج $R_s$ و$X_s$ و$Z_s$ |

وتسميه بعض المواضيع «التجربة في الفراغ» و«التجربة في القصر».

دارة الاختبار في الفراغ


يبيّن الشكل الدارة: الأولي يُغذّى من الشبكة مباشرة تحت توتره الاسمي، وفي الخط أمبيرمتر A ثم واطمتر W، وفولطمتر V بين طرفي الأولي، وفي الثانوي فولطمتر وحده، فالثانوي مفتوح ($I_2 = 0$).

| الجهاز | موضعه | ما يقيسه | |---|---|---| | فولطمتر الأولي | على التفرع مع الأولي | $U_1 = U_{1N}$ (للتحقق من التغذية) | | أمبيرمتر الأولي | على التسلسل في الخط | تيار الفراغ $I_{10}$ | | واطمتر | دارة التيار على التسلسل، ودارة التوتر على التفرع | الاستطاعة الممتصة في الفراغ $P_{10}$ | | فولطمتر الثانوي | بين طرفي الثانوي | التوتر في الفراغ $U_{20}$ |

كل الأجهزة من النوع الذي يقيس القيم الفعالة في المتناوب. والفولطمتر ذو مقاومة كبيرة جدًّا، فلا يمرّ فيه عمليًا أي تيار، ويبقى الثانوي في الفراغ.

شروط الاختبار

• الأولي تحت توتره الاسمي $U_1 = U_{1N}$ وبتواتره الاسمي، لكي يكون الحقل في النواة هو نفسه أثناء التشغيل العادي.
• الثانوي مفتوح: لا حمولة، والفولطمتر وحده بين طرفيه.

استغلال النتائج

1. نسبة التحويل

$m = \dfrac{U_{20}}{U_{1N}}$

وإذا عرفنا عدد لفات أحد الملفين استنتجنا الآخر: $N_2 = m\,N_1$.

2. الضياعات في الحديد

الاستطاعة الممتصة في الفراغ تتوزع على ضياع في الحديد وضياع جول صغير في الأولي:

$P_{10} = P_{fer} + R_1 I_{10}^2$

تيار الفراغ $I_{10}$ صغير (بضعة في المئة من $I_{1N}$ في المحولات الكبيرة، و10 إلى 20 % في المحولات الصغيرة)، ومقاومة الأولي صغيرة، فيكون $R_1 I_{10}^2$ مهملًا أمام $P_{fer}$:

$P_{10} \approx P_{fer}$

> لماذا تبقى $P_{fer}$ المقاسة في الفراغ صالحة أثناء التشغيل؟ الضياعات في الحديد يحددها الحقل الأعظمي $\hat{B}$ والتواتر، و$\hat{B}$ يفرضه $U_1$ (علاقة بوشرو). أثناء التشغيل يبقى الأولي تحت $U_{1N}$ نفسه، فتبقى $P_{fer}$ نفسها مهما كانت الحمولة. لذلك تسمى ضياعات ثابتة.

ولهذا يجب أن يُجرى الاختبار تحت $U_{1N}$ بالضبط. إذا أُجري تحت توتر آخر $U_1'$ فإن ضياعات الحديد تتغير تقريبًا مع مربع التوتر: $P_{fer} \approx P_{10}' \left(\dfrac{U_{1N}}{U_1'}\right)^2$.

3. معامل الاستطاعة في الفراغ

$\cos\varphi_{10} = \dfrac{P_{10}}{U_1\,I_{10}}$

قيمته صغيرة (0,1 إلى 0,4 عادة): تيار الفراغ في معظمه تيار تمغنط ارتكاسي يُنشئ التدفق، وجزؤه الفعلي الصغير يغطي ضياعات الحديد. ومنه الاستطاعة الارتكاسية في الفراغ $Q_{10} = U_1 I_{10}\sin\varphi_{10}$.

مثال محلول

محول Tr1: «220 V / 24 V – 160 VA – 50 Hz»، عدد لفات أولّيه $N_1 = 550$، ومقاومة أولّيه $R_1 = 10\ \Omega$. نتائج الاختبار في الفراغ:

| $U_1$ | $I_{10}$ | $P_{10}$ | $U_{20}$ | |---|---|---|---| | 220 V | 0,1 A | 6 W | 26,4 V |

• نسبة التحويل: $m = \dfrac{26{,}4}{220} = 0{,}12$.
• عدد لفات الثانوي: $N_2 = 0{,}12 \times 550 = 66$ لفة.
• ضياع جول في الأولي أثناء الاختبار: $R_1 I_{10}^2 = 10 \times 0{,}1^2 = 0{,}1\ W$، أي نحو 1,7 % من $P_{10}$: مهمل.
• الضياعات في الحديد: $P_{fer} \approx P_{10} = 6\ W$.
• معامل الاستطاعة في الفراغ: $\cos\varphi_{10} = \dfrac{6}{220 \times 0{,}1} = \dfrac{6}{22} \approx 0{,}27$، أي $\varphi_{10} \approx 74°$.
• الاستطاعة الارتكاسية: $Q_{10} = 22 \times \sin 74° \approx 21{,}2\ var$: الجزء الارتكاسي هو الغالب.
• مقارنة بالتيار الاسمي: $I_{1N} = \dfrac{160}{220} \approx 0{,}727\ A$، فيكون $\dfrac{I_{10}}{I_{1N}} \approx 14\ \%$، وهي قيمة معتادة في محول صغير.

> ملاحظة للامتحان: تكتب مواضيع البكالوريا غالبًا $P_{10} = P_{fer}$ بعلامة المساواة. اكتبها كما في الموضوع، لكن إذا سُئلت «علّل» فاذكر أن ضياع جول في الأولي مهمل لأن $I_{10}$ صغير.

> أخطاء شائعة: حساب m بالتوتر الاسمي 24 V بدل $U_{20}$؛ الظن أن $P_{10}$ استطاعة تصل إلى الحمولة (لا حمولة في الفراغ أصلًا)؛ وضع الأمبيرمتر على التفرع أو الفولطمتر على التسلسل؛ إجراء الاختبار تحت توتر غير التوتر الاسمي ثم أخذ $P_{10}$ كما هي.

5. الاختبار في الدارة القصيرة

الهدف

نريد أن نعرف كم يضيّع المحول بمفعول جول في ملفيه حين يعطي تياره الاسمي، دون أن نحمّله بحمولة حقيقية. الفكرة: نقصر الثانوي بأمبيرمتر (مقاومته شبه معدومة)، ونغذّي الأولي بتوتر منخفض جدًّا نرفعه تدريجيًا حتى يصل تيار الثانوي إلى قيمته الاسمية.

دارة الاختبار في الدارة القصيرة


يبيّن الشكل الدارة: الشبكة 220 V تغذّي محولًا ذاتيًا متغيرًا (autotransformateur variable) يسمح بضبط التوتر انطلاقًا من الصفر، ثم واطمتر وأمبيرمتر في خط الأولي، وفولطمتر بين طرفي الأولي، والثانوي مقصور بأمبيرمتر وحده، فيكون توتره معدومًا.

| الجهاز | ما يقيسه | |---|---| | فولطمتر الأولي | توتر الدارة القصيرة $U_{1cc}$ | | أمبيرمتر الأولي | $I_{1cc}$ | | واطمتر | الاستطاعة الممتصة $P_{1cc}$ | | أمبيرمتر الثانوي | $I_{2cc}$ |

طريقة إجراء الاختبار

• نضع المحول الذاتي على الصفر قبل وصل التغذية.
• نرفع التوتر ببطء ونحن نراقب أمبيرمتر الثانوي.
• نتوقف حين يصبح $I_{2cc} = I_{2N}$، ثم نقرأ كل الأجهزة.

> تحذير: لا يُقصر ثانوي محول أولّيه تحت توتره الاسمي أبدًا. التيار حينئذ يبلغ 10 إلى 20 مرة التيار الاسمي فيحترق الملفان. لهذا لا يتجاوز $U_{1cc}$ بضعة في المئة من $U_{1N}$.

توتر الدارة القصيرة النسبي

نسمي توتر الدارة القصيرة النسبي النسبة:

$u_{cc} = \dfrac{U_{1cc}}{U_{1N}} \times 100$

قيمته بضعة في المئة: نحو 3 إلى 12 % في محولات التحكم الصغيرة، وتنقص كلما كبرت استطاعة المحول، ويكتبه الصانعون في كتالوجاتهم تحت اسم «Ucc %».

استغلال النتائج

1. الضياعات بمفعول جول

الاستطاعة الممتصة في الدارة القصيرة تتوزع على ضياع جول في الملفين وضياع في الحديد:

$P_{1cc} = P_J + P_{fer,cc}$

لكن التوتر $U_{1cc}$ صغير جدًّا، فيكون الحقل في النواة صغيرًا جدًّا (علاقة بوشرو)، وضياعات الحديد التي تتغير تقريبًا مع مربع التوتر تصبح مهملة. إذن:

$P_{1cc} \approx P_J = R_1 I_{1cc}^2 + R_2 I_{2cc}^2$

وبما أن $I_{2cc} = I_{2N}$ فإن $P_{1cc}$ هي الضياعات بمفعول جول عند التيار الاسمي.

2. الضياعات بمفعول جول عند تيار آخر

ضياع جول يتناسب مع مربع التيار. إذا أعطى المحول تيارًا $I_2$ غير التيار الاسمي:

$P_J = P_{1cc}\left(\dfrac{I_2}{I_{2cc}}\right)^2$

وتصلح العلاقة نفسها في الاتجاه المعاكس: إذا أُجري الاختبار عند تيار $I_{2cc}$ أصغر من $I_{2N}$ استنتجنا ضياع جول الاسمي بضرب $P_{1cc}$ في $\left(\dfrac{I_{2N}}{I_{2cc}}\right)^2$.

3. نسبة التحويل بالتيارين

التدفق صغير جدًّا، فتيار التمغنط مهمل، ويتحقق توازن الأمبير-لفات تقريبًا: $\dfrac{I_{1cc}}{I_{2cc}} \approx m$. هذه طريقة ثانية للتحقق من قيمة m المحسوبة في الفراغ.

> الضياعات في الحديد ثابتة، وضياعات جول متغيرة: الأولى يفرضها التوتر $U_1$ الثابت، والثانية يفرضها تيار الحمولة. الاختبار في الفراغ يقيس الأولى، والاختبار في الدارة القصيرة يقيس الثانية عند التيار الاسمي.

مثال محلول

نكمل دراسة المحول Tr1 (220 V / 24 V – 160 VA، $m = 0{,}12$، $P_{fer} = 6\ W$). نتائج الاختبار في الدارة القصيرة:

| $U_{1cc}$ | $I_{1cc}$ | $P_{1cc}$ | $I_{2cc}$ | |---|---|---|---| | 18 V | 0,8 A | 12 W | 6,67 A |

• هل أُجري الاختبار عند التيار الاسمي؟ $I_{2N} = \dfrac{160}{24} \approx 6{,}67\ A = I_{2cc}$: نعم.
• التوتر النسبي: $u_{cc} = \dfrac{18}{220} \times 100 \approx 8{,}2\ \%$.
• ضياعات الحديد أثناء الاختبار: $6 \times \left(\dfrac{18}{220}\right)^2 \approx 0{,}04\ W$، وهي مهملة أمام 12 W.
• الضياعات بمفعول جول الاسمية: $P_J \approx P_{1cc} = 12\ W$.
• تحقق من m: $\dfrac{I_{1cc}}{I_{2cc}} = \dfrac{0{,}8}{6{,}67} \approx 0{,}12$، وهي القيمة نفسها المحسوبة في الفراغ.
• ضياع جول عند $I_2 = 5\ A$: $P_J = 12 \times \left(\dfrac{5}{6{,}67}\right)^2 = 12 \times 0{,}5625 = 6{,}75\ W$.
• ماذا لو قُصر الثانوي تحت 220 V؟ التيار يتناسب مع التوتر المطبق، فيكون $I_2 = 6{,}67 \times \dfrac{220}{18} \approx 81{,}5\ A$، أي أكثر من 12 مرة التيار الاسمي، ويُضرب ضياع جول في $\left(\dfrac{220}{18}\right)^2 \approx 149$ فيبلغ نحو $1\,800$ W: يحترق المحول في ثوانٍ.

> ملاحظة للامتحان: حين يقول الموضوع «$I_{2cc} = I_{2N}$» احسب $I_{2N} = \dfrac{S_N}{U_{2N}}$ أولًا، فهو مطلوب في كل الحسابات اللاحقة. وحين يسأل «أيّ الدارتين تسمح بقياس ضياعات جول؟» فالجواب هي الدارة ذات الثانوي المقصور بأمبيرمتر والأولي تحت توتر منخفض.

> أخطاء شائعة: رفع التوتر حتى يصبح $I_{1cc} = I_{2N}$ (الصحيح: تيار الثانوي هو الذي يساوي $I_{2N}$)؛ الظن أن $P_{1cc}$ تحتوي ضياعات الحديد الاسمية؛ نسيان المحول الذاتي ووصل الأولي بالشبكة مباشرة.

6. النموذج المكافئ المرجع إلى الثانوي

من المحول الحقيقي إلى نموذج بسيط

المحول الحقيقي يختلف عن المثالي في ثلاثة أمور:

• مقاومتا الملفين $R_1$ و$R_2$: تسببان ضياع جول وهبوطًا في التوتر.
• تسرّب التدفق (fuites magnétiques): جزء صغير من تدفق كل ملف لا يخترق الملف الآخر، فيسلك كل ملف كأن فيه وشيعة صغيرة على التسلسل، مفاعلتها $X_1$ في الأولي و$X_2$ في الثانوي.
• الدارة المغناطيسية: تحتاج تيار تمغنط وتسبب ضياعات الحديد.

حين يعمل المحول قريبًا من حمولته الاسمية يكون تيار الفراغ صغيرًا أمام تيار الأولي، فنهمله ونكتب $I_1 \approx m\,I_2$. بهذا التقريب (فرضية كاب، Kapp) يمكن أن «نرى» المحول كله من جهة الحمولة كمنبع بسيط.

النموذج المكافئ من جهة الثانوي


يبيّن الشكل النموذج: محول مثالي نسبته m يعطي في ثانويه التوتر $U_{20} = m\,U_1$، يليه على التسلسل مفاعلة $X_s$ ومقاومة $R_s$، ثم طرفا الثانوي اللذان تُوصل بهما الحمولة Z. ما بداخل الإطار المتقطع هو ما «تراه» الحمولة: منبع توتره في الفراغ $U_{20}$ وممانعته الداخلية المكوّنة من $R_s$ و$X_s$.

| العنصر | اسمه | ما يمثله | |---|---|---| | $U_{20} = m\,U_1$ | التوتر في الفراغ | توتر الثانوي حين $I_2 = 0$ | | $R_s$ | المقاومة المرجعة إلى الثانوي | ضياعات جول في الملفين معًا | | $X_s = L_s\,\omega$ | المفاعلة (réactance) المرجعة إلى الثانوي | تسرّب التدفق في الملفين معًا | | $Z_s$ | الممانعة (impédance) المرجعة إلى الثانوي | $Z_s = \sqrt{R_s^2 + X_s^2}$ |

لماذا «مرجعة»؟

رأينا في الجزء الثاني أن الممانعة الموجودة في الأولي تُرى من الثانوي مضروبة في $m^2$. لذلك نجمع عناصر الملفين في عنصر واحد من جهة الثانوي:

$R_s = R_2 + m^2 R_1$

$X_s = X_2 + m^2 X_1$

معادلة التوترات

حين تمرّ في الحمولة شدة $I_2$ يسقط جزء من $U_{20}$ في $R_s$ وجزء في $X_s$. وبما أن التوتر بين طرفي $X_s$ متقدم بـ $90°$ على التيار، لا تُجمع التوترات جمعًا عدديًا بل شعاعيًا (تمثيل فرينل):

$\vec{U}_{20} = \vec{U}_2 + \overrightarrow{R_s I_2} + \overrightarrow{X_s I_2}$

حيث الشعاع $\overrightarrow{R_s I_2}$ (طويلته $R_s I_2$) على حامل $\vec{I}_2$ وفي جهته، والشعاع $\overrightarrow{X_s I_2}$ (طويلته $X_s I_2$) متقدم على $\vec{I}_2$ بـ $90°$. سنستغل هذه المعادلة في الدرس الموالي لحساب الهبوط في التوتر وتوتر الثانوي تحت الحمولة.

تعيين العناصر بالاختبارين

المقاومة $R_s$

في الدارة القصيرة كل الاستطاعة الممتصة هي ضياع جول في الملفين، وفي النموذج يمثلهما $R_s$ وحده يمرّ فيه $I_{2cc}$:

$R_s = \dfrac{P_{1cc}}{I_{2cc}^2}$

الممانعة $Z_s$

في الدارة القصيرة $U_2 = 0$، فكل التوتر $m\,U_{1cc}$ الذي يعطيه المحول المثالي يقع على $Z_s$: $m\,U_{1cc} = Z_s\,I_{2cc}$. ومنه:

$Z_s = \dfrac{m\,U_{1cc}}{I_{2cc}}$

المفاعلة $X_s$

العناصر الثلاثة أضلاع مثلث قائم:


يبيّن الشكل أن $R_s$ و$X_s$ ضلعا الزاوية القائمة و$Z_s$ الوتر، والزاوية $\varphi_{cc}$ هي فرق الطور بين التوتر والتيار في الدارة القصيرة، و$\cos\varphi_{cc} = \dfrac{R_s}{Z_s}$. ومن نظرية فيثاغورس:

$X_s = \sqrt{Z_s^2 - R_s^2}$

ومنه الذاتية المرجعة إلى الثانوي $L_s = \dfrac{X_s}{\omega} = \dfrac{X_s}{2\pi f}$.

طريقة ثانية لـ $R_s$: القياس في التيار المستمر


يبيّن الشكل قياس مقاومة ملف بمنبع توتر مستمر منخفض ومقاومة متغيرة Rh لتحديد التيار، وأمبيرمتر على التسلسل، وفولطمتر بين طرفي الملف، والملف الآخر مفتوح، فتكون المقاومة حاصل قسمة قراءة الفولطمتر على قراءة الأمبيرمتر. نقيس كذلك الأولي ثم الثانوي، ثم نحسب $R_s = R_2 + m^2 R_1$.

نجري هذا القياس في المستمر لأن الملف في المتناوب يقاوم التيار بمفاعلته أيضًا، فيعطي الحاصل $\dfrac{U}{I}$ ممانعة لا مقاومة. وفي المستمر لا يحرّض شيء في الملف الآخر.

مثال محلول: نموذج المحول Tr1

نجمع نتائج المحول Tr1 (220 V / 24 V – 160 VA): من الفراغ $m = 0{,}12$ و$U_{20} = 26{,}4\ V$؛ ومن الدارة القصيرة $U_{1cc} = 18\ V$ و$P_{1cc} = 12\ W$ و$I_{2cc} = I_{2N} = 6{,}67\ A$.

• المقاومة:

$R_s = \dfrac{12}{6{,}67^2} = 0{,}27\ \Omega$

• الممانعة:

$Z_s = \dfrac{0{,}12 \times 18}{6{,}67} \approx 0{,}324\ \Omega$

• المفاعلة:

$X_s = \sqrt{0{,}324^2 - 0{,}27^2} \approx 0{,}179\ \Omega$

• الذاتية: $L_s = \dfrac{0{,}179}{2\pi \times 50} \approx 0{,}57\ mH$، و$\cos\varphi_{cc} = \dfrac{0{,}27}{0{,}324} \approx 0{,}83$.
• النموذج: منبع $U_{20} = 26{,}4\ V$ على التسلسل مع $X_s \approx 0{,}18\ \Omega$ و$R_s = 0{,}27\ \Omega$.

تحقق بالقياس في المستمر. قيس على الأولي 5 V و0,5 A، وعلى الثانوي 0,63 V و5 A:

• $R_1 = \dfrac{5}{0{,}5} = 10\ \Omega$، و$R_2 = \dfrac{0{,}63}{5} = 0{,}126\ \Omega$.
• $R_s = 0{,}126 + 0{,}12^2 \times 10 = 0{,}126 + 0{,}144 = 0{,}27\ \Omega$، وهي القيمة نفسها التي أعطاها الاختبار في الدارة القصيرة.

تحقق من جهة الأولي. العناصر المرجعة إلى الأولي هي عناصر الثانوي مقسومة على $m^2$: $\dfrac{Z_s}{m^2} = \dfrac{0{,}324}{0{,}0144} = 22{,}5\ \Omega$، وهي فعلًا $\dfrac{U_{1cc}}{I_{1cc}} = \dfrac{18}{0{,}8} = 22{,}5\ \Omega$.

> ملاحظة للامتحان: الترتيب المعتاد للأسئلة هو: m من الفراغ، ثم $I_{2N}$ من اللوحة، ثم $R_s$ ثم $Z_s$ ثم $X_s$ من الدارة القصيرة. اكتب كل علاقة بالحروف قبل التعويض، فهي تأخذ جزءًا من النقطة.

> أخطاء شائعة: > - حساب $Z_s = \dfrac{U_{1cc}}{I_{2cc}}$ ونسيان m (النتيجة أكبر بنحو عشر مرات). > - حساب $R_s = \dfrac{P_{1cc}}{I_{1cc}^2}$: هذه هي المقاومة المرجعة إلى الأولي. > - كتابة $X_s = Z_s - R_s$: المقادير الثلاثة أضلاع مثلث قائم، لا تُطرح جبريًا. > - كتابة $R_s = R_1 + R_2$ دون الضرب في $m^2$.

7. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: محطة آلية لتعبئة أكياس الحبوب

تقديم النظام

محطة آلية تملأ أكياسًا بالحبوب: يضع العامل كيسًا فارغًا، فيفتح الدافعة C1 بوابة الخزان حتى يبلغ الوزن 25 kg، ثم تغلقها، وتدفع الدافعة C2 الكيس نحو بساط الإخلاء. جزء التحكم معقب كهربائي، والدافعتان تتحكم فيهما موزعات كهربائية 5/2، والبساط يديره محرك عبر الملامس KM1.

مقتطف من دفتر الشروط: تتغذى دارة التحكم (المعقب، ووشائع الموزعات، ووشيعة KM1) تحت 24 V بالمحول Tr1، حفاظًا على أمن العامل.

مقتطف من جدول الاختيارات التكنولوجية: Tr1: محول أحادي الطور 220 V / 24 V – 100 VA – 50 Hz، عدد لفات أولّيه $N_1 = 1000$.

المعطيات

أُجري على Tr1 اختباران:

| الدارة | تركيبها | القياسات | |---|---|---| | (أ) | الأولي تحت 220 V مباشرة، والثانوي لا يُوصل به إلا فولطمتر | $U_1 = 220\ V$، $I_{10} = 0{,}07\ A$، $P_{10} = 4{,}5\ W$، $U_{20} = 25{,}3\ V$ | | (ب) | الأولي عبر محول ذاتي متغير، والثانوي مقصور بأمبيرمتر | $U_{1cc} = 16{,}3\ V$، $P_{1cc} = 6{,}25\ W$، $I_{2cc} = I_{2N}$ |

الأسئلة

• فسّر المعلومات المسجلة على لوحة Tr1، ثم احسب $I_{1N}$ و$I_{2N}$.
• سمِّ الاختبار المنجز بكل دارة. ماذا يقيس الواطمتر في كل منهما؟ لماذا يجب أن يكون توتر الأولي منخفضًا في الدارة (ب)؟
• احسب نسبة التحويل m وعدد لفات الثانوي $N_2$، ثم $P_{fer}$ و$\cos\varphi_{10}$.
• احسب $R_s$ و$Z_s$ و$X_s$ وتوتر الدارة القصيرة النسبي.
• ارسم النموذج المكافئ المرجع إلى الثانوي وسجّل عليه القيم.
• تمتص دارة التحكم في أسوأ الحالات: المعقب 1,2 A، وثلاث وشائع موزعات 0,5 A لكل منها، ووشيعة KM1 0,4 A. هل Tr1 مناسب؟ احسب ضياعات جول عند هذا التيار.

الحل

• $U_{1N} = 220\ V$ التوتر الاسمي للأولي، و$U_{2N} = 24\ V$ التوتر الاسمي للثانوي، و$S_N = 100\ VA$ الاستطاعة الظاهرية الاسمية، و$f = 50\ Hz$ التواتر. ثم $I_{1N} = \dfrac{100}{220} \approx 0{,}455\ A$ و$I_{2N} = \dfrac{100}{24} \approx 4{,}17\ A$.
• الدارة (أ): الاختبار في الفراغ، وواطمترها يقيس الضياعات في الحديد. الدارة (ب): الاختبار في الدارة القصيرة، وواطمترها يقيس الضياعات بمفعول جول عند التيار الاسمي. الثانوي في (ب) مقصور، فلو طُبق 220 V لبلغ التيار أكثر من عشر مرات قيمته الاسمية واحترق المحول؛ لذلك نرفع التوتر من الصفر حتى $I_{2cc} = I_{2N}$.
• $m = \dfrac{25{,}3}{220} = 0{,}115$، و$N_2 = 0{,}115 \times 1000 = 115$ لفة. $P_{fer} \approx P_{10} = 4{,}5\ W$. و$\cos\varphi_{10} = \dfrac{4{,}5}{220 \times 0{,}07} = \dfrac{4{,}5}{15{,}4} \approx 0{,}29$.
• العناصر:

$R_s = \dfrac{6{,}25}{4{,}17^2} \approx 0{,}36\ \Omega$

$Z_s = \dfrac{0{,}115 \times 16{,}3}{4{,}17} \approx 0{,}45\ \Omega$

$X_s = \sqrt{0{,}45^2 - 0{,}36^2} = 0{,}27\ \Omega$

وتوتر الدارة القصيرة النسبي $u_{cc} = \dfrac{16{,}3}{220} \times 100 \approx 7{,}4\ \%$.

• النموذج كما في شكل الجزء السادس: منبع $U_{20} = 25{,}3\ V$، على التسلسل مع $X_s = 0{,}27\ \Omega$ و$R_s = 0{,}36\ \Omega$، ثم طرفا الحمولة.
• التيار الأعظمي $1{,}2 + 3 \times 0{,}5 + 0{,}4 = 3{,}1\ A$، وهو أصغر من $I_{2N} = 4{,}17\ A$، فالمحول مناسب. ضياعات جول عنده: $P_J = R_s I_2^2 = 0{,}36 \times 3{,}1^2 \approx 3{,}46\ W$، وهي نفسها $6{,}25 \times \left(\dfrac{3{,}1}{4{,}17}\right)^2$.

التمرين 2: تغذية البطاقة الإلكترونية لباب مرأب آلي

تقديم

بطاقة التحكم الإلكترونية لباب مرأب آلي (ساعة بالدارة NE555، وعداد، ومنطق تحكم) تتغذى بالمحول Tr2 ثم بمقوّم ومنظّم توتر. لوحة Tr2: «220 V / 12 V – 60 VA – 50 Hz».

المعطيات

• الاختبار في الفراغ تحت 220 V: $U_{20} = 13{,}2\ V$.
• القياس في المستمر: على الأولي 6 V و0,25 A، وعلى الثانوي 0,4 V و5 A.
• الاختبار في الدارة القصيرة: $U_{1cc} = 18\ V$ عند $I_{2cc} = I_{2N}$.

الأسئلة

• احسب $I_{2N}$ ونسبة التحويل m.
• احسب $R_1$ و$R_2$ ثم $R_s$. ما القيمة التي يُتوقع أن يقرأها الواطمتر في الاختبار في الدارة القصيرة؟
• احسب $Z_s$ و$X_s$.
• في دفتر الصيانة كُتب: «$N_1 = 600$ لفة و$N_2 = 25$ لفة». هل هذا متوافق مع الاختبار في الفراغ؟ صحّح إن لزم.
• قدّر تيار الثانوي لو قُصر خطأً والأولي تحت 220 V، وقارنه بـ $I_{2N}$.

الحل

• $I_{2N} = \dfrac{60}{12} = 5\ A$، و$m = \dfrac{13{,}2}{220} = 0{,}06$.
• $R_1 = \dfrac{6}{0{,}25} = 24\ \Omega$، و$R_2 = \dfrac{0{,}4}{5} = 0{,}08\ \Omega$، ثم:

$R_s = 0{,}08 + 0{,}06^2 \times 24 \approx 0{,}166\ \Omega$

أي $0{,}08 + 0{,}0864 = 0{,}1664\ \Omega$. يُتوقع أن يقرأ الواطمتر $P_{1cc} \approx R_s I_{2N}^2 = 0{,}1664 \times 25 \approx 4{,}16\ W$ (ضياعات الحديد مهملة في الدارة القصيرة).

• العنصران:

$Z_s = \dfrac{0{,}06 \times 18}{5} = 0{,}216\ \Omega$

$X_s = \sqrt{0{,}216^2 - 0{,}1664^2} \approx 0{,}138\ \Omega$

• بهذه اللفات تكون $\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{25}{600} \approx 0{,}0417$، فيعطي المحول في الفراغ $0{,}0417 \times 220 \approx 9{,}2\ V$ لا 13,2 V: المعطيات غير متوافقة. مع $N_1 = 600$ يجب أن يكون $N_2 = 0{,}06 \times 600 = 36$ لفة. هذا النوع من التحقق ضروري: إذا تناقضت معطيات موضوع فاعتمد القياس واذكر التناقض.
• في الدارة القصيرة يمرّ التيار في $Z_s$ وحدها تحت التوتر $U_{20}$: $I_2 = \dfrac{U_{20}}{Z_s} = \dfrac{13{,}2}{0{,}216} \approx 61\ A$، أي نحو 12 مرة $I_{2N}$. ونجد النتيجة نفسها بـ $u_{cc} = \dfrac{18}{220} \approx 8{,}2\ \%$: $\dfrac{5}{0{,}082} \approx 61\ A$.

التمرين 3: محول خلاط الطلاء، من النواة إلى النموذج

المعطيات

خلاط طلاء آلي يتغذى جزء تحكمه بمحول 220 V / 24 V – 250 VA – 50 Hz، عدد لفات أولّيه $N_1 = 550$، ومقطع نواته $S = 16\ cm^2$، ولا يجوز أن يتجاوز الحقل الأعظمي فيه 1,2 T. أُرسل إلى المخبر فعاد بسجلين لم يُكتب عليهما اسم الاختبار:

| السجل | توتر الأولي | تيار الأولي | الواطمتر | الثانوي | |---|---|---|---|---| | A | 220 V | 0,15 A | 10 W | فولطمتر: 26,4 V | | B | 15,4 V | 1,25 A | 15 W | أمبيرمتر: 10,42 A |

الأسئلة

• تحقق أن الحقل الأعظمي لا يتجاوز 1,2 T.
• أيّ السجلين يخص الاختبار في الفراغ؟ علّل بقيمتين على الأقل.
• احسب m و$N_2$، وتحقق من m بتياري السجل B.
• استنتج $P_{fer}$ و$\cos\varphi_{10}$ و$P_J$ الاسمية.
• احسب $R_s$ و$Z_s$ و$X_s$.
• احسب ضياعات جول حين يعطي المحول $I_2 = 8\ A$.

الحل

• من علاقة بوشرو:

$\hat{B} = \dfrac{220}{4{,}44 \times 550 \times 50 \times 0{,}0016}$

المقام $195{,}36$، فيكون $\hat{B} \approx 1{,}13\ T < 1{,}2\ T$.

• السجل A هو الاختبار في الفراغ: الأولي تحت توتره الاسمي 220 V، والثانوي لا يحمل إلا فولطمترًا (توتره 26,4 V أكبر من 24 V لأنه في الفراغ)، وتيار الأولي صغير جدًّا. السجل B هو الاختبار في الدارة القصيرة: توتر منخفض (7 % من 220 V)، والثانوي مقصور بأمبيرمتر يقرأ $I_{2N} = \dfrac{250}{24} \approx 10{,}42\ A$.
• $m = \dfrac{26{,}4}{220} = 0{,}12$، و$N_2 = 0{,}12 \times 550 = 66$ لفة. تحقق: $\dfrac{I_{1cc}}{I_{2cc}} = \dfrac{1{,}25}{10{,}42} \approx 0{,}12$.
• $P_{fer} \approx 10\ W$، و$\cos\varphi_{10} = \dfrac{10}{220 \times 0{,}15} \approx 0{,}30$، و$P_J \approx P_{1cc} = 15\ W$ عند التيار الاسمي.
• العناصر:

$R_s = \dfrac{15}{10{,}42^2} \approx 0{,}138\ \Omega$

$Z_s = \dfrac{0{,}12 \times 15{,}4}{10{,}42} \approx 0{,}177\ \Omega$

$X_s = \sqrt{0{,}177^2 - 0{,}138^2} \approx 0{,}111\ \Omega$

• $P_J = 15 \times \left(\dfrac{8}{10{,}42}\right)^2 \approx 8{,}84\ W$، وهي نفسها $R_s I_2^2 = 0{,}138 \times 64 \approx 8{,}8\ W$.

> ملاحظة للامتحان: احتفظ بثلاثة أرقام معنوية على الأقل في النتائج الوسيطة ($R_s$ و$Z_s$) قبل حساب $X_s$: الطرح تحت الجذر يضخّم أخطاء التقريب، وقد يغيّر الرقم الثاني من النتيجة.