الاستطاعات في الثلاثي الطور وتحسين معامل الاستطاعة

3. قياس الاستطاعة: الواطمتر الواحد وطريقة الواطمترين

الواطمتر

الواطمتر (wattmètre) جهاز يقيس الاستطاعة الفعالة، وله دارتان:

• دارة التيار (circuit courant): ممانعتها صغيرة جدًّا، تُربط على التسلسل في الناقل كالأمبيرمتر، ويجتازها التيار I؛
• دارة التوتر (circuit tension): ممانعتها كبيرة جدًّا، تُربط على التفرع بين نقطتين كالفولطمتر، وتخضع للتوتر U.

ويعطي الواطمتر القراءة:

$ P_W = U\,I\cos\alpha $

حيث α زاوية التطاور بين التوتر المطبّق على دارة توتره والتيار الذي يجتاز دارة تياره. لكل دارة طرف معلَّم بنجمة (*) يُسمّى الطرف المتماثل (borne homologue)؛ نربط الطرفين المعلَّمين في جهة المنبع لكي ينحرف المؤشر في الاتجاه الموجب.

طريقة الواطمتر الواحد (حمولة متوازنة بحيادي)


في الشكل: دارة التيار على التسلسل في الطور L1، ودارة التوتر بين L1 والحيادي N. يقيس الواطمتر إذن $P_W = V\,I\cos\varphi$، أي استطاعة عنصر واحد. والعناصر الثلاثة متماثلة، فـ:

$ P = 3\,P_W $

> هذه الطريقة لا تصحّ إلا بشرطين: الحمولة متوازنة، والحيادي متاح (إقران نجمي بحيادي). في غير ذلك نستعمل طريقة الواطمترين.

طريقة الواطمترين (méthode des deux wattmètres)


التركيب كما في الشكل:

• W1: دارة تياره على التسلسل في L1، ودارة توتره بين L1 وL3، فيقيس $P_1$ بالتيار $I_1$ والتوتر $u_{13}$؛
• W2: دارة تياره على التسلسل في L2، ودارة توتره بين L2 وL3، فيقيس $P_2$ بالتيار $I_2$ والتوتر $u_{23}$؛
• الطور الثالث L3 هو النقطة المشتركة لدارتي التوتر، ولا يمرّ فيه أي واطمتر.

لاحظ أن ناقل دارة توتر W1 يقطع L2 في الرسم دون نقطة اتصال: لا يوجد ربط بينهما.

النتيجة الأولى: الاستطاعة الفعالة

> $P = P_1 + P_2$، لكل حمولة ثلاثية الطور بثلاثة نواقل، متوازنة كانت أو غير متوازنة.

للاطلاع، لماذا؟ الاستطاعة اللحظية الكلية $p = v_1 i_1 + v_2 i_2 + v_3 i_3$. وبما أنه لا حيادي، فـ $i_3 = -i_1 - i_2$، ومنه $p = (v_1 - v_3)\,i_1 + (v_2 - v_3)\,i_2 = u_{13}\,i_1 + u_{23}\,i_2$. والحدّان هما بالضبط ما يقيسه W1 وW2.

النتيجة الثانية: الاستطاعة الردية (حمولة متوازنة)

نفترض حمولة متوازنة والترتيب المباشر للأطوار (1 ثم 2 ثم 3)، ونقيس الزوايا من $\vec{V}_1$ كما في الدرس السابق: $\vec{U}_{13} = -\vec{U}_{31}$ عند $-30°$، و$\vec{U}_{23}$ عند $-90°$، بينما $\vec{I}_1$ عند $-\varphi$ و$\vec{I}_2$ عند $-120° - \varphi$. فالزاوية بين $u_{13}$ و$I_1$ هي $\varphi - 30°$، والزاوية بين $u_{23}$ و$I_2$ هي $\varphi + 30°$. إذن:

$ P_1 = U\,I\cos(\varphi - 30°) $

$ P_2 = U\,I\cos(\varphi + 30°) $

وبقواعد المثلثات ($\cos 30° = \sqrt3/2$ و$\sin 30° = 1/2$):

$ P_1 + P_2 = \sqrt3\,U\,I\cos\varphi = P $

$ P_1 - P_2 = U\,I\sin\varphi $

والفرق مضروبًا في $\sqrt3$ هو الاستطاعة الردية:

> $Q = \sqrt3\,(P_1 - P_2)$ و$\tan\varphi = \dfrac{\sqrt3\,(P_1 - P_2)}{P_1 + P_2}$ — للحمولة المتوازنة فقط، وبالترتيب المباشر للأطوار مع التركيب المرسوم (W1 على L1، وW2 على L2، ودارتا التوتر إلى L3).

قراءتا الواطمترين حسب φ


يرسم الشكل القراءتين مقسومتين على $U\,I$ لحمولة حثية من $\varphi = 0$ إلى 90°: $P_1$ تبقى موجبة، بينما $P_2$ تتناقص وتنعدم عند 60°، ثم تصبح سالبة (المنطقة الوردية).

| φ | $\cos\varphi$ | ما نلاحظه | |---|---|---| | 0° | 1 | $P_1 = P_2$، و$Q = 0$ (حمولة مقاومية) | | 30° | 0,866 | $P_1 = 2\,P_2$ | | 60° | 0,5 | $P_2 = 0$، والواطمتر W1 وحده يقيس كل P | | بين 60° و90° | أقل من 0,5 | $P_2 < 0$ | | 90° | 0 | $P_1 = -P_2$، و$P = 0$ (حمولة ردية بحتة) |

الحالة $P_2 < 0$: انحراف المؤشر إلى الوراء

حين يكون $\cos\varphi < 0{,}5$ (محرك يدور فارغًا مثلًا)، يحاول مؤشر W2 التماثلي الانحراف تحت الصفر فيصطدم بحاجزه، أو يُظهر الواطمتر الرقمي إشارة سالبة. التركيب ليس خاطئًا، والقراءة ليست مهملة. الطريقة:

• نقطع التغذية، ثم نعكس طرفي دارة التوتر للواطمتر W2 (أو طرفي دارة تياره، لا الدارتين معًا، أو نستعمل مبدّل القطبية المدمج في الجهاز)؛
• نعيد التغذية ونقرأ الانحراف، وهو الآن موجب؛
• نسجّل القراءة بإشارة سالبة في الحسابات: $P = P_1 + P_2 = P_1 - |P_2|$.

أمثلة محلولة

المثال 1: محرك تحت الحمل

على شبكة 3×380 V، قرأنا $P_1 = 3260\ W$ و$P_2 = 980\ W$.

• $P = 3260 + 980 = 4240\ W$.
• $Q = \sqrt3\,(3260 - 980) = \sqrt3 \times 2280 \approx 3949\ VAR$.
• $S = \sqrt{4240^2 + 3949^2} \approx 5794\ VA$.
• $\cos\varphi = 4240 / 5794 \approx 0{,}732$.
• $I = \dfrac{S}{\sqrt3\,U} = \dfrac{5794}{\sqrt3 \times 380} \approx 8{,}80\ A$.

احسب $\sqrt3 \times 2280$ بالآلة الحاسبة مباشرة: إذا قرّبت $\sqrt3$ إلى 1,73 وجدت 3944 VAR بدل 3949 VAR، وهو خطأ تقريب يتراكم في S وφ.

المثال 2: المحرك نفسه يدور فارغًا

انحرف مؤشر W2 إلى الوراء؛ بعد عكس دارة توتره قرأنا 450 W، فـ $P_2 = -450\ W$، و$P_1 = 1150\ W$.

• $P = 1150 - 450 = 700\ W$.
• $Q = \sqrt3\,(1150 - (-450)) = \sqrt3 \times 1600 \approx 2771\ VAR$.
• $S = \sqrt{700^2 + 2771^2} \approx 2858\ VA$، و$\cos\varphi = 700/2858 \approx 0{,}245$، أي $\varphi \approx 76°$، وهي فعلًا أكبر من 60° كما تتطلّبه قراءة سالبة.

المحرك الفارغ يستهلك استطاعة فعالة صغيرة (ضياعاته فقط) لكنه يبقى يستهلك تقريبًا الاستطاعة الردية نفسها اللازمة لمغنطة الحديد، فينهار معامل استطاعته.

أخطاء شائعة

• كتابة $Q = \sqrt3\,(P_1 + P_2)$ أو $P = \sqrt3\,(P_1 - P_2)$: احفظ «المجموع يعطي P، والفرق مضروبًا في $\sqrt3$ يعطي Q».
• إهمال القراءة السالبة أو أخذها موجبة: مع $P_2 = -450\ W$ يصبح الخطأ في P أكثر من 100 %.
• استعمال $Q = \sqrt3\,(P_1 - P_2)$ لحمولة غير متوازنة: $P_1 + P_2$ يبقى صحيحًا، أما Q فلا.

> ملاحظة للامتحان: العلاقة $Q = \sqrt3\,(P_1 - P_2)$ مكتوبة للترتيب المباشر وللتركيب المرسوم. إذا عُكس ترتيب الأطوار (أو بُدّل الواطمتران) تتبادل القراءتان، فيعطي الفرق إشارة سالبة لحمولة حثية. في مواضيع البكالوريا تكون المنشأة حثية ($Q > 0$)، فاطرح القراءة الأصغر من الأكبر مع احترام إشارة القراءة السالبة، فهي دائمًا الأصغر.

4. لماذا نرفع معامل الاستطاعة وكيف؟

معامل الاستطاعة والتيار في الخط

من $P = \sqrt3\,U\,I\cos\varphi$ نستخرج تيار الخط:

$ I = \frac{P}{\sqrt3\,U\cos\varphi} $

من أجل الاستطاعة الفعالة نفسها (العمل المفيد نفسه) وتحت التوتر نفسه، كلما صغر $\cos\varphi$ كبر التيار. مثال: ورشة تستهلك 20 kW على شبكة 3×380 V:

| $\cos\varphi$ | 1 | 0,95 | 0,76 | 0,5 | |---|---|---|---|---| | تيار الخط I | 30,4 A | 32,0 A | 40,0 A | 60,8 A | | ضياعات الخط ($R_l = 0{,}2\ \Omega$ لكل ناقل) | 554 W | 614 W | 959 W | 2216 W |

الاستطاعة الردية لا تقدّم عملًا، لكن تيارها يمرّ في كل الأسلاك والمحولات بين المحطة والورشة.

عواقب معامل استطاعة منخفض

• ضياعات بمفعول جول أكبر في الخطوط: $p_J = 3\,R_l\,I^2$، أي أنها تتناسب عكسيًا مع $\cos^2\varphi$. الانتقال من 0,76 إلى 0,5 يضاعف الضياعات أكثر من مرتين.
• هبوط توتر أكبر على طول الخط، فتصل إلى الحمولات توترات أقل من الاسمية.
• تجهيزات أكبر وأغلى: مقطع الكوابل، وعيار المنصهرات والقواطع، واستطاعة المحول تُختار على أساس I وS لا P. محوّل 100 kVA يغذّي 95 kW بـ $\cos\varphi = 0{,}95$، لكنه لا يغذّي إلا 60 kW بـ $\cos\varphi = 0{,}6$.
• فاتورة أعلى: يسجّل عدّاد المشترك الصناعي الطاقة الردية أيضًا، ويفرض موزّع الكهرباء غرامة إذا نزل معامل الاستطاعة تحت قيمة يحدّدها العقد.

لهذا كله، رفع معامل الاستطاعة (amélioration ou relèvement du facteur de puissance) مصلحة للمشترك وللموزّع معًا.

المبدأ: إنتاج الاستطاعة الردية محليًا

المحركات تحتاج استطاعتها الردية لمغنطة دارتها المغناطيسية، فلا يمكن حذفها. لكن يمكن أن ننتجها في عين المكان بدل أن نسحبها من الشبكة: نربط بطارية مكثفات (batterie de condensateurs) على التفرع مع المنشأة. المكثفات تقدّم استطاعة ردية $Q_C$، فتنقص الاستطاعة الردية التي تأتي من الشبكة.

حسب بوشرو، مع بقاء الاستطاعة الفعالة P ثابتة (المكثفات المثالية لا تستهلك استطاعة فعالة):

$ Q' = Q - Q_C $

ونريد أن يصبح معامل الاستطاعة $\cos\varphi'$، أي $Q' = P\tan\varphi'$. بما أن $Q = P\tan\varphi$:

> $Q_C = P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')$ > > حيث φ التطاور قبل تركيب المكثفات، وφ′ التطاور بعد تركيبها ($\varphi' < \varphi$).

وتكتب بعض المواضيع الظلّ بالرمز tg بدل tan، والمعنى واحد.


يبيّن الشكل المثلثين: الضلع الأفقي P لا يتغيّر، والضلع الشاقولي ينزل من Q إلى Q′ بمقدار $Q_C$ (السهم البرتقالي)، فتصغر الزاوية من φ إلى φ′ ويقصر الوتر من S إلى S′، ويصغر معه تيار الخط.

مثال محلول كامل

منشأة على شبكة 3×380 V، 50 Hz، تستهلك $P = 20\ kW$ بـ $\cos\varphi = 0{,}76$. نريد رفع معامل استطاعتها إلى 0,95.

قبل التحسين:

• $\tan\varphi = \tan(\arccos 0{,}76) \approx 0{,}8552$، فـ $Q = 20\,000 \times 0{,}8552 \approx 17{,}10\ kVAR$.
• $S = P / \cos\varphi = 20\,000 / 0{,}76 \approx 26{,}32\ kVA$، و$I = \dfrac{S}{\sqrt3\,U} \approx 40{,}0\ A$.

بعد التحسين:

• $\tan\varphi' = \tan(\arccos 0{,}95) \approx 0{,}3287$، فـ $Q' = 20\,000 \times 0{,}3287 \approx 6{,}57\ kVAR$.
• $S' = 20\,000 / 0{,}95 \approx 21{,}05\ kVA$، و$I' \approx 32{,}0\ A$.

الاستطاعة الردية للبطارية:

$ Q_C = 20\,000\,(0{,}8552 - 0{,}3287) $

$ Q_C \approx 10{,}53\ kVAR $

الربح: تيار الخط نقص من 40 A إلى 32 A (−20 %)، والضياعات في الخط تتناسب مع $I^2$، فنسبتها $(32/40)^2 = 0{,}64$، أي نقصت بـ 36 %. ومع $R_l = 0{,}2\ \Omega$ لكل ناقل تنزل من 959 W إلى 614 W.

ملاحظة مهمة: البطارية لا تغيّر شيئًا في المحركات نفسها: كل محرك يمتص التيار نفسه و$\cos\varphi$ نفسه كما قبل. الذي يتحسّن هو الخط الواقع بين المنبع ونقطة ربط البطارية.

لماذا لا نرفع $\cos\varphi$ إلى 1 تمامًا؟

• الكلفة: للانتقال من 0,95 إلى 1 في المثال السابق نحتاج 6,57 kVAR إضافية (أكثر من 60 % مما ركّبناه)، ليصغر التيار من 32,0 A إلى 30,4 A فقط (−5 %).
• خطر التعويض الزائد (surcompensation): إذا توقّف محرك كبير والبطارية مربوطة، قد تصبح الاستطاعة الردية للبطارية أكبر من استطاعة الحمولات الباقية فتصير المنشأة سعوية، ويرتفع التوتر وقد يُغرَّم المشترك أيضًا.

لهذا يكون الهدف العملي غالبًا بين 0,9 و0,95، وهي القيم التي تطلبها مواضيع البكالوريا عادة.

أين نركّب البطارية؟

• تعويض شامل في مدخل المنشأة (بعد العداد): بطارية واحدة، الأبسط والأرخص، يستفيد منها خط الموزّع.
• تعويض جزئي في كل لوحة توزيع تغذّي مجموعة من الآلات.
• تعويض فردي عند مرابط محرك كبير يعمل مدة طويلة: تُوصل البطارية وتُفصل مع المحرك بالملامس نفسه، فيستفيد الخط الداخلي أيضًا ولا يقع تعويض زائد عند توقّفه.

أخطاء شائعة

• عكس الزاويتين: $P\,(\tan\varphi' - \tan\varphi)$ يعطي نتيجة سالبة؛ «قبل» ناقص «بعد».
• استعمال $\cos\varphi$ مكان $\tan\varphi$: $P\,(0{,}95 - 0{,}76)$ لا معنى له.
• الظنّ أن المكثفات تخفّض الاستطاعة الفعالة أو استهلاك الطاقة المفيدة: P ثابتة، الذي يتغيّر هو Q وS وI.

> ملاحظة للامتحان: احسب $\tan\varphi$ و$\tan\varphi'$ بأربعة أرقام بعد الفاصلة، لأن الفرق بينهما صغير وأيّ تقريب مبكّر يغيّر $Q_C$ والسعة بعدة بالمائة.

5. بطارية المكثفات: الإقران المثلثي والإقران النجمي

الاستطاعة الردية لمكثفة واحدة

مكثفة سعتها C تحت توتر جيبي منتج $U_c$ تواتره f لها ممانعة $X_C = \dfrac{1}{C\,\omega}$ مع $\omega = 2\pi f$ (أي $314\ rad/s$ في 50 Hz)، فيجتازها تيار $I_c = C\,\omega\,U_c$ متقدّم بـ 90° على التوتر. استطاعتها الردية (التي تقدّمها) هي:

$ Q = U_c\,I_c = C\,\omega\,U_c^2 $

لاحظ أنها تتناسب مع مربع التوتر المطبّق على المكثفة. هذا هو مفتاح المقارنة بين الإقرانين.

البطارية ثلاثية الطور ثلاث مكثفات متماثلة، تُقرن مثلثيًا أو نجميًا، وتُربط على التفرع مع المنشأة (عادة بقاطع أو ملامس خاص بها).

الإقران المثلثي


في الشكل، كل مكثفة $C_\Delta$ موصولة بين طورين (L1–L2، L2–L3، L3–L1)، فتخضع للتوتر المركب U. الاستطاعة الردية للبطارية:

$ Q_C = 3\,C_\Delta\,\omega\,U^2 $

ومع $Q_C = P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')$:

$ C_\Delta = \frac{P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')}{3\,U^2\,\omega} $

الإقران النجمي


في الشكل، كل مكثفة $C_Y$ موصولة بين طور ونقطة نجمة مشتركة غير مربوطة بالحيادي، فتخضع للتوتر البسيط $V = U/\sqrt3$:

$ Q_C = 3\,C_Y\,\omega\,V^2 = C_Y\,\omega\,U^2 $

$ C_Y = \frac{P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')}{U^2\,\omega} $

> لتقديم الاستطاعة الردية نفسها: $C_Y = 3\,C_\Delta$. كل مكثفة في المثلثي تحت توتر أكبر بـ $\sqrt3$، فاستطاعتها الردية أكبر بـ 3 مرات، فتكفي سعة أصغر بـ 3 مرات.

المقارنة واختيار الإقران

| | الإقران المثلثي | الإقران النجمي | |---|---|---| | التوتر بين طرفي كل مكثفة | U (380 V) | V (220 V) | | السعة اللازمة لكل مكثفة | $C_\Delta$ | $C_Y = 3\,C_\Delta$ | | التيار في كل مكثفة | $I_C/\sqrt3$ | $I_C$ | | التيار الذي تسحبه البطارية من الخط | $I_C = \dfrac{Q_C}{\sqrt3\,U}$ | الشيء نفسه |

في التوتر المنخفض (شبكة 220/380 V) نفضّل الإقران المثلثي: سعة أصغر بـ 3 مرات، أي مكثفات أصغر حجمًا وأرخص ثمنًا. ثمن ذلك أن كل مكثفة يجب أن تتحمّل التوتر المركب: نختار مكثفات توترها الاسمي لا يقل عن 380 V (عمليًا 400 V أو أكثر). أما الإقران النجمي فيُستعمل خصوصًا في التوتر المتوسط، حيث يصبح عزل المكثفة تحت التوتر المركب هو الأغلى.

المثال المحلول: تكملة منشأة 20 kW

في الجزء السابق وجدنا $Q_C \approx 10{,}53\ kVAR$ لرفع $\cos\varphi$ من 0,76 إلى 0,95، على شبكة 3×380 V، 50 Hz.

الإقران المثلثي:

$ 3\,U^2\,\omega = 3 \times 380^2 \times 314{,}16 $

وهي تساوي $136{,}09 \times 10^6$ تقريبًا (بوحدة $V^2 \cdot rad/s$)، ومنه:

$ C_\Delta = \frac{10\,530}{136{,}09 \times 10^6} $

$ C_\Delta \approx 77{,}4 \times 10^{-6}\ F = 77{,}4\ \mu F $

ثلاث مكثفات من $77{,}4\ \mu F$، توتر كل واحدة 380 V. التيار في كل مكثفة $J_C = C\,\omega\,U = 77{,}4 \times 10^{-6} \times 314{,}16 \times 380 \approx 9{,}24\ A$، والتيار الذي تسحبه البطارية من كل ناقل $I_C = \sqrt3 \times 9{,}24 \approx 16{,}0\ A$.

الإقران النجمي: $C_Y = 3 \times 77{,}4 \approx 232\ \mu F$ لكل مكثفة، تحت 220 V، ويجتازها $I_C \approx 16{,}0\ A$ (في النجمي تيار المكثفة هو تيار الخط).

التحقق: $I_C = \dfrac{Q_C}{\sqrt3\,U} = \dfrac{10\,530}{\sqrt3 \times 380} \approx 16{,}0\ A$ في الحالتين.

فخاخ الوحدات والصيغة

• $\omega = 2\pi f = 314\ rad/s$، لا $f = 50$: نسيان $2\pi$ يعطي سعة أكبر بـ 6,28 مرة.
• التوتر مربّع: $U^2 = 144\,400\ V^2$.
• المعامل 3 في المقام للمثلثي فقط؛ وإذا كتبت الصيغة بـ $V^2$ فهي صيغة النجمي ($3\,V^2 = U^2$).
• النتيجة بالفاراد: $10^{-6}\ F = 1\ \mu F$. سعات بطاريات التعويض في التوتر المنخفض من بضعة $\mu F$ إلى بضع مئات من $\mu F$؛ إذا وجدت بالمِلّي فاراد فراجع الحساب.
• ترتيب الزاويتين: φ قبل التحسين وφ′ بعده. بعض الملخّصات تقلب التسمية (φ1 وφ2)، فاعتمد دائمًا «قبل ناقص بعد» لتكون السعة موجبة.

> ملاحظة للامتحان: إذا لم يذكر الموضوع الإقران، فالمقصود عادةً الإقران المثلثي، وهو الذي تكتبه الملخّصات: $C = \dfrac{P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')}{3\,U^2\,\omega}$. وإذا طلب المقارنة مع النجمي فاكتب مباشرة $C_Y = 3\,C_\Delta$ مع التعليل بالتوتر.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

في كل التمارين: الشبكة ثلاثية الطور 220/380 V، 50 Hz، و$\omega = 314{,}16\ rad/s$.

التمرين 1: محطة تحضير الطلاء

تقديم النظام: محطة آلية تحضّر طلاءً صناعيًا في خزان. دفتر الشروط (مختصر): بعد الضغط على زر البدء، تملأ المضخة الخزان، ثم يعمل الخلّاط ويسخّن الفرن الخليط إلى درجة الحرارة المطلوبة، ثم يُفرغ الخزان. في أثقل مرحلة تعمل الحمولات الثلاث معًا.

جدول الاختيارات التكنولوجية (جزء الاستطاعة):

| الحمولة | الدور | المعطيات | |---|---|---| | M1 | محرك الخلّاط، لاتزامني ثلاثي الطور | 380/660 V؛ $P_u = 5{,}1\ kW$؛ $\eta = 0{,}85$؛ $\cos\varphi = 0{,}8$ | | R | مسخّن الخليط | ثلاث مقاومات، كل واحدة 1 kW تحت 380 V | | M2 | محرك المضخة، لاتزامني ثلاثي الطور | 220/380 V؛ $I = 4\ A$؛ $\cos\varphi = 0{,}8$ |

الأسئلة:

• حدّد إقران كل حمولة على الشبكة وعلّل.
• احسب التيار في كل مقاومة وتيار الخط للمسخّن.
• أكمل جدول بوشرو، ثم احسب $S_t$ و$\cos\varphi_t$ وتيار الخط $I_t$ في أثقل مرحلة.
• نريد رفع معامل الاستطاعة إلى 0,96 ببطارية مقرونة مثلثيًا. احسب $Q_C$ وسعة كل مكثفة وتيار الخط الجديد.
• ما سعة كل مكثفة لو قُرنت البطارية نجميًا؟ وما التوتر بين طرفيها؟

الحل:

1. M1 (380/660 V): كل وشيعة تتحمّل 380 V، والتوتر المركب للشبكة 380 V، فـ إقران مثلثي. R: كل مقاومة مصمّمة لـ 380 V، فـ إقران مثلثي. M2 (220/380 V): كل وشيعة تتحمّل 220 V، وهو التوتر البسيط، فـ إقران نجمي.

2. كل مقاومة تحت 380 V وتستهلك 1000 W: $J = 1000/380 \approx 2{,}63\ A$، وتيار الخط $I = \sqrt3\,J \approx 4{,}56\ A$. (وقيمة كل مقاومة $R = 380^2/1000 = 144{,}4\ \Omega$.)

3. M1: الاستطاعة الممتصة $P = P_u/\eta = 5100/0{,}85 = 6000\ W$، و$Q = 6000 \times 0{,}75 = 4500\ VAR$. M2: $P = \sqrt3 \times 380 \times 4 \times 0{,}8 \approx 2106\ W$، و$Q = \sqrt3 \times 380 \times 4 \times 0{,}6 \approx 1580\ VAR$.

| الحمولة | P (W) | Q (VAR) | |---|---|---| | M1 | 6000 | 4500 | | R | 3000 | 0 | | M2 | 2106 | 1580 | | المجموع | $11\,106$ | 6080 |

$ S_t = \sqrt{11\,106^2 + 6080^2} $

$ S_t \approx 12\,661\ VA $

$\cos\varphi_t = 11\,106/12\,661 \approx 0{,}877$، و$I_t = \dfrac{12\,661}{\sqrt3 \times 380} \approx 19{,}2\ A$.

4. $\tan\varphi_t = 6080/11\,106 \approx 0{,}5474$، و$\tan\varphi' = \tan(\arccos 0{,}96) \approx 0{,}2917$.

$ Q_C = 11\,106 \times (0{,}5474 - 0{,}2917) $

$ Q_C \approx 2840\ VAR $

$ C_\Delta = \frac{2840}{3 \times 380^2 \times 314{,}16} $

$ C_\Delta \approx 20{,}9\ \mu F $

تيار الخط الجديد: $I' = \dfrac{11\,106}{\sqrt3 \times 380 \times 0{,}96} \approx 17{,}6\ A$ بدل 19,2 A.

5. $C_Y = 3\,C_\Delta \approx 62{,}6\ \mu F$، وكل مكثفة تحت التوتر البسيط 220 V.

التمرين 2: البساط الناقل

تقديم النظام: بساط ناقل في خط تعبئة يحرّكه محرك لاتزامني M3: 220/380 V، $P_u = 2{,}7\ kW$. لقياس استطاعته ركّب التقني واطمترين حسب طريقة الواطمترين (W1 على L1، وW2 على L2، ودارتا التوتر إلى L3).

الأسئلة:

• ما إقران M3 على الشبكة؟
• تحت الحمل الاسمي: $P_1 = 2280\ W$ و$P_2 = 920\ W$. احسب P وQ وS و$\cos\varphi$ وتيار الخط ومردود المحرك.
• حين يدور البساط فارغًا: $P_1 = 640\ W$، ومؤشر W2 ينحرف إلى الوراء؛ بعد عكس دارة توتره يقرأ 240 W. احسب P وQ و$\cos\varphi$ وتيار الخط، وفسّر سلوك W2.
• نركّب عند مرابط M3 بطارية مثلثية (تعويض فردي) ترفع $\cos\varphi$ تحت الحمل الاسمي إلى 0,95. احسب $Q_C$ و$C_\Delta$.
• إذا بقيت البطارية مربوطة والبساط فارغ، ما معامل استطاعة المجموعة (محرك + بطارية)؟ هل يقع تعويض زائد؟

الحل:

1. 220/380 V على شبكة توترها المركب 380 V: إقران نجمي (كل وشيعة تحت 220 V).

2. $P = 2280 + 920 = 3200\ W$، و$Q = \sqrt3 \times (2280 - 920) \approx 2356\ VAR$، و$S = \sqrt{3200^2 + 2356^2} \approx 3974\ VA$، و$\cos\varphi = 3200/3974 \approx 0{,}805$، و$I = 3974/(\sqrt3 \times 380) \approx 6{,}04\ A$. المردود $\eta = P_u/P = 2700/3200 \approx 0{,}84$.

3. القراءة الثانية سالبة: $P_2 = -240\ W$. إذن $P = 640 - 240 = 400\ W$، و$Q = \sqrt3 \times (640 + 240) \approx 1524\ VAR$، و$S \approx 1576\ VA$، و$\cos\varphi \approx 0{,}25$، و$I \approx 2{,}39\ A$. وبما أن $\varphi \approx 75°$ أكبر من 60°، فإن قراءة W2 $U\,I\cos(\varphi + 30°)$ سالبة: المحرك الفارغ لا يستهلك إلا ضياعاته فعليًا، لكنه يبقى يحتاج استطاعة المغنطة الردية.

4. $Q' = 3200 \times 0{,}3287 \approx 1052\ VAR$، فـ $Q_C = 2356 - 1052 \approx 1304\ VAR$.

$ C_\Delta = \frac{1304}{3 \times 380^2 \times 314{,}16} $

$ C_\Delta \approx 9{,}6\ \mu F $

5. البطارية تقدّم دائمًا $Q_C \approx 1304\ VAR$ (التوتر لم يتغيّر). المجموعة الفارغة: $P = 400\ W$، و$Q = 1524 - 1304 \approx 220\ VAR$، فـ $S \approx 457\ VA$ و$\cos\varphi \approx 0{,}88$. Q بقيت موجبة: المجموعة ما تزال حثية، فلا تعويض زائد. ولو اخترنا بطارية تقدّم أكثر من 1524 VAR لأصبحت المجموعة سعوية عند الدوران فارغًا.

التمرين 3: فرن التجفيف

تقديم النظام: بعد التعبئة تمرّ العلب في فرن تجفيف فيه ثلاث مقاومات متماثلة $R = 76\ \Omega$. ويُغذّى الفرن والمحرك M3 (التمرين 2، تحت الحمل الاسمي) من الخط نفسه.

الأسئلة:

• احسب استطاعة الفرن إذا قُرنت مقاوماته نجميًا، ثم مثلثيًا.
• يتطلّب التجفيف 5,7 kW. ما الإقران المناسب؟ احسب J وI، واذكر التوتر الذي يجب أن تتحمّله كل مقاومة.
• ماذا يقرأ كل واطمتر لو قسنا استطاعة الفرن وحده بطريقة الواطمترين؟
• احسب الاستطاعة الظاهرية ومعامل الاستطاعة وتيار الخط للمجموعة (فرن + M3).

الحل:

1. نجمي: كل مقاومة تحت $V = U/\sqrt3$، فـ $P_Y = 3\,\dfrac{V^2}{R} = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{380^2}{76} = 1900\ W$. مثلثي: كل مقاومة تحت U، فـ $P_\Delta = 3\,\dfrac{U^2}{R} = 5700\ W$ (ثلاثة أضعاف).

2. 5,7 kW تتطلب الإقران المثلثي. $J = 380/76 = 5\ A$، و$I = \sqrt3 \times 5 \approx 8{,}66\ A$، وكل مقاومة يجب أن تتحمّل 380 V.

3. الفرن مقاومي ($\varphi = 0$)، فالقراءتان متساويتان: $P_1 = P_2 = U\,I\cos 30° = 380 \times 8{,}66 \times 0{,}866 \approx 2850\ W$، ومجموعهما 5700 W. وبالحساب المباشر: $Q = \sqrt3\,(P_1 - P_2) = 0$.

4. بوشرو: $P_t = 5700 + 3200 = 8900\ W$، و$Q_t = 0 + 2356 = 2356\ VAR$.

$ S_t = \sqrt{8900^2 + 2356^2} \approx 9206\ VA $

$\cos\varphi_t = 8900/9206 \approx 0{,}967$، و$I_t = \dfrac{9206}{\sqrt3 \times 380} \approx 14{,}0\ A$. لاحظ أن مجموع التيارين $8{,}66 + 6{,}04 = 14{,}70\ A$ أكبر من التيار الحقيقي، لأن تيار الفرن وتيار المحرك غير متوافقين في الطور.

خلاصة المنهجية في الامتحان

• الإقران أولًا: من لوحة المواصفات والتوتر المركب للشبكة.
• لكل حمولة P الممتصة وQ، ثم جدول بوشرو.
• الواطمتران: المجموع لـ P، والفرق مضروبًا في $\sqrt3$ لـ Q، والقراءة السالبة بإشارتها.
• التحسين: $Q_C = P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')$ ثم $C_\Delta = \dfrac{Q_C}{3\,U^2\,\omega}$، و$C_Y = 3\,C_\Delta$.
• الوحدات في كل نتيجة: W، VAR، VA، A، µF.