الفوائد المركبة: القيمة المكتسبة والقيمة الحالية

3. القيمة الحالية والتحيين

1. المشكلة المطروحة

في الجزء السابق انطلقنا من مبلغ اليوم وبحثنا عن قيمته في المستقبل. كثيراً ما يُطرح السؤال المعاكس:

• ستقبض مؤسسة 600 000 دج بعد 4 سنوات: كم يساوي هذا المبلغ اليوم؟
• تريد مؤسسة أن تملك 1 000 000 دج بعد 6 سنوات لتجديد آلة: كم يجب أن توظّف الآن؟

الجواب في الحالتين هو القيمة الحالية للمبلغ المستقبلي.

2. الصيغة العامة للقيمة الحالية

من صيغة الجملة $C_n = C_0(1+i)^n$ نقسم الطرفين على $(1+i)^n$:

$ C_0 = \dfrac{C_n}{(1+i)^n} = C_n(1+i)^{-n} $

> القيمة الحالية (Valeur actuelle) لمبلغ $C_n$ مستحق بعد $n$ فترة، بمعدل فائدة مركبة $i$، هي المبلغ $C_0$ الذي لو وُظّف اليوم لأصبح $C_n$ في تاريخ الاستحقاق: $C_0 = C_n(1+i)^{-n}$

| المصطلح | المعنى | |---|---| | التحيين (Actualisation) | نقل مبلغ من تاريخ لاحق إلى تاريخ سابق بالضرب في $(1+i)^{-n}$ | | الرسملة (Capitalisation) | نقل مبلغ من تاريخ سابق إلى تاريخ لاحق بالضرب في $(1+i)^n$ | | معامل التحيين | $(1+i)^{-n} = \dfrac{1}{(1+i)^n}$، وهو أصغر من 1 دائماً | | القيمة الاسمية (المستقبلية) | المبلغ $C_n$ في تاريخ استحقاقه | | الفرق $C_n - C_0$ | الفائدة التي يُنتجها $C_0$ خلال $n$ فترة |


يمثّل الشكل المحور الزمني الموجه: التواريخ مرقّمة من 0 (اليوم) إلى $n$. السهم الأحمر نحو اليمين هو الرسملة (نضرب في $(1+i)^n$ فنحصل على الجملة)، والسهم الأزرق نحو اليسار هو التحيين (نضرب في $(1+i)^{-n}$ فنحصل على القيمة الحالية). الرسملة والتحيين عمليتان متعاكستان.

3. جدول معاملات التحيين $(1+i)^{-n}$

| n | 5 % | 6 % | 8 % | 10 % | |---|---|---|---|---| | 1 | 0,952381 | 0,943396 | 0,925926 | 0,909091 | | 2 | 0,907029 | 0,889996 | 0,857339 | 0,826446 | | 3 | 0,863838 | 0,839619 | 0,793832 | 0,751315 | | 4 | 0,822702 | 0,792094 | 0,735030 | 0,683013 | | 5 | 0,783526 | 0,747258 | 0,680583 | 0,620921 | | 6 | 0,746215 | 0,704961 | 0,630170 | 0,564474 | | 7 | 0,710681 | 0,665057 | 0,583490 | 0,513158 | | 8 | 0,676839 | 0,627412 | 0,540269 | 0,466507 | | 9 | 0,644609 | 0,591898 | 0,500249 | 0,424098 | | 10 | 0,613913 | 0,558395 | 0,463193 | 0,385543 |

كل معامل في هذا الجدول هو مقلوب المعامل المقابل في جدول الرسملة؛ مثلاً $\dfrac{1}{1{,}469328} = 0{,}680583$ (8 %، 5 سنوات).

4. أمثلة محلولة

المثال 1: قيمة دين مستقبلي اليوم

لمؤسسة «الأطلس» حقّ بمبلغ 600 000 دج تقبضه بعد 4 سنوات. المعدل 9 % سنوياً، و$1{,}09^{-4} = 0{,}708425$.

$ C_0 = 600\,000 \times 1{,}09^{-4} $

$ C_0 = 600\,000 \times 0{,}708425 $

أي $C_0 = 425\,055$ دج. المعنى: بمعدل 9 % يتساوى عند المؤسسة أن تقبض 425 055 دج اليوم أو 600 000 دج بعد 4 سنوات، لأنّ 425 055 دج موظّفة 4 سنوات تصبح 600 000 دج.

المثال 2: المبلغ الواجب توظيفه الآن

تريد مؤسسة أن تملك 1 000 000 دج بعد 6 سنوات، والمعدل 8 %:

$ C_0 = 1\,000\,000 \times 0{,}630170 $

يجب أن توظّف الآن 630 170 دج. تحقّق: $630\,170 \times 1{,}586874$ يعطي 1 000 000,39 دج، والفرق 39 سنتيماً سببه تقريب المعاملين.

المثال 3: الاختيار بين مبلغ حاضر ومبلغ مؤجل

عُرض على مؤسسة: إمّا 500 000 دج اليوم، وإمّا 650 000 دج بعد 3 سنوات. لا نقارن 500 000 بـ 650 000 مباشرة لأنّهما في تاريخين مختلفين؛ نحيّن المبلغ المؤجل إلى اليوم.

| المعدل | معامل التحيين لـ 3 سنوات | القيمة الحالية لـ 650 000 | مقارنتها مع 500 000 | القرار | |---|---|---|---|---| | 8 % | 0,793832 | 515 990,80 | أكبر | انتظار 650 000 | | 10 % | 0,751315 | 488 354,75 | أصغر | قبض 500 000 اليوم |

القرار يتعلّق إذن بالمعدل: كلما ارتفع المعدل قلّت القيمة الحالية للمبلغ المؤجل.

المثال 4: استنتاج المدة

القيمة الحالية لمبلغ 450 000 دج بمعدل 10 % هي 279 414,45 دج. متى يستحق هذا المبلغ؟

$ (1{,}10)^{-n} = \dfrac{279\,414{,}45}{450\,000} $

أي $(1{,}10)^{-n} = 0{,}620921$، وهو معامل السطر $n = 5$ في عمود 10 %: يستحق المبلغ بعد 5 سنوات.

5. خصائص القيمة الحالية

القيمة الحالية لمبلغ 100 000 دج:

| المدة | بمعدل 5 % | بمعدل 10 % | |---|---|---| | سنة واحدة | 95 238,10 | 90 909,10 | | 5 سنوات | 78 352,60 | 62 092,10 | | 10 سنوات | 61 391,30 | 38 554,30 |

• كلما طالت المدة صغرت القيمة الحالية.
• كلما ارتفع المعدل صغرت القيمة الحالية.
• القيمة الحالية أصغر دائماً من القيمة الاسمية ما دام $i > 0$ و$n \ge 1$.

ملاحظة للامتحان

التحيين هو الأداة الأساسية في بقية الوحدة: القيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة (الدرس الموالي) هي مجموع قيم حالية، وأصل القرض هو القيمة الحالية لدفعاته، والقيمة الحالية الصافية (VAN) لمشروع استثماري هي مجموع التدفقات المحيّنة ناقص مبلغ الاستثمار.

أخطاء شائعة

• ضرب $C_n$ في $(1+i)^n$ بدل $(1+i)^{-n}$: النتيجة أكبر من المبلغ الاسمي، وهذا مستحيل لقيمة حالية.
• حساب $C_n(1 - n\,i)$ أو $\dfrac{C_n}{1 + n\,i}$: هاتان طريقتا الفائدة البسيطة.
• مقارنة مبالغ في تواريخ مختلفة دون تحيينها إلى تاريخ واحد.

4. تقييم رأس مال في أيّ تاريخ على المحور الزمني

1. المحور الزمني الموجه

في التمارين تتعدّد المبالغ والتواريخ، فنبدأ دائماً برسم محور زمني موجه (من اليسار إلى اليمين في اتجاه الزمن):

• نختار أصلاً للتواريخ (التاريخ 0)، غالباً تاريخ أول عملية أو التاريخ الذي يُطلب فيه التقييم.
• الوحدة هي الفترة (السنة)، والتاريخ $k$ يعني نهاية السنة رقم $k$ بعد الأصل.
• نضع كل مبلغ عند تاريخه، ونميّز المبالغ الداخلة من الخارجة.

تحويل التواريخ الميلادية إلى تواريخ المحور: تُرسمل الفوائد في آخر يوم من السنة، ولا يمرّ بين مساء 31/12 وصباح 01/01 الموالي أيّ زمن ينتج فائدة. لذلك يوم 01/01/N ويوم 31/12/N−1 نقطة واحدة على المحور: مبلغ مودع يوم 01/01/N كأنّه مودع يوم 31/12/N−1، ومبلغ يُسحب يوم 31/12/N كأنّه يُسحب يوم 01/01/N+1.


يبيّن الشكل أنّ النقطة 1 والنقطة 2 تحمل كلّ منهما تاريخين ميلاديين (31/12 من سنة و01/01 من التي تليها)، وأنّ ما بين نقطتين متتاليتين سنة كاملة (Année N، Année N+1…): من 01/01/N إلى 31/12/N+2 ثلاث سنوات، أي من التاريخ 0 إلى التاريخ 3. فإذا كان الأصل 01/01/2024:

| التاريخ الميلادي | التاريخ على المحور | |---|---| | 01/01/2024 (أو 31/12/2023) | 0 | | 31/12/2024 أو 01/01/2025 | 1 | | 31/12/2025 أو 01/01/2026 | 2 | | 31/12/2028 أو 01/01/2029 | 5 |

> عدد السنوات بين 01/01/N و31/12/N+4 هو 5 لا 4: نحسب السنوات الكاملة لا فرق أرقام السنوات.

2. القاعدة العامة

ليكن رأس مال $C_k$ متاحاً في التاريخ $k$. قيمته في تاريخ آخر $p$ هي:

$ V_p = C_k\,(1+i)^{\,p-k} $

| الحالة | الأُسّ $p - k$ | العملية | |---|---|---| | تاريخ التقييم بعد تاريخ المبلغ ($p > k$) | موجب | رسملة: نضرب في $(1+i)^{p-k}$ | | تاريخ التقييم قبل تاريخ المبلغ ($p < k$) | سالب | تحيين: نضرب في $(1+i)^{-(k-p)}$ | | التاريخ نفسه ($p = k$) | صفر | المبلغ نفسه |

> تقييم رأس مال في أيّ تاريخ: نضرب المبلغ في $(1+i)$ مرفوعاً إلى عدد الفترات التي تفصل تاريخه عن تاريخ التقييم، بأُسّ موجب إذا اتجهنا نحو المستقبل وسالب إذا عدنا نحو الماضي.

صيغتا الجملة والقيمة الحالية حالتان خاصتان من هذه القاعدة: الجملة تقييم في التاريخ $n$ لمبلغ في التاريخ 0، والقيمة الحالية تقييم في التاريخ 0 لمبلغ في التاريخ $n$.

3. مثال: مبلغ واحد يُقيَّم في عدة تواريخ

لمؤسسة «السلام» حقّ بمبلغ 400 000 دج يستحق في التاريخ 5. المعدل 7 % سنوياً. نقيّمه في التواريخ 0 و2 و5 و8.

| تاريخ التقييم | الأُسّ $p - k$ | المعامل | القيمة (دج) | |---|---|---|---| | 0 | −5 | 0,712986 | 285 194,40 | | 2 | −3 | 0,816298 | 326 519,20 | | 5 | 0 | 1 | 400 000,00 | | 8 | +3 | 1,225043 | 490 017,20 |


يبيّن الشكل المبلغ 400 000 دج في التاريخ 5: السهمان الأزرقان نحو اليسار تحيين إلى التاريخ 0 (بالمعامل $1{,}07^{-5}$) وإلى التاريخ 2 (بالمعامل $1{,}07^{-3}$)، والسهم الأحمر نحو اليمين رسملة إلى التاريخ 8 (بالمعامل $1{,}07^{3}$)، والقيمة الناتجة مكتوبة تحت كل تاريخ. كل هذه القيم متكافئة بمعدل 7 %: إنّها المبلغ نفسه منظوراً إليه في تواريخ مختلفة.

ملاحظة: يمكن الانتقال بين أيّ تاريخين مباشرة أو مروراً بتاريخ وسيط. من التاريخ 0 إلى التاريخ 8: $285\,194{,}40 \times 1{,}07^8 = 285\,194{,}40 \times 1{,}718186$، أي 490 017,03 دج، وهي النتيجة نفسها إلى بضعة سنتيمات (أثر تقريب المعاملات).

4. تقييم مجموعة مبالغ: رصيد حساب توظيف

فتحت مؤسسة «المرجان» حساب توظيف بمعدل فائدة مركبة 8 % سنوياً، وقامت بالعمليات الآتية:

• 01/01/2024: إيداع 300 000 دج؛
• 01/01/2026: إيداع 200 000 دج؛
• 01/01/2027: سحب 150 000 دج.

المطلوب: رصيد الحساب يوم 31/12/2028.

الخطوة 1: المحور. نأخذ الأصل 01/01/2024، فيكون الإيداع الثاني في التاريخ 2، والسحب في التاريخ 3، وتاريخ التقييم 31/12/2028 هو التاريخ 5.


في الشكل: الأسهم الخضراء نحو الأعلى إيداعات (تزيد الرصيد)، والسهم الأحمر نحو الأسفل سحب (ينقص الرصيد)، والمعيّن الأزرق في التاريخ 5 هو تاريخ التقييم.

الخطوة 2: نقل كل مبلغ إلى التاريخ 5 ثم الجمع الجبري (الإيداع بإشارة +، والسحب بإشارة −):

| العملية | تاريخها | الأُسّ | المعامل | القيمة في التاريخ 5 | |---|---|---|---|---| | إيداع 300 000 | 0 | 5 | 1,469328 | 440 798,40 | | إيداع 200 000 | 2 | 3 | 1,259712 | 251 942,40 | | سحب 150 000 | 3 | 2 | 1,166400 | −174 960,00 | | الرصيد | — | — | — | 517 780,80 |

رصيد الحساب يوم 31/12/2028: 517 780,80 دج.

تحقّق بالتتبّع خطوة بخطوة:

| التاريخ | الحساب | الرصيد بعد العملية | |---|---|---| | 2 | 300 000 × 1,1664 + 200 000 | 549 920,00 | | 3 | 549 920 × 1,08 − 150 000 | 443 913,60 | | 5 | 443 913,60 × 1,1664 | 517 780,82 |

الفرق سنتيمان فقط، سببه تقريب المعامل $1{,}08^5$ إلى 6 أرقام؛ والطريقتان صحيحتان.

5. تغيّر المعدل على المحور

إذا تغيّر المعدل في تاريخ معيّن، نقسم المحور إلى مراحل ونطبّق على كل مرحلة معدلها. مثال: 600 000 دج تودع في التاريخ 0، بمعدل 7 % خلال السنتين الأوليين ثم 5 % خلال السنوات الثلاث الموالية:

$ V_2 = 600\,000 \times 1{,}1449 $

$ V_5 = 686\,940 \times 1{,}157625 $

أي $V_2 = 686\,940$ دج ثم $V_5 = 795\,218{,}92$ دج. مبلغ يودع في التاريخ 2 لا يمرّ إلا بالمرحلة الثانية فيُرسمل بـ 5 % فقط.

ملاحظة للامتحان

منهجية ثابتة لكل سؤال «احسب قيمة … في تاريخ …»:

• ارسم المحور وحدّد الأصل والوحدة.
• ضع كل مبلغ عند تاريخه مع إشارته.
• حدّد تاريخ التقييم.
• لكل مبلغ احسب الأُسّ (تاريخ التقييم ناقص تاريخ المبلغ) والمعامل.
• اجمع القيم جمعاً جبرياً.

أخطاء شائعة

• كتابة الأُسّ مقلوباً ($k - p$ بدل $p - k$)، فيصير التحيين رسملة.
• نسيان إشارة السحب، أو سحبه دون نقله إلى تاريخ التقييم.
• حساب عدد السنوات بطرح أرقام السنوات ($2028 - 2024 = 4$) بدل عدّ السنوات الكاملة (5).
• جمع مبالغ في تواريخ مختلفة جمعاً مباشراً.

5. تكافؤ رؤوس الأموال ومقارنة طرق التسديد

1. تعريف تكافؤ رأسَي مال

> يكون رأسا مال $C$ (مستحق في التاريخ $k$) و$C'$ (مستحق في التاريخ $k'$) متكافئين بمعدل $i$ إذا تساوت قيمتاهما في تاريخ واحد، يسمّى تاريخ التكافؤ.

مثال: بمعدل 9 %، هل يتكافأ 300 000 دج في التاريخ 2 و388 508,70 دج في التاريخ 5؟ ننقل الأول إلى التاريخ 5:

$ V_5 = 300\,000 \times 1{,}09^{3} $

$ V_5 = 300\,000 \times 1{,}295029 $

أي 388 508,70 دج: القيمتان متساويتان في التاريخ 5، فالمبلغان متكافئان.

2. خاصية أساسية: التكافؤ لا يتعلّق بالتاريخ المختار

إذا تساوت قيمتا رأسَي مال في تاريخ ما، وضربنا الطرفين في المعامل نفسه $(1+i)^{t}$ لننتقل إلى تاريخ آخر، تبقى القيمتان متساويتين. إذن:

> بالفائدة المركبة، رأسا المال المتكافئان في تاريخ ما متكافئان في كل تاريخ؛ فنختار التاريخ الذي يسهّل الحساب (غالباً التاريخ 0 أو تاريخ التسديد الجديد).

تحقّق في التاريخ 0: $300\,000 \times 0{,}841680 = 252\,504$ دج، و$388\,508{,}70 \times 0{,}649931 = 252\,503{,}85$ دج؛ الفرق 15 سنتيماً سببه تقريب المعاملات.

3. استبدال دين بدين آخر

الحالة 1: البحث عن المبلغ الجديد

على مؤسسة دين بمبلغ 500 000 دج يستحق بعد 3 سنوات، وتريد تسديده بعد سنة واحدة فقط (أي قبل موعده بسنتين). المعدل 8 %. المبلغ الذي تسدّده هو قيمة الدين في التاريخ 1:

$ X = 500\,000 \times 1{,}08^{-2} $

أي $X = 500\,000 \times 0{,}857339 = 428\,669{,}50$ دج. التسديد المسبّق يخفّض المبلغ، والتأجيل يرفعه.

الحالة 2: البحث عن تاريخ التسديد الجديد

دين بمبلغ 500 000 دج يستحق في التاريخ 1، اتفق الطرفان على استبداله بمبلغ 732 050 دج بمعدل 10 %. متى يُسدَّد؟ ليكن $t$ التاريخ الجديد:

$ 500\,000 \times 1{,}10^{\,t-1} = 732\,050 $

إذن $1{,}10^{\,t-1} = 1{,}4641$، وهو معامل 4 سنوات في عمود 10 %؛ فـ $t - 1 = 4$ و$t = 5$: يُسدَّد المبلغ الجديد في التاريخ 5.

4. رأس المال الوحيد المكافئ لمجموعة ديون

على مؤسسة «الفجر» دينان لمورّد: 200 000 دج في التاريخ 2 و300 000 دج في التاريخ 4. اقترحت تسديدهما بمبلغ وحيد $X$ في التاريخ 3. المعدل 8 %.


يبيّن الشكل الدينين على المحور: الدين الأول يُرسمل سنة واحدة إلى التاريخ 3 (السهم الأحمر)، والثاني يُحيَّن سنة واحدة إلى التاريخ 3 (السهم الأزرق). المبلغ الوحيد يساوي مجموع القيمتين في التاريخ 3:

| الدين | تاريخه | الأُسّ نحو التاريخ 3 | المعامل | قيمته في التاريخ 3 | |---|---|---|---|---| | 200 000 | 2 | +1 | 1,080000 | 216 000,00 | | 300 000 | 4 | −1 | 0,925926 | 277 777,80 | | المجموع $X$ | — | — | — | 493 777,80 |

$X = 493\,777{,}80$ دج، وهو أقل من مجموع الدينين الاسمي (500 000 دج) لأنّ الدين الثاني يُسدَّد قبل موعده بسنة. تحقّق في التاريخ 0: قيمة الدينين $200\,000 \times 0{,}857339 + 300\,000 \times 0{,}735030 = 391\,976{,}80$، وقيمة $X$ هي $493\,777{,}80 \times 0{,}793832 = 391\,976{,}62$: متساويتان إلى تقريب السنتيمات.

5. مقارنة طرق التسديد

تريد مؤسسة «الهضاب» اقتناء آلة، واقترح المورّد طريقتين، والمعدل 10 %:

• الطريقة A: 1 250 000 دج نقداً عند الاستلام؛
• الطريقة B: 200 000 دج عند الاستلام، ثم 450 000 دج بعد سنة، و400 000 دج بعد سنتين، و350 000 دج بعد 3 سنوات.

مجموع مبالغ B الاسمي 1 400 000 دج، لكن لا يجوز مقارنته بـ 1 250 000 لأنّ المبالغ في تواريخ مختلفة. نحيّن كل مبالغ B إلى تاريخ الاستلام (التاريخ 0):

| مبلغ الطريقة B | تاريخه | المعامل | القيمة الحالية | |---|---|---|---| | 200 000 | 0 | 1 | 200 000,00 | | 450 000 | 1 | 0,909091 | 409 090,95 | | 400 000 | 2 | 0,826446 | 330 578,40 | | 350 000 | 3 | 0,751315 | 262 960,25 | | المجموع | — | — | 1 202 629,60 |

القيمة الحالية للطريقة B هي 1 202 629,60 دج، أقل من 1 250 000 دج: الطريقة B أقلّ كلفة بفارق 47 370,40 دج بقيم اليوم، رغم أنّ مجموعها الاسمي أكبر.

> قاعدة القرار: نقيّم كل الطرق في التاريخ نفسه (غالباً التاريخ 0). المدين (الذي يدفع) يختار الطريقة ذات القيمة الحالية الأصغر، والدائن (الذي يقبض) يختار الطريقة ذات القيمة الحالية الأكبر.

ملاحظة للامتحان

سؤال «أيّ طريقة تختار المؤسسة؟ علّل» يتطلّب ثلاثة عناصر: حساب القيمة الحالية لكل طريقة بالصيغة والتعويض، المقارنة، ثم القرار مع التعليل بالقيمة الحالية لا بالمجموع الاسمي.

أخطاء شائعة

• مقارنة المجاميع الاسمية لمبالغ في تواريخ مختلفة.
• نسيان المبلغ المدفوع عند الاستلام (معامله 1) أو تحيينه خطأً.
• الخلط بين وجهتي النظر: المؤسسة التي تشتري تبحث عن الأصغر، والتي تبيع عن الأكبر.
• اعتبار المبلغ الوحيد المكافئ مساوياً دائماً لمجموع الديون الاسمي.

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

تدور التمارين الثلاثة حول مؤسسة واحدة: مؤسسة «الياسمين» لتوزيع مواد البناء، وهي تحضّر لتجديد أسطول نقلها. تُعطى المعاملات في الملحق، والنتائج مقرّبة إلى رقمين بعد الفاصلة.

الملحق: مستخرج من الجداول المالية

| n | $1{,}07^{n}$ | $1{,}07^{-n}$ | $1{,}08^{n}$ | $1{,}08^{-n}$ | |---|---|---|---|---| | 1 | 1,070000 | 0,934579 | 1,080000 | 0,925926 | | 2 | 1,144900 | 0,873439 | 1,166400 | 0,857339 | | 3 | 1,225043 | 0,816298 | 1,259712 | 0,793832 | | 4 | 1,310796 | 0,762895 | 1,360489 | 0,735030 | | 5 | 1,402552 | 0,712986 | 1,469328 | 0,680583 | | 8 | 1,718186 | 0,582009 | 1,850930 | 0,540269 | | 9 | 1,838459 | 0,543934 | 1,999005 | 0,500249 |

ومعاملات 9 %: $1{,}09^{-1} = 0{,}917431$؛ $1{,}09^{-2} = 0{,}841680$؛ $1{,}09^{2} = 1{,}1881$.

التمرين 1: توظيف مبلغ لتجديد شاحنة

وظّفت المؤسسة يوم 01/01/2022 مبلغاً $C_0$ لدى بنك بمعدل فائدة مركبة 7 % سنوياً، تُرسمل الفوائد في 31/12 من كل سنة. يوم 31/12/2025 بلغ رصيد التوظيف 524 318,40 دج.

المطلوب:

• احسب المبلغ الموظَّف $C_0$.
• احسب الفائدة المركبة المحقّقة، وقارنها بالفائدة البسيطة بالمعدل نفسه.
• تركت المؤسسة الرصيد موظّفاً بالشروط نفسها. ابتداءً من أيّ تاريخ يتجاوز الرصيد 700 000 دج؟
• كم كان يجب أن توظّف يوم 01/01/2022 لتملك 700 000 دج بالضبط يوم 31/12/2029؟

الحل

1. المبلغ الموظَّف. من 01/01/2022 إلى 31/12/2025 أربع سنوات كاملة، إذن $n = 4$:

$ C_0 = \dfrac{C_4}{1{,}07^4} $

$ C_0 = \dfrac{524\,318{,}40}{1{,}310796} $

$C_0 = 400\,000$ دج.

2. الفائدة المركبة والمقارنة.

| البيان | الفائدة المركبة | الفائدة البسيطة | |---|---|---| | العلاقة | $C_4 - C_0$ | $C_0 \times i \times n$ | | الحساب | 524 318,40 − 400 000 | 400 000 × 0,07 × 4 | | النتيجة (دج) | 124 318,40 | 112 000,00 |

الفائدة المركبة أكبر بـ 12 318,40 دج، وهي فوائد الفوائد المرسملة.

3. تاريخ تجاوز 700 000 دج. نبحث عن أصغر $n$ يحقّق $400\,000 \times 1{,}07^{n} > 700\,000$، أي $1{,}07^{n} > 1{,}75$:

| n | $1{,}07^{n}$ | الرصيد (دج) | المقارنة مع 700 000 | |---|---|---|---| | 8 | 1,718186 | 687 274,40 | أقل | | 9 | 1,838459 | 735 383,60 | أكبر |

يتجاوز الرصيد 700 000 دج بعد 9 سنوات من 01/01/2022، أي يوم 31/12/2030.

4. المبلغ الواجب توظيفه. من 01/01/2022 إلى 31/12/2029 ثماني سنوات:

$ C_0 = 700\,000 \times 1{,}07^{-8} $

أي $C_0 = 700\,000 \times 0{,}582009 = 407\,406{,}30$ دج.

التمرين 2: اختيار طريقة تسديد ثمن شاحنة

اشترت المؤسسة شاحنة نقل استلمتها يوم 31/12/2025، واقترح المورّد ثلاث طرق للتسديد (المبالغ المتفق على دفعها)، والمعدل المعتمد للمقارنة 9 %:

• A: 2 400 000 دج نقداً يوم الاستلام؛
• B: 600 000 دج نقداً، ثم 1 000 000 دج بعد سنة، ثم 1 100 000 دج بعد سنتين؛
• C: مبلغ وحيد قدره 2 900 000 دج بعد سنتين.

المطلوب:

• مثّل الطريقة B على محور زمني موجه.
• احسب القيمة الحالية لكل طريقة يوم الاستلام، واختر الطريقة المناسبة للمؤسسة مع التعليل.
• ما المبلغ الذي يجب أن يطلبه المورّد بعد سنتين في الطريقة C لتكون مكافئة تماماً للطريقة A؟

الحل

1. المحور. الأصل يوم الاستلام 31/12/2025 (التاريخ 0)؛ 600 000 في التاريخ 0، و1 000 000 في التاريخ 1 (31/12/2026)، و1 100 000 في التاريخ 2 (31/12/2027).

2. القيم الحالية.

| الطريقة | الحساب | القيمة الحالية (دج) | |---|---|---| | A | نقداً، المعامل 1 | 2 400 000,00 | | B | 600 000 + 1 000 000 × 0,917431 + 1 100 000 × 0,841680 | 2 443 279,00 | | C | 2 900 000 × 0,841680 | 2 440 872,00 |

تفصيل B: $1\,000\,000 \times 0{,}917431 = 917\,431$، و$1\,100\,000 \times 0{,}841680 = 925\,848$، والمجموع مع 600 000 هو 2 443 279 دج.

القرار: المؤسسة مدينة (تدفع)، فتختار أصغر قيمة حالية: الطريقة A (2 400 000 دج). الطريقتان B وC أغلى بقيم اليوم، رغم أنّهما تؤجّلان الدفع.

3. المبلغ المكافئ في الطريقة C. نرسمل مبلغ A إلى التاريخ 2:

$ X = 2\,400\,000 \times 1{,}09^{2} $

أي $X = 2\,400\,000 \times 1{,}1881 = 2\,851\,440$ دج. لو طلب المورّد هذا المبلغ بعد سنتين لتساوت الطريقتان A وC.

التمرين 3: استبدال دينين بتسديد وحيد

على المؤسسة يوم 31/12/2025 دينان لمورّد عجلات: 350 000 دج يستحق يوم 31/12/2026، و450 000 دج يستحق يوم 31/12/2028. المعدل 8 %.

المطلوب:

• مثّل الدينين على محور زمني موجه أصله 31/12/2025، واحسب قيمتهما الإجمالية في هذا التاريخ.
• تقترح المؤسسة تسديد الدينين بمبلغ وحيد يوم 31/12/2027. احسب هذا المبلغ.
• يقبل المورّد بدلاً من ذلك تسديداً وحيداً قدره 1 001 051,15 دج. في أيّ تاريخ يتمّ هذا التسديد؟

الحل

1. المحور والقيمة في التاريخ 0. الدين الأول في التاريخ 1، والثاني في التاريخ 3.

| الدين | تاريخه | المعامل | القيمة في التاريخ 0 | |---|---|---|---| | 350 000 | 1 | 0,925926 | 324 074,10 | | 450 000 | 3 | 0,793832 | 357 224,40 | | المجموع | — | — | 681 298,50 |

2. المبلغ الوحيد يوم 31/12/2027 (التاريخ 2). الدين الأول يُرسمل سنة، والثاني يُحيَّن سنة:

| الدين | الأُسّ نحو التاريخ 2 | المعامل | القيمة في التاريخ 2 | |---|---|---|---| | 350 000 | +1 | 1,080000 | 378 000,00 | | 450 000 | −1 | 0,925926 | 416 666,70 | | المبلغ الوحيد | — | — | 794 666,70 |

تحقّق: $681\,298{,}50 \times 1{,}1664$ يعطي 794 666,57 دج، والفرق 13 سنتيماً سببه التقريب.

3. تاريخ التسديد الوحيد. المبلغ الوحيد مكافئ للدينين، فقيمته في التاريخ 0 تساوي 681 298,50 دج:

$ 681\,298{,}50 \times 1{,}08^{t} = X $

حيث $X = 1\,001\,051{,}15$ دج، إذن:

$ 1{,}08^{t} = \dfrac{1\,001\,051{,}15}{681\,298{,}50} $

أي $1{,}08^{\,t} = 1{,}469328$، وهو معامل $t = 5$ في الملحق: يتمّ التسديد يوم 31/12/2030.

ملاحظة للامتحان: كيف تأتي الفوائد المركبة في البكالوريا؟

• نادراً ما تكون تمريناً مستقلاً: تأتي غالباً داخل الجزء الخاص بالتمويل واختيار الاستثمارات، فتُستعمل معاملاتها في جدول استهلاك القرض العادي (كل استهلاك يساوي سابقه مضروباً في $(1+i)$) وفي القيمة الحالية الصافية (VAN) حيث تُحيَّن التدفقات بالمعامل $(1+i)^{-k}$.
• يرفق الموضوع عادةً مستخرجاً من الجداول المالية $(1+i)^n$ و$(1+i)^{-n}$: كل سؤال عن مدة أو تاريخ يُحلّ بحساب نسبة ثم قراءتها في الجدول، لا باللوغاريتم.
• حين يؤدّي الحساب إلى نسبة بين مبلغين تساوي $(1+i)^k$ (مثلاً نسبة استهلاكين في جدول القرض)، ابحث عنها في سطر $k$ من الجدول لتعرف المعدل أو المدة.
• من الأسئلة القصيرة المتكرّرة: الجملة والفائدة المركبة لتوظيف، والمقارنة مع الفائدة البسيطة، والقيمة الحالية لمبلغ مستقبلي، واختيار طريقة تسديد. والبرنامج لا يطلب الحل التجاري والحل العقلاني ولا المعدلات المتناسبة والمتكافئة.

ما يجب استخلاصه من هذه التمارين

• ابدأ كل تمرين بالمحور الزمني: تحديد الأصل وتحويل التواريخ الميلادية هو مصدر أكثر الأخطاء.
• اكتب لكل نتيجة الصيغة ثم التعويض ثم الناتج بالدينار.
• للمقارنة أو الاستبدال: انقل كل المبالغ إلى تاريخ واحد قبل الجمع أو المقارنة.
• لاستنتاج $n$: احسب النسبة وابحث عنها في عمود المعدل المعطى في الملحق.