القرض العادي: جدول الاستهلاك والتسجيل المحاسبي

3. العلاقات بين عناصر جدول الاستهلاك

لماذا نحتاج العلاقات؟

بناء الجدول سطرًا بسطر يكفي حين نعرف $V_0$ و$i$ و$n$. لكن امتحان البكالوريا كثيرًا ما يعطي سطرًا ناقصًا أو بعض الخانات فقط (استهلاكين، فائدتين، رأس مال متبقيًا…) ويطلب الباقي، أو يطلب السطر الأخير مباشرة. هنا نحتاج العلاقات بين عناصر الجدول، وكلها تنتج من التعريفات الثلاثة التي رأيناها:

$a = I_p + A_p$

$I_p = V_{p-1}\times i$

$V_p = V_{p-1} - A_p$

العلاقة الأولى: الاستهلاك الأول

في السطر الأول رأس المال أول الفترة هو $V_0$، فالفائدة $I_1 = V_0\times i$ والاستهلاك:

$A_1 = a - V_0\,i$

العلاقة الأساسية: الاستهلاكات متتالية هندسية

نكتب الدفعة في سطرين متتاليين: $a = I_p + A_p$ و$a = I_{p+1} + A_{p+1}$. بطرح المساواتين:

$A_{p+1} - A_p = I_p - I_{p+1}$

لكن $I_p - I_{p+1} = (V_{p-1} - V_p)\times i = A_p\times i$، لأن الفرق بين رأسَي مال متتاليين هو الاستهلاك $A_p$. إذن:

$A_{p+1} - A_p = A_p\,i$

$A_{p+1} = A_p(1+i)$

> الاستهلاكات تتزايد بنسبة ثابتة $(1+i)$: كل استهلاك يساوي سابقه مضروبًا في $(1+i)$، ونقص الفائدة من سطر إلى الموالي يساوي $A_p\times i$.

نتائج مباشرة

• الاستهلاك رقم $p$ بدلالة الأول:

$A_p = A_1(1+i)^{p-1}$

• نسبة استهلاكين: إذا كان $q$ أكبر من $p$ فإن $\dfrac{A_q}{A_p} = (1+i)^{q-p}$. مثلًا $\dfrac{A_3}{A_1} = (1+i)^2$ و$\dfrac{A_5}{A_2} = (1+i)^3$. ومنها يُستخرج المعدل: إذا كان $\dfrac{A_3}{A_1} = 1{,}1664$ فإن $1+i = \sqrt{1{,}1664} = 1{,}08$ أي $i = 8\%$.
• فرق فائدتين متتاليتين:

$I_p - I_{p+1} = A_p\,i$

وإذا عرفنا الفرق والاستهلاك استخرجنا $i$، وإذا عرفنا الفرق و$i$ استخرجنا $A_p$.

علاقات السطر الأخير

في السطر الأخير يُسدَّد كل الباقي: $A_n = V_{n-1}$، والفائدة $I_n = V_{n-1}\times i = A_n\times i$، فالدفعة:

$a = A_n + A_n\,i = A_n(1+i)$

$A_n = \dfrac{a}{1+i}$

ومنها أيضًا $A_n = A_1(1+i)^{n-1}$. هاتان العلاقتان تسمحان بإنجاز السطر الأخير دون الأسطر الوسطى.

علاقات رأس المال

• رأس المال أول الفترة من الفائدة: من $I_p = V_{p-1}\times i$:

$V_{p-1} = \dfrac{I_p}{i}$

وبالخصوص $V_0 = \dfrac{I_1}{i}$.

• مبلغ القرض هو مجموع الاستهلاكات: $V_0 = A_1 + A_2 + \dots + A_n$، وهي متتالية هندسية أساسها $(1+i)$، فمجموعها (بالصيغة نفسها التي استعملناها للقيمة المكتسبة لدفعات ثابتة):

$V_0 = A_1\,\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$

• المبلغ المسدَّد من الأصل بعد $p$ دفعة (تكتبه التصحيحات $R_p$) هو $R_p = A_1 + \dots + A_p = A_1\dfrac{(1+i)^p-1}{i}$، ورأس المال المتبقي $V_p = V_0 - R_p$.
• رأس المال المتبقي هو القيمة الحالية للدفعات الباقية (وعددها $n-p$):

$V_p = a\,\dfrac{1-(1+i)^{-(n-p)}}{i}$

جدول ملخّص: ماذا أحسب، ومن أي معطى؟

| المطلوب | العلاقة | |---|---| | الاستهلاك الأول | $A_1 = a - V_0\,i$ | | استهلاك لاحق | $A_{p+1} = A_p(1+i)$ أو $A_p = A_1(1+i)^{p-1}$ | | المعدل من استهلاكين | $(1+i)^{q-p} = A_q \div A_p$ | | المعدل من فائدتين متتاليتين | $i = (I_p - I_{p+1}) \div A_p$ | | المعدل من فائدة ورأس مال | $i = I_p \div V_{p-1}$ | | المعدل من الدفعة والاستهلاك الأخير | $1+i = a \div A_n$ | | الدفعة | $a = A_p + I_p$ أو $a = A_n(1+i)$ | | مبلغ القرض | $V_0 = I_1 \div i$ أو $V_0 = A_1\frac{(1+i)^n-1}{i}$ | | رأس المال أول الفترة | $V_{p-1} = I_p \div i$ |

> ملاحظة للامتحان: «المعدل من استهلاكين» ليس حلًّا لصيغة الدفعة الثابتة، بل جذر بسيط لنسبة، وهو مطلوب كثيرًا في البكالوريا. أما استخراج $i$ من $V_0$ و$a$ و$n$ وحدها فليس من البرنامج.

تطبيق على جدول الجزء الثاني

نعود إلى قرض «الونشريس للنقل» (800 000 دج، 8 %، 5 دفعات، $a = 200\,365{,}04$ دج) ونتحقق من العلاقات:

• $A_1 = 200\,365{,}04 - 800\,000\times 0{,}08 = 136\,365{,}04$ دج، كما في الجدول.
• $\dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{147\,274{,}24}{136\,365{,}04} = 1{,}08$.
• $I_1 - I_2 = 64\,000 - 53\,090{,}80 = 10\,909{,}20$، و$A_1\times 0{,}08 = 10\,909{,}20$ دج.
• المبلغ المسدَّد من الأصل بعد دفعتين: $A_1\times\dfrac{(1{,}08)^2-1}{0{,}08} = 136\,365{,}04\times 2{,}08 = 283\,639{,}28$ دج، فرأس المال المتبقي $800\,000 - 283\,639{,}28 = 516\,360{,}72$ دج، وهو $V_2$ في الجدول.
• السطر الأخير بالعلاقة: $A_5 = A_1(1{,}08)^4 = 136\,365{,}04\times 1{,}360489 = 185\,523{,}14$ دج، وفي الجدول 185 523,86 دج.

الفرق في النقطة 5 (0,72 دج) هو أثر التدوير الذي رأيناه في الجزء الثاني: العلاقات دقيقة رياضيًا، لكن الأرقام المدوَّرة في الجدول تبتعد عنها ببضعة سنتيمات أو دنانير قليلة. إذا طُلب السطر الأخير دون الجدول الكامل فإن $A_n = A_1(1+i)^{n-1}$ أو $A_n = \dfrac{a}{1+i}$ يعطي جوابًا مقبولًا؛ وإذا كان الجدول كاملًا أمامك فالاستهلاك الأخير هو رأس المال الباقي $V_{n-1}$.

أخطاء شائعة

• كتابة $A_p = A_1(1+i)^{p}$ بدل الأس $p-1$: بين $A_1$ و$A_4$ ثلاث خطوات لا أربع.
• استخراج المعدل من $\dfrac{A_3}{A_1}$ دون جذر: النسبة $1{,}1881$ تعني $i = 9\%$ لا 18,81 %.
• الخلط بين $a = A_n(1+i)$ و$a = A_1(1+i)$: الثانية خاطئة، والصحيح $a = A_1(1+i)^n$ لأن $a = A_n(1+i) = A_1(1+i)^{n-1}(1+i)$.
• ظنّ أن الفوائد متتالية هندسية: الفوائد تتناقص بفروق $A_p\times i$ وليست مضروبة في نسبة ثابتة.

4. إكمال الجدول وإيجاد عناصر القرض من معطيات جزئية

منهجية عامة

حين يعطي نص الامتحان بعض خانات الجدول فقط، نتّبع ثلاث خطوات:

• نبحث عن المعدل $i$ أولًا، لأنه مفتاح كل العلاقات. نستخرجه من: نسبة استهلاكين، أو فرق فائدتين متتاليتين مع استهلاك، أو فائدة ورأس المال أول فترتها، أو الدفعة والاستهلاك الأخير.
• نستخرج الاستهلاك الأول $A_1$ والدفعة $a$ ومبلغ القرض $V_0$ بالعلاقات: $A_p = A_1(1+i)^{p-1}$، و$a = A_p + I_p$، و$V_0 = \dfrac{I_1}{i}$ أو $V_0 = A_1 + A_2 + \dots$ أو صيغة القيمة الحالية.
• نكمل الأسطر المطلوبة بالطريقة العادية، ونُنجز السطر الأخير بـ $A_n = A_1(1+i)^{n-1}$ أو $A_n = \dfrac{a}{1+i}$.

> نكتب في كل خطوة العلاقة المستعملة ثم التعويض ثم النتيجة. والمعدل الناتج يكون في الامتحان رقمًا «مستديرًا» (5 %، 8 %، 9,5 %…): إذا خرج 8,0003 % فهو 8 % مع فرق تدوير.

الحالة 1: من استهلاكين ومبلغ القرض

اقترضت مؤسسة «تيقزيرت للخزف» 1 000 000 دج تُسدَّد بست دفعات سنوية ثابتة. يُستخرج من جدول الاستهلاك: $A_2 = 142\,568{,}12$ دج و$A_4 = 172\,507{,}42$ دج.

المطلوب: معدل الفائدة، الدفعة الثابتة، السطران الأول والثاني، والسطر الأخير.

الحل:

$\dfrac{A_4}{A_2} = (1+i)^2$

$(1+i)^2 = \dfrac{172\,507{,}42}{142\,568{,}12}$

$(1+i)^2 = 1{,}21$

$1+i = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$

إذن $i = 10\%$. ثم:

• $A_1 = \dfrac{A_2}{1{,}1} = \dfrac{142\,568{,}12}{1{,}1} = 129\,607{,}38$ دج.
• $I_1 = V_0\times i = 1\,000\,000\times 0{,}1 = 100\,000$ دج.
• $a = A_1 + I_1 = 129\,607{,}38 + 100\,000 = 229\,607{,}38$ دج.

| الفترة | رأس المال أول الفترة | الفائدة | الاستهلاك | الدفعة | رأس المال آخر الفترة | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 1 000 000,00 | 100 000,00 | 129 607,38 | 229 607,38 | 870 392,62 | | 2 | 870 392,62 | 87 039,26 | 142 568,12 | 229 607,38 | 727 824,50 | | 6 | 208 733,98 | 20 873,40 | 208 733,98 | 229 607,38 | 0,00 |

حساب السطر الأخير: $A_6 = A_4(1{,}1)^2 = 172\,507{,}42\times 1{,}21 = 208\,733{,}98$ دج، وهو رأس المال الباقي أول الفترة السادسة؛ والفائدة $I_6 = 208\,733{,}98\times 0{,}1 = 20\,873{,}40$ دج؛ والمجموع يعطي الدفعة 229 607,38 دج. لاحظ أن الاستهلاك الثاني الذي وجدناه في الجدول ($229\,607{,}38 - 87\,039{,}26$) يساوي فعلًا المعطى 142 568,12 دج: هذا تحقّق مفيد.

الحالة 2: من سطر ناقص (رأس مال وفائدة واستهلاك)

يُستخرج من جدول استهلاك قرض عادي بخمس دفعات: رأس المال الباقي بعد الدفعة الثانية 780 932,11 دج، وفائدة السنة الثالثة 70 283,89 دج، واستهلاكها 238 227,06 دج.

المطلوب: المعدل، الدفعة، الاستهلاكان الأول والثاني، مبلغ القرض، ورأس المال الباقي بعد الدفعة الثالثة.

الحل:

• الفائدة الثالثة محسوبة على $V_2$: $i = \dfrac{I_3}{V_2} = \dfrac{70\,283{,}89}{780\,932{,}11} = 0{,}09$، أي $i = 9\%$.
• الدفعة: $a = I_3 + A_3 = 70\,283{,}89 + 238\,227{,}06 = 308\,510{,}95$ دج.
• $A_2 = \dfrac{A_3}{1{,}09} = 218\,556{,}94$ دج، و$A_1 = \dfrac{A_2}{1{,}09} = 200\,510{,}95$ دج.
• مبلغ القرض = رأس المال الباقي + ما سُدِّد من الأصل:

$V_0 = V_2 + A_1 + A_2$

$V_0 = 780\,932{,}11 + 200\,510{,}95$

$\qquad + 218\,556{,}94$

$V_0 = 1\,200\,000$

• تحقّق: $I_1 = 1\,200\,000\times 0{,}09 = 108\,000$ و$A_1 + I_1 = 308\,510{,}95$ دج، وهي الدفعة نفسها.
• $V_3 = V_2 - A_3 = 780\,932{,}11 - 238\,227{,}06 = 542\,705{,}05$ دج.

الحالة 3: من فائدتين متتاليتين والاستهلاك الأول

في جدول قرض عادي بأربع دفعات: $I_1 = 36\,000$ دج، $I_2 = 27\,770{,}71$ دج، $A_1 = 137\,154{,}90$ دج.

• $I_1 - I_2 = A_1\times i$، فـ $i = \dfrac{36\,000 - 27\,770{,}71}{137\,154{,}90} = \dfrac{8\,229{,}29}{137\,154{,}90} = 0{,}06$، أي $i = 6\%$.
• $V_0 = \dfrac{I_1}{i} = \dfrac{36\,000}{0{,}06} = 600\,000$ دج.
• $a = A_1 + I_1 = 173\,154{,}90$ دج.
• السطر الأخير: $A_4 = \dfrac{a}{1{,}06} = 163\,353{,}68$ دج، $I_4 = 163\,353{,}68\times 0{,}06 = 9\,801{,}22$ دج، والمجموع $173\,154{,}90$ دج.

الحالة 4: من الدفعة والاستهلاك الأخير وعدد الدفعات

قرض عادي بأربع دفعات ثابتة قيمة كل منها 226 440,60 دج، واستهلاكه الأخير 209 667,23 دج. يُعطى: $(1{,}08)^{-4} = 0{,}735030$.

• $a = A_4(1+i)$، فـ $1+i = \dfrac{226\,440{,}60}{209\,667{,}23} = 1{,}08$، أي $i = 8\%$.
• مبلغ القرض هو القيمة الحالية للدفعات الأربع:

$V_0 = 226\,440{,}60\times\dfrac{0{,}264970}{0{,}08}$

$V_0 = 749\,999{,}57$

أي أن القرض 750 000 دج (الفرق 0,43 دج أثر تدوير المعامل والدفعة). ثم $I_1 = 60\,000$ دج و$A_1 = 166\,440{,}60$ دج.

خانات فارغة في جدول جاهز

كثيرًا ما يقدّم الامتحان الجدول في ملحق بخانات ناقصة. القاعدة: كل سطر فيه أربع علاقات ($I_p = V_{p-1}\times i$، و$A_p = a - I_p$، و$V_p = V_{p-1} - A_p$، ورأس المال آخر السطر هو رأس المال أول السطر الموالي)، وبين سطرين علاقة $A_{p+1} = A_p(1+i)$. نبدأ بالخانة التي تكفيها المعطيات، ثم ننتقل خانة بعد خانة. مثلًا في الحالة 2 أعلاه كان يكفي $V_2$ و$I_3$ لاستخراج $i$، ثم أعطانا $A_3$ الدفعة.

> ملاحظة للامتحان: حافظ على الفهارس: الفائدة $I_p$ تُحسب على رأس المال أول الفترة $p$، أي $V_{p-1}$. أغلب الأخطاء في هذا النوع من الأسئلة خطأ فهرس (أخذ $V_p$ بدل $V_{p-1}$).

أخطاء شائعة

• استخراج $i$ من $\dfrac{A_4}{A_2}$ دون جذر، أو بجذر تكعيبي بدل التربيعي: عدد الخطوات هو الفرق بين الفهرسين.
• قسمة $I_p$ على $V_p$ بدل $V_{p-1}$.
• حساب $V_0$ بجمع الدفعات بدل الاستهلاكات.
• نسيان التحقق: بعد إيجاد $i$ و$a$ و$V_0$، أعد حساب خانة معطاة؛ إذا لم تجدها فهناك خطأ.

5. التسجيل المحاسبي: استلام القرض وتسديد الدفعات

الحسابات المستعملة

| الحساب | اسمه في النظام المحاسبي المالي | دوره في القرض | |---|---|---| | 164 | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | دَين غير جارٍ: يُجعل دائنًا بمبلغ القرض عند الاستلام، ومدينًا بالاستهلاك عند كل تسديد | | 661 | أعباء الفوائد | عبء مالي: يُجعل مدينًا بفائدة كل دفعة | | 512 | البنوك والحسابات الجارية | يُجعل مدينًا بالمبلغ المستلم، ودائنًا بالدفعة المسدَّدة | | 627 | الخدمات المصرفية وما شابهها | عبء: مصاريف الملف أو العمولة التي يقتطعها البنك عند منح القرض |

> رصيد ح/164 في أي تاريخ يساوي رأس المال المتبقي من القرض بعد آخر دفعة مسجَّلة: بعد الدفعة $p$ يكون رصيده الدائن $V_p$.

1) استلام القرض

يوم يضع البنك مبلغ القرض في حساب المؤسسة، يُسجَّل الدَّين كاملًا في ح/164 والمبلغ المستلم في ح/512. نعود إلى قرض «الونشريس للنقل» (800 000 دج، 8 %، 5 دفعات، مستلم في 01/01/N):

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 01/01/N | | | | 512 | | البنوك والحسابات الجارية | 800 000,00 | | | | 164 | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | | 800 000,00 | | | | استلام قرض عادي من البنك | | |

إذا اقتطع البنك مصاريف الملف

لو اقتطع البنك 8 000 دج مصاريف ملف من مبلغ القرض، فإن المؤسسة تستلم في حسابها 792 000 دج فقط، لكنها مدينة للبنك بـ 800 000 دج كاملة، وعليها تُحسب الفوائد وجدول الاستهلاك:

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 01/01/N | | | | 512 | | البنوك والحسابات الجارية | 792 000,00 | | | 627 | | الخدمات المصرفية وما شابهها | 8 000,00 | | | | 164 | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | | 800 000,00 | | | | استلام القرض بعد اقتطاع مصاريف الملف | | |

وإذا دفعت المؤسسة المصاريف بصك مستقل، نسجّل استلام القرض كاملًا (512 / 164 بمبلغ 800 000 دج) ثم قيدًا ثانيًا: مدين 627 / دائن 512 بمبلغ 8 000 دج. النتيجة واحدة في الحالتين: ح/164 دائن بـ 800 000 دج، والمصاريف عبء في ح/627.

> لا يُجعل ح/164 دائنًا بمبلغ القرض زائد المصاريف (808 000 دج): الدَّين هو ما التزمت المؤسسة بردّه للبنك، أي $V_0$ وحده. وإذا ذكر النص رسمًا على القيمة المضافة على عمولة البنك فيُسجَّل في ح/4456 الرسم على القيمة المضافة القابل للاسترجاع.

2) تسديد كل دفعة

في تاريخ استحقاق كل دفعة، نقرأ سطرها في جدول الاستهلاك: الاستهلاك يُنقص الدَّين (مدين 164)، والفائدة عبء (مدين 661)، والدفعة تخرج من البنك (دائن 512).

الدفعة الأولى (السطر 1 من الجدول)

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 31/12/N | | | | 164 | | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | 136 365,04 | | | 661 | | أعباء الفوائد | 64 000,00 | | | | 512 | البنوك والحسابات الجارية | | 200 365,04 | | | | تسديد الدفعة الأولى من القرض | | |

الدفعة الأخيرة (السطر 5 المعدَّل)

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 31/12/N+4 | | | | 164 | | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | 185 523,86 | | | 661 | | أعباء الفوائد | 14 841,18 | | | | 512 | البنوك والحسابات الجارية | | 200 365,04 | | | | تسديد الدفعة الأخيرة من القرض | | |

وبالطريقة نفسها تُسجَّل الدفعات الثانية والثالثة والرابعة بأرقام أسطرها. في كل قيد: $A_p + I_p = a$، فالقيد متوازن دائمًا، وح/512 دائن بالدفعة الثابتة نفسها حتى في السطر الأخير.

3) حساب الاقتراضات 164 عبر مدة القرض

| التاريخ | البيان | مدين | دائن | الرصيد الدائن | |---|---|---|---|---| | 01/01/N | استلام القرض | | 800 000,00 | 800 000,00 | | 31/12/N | الاستهلاك 1 | 136 365,04 | | 663 634,96 | | 31/12/N+1 | الاستهلاك 2 | 147 274,24 | | 516 360,72 | | 31/12/N+2 | الاستهلاك 3 | 159 056,18 | | 357 304,54 | | 31/12/N+3 | الاستهلاك 4 | 171 780,68 | | 185 523,86 | | 31/12/N+4 | الاستهلاك 5 | 185 523,86 | | 0,00 | | المجموع | | 800 000,00 | 800 000,00 | |

نلاحظ أن الرصيد بعد كل دفعة هو بالضبط عمود «رأس المال آخر الفترة» في جدول الاستهلاك. لذلك يُطلب أحيانًا في البكالوريا استنتاج رأس المال المتبقي (ومنه عناصر القرض) من رصيد ح/164 في ميزان المراجعة، مع الانتباه: هل سُجِّلت دفعة السنة قبل إعداد الميزان أم لا؟ النص يحدّد ذلك.

4) أثر القرض في الكشوف المالية

• حساب النتائج: الفوائد (ح/661) أعباء مالية تُنقص النتيجة المالية (RF)، ومصاريف الملف (ح/627) من الخدمات الخارجية الأخرى ضمن استهلاك السنة المالية. أما الاستهلاك $A_p$ فليس عبئًا إطلاقًا: إنه ردّ لجزء من الدَّين.
• الميزانية الختامية: رصيد ح/164 (رأس المال المتبقي) يظهر في الخصوم غير الجارية تحت «الاقتراضات والديون المالية».
• الميزانية الوظيفية: رصيد ح/164 جزء من الديون المالية ضمن الموارد الثابتة.
• قدرة التمويل الذاتي: الفوائد (66) تُطرح عند الحساب انطلاقًا من EBE، ولا يُطرح الاستهلاك $A_p$ لأنه لا يمرّ بحساب النتائج.

مثال: سؤال بنمط البكالوريا

اقترضت مؤسسة 1 500 000 دج في 01/01/N بمعدل 7 % على خمس دفعات، دفعتها الثابتة 365 835,81 دج. سجّل قيد الدفعة الثانية في 31/12/N+1 علمًا أن رأس المال الباقي بعد الدفعة الأولى 1 239 164,19 دج.

• $I_2 = 1\,239\,164{,}19\times 0{,}07 = 86\,741{,}49$ دج.
• $A_2 = 365\,835{,}81 - 86\,741{,}49 = 279\,094{,}32$ دج.

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 31/12/N+1 | | | | 164 | | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | 279 094,32 | | | 661 | | أعباء الفوائد | 86 741,49 | | | | 512 | البنوك والحسابات الجارية | | 365 835,81 | | | | تسديد الدفعة الثانية من القرض | | |

أخطاء شائعة

• جعل ح/164 مدينًا بالدفعة كاملة: الفائدة لا تُنقص الدَّين، فـ 164 مدين بالاستهلاك وحده.
• الخلط بين استهلاك القرض (ح/164) واهتلاك التثبيتات (681 / 28x): لا علاقة لتسديد القرض بحساب 681.
• تسجيل الفائدة في ح/668 أو ح/627: الفائدة على القرض في ح/661 أعباء الفوائد.
• جعل ح/164 دائنًا بالمبلغ المستلم بعد اقتطاع المصاريف (792 000) أو بالمبلغ مضافًا إليه المصاريف (808 000): الصحيح مبلغ القرض نفسه.
• نسيان تاريخ القيد: الاستلام بتاريخ الاستلام، وكل دفعة بتاريخ استحقاقها.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

الوضعية

مؤسسة «الهقار للصناعات الغذائية» (شركة ذات أسهم) تنتج العصائر والمصبَّرات. لتجديد خط الإنتاج لجأت إلى ثلاثة قروض عادية، كلها تُسدَّد بدفعات سنوية ثابتة في نهاية كل سنة (الدفعة الأولى بعد سنة من الاستلام). تُدوَّر المبالغ إلى سنتيمين، ويُعدَّل السطر الأخير من كل جدول.

التمرين الأول: قرض جديد لاقتناء آلة

في 01/01/N تحصّلت المؤسسة من البنك الوطني الجزائري على قرض عادي مبلغه 1 500 000 دج بمعدل فائدة مركبة 7 %، يُسدَّد بخمس دفعات سنوية ثابتة. اقتطع البنك من مبلغ القرض مصاريف ملف قدرها 12 000 دج (دون رسم). يُعطى: $(1{,}07)^{-5} = 0{,}712986$ و$(1{,}07)^{4} = 1{,}310796$.

المطلوب:

• احسب الدفعة الثابتة.
• أنجز جدول استهلاك القرض.
• تحقّق من الاستهلاك الأخير بعلاقة بين عناصر الجدول.
• سجّل في دفتر اليومية قيد استلام القرض وقيد تسديد الدفعة الأولى.
• احسب التكلفة الإجمالية للقرض.

الحل

1) الدفعة الثابتة

$1-(1{,}07)^{-5} = 0{,}287014$

$a = \dfrac{1\,500\,000\times 0{,}07}{0{,}287014}$

$a = 365\,835{,}81$

2) جدول الاستهلاك (المبالغ بالدينار)

| الفترة | رأس المال أول الفترة | الفائدة | الاستهلاك | الدفعة | رأس المال آخر الفترة | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 1 500 000,00 | 105 000,00 | 260 835,81 | 365 835,81 | 1 239 164,19 | | 2 | 1 239 164,19 | 86 741,49 | 279 094,32 | 365 835,81 | 960 069,87 | | 3 | 960 069,87 | 67 204,89 | 298 630,92 | 365 835,81 | 661 438,95 | | 4 | 661 438,95 | 46 300,73 | 319 535,08 | 365 835,81 | 341 903,87 | | 5 | 341 903,87 | 23 931,94 | 341 903,87 | 365 835,81 | 0,00 | | المجموع | | 329 179,05 | 1 500 000,00 | 1 829 179,05 | |

عمليات السطر الأول: $I_1 = 1\,500\,000\times 0{,}07 = 105\,000$؛ $A_1 = 365\,835{,}81 - 105\,000 = 260\,835{,}81$؛ $V_1 = 1\,500\,000 - 260\,835{,}81 = 1\,239\,164{,}19$. السطر الأخير معدَّل: $A_5 = V_4 = 341\,903{,}87$ والدفعة تبقى 365 835,81 دج، فالفائدة $I_5 = 365\,835{,}81 - 341\,903{,}87 = 23\,931{,}94$ دج (بينما $341\,903{,}87\times 0{,}07 = 23\,933{,}27$: فرق 1,33 دج سببه التدوير). مجموع الدفعات $5\times 365\,835{,}81 = 1\,829\,179{,}05$ دج.

3) التحقق من الاستهلاك الأخير

$A_5 = A_1(1{,}07)^4$

$A_5 = 260\,835{,}81\times 1{,}310796$

$A_5 = 341\,902{,}54$

النتيجة قريبة جدًا من 341 903,87 دج: الفرق (1,33 دج) أثر التدوير، وهو الفرق نفسه الذي امتصّته الفائدة الأخيرة. الجدول صحيح.

4) القيود

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 01/01/N | | | | 512 | | البنوك والحسابات الجارية | 1 488 000,00 | | | 627 | | الخدمات المصرفية وما شابهها | 12 000,00 | | | | 164 | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | | 1 500 000,00 | | | | استلام القرض بعد اقتطاع مصاريف الملف | | | | | | 31/12/N | | | | 164 | | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | 260 835,81 | | | 661 | | أعباء الفوائد | 105 000,00 | | | | 512 | البنوك والحسابات الجارية | | 365 835,81 | | | | تسديد الدفعة الأولى | | |

5) التكلفة الإجمالية للقرض: مجموع الفوائد ومصاريف الملف، أي $329\,179{,}05 + 12\,000 = 341\,179{,}05$ دج. وأعباء سنة N المرتبطة بالقرض: $105\,000$ دج فوائد (661)، ومصاريف قدرها 12 000 دج (627).

التمرين الثاني: قرض قديم بمعطيات جزئية

في 01/01/N−2 تحصّلت المؤسسة من القرض الشعبي الجزائري على قرض عادي يُسدَّد بست دفعات سنوية ثابتة (الأولى في 31/12/N−2). ضاع جدول الاستهلاك، ولم يبقَ منه إلا: فائدة السنة الأولى 72 000 دج، والاستهلاك الثاني 132 498,56 دج، والاستهلاك الرابع 154 546,32 دج.

المطلوب:

• احسب معدل الفائدة، ثم الاستهلاك الأول ومبلغ القرض والدفعة الثابتة.
• أنجز السطر الخاص بسنة N (السطر الثالث)، واستنتج رصيد ح/164 الخاص بهذا القرض في 31/12/N.
• سجّل قيد الدفعة المسدَّدة في 31/12/N.
• أنجز السطر الأخير.

الحل

1) عناصر القرض

$(1+i)^2 = \dfrac{A_4}{A_2}$

$(1+i)^2 = \dfrac{154\,546{,}32}{132\,498{,}56}$

$(1+i)^2 = 1{,}1664$

فـ $1+i = \sqrt{1{,}1664} = 1{,}08$ أي $i = 8\%$. ثم:

• $A_1 = \dfrac{A_2}{1{,}08} = \dfrac{132\,498{,}56}{1{,}08} = 122\,683{,}85$ دج.
• $V_0 = \dfrac{I_1}{i} = \dfrac{72\,000}{0{,}08} = 900\,000$ دج.
• $a = A_1 + I_1 = 122\,683{,}85 + 72\,000 = 194\,683{,}85$ دج.

2) السطر الثالث (سنة N)

رأس المال أول السنة الثالثة هو ما بقي بعد دفعتين: $V_2 = 900\,000 - 122\,683{,}85 - 132\,498{,}56 = 644\,817{,}59$ دج.

| الفترة | رأس المال أول الفترة | الفائدة | الاستهلاك | الدفعة | رأس المال آخر الفترة | |---|---|---|---|---|---| | 3 | 644 817,59 | 51 585,41 | 143 098,44 | 194 683,85 | 501 719,15 |

$I_3 = 644\,817{,}59\times 0{,}08 = 51\,585{,}41$ و$A_3 = 194\,683{,}85 - 51\,585{,}41 = 143\,098{,}44$. تحقّق: $A_2\times 1{,}08 = 143\,098{,}44$ دج، النتيجة نفسها. رصيد ح/164 الخاص بهذا القرض في 31/12/N (بعد الدفعة الثالثة) هو $V_3 = 501\,719{,}15$ دج.

3) قيد 31/12/N

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 31/12/N | | | | 164 | | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | 143 098,44 | | | 661 | | أعباء الفوائد | 51 585,41 | | | | 512 | البنوك والحسابات الجارية | | 194 683,85 | | | | تسديد الدفعة الثالثة | | |

4) السطر الأخير (السادس)

$A_6 = A_4(1{,}08)^2 = 154\,546{,}32\times 1{,}1664 = 180\,262{,}83$ دج، وهو رأس المال الباقي أول السنة السادسة؛ الدفعة تبقى 194 683,85 دج؛ $I_6 = 194\,683{,}85 - 180\,262{,}83 = 14\,421{,}02$ دج (و$180\,262{,}83\times 0{,}08 = 14\,421{,}03$، الفرق سنتيم).

| الفترة | رأس المال أول الفترة | الفائدة | الاستهلاك | الدفعة | رأس المال آخر الفترة | |---|---|---|---|---|---| | 6 | 180 262,83 | 14 421,02 | 180 262,83 | 194 683,85 | 0,00 |

لو أُنجز الجدول كاملًا سطرًا بسطر لوجدنا في السطر السادس استهلاكًا 180 262,81 دج وفائدة 14 421,04 دج: الفرق سنتيمات تدوير، والطريقتان مقبولتان.

التمرين الثالث: جدول في الملحق بخانات ناقصة

لتمويل شاحنة تبريد، تحصّلت المؤسسة في 01/01/N على قرض من بنك الفلاحة والتنمية الريفية يُسدَّد بأربع دفعات ثابتة. أُعطي في الملحق الجدول التالي ناقصًا (المبالغ بالدينار):

| الفترة | رأس المال أول الفترة | الفائدة | الاستهلاك | الدفعة | رأس المال آخر الفترة | |---|---|---|---|---|---| | 1 | … | … | … | … | 1 075 183,43 | | 2 | … | 53 759,17 | 341 057,40 | … | … | | 3 | … | … | … | … | … | | 4 | … | … | … | … | 0,00 |

المطلوب:

• احسب معدل الفائدة والدفعة الثابتة ومبلغ القرض، مع التبرير.
• أكمل الجدول.
• سجّل قيد تسديد الدفعة الأخيرة في 31/12/N+3.

الحل

1) العناصر

• رأس المال أول السنة الثانية هو $V_1 = 1\,075\,183{,}43$، والفائدة الثانية محسوبة عليه: $i = \dfrac{53\,759{,}17}{1\,075\,183{,}43} = 0{,}05$، أي $i = 5\%$.
• $a = I_2 + A_2 = 53\,759{,}17 + 341\,057{,}40 = 394\,816{,}57$ دج.
• $A_1 = \dfrac{A_2}{1{,}05} = \dfrac{341\,057{,}40}{1{,}05} = 324\,816{,}57$ دج.
• $V_0 = V_1 + A_1 = 1\,075\,183{,}43 + 324\,816{,}57 = 1\,400\,000$ دج.

2) الجدول مكتملًا

| الفترة | رأس المال أول الفترة | الفائدة | الاستهلاك | الدفعة | رأس المال آخر الفترة | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 1 400 000,00 | 70 000,00 | 324 816,57 | 394 816,57 | 1 075 183,43 | | 2 | 1 075 183,43 | 53 759,17 | 341 057,40 | 394 816,57 | 734 126,03 | | 3 | 734 126,03 | 36 706,30 | 358 110,27 | 394 816,57 | 376 015,76 | | 4 | 376 015,76 | 18 800,81 | 376 015,76 | 394 816,57 | 0,00 | | المجموع | | 179 266,28 | 1 400 000,00 | 1 579 266,28 | |

تحقّق: $I_1 = 1\,400\,000\times 0{,}05 = 70\,000$ و$A_1 + I_1 = 394\,816{,}57$ دج، أي الدفعة نفسها؛ ومجموع الاستهلاكات 1 400 000 دج. في السطر الأخير $A_4 = V_3 = 376\,015{,}76$ والدفعة تبقى 394 816,57 دج، فالفائدة $I_4 = 394\,816{,}57 - 376\,015{,}76 = 18\,800{,}81$ دج، وهي أكبر بسنتيمين من $376\,015{,}76\times 0{,}05 = 18\,800{,}79$: فرق التدوير قد يكون في أي اتجاه.

3) قيد الدفعة الأخيرة

| ح/ مدين | ح/ دائن | البيان | مبلغ مدين | مبلغ دائن | |---|---|---|---|---| | | | 31/12/N+3 | | | | 164 | | الاقتراضات لدى مؤسسات القرض | 376 015,76 | | | 661 | | أعباء الفوائد | 18 800,81 | | | | 512 | البنوك والحسابات الجارية | | 394 816,57 | | | | تسديد الدفعة الأخيرة من قرض الشاحنة | | |

> ملاحظة للامتحان: في هذا النوع من الأسئلة ابدأ دائمًا بالخانتين المتجاورتين اللتين تكفيان لاستخراج المعدل (رأس مال وفائدة الفترة التي تليه، أو استهلاكان)، واكتب العلاقة قبل التعويض، ثم تحقّق في النهاية من أن مجموع الاستهلاكات يساوي مبلغ القرض.