اختيار المشاريع الاستثمارية: القيمة الحالية الصافية وفترة الاسترداد

3. معيار القيمة الحالية الصافية (VAN)

التعريف

القيمة الحالية الصافية (Valeur Actuelle Nette: VAN) هي الفرق بين مجموع القيم الحالية للتدفقات الصافية التي يدرّها المشروع خلال مدته النفعية وتكلفة الاستثمار الأولية:

$ VAN = \sum_{k=1}^{n} CAF_k(1+t)^{-k} - I_0 $

فنحن نقارن ما يعود إلى المؤسسة (بعد إرجاعه إلى التاريخ 0) بما أنفقته في التاريخ 0. ولا نحيّن I0 لأنه يُنفق في التاريخ 0 نفسه (معامله يساوي 1).

تفسير النتيجة وقاعدة القرار

| النتيجة | المعنى | القرار | |---|---|---| | $VAN > 0$ | المشروع يسترد تكلفته، ويعطي الأموال المستثمرة عائدًا بمعدل t، ويحقق فوق ذلك فائضًا قيمته الحالية VAN | المشروع مقبول (مردود) | | $VAN = 0$ | المشروع يسترد تكلفته ويعطي العائد t بالضبط لا أكثر | حالة حدّية | | $VAN < 0$ | التدفقات المحيّنة لا تغطي تكلفة الاستثمار | المشروع مرفوض |

> المشروع مردود إذا كانت قيمته الحالية الصافية موجبة، وعند المقارنة بين مشروعين لهما نفس المدة النفعية نفضّل صاحب VAN الأكبر.

يُعبَّر عن VAN بالدينار وفي التاريخ 0: إذا كانت VAN مساوية 401 618,43 دج فمعناه أن المشروع يزيد ثروة المؤسسة بما يعادل اليوم 401 618,43 دج، بعد استرداد I0 ومكافأة الأموال بمعدل التحيين.

الحالة الأولى: تدفقات مختلفة من سنة لأخرى

نعدّ جدولًا من أربعة أعمدة. نعود إلى مؤسسة «الزيبان للتعليب» (الجزء الثاني): $I_0 = 1\,500\,000$ دج، ومعدل التحيين 10 %.

| السنة k | CAFk | $(1{,}10)^{-k}$ | CAFk المحيّن | |---|---|---|---| | 1 | 462 000 | 0,909091 | 420 000,04 | | 2 | 534 900 | 0,826446 | 442 065,97 | | 3 | 543 000 | 0,751315 | 407 964,05 | | 4 | 526 800 | 0,683013 | 359 811,25 | | 5 | 437 700 | 0,620921 | 271 777,12 | | المجموع | 2 504 400 | | 1 901 618,43 |

$ VAN = 1\,901\,618{,}43 - 1\,500\,000 $

$ VAN = 401\,618{,}43 \text{ DA} $

التعليق: $VAN > 0$، فالمشروع مردود: يسترد تكلفته، ويكافئ الأموال المستثمرة بمعدل 10 %، ويحقق فائضًا قدره 401 618,43 دج بقيمة التاريخ 0. ننصح المؤسسة بتنفيذه.

لاحظ أن مجموع التدفقات غير المحيّنة 2 504 400 دج؛ لو طرحنا منه I0 مباشرة لوجدنا 1 004 400 دج، وهي قيمة مضخمة لأنها تهمل أثر الزمن.

الحالة الثانية: تدفقات ثابتة

إذا كان التدفق نفسه كل سنة، فمجموع قيمه الحالية هو القيمة الحالية لدفعات ثابتة (درس الدفعات الثابتة):

$ VAN = CAF \cdot \dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t} - I_0 $

مثال: مشروع تكلفته 900 000 دج يدرّ تدفقًا صافيًا ثابتًا قدره 260 000 دج لمدة 5 سنوات، ومعدل التحيين 10 %.

$ \dfrac{1-(1{,}10)^{-5}}{0{,}10} = 3{,}790787 $

$ 260\,000 \times 3{,}790787 = 985\,604{,}62 $

$ VAN = 985\,604{,}62 - 900\,000 $

أي $VAN = 85\,604{,}62$ دج.

المشروع مردود بمعدل 10 %. لكن لو طلبت المؤسسة عائدًا بمعدل 14 % لكان معامل الدفعات 3,433081، ومجموع القيم الحالية $260\,000 \times 3{,}433081 = 892\,601{,}06$ دج، و$VAN = -7\,398{,}94$ دج: المشروع نفسه يصبح مرفوضًا. فكلما ارتفع معدل التحيين انخفضت VAN.

معاملات الدفعات الثابتة المفيدة

| المدة n | $t = 8\%$ | $t = 10\%$ | |---|---|---| | 4 | 3,312127 | 3,169865 | | 5 | 3,992710 | 3,790787 |

أسئلة عكسية

إيجاد I0: مشروع يدرّ تدفقًا ثابتًا قدره 450 000 دج لمدة 4 سنوات، ومعدل التحيين 10 %، وقيمته الحالية الصافية 226 439,25 دج. لدينا $I_0 = \sum CAF_k(1+t)^{-k} - VAN$:

مجموع القيم الحالية $450\,000 \times 3{,}169865 = 1\,426\,439{,}25$ دج، ومنه:

$ I_0 = 1\,426\,439{,}25 - 226\,439{,}25 $

أي $I_0 = 1\,200\,000$ دج.

إيجاد تدفق ثابت مجهول: إذا عُلمت VAN وI0 فإن $CAF = (VAN + I_0) \div \dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t}$، ثم نستنتج رقم الأعمال بصعود الجدول كما في الجزء الثاني.

أخطاء شائعة

• جمع التدفقات دون تحيين ثم طرح I0.
• استعمال $(1+t)^{k}$ بدل $(1+t)^{-k}$، أو معامل الرسملة $\dfrac{(1+t)^n-1}{t}$ بدل معامل التحيين في حالة التدفقات الثابتة.
• نسيان طرح I0، فتكتب VAN مساوية لمجموع القيم الحالية.
• تحيين I0، أو أخذه متضمنًا للرسم.
• الاكتفاء بالرقم دون تعليق: السؤال «هل المشروع مردود؟» يتطلب جملة تفسير.

ملاحظة للامتحان

اكتب في ورقة الإجابة الصيغة العامة أولًا، ثم الجدول بأعمدته الأربعة مع سطر المجموع، ثم VAN، ثم الحكم. وإذا أعطى النص معاملات تحيين بعدد معيّن من الأرقام فاستعملها كما هي.

4. معيار فترة الاسترداد بالتحيين (DR)

التعريف

فترة الاسترداد بالتحيين (Délai de Récupération actualisé: DR) هي المدة اللازمة لكي يغطي مجموع التدفقات الصافية المحيّنة المتراكمة تكلفة الاستثمار الأولية I0. فهي تجيب عن سؤال: متى تسترد المؤسسة الأموال التي أنفقتها، مع احتساب أثر الزمن؟

> DR هي المدة التي يصبح عندها مجموع التدفقات المحيّنة المتراكمة مساويًا لتكلفة الاستثمار I0.

يقيس هذا المعيار السيولة والخطر: كلما قصرت فترة الاسترداد عادت الأموال إلى الخزينة أسرع، وقلّ تعرّض المؤسسة لتقلبات المستقبل البعيد. ولذلك يُفضَّل المشروع صاحب أقصر DR.

خطوات الحساب

• نحيّن التدفقات كما في حساب VAN.
• نضيف عمودًا للتدفقات المحيّنة المتراكمة Ck: كل خانة = الخانة السابقة + التدفق المحيّن للسنة.
• نحدد السنة k التي يتجاوز فيها المتراكم I0: الاسترداد يقع بين نهاية السنة $k-1$ ونهاية السنة k.
• نحسب الجزء الكسري بالاستكمال الخطي (Interpolation) داخل السنة k، على افتراض أن تدفقها يتحقق بانتظام خلالها:

$ DR = (k-1) + \dfrac{I_0 - C_{k-1}}{d_k} $

حيث $C_{k-1}$ المتراكم في نهاية السنة السابقة، و$d_k$ التدفق المحيّن للسنة k (أي $C_k - C_{k-1}$).

• نحوّل الكسر إلى أشهر وأيام (الشهر 30 يومًا والسنة 360 يومًا): الأشهر = الكسر × 12، فنأخذ عددها الصحيح، ثم الأيام = الجزء العشري المتبقي × 30، ونقرّبها إلى أقرب يوم. وهذا يعادل ضرب الكسر في 360 يومًا ثم تحويل الأيام إلى أشهر.

مثال محلول: مؤسسة «الزيبان للتعليب»

$I_0 = 1\,500\,000$ دج ومعدل التحيين 10 % (التدفقات المحيّنة من الجزء الثالث):

| السنة k | CAFk المحيّن | المتراكم Ck | |---|---|---| | 1 | 420 000,04 | 420 000,04 | | 2 | 442 065,97 | 862 066,01 | | 3 | 407 964,05 | 1 270 030,06 | | 4 | 359 811,25 | 1 629 841,31 | | 5 | 271 777,12 | 1 901 618,43 |

المتراكم في نهاية السنة 3 (1 270 030,06 دج) أصغر من I0، وفي نهاية السنة 4 (1 629 841,31 دج) أكبر منه: الاسترداد يقع خلال السنة الرابعة. المبلغ الباقي للاسترداد بعد ثلاث سنوات هو $1\,500\,000 - 1\,270\,030{,}06 = 229\,969{,}94$ دج، وهو جزء من التدفق المحيّن للسنة الرابعة:

$ \dfrac{229\,969{,}94}{359\,811{,}25} = 0{,}639140 $

$ DR = 3 + 0{,}639140 = 3{,}639140 \text{ ans} $

التحويل: $0{,}639140 \times 12 = 7{,}669680$ أي 7 أشهر، ثم $0{,}669680 \times 30 = 20{,}09$ أي 20 يومًا تقريبًا. (وبالطريقة الثانية: $0{,}639140 \times 360 = 230{,}09$ يومًا، أي 7 أشهر و20 يومًا.)

> فترة الاسترداد: 3 سنوات و7 أشهر و20 يومًا تقريبًا.

التعليق: تسترد المؤسسة تكلفة خط التعليب، مع مكافأة أموالها بمعدل 10 %، بعد 3 سنوات و7 أشهر و20 يومًا، أي قبل نهاية مدته النفعية (5 سنوات) بأكثر من سنة.


يبيّن الشكل المتراكم المحيّن (بآلاف الدينارات) سنة بعد سنة. يقطع المنحنى الأزرق الخط الأحمر الأفقي I0 بين السنتين 3 و4: نقطة التقاطع البرتقالية هي DR. والاستكمال الخطي معناه أننا نصل بين نقطتي السنتين 3 و4 بقطعة مستقيمة. أما المسافة الخضراء بين المتراكم في نهاية السنة 5 وخط I0 فهي VAN نفسها.

العلاقة بين DR وVAN

بما أن $VAN = C_n - I_0$ (المتراكم في نهاية المدة ناقص التكلفة):

• إذا كانت $VAN > 0$ فإن المتراكم يتجاوز I0 قبل نهاية المدة، أي $DR < n$؛
• إذا كانت $VAN = 0$ فإن $DR = n$؛
• إذا كانت $VAN < 0$ فإن المشروع لا يسترد تكلفته خلال مدته النفعية، ولا معنى لحساب DR بمدّ الجدول إلى ما بعد n.

مثال: مشروع تكلفته 1 000 000 دج يدرّ 250 000 دج سنويًا لمدة 5 سنوات بمعدل 10 %. مجموع القيم الحالية $250\,000 \times 3{,}790787 = 947\,696{,}75$ دج، وهو أقل من I0، و$VAN = -52\,303{,}25$ دج: المشروع لا يسترد تكلفته المحيّنة خلال خمس سنوات، رغم أن تدفقاته الاسمية (1 250 000 دج) تفوق تكلفته. نرفضه.

فترة الاسترداد البسيطة ليست المطلوبة

قسمة I0 على تدفق ثابت (مثلًا $1\,000\,000 \div 250\,000 = 4$ سنوات في المثال السابق) تعطي فترة استرداد بسيطة غير محيّنة، وهي أقصر دائمًا من الحقيقية لأنها تهمل أثر الزمن، بل قد توهم بأن مشروعًا مرفوضًا يسترد تكلفته. البرنامج يطلب فترة الاسترداد بالتحيين، فنعتمد دائمًا جدول المتراكم المحيّن.

أخطاء شائعة

• تجميع التدفقات غير المحيّنة.
• قسمة المبلغ الباقي على المتراكم $C_k$ بدل التدفق المحيّن للسنة $d_k$.
• إضافة الكسر إلى k بدل $k-1$ (فتزيد DR سنة كاملة).
• قراءة 0,64 سنة على أنها 6 أشهر و4 أيام: الكسر العشري للسنة يُضرب في 12 ثم الباقي في 30.
• كتابة النتيجة بالسنوات العشرية وحدها حين يطلب النص السنوات والأشهر والأيام.

ملاحظة للامتحان

كثير من التصحيحات تسمّي $I_0 - C_{k-1}$ «الفرق الجزئي» و$C_k - C_{k-1}$ «الفرق الكلي»، وتكتب الجزء الكسري مباشرة بالأيام: $DR = 3$ سنوات و$0{,}639140 \times 360 \approx 230$ يومًا، وهو الشيء نفسه (230 يومًا = 7 أشهر و20 يومًا). اتبع الصيغة التي يطلبها السؤال، وقرّب الأيام إلى أقرب يوم. وإذا استعملت معاملات بثلاثة أرقام فقد يختلف العدد بيوم واحد (231 يومًا في هذا المثال)، وهو فرق تقريب مقبول.

5. المفاضلة بين مشروعين لهما نفس المدة النفعية

شرط المقارنة وخطواتها

يقتصر البرنامج على مقارنة مشروعين لهما نفس المدة النفعية: فالقيمة الحالية الصافية لمشروع مدته 4 سنوات لا تقارن مباشرة بقيمة مشروع مدته 6 سنوات، لأن الثاني يشغل الأموال مدة أطول. ولكل مشروع نتبع الخطوات نفسها:

• جدول التدفقات الصافية للخزينة (إذا لم تكن التدفقات معطاة).
• تحيين التدفقات ثم حساب VAN.
• المتراكم المحيّن ثم حساب DR.
• المقارنة والقرار مع التعليل.

قواعد القرار:

• كل مشروع قيمته الحالية الصافية سالبة يُرفض مهما كانت فترة استرداده؛ وإذا كانت القيمتان سالبتين نرفض المشروعين معًا.
• حسب معيار VAN نختار الأكبر قيمة حالية صافية.
• حسب معيار DR نختار الأقصر فترة استرداد.

الحالة الأولى: المعياران متفقان

مشروعان M وN، تكلفة كل منهما 1 300 000 دج، مدتهما 5 سنوات، ومعدل التحيين 10 %. التدفقات الصافية: M: 300 000، 400 000، 450 000، 450 000، 350 000 دج؛ N: 280 000، 320 000، 380 000، 420 000، 400 000 دج.

| k | M محيّن | M متراكم | N محيّن | N متراكم | |---|---|---|---|---| | 1 | 272 727,30 | 272 727,30 | 254 545,48 | 254 545,48 | | 2 | 330 578,40 | 603 305,70 | 264 462,72 | 519 008,20 | | 3 | 338 091,75 | 941 397,45 | 285 499,70 | 804 507,90 | | 4 | 307 355,85 | 1 248 753,30 | 286 865,46 | 1 091 373,36 | | 5 | 217 322,35 | 1 466 075,65 | 248 368,40 | 1 339 741,76 |

• $VAN_M = 1\,466\,075{,}65 - 1\,300\,000 = 166\,075{,}65$ دج، و$VAN_N = 1\,339\,741{,}76 - 1\,300\,000 = 39\,741{,}76$ دج.
• M: الباقي بعد 4 سنوات 51 246,70 دج، والكسر $51\,246{,}70 \div 217\,322{,}35 = 0{,}235810$، ومنه $0{,}235810 \times 12 = 2{,}829720$: شهران و25 يومًا. إذن $DR_M$ = 4 سنوات وشهران و25 يومًا.
• N: الباقي بعد 4 سنوات 208 626,64 دج، والكسر $208\,626{,}64 \div 248\,368{,}40 = 0{,}839989$، ومنه $0{,}839989 \times 12 = 10{,}079868$: 10 أشهر ويومان. إذن $DR_N$ = 4 سنوات و10 أشهر ويومان.

| المعيار | M | N | الأفضل | |---|---|---|---| | VAN | 166 075,65 | 39 741,76 | M (الأكبر) | | DR | 4 سنوات وشهران و25 يومًا | 4 سنوات و10 أشهر ويومان | M (الأقصر) |

القرار: المعياران يفضلان M، فنختاره دون تردد: يحقق فائضًا أكبر ويسترد تكلفته أسرع.

الحالة الثانية: المعياران متعارضان

مشروعان A وB، مدتهما 5 سنوات، ومعدل التحيين 10 %. تكلفة A هي 1 200 000 دج وتكلفة B هي 1 400 000 دج.

| k | CAF لـ A | CAF لـ B | |---|---|---| | 1 | 500 000 | 250 000 | | 2 | 450 000 | 350 000 | | 3 | 400 000 | 500 000 | | 4 | 300 000 | 600 000 | | 5 | 200 000 | 700 000 |

| k | A محيّن | A متراكم | B محيّن | B متراكم | |---|---|---|---|---| | 1 | 454 545,50 | 454 545,50 | 227 272,75 | 227 272,75 | | 2 | 371 900,70 | 826 446,20 | 289 256,10 | 516 528,85 | | 3 | 300 526,00 | 1 126 972,20 | 375 657,50 | 892 186,35 | | 4 | 204 903,90 | 1 331 876,10 | 409 807,80 | 1 301 994,15 | | 5 | 124 184,20 | 1 456 060,30 | 434 644,70 | 1 736 638,85 |

• $VAN_A = 1\,456\,060{,}30 - 1\,200\,000 = 256\,060{,}30$ دج، و$VAN_B = 1\,736\,638{,}85 - 1\,400\,000 = 336\,638{,}85$ دج.
• A: الباقي بعد 3 سنوات 73 027,80 دج، والكسر $73\,027{,}80 \div 204\,903{,}90 = 0{,}356400$، ومنه $0{,}356400 \times 12 = 4{,}276800$: 4 أشهر و8 أيام. إذن $DR_A$ = 3 سنوات و4 أشهر و8 أيام.
• B: الباقي بعد 4 سنوات 98 005,85 دج، والكسر $98\,005{,}85 \div 434\,644{,}70 = 0{,}225485$، ومنه $0{,}225485 \times 12 = 2{,}705820$: شهران و21 يومًا. إذن $DR_B$ = 4 سنوات وشهران و21 يومًا.

| المعيار | A | B | الأفضل | |---|---|---|---| | VAN | 256 060,30 | 336 638,85 | B (الأكبر) | | DR | 3 سنوات و4 أشهر و8 أيام | 4 سنوات وشهران و21 يومًا | A (الأقصر) |


يرسم الشكل، لكل مشروع، المتراكم المحيّن ناقص تكلفته (بآلاف الدينارات): ينطلق المنحنى من $-I_0$ في التاريخ 0، ويقطع المحور الأفقي عند DR، وينتهي في السنة 5 عند VAN. منحنى A يقطع المحور أولًا لأن تدفقاته كبيرة في السنوات الأولى ثم تتناقص، أما منحنى B فيتأخر لكنه يصعد بقوة في آخر المدة لأن تدفقاته متزايدة، فينتهي أعلى من A.

لماذا يتعارض المعياران؟

• VAN تأخذ في الحساب كل التدفقات حتى نهاية المدة، وتقيس المردودية: الثروة التي يضيفها المشروع.
• DR تتوقف عند لحظة الاسترداد وتهمل كل ما يأتي بعدها، وتقيس السيولة والخطر: سرعة عودة الأموال.

فمشروع تتأخر تدفقاته الكبيرة (B) يخسر في DR ويربح في VAN، والعكس للمشروع ذي التدفقات المبكرة (A).

ماذا نقرر؟

> عند تعارض المعيارين بين مشروعين لهما نفس المدة النفعية، نعتمد معيار VAN إذا لم يذكر النص قيدًا آخر، لأنه يقيس ما يضيفه المشروع إلى ثروة المؤسسة طوال مدته؛ ونعتمد معيار DR إذا ذكر النص أن المؤسسة تعطي الأولوية للاسترداد السريع (خزينة صعبة، محيط غير مستقر) أو حدّد مدة قصوى للاسترداد يتجاوزها أحد المشروعين.

في مثالنا:

• إذا لم يحدد النص أولوية: نختار B، لأنه يضيف 80 578,55 دج زيادة على A بقيمة التاريخ 0.
• إذا كانت المؤسسة تعاني من صعوبات في الخزينة، أو اشترطت ألا تتجاوز فترة الاسترداد 4 سنوات: نختار A، لأنه يعيد الأموال قبل B بنحو عشرة أشهر، بينما يتجاوز B حدّ السنوات الأربع.

ملاحظة للامتحان

• في ورقة الإجابة: احسب المعيارين للمشروعين، ثم لخصهما في جدول مقارنة، واكتب صراحة «المعياران متعارضان»، ثم القرار مع تعليل مرتبط بمعطيات النص. التعليل جزء من النقطة.
• إذا حدّد السؤال المعيار («اختر المشروع حسب معيار فترة الاسترداد») فطبّقه وحده، ولا تقرر بالمعيار الآخر؛ ويمكنك أن تذكر في سطر أن المعيار الآخر يعطي حكمًا مختلفًا.
• لا تقارن VAN مشروع بفترة استرداد مشروع آخر: كل معيار يقارَن بنظيره.
• للاطلاع فقط: توجد معايير أخرى مثل مؤشر الربحية ومعدل العائد الداخلي، وهي خارج البرنامج ولا تُطلب.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

الوضعية: مؤسسة «الأوراس للصناعات البلاستيكية»

مؤسسة «الأوراس للصناعات البلاستيكية» مؤسسة إنتاجية تخضع للضريبة على أرباح الشركات بمعدل 19 %، والرسم على القيمة المضافة (19 %) قابل للاسترجاع. تريد توسيع طاقتها الإنتاجية في 01/01/2026، وتعتمد معدل تحيين 8 %. معاملات التحيين:

| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | $(1{,}08)^{-k}$ | 0,925926 | 0,857339 | 0,793832 | 0,735030 | 0,680583 |

التمرين الأول: الآلة X (جدول التدفقات وVAN وDR)

المعطيات: عرض لاقتناء آلة X بمبلغ 2 856 000 دج متضمن الرسم، مدتها النفعية 4 سنوات، تهتلك خطيًا وقيمتها المتبقية معدومة. رقم الأعمال المتوقع: 2 000 000 دج ثم 2 300 000 دج ثم 2 500 000 دج ثم 2 200 000 دج. الأعباء المدفوعة السنوية: جزء متغير يمثل 40 % من رقم الأعمال وجزء ثابت قدره 250 000 دج (دون الاهتلاك).

المطلوب:

• احسب تكلفة الاستثمار وقسط الاهتلاك السنوي.
• أعدّ جدول التدفقات الصافية للخزينة.
• احسب القيمة الحالية الصافية بمعدل 8 % وعلّق.
• احسب فترة الاسترداد بالتحيين.

الحل

1. الرسم قابل للاسترجاع: $I_0 = 2\,856\,000 \div 1{,}19 = 2\,400\,000$ دج، وقسط الاهتلاك $2\,400\,000 \div 4 = 600\,000$ دج سنويًا.

2. الأعباء المدفوعة للسنة الأولى: $2\,000\,000 \times 0{,}40 + 250\,000 = 1\,050\,000$ دج، وبالطريقة نفسها 1 170 000 ثم 1 250 000 ثم 1 130 000 دج.

| البيان | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | رقم الأعمال | 2 000 000 | 2 300 000 | 2 500 000 | 2 200 000 | | − الأعباء المدفوعة | 1 050 000 | 1 170 000 | 1 250 000 | 1 130 000 | | − الاهتلاك | 600 000 | 600 000 | 600 000 | 600 000 | | = النتيجة قبل الضريبة | 350 000 | 530 000 | 650 000 | 470 000 | | − الضريبة 19 % | 66 500 | 100 700 | 123 500 | 89 300 | | = النتيجة الصافية | 283 500 | 429 300 | 526 500 | 380 700 | | + الاهتلاك | 600 000 | 600 000 | 600 000 | 600 000 | | = CAF | 883 500 | 1 029 300 | 1 126 500 | 980 700 |

3. التحيين والمتراكم:

| k | CAFk | المحيّن | المتراكم | |---|---|---|---| | 1 | 883 500 | 818 055,62 | 818 055,62 | | 2 | 1 029 300 | 882 459,03 | 1 700 514,65 | | 3 | 1 126 500 | 894 251,75 | 2 594 766,40 | | 4 | 980 700 | 720 843,92 | 3 315 610,32 |

$ VAN_X = \sum - I_0 $

أي $VAN_X = 3\,315\,610{,}32 - 2\,400\,000 = 915\,610{,}32$ دج. التعليق: القيمة موجبة، فالآلة X مردودة: تسترد تكلفتها، وتكافئ الأموال بمعدل 8 %، وتحقق فائضًا قدره 915 610,32 دج بقيمة 01/01/2026.

4. المتراكم يتجاوز 2 400 000 دج خلال السنة الثالثة. الباقي بعد سنتين $2\,400\,000 - 1\,700\,514{,}65 = 699\,485{,}35$ دج، والكسر $699\,485{,}35 \div 894\,251{,}75 = 0{,}782202$؛ ثم $0{,}782202 \times 12 = 9{,}386424$ أي 9 أشهر، و$0{,}386424 \times 30 \approx 12$ يومًا.

> $DR_X$ = سنتان و9 أشهر و12 يومًا.

التمرين الثاني: الآلة Y والمفاضلة

المعطيات: عرض ثانٍ لآلة Y تكلفتها 1 800 000 دج خارج الرسم، مدتها النفعية 4 سنوات (اهتلاك خطي، قيمة متبقية معدومة). النتائج الصافية المتوقعة: 400 000 دج ثم 330 000 دج ثم 250 000 دج ثم 170 000 دج.

المطلوب:

• احسب التدفقات الصافية للخزينة للآلة Y.
• احسب $VAN_Y$ و$DR_Y$.
• قارن بين الآلتين بالمعيارين.
• ما الآلة التي تنصح بها المؤسسة: (أ) إذا لم يكن لها قيد على السيولة؟ (ب) إذا أعلنت إدارتها أن خزينتها صعبة وأنها تعطي الأولوية لاسترجاع أموالها بسرعة؟

الحل

1. قسط الاهتلاك $1\,800\,000 \div 4 = 450\,000$ دج، والتدفق = النتيجة الصافية + الاهتلاك: 850 000 ثم 780 000 ثم 700 000 ثم 620 000 دج.

2.

| k | CAFk | المحيّن | المتراكم | |---|---|---|---| | 1 | 850 000 | 787 037,10 | 787 037,10 | | 2 | 780 000 | 668 724,42 | 1 455 761,52 | | 3 | 700 000 | 555 682,40 | 2 011 443,92 | | 4 | 620 000 | 455 718,60 | 2 467 162,52 |

$VAN_Y = 2\,467\,162{,}52 - 1\,800\,000 = 667\,162{,}52$ دج، موجبة: الآلة Y مردودة أيضًا.

الاسترداد خلال السنة الثالثة: الباقي $1\,800\,000 - 1\,455\,761{,}52 = 344\,238{,}48$ دج، والكسر $344\,238{,}48 \div 555\,682{,}40 = 0{,}619488$؛ ثم $0{,}619488 \times 12 = 7{,}433856$ أي 7 أشهر، و$0{,}433856 \times 30 \approx 13$ يومًا.

> $DR_Y$ = سنتان و7 أشهر و13 يومًا.

3.

| المعيار | X | Y | الأفضل | |---|---|---|---| | VAN | 915 610,32 | 667 162,52 | X | | DR | سنتان و9 أشهر و12 يومًا | سنتان و7 أشهر و13 يومًا | Y |

للآلتين نفس المدة النفعية (4 سنوات)، والمعياران متعارضان: X تضيف ثروة أكبر بـ 248 447,80 دج، وY تعيد الأموال أسرع بنحو شهرين.

4. (أ) دون قيد على السيولة نعتمد معيار VAN، فننصح بالآلة X. (ب) إذا كانت الأولوية لاسترجاع الأموال بسرعة نعتمد معيار DR، فننصح بالآلة Y، مع العلم أنها مردودة أيضًا ($VAN_Y > 0$).

التمرين الثالث: مشروع توسعة Z (أسئلة عكسية)

المعطيات: تدرس المؤسسة أيضًا مشروع توسعة Z تكلفته 2 000 000 دج خارج الرسم، مدته النفعية 5 سنوات (اهتلاك خطي، قيمة متبقية معدومة)، يدرّ تدفقًا صافيًا ثابتًا. الأعباء المدفوعة السنوية 700 000 دج. قيمته الحالية الصافية بمعدل 8 % هي 567 312,53 دج، ويعطى $\dfrac{1-(1{,}08)^{-5}}{0{,}08} = 3{,}992710$.

المطلوب:

• احسب التدفق الصافي السنوي الثابت.
• استنتج النتيجة الصافية والنتيجة قبل الضريبة ورقم الأعمال السنوي.
• احسب فترة الاسترداد بالتحيين.

الحل

1. مجموع القيم الحالية $VAN + I_0 = 567\,312{,}53 + 2\,000\,000 = 2\,567\,312{,}53$ دج، ومنه:

$ CAF = 2\,567\,312{,}53 \div 3{,}992710 $

أي $CAF = 643\,000$ دج سنويًا.

2. قسط الاهتلاك $2\,000\,000 \div 5 = 400\,000$ دج.

• النتيجة الصافية $643\,000 - 400\,000 = 243\,000$ دج.
• النتيجة قبل الضريبة $243\,000 \div 0{,}81 = 300\,000$ دج (والضريبة 57 000 دج).
• رقم الأعمال $300\,000 + 400\,000 + 700\,000 = 1\,400\,000$ دج.

تحقق: $(1\,400\,000 - 700\,000) \times 0{,}81 + 0{,}19 \times 400\,000 = 567\,000 + 76\,000 = 643\,000$ دج.

3.

| k | المحيّن | المتراكم | |---|---|---| | 1 | 595 370,42 | 595 370,42 | | 2 | 551 268,98 | 1 146 639,40 | | 3 | 510 433,98 | 1 657 073,38 | | 4 | 472 624,29 | 2 129 697,67 | | 5 | 437 614,87 | 2 567 312,54 |

(الفرق سنتيم واحد مع 2 567 312,53 دج سببه تقريب كل سطر.) الاسترداد خلال السنة الرابعة: الباقي $2\,000\,000 - 1\,657\,073{,}38 = 342\,926{,}62$ دج، والكسر $342\,926{,}62 \div 472\,624{,}29 = 0{,}725580$؛ ثم $0{,}725580 \times 12 = 8{,}706960$ أي 8 أشهر، و$0{,}706960 \times 30 \approx 21$ يومًا.

> $DR_Z$ = 3 سنوات و8 أشهر و21 يومًا، أقل من المدة النفعية (5 سنوات)، وهو منسجم مع $VAN_Z > 0$.

ما يراقبه المصحح في هذا الجزء من الموضوع

• I0 خارج الرسم، والقسط على I0.
• الجدول بأسطره الثمانية، والضريبة على النتيجة بعد الاهتلاك.
• معاملات التحيين الصحيحة وسطر المجموع.
• VAN مع جملة تعليق.
• DR بالمتراكم المحيّن والاستكمال، والتحويل الصحيح إلى أشهر وأيام.
• عند المقارنة: جدول ملخص، وذكر تطابق المعيارين أو تعارضهما، وقرار معلّل بمعطيات النص.