التيريستور والتقويم أحادي الطور المتحكم فيه

3. التقويم أحادي النوبة المتحكم فيه بحمولة مقاومية

التركيب


يبيّن الشكل أبسط مقوِّم متحكَّم فيه (redresseur commandé): منبع جيبي $v$ (ثانوي محول في الغالب)، وتيريستور Th، وحمولة مقاومية R (مقاومة تسخين مثلًا). أسهم التوترات موجّهة نحو القطب الموجب حسب الاصطلاح: $v$ توتر المنبع، و$u$ التوتر بين طرفي الحمولة، و$u_{Th} = v_{AK}$ التوتر بين طرفي التيريستور، و$i$ التيار المار في الدارة.

نكتب توتر المنبع:

$ v = V\sqrt2\,\sin\omega t = \hat V\sin\omega t $

حيث V القيمة الفعالة (مثلًا $230\ V$) و$\hat V = V\sqrt2$ القيمة العظمى. وقانون الحلقة يعطي في كل لحظة:

$ v = u_{Th} + u \qquad u = R\,i $

دارة القدح (غير مرسومة) موصولة بين G وK، ترسل نبضة في كل دور عند اللحظة الموافقة للزاوية $\theta$، متزامنة مع الشبكة.

التحليل على مجالات الدور

نستعمل المتغير الزاوي $\omega t$، ونعتبر التيريستور مثاليًّا:

| المجال | حالة Th | $u$ | $i$ | $u_{Th}$ | |---|---|---|---|---| | $0 < \omega t < \theta$ | مانع (انسداد مباشر) | $0$ | $0$ | $v$، موجب | | $\theta < \omega t < \pi$ | ممرّر | $v$ | $v/R$ | $0$ | | $\pi < \omega t < 2\pi$ | مانع (انسداد عكسي) | $0$ | $0$ | $v$، سالب |

نفسّر كل سطر:

• من $0$ إلى $\theta$: التوتر $v_{AK} = v$ موجب لكن النبضة لم تصل بعد، فالتيريستور في الانسداد المباشر. لا تيار، إذن $u = 0$ وكل توتر المنبع بين طرفي التيريستور.
• عند $\omega t = \theta$: يتحقق شرطا القدح، فيصبح التيريستور قاطعة مغلقة وتأخذ الحمولة توتر المنبع: $u = v$.
• عند $\omega t = \pi$: ينعدم $v$، فينعدم التيار $i = v/R$ وينزل تحت $I_H$: ينسدّ التيريستور انسدادًا طبيعيًّا.
• من $\pi$ إلى $2\pi$: $v < 0$، فالتيريستور مستقطب عكسيًّا. حتى لو وصلته نبضة لا يُقدح. يظهر التوتر السالب كله بين طرفيه.

ثم يتكرر الأمر في كل دور.

المنحنيات الزمنية من أجل $\theta = 60°$


يبيّن الشكل، على دورين، من الأعلى إلى الأسفل: توتر المنبع $v$ (متقطع) والتوتر $u$ (مُظلَّل)، ثم التيار $i$ الذي له شكل $u$ نفسه مقسومًا على R، ثم التوتر $u_{Th}$، ثم نبضات الزناد $i_G$ عند $\theta$ و$2\pi + \theta$.

نقرأ على منحنى $u_{Th}$ قيمتين مهمتين لاختيار التيريستور:

• أكبر توتر مباشر يتحمله وهو مانع: $\hat V\sin\theta$ إذا كان $\theta \le 90°$، و$\hat V$ إذا كان $\theta > 90°$ (لأن الذروة تأتي قبل القدح)؛
• أكبر توتر عكسي: $\hat V$ عند $\omega t = 3\pi/2$، مهما كانت $\theta$.

القيمة المتوسطة للتوتر

القيمة المتوسطة على دور واحد هي المساحة تحت المنحنى مقسومة على الدور. بالمتغير $x = \omega t$ يكون الدور $2\pi$، و$u$ معدوم خارج المجال $[\theta, \pi]$، فنكامل من $\theta$ إلى $\pi$ فقط:

$ \langle u\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{\theta}^{\pi} \hat V\sin x\,dx $

$ \langle u\rangle = \frac{\hat V}{2\pi}\Big[-\cos x\Big]_{\theta}^{\pi} $

ولأن $-\cos\pi + \cos\theta = 1 + \cos\theta$:

$ \langle u\rangle = \frac{V\sqrt2}{2\pi}\,(1+\cos\theta) $

> التقويم أحادي النوبة المتحكم فيه، حمولة R: > $\langle u\rangle = \dfrac{V\sqrt2}{2\pi}(1 + \cos\theta)$، و$\langle i\rangle = \dfrac{\langle u\rangle}{R}$، والتيار المتوسط في التيريستور $\langle i_{Th}\rangle = \langle i\rangle$.

حالات خاصة نتحقق بها من العلاقة:

• $\theta = 0$: $\langle u\rangle = \dfrac{V\sqrt2}{\pi}$، وهي قيمة التقويم أحادي النوبة بثنائية (لا تحكم)؛
• $\theta = 90°$: $\langle u\rangle = \dfrac{V\sqrt2}{2\pi}$، أي نصف قيمتها عند $\theta = 0$؛
• $\theta = 180°$: $\langle u\rangle = 0$، لا يمر شيء.

أثر زيادة زاوية القدح


من أجل $\theta = 120°$ تصبح المساحة المظللة أصغر بكثير: الحمولة لا تأخذ إلا «ذيل» النوبة الموجبة، فتنخفض القيمة المتوسطة. ونلاحظ أن التيريستور يتحمل الآن الذروة الموجبة $\hat V$ كاملة وهو مانع، لأن القدح يأتي بعدها.

القيمة الفعالة والاستطاعة

الاستطاعة التي تستهلكها مقاومة لا تُحسب بالقيم المتوسطة بل بالقيمة الفعالة: $P = U_{eff}^2/R$. ومن أجل هذا التركيب:

$ U_{eff} = V\sqrt{\frac{\pi - \theta}{2\pi} + \frac{\sin 2\theta}{4\pi}} $

($\theta$ بالراديان في الكسر الأول). من أجل $\theta = 0$ نجد $U_{eff} = V/\sqrt2 = \hat V/2$، وهي قيمة نصف الموجة المعروفة. يعطي الموضوع هذه العلاقة عادة إذا احتاج إليها.

مثال محلول

تقويم أحادي النوبة متحكم فيه: $V = 230\ V$، $f = 50\ Hz$، $R = 46\ \Omega$، و$\theta = 60°$.

• القيمة العظمى: $\hat V = 230\sqrt2 \approx 325{,}3\ V$.
• زمن تأخير القدح: $t_\theta = 20 \times 60/360 \approx 3{,}33\ ms$.
• القيمة المتوسطة للتوتر:

$ \langle u\rangle = \frac{325{,}3}{2\pi}\,(1 + 0{,}5) $

أي $\langle u\rangle \approx 77{,}7\ V$.

• التيار المتوسط: $\langle i\rangle = 77{,}7/46 \approx 1{,}69\ A$، وهو أيضًا التيار المتوسط في التيريستور.
• توترات التيريستور: أكبر توتر مباشر $325{,}3 \times \sin 60° \approx 281{,}7\ V$، وأكبر توتر عكسي $325{,}3\ V$.
• الاستطاعة في الحمولة: $U_{eff} = 230\sqrt{1/3 + 0{,}866/(4\pi)} \approx 145{,}9\ V$، إذن $P = 145{,}9^2/46 \approx 463\ W$.

لو حسبنا خطأً $\langle u\rangle \times \langle i\rangle = 77{,}7 \times 1{,}69 \approx 131\ W$ لوجدنا أقل من ثلث الاستطاعة الحقيقية.

> أخطاء شائعة تكلّف النقاط: المكاملة من حد خاطئ (من $0$، أو من ضعف زاوية القدح) بدل من $\theta$ إلى $\pi$؛ القسمة على $\pi$ بدل $2\pi$ في أحادي النوبة؛ نسيان $\sqrt2$ (استعمال V بدل $\hat V$)؛ ترك الحاسبة على الدرجات عند حساب $\omega t_\theta$ بالراديان أو العكس؛ رسم $u$ سالبًا خلال النوبة السالبة؛ وحساب الاستطاعة بجداء القيمتين المتوسطتين.

ملاحظة للامتحان: إذا أعطى الموضوع زمن التأخير بدل الزاوية، حوّله أولًا إلى زاوية ($\theta = \omega t_\theta$ أو $360° \times t_\theta/T$)، ثم طبّق العلاقة. وحين يُطلب «رسم المنحنيات»، ارسم $v$ أولًا بالتقطّع، ثم علّم $\theta$ و$\pi$ على محور الزمن قبل رسم $u$.

4. التقويم ثنائي النوبة بالجسر المختلط بحمولة مقاومية

لماذا الجسر المختلط؟

المقوّم أحادي النوبة لا يستغل إلا نصف الدور، فتبقى قيمته المتوسطة العظمى صغيرة ($0{,}45 \times V$ تقريبًا، حيث V القيمة الفعالة لتوتر المنبع)، ويسحب من المحول تيارًا في اتجاه واحد فقط. لاستغلال النوبتين نستعمل جسر غرايتز (pont de Graetz) الذي عرفناه بأربع ثنائيات، ونعوّض فيه ثنائيتين بتيريستورين: نحصل على الجسر المختلط (pont mixte)، وهو التركيب المقرر في البرنامج.

التركيب


يبيّن الشكل الجسر المختلط المتناظر:

• التيريستوران Th1 وTh2 مهبطاهما مشتركان ويشكّلان القطب الموجب للمخرج؛
• الثنائيتان D1 وD2 مصعداهما مشتركان ويشكّلان القطب السالب للمخرج؛
• المنبع $v = v_A - v_B$ (ثانوي المحول) موصول بين النقطتين A وB؛
• الحمولة R موصولة بين القطبين، والتوتر بين طرفيها $u$ والتيار $i$.

في كل نوبة يمر التيار في تيريستور وثنائية على التسلسل مع الحمولة:

• النوبة الموجبة ($v > 0$، أي A أعلى كمونًا): المسار A ثم Th1 ثم R ثم D2 ثم B؛
• النوبة السالبة ($v < 0$، أي B أعلى كمونًا): المسار B ثم Th2 ثم R ثم D1 ثم A.

في الحالتين يجتاز التيار الحمولة في الاتجاه نفسه، فيبقى $u \ge 0$.

القدح: يتلقى Th1 نبضته عند $\omega t = \theta$، ويتلقى Th2 نبضته عند $\omega t = \pi + \theta$، أي بعد نصف دور. (يمكن عمليًّا إرسال النبضة إلى الزنادين معًا كل نصف دور: لا يُقدح إلا التيريستور الذي يكون $v_{AK}$ عنده موجبًا.)

التحليل على مجالات الدور

| المجال | العناصر الممرّرة | $u$ | $i$ | $u_{Th1}$ | |---|---|---|---|---| | $0 < \omega t < \theta$ | لا شيء | $0$ | $0$ | $v$، موجب | | $\theta < \omega t < \pi$ | Th1 وD2 | $v$ | $v/R$ | $0$ | | $\pi < \omega t < \pi + \theta$ | لا شيء | $0$ | $0$ | $0$ | | $\pi + \theta < \omega t < 2\pi$ | Th2 وD1 | $-v$ | $-v/R$ | $v$، سالب |

لتحديد $u_{Th1}$ حين لا يمر أي تيار، نعتمد الفرضية المعتادة: الثنائيتان ذواتا المصعد المشترك تربطان القطب السالب للمخرج بالنقطة الأدنى كمونًا من بين A وB (تيار التسرب الضئيل للتيريستور المانع يمر عبر R وعبر الثنائية المستقطبة مباشرة، فتبقى هذه الثنائية كقاطعة مغلقة)، والقطب الموجب في الكمون نفسه لأن $u = 0$. فنجد:

• من $0$ إلى $\theta$: الأدنى كمونًا هي B، إذن $u_{Th1} = v_A - v_B = v$ (انسداد مباشر)، بينما $u_{Th2} = 0$.
• من $\theta$ إلى $\pi$: Th1 ممرّر، $u_{Th1} = 0$ و$u = v$. عند $\pi$ ينعدم التيار فينسدّ Th1 طبيعيًّا.
• من $\pi$ إلى $\pi + \theta$: الأدنى كمونًا هي A، فيصبح $u_{Th1} = 0$، أما Th2 فيتحمل $u_{Th2} = -v > 0$ في انسداد مباشر وينتظر نبضته.
• من $\pi + \theta$ إلى $2\pi$: Th2 وD1 يمرّران، فيصبح القطب الموجب في كمون B: $u_{Th1} = v_A - v_B = v 0$.

المنحنيات الزمنية من أجل $\theta = 60°$


يبيّن الشكل، على دورين: $v$ و$u$، ثم $i$، ثم $u_{Th1}$، ثم شريط العناصر الممرّرة في كل مجال، ثم نبضات $i_{G1}$ عند $\theta$ ونبضات $i_{G2}$ عند $\pi + \theta$.

نلاحظ:

• $u$ يتكوّن من «قمّتين» في كل دور: دور $u$ هو $T/2$ (أي $10\ ms$ على شبكة $50\ Hz$)؛
• كل تيريستور وكل ثنائية يمرّر قمّة واحدة من اثنتين؛
• أكبر توتر مباشر على Th1 هو $\hat V\sin\theta$ إذا كانت $\theta \le 90°$ و$\hat V$ إذا كانت أكبر. أما التوتر العكسي فلا يظهر عليه إلا بعد قدح Th2 (من $\pi + \theta$ إلى $2\pi$)، فأكبره $\hat V$ (عند $3\pi/2$) إذا كانت $\theta \le 90°$ كما هنا، و$\hat V\sin\theta$ إذا كانت أكبر. والثنائيات تتحمل توترًا عكسيًّا أعظميًّا $\hat V$ مهما كانت $\theta$.

القيمة المتوسطة للتوتر والتيارات

دور $u$ هو $\pi$ بالمتغير $x = \omega t$، و$u = \hat V\sin x$ على $[\theta, \pi]$ ومعدوم في بقية نصف الدور. نكامل إذن من $\theta$ إلى $\pi$ ونقسم على $\pi$:

$ \langle u\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\theta}^{\pi}\hat V\sin x\,dx $

$ \langle u\rangle = \frac{V\sqrt2}{\pi}\,(1+\cos\theta) $

وهي ضعف قيمة التقويم أحادي النوبة من أجل الزاوية نفسها، لأن الحمولة تأخذ قمّتين في الدور بدل قمّة واحدة.

> الجسر المختلط، حمولة R: > $\langle u\rangle = \dfrac{V\sqrt2}{\pi}(1 + \cos\theta)$، و$\langle i\rangle = \dfrac{\langle u\rangle}{R}$. > كل تيريستور وكل ثنائية: $\langle i_{Th}\rangle = \langle i_D\rangle = \dfrac{\langle i\rangle}{2}$، وأكبر توتر يتحمله العنصر (حين تتغيّر $\theta$ من $0°$ إلى $180°$) هو $V\sqrt2$.

وتفسير القسمة على 2: التيار المتوسط في الحمولة يتقاسمه فرعان، كل فرع يمرّر قمّة من قمّتي الدور.

حالات خاصة: من أجل $\theta = 0$ نجد $\langle u\rangle = \dfrac{2V\sqrt2}{\pi} \approx 0{,}9 \times V$، وهي قيمة جسر غرايتز بأربع ثنائيات؛ ومن أجل $\theta = 180°$ نجد $\langle u\rangle = 0$.

القيمة الفعالة لهذا التركيب (للاستطاعة $P = U_{eff}^2/R$):

$ U_{eff} = V\sqrt{\frac{\pi - \theta}{\pi} + \frac{\sin 2\theta}{2\pi}} $

ومن أجل $\theta = 0$ نجد $U_{eff} = V$: الحمولة تأخذ كل الاستطاعة كأنها موصولة مباشرة بالمنبع.

ميزة إضافية: تيار المنبع (ثانوي المحول) متناوب ($+i$ في النوبة الموجبة و$-i$ في السالبة)، فلا يحمل مركّبة مستمرة، عكس أحادي النوبة الذي يسحب تيارًا في اتجاه واحد فقط.

أثر زيادة الزاوية


من أجل $\theta = 120°$ لا يبقى من كل نوبة إلا الثلث الأخير، فتنخفض القيمة المتوسطة إلى $\langle u\rangle = \dfrac{V\sqrt2}{\pi} \times 0{,}5$. ويتحمل Th1 الآن الذروة الموجبة $\hat V$ وهو مانع، أما توتره العكسي فلا يبدأ إلا عند $\pi + \theta = 300°$ بعد الذروة السالبة، فأكبره $\hat V\sin 120° \approx 0{,}87\,\hat V$.

مقارنة بين التركيبين

| المقدار | أحادي النوبة | الجسر المختلط | |---|---|---| | العناصر | تيريستور واحد | تيريستوران وثنائيتان | | دور $u$ | $T$ | $T/2$ | | $\langle u\rangle$ | $\dfrac{V\sqrt2}{2\pi}(1 + \cos\theta)$ | $\dfrac{V\sqrt2}{\pi}(1 + \cos\theta)$ | | القيمة العظمى لـ $\langle u\rangle$ | $0{,}45 \times V$ | $0{,}9 \times V$ | | $\langle i_{Th}\rangle$ | $\langle i\rangle$ | $\langle i\rangle/2$ | | أكبر توتر على Th ($\theta$ من $0°$ إلى $180°$) | $V\sqrt2$ | $V\sqrt2$ | | نبضات القدح في الدور | واحدة | اثنتان، بينهما $T/2$ |

مثال محلول

جسر مختلط: $V = 230\ V$، $f = 50\ Hz$، $R = 46\ \Omega$، و$\theta = 60°$.

• لحظتا القدح في الدور الأول: Th1 عند $t = 20 \times 60/360 \approx 3{,}33\ ms$، وTh2 عند $10 + 3{,}33 = 13{,}33\ ms$.
• القيمة المتوسطة للتوتر:

$ \langle u\rangle = \frac{325{,}3}{\pi}\,(1 + 0{,}5) $

أي $\langle u\rangle \approx 155{,}3\ V$ (ضعف $77{,}65\ V$ التي وجدناها في أحادي النوبة).

• التيارات: $\langle i\rangle = 155{,}3/46 \approx 3{,}38\ A$، وفي كل تيريستور وكل ثنائية $\langle i_{Th}\rangle = 3{,}38/2 \approx 1{,}69\ A$.
• التوترات القصوى: التوتر العكسي على كل عنصر $325{,}3\ V$، وأكبر توتر مباشر على Th1 هو $325{,}3 \times \sin 60° \approx 281{,}7\ V$.
• الاستطاعة: $U_{eff} = 230\sqrt{2/3 + 0{,}866/(2\pi)} \approx 206{,}3\ V$، و$P = 206{,}3^2/46 \approx 925\ W$.
• من أجل $\theta = 120°$: $\langle u\rangle = 103{,}5 \times 0{,}5 \approx 51{,}8\ V$، و$\langle i\rangle \approx 1{,}13\ A$.

> أخطاء شائعة: نسب التيار المتوسط كله لكل تيريستور (هو النصف)، وقدح Th1 وTh2 في اللحظة نفسها، واختيار الزوج الخطأ (Th1 مع D1 لا يغلق أي دارة لأنهما في الفرع نفسه)، والقسمة على $2\pi$ كما في أحادي النوبة.

5. التحكم في زاوية القدح واختيار التيريستور

القيمة المتوسطة بدلالة زاوية القدح


يمثّل الشكل $\langle u\rangle$ بدلالة $\theta$ من أجل شبكة $V = 230\ V$: المنحنى العلوي للجسر المختلط، والسفلي لأحادي النوبة. النقطتان المعلّمتان توافقان $\theta = 60°$ اللتين حسبناهما في الجزأين السابقين.

| $\theta$ | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | $120°$ | $150°$ | $180°$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | أحادي النوبة (V) | $103{,}5$ | $96{,}6$ | $88{,}4$ | $77{,}7$ | $51{,}8$ | $25{,}9$ | $6{,}9$ | $0$ | | الجسر المختلط (V) | $207{,}1$ | $193{,}2$ | $176{,}7$ | $155{,}3$ | $103{,}5$ | $51{,}8$ | $13{,}9$ | $0$ |

نستخلص:

• $\langle u\rangle$ تتناقص من قيمتها العظمى إلى الصفر حين تزداد $\theta$ من $0°$ إلى $180°$؛
• التغيّر ليس خطيًّا: يتبع $1 + \cos\theta$، فهو بطيء قرب $0°$ وقرب $180°$، وأسرع قرب $90°$؛
• عند $\theta = 90°$ نحصل بالضبط على نصف القيمة العظمى.

بتغيير $\theta$ فقط، دون أي عنصر يبدد الطاقة، نضبط الطاقة المرسلة إلى الحمولة: هذا هو التحكم في الاستطاعة (variation de puissance) بالتيريستورات.

المسألة العكسية: أي زاوية لتوتر مطلوب؟

كثيرًا ما يعطي الموضوع التوتر المتوسط المطلوب ويسأل عن زاوية القدح. نعزل $\cos\theta$:

$ \cos\theta = \frac{\pi\,\langle u\rangle}{V\sqrt2} - 1 $

للجسر المختلط، و$\cos\theta = \dfrac{2\pi\,\langle u\rangle}{V\sqrt2} - 1$ لأحادي النوبة. ثم $\theta = \arccos(\dots)$ والحاسبة على الدرجات، ثم $t_\theta = T\,\theta/360°$.

شرط الإمكان: يجب ألا يتجاوز التوتر المطلوب القيمة العظمى للتركيب ($0{,}45 \times V$ أو $0{,}9 \times V$)، وإلا خرجت قيمة $\cos\theta$ عن المجال $[-1, 1]$ ولا يوجد حل.

مثال: جسر مختلط على شبكة $230\ V$ و$50\ Hz$، والمطلوب $\langle u\rangle = 100\ V$:

$ \cos\theta = \frac{\pi \times 100}{325{,}3} - 1 \approx -0{,}034 $

إذن $\theta \approx 92{,}0°$، و$t_\theta = 20 \times 92/360 \approx 5{,}11\ ms$. أما بتقويم أحادي النوبة فلا يمكن الحصول على $120\ V$ من هذه الشبكة مثلًا، لأن أقصى ما يعطيه $103{,}5\ V$.

دارة القدح ومكانها في النظام الآلي

في سلسلة الطاقة لنظام آلي (فرن، آلة قولبة، شاحن) يكون المقوّم المتحكم فيه هو المنفذ المتصدر الذي يوزّع الطاقة على الحمولة، ويحدد جزء التحكم قيمة $\theta$. وتؤدي دارة القدح (circuit de commande de gâchette) أربع وظائف:

• التزامن مع الشبكة: كشف مرور التوتر بالصفر، لكي يُحسب التأخير من بداية كل نوبة؛
• توليد التأخير $t_\theta$ القابل للضبط: خلية RC بمقاومة متغيرة، أو مؤقت في ميكرومراقب؛
• تشكيل النبضة: نبضة قصيرة شدتها أكبر من $I_{GT}$؛
• العزل الكهربائي: محول نبضات أو مقرنة ضوئية، لأن مهبط التيريستور قد يكون في كمون الشبكة، بينما دارة التحكم تعمل بـ $5\ V$ أو $12\ V$.

في مواضيع البكالوريا تُعطى دارة القدح عادة في شكل كتلة، والمطلوب هو الحسابات والمنحنيات والاختيار.

مثال من نظام آلي: فرن تجفيف يُسخَّن بالاستطاعة العظمى ($\theta = 0$) حتى تبلغ الحرارة $80\ °C$، ثم يحافظ عليها باستطاعة منخفضة ($\theta = 90°$ مثلًا). في المتمن (GRAFCET) تكون المرحلة الأولى «تسخين سريع» والثانية «حفظ الحرارة»، ويرسل جزء التحكم إلى دارة القدح الزاوية الموافقة لكل مرحلة.

اختيار التيريستور

نقارن القيم القصوى التي يفرضها التركيب بمعطيات الصانع، ونختار أصغر عيار يحقق كل الشروط:

> 1. التوتر: $V_{RRM} \ge V\sqrt2$ و$V_{DRM} \ge V\sqrt2$ (التوترات القصوى في الاتجاهين تساوي $\hat V$ في أسوأ الحالات). > 2. التيار المتوسط: $I_{T(AV)} \ge \langle i_{Th}\rangle_{max}$، والحالة الأسوأ هي $\theta = 0$. > 3. التيار الفعال (إن أعطاه الصانع): $I_{T(RMS)} \ge I_{Th\,eff\,max}$. > 4. الزناد: دارة القدح تعطي تيارًا أكبر من $I_{GT}$.

التيار المتوسط الأعظمي في التيريستور ($\theta = 0$):

• أحادي النوبة: $\langle i_{Th}\rangle_{max} = \dfrac{V\sqrt2}{\pi R}$؛
• الجسر المختلط: $\langle i\rangle_{max} = \dfrac{2V\sqrt2}{\pi R}$ ونصفه في كل تيريستور، فنجد القيمة نفسها $\dfrac{V\sqrt2}{\pi R}$.

والتيار الفعال الأعظمي في التيريستور: $\dfrac{V\sqrt2}{2R}$ في أحادي النوبة، و$\dfrac{V}{R\sqrt2}$ في الجسر المختلط، وهما القيمة نفسها مكتوبة بطريقتين، لأن التيريستور في الحالتين يمرّر قمّة واحدة في الدور.

يُستحسن في التطبيق ترك هامش أمان في التوتر (الشبكة تحمل أحيانًا قممًا عابرة)، لذلك نجد على شبكة $230\ V$ تيريستورات $600\ V$ غالبًا. في الامتحان نطبّق الشروط كما هي ما لم يذكر الموضوع هامشًا.

مثال محلول: اختيار من جدول صانع

جسر مختلط يغذي مقاومة تسخين $R = 23\ \Omega$ من شبكة $230\ V$ و$50\ Hz$، وتتغيّر $\theta$ من $0°$ إلى $180°$. المراجع المتوفرة:

| المرجع | $V_{DRM} = V_{RRM}$ | $I_{T(AV)}$ | $I_{T(RMS)}$ | $I_{GT}$ | |---|---|---|---|---| | TH-A | $200\ V$ | $5\ A$ | $8\ A$ | $15\ mA$ | | TH-B | $400\ V$ | $2{,}5\ A$ | $4\ A$ | $0{,}2\ mA$ | | TH-C | $400\ V$ | $5\ A$ | $8\ A$ | $15\ mA$ | | TH-D | $600\ V$ | $10\ A$ | $16\ A$ | $25\ mA$ |

• التوتر الأعظمي: $\hat V = 230\sqrt2 \approx 325\ V$، فيُستبعد TH-A ($200\ V$).
• التيار المتوسط الأعظمي في كل تيريستور:

$ \langle i_{Th}\rangle_{max} = \frac{325{,}3}{\pi \times 23} \approx 4{,}50\ A $

فيُستبعد TH-B ($2{,}5\ A$).

• التيار الفعال الأعظمي: $230/(23\sqrt2) \approx 7{,}07\ A$، وTH-C يتحمل $8\ A$.
• الاختيار: TH-C يحقق كل الشروط بأصغر عيار. TH-D يصلح أيضًا لكنه أكبر من اللازم (وأغلى، ويطلب تيار زناد أكبر).

والثنائيتان D1 وD2 تُختاران بالشروط نفسها: توتر عكسي أعظمي لا يقل عن $325\ V$ وتيار متوسط لا يقل عن $4{,}5\ A$.

> أخطاء شائعة: مقارنة $V_{RRM}$ بالقيمة الفعالة $230\ V$ بدل القيمة العظمى $325\ V$؛ الاختيار بالتيار المحسوب عند زاوية التشغيل العادية بدل الحالة الأسوأ $\theta = 0$؛ نسيان قسمة تيار الحمولة على 2 في الجسر (أو القسمة على 2 خطأً في أحادي النوبة)؛ مقارنة تيار فعال بـ $I_{T(AV)}$.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين الأول: نفق تجفيف قطع مطلية (الجسر المختلط)

تقديم النظام: بساط ناقل يُدخل قطعًا معدنية مطلية إلى نفق تجفيف. تُسخَّن النفق مقاومة $R = 23\ \Omega$ يغذيها جسر مختلط (Th1 وTh2 مهبطاهما مشتركان، وD1 وD2 مصعداهما مشتركان، Th1 وD1 في الفرع الموصول بالنقطة A) من الشبكة $V = 230\ V$، $f = 50\ Hz$.

مقتطف من دفتر الشروط:

• عند الإقلاع، تسخين سريع بالاستطاعة العظمى ($\theta = 0°$) حتى يكشف الملتقط الحراري بلوغ $60\ °C$؛
• بعد ذلك حفظ الحرارة بزاوية القدح $\theta = 90°$؛
• في المتمن: المرحلة 1 «تسخين سريع» تفرض $\theta = 0°$، والانتقال 1→2 قابليته «$60\ °C$ بلغت»، والمرحلة 2 «حفظ الحرارة» تفرض $\theta = 90°$.

يُعطى: $U_{eff} = V\sqrt{\frac{\pi - \theta}{\pi} + \frac{\sin 2\theta}{2\pi}}$ لهذا التركيب، وجدول التيريستورات:

| المرجع | $V_{DRM} = V_{RRM}$ | $I_{T(AV)}$ | $I_{T(RMS)}$ | |---|---|---|---| | TA | $400\ V$ | $4\ A$ | $6{,}3\ A$ | | TB | $600\ V$ | $5\ A$ | $8\ A$ | | TC | $200\ V$ | $8\ A$ | $12{,}5\ A$ | | TD | $800\ V$ | $12\ A$ | $20\ A$ |

الأسئلة:

• ما العنصران اللذان يمرّران التيار في النوبة الموجبة؟ وفي النوبة السالبة؟
• احسب $\langle u\rangle$ و$\langle i\rangle$ في المرحلة 1 ثم في المرحلة 2.
• في المرحلة 2: احسب زمن التأخير، وحدّد لحظتي نبضتي Th1 وTh2 في الدور الأول، وصف التوتر $u$.
• احسب الاستطاعة المستهلكة في المقاومة في كل مرحلة.
• اختر التيريستور المناسب (أصغر عيار يحقق الشروط) من الجدول.

الحل:

• النوبة الموجبة ($v_A > v_B$): Th1 ثم R ثم D2. النوبة السالبة: Th2 ثم R ثم D1.

• المرحلة 1 ($\theta = 0$):

$ \langle u\rangle_1 = \frac{230\sqrt2}{\pi}\,(1 + 1) $

أي $\langle u\rangle_1 \approx 207{,}1\ V$، و$\langle i\rangle_1 = 207{,}1/23 \approx 9{,}00\ A$.

المرحلة 2 ($\theta = 90°$، $\cos\theta = 0$): $\langle u\rangle_2 = 103{,}5\ V$ و$\langle i\rangle_2 = 103{,}5/23 \approx 4{,}50\ A$.

• $t_\theta = 20 \times 90/360 = 5\ ms$. نبضة Th1 عند $t = 5\ ms$ ونبضة Th2 عند $t = 15\ ms$. التوتر $u$ معدوم من $0$ إلى $5\ ms$، ويساوي $v$ من $5$ إلى $10\ ms$، ثم معدوم من $10$ إلى $15\ ms$، ثم يساوي $-v$ (موجب) من $15$ إلى $20\ ms$: قمّتان متماثلتان في الدور، ودور $u$ هو $10\ ms$.

• المرحلة 1: $U_{eff} = V = 230\ V$، إذن $P_1 = 230^2/23 = 2300\ W$.

المرحلة 2: $U_{eff} = 230\sqrt{1/2} \approx 162{,}6\ V$، إذن $P_2 = 162{,}6^2/23 \approx 1150\ W$، أي نصف الاستطاعة العظمى.

• الاختيار: التوتر الأعظمي $230\sqrt2 \approx 325\ V$، فيُستبعد TC. التيار المتوسط الأعظمي في كل تيريستور (المرحلة 1): $9{,}00/2 = 4{,}50\ A$، فيُستبعد TA ($4\ A$). والتيار الفعال الأعظمي $230/(23\sqrt2) \approx 7{,}07\ A$. المرجع TB ($600\ V$، $5\ A$، $8\ A$) يحقق كل الشروط بأصغر عيار؛ TD يصلح لكنه مفرط.

التمرين الثاني: سخّان ماء في آلة مشروبات آلية (أحادي النوبة)

تقديم النظام: في آلة مشروبات آلية، يسخّن الماء خزانٌ صغير فيه مقاومة $R = 20\ \Omega$ يغذيها تيريستور واحد (تقويم أحادي النوبة متحكم فيه) من الشبكة $V = 230\ V$، $f = 50\ Hz$. تصل نبضة القدح بعد $t_\theta = 2{,}5\ ms$ من بداية كل نوبة موجبة.

يُعطى لهذا التركيب: $U_{eff} = V\sqrt{\frac{\pi - \theta}{2\pi} + \frac{\sin 2\theta}{4\pi}}$.

الأسئلة:

• احسب زاوية تأخير القدح $\theta$.
• أكمل جدول حالات التيريستور وقيم $u$ و$u_{Th}$ على مجالات الدور.
• احسب $\langle u\rangle$ و$\langle i\rangle$.
• احسب أكبر توتر مباشر وأكبر توتر عكسي يتحملهما التيريستور.
• احسب الاستطاعة المستهلكة في المقاومة.
• كتب تلميذ: $\langle u\rangle = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{90°}^{180°}\hat V\sin x\,dx \approx 51{,}8\ V$. ما خطؤه؟

الحل:

• $\theta = 360° \times 2{,}5/20 = 45°$ (أي $\pi/4\ rad$).

• جدول الحالات:

| المجال | Th | $u$ | $u_{Th}$ | |---|---|---|---| | $0° < \omega t < 45°$ | مانع (مباشر) | $0$ | $v$ | | $45° < \omega t < 180°$ | ممرّر | $v$ | $0$ | | $180° < \omega t < 360°$ | مانع (عكسي) | $0$ | $v$ |

• القيمتان المتوسطتان:

$ \langle u\rangle = \frac{325{,}3}{2\pi}\,(1 + 0{,}707) $

أي $\langle u\rangle \approx 88{,}4\ V$، و$\langle i\rangle = 88{,}4/20 \approx 4{,}42\ A$.

• التوتر المباشر الأعظمي يكون عند لحظة القدح (لأن $45° < 90°$): $325{,}3 \times \sin 45° \approx 230\ V$. التوتر العكسي الأعظمي: $325{,}3\ V$ عند $\omega t = 270°$.

• $U_{eff} = 230\sqrt{0{,}375 + 1/(4\pi)} \approx 155{,}1\ V$، إذن $P = 155{,}1^2/20 \approx 1202\ W$.

• التلميذ كامل من $90°$، أي من ضعف زاوية القدح، بدل حد بداية التمرير $\theta = 45°$. التمرير يبدأ عند النبضة، فالحد الأدنى للتكامل هو $\theta$ نفسها، والقيمة الصحيحة $88{,}4\ V$ لا $51{,}8\ V$.

التمرين الثالث: اختيار التركيب لصفيحة لحام البلاستيك

تقديم النظام: في آلة لحام أكياس بلاستيكية، تُسخَّن صفيحة مقاومتها $R = 50\ \Omega$ من الشبكة $230\ V$، $50\ Hz$. يطلب دفتر الشروط توترًا متوسطًا قابلًا للضبط حتى $150\ V$.

الأسئلة:

• هل يصلح التقويم أحادي النوبة المتحكم فيه؟ علّل.
• نختار الجسر المختلط. احسب زاوية القدح وزمن التأخير للحصول على $\langle u\rangle = 150\ V$.
• احسب $\langle i\rangle$ والتيار المتوسط في كل تيريستور عند هذه النقطة.
• حدّد الشرطين اللذين يجب أن يحققهما التيريستور إذا كانت $\theta$ قابلة للضبط من $0°$ إلى $180°$.

الحل:

• أقصى ما يعطيه أحادي النوبة هو $230\sqrt2/\pi \approx 103{,}5\ V$ عند $\theta = 0$، وهو أقل من $150\ V$: لا يصلح.

• من $\langle u\rangle = \dfrac{V\sqrt2}{\pi}(1 + \cos\theta)$:

$ \cos\theta = \frac{\pi \times 150}{325{,}3} - 1 \approx 0{,}449 $

إذن $\theta \approx 63{,}3°$، و$t_\theta = 20 \times 63{,}3/360 \approx 3{,}52\ ms$.

• $\langle i\rangle = 150/50 = 3\ A$، وفي كل تيريستور $\langle i_{Th}\rangle = 1{,}5\ A$.

• التوتر: $V_{RRM} \ge 325\ V$ و$V_{DRM} \ge 325\ V$. التيار: الحالة الأسوأ $\theta = 0$ تعطي $\langle i\rangle_{max} = 207{,}1/50 \approx 4{,}14\ A$، فيجب $I_{T(AV)} \ge 2{,}07\ A$.

> منهجية لكل تمارين هذه الوحدة: (1) حوّل زمن التأخير إلى زاوية؛ (2) حدّد العناصر الممرّرة في كل مجال واكتب $u$ و$u_{Th}$؛ (3) طبّق علاقة القيمة المتوسطة المناسبة للتركيب، والتكامل دائمًا من $\theta$ إلى $\pi$؛ (4) اقسم على R، ثم على 2 لتيار كل عنصر في الجسر؛ (5) اختر العناصر بالحالة الأسوأ $\theta = 0$ وبالذروة $V\sqrt2$.