المحول: هبوط التوتر والحصيلة الطاقوية والمردود

3. الضياعات والحصيلة الطاقوية

أين تذهب الطاقة في المحول؟

المحول آلة ساكنة لا تحتوي أجزاء متحركة، فليس فيه ضياع ميكانيكي. لكن الاستطاعة التي يأخذها من الشبكة لا تصل كلها إلى الحمولة: جزء منها يتحول إلى حرارة في الدارة المغناطيسية وجزء في اللفات. ولهذا يسخن المحول وهو يعمل.

الضياعات في الحديد $P_{fer}$

الضياعات في الحديد (pertes fer) أو الضياعات المغناطيسية تحدث في النواة لسببين:

• التخلف المغناطيسي (hystérésis): الحقل المغناطيسي يُعكس 100 مرة في الثانية (50 Hz)، وكل دورة مغنطة تستهلك طاقة.
• تيارات فوكو (courants de Foucault): التدفق المتغير يُحدث في الحديد نفسه تيارات تسخّنه. لذلك تُصنع النواة من صفائح معزولة رقيقة، لا من كتلة واحدة.

> $P_{fer}$ تتعلق بالتدفق الأعظمي أي بالتوتر $U_1$ وبالتواتر f، ولا تتعلق بالحمولة. ما دامت الشبكة ثابتة فإن $P_{fer}$ ثابتة من الفراغ إلى الحمولة الاسمية.

نقيسها بالاختبار في الفراغ تحت التوتر الاسمي: الاستطاعة التي يقرؤها الواطمتر $P_{10}$ تساوي تقريبًا $P_{fer}$، لأن ضياع جول في الأولي مهمل تحت تيار الفراغ الصغير:

$ P_{fer} \approx P_{10} $

الضياعات بمفعول جول $P_J$

الضياعات بمفعول جول (pertes Joule) أو الضياعات في النحاس تحدث في مقاومتي الملفين:

$ P_J = R_1 I_1^2 + R_2 I_2^2 = R_s I_2^2 $

> $P_J$ تتغير مع الحمولة كمربع التيار: إذا تضاعف $I_2$ تضاعفت $P_J$ أربع مرات.

نقيسها بالاختبار في الدارة القصيرة: تحت توتر أولي منخفض $U_{1cc}$ يمر في الثانوي التيار $I_{2cc}$ (غالبًا $I_{2cc} = I_{2N}$)، فيقرأ الواطمتر $P_{1cc} \approx P_J$ عند هذا التيار (الضياع في الحديد مهمل تحت التوتر المنخفض). ولتيار كيفي $I_2$:

$ P_J = P_{1cc}\left(\frac{I_2}{I_{2cc}}\right)^2 $

الحصيلة الطاقوية


يمثل الشكل تدفق الاستطاعة الفعلية: تدخل الاستطاعة $P_1$ من الأولي، يخرج منها جانبيًا الضياع في الحديد $P_{fer}$ ثم الضياع بمفعول جول $P_J$، ويصل الباقي $P_2$ إلى الحمولة. وعرض كل سهم يوحي بمقدار الاستطاعة دون سلم دقيق.

| الاستطاعة | العلاقة | الوحدة | |---|---|---| | الممتصة (الأولي) | $P_1 = U_1 I_1\cos\varphi_1$ | W | | المفيدة (الثانوي) | $P_2 = U_2 I_2\cos\varphi_2$ | W | | في الحديد | $P_{fer} \approx P_{10}$، ثابتة | W | | بمفعول جول | $P_J = R_s I_2^2$ | W |

وقانون انحفاظ الطاقة يعطي معادلة الحصيلة:

$ P_1 = P_2 + P_{fer} + P_J $

> لاحظ أن $P_2$ تُحسب بـ $U_2$ (تحت الحمولة) لا بـ $U_{20}$ ولا بـ $U_{2N}$ إلا إذا قال الموضوع إن المحول يعمل عند قيمه الاسمية.

الاستطاعة الظاهرية الاسمية

لوحة المحول تعطي الاستطاعة الظاهرية الاسمية $S_N$ بالفولط-أمبير (VA)، لا بالواط، لأن الصانع لا يعرف $\cos\varphi_2$ الذي ستفرضه حمولتك. التسخين يحدده التيار (أي $P_J$) والتوتر (أي $P_{fer}$)، فيكون الحد الأقصى المسموح جداء توتر وتيار:

$ S_N = U_{2N} I_{2N} \approx U_{1N} I_{1N} $

ومنه $I_{2N} = S_N / U_{2N}$ و$I_{1N} \approx S_N / U_{1N}$. والاستطاعة المفيدة الاسمية $P_{2N} = S_N\cos\varphi_2$ تتعلق بالحمولة.

مثال محلول

محول 230/24 V و240 VA و50 Hz. الاختبار في الفراغ: $P_{10} = 9\ W$. الاختبار في الدارة القصيرة عند $I_{2cc} = I_{2N}$: $P_{1cc} = 16\ W$. يغذي حمولة حثية بالتيار الاسمي تحت $U_2 = 23\ V$ و$\cos\varphi_2 = 0{,}8$، والأولي تحت 230 V بـ $\cos\varphi_1 = 0{,}78$.

• التيار الاسمي: $I_{2N} = 240/24 = 10\ A$.
• الضياعات: $P_{fer} \approx P_{10} = 9\ W$؛ والتيار هو تيار الدارة القصيرة نفسه، فـ $P_J = P_{1cc} = 16\ W$.
• المقاومة المرجعة: $R_s = 16/10^2 = 0{,}16\ \Omega$.
• الاستطاعة المفيدة: $P_2 = 23 \times 10 \times 0{,}8 = 184\ W$.
• الاستطاعة الممتصة: $P_1 = 184 + 9 + 16 = 209\ W$.
• التيار الأولي: $I_1 = P_1/(U_1\cos\varphi_1) = 209/(230 \times 0{,}78) \approx 1{,}17\ A$.

ولو اشتغل المحول نفسه بنصف التيار الاسمي (5 A) لصارت $P_J = 16 \times (5/10)^2 = 4\ W$، وبقيت $P_{fer} = 9\ W$.

> ملاحظة للامتحان: سؤال «ماذا تمثل $P_{10}$ و$P_{1cc}$؟» جوابه: $P_{10}$ الضياعات في الحديد، و$P_{1cc}$ الضياعات بمفعول جول عند التيار $I_{2cc}$. وعلّل دائمًا: «لأن ضياع جول مهمل في الفراغ» و«لأن ضياع الحديد مهمل تحت التوتر المنخفض في الدارة القصيرة».

أخطاء شائعة

• اعتبار $P_J = P_{1cc}$ مهما كان التيار: هذا صحيح فقط عند $I_2 = I_{2cc}$.
• اعتبار $P_{fer}$ متغيرة مع الحمولة، أو منعدمة في الحمولة الخفيفة.
• حساب $P_2$ بـ $S_N$ مباشرة ($P_2 = S_N$) ونسيان $\cos\varphi_2$.
• كتابة $S_N$ بالواط، أو حساب $I_{2N}$ بقسمة $S_N$ على $U_1$.

4. المردود والمردود الأعظمي

تعريف المردود

المردود (rendement) هو نسبة الاستطاعة المفيدة التي تصل إلى الحمولة إلى الاستطاعة الممتصة من الشبكة:

$ \eta = \frac{P_2}{P_1} $

وبتعويض $P_1$ من معادلة الحصيلة نحصل على صيغة «الضياعات المنفصلة» التي تستعمل في كل التمارين:

$ \eta = \frac{P_2}{P_2 + P_{fer} + P_J} $

مع $P_2 = U_2 I_2\cos\varphi_2$ و$P_J = R_s I_2^2$. المردود عدد بلا وحدة أصغر من 1، ونكتبه غالبًا بنسبة مئوية. للمحولات الصغيرة (40 إلى 400 VA) يتراوح عند الحمولة الاسمية بين نحو 84 و92 % لحمولة مقاومية، وينقص كلما صغر $\cos\varphi_2$، ويقترب من 99 % في محولات التوزيع الكبيرة.

> طريقتان لقياس المردود: «الطريقة المباشرة» بواطمترين يقيسان $P_1$ و$P_2$ معًا، و«طريقة الضياعات المنفصلة» التي تأخذ $P_{fer}$ من الاختبار في الفراغ و$P_J$ من الاختبار في الدارة القصيرة. الثانية أدق لأن $P_1$ و$P_2$ متقاربتان، فخطأ صغير في قياس كل منهما يعطي خطأ كبيرًا في فرقهما.

مثال محلول

المحول نفسه في الجزء السابق (240 VA، $P_{fer} = 9\ W$، $P_J = 16\ W$ عند 10 A) يغذي الحمولة الاسمية تحت $U_2 = 23\ V$ و$\cos\varphi_2 = 0{,}8$:

$ \eta = \frac{184}{184 + 9 + 16} = \frac{184}{209} $

أي $\eta \approx 0{,}880$، أو $88{,}0\ \%$.

كيف يتغير المردود مع الحمولة؟


يمثل الشكل محولًا 300 VA و24 V ($I_{2N} = 12{,}5\ A$) فيه $P_{fer} = 12\ W$ و$R_s = 0{,}12\ \Omega$، مع اعتبار $U_2 \approx 24\ V$ ثابتًا. في الأعلى: $P_{fer}$ مستقيم أفقي و$P_J$ قطع مكافئ يتقاطعان عند $I_2 = 10\ A$. في الأسفل: المردود لـ $\cos\varphi_2 = 1$ و$\cos\varphi_2 = 0{,}8$، وكلاهما أعظمي عند التيار نفسه.

نقرأ من الشكل ثلاث حقائق:

• في الحمولة الخفيفة ينهار المردود: عند 2,5 A تكون $P_2 = 60\ W$ بينما تبقى $P_{fer} = 12\ W$ كاملة، فـ $\eta = 60/72{,}75 \approx 82{,}5\ \%$، وفي الفراغ $\eta = 0$.
• المنحنى منبسط حول قمته: بين 7 و14 A يتغير المردود بأقل من 1 %.
• المردود أصغر كلما صغر $\cos\varphi_2$ لنفس التيار، لأن $P_2$ تنقص بينما الضياعات (التي يحددها التيار) لا تتغير.

شرط المردود الأعظمي

نقسم بسط المردود ومقامه على $I_2$ (مع $U_2$ و$\cos\varphi_2$ ثابتين تقريبًا):

$ \eta = \frac{U_2\cos\varphi_2}{U_2\cos\varphi_2 + y} $

حيث $y = \dfrac{P_{fer}}{I_2} + R_s I_2$. يكون المردود أعظميًا حين يكون y أصغريًا. جداء الحدين $\dfrac{P_{fer}}{I_2} \times R_s I_2 = R_s P_{fer}$ ثابت، ومجموع عددين موجبين جداؤهما ثابت يكون أصغريًا حين يتساويان (ونصل إلى النتيجة نفسها بانعدام المشتقة $-P_{fer}/I_2^2 + R_s = 0$):

> المردود أعظمي حين تتساوى الضياعات المتغيرة والضياعات الثابتة: $P_J = P_{fer}$، أي $R_s I_2^2 = P_{fer}$.

ومنه التيار الذي يعطي المردود الأعظمي:

$ I_{2opt} = \sqrt{\frac{P_{fer}}{R_s}} $

وإذا عُرفت $P_{JN}$ عند التيار الاسمي (من الاختبار في الدارة القصيرة أو من جدول الصانع):

$ I_{2opt} = I_{2N}\sqrt{\frac{P_{fer}}{P_{JN}}} $

وعندئذ مجموع الضياعات $2P_{fer}$، فيكون:

$ \eta_{max} = \frac{P_2}{P_2 + 2P_{fer}} $

تطبيق على الشكل

• $I_{2opt} = \sqrt{12/0{,}12} = \sqrt{100} = 10\ A$، أي 80 % من التيار الاسمي.
• لـ $\cos\varphi_2 = 1$: $P_2 = 24 \times 10 = 240\ W$، و$\eta_{max} = 240/264 \approx 90{,}9\ \%$.
• لـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$: $P_2 = 192\ W$، و$\eta_{max} = 192/216 \approx 88{,}9\ \%$.
• عند التيار الاسمي ($\cos\varphi_2 = 1$): $P_J = 0{,}12 \times 12{,}5^2 = 18{,}75\ W$، و$\eta = 300/330{,}75 \approx 90{,}7\ \%$، وهو أصغر قليلًا من الأعظمي.

تطبيق ثانٍ: هل المردود أعظمي؟

المحول 240 VA السابق يعمل بتياره الاسمي: $P_J = 16\ W$ و$P_{fer} = 9\ W$. بما أن $P_J \neq P_{fer}$ فالمردود ليس أعظميًا. ولأن $P_J > P_{fer}$ فالتيار أكبر من التيار الأمثل:

• $I_{2opt} = 10\sqrt{9/16} = 7{,}5\ A$، وعندها $P_J = 16 \times 0{,}75^2 = 9\ W$.
• تحت $U_2 = 23{,}5\ V$ و$\cos\varphi_2 = 0{,}8$: $P_2 = 23{,}5 \times 7{,}5 \times 0{,}8 = 141\ W$، و$\eta_{max} = 141/159 \approx 88{,}7\ \%$.

تطبيق ثالث: المحول Tr1 من الدرس السابق

للمحول Tr1 (160 VA) وجدنا $P_{fer} \approx P_{10} = 6\ W$ و$P_J \approx P_{1cc} = 12\ W$ عند $I_{2N} \approx 6{,}67\ A$، وحسبنا في الجزء الثاني $U_2 \approx 24{,}2\ V$ عند هذا التيار لحمولة حثية بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$:

• $P_2 = 24{,}2 \times 6{,}67 \times 0{,}8 \approx 129{,}1\ W$، و$\eta = \dfrac{129{,}1}{129{,}1 + 6 + 12} \approx 87{,}8\ \%$.
• $P_J = 12\ W > P_{fer} = 6\ W$، فالمردود ليس أعظميًا، والتيار الأمثل $I_{2opt} = 6{,}67\sqrt{6/12} \approx 4{,}71\ A$.

> ملاحظة للامتحان: سؤال «هل المردود أعظمي؟» يُجاب بمقارنة $P_J$ عند نقطة التشغيل بـ $P_{fer}$، مع ذكر الشرط صراحة. لا تكفي مقارنة المردود بقيمة في جدول.

أخطاء شائعة

• كتابة شرط المردود الأعظمي $P_{1cc} = P_{10}$ دون انتباه إلى أن $P_{1cc}$ هي $P_J$ عند $I_{2cc}$ فقط.
• نسيان الجذر في $I_{2opt} = I_{2N}\sqrt{P_{fer}/P_{JN}}$.
• حساب المردود بـ $S$ بدل $P_2$، فيُهمل $\cos\varphi_2$.
• الحصول على مردود أكبر من 1: علامة أكيدة على خطأ (غالبًا طرح الضياعات بدل جمعها في المقام).

5. اختيار محول من جدول الصانع

ماذا نختار؟

في موضوع البكالوريا يغذي المحول عادة جزء التحكم وبعض المنفذات المتصدرة تحت 24 V (وشائع الملامسات، والكهروصمامات، والمعقب، ومصابيح الإشارة). يطلب الموضوع اختيار مرجع المحول من جدول الصانع المرفق، ثم استغلال الجدول في الحسابات.

نختار المحول بثلاثة معايير:

• التوتران: الأولي يوافق الشبكة (230 V أو 220 V، 50 Hz)، والثانوي يوافق الحمولات (24 V مثلًا).
• الاستطاعة الظاهرية: $S_N$ أكبر من أو تساوي الاستطاعة الظاهرية التي تطلبها الحمولات معًا.
• نأخذ أصغر مرجع يحقق الشرطين، لأن محولًا أكبر من اللازم أغلى، ويعمل بعيدًا عن تياره الأمثل بضياع في الحديد أكبر.

> الاستطاعات الظاهرية للحمولات تُجمع جمعًا حسابيًا (بالـ VA)، وهذا تقدير بالزيادة يضعنا في جهة الأمان كما في الدرس السابق، لنتحقق من الشرط $S_N \geq S_{ch}$، حيث $S_{ch}$ مجموع استطاعات الحمولات. وإذا أعطى الموضوع قاعدة أخرى (هامش أمان، أو استطاعة الاستدعاء لوشائع الملامسات) فطبّقها كما هي.

جدول صانع نموذجي

الجدول التالي مثال لمحولات تحكم 230/24 V (القيم للتدريب فقط، والمردود عند التيار الاسمي):

| المرجع | $S_N$ (VA) | $P_{fer}$ (W) | الضياعات الكلية (W) | $\eta$ لـ $\cos\varphi_2 = 1$ | $\eta$ لـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ | $\eta$ لـ $\cos\varphi_2 = 0{,}6$ | |---|---|---|---|---|---|---| | TR40 | 40 | 3,5 | 7,5 | 84 % | 81 % | 76 % | | TR63 | 63 | 5,0 | 11,0 | 85 % | 82 % | 77 % | | TR100 | 100 | 7,0 | 15,5 | 87 % | 84 % | 79 % | | TR160 | 160 | 10,0 | 22,0 | 88 % | 85 % | 81 % | | TR250 | 250 | 13,5 | 30,0 | 89 % | 87 % | 83 % | | TR400 | 400 | 18,0 | 44,0 | 90 % | 88 % | 85 % |

> استعمل دائمًا الجدول المرفق بالموضوع. الصانعون لا يعطون القيم نفسها، والمرجع نفسه قد يظهر بقيم مختلفة في موضوعين مختلفين، وقد ترتب الأعمدة بترتيب آخر (مثلًا $\cos\varphi_2 = 0{,}3$ ثم $0{,}6$ ثم 1). اقرأ رؤوس الأعمدة قبل أي حساب.

كيف نقرأ الجدول؟

كل قيم الجدول اسمية: عند $U_{1N}$ و$I_{2N}$.

• عمود $P_{fer}$ (الضياع في الفراغ): ثابت مهما كانت الحمولة.
• الضياعات الكلية $P_t = P_{fer} + P_{JN}$، ومنها ضياع جول الاسمي: $P_{JN} = P_t - P_{fer}$.
• التيار الاسمي: $I_{2N} = S_N/U_{2N}$، ثم المقاومة المرجعة: $R_s = P_{JN}/I_{2N}^2$.
• المردود: $\eta = \dfrac{S_N\cos\varphi_2}{S_N\cos\varphi_2 + P_t}$ عند التيار الاسمي (باعتبار $U_2 \approx U_{2N}$). تحقق مثلًا من TR160 لـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$: $128/150 \approx 85{,}3\ \%$.
• الاستطاعة المفيدة من المردود: من $\eta = P_2/(P_2 + P_t)$ نستخرج $P_2 = \dfrac{\eta\,P_t}{1 - \eta}$، وهي صحيحة عند التيار الاسمي فقط، لأن $P_t$ في الجدول اسمية.

مثال محلول: اختيار محول جزء التحكم

جزء التحكم لنظام آلي يُغذّى تحت 24 V~ ويحتوي: وشيعتي ملامسين KM1 وKM2 (9 VA لكل واحدة)، وثلاثة كهروصمامات (12 VA لكل واحد)، والمعقب ومصابيح الإشارة (60 VA). الحمولة الإجمالية حثية بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}7$.

1) الاختيار. $S_{ch} = 2 \times 9 + 3 \times 12 + 60 = 114\ VA$. المرجع TR100 لا يكفي لأن $100 < 114$، فنختار TR160 لأن $160 \geq 114$.

2) عناصر المحول من الجدول.

• $I_{2N} = 160/24 \approx 6{,}67\ A$.
• $P_{JN} = 22 - 10 = 12\ W$.
• $R_s = 12/6{,}67^2 \approx 0{,}27\ \Omega$.

3) المردود عند نقطة التشغيل. التيار الفعلي $I_2 = 114/24 = 4{,}75\ A$ (أقل من الاسمي):

• $P_J = 12 \times (4{,}75/6{,}67)^2 \approx 6{,}09\ W$.
• $P_2 \approx 24 \times 4{,}75 \times 0{,}7 = 79{,}8\ W$.
• $\eta = 79{,}8/(79{,}8 + 10 + 6{,}09) \approx 83{,}2\ \%$.

4) هل المردود أعظمي؟ لا، لأن $P_J \approx 6{,}1\ W$ بينما $P_{fer} = 10\ W$. التيار الأمثل $I_{2opt} = 6{,}67\sqrt{10/12} \approx 6{,}09\ A$.

مثال محلول: التعرف على المرجع من $P_J$

أعطى الاختبار في الدارة القصيرة عند التيار الاسمي لمحول 230/24 V من الجدول السابق $P_{1cc} = 12\ W$. ما مرجعه؟

نبحث عن السطر الذي فيه $P_t - P_{fer} = 12\ W$: TR40 يعطي 4، وTR63 يعطي 6، وTR100 يعطي 8,5، وTR160 يعطي 12، وTR250 يعطي 16,5. فالمحول هو TR160.

> ملاحظة للامتحان: إذا طُلب $P_2$ من المردود المقروء في الجدول فاكتب العلاقة $P_2 = \eta P_t/(1 - \eta)$ وأضف «عند التيار الاسمي». ويمكنك التحقق بـ $P_2 \approx S_N\cos\varphi_2$؛ الفرق الصغير بين النتيجتين سببه تقريب المردود في الجدول إلى عدد صحيح.

أخطاء شائعة

• اختيار المرجع الأقرب إلى الحاجة حتى لو كان أصغر منها (TR100 لحاجة 114 VA).
• أخذ «الضياعات الكلية» على أنها $P_J$، أو أخذ $P_{fer}$ على أنها $P_J$.
• استعمال مردود الجدول لتيار غير اسمي.
• قراءة عمود $\cos\varphi_2 = 0{,}6$ والحمولة بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين الأول: محول جزء التحكم في محطة تعبئة

التقديم. محطة آلية تملأ قارورات بسائل ثم تغلقها. جزء التحكم (المعقب، ووشيعتا الملامسين KM1 وKM2، والكهروصمام EV1، ومصباح الإشارة H1) يُغذّى تحت 24 V~ بالمحول Tr، كما في الشكل المبسّط.


يبيّن الشكل المحول Tr موصولًا بالشبكة 230 V عبر المنصهرة F1، وثانويه يغذي عبر المنصهرة F2 ثلاث حمولات على التفرع: وشيعة الملامس KM1 والكهروصمام EV1 والمصباح H1 (المعقب ووشيعة KM2 موصولان على التفرع بالطريقة نفسها ولم يُرسما).

المعطيات. لوحة المحول: 230/24 V، 150 VA، 50 Hz.

• الاختبار في الفراغ: $U_1 = 230\ V$، $U_{20} = 25{,}3\ V$، $I_{10} = 0{,}09\ A$، $P_{10} = 8\ W$.
• الاختبار في الدارة القصيرة: $U_{1cc} = 22{,}7\ V$، $I_{2cc} = I_{2N}$، $P_{1cc} = 9{,}4\ W$.
• التشغيل: الحمولة حثية بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ وتأخذ التيار الاسمي.

الأسئلة.

• احسب التيارين الاسميين $I_{2N}$ و$I_{1N}$.
• احسب نسبة التحويل m و$\cos\varphi_{10}$. ماذا تمثل $P_{10}$ و$P_{1cc}$؟
• احسب $R_s$ و$Z_s$ و$X_s$.
• احسب الهبوط في التوتر $\Delta U$ ثم $U_2$. علّق.
• احسب $P_2$ والمردود η.
• هل المردود أعظمي؟ إن لم يكن، فاحسب التيار الذي يجعله أعظميًا.

الحل.

1) $I_{2N} = S_N/U_{2N} = 150/24 = 6{,}25\ A$، و$I_{1N} \approx S_N/U_{1N} = 150/230 \approx 0{,}65\ A$.

2) $m = U_{20}/U_1 = 25{,}3/230 = 0{,}11$. و$\cos\varphi_{10} = P_{10}/(U_1 I_{10}) = 8/(230 \times 0{,}09) \approx 0{,}39$.

• $P_{10} \approx P_{fer} = 8\ W$: الضياعات في الحديد، لأن ضياع جول مهمل تحت تيار الفراغ الصغير.
• $P_{1cc} \approx P_{JN} = 9{,}4\ W$: الضياعات بمفعول جول الاسمية، لأن ضياع الحديد مهمل تحت $U_{1cc}$ المنخفض (نحو 10 % من $U_{1N}$).

3) العناصر المرجعة إلى الثانوي:

• $R_s = P_{1cc}/I_{2cc}^2 = 9{,}4/6{,}25^2 \approx 0{,}241\ \Omega$.
• $Z_s = m\,U_{1cc}/I_{2cc} = 0{,}11 \times 22{,}7/6{,}25 \approx 0{,}400\ \Omega$.
• $X_s = \sqrt{Z_s^2 - R_s^2} = \sqrt{0{,}160 - 0{,}058} \approx 0{,}319\ \Omega$، أي $X_s \approx 0{,}32\ \Omega$.

نحتفظ بثلاثة أرقام قبل الطرح تحت الجذر، كما نبّهنا في الدرس السابق، ثم نستعمل في ما يلي القيمتين المدوّرتين $R_s \approx 0{,}24\ \Omega$ و$X_s \approx 0{,}32\ \Omega$ (التدوير لا يغيّر $\Delta U$ إلا في الرقم الثالث).

4) مع $\sin\varphi_2 = 0{,}6$:

• $R_s I_2\cos\varphi_2 = 0{,}24 \times 6{,}25 \times 0{,}8 = 1{,}2\ V$.
• $X_s I_2\sin\varphi_2 = 0{,}32 \times 6{,}25 \times 0{,}6 = 1{,}2\ V$.
• $\Delta U = 1{,}2 + 1{,}2 = 2{,}4\ V$، فـ $U_2 = 25{,}3 - 2{,}4 = 22{,}9\ V$.

تعليق: التوتر أقل من 24 V بنحو 1,1 V (الهبوط النسبي $2{,}4/25{,}3 \approx 9{,}5\ \%$). وشائع الملامسات والكهروصمامات تتحمل عادة تغيرًا من $-15\ \%$ إلى $+10\ \%$ حول توترها الاسمي، فالتشغيل مقبول.

5) $P_2 = U_2 I_2\cos\varphi_2 = 22{,}9 \times 6{,}25 \times 0{,}8 = 114{,}5\ W$، والتيار اسمي فـ $P_J = 9{,}4\ W$:

$ \eta = \frac{114{,}5}{114{,}5 + 8 + 9{,}4} $

أي $\eta = 114{,}5/131{,}9 \approx 86{,}8\ \%$.

6) المردود ليس أعظميًا لأن $P_J = 9{,}4\ W \neq P_{fer} = 8\ W$. التيار الأمثل:

$ I_{2opt} = 6{,}25\sqrt{\frac{8}{9{,}4}} \approx 5{,}77\ A $

وتحقق: $R_s I_{2opt}^2 = 0{,}24 \times 5{,}77^2 \approx 8\ W$.

التمرين الثاني: اختيار المحول من جدول الصانع

التقديم. نظام آلي لفرز الطرود. جزء تحكمه يُغذّى تحت 24 V~ ويحتوي: وشيعتي ملامسين (10 VA لكل واحدة)، وأربعة كهروصمامات (8 VA لكل واحد)، والمعقب ومصابيح الإشارة (25 VA). الحمولة الإجمالية حثية بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}75$. نختار المحول من الجدول النموذجي للجزء الخامس (230/24 V).

الأسئلة.

• احسب الاستطاعة الظاهرية التي تطلبها الحمولات، واختر المرجع.
• استخرج من الجدول $P_{fer}$ و$P_{JN}$، واحسب $I_{2N}$ و$R_s$.
• احسب تيار التشغيل $I_2$ (باعتبار $U_2 \approx 24\ V$)، ثم $P_J$ و$P_2$ والمردود.
• هل المردود أعظمي؟ احسب التيار الأمثل.
• لو اشتغل المحول بتياره الاسمي بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$، فاحسب $P_2$ انطلاقًا من مردود الجدول، وقارنها بـ $S_N\cos\varphi_2$.

الحل.

1) $S_{ch} = 2 \times 10 + 4 \times 8 + 25 = 77\ VA$. أصغر مرجع يحقق $S_N \geq 77\ VA$ هو TR100 (المرجع TR63 لا يكفي لأن $63 < 77$).

2) من الجدول: $P_{fer} = 7\ W$ و$P_t = 15{,}5\ W$، فـ $P_{JN} = 15{,}5 - 7 = 8{,}5\ W$. ثم $I_{2N} = 100/24 \approx 4{,}17\ A$ و$R_s = 8{,}5/4{,}17^2 \approx 0{,}49\ \Omega$.

3) $I_2 = 77/24 \approx 3{,}21\ A$.

• $P_J = 8{,}5 \times (3{,}21/4{,}17)^2 \approx 5{,}04\ W$.
• $P_2 = 24 \times 3{,}21 \times 0{,}75 \approx 57{,}75\ W$.
• $\eta = 57{,}75/(57{,}75 + 7 + 5{,}04) \approx 82{,}7\ \%$.

4) لا، لأن $P_J \approx 5\ W$ بينما $P_{fer} = 7\ W$. التيار الأمثل $I_{2opt} = 4{,}17\sqrt{7/8{,}5} \approx 3{,}78\ A$؛ التيار الفعلي أصغر منه.

5) من الجدول، لـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ المردود 84 %، والعلاقة صالحة لأن التيار اسمي:

$ P_2 = \frac{0{,}84 \times 15{,}5}{0{,}16} $

أي $P_2 \approx 81{,}4\ W$.

ومن اللوحة $S_N\cos\varphi_2 = 100 \times 0{,}8 = 80\ W$. الفرق (نحو 1,7 %) سببه تقريب المردود في الجدول إلى عدد صحيح.

التمرين الثالث: إيجاد $R_s$ و$X_s$ من قياسات تحت الحمولة، والتحقق بمخطط Kapp

المعطيات. محول توتره الثانوي في الفراغ $U_{20} = 26\ V$. نقيس تحت تيار $I_2 = 5\ A$:

• مع حمولة مقاومية: $U_2 = 24{,}8\ V$.
• مع حمولة حثية بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$: $U_2 = 23{,}9\ V$.

الأسئلة.

• استنتج $R_s$.
• استنتج $X_s$.
• أنشئ مخطط Kapp للحمولة الحثية بسلم 1 cm لكل 1 V، وتحقق من $U_{20}$.
• احسب $U_2$ لحمولة سعوية بـ $\cos\varphi_2 = 0{,}8$ وتيار 5 A. علّق.

الحل.

1) للحمولة المقاومية $\Delta U = R_s I_2$، و$\Delta U = 26 - 24{,}8 = 1{,}2\ V$، فـ $R_s = 1{,}2/5 = 0{,}24\ \Omega$.

2) للحمولة الحثية $\Delta U = 26 - 23{,}9 = 2{,}1\ V$، والعلاقة التقريبية تعطي:

$ 2{,}1 = 0{,}96 + 3\,X_s $

لأن $R_s I_2\cos\varphi_2 = 0{,}24 \times 5 \times 0{,}8 = 0{,}96\ V$ و$I_2\sin\varphi_2 = 3\ A$. إذن $X_s = 1{,}14/3 = 0{,}38\ \Omega$.

3) الأطوال بالسلم: $U_2 = 23{,}9\ V$ يعطي 23,9 cm (يكفي رسم رأس المخطط كما في النصف السفلي من شكل مخطط Kapp في الجزء الأول)، و$R_s I_2 = 1{,}2\ V$ يعطي 1,2 cm بزاوية $36{,}9°$ تحت الأفق، و$X_s I_2 = 1{,}9\ V$ يعطي 1,9 cm عموديًا عليه نحو الأعلى. حسابيًا:

• المركبة الأفقية: $23{,}9 + 1{,}2 \times 0{,}8 + 1{,}9 \times 0{,}6 = 26{,}0\ V$.
• المركبة العمودية: $-1{,}2 \times 0{,}6 + 1{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}8\ V$.
• $U_{20} = \sqrt{26^2 + 0{,}8^2} \approx 26{,}01\ V$، وهو ما نقيسه على الرسم (26 cm تقريبًا)، فالقياسات منسجمة.

4) للحمولة السعوية يصير الحد الثاني سالبًا:

$ \Delta U = 0{,}96 - 1{,}14 = -0{,}18\ V $

حيث $X_s I_2\sin\varphi_2 = 0{,}38 \times 5 \times 0{,}6 = 1{,}14\ V$، فـ $U_2 = 26 + 0{,}18 = 26{,}18\ V$. تعليق: التوتر تحت الحمولة أكبر من التوتر في الفراغ، لأن التيار المتقدم يجعل التوتر على $X_s$ يرفع التوتر الثانوي بدل أن يخفضه.

> منهجية: في كل تمرين محول اتبع الترتيب نفسه: اللوحة ($I_{2N}$، $I_{1N}$) ← الفراغ (m، $P_{fer}$) ← الدارة القصيرة ($R_s$، $Z_s$، $X_s$) ← الهبوط ($\Delta U$، $U_2$) ← الحصيلة ($P_2$، $P_J$، η) ← المردود الأعظمي. وكل نتيجة تُكتب بوحدتها.