المحرك اللاتزامني: الاستطاعات والمزدوجات والمردود

3. المزدوجات: الكهرومغناطيسية والمفيدة ومزدوجة الضياعات

الاستطاعة والمزدوجة والسرعة

في كل جسم يدور، الاستطاعة الميكانيكية هي جداء المزدوجة (couple، وتسميها مواضيع كثيرة «العزم») في السرعة الزاوية:

$ P = T\,\Omega $

• $P$ بالواط، $T$ بالنيوتن متر ($N \cdot m$)، $\Omega$ بالراديان في الثانية ($rad/s$).
• السرعة على اللوحة بالدورة في الدقيقة، فنحوّلها دائماً: $\Omega = \dfrac{2\pi\,n}{60}$.

مثال. $n = 1440\ tr/min$ تعطي $\Omega = \dfrac{2\pi \times 1440}{60} = 150{,}80\ rad/s$، و$n_s = 1500\ tr/min$ تعطي $\Omega_s = 157{,}08\ rad/s$.

> اختصار مفيد للتحقق: $T = \dfrac{P}{\Omega} = \dfrac{60\,P}{2\pi\,n} \approx 9{,}55\,\dfrac{P}{n}$ مع $P$ بالواط و$n$ بـ $tr/min$.

المزدوجات الثلاث للمحرك


يبين الشكل سلسلة المزدوجات: الحقل الدوار يؤثر على الدوار بالمزدوجة $T_{em}$، وجزء صغير منها يضيع في الاحتكاك والتهوية ($T_p$)، فيبقى على المحور $T_u$، ثم يحوّل مخفض السرعة المزدوجة والسرعة قبل الحمولة.

1. المزدوجة الكهرومغناطيسية (couple électromagnétique)

هي المزدوجة التي يؤثر بها الحقل الدوار على الدوار:

$ T_{em} = \frac{P_{tr}}{\Omega_s} $

ويمكن حسابها أيضاً من الاستطاعة الميكانيكية الكلية والسرعة الحقيقية للدوار:

$ T_{em} = \frac{P_m}{\Omega} $

البرهان: $P_m = (1 - g)\,P_{tr}$ و$\Omega = (1 - g)\,\Omega_s$، فـ $\dfrac{P_m}{\Omega} = \dfrac{(1-g)\,P_{tr}}{(1-g)\,\Omega_s} = \dfrac{P_{tr}}{\Omega_s}$. المزدوجة واحدة، والاستطاعة تختلف لأن السرعة تختلف.

2. المزدوجة المفيدة (couple utile)

هي المزدوجة المتاحة على محور المحرك لجرّ الحمولة:

$ T_u = \frac{P_u}{\Omega} $

انتبه: نقسم $P_u$ على سرعة الدوار $\Omega$، لأن المحور يدور بالسرعة $n$ لا بالسرعة $n_s$.

3. مزدوجة الضياعات (couple de pertes)

الضياعات الميكانيكية تكافئ مزدوجة مقاومة داخلية:

$ T_p = \frac{P_{mec}}{\Omega} $

ومنه العلاقة بين المزدوجات الثلاث (نقسم $P_m - P_{mec} = P_u$ على $\Omega$):

$ T_u = T_{em} - T_p $

لذلك $T_u$ أصغر بقليل من $T_{em}$. وإذا أهمل الموضوع الضياعات الميكانيكية فإن $T_u = T_{em}$.

| المزدوجة | العلاقة | السرعة المستعملة | |---|---|---| | الكهرومغناطيسية $T_{em}$ | $\frac{P_{tr}}{\Omega_s}$ أو $\frac{P_m}{\Omega}$ | $\Omega_s$ مع $P_{tr}$، $\Omega$ مع $P_m$ | | المفيدة $T_u$ | $\frac{P_u}{\Omega}$ | $\Omega$ | | الضياعات $T_p$ | $\frac{P_{mec}}{\Omega}$ | $\Omega$ |

مثال محلول 1 (المحرك M1). من الجزء السابق: $P_{tr} = 3171\ W$، $P_u = 2999\ W$، $P_{mec} = 45\ W$، $n = 1440\ tr/min$.

• $T_{em} = \dfrac{3171}{157{,}08} = 20{,}19\ N \cdot m$.
• تحقق بالطريقة الثانية: $T_{em} = \dfrac{3044}{150{,}80} = 20{,}19\ N \cdot m$.
• $T_u = \dfrac{2999}{150{,}80} = 19{,}89\ N \cdot m$.
• $T_p = \dfrac{45}{150{,}80} = 0{,}30\ N \cdot m$، و$T_{em} - T_p = 20{,}19 - 0{,}30 = 19{,}89\ N \cdot m$. تحقق تام.

النظام الدائم: المزدوجة المفيدة تساوي المزدوجة المقاومة

الحمولة تعارض الدوران بمزدوجة مقاومة $T_r$ (couple résistant). حسب المبدأ الأساسي للتحريك في الدوران:

• إذا كان $T_u > T_r$ يتسارع المحرك؛
• إذا كان $T_u < T_r$ يتباطأ؛
• في النظام الدائم (سرعة ثابتة): $T_u = T_r$.

هذه المساواة هي أساس «نقطة التشغيل» التي ندرسها في الجزء الخامس.

المحرك مع مخفض السرعة (réducteur)

أغلب الأنظمة الآلية (بساط، رافعة، خلاط) تستعمل مخفض سرعة بين المحرك والحمولة. إذا كانت نسبة التخفيض $k$ (السرعة تُقسم على $k$) ومردود المخفض $\eta_r$:

| المقدار عند مخرج المخفض | العلاقة | |---|---| | السرعة | $n_2 = \frac{n}{k}$ | | الاستطاعة | $P_2 = \eta_r\,P_u$ | | المزدوجة | $T_2 = \frac{P_2}{\Omega_2} = k\,\eta_r\,T_u$ |

المخفض يضاعف المزدوجة بقدر ما يقسم السرعة، ناقصاً ضياعاته.

مثال محلول 2. المحرك M1 ($P_u = 2999\ W$، $T_u = 19{,}89\ N \cdot m$، $n = 1440\ tr/min$) يجر أسطوانة عبر مخفض $k = 10$ مردوده $\eta_r = 0{,}92$.

• $n_2 = \dfrac{1440}{10} = 144\ tr/min$، أي $\Omega_2 = \dfrac{2\pi \times 144}{60} = 15{,}08\ rad/s$.
• $P_2 = 0{,}92 \times 2999 = 2759\ W$.
• $T_2 = 10 \times 0{,}92 \times 19{,}89 = 183{,}0\ N \cdot m$، وتحقق: $\dfrac{2759}{15{,}08} = 183{,}0\ N \cdot m$.

ملاحظة للامتحان

• اكتب قيمة $\Omega$ أو $\Omega_s$ في سطر مستقل قبل حساب أي مزدوجة؛ هذا يمنع الخلط بين السرعتين.
• إذا سأل الموضوع عن «العزم» دون تحديد فالمقصود عادة المزدوجة المفيدة $T_u$ (وتُكتب أحياناً $C_u$).

أخطاء شائعة

• قسمة الاستطاعة على $n$ بـ $tr/min$ مباشرة: $\frac{3000}{1440} = 2{,}08$ قيمة بلا معنى.
• قسمة الاستطاعة على $\frac{n}{60}$ (بالدورة في الثانية) ونسيان $2\pi$.
• حساب $T_{em}$ بـ $\frac{P_{tr}}{\Omega}$ أو $T_u$ بـ $\frac{P_u}{\Omega_s}$: خلط بين السرعتين.
• ضرب المزدوجة في $k$ عند المخفض مع نسيان مردوده $\eta_r$.

4. المردود وتحليل الضياعات

تعريف المردود (rendement)

المردود هو نسبة ما يعطيه المحرك على محوره إلى ما يأخذه من الشبكة:

$ \eta = \frac{P_u}{P_a} $

وبدلالة مجموع الضياعات $\sum P = P_{js} + P_{fs} + P_{jr} + P_{mec}$:

$ \eta = \frac{P_u}{P_u + \sum P} = 1 - \frac{\sum P}{P_a} $

• المردود بدون وحدة، أقل دائماً من 1، ويُكتب عادة بالنسبة المئوية.
• على لوحات المواصفات يُكتب $\eta$ أو «rd» أو «Rend.». القيم المألوفة للمحركات الصغيرة والمتوسطة بين $70\ \%$ و$92\ \%$، وتزيد مع الاستطاعة.

مثال محلول 1 (المحرك M1). $P_u = 2999\ W$ و$P_a = 3496\ W$:

• $\eta = \dfrac{2999}{3496} = 0{,}858$ أي $85{,}8\ \%$.
• مجموع الضياعات $\sum P = 3496 - 2999 = 497\ W$، وتحقق: $215 + 110 + 127 + 45 = 497\ W$.

توزيع الضياعات: ثابتة ومتغيرة


يعيد هذا الشكل مخطط الحصيلة بأرقام المحرك M1: من $3496\ W$ ممتصة تصل $3171\ W$ إلى الدوار، ويبقى على المحور $2999\ W$. الضياعات المتغيرة (جول في الساكن والدوار) $215 + 127 = 342\ W$، والضياعات الثابتة (الحديد والميكانيكية) $110 + 45 = 155\ W$، ومجموعها $497\ W$.

| النوع | الضياعات | تتعلق بـ | |---|---|---| | ثابتة $P_c$ | $P_{fs} + P_{mec}$ | التوتر والتواتر والسرعة (شبه ثابتة) | | متغيرة | $P_{js} + P_{jr}$ | الحمولة: $P_{js}$ يتناسب مع $I^2$، و$P_{jr} = g\,P_{tr}$ يزيد مع الحمولة |

نتيجة عملية: في الحمولة الضعيفة تبقى الضياعات الثابتة كما هي بينما تصغر $P_u$، فينخفض المردود كثيراً؛ ولهذا لا يُختار محرك أكبر بكثير من حاجة الحمولة. ويبلغ المردود عادة أكبر قيمة له قرب الحمولة الاسمية.

حد أعلى للمردود: $\eta < 1 - g$

نسمي مردود الدوار النسبة:

$ \frac{P_m}{P_{tr}} = 1 - g $

ولأن $P_u P_{tr}$ فإن:

$ \eta = \frac{P_u}{P_a} < \frac{P_m}{P_{tr}} = 1 - g $

> مردود المحرك أصغر دائماً من $1 - g$. محرك انزلاقه $5\ \%$ لا يمكن أن يتجاوز مردوده $95\ \%$. استعمل هذه القاعدة للتحقق من نتيجتك.

للمحرك M1: $1 - g = 0{,}96$ و$\eta = 0{,}858 < 0{,}96$. النتيجة مقبولة.

من المردود إلى التيار الممتص

إذا أعطت اللوحة $P_u$ و$\eta$ و$\cos\varphi$ نستطيع حساب الاستطاعة الممتصة ثم التيار، وهو المطلوب لاختيار المرحل الحراري والمنصهرات (الدرس الموالي):

$ P_a = \frac{P_u}{\eta} $

$ I = \frac{P_a}{\sqrt{3}\,U\cos\varphi} $

مثال محلول 2. محرك $5{,}5\ kW$، $\eta = 87\ \%$، $\cos\varphi = 0{,}84$، على $3 \times 380\ V$:

• $P_a = \dfrac{5500}{0{,}87} = 6322\ W$.
• $I = \dfrac{6322}{\sqrt{3} \times 380 \times 0{,}84} = \dfrac{6322}{552{,}9} = 11{,}4\ A$.

التحقق من انسجام المعطيات

بعض مواضيع التمارين المتداولة تحتوي معطيات مستحيلة. قبل أي حساب طويل تأكد من أن $P_a > P_u$، أي أن التيار أكبر من الحد الأدنى:

$ I_{min} = \frac{P_u}{\sqrt{3}\,U\cos\varphi} $

مثال محلول 3. لوحة تعطي $0{,}5\ kW$ و$0{,}5\ A$ و$\cos\varphi = 0{,}8$ على $380\ V$. نحسب $P_a = \sqrt{3} \times 380 \times 0{,}5 \times 0{,}8 = 263\ W$، وهي أقل من $P_u = 500\ W$: مردود أكبر من $100\ \%$، فالمعطيات خاطئة. الحد الأدنى للتيار هو $\frac{500}{526{,}5} = 0{,}95\ A$، ومع مردود معقول $70\ \%$ يكون $I \approx 1{,}36\ A$.

مردود سلسلة: محرك ومخفض

عندما تمر الاستطاعة عبر عدة عناصر على التسلسل، تُضرب المردودات:

$ \eta_{total} = \eta_{mot} \times \eta_r $

مثال. المحرك M1 ($\eta = 0{,}858$) مع مخفض مردوده $0{,}92$: $\eta_{total} = 0{,}858 \times 0{,}92 = 0{,}789$، أي أن $78{,}9\ \%$ فقط من الاستطاعة المأخوذة من الشبكة تصل إلى الأسطوانة: $0{,}789 \times 3496 \approx 2759\ W$، وهي القيمة التي وجدناها في الجزء السابق.

ملاحظة للامتحان

• إذا طُلب «المردود» بعد حساب كل الضياعات، تحقق مرة ثانية: $\frac{P_u}{P_a}$ يجب أن يساوي $1 - \frac{\sum P}{P_a}$.
• مردود أكبر من $1 - g$ أو أكبر من $100\ \%$ يعني خطأً في الحساب أو في قراءة المعطيات (تيار المثلثي مكان تيار النجمي مثلاً).

أخطاء شائعة

• قلب النسبة: $\frac{P_a}{P_u}$ يعطي عدداً أكبر من 1.
• جمع المردودات في سلسلة بدل ضربها.
• حساب $P_a = P_u \times \eta$ بدل القسمة.

5. الخاصية الميكانيكية ونقطة التشغيل مع حمولة

الخاصية الميكانيكية $T_u(n)$

الخاصية الميكانيكية (caractéristique mécanique) للمحرك هي منحنى مزدوجته المفيدة بدلالة سرعته، عند توتر وتواتر ثابتين. يعطيها الصانع، ونستعملها لمعرفة السرعة التي سيدور بها المحرك مع حمولة معينة، وهل يستطيع الإقلاع بها.


يبين الشكل منحنى $T_u(n)$ لمحرك رباعي الأقطاب ($n_s = 1500\ tr/min$) مزدوجته الاسمية $T_N = 20\ N \cdot m$ عند $n_N = 1440\ tr/min$، مع منطقة غير مستقرة (بالوردي) ومنطقة التشغيل العادي (بالأخضر).

النقاط المميزة

| النقطة | الرمز | المعنى | في الشكل | |---|---|---|---| | مزدوجة الإقلاع (couple de démarrage) | $T_d$ | المزدوجة عند $n = 0$ | $44\ N \cdot m$ | | المزدوجة العظمى (couple maximal) | $T_{max}$ | أكبر مزدوجة يستطيع المحرك إعطاءها | $55\ N \cdot m$ | | النقطة الاسمية | $T_N$ عند $n_N$ | نقطة التشغيل التي صُمم لها المحرك (اللوحة) | $20\ N \cdot m$ عند $1440$ | | سرعة التزامن | $n_s$ | المزدوجة منعدمة | $1500\ tr/min$ |

• عند $n = n_s$ ينعدم الانزلاق، فلا تتحرض تيارات في الدوار ولا مزدوجة: المحرك اللاتزامني لا يستطيع وحده بلوغ $n_s$.
• يعطي الصانع غالباً النسبتين $\frac{T_d}{T_N}$ و$\frac{T_{max}}{T_N}$ (بين 1,5 و3 للمحركات ذات القفص). في الشكل: $\frac{T_d}{T_N} = 2{,}2$ و$\frac{T_{max}}{T_N} = 2{,}75$.

المنطقتان

• من $n = 0$ إلى سرعة $T_{max}$: منطقة يمر بها المحرك أثناء الإقلاع فقط. مع حمولة ذات مزدوجة ثابتة لا يستطيع المحرك أن يستقر فيها، لذلك نسميها المنطقة غير المستقرة.
• من $T_{max}$ إلى $n_s$: منطقة التشغيل العادي. فيها المنحنى شبه مستقيم وشديد الميل: تتغير المزدوجة كثيراً بينما تتغير السرعة قليلاً.

الجزء المستقيم: المزدوجة تتناسب مع الانزلاق

في منطقة التشغيل العادي نقرب الخاصية بمستقيم يمر بالنقطة $(n_s, 0)$:

$ T_u \approx a\,(n_s - n) $

ولأن $n_s - n = g\,n_s$ فإن المزدوجة تتناسب مع الانزلاق. نحسب الميل $a$ من النقطة الاسمية:

$ a = \frac{T_N}{n_s - n_N} $

للمحرك المرسوم: $a = \dfrac{20}{1500 - 1440} = \dfrac{1}{3}\ N \cdot m$ لكل $tr/min$.

خاصية الحمولة ونقطة التشغيل

لكل حمولة مزدوجة مقاومة $T_r(n)$ تتعلق بنوعها:

| نوع الحمولة | الخاصية | أمثلة | |---|---|---| | مزدوجة ثابتة | $T_r = C^{te}$ | رافعة، بساط ناقل، ضاغط بمكبس | | مزدوجة تتناسب مع السرعة | $T_r = k\,n$ | آلات الصقل، بعض المولدات | | مزدوجة تتناسب مع مربع السرعة | $T_r = k\,n^2$ | مروحة، مضخة طاردة مركزية |

> نقطة التشغيل (point de fonctionnement) هي تقاطع الخاصية الميكانيكية للمحرك $T_u(n)$ مع خاصية الحمولة $T_r(n)$. فيها $T_u = T_r$، والسرعة ثابتة.


يبين الشكل المحرك السابق مع حمولتين: بساط بمزدوجة ثابتة $15\ N \cdot m$ (النقطة A عند $1455\ tr/min$)، ومروحة مزدوجتها $25\ N \cdot m$ عند $1500\ tr/min$ (النقطة B عند $1432\ tr/min$ تقريباً).

لماذا نقطة التشغيل مستقرة في المنطقة المستقيمة؟

لنفرض أن المحرك في A وأن اضطراباً أبطأه قليلاً. على يسار A تكون مزدوجة المحرك أكبر من $15\ N \cdot m$، فيتسارع ويعود إلى A. وإذا زادت سرعته قليلاً تصبح مزدوجته أصغر من $15\ N \cdot m$، فيتباطأ ويعود إلى A. هذا هو الاستقرار. أما على الجزء الصاعد من المنحنى (قبل $T_{max}$) فيحدث العكس مع حمولة ثابتة، فيبتعد المحرك عن النقطة.

مثال محلول 1 (حساب نقطة التشغيل). المحرك المرسوم ($T_N = 20\ N \cdot m$ عند $1440\ tr/min$) يجر بساطاً بمزدوجة ثابتة $T_r = 15\ N \cdot m$.


يكبّر هذا الشكل الجزء المستقيم: النقطة الاسمية N على بعد $60\ tr/min$ من $n_s$، ونقطة التشغيل A على بعد $45\ tr/min$.

• في النظام الدائم: $a\,(n_s - n) = T_r$، أي $\dfrac{1500 - n}{3} = 15$، فـ $1500 - n = 45$ و$n = 1455\ tr/min$.
• بالتناسب مباشرة: $\dfrac{n_s - n}{n_s - n_N} = \dfrac{T_r}{T_N} = \dfrac{15}{20}$، فـ $n_s - n = 0{,}75 \times 60 = 45\ tr/min$.
• الانزلاق الجديد $g = \dfrac{45}{1500} = 3\ \%$ (كان $4\ \%$ في الحمولة الاسمية).
• الاستطاعة المفيدة: $P_u = 15 \times \dfrac{2\pi \times 1455}{60} = 15 \times 152{,}37 \approx 2286\ W$.

مثال محلول 2 (قراءة بيانية). مع المروحة نقرأ في الشكل B: $n \approx 1432\ tr/min$ و$T_u \approx 22{,}8\ N \cdot m$. هذه المزدوجة أكبر من $T_N = 20\ N \cdot m$: المحرك في حمولة مفرطة ($P_u \approx 22{,}8 \times 149{,}9 \approx 3{,}4\ kW$ لمحرك $3\ kW$)، فيزيد تياره ويسخن، وسيفصله المرحل الحراري بعد مدة. يجب اختيار محرك أقوى أو مروحة أصغر.

شرط الإقلاع

عند لحظة الوصل $n = 0$، ولكي يبدأ المحرك في الدوران يجب أن تكون مزدوجة إقلاعه أكبر من المزدوجة المقاومة عند السرعة المنعدمة:

$ T_d > T_r(0) $

ثم يتسارع المحرك ما دامت $T_u > T_r$، إلى أن يبلغ نقطة التشغيل.


يبين الشكل الحمولة $30\ N \cdot m$: المنطقة الخضراء $T_u - T_r > 0$ موجودة على طول الطريق من $n = 0$ إلى النقطة C ($1410\ tr/min$)، فيقلع المحرك ويستقر في C. أما الحمولة $48\ N \cdot m$ فأكبر من $T_d = 44\ N \cdot m$: المحرك لا يقلع، يبقى متوقفاً ويمتص تيار الإقلاع الكبير، فيجب أن تفصله الحماية.

> ملاحظة تمهيداً لدرس الإقلاع نجمي-مثلثي: المزدوجة تتناسب مع مربع التوتر المطبق على اللف. في الإقلاع نجمي-مثلثي (لمحرك يعمل مثلثياً على الشبكة، مثل 380/660 V على $3 \times 380\ V$) يتلقى كل لف توتراً أصغر بـ $\sqrt{3}$، فتُقسم مزدوجة الإقلاع على 3. لو كانت للمحرك المرسوم هذه اللوحة لأقلع نجمياً بـ $\frac{44}{3} \approx 14{,}7\ N \cdot m$ فقط، فلا يناسب هذا الإقلاع إلا حمولة خفيفة عند الإقلاع.

أخطاء شائعة

• قلب التناسب في المنطقة المستقيمة: إذا نقصت المزدوجة نقص الانزلاق وزادت السرعة، لا العكس.
• استعمال القانون المستقيم $T_u = a\,(n_s - n)$ خارج منطقة التشغيل (عند الإقلاع مثلاً).
• مقارنة $T_r$ بـ $T_{max}$ للحكم على الإقلاع: الشرط يُكتب مع $T_d$.

6. منهجية كاملة: من لوحة المواصفات إلى النتائج

لماذا منهجية ثابتة؟

سؤال المحرك في البكالوريا يأتي دائماً بالشكل نفسه تقريباً: لوحة مواصفات (أو مستخرج منها) + شبكة $3 \times 380\ V$، $50\ Hz$ + معلومة أو معلومتان عن الضياعات، ثم سلسلة من الأسئلة: الإقران، الأقطاب، الانزلاق، الاستطاعات، الضياعات، المزدوجات، المردود. الأسئلة مترابطة: خطأ في الإقران يفسد التيار، وخطأ في التيار يفسد كل ما بعده. لذلك نتبع ترتيباً ثابتاً لا نحيد عنه.


يبين المخطط تسع خطوات متسلسلة تبدأ بقراءة اللوحة والشبكة وتنتهي بالمردود، مع علاقة كل خطوة، ثم ثلاثة اختبارات للتحقق من النتائج.

الخطوات بالتفصيل

| الخطوة | ماذا تفعل | العلاقة | |---|---|---| | 0. القراءة | استخرج $U$، $I$، $\cos\varphi$، $n$، $P_u$، $\eta$ من اللوحة والنص | — | | 1. الإقران | قارن توتر الشبكة المركب بتوتري اللوحة | الأصغر = توتر اللف | | 2. السرعات | $n_s$ هي سرعة التزامن الأعلى مباشرة من $n$ | $p = \frac{60 f}{n_s}$، $g = \frac{n_s - n}{n_s}$ | | 3. $P_a$ | بالتيار الموافق للإقران المختار | $\sqrt{3}\,U\,I\cos\varphi$ أو $P_1 + P_2$ أو $\frac{P_u}{\eta}$ | | 4. ضياعات الساكن | اقرأ نوع المقاومة المعطاة | $\frac{3}{2}RI^2$ أو $3rI^2$ أو $rI^2$، و$P_{fs}$ | | 5. $P_{tr}$ | اطرح ضياعات الساكن | $P_a - P_{js} - P_{fs}$ | | 6. الدوار | ضياعات جول ثم الاستطاعة الميكانيكية | $g\,P_{tr}$ و$(1-g)\,P_{tr}$ | | 7. $P_u$ | اطرح الضياعات الميكانيكية | $P_m - P_{mec}$ | | 8. المزدوجات | كل استطاعة مع سرعتها | $\frac{P_{tr}}{\Omega_s}$ و$\frac{P_u}{\Omega}$ | | 9. المردود | — | $\frac{P_u}{P_a}$ |

قراءة اللوحة: ما يهم الحساب


تعرض هذه اللوحة محركاً $5{,}5\ kW$ بتوترين $380\ V$ في المثلثي و$660\ V$ في النجمي، مع التيار الموافق لكل إقران، ومعامل الاستطاعة، والسرعة الاسمية، والتواتر، ودرجة الحماية IP55، ونمط الخدمة S1 (خدمة متواصلة).

كما رأينا في الدرس السابق، نأخذ من اللوحة ما يحتاجه الحساب فقط:

• $\Delta\,380\ V\ /\ Y\,660\ V$: توتر اللف $380\ V$، فالإقران على شبكة $3 \times 380\ V$ مثلثي.
• $11{,}2\ A\ /\ 6{,}5\ A$: تيار الخط لكل إقران؛ نأخذ تيار الإقران المختار $I = 11{,}2\ A$.
• $5{,}5\ kW$: الاستطاعة المفيدة $P_u$ على المحور، لا الممتصة.
• $n = 1450\ tr/min$ و$\cos\varphi = 0{,}84$: السرعة ومعامل الاستطاعة الاسميان، ومنهما $n_s$ و$g$ و$\Omega$ و$P_a$.

مثال محلول كامل

المعطيات: المحرك الموصوف باللوحة أعلاه مغذى من شبكة $3 \times 380\ V$، $50\ Hz$ ويعمل في نقطته الاسمية. مقاومة لف واحد من لفات الساكن $r = 1{,}8\ \Omega$، ضياعات الحديد $P_{fs} = 160\ W$، الضياعات الميكانيكية $P_{mec} = 110\ W$.

1. الإقران: توتر اللف $380\ V$ يساوي التوتر المركب للشبكة، فالإقران مثلثي. (هذا المحرك يقبل الإقلاع نجمي-مثلثي، لأنه يعمل مثلثياً على الشبكة.)

2. السرعات: السرعة $1450\ tr/min$ أقل بقليل من $1500$، فـ $n_s = 1500\ tr/min$ و$p = \frac{60 \times 50}{1500} = 2$ (محرك رباعي الأقطاب).

• $g = \dfrac{1500 - 1450}{1500} = 0{,}0333 = 3{,}33\ \%$.
• $\Omega_s = 157{,}08\ rad/s$ و$\Omega = \dfrac{2\pi \times 1450}{60} = 151{,}84\ rad/s$.

3. الاستطاعة الممتصة: $P_a = \sqrt{3} \times 380 \times 11{,}2 \times 0{,}84 = 6192\ W$.

4. ضياعات الساكن: المعطى مقاومة لف واحد والإقران مثلثي، فـ $P_{js} = r\,I^2 = 1{,}8 \times 11{,}2^2 = 1{,}8 \times 125{,}44 = 225{,}8\ W$.

5. الاستطاعة المنقولة: $P_{tr} = 6192 - 225{,}8 - 160 = 5806{,}4\ W$.

6. الدوار: $P_{jr} = 0{,}0333 \times 5806{,}4 = 193{,}5\ W$، و$P_m = 5806{,}4 - 193{,}5 = 5612{,}9\ W$.

7. الاستطاعة المفيدة: $P_u = 5612{,}9 - 110 = 5502{,}9\ W \approx 5{,}5\ kW$. النتيجة توافق اللوحة، وهذا أول دليل على صحة الحساب.

8. المزدوجات:

• $T_{em} = \dfrac{5806{,}4}{157{,}08} = 36{,}96\ N \cdot m$.
• $T_u = \dfrac{5502{,}9}{151{,}84} = 36{,}24\ N \cdot m$.

9. المردود: $\eta = \dfrac{5502{,}9}{6192} = 0{,}889$ أي $88{,}9\ \%$.

جدول النتائج

| المقدار | القيمة | |---|---| | الإقران | مثلثي | | $p$ / $n_s$ / $g$ | $2$ / $1500\ tr/min$ / $3{,}33\ \%$ | | $P_a$ | $6192\ W$ | | $P_{js}$ / $P_{fs}$ | $225{,}8\ W$ / $160\ W$ | | $P_{tr}$ | $5806\ W$ | | $P_{jr}$ / $P_m$ | $193{,}5\ W$ / $5613\ W$ | | $P_u$ | $5503\ W$ | | $T_{em}$ / $T_u$ | $36{,}96\ N \cdot m$ / $36{,}24\ N \cdot m$ | | $\eta$ | $88{,}9\ \%$ |

الاختبارات الثلاثة

• $P_u < P_a$: $5503 < 6192$. صحيح.
• $\eta < 1 - g$: $0{,}889 < 0{,}967$. صحيح.
• $T_u < T_{em}$: $36{,}24 < 36{,}96$. صحيح، والفرق $0{,}72\ N \cdot m$ هو مزدوجة الضياعات $\frac{110}{151{,}84}$.

إذا فشل أحد هذه الاختبارات فارجع إلى الإقران والتيار ونوع المقاومة قبل أي شيء آخر.

اختلاف الصيغ في المواضيع

| ما تجده في الموضوع | معناه في هذا الدرس | |---|---| | «الضياعات الميكانيكية $P_m$» أو $P_{méc}$ | $P_{mec}$ | | «الضياعات الثابتة $P_c$» أو «الضياعات الجماعية» | $P_{fs} + P_{mec}$ | | «الضياعان الثابتان متساويان» | $P_{fs} = P_{mec} = \frac{P_c}{2}$ | | «العزم المفيد $C_u$» | $T_u$ | | «rd» على اللوحة | المردود $\eta$ | | «$r$ بين طورين» أو «المقاومة المقاسة بين مربطين» | $R$، و$P_{js} = \frac{3}{2}\,R\,I^2$ | | «مقاومة لف الساكن» أو «مقاومة طور» | $r$ لف واحد |

ملاحظة للامتحان

• اكتب في بداية الحل جملة الإقران مع التعليل؛ هي سؤال مستقل وعليه نقاط.
• إذا لم يُعطَ إلا $P_u$ و$\eta$ و$\cos\varphi$ فاحسب $P_a = \frac{P_u}{\eta}$ ثم $I$، ولا تحتاج الحصيلة كاملة.

أخطاء شائعة

• أخذ التيار الكبير (المثلثي) لمحرك مقرون نجمياً أو العكس: في لوحة 220/380 V على $380\ V$ التيار المستعمل هو الصغير.
• اعتبار الاستطاعة المكتوبة على اللوحة استطاعة ممتصة.
• استنتاج $n_s$ من $n$ بالتدوير الخاطئ: $1410\ tr/min$ و$1440\ tr/min$ و$1455\ tr/min$ كلها توافق $n_s = 1500\ tr/min$، و$960\ tr/min$ و$935\ tr/min$ توافقان $1000\ tr/min$، و$725\ tr/min$ توافق $750\ tr/min$.

7. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين 1: محرك بساط نقل الطرود

تقديم النظام. في نهاية سلسلة تغليف، يُخرج بساط ناقل الطرود نحو منطقة الشحن. يُدار البساط بمحرك لاتزامني ثلاثي الطور Mt ذي قفص سنجاب، بإقلاع مباشر واتجاه دوران واحد، عبر مخفض سرعة يدير الأسطوانة المحركة للبساط.

مقتطف من دفتر الشروط: الضغط على زر التشغيل يُدير البساط ما دام ملتقط حضور الطرد مفعلاً؛ ويتوقف البساط بعد خروج آخر طرد.

المعطيات.

• الشبكة: $3 \times 380\ V$، $50\ Hz$.
• لوحة Mt: Δ 220 V / 6,1 A — Y 380 V / 3,5 A، $1{,}5\ kW$، $960\ tr/min$، $\cos\varphi = 0{,}8$.
• المقاومة المقاسة بين مربطين من الساكن: $R = 6\ \Omega$.
• الضياعات الثابتة: $160\ W$، موزعة بالتساوي بين ضياعات الحديد والضياعات الميكانيكية.
• المخفض: نسبة التخفيض $k = 16$، المردود $\eta_r = 0{,}9$.

الأسئلة.

• كيف تُقرن لفات الساكن؟ علّل.
• احسب سرعة التزامن وعدد الأقطاب والانزلاق.
• احسب الاستطاعتين الفعالة والردية الممتصتين في التشغيل الاسمي.
• احسب $P_{js}$ و$P_{tr}$ والمزدوجة الكهرومغناطيسية.
• احسب $P_{jr}$ و$P_u$ والمردود والمزدوجة المفيدة. قارن $P_u$ بقيمة اللوحة.
• احسب السرعة والاستطاعة والمزدوجة على محور الأسطوانة.
• حين يقل عدد الطرود تصبح المزدوجة المقاومة على محور المحرك $12\ N \cdot m$. احسب السرعة الجديدة بتقريب الجزء المستقيم من الخاصية.

الحل.

• توتر اللف هو الأصغر على اللوحة: $220\ V$. على شبكة $380\ V$ يجب أن يتلقى كل لف $\frac{380}{\sqrt{3}} = 220\ V$، فالإقران نجمي، والتيار الاسمي $I = 3{,}5\ A$.
• السرعة $960\ tr/min$ أقل بقليل من $1000\ tr/min$، فـ $n_s = 1000\ tr/min$ و$p = \frac{60 \times 50}{1000} = 3$ أي 6 أقطاب، و$g = \frac{1000 - 960}{1000} = 0{,}04 = 4\ \%$.
• $P_a = \sqrt{3} \times 380 \times 3{,}5 \times 0{,}8 = 1842{,}9\ W$. ومع $\sin\varphi = 0{,}6$: $Q = \sqrt{3} \times 380 \times 3{,}5 \times 0{,}6 = 1382\ VAR$.
• المقاومة مقاسة بين مربطين: $P_{js} = 1{,}5 \times 6 \times 3{,}5^2 = 110{,}25\ W$. الضياعان الثابتان متساويان: $P_{fs} = P_{mec} = 80\ W$.
• $P_{tr} = 1842{,}9 - 110{,}25 - 80 = 1652{,}65\ W$.
• $\Omega_s = \frac{2\pi \times 1000}{60} = 104{,}72\ rad/s$، و$T_{em} = \frac{1652{,}65}{104{,}72} = 15{,}78\ N \cdot m$.
• $P_{jr} = 0{,}04 \times 1652{,}65 = 66{,}1\ W$، و$P_m = 1586{,}55\ W$، و$P_u = 1586{,}55 - 80 = 1506{,}55\ W$.
• $\eta = \frac{1506{,}55}{1842{,}9} = 0{,}817$ أي $81{,}7\ \%$.
• $\Omega = \frac{2\pi \times 960}{60} = 100{,}53\ rad/s$، و$T_u = \frac{1506{,}55}{100{,}53} = 14{,}99\ N \cdot m \approx 15\ N \cdot m$.
• $P_u \approx 1{,}5\ kW$ توافق اللوحة: المحرك يعمل في نقطته الاسمية.
• $n_2 = \frac{960}{16} = 60\ tr/min$ أي $\Omega_2 = 6{,}28\ rad/s$؛ $P_2 = 0{,}9 \times 1506{,}55 = 1355{,}9\ W$؛ $T_2 = \frac{1355{,}9}{6{,}28} = 215{,}8\ N \cdot m$ (أو $16 \times 0{,}9 \times 14{,}99 = 215{,}8\ N \cdot m$).
• في الجزء المستقيم $n_s - n$ يتناسب مع المزدوجة: $n_s - n = 40 \times \frac{12}{14{,}99} = 32\ tr/min$، فـ $n = 968\ tr/min$ و$g = 3{,}2\ \%$. البساط الأخف يدور أسرع قليلاً.

التمرين 2: محرك الخلاط وطريقة الواطمترين

تقديم النظام. في وحدة لتحضير الخلطات، يدير محرك لاتزامني ثلاثي الطور Mx شفرات خلاط. لتحديد ضياعاته يُجري التقني تجربتين بطريقة الواطمترين، على شبكة $3 \times 380\ V$، $50\ Hz$.

المعطيات.

• لوحة Mx: 380/660 V، رباعي الأقطاب. المقاومة المقاسة بين مربطين: $R = 1{,}2\ \Omega$.
• تجربة الفراغ: قراءتا الواطمترين $P_1 = 890\ W$ و$P_2 = -620\ W$.
• تجربة الحمولة: قراءتا الواطمترين $P_1 = 4300\ W$ و$P_2 = 1700\ W$، و$n = 1455\ tr/min$.
• الضياعات الميكانيكية تساوي ضياعات الحديد.

الأسئلة.

• ما إقران Mx على هذه الشبكة؟ هل يقبل الإقلاع نجمي-مثلثي؟
• في الفراغ: احسب $P_0$ و$Q_0$ و$S_0$ ثم $I_0$ و$\cos\varphi_0$.
• استنتج $P_{js0}$ ثم الضياعات الثابتة و$P_{fs}$ و$P_{mec}$ (خذ $I_0 \approx 4\ A$).
• في الحمولة: احسب $P_a$ و$Q$ و$S$ وتيار الخط و$\cos\varphi$.
• احسب $g$ و$P_{js}$ و$P_{tr}$ و$T_{em}$ و$P_{jr}$ و$P_u$ والمردود و$T_u$.

الحل.

• توتر اللف $380\ V$ يساوي التوتر المركب للشبكة، فالإقران مثلثي. وبما أنه يعمل مثلثياً على الشبكة يقبل الإقلاع نجمي-مثلثي: في النجمي يتلقى كل لف $220\ V$ أثناء الإقلاع.
• $P_0 = P_1 + P_2 = 890 + (-620) = 270\ W$؛ $Q_0 = \sqrt{3}\,(P_1 - P_2) = \sqrt{3}\,(890 + 620) = \sqrt{3} \times 1510 = 2615\ VAR$؛ $S_0 = \sqrt{270^2 + 2615^2} = 2629\ VA$.
• $I_0 = \frac{S_0}{\sqrt{3}\,U} = \frac{2629}{658{,}2} = 3{,}99\ A \approx 4\ A$، و$\cos\varphi_0 = \frac{270}{2629} = 0{,}10$.
• معامل الاستطاعة في الفراغ صغير جداً: المحرك يمتص أساساً استطاعة ردية لتمغنطه.
• $P_{js0} = 1{,}5 \times 1{,}2 \times 4^2 = 28{,}8\ W$؛ في الفراغ $P_{jr} \approx 0$، فـ $P_c = 270 - 28{,}8 = 241{,}2\ W$، و$P_{fs} = P_{mec} = 120{,}6\ W$.
• $P_a = P_1 + P_2 = 4300 + 1700 = 6000\ W$؛ $Q = \sqrt{3}\,(4300 - 1700) = 4503\ VAR$؛ $S = \sqrt{6000^2 + 4503^2} = 7502\ VA$.
• $I = \frac{7502}{658{,}2} = 11{,}4\ A$، و$\cos\varphi = \frac{6000}{7502} = 0{,}80$.
• $g = \frac{1500 - 1455}{1500} = 0{,}03$.
• $P_{js} = 1{,}5 \times 1{,}2 \times 11{,}4^2 = 233{,}9\ W$.
• $P_{tr} = 6000 - 233{,}9 - 120{,}6 = 5645{,}5\ W$، و$T_{em} = \frac{5645{,}5}{157{,}08} = 35{,}94\ N \cdot m$.
• $P_{jr} = 0{,}03 \times 5645{,}5 = 169{,}4\ W$، و$P_m = 5476{,}1\ W$.
• $P_u = 5476{,}1 - 120{,}6 = 5355{,}5\ W$، و$\eta = \frac{5355{,}5}{6000} = 89{,}3\ \%$ (أصغر من $1 - g = 97\ \%$).
• $\Omega = \frac{2\pi \times 1455}{60} = 152{,}37\ rad/s$، و$T_u = \frac{5355{,}5}{152{,}37} = 35{,}15\ N \cdot m$.

التمرين 3: اختيار محرك رافعة مخزن آلي

تقديم النظام. رافعة في مخزن آلي ترفع الصناديق بأسطوانة يجرها محرك لاتزامني عبر مخفض. بعد حساب المخفض، تفرض الحمولة على محور المحرك مزدوجة مقاومة ثابتة $T_r = 13\ N \cdot m$، والسرعة المطلوبة قريبة من $1440\ tr/min$. الشبكة $3 \times 380\ V$، $50\ Hz$. مستخرج من كتالوج محركات رباعية الأقطاب 220/380 V:

| $P_u$ | $n_N$ | $\eta$ | $\cos\varphi$ | $T_d/T_N$ | $I_d/I_N$ | |---|---|---|---|---|---| | $1{,}5\ kW$ | $1430\ tr/min$ | $81\ \%$ | $0{,}80$ | $2{,}3$ | $6$ | | $2{,}2\ kW$ | $1435\ tr/min$ | $83\ \%$ | $0{,}81$ | $2{,}4$ | $6{,}5$ | | $3\ kW$ | $1440\ tr/min$ | $85\ \%$ | $0{,}82$ | $2{,}5$ | $7$ |

الأسئلة.

• قدّر الاستطاعة المفيدة المطلوبة، واحسب المزدوجة الاسمية لكل محرك، ثم اختر المحرك المناسب.
• للمحرك المختار احسب $P_a$ والتيار الاسمي $I_N$ ومزدوجة الإقلاع وتيار الإقلاع.
• هل يقلع المحرك بهذه الحمولة إقلاعاً مباشراً؟
• احسب سرعة نقطة التشغيل بتقريب الجزء المستقيم، ثم الاستطاعة المفيدة الفعلية.

الحل.

• $P_u \approx T_r\,\Omega = 13 \times \frac{2\pi \times 1440}{60} = 13 \times 150{,}8 \approx 1960\ W$.
• المزدوجات الاسمية $T_N = \frac{P_u}{\Omega_N}$: للمحرك $1{,}5\ kW$: $\frac{1500}{149{,}75} = 10{,}0\ N \cdot m$؛ للمحرك $2{,}2\ kW$: $\frac{2200}{150{,}27} = 14{,}64\ N \cdot m$؛ للمحرك $3\ kW$: $\frac{3000}{150{,}8} = 19{,}89\ N \cdot m$.
• المحرك $1{,}5\ kW$ مزدوجته الاسمية $10\ N \cdot m$، أصغر من $13\ N \cdot m$: سيعمل في حمولة مفرطة ويفصله المرحل الحراري. المحرك $3\ kW$ يصلح لكنه أكبر من الحاجة (مردود أسوأ في الحمولة الجزئية وتكلفة أعلى). نختار المحرك $2{,}2\ kW$: $13 < 14{,}64\ N \cdot m$.
• $P_a = \frac{2200}{0{,}83} = 2651\ W$؛ $I_N = \frac{2651}{\sqrt{3} \times 380 \times 0{,}81} = \frac{2651}{533{,}1} = 4{,}97\ A$.
• $T_d = 2{,}4 \times 14{,}64 = 35{,}1\ N \cdot m$؛ $I_d = 6{,}5 \times 4{,}97 = 32{,}3\ A$.
• عند $n = 0$: $T_d = 35{,}1\ N \cdot m > T_r = 13\ N \cdot m$، فيقلع المحرك ويتسارع حتى نقطة التشغيل.
• في الجزء المستقيم: $n_s - n = (1500 - 1435) \times \frac{13}{14{,}64} = 65 \times 0{,}888 = 57{,}7\ tr/min$، فـ $n = 1442\ tr/min$ و$g = 3{,}85\ \%$.
• $P_u = 13 \times \frac{2\pi \times 1442}{60} = 13 \times 151{,}0 \approx 1963\ W$، وهي أقل من $2{,}2\ kW$: المحرك يعمل بنحو $89\ \%$ من استطاعته الاسمية.

ملاحظة للامتحان

في هذه التمارين تُكتب كل نتيجة مع وحدتها وتُرقّم كرقم السؤال. وإذا لم تجد نتيجة سؤال سابق، اكتب العلاقة واستعمل قيمة معقولة مع الإشارة إلى ذلك: لن تخسر نقاط الأسئلة الموالية كلها.