عتبة المردودية ونقطة الصفر وهامش الأمان

يعلّمك هذا الدرس تحديد عتبة المردودية بالقيمة وبالكمية حسابياً وجبرياً وبيانياً بالأشكال الثلاثة، ومعرفة حدودها، ثم حساب نقطة الصفر (تاريخ بلوغ العتبة) في حالة المبيعات المنتظمة والموسمية، وهامش الأمان ومؤشره وتفسيرهما، وينتهي بتمارين محلولة بنمط البكالوريا.

يتكوّن الدرس من 6 أجزاء: 1. عتبة المردودية: تعريفها وحسابها حسابياً بالقيمة وبالكمية، 2. التحديد الجبري لعتبة المردودية: معادلة النتيجة واستعمالاتها، 3. التحديد البياني لعتبة المردودية بالأشكال الثلاثة، وحدود النموذج، 4. نقطة الصفر: تاريخ بلوغ عتبة المردودية في المبيعات المنتظمة والموسمية، 5. هامش الأمان ومؤشر الأمان: حسابهما وتفسيرهما، 6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا.

1. عتبة المردودية: تعريفها وحسابها حسابياً بالقيمة وبالكمية

من جدول الاستغلال التفاضلي إلى عتبة المردودية

تعلّمنا في الدرس السابق أن طريقة التكلفة المتغيرة (Coût variable) تفصل الأعباء إلى أعباء متغيرة تتبع حجم النشاط و أعباء ثابتة لا تتغير معه في الأجل القصير، وأن جدول الاستغلال التفاضلي (Tableau d'exploitation différentiel) يُقرأ هكذا: رقم الأعمال ناقص التكلفة المتغيرة يعطي الهامش على التكلفة المتغيرة، وهذا الهامش يغطي أولاً الأعباء الثابتة، وما بقي منه هو النتيجة.

نستعمل في هذا الدرس الرموز نفسها:

| الرمز | المعنى | |---|---| | CA | رقم الأعمال (Chiffre d'affaires) خارج الرسم | | CV | التكلفة المتغيرة (Coût variable) | | MCV | الهامش على التكلفة المتغيرة (Marge sur coût variable) | | Taux MCV | معدل الهامش على التكلفة المتغيرة: $MCV \div CA = mcv \div p$ | | CF | الأعباء الثابتة (Charges fixes) | | R | النتيجة (Résultat) | | p ، cv ، mcv | سعر بيع الوحدة، والتكلفة المتغيرة للوحدة، والهامش على التكلفة المتغيرة للوحدة (mcv unitaire) | | q | الكمية المبيعة |

والعلاقات الأساسية: $CA = p \cdot q$ و $CV = cv \cdot q$ و $mcv = p - cv$ و $MCV = CA - CV$ و $R = MCV - CF$. ولأن التكلفة المتغيرة تتناسب مع الكمية، فالهامش أيضاً يتناسب معها: $MCV = q \cdot mcv$ و $R = q \cdot mcv - CF$، ومعدل الهامش ثابت مهما تغيّر رقم الأعمال.

تعريف عتبة المردودية

> عتبة المردودية (Seuil de rentabilité، ورمزها SR) هي رقم الأعمال الذي تكون عنده النتيجة معدومة: لا ربح ولا خسارة. عندها يغطي الهامش على التكلفة المتغيرة الأعباء الثابتة تماماً، أي $MCV = CF$ و $R = 0$.

ويُسمّى أيضاً رقم الأعمال الحرج (Chiffre d'affaires critique). وقراءته بسيطة:

  • إذا كان رقم الأعمال أقل من العتبة، فالهامش لا يكفي لتغطية الأعباء الثابتة: خسارة.
  • إذا كان مساوياً لها: نتيجة معدومة.
  • إذا كان أكبر منها: كل دينار إضافي من رقم الأعمال يضيف إلى الربح مقدار معدل الهامش (مثلاً 0,40 دج لكل دينار إذا كان المعدل 40 %).

الحساب الحسابي لعتبة المردودية

عند العتبة يكون الهامش مساوياً للأعباء الثابتة. وبما أن الهامش يساوي رقم الأعمال مضروباً في معدل الهامش، نجد:

عتبة المردودية بالقيمة

$ SR = \dfrac{CF}{\text{Taux MCV}} $

أي الأعباء الثابتة مقسومة على معدل الهامش على التكلفة المتغيرة. ويمكن كتابتها أيضاً بقاعدة الثلاثية: إذا حقق رقم الأعمال CA هامشاً MCV، فإن رقم الأعمال الذي يحقق هامشاً يساوي CF هو:

$ SR = \dfrac{CA \times CF}{MCV} $

عتبة المردودية بالكمية

$ Q_{SR} = \dfrac{CF}{mcv} $

أي الأعباء الثابتة مقسومة على الهامش على التكلفة المتغيرة للوحدة: عدد الوحدات التي يكفي هامشها لتغطية الأعباء الثابتة. والعلاقة بين الصيغتين: $SR = Q_{SR} \times p$.

> للحفظ: بالقيمة نقسم على المعدل، وبالكمية نقسم على الهامش الوحدوي. ولا نقسم أبداً على معدل التكلفة المتغيرة ولا على سعر البيع.

مثال محلول: مؤسسة «الأطلس» التجارية

تبيع مؤسسة «الأطلس» منتجاً واحداً بسعر 500 دج للوحدة (خارج الرسم). التكلفة المتغيرة للوحدة 300 دج (تكلفة شراء متغيرة 260 دج وتكلفة توزيع متغيرة 40 دج). باعت خلال السنة N عدد 10 000 وحدة، وبلغت أعباؤها الثابتة السنوية 1 200 000 دج.

1) جدول الاستغلال التفاضلي:

| البيان | الكمية | ت.و | المبلغ | % | |---|---|---|---|---| | رقم الأعمال | 10 000 | 500 | 5 000 000 | 100 | | تكلفة الشراء المتغيرة للبضاعة المباعة | 10 000 | 260 | 2 600 000 | 52 | | الهامش على تكلفة الشراء المتغيرة | 10 000 | 240 | 2 400 000 | 48 | | أعباء التوزيع المتغيرة | 10 000 | 40 | 400 000 | 8 | | الهامش على التكلفة المتغيرة | 10 000 | 200 | 2 000 000 | 40 | | الأعباء الثابتة | — | — | 1 200 000 | 24 | | النتيجة | — | — | 800 000 | 16 |

التكلفة المتغيرة الكلية $CV = 2\,600\,000 + 400\,000 = 3\,000\,000$ دج (300 دج للوحدة). الهامش الوحدوي $mcv = 500 - 300 = 200$ دج، ومعدل الهامش $2\,000\,000 \div 5\,000\,000 = 200 \div 500 = 0{,}40$ أي 40 %.

2) عتبة المردودية بالقيمة:

$ SR = \dfrac{1\,200\,000}{0{,}40} $

أي 3 000 000 دج.

3) عتبة المردودية بالكمية:

$ Q_{SR} = \dfrac{1\,200\,000}{200} = 6\,000 $

أي 6 000 وحدة، ونتحقق: $6\,000 \times 500 = 3\,000\,000$ دج، وهي العتبة بالقيمة نفسها.

4) التحقق بجدول الاستغلال التفاضلي عند العتبة:

| البيان | المبلغ | |---|---| | رقم الأعمال (6 000 × 500) | 3 000 000 | | التكلفة المتغيرة (6 000 × 300) | 1 800 000 | | الهامش على التكلفة المتغيرة | 1 200 000 | | الأعباء الثابتة | 1 200 000 | | النتيجة | 0 |

الهامش يساوي الأعباء الثابتة تماماً، والنتيجة معدومة: الحساب صحيح. هذا التحقق سريع ويُستحسن كتابته في ورقة الامتحان.

عندما لا تكون الكمية عدداً صحيحاً

قد تعطي القسمة $CF \div mcv$ عدداً عشرياً. مثلاً: أعباء ثابتة 500 000 دج وهامش وحدوي 300 دج، فتكون $Q_{SR} = 1\,666{,}67$ وحدة. نكتب النتيجة كما هي في الحساب، ثم نفسّرها: أقل عدد من الوحدات يجب بيعه لتجنّب الخسارة هو 1 667 وحدة، لأن 1 666 وحدة تحقق هامشاً قدره 499 800 دج فقط، وهو أقل من الأعباء الثابتة.

مؤسسة بعدة منتجات: العتبة الإجمالية

إذا باعت المؤسسة أكثر من منتج وكانت الأعباء الثابتة مشتركة، نحسب معدل الهامش الإجمالي، وهو مجموع الهوامش مقسوماً على مجموع أرقام الأعمال، ثم نقسم الأعباء الثابتة عليه.

مثال: منتج A رقم أعماله 2 000 000 دج بمعدل هامش 30 %، ومنتج B رقم أعماله 3 000 000 دج بمعدل هامش 50 %، والأعباء الثابتة المشتركة 1 470 000 دج.

  • الهامش الإجمالي: $600\,000 + 1\,500\,000 = 2\,100\,000$ دج.
  • المعدل الإجمالي: $2\,100\,000 \div 5\,000\,000 = 0{,}42$.
  • العتبة: $1\,470\,000 \div 0{,}42 = 3\,500\,000$ دج.

ولا يجوز أخذ متوسط المعدلين البسيط $(30\% + 50\%) \div 2 = 40\%$، لأن المنتج B أثقل وزناً في رقم الأعمال. وهذه العتبة صالحة فقط ما دام تركيب المبيعات (حصة كل منتج من رقم الأعمال) ثابتاً.

أخطاء شائعة

  • قسمة الأعباء الثابتة على معدل التكلفة المتغيرة (60 % في مثال «الأطلس») بدل معدل الهامش: تعطي 2 000 000 دج، وهي خاطئة.
  • قسمة الأعباء الثابتة على سعر البيع لإيجاد الكمية: $1\,200\,000 \div 500 = 2\,400$ وحدة، وهي لا تغطي الأعباء الثابتة.
  • حساب العتبة برقم الأعمال متضمن الرسم: كل حسابات التكلفة المتغيرة خارج الرسم.
  • استعمال الأعباء الثابتة الشهرية كما أعطاها الموضوع مع رقم أعمال سنوي: نضربها في 12 قبل القسمة لنحصل على العتبة السنوية، أو نقارنها برقم أعمال شهري.

> ملاحظة للامتحان: يطلب الموضوع عادة «أحسب عتبة المردودية بالقيمة وبالكمية». اكتب الصيغة، ثم التعويض، ثم النتيجة بوحدتها (دج أو وحدة)، ثم تحقّق بجدول مختصر عند العتبة إن اتسع الوقت.

2. التحديد الجبري لعتبة المردودية: معادلة النتيجة واستعمالاتها

مبدأ الطريقة الجبرية

في الطريقة الجبرية نكتب النتيجة دالةً في رقم الأعمال (أو في الكمية)، ثم نبحث عن رقم الأعمال الذي يجعلها معدومة. بما أن الهامش يساوي رقم الأعمال مضروباً في معدل الهامش، نرمز لهذا المعدل بالحرف a فنكتب:

$ R = a \cdot CA - CF $

حيث a هو معدل الهامش على التكلفة المتغيرة (Taux MCV، عدد بين 0 و 1) و CF الأعباء الثابتة. هذه معادلة مستقيم من الشكل $y = a\,x - b$: ميلها هو معدل الهامش، وتقطع محور النتيجة في $-CF$ (الخسارة عندما يكون رقم الأعمال معدوماً).

عتبة المردودية هي حل المعادلة $R = 0$:

$ a \cdot CA - CF = 0 $

$ CA = \dfrac{CF}{a} = SR $

ونجد الصيغة الحسابية نفسها، لكن الطريقة الجبرية أقوى لأنها تجيب عن أسئلة أخرى: رقم الأعمال اللازم لربح معيّن، أو لنسبة ربح معيّنة، أو إيجاد مجهول من معطيات سنتين.

تطبيق على مؤسسة «الأطلس»

نعود إلى مؤسسة «الأطلس» من الجزء الأول: $a = 0{,}40$ والأعباء الثابتة 1 200 000 دج، والسعر 500 دج والهامش الوحدوي 200 دج.

بدلالة رقم الأعمال

$ R = 0{,}4\,CA - 1\,200\,000 $

نضع $R = 0$ فنجد $0{,}4\,CA = 1\,200\,000$ أي $CA = 3\,000\,000$ دج، وهي العتبة.

بدلالة الكمية

الهامش يساوي $200\,q$، فتكون:

$ R = 200\,q - 1\,200\,000 $

ومن $R = 0$ نجد $q = 6\,000$ وحدة.

بمقارنة رقم الأعمال بالتكلفة الكلية

التكلفة الكلية هي التكلفة المتغيرة مضافاً إليها الأعباء الثابتة. ولأن التكلفة المتغيرة تمثل $(1 - a)$ من رقم الأعمال:

$ CT = (1 - a)\,CA + CF $

في «الأطلس»: $CT = 0{,}6\,CA + 1\,200\,000$. العتبة هي رقم الأعمال الذي يساوي التكلفة الكلية:

$ CA = 0{,}6\,CA + 1\,200\,000 $

ومنه $0{,}4\,CA = 1\,200\,000$ و $CA = 3\,000\,000$ دج. نجد العتبة نفسها، وهذا طبيعي لأن $R = CA - CT$.

بالتكلفة الوحدوية

التكلفة الكلية للوحدة هي التكلفة المتغيرة للوحدة مضافاً إليها نصيب الوحدة من الأعباء الثابتة:

$ cu = 300 + \dfrac{1\,200\,000}{q} $

تنخفض هذه التكلفة كلما ارتفعت الكمية، لأن الأعباء الثابتة توزَّع على عدد أكبر من الوحدات. عند العتبة تساوي سعر البيع: $300 + 1\,200\,000 \div q = 500$، ومنه $1\,200\,000 \div q = 200$ و $q = 6\,000$ وحدة.

استعمالات المعادلة

1) رقم الأعمال اللازم لتحقيق ربح معيّن

إذا أرادت المؤسسة ربحاً R، يجب أن يغطي الهامش الأعباء الثابتة والربح معاً:

$ CA = \dfrac{CF + R}{a} $

مثال: تريد «الأطلس» ربحاً قدره 1 000 000 دج.

$ CA = \dfrac{1\,200\,000 + 1\,000\,000}{0{,}4} $

أي $CA = 5\,500\,000$ دج، وبالكمية $5\,500\,000 \div 500 = 11\,000$ وحدة. تحقق: $0{,}4 \times 5\,500\,000 - 1\,200\,000 = 1\,000\,000$ دج.

2) رقم الأعمال الذي يحقق ربحاً بنسبة معيّنة منه

إذا أرادت «الأطلس» أن تكون النتيجة 15 % من رقم الأعمال:

$ 0{,}4\,CA - 1\,200\,000 = 0{,}15\,CA $

$ 0{,}25\,CA = 1\,200\,000 $

ومنه $CA = 4\,800\,000$ دج، أي 9 600 وحدة. تحقق: النتيجة $0{,}4 \times 4\,800\,000 - 1\,200\,000 = 720\,000$ دج، و $720\,000 \div 4\,800\,000 = 0{,}15$.

3) إيجاد المعدل والأعباء الثابتة من معطيات سنتين

مؤسسة لم يتغير سعرها ولا تكلفتها المتغيرة للوحدة ولا أعباؤها الثابتة بين سنتين:

| السنة | رقم الأعمال | النتيجة | |---|---|---| | N | 4 000 000 | 150 000 | | N+1 | 5 000 000 | 450 000 |

بما أن الأعباء الثابتة لم تتغير، فزيادة النتيجة سببها زيادة الهامش وحدها:

  • المعدل: $a = \dfrac{450\,000 - 150\,000}{5\,000\,000 - 4\,000\,000} = 0{,}3$.
  • الأعباء الثابتة من السنة N: $CF = 0{,}3 \times 4\,000\,000 - 150\,000 = 1\,050\,000$ دج.
  • تحقق بالسنة N+1: $0{,}3 \times 5\,000\,000 - 1\,050\,000 = 450\,000$ دج.
  • العتبة: $SR = 1\,050\,000 \div 0{,}3 = 3\,500\,000$ دج.

4) إيجاد الأعباء الثابتة من العتبة

إذا أعطى الموضوع العتبة ومعدل الهامش، فالأعباء الثابتة هي هامش العتبة: $CF = SR \times a$. مثلاً عتبة 2 400 000 دج ومعدل 25 % تعطي أعباء ثابتة قدرها 600 000 دج. وإذا أعطى العتبة بالكمية والهامش الوحدوي: $CF = Q_{SR} \times mcv$.

ملخص الصيغ الجبرية

| المطلوب | العلاقة | |---|---| | النتيجة بدلالة رقم الأعمال | $R = a\,CA - CF$ | | النتيجة بدلالة الكمية | $R = mcv\,q - CF$ | | التكلفة الكلية | $CT = (1-a)\,CA + CF$ | | رقم الأعمال لربح R | $CA = (CF + R) \div a$ | | الأعباء الثابتة من العتبة | $CF = SR \times a$ |

> للحفظ: المعادلة $R = a\,CA - CF$ هي مفتاح كل الأسئلة العكسية: اكتبها أولاً، ثم عوّض ما أعطاه الموضوع، ثم حُلّ بالنسبة إلى المجهول.

أخطاء شائعة

  • كتابة $R = (1-a)\,CA - CF$: المعامل $(1-a)$ هو معدل التكلفة المتغيرة، وهو معامل التكلفة الكلية لا النتيجة.
  • نسيان الربح المرغوب فيه في البسط عند حساب رقم الأعمال اللازم، فنجد العتبة نفسها بدل رقم الأعمال المطلوب.
  • إذا أُعطيت النتيجة نسبةً من رقم الأعمال، تُطرح هذه النسبة من المعدل ($0{,}40 - 0{,}15 = 0{,}25$) ولا تُضاف إليه.

3. التحديد البياني لعتبة المردودية بالأشكال الثلاثة، وحدود النموذج

مبدأ التمثيل البياني

كل العلاقات التي رأيناها خطية: الهامش والتكلفة المتغيرة والنتيجة مستقيمات بدلالة رقم الأعمال، والأعباء الثابتة مستقيم أفقي. لذلك يكفي نقطتان لرسم كل مستقيم، وتُقرأ العتبة عند نقطة تقاطع. هناك ثلاثة تمثيلات كلاسيكية تعطي العتبة نفسها، ويطلب الموضوع عادة واحداً منها مع ذكر السُّلّم.

نعمل دائماً بمعطيات مؤسسة «الأطلس»: $a = 0{,}4$ والأعباء الثابتة 1 200 000 دج ورقم الأعمال الفعلي 5 000 000 دج. نضع رقم الأعمال على محور الفواصل بالسُّلّم 1 سم ← 500 000 دج، فتكون العتبة على بعد 6 سم من المبدأ، ورقم الأعمال الفعلي على بعد 10 سم.

> قاعدة الرسم: حدّد السُّلّم على المحورين قبل الرسم، وسمِّ المحورين (CA على الأفقي، والمبلغ أو النتيجة على العمودي)، واكتب معادلة كل مستقيم بجانبه، ثم أسقط نقطة التقاطع على محور الفواصل واكتب قيمتها.

الشكل الأول: الهامش على التكلفة المتغيرة والأعباء الثابتة

نرسم مستقيمين:

  • مستقيم الهامش $y = 0{,}4\,x$: يمر بالمبدأ وبالنقطة (5 000 000 ؛ 2 000 000).
  • مستقيم الأعباء الثابتة $y = 1\,200\,000$: أفقي.

العتبة هي فاصلة نقطة تقاطعهما، لأن عندها $MCV = CF$.

![الهامش على التكلفة المتغيرة والأعباء الثابتة وتقاطعهما عند عتبة المردودية](/uploads/media/gf_v2_mcv_cf.png)

المبالغ في الشكل بآلاف الدنانير: مستقيم الهامش (Marge sur coût variable) يقطع مستقيم الأعباء الثابتة (Charges fixes) عند رقم أعمال 3 000 ألف دينار. يسار نقطة التقاطع يكون الهامش تحت الأعباء الثابتة (منطقة الخسارة، Perte)، ويمينها يتجاوزها (منطقة الربح، Bénéfice)، والمسافة العمودية بين المستقيمين هي النتيجة: عند رقم الأعمال الفعلي تساوي $2\,000 - 1\,200 = 800$ ألف دينار.

الشكل الثاني: مستقيم النتيجة

نرسم مستقيماً واحداً هو مستقيم النتيجة $y = 0{,}4\,x - 1\,200\,000$، ونقطتاه:

| رقم الأعمال x | النتيجة y | |---|---| | 0 | −1 200 000 | | 3 000 000 | 0 | | 5 000 000 | 800 000 |

العتبة هي فاصلة نقطة تقاطع المستقيم مع محور الفواصل ($R = 0$).

![مستقيم النتيجة يقطع محور رقم الأعمال عند عتبة المردودية](/uploads/media/gf_v2_resultat.png)

يبدأ مستقيم النتيجة من خسارة تساوي الأعباء الثابتة كاملة عندما يكون رقم الأعمال معدوماً، ثم يرتفع بميل يساوي معدل الهامش (0,4 دج من النتيجة لكل دينار من رقم الأعمال)، فيقطع محور الفواصل عند 3 000 ألف دينار ويصل إلى ربح 800 ألف دينار عند رقم الأعمال الفعلي. هذا الشكل هو الأسرع رسماً، ويقرأ النتيجة مباشرة لأي رقم أعمال.

الشكل الثالث: رقم الأعمال والتكلفة الكلية

نرسم مستقيمين:

  • مستقيم رقم الأعمال $y = x$: المنصِّف الأول، يمر بالمبدأ وبالنقطة (5 000 000 ؛ 5 000 000).
  • مستقيم التكلفة الكلية $y = 0{,}6\,x + 1\,200\,000$: يمر بالنقطتين (0 ؛ 1 200 000) و (5 000 000 ؛ 4 200 000).

العتبة هي فاصلة نقطة تقاطعهما، وإحداثيتاها (3 000 000 ؛ 3 000 000)، لأن عندها رقم الأعمال يساوي التكلفة الكلية. ولكي يكون المنصِّف صحيحاً يجب أن يكون السُّلّم نفسه على المحورين.

![مستقيم رقم الأعمال ومستقيم التكلفة الكلية وتقاطعهما عند عتبة المردودية](/uploads/media/gf_v2_ca_ct.png)

مستقيم التكلفة الكلية لا يبدأ من الصفر بل من مستوى الأعباء الثابتة (1 200 ألف دينار)، لأن هذه الأعباء موجودة حتى لو لم تبع المؤسسة شيئاً. قبل التقاطع يكون مستقيم التكلفة فوق مستقيم رقم الأعمال (خسارة)، وبعده تحته (ربح)، والمسافة بينهما عند 5 000 ألف دينار هي $5\,000 - 4\,200 = 800$ ألف دينار، أي النتيجة نفسها.

مقارنة الأشكال الثلاثة

| الشكل | المستقيمات | العتبة عند | |---|---|---| | الأول | $y = a\,x$ و $y = CF$ | تقاطع الهامش مع الأعباء الثابتة | | الثاني | $y = a\,x - CF$ | تقاطع النتيجة مع محور الفواصل | | الثالث | $y = x$ و $y = (1-a)\,x + CF$ | تقاطع رقم الأعمال مع التكلفة الكلية |

يمكن أيضاً رسم الأشكال الثلاثة بدلالة الكمية q على محور الفواصل: يصبح الهامش $200\,q$ والنتيجة $200\,q - 1\,200\,000$ ورقم الأعمال $500\,q$ والتكلفة الكلية $300\,q + 1\,200\,000$، وتُقرأ العتبة 6 000 وحدة.

حدود عتبة المردودية

نموذج العتبة أداة تقدير وتخطيط بسيطة، لكنه يقوم على فرضيات يجب معرفتها:

  • خطية الإيرادات والتكاليف المتغيرة: يفترض أن سعر البيع ثابت مهما كانت الكمية، وأن التكلفة المتغيرة للوحدة ثابتة. في الواقع قد تمنح المؤسسة تخفيضات للكميات الكبيرة فينخفض السعر، وقد تحصل على تخفيضات من مورّديها، أو تدفع ساعات إضافية بأجر أعلى، فتصبح المنحنيات غير مستقيمة.
  • ثبات الأعباء الثابتة في حدود طاقة معيّنة: الأعباء الثابتة ثابتة فقط ما دامت المؤسسة تعمل بطاقتها الحالية. إذا تجاوزت الكمية هذه الطاقة احتاجت آلة جديدة أو مستودعاً آخر، فترتفع الأعباء الثابتة بدرجة (اهتلاك جديد، أجور جديدة) وتتغير العتبة.
  • منتج واحد أو تركيب مبيعات ثابت: إذا كانت المؤسسة تبيع عدة منتجات بمعدلات هامش مختلفة، فالعتبة الإجمالية صالحة فقط إذا بقيت حصة كل منتج من رقم الأعمال ثابتة.
  • تساوي الإنتاج والمبيعات: يُهمَل تغيّر المخزون، فكل ما يُنتج يُباع.
  • الأجل القصير وثبات الظروف: أسعار عوامل الإنتاج والبيع لا تتغير خلال الدورة، والتمييز بين الأعباء المتغيرة والثابتة دقيق (بينما بعض الأعباء شبه متغيرة في الواقع).
  • انتظام المبيعات عند حساب تاريخ بلوغ العتبة بالقاعدة البسيطة، وهذا ما نعالجه في الجزء الموالي.

> للحفظ: العتبة صحيحة ما دام السعر والتكلفة المتغيرة للوحدة والأعباء الثابتة وتركيب المبيعات ثابتة. إذا تغيّر أحدها وجب حساب عتبة جديدة.

> ملاحظة للامتحان: في التمثيل البياني تُمنح العلامة على السُّلّم وتسمية المحورين ومعادلة كل مستقيم وتحديد نقطة التقاطع وقيمتها، فلا تهمل أيّاً منها.

4. نقطة الصفر: تاريخ بلوغ عتبة المردودية في المبيعات المنتظمة والموسمية

تعريف نقطة الصفر

> نقطة الصفر (Point mort، ونرمز لها PM) هي التاريخ الذي تبلغ فيه المؤسسة عتبة مردوديتها خلال الدورة: عنده يكون رقم الأعمال المتراكم منذ بداية الدورة مساوياً للعتبة، أي يكون الهامش المتراكم قد غطّى الأعباء الثابتة السنوية كلها. ابتداءً من هذا التاريخ يصبح كل هامش إضافي ربحاً.

العتبة مبلغ (دج أو وحدات)، أما نقطة الصفر فهي مدة أو تاريخ. نفترض في كل الدرس أن الدورة تبدأ في 1 جانفي، وأن الشهر 30 يوماً والسنة 360 يوماً كما هو معمول به في الحسابات التجارية.

كلما كانت نقطة الصفر مبكرة في السنة كان ذلك أفضل: تغطي المؤسسة أعباءها الثابتة بسرعة، ويبقى لها وقت أطول لتحقيق الربح.

الحالة الأولى: المبيعات المنتظمة

إذا توزّع رقم الأعمال بانتظام على أشهر السنة (الشهر نفسه من المبيعات تقريباً كل شهر)، فإن رقم الأعمال الشهري هو $CA \div 12$، وعدد الأشهر اللازمة لبلوغ العتبة هو:

$ PM = \dfrac{SR}{CA} \times 12 $

بالأشهر، أو بالأيام:

$ PM = \dfrac{SR}{CA} \times 360 $

من المدة إلى التاريخ

  • الجزء الصحيح من النتيجة بالأشهر هو عدد الأشهر الكاملة المنقضية منذ 1 جانفي.
  • الجزء العشري يُضرب في 30 فيعطي عدد الأيام من الشهر الموالي.

مثال: مؤسسة «الأطلس»

العتبة 3 000 000 دج ورقم الأعمال السنوي 5 000 000 دج موزّع بانتظام:

$ PM = \dfrac{3\,000\,000}{5\,000\,000} \times 12 $

فنجد $PM = 0{,}6 \times 12 = 7{,}2$ أشهر، أي 7 أشهر كاملة (من جانفي إلى جويلية)، و $0{,}2 \times 30 = 6$ أيام من شهر أوت. تبلغ «الأطلس» عتبتها يوم 6 أوت N.

بالأيام: $0{,}6 \times 360 = 216$ يوماً، و $216 = 7 \times 30 + 6$، فنجد التاريخ نفسه.

تحقق: رقم الأعمال الشهري $5\,000\,000 \div 12$، ورقم الأعمال المتراكم بعد 7,2 أشهر هو $7{,}2 \times 5\,000\,000 \div 12 = 3\,000\,000$ دج، أي العتبة بالضبط.

حالة عدد صحيح من الأشهر

إذا كانت العتبة 3 600 000 دج ورقم الأعمال 4 800 000 دج: $0{,}75 \times 12 = 9$ أشهر بالضبط، فتُبلغ العتبة في نهاية شهر سبتمبر (30/09/N).

حالة توقف النشاط خلال شهر من السنة

إذا كانت المؤسسة تغلق شهراً (عطلة سنوية مثلاً) وتتوزع مبيعاتها بانتظام على الأشهر الأحد عشر الباقية، نحسب بأشهر النشاط:

$ PM = \dfrac{SR}{CA} \times 11 $

ثم نعدّ أشهر النشاط متجاوزين الشهر المغلق. مثال: «الأطلس» تغلق في جويلية: $0{,}6 \times 11 = 6{,}6$ أشهر نشاط، أي 6 أشهر كاملة (جانفي إلى جوان) ثم $0{,}6 \times 30 = 18$ يوماً من شهر النشاط الموالي، وهو أوت لأن جويلية مغلق: 18 أوت N.

الحالة الثانية: المبيعات الموسمية (غير المنتظمة)

إذا كانت المبيعات تختلف كثيراً من شهر لآخر، فالقاعدة السابقة لا تصلح، لأنها تفترض أن كل شهر يحقق $\frac{1}{12}$ من رقم الأعمال. نعمل حينئذ بـ رقم الأعمال المتراكم شهراً بعد شهر:

  • نحسب رقم الأعمال المتراكم في نهاية كل شهر.
  • نحدد الشهر الذي يتجاوز فيه المتراكم العتبة.
  • داخل هذا الشهر نفترض أن المبيعات منتظمة، فنحسب عدد الأيام بالتناسب:

$ j = \dfrac{SR - CA_{cum}}{CA_{mois}} \times 30 $

حيث $CA_{cum}$ رقم الأعمال المتراكم في نهاية الشهر السابق و $CA_{mois}$ رقم أعمال شهر البلوغ.

ويمكن العمل بالطريقة نفسها بالهامش المتراكم: نبحث متى يبلغ الهامش المتراكم الأعباء الثابتة السنوية. والنتيجتان متطابقتان لأن معدل الهامش ثابت.

مثال محلول: مؤسسة «الربيع» لبيع أجهزة التكييف

أعباؤها الثابتة السنوية 975 000 دج، ومعدل هامشها على التكلفة المتغيرة 30 %، ورقم أعمالها السنوي 5 000 000 دج موزّع كالآتي (بالدينار):

| الشهر | CA الشهري | CA المتراكم | MCV المتراكم | |---|---|---|---| | جانفي | 200 000 | 200 000 | 60 000 | | فيفري | 250 000 | 450 000 | 135 000 | | مارس | 300 000 | 750 000 | 225 000 | | أفريل | 400 000 | 1 150 000 | 345 000 | | ماي | 500 000 | 1 650 000 | 495 000 | | جوان | 700 000 | 2 350 000 | 705 000 | | جويلية | 800 000 | 3 150 000 | 945 000 | | أوت | 600 000 | 3 750 000 | 1 125 000 | | سبتمبر | 400 000 | 4 150 000 | 1 245 000 | | أكتوبر | 300 000 | 4 450 000 | 1 335 000 | | نوفمبر | 250 000 | 4 700 000 | 1 410 000 | | ديسمبر | 300 000 | 5 000 000 | 1 500 000 |

الحل:

  • العتبة: $SR = 975\,000 \div 0{,}3 = 3\,250\,000$ دج.
  • في نهاية جويلية المتراكم 3 150 000 دج (أقل من العتبة)، وفي نهاية أوت 3 750 000 دج (أكبر منها): تُبلغ العتبة خلال أوت.
  • الباقي بعد جويلية: $3\,250\,000 - 3\,150\,000 = 100\,000$ دج، يُحقَّق من مبيعات أوت البالغة 600 000 دج.
  • عدد الأيام: $100\,000 \div 600\,000 \times 30 = 5$ أيام.
  • نقطة الصفر: 5 أوت N.

التحقق بالهامش: في نهاية جويلية الهامش المتراكم 945 000 دج، والناقص لتغطية الأعباء الثابتة 30 000 دج، وهامش أوت $0{,}3 \times 600\,000 = 180\,000$ دج، فالأيام $30\,000 \div 180\,000 \times 30 = 5$ أيام. والنتيجة السنوية $1\,500\,000 - 975\,000 = 525\,000$ دج.

![رقم الأعمال المتراكم لمؤسسة الربيع شهراً بعد شهر وبلوغه العتبة في 5 أوت](/uploads/media/gf_v2_saison.png)

يمثل المنحنى رقم الأعمال المتراكم (CA cumulé) بآلاف الدنانير في نهاية كل شهر، والخط الأفقي المتقطع هو العتبة 3 250 ألف دينار. المنحنى يرتفع ببطء في الشتاء ثم بسرعة في جوان وجويلية، ويقطع خط العتبة في الأيام الأولى من أوت. وهذا هو التمثيل البياني لنقطة الصفر: على محور الفواصل الأشهر (مثلاً 1 سم لكل شهر)، وعلى محور التراتيب المبالغ المتراكمة.

لو طبّقنا خطأً قاعدة المبيعات المنتظمة: $3\,250\,000 \div 5\,000\,000 \times 12 = 7{,}8$ أشهر، أي 24 أوت، وهو تاريخ خاطئ بتسعة عشر يوماً، لأن مبيعات «الربيع» تتركز في الصيف.

التحديد البياني لنقطة الصفر، والسؤال العكسي

بيانياً (مبيعات منتظمة): نضع الأشهر على محور الفواصل (مثلاً 1 سم ← شهر) والمبالغ على محور التراتيب، ونرسم مستقيم الهامش المتراكم ومستقيم الأعباء الثابتة الأفقي؛ فاصلة نقطة تقاطعهما هي نقطة الصفر. في «الأطلس» الهامش الشهري $2\,000\,000 \div 12$، فمستقيم الهامش المتراكم بعد m شهراً هو $y = 2\,000\,000 \times m \div 12$، ويقطع المستقيم $y = 1\,200\,000$ عند $m = 1\,200\,000 \times 12 \div 2\,000\,000 = 7{,}2$ أشهر، أي 6 أوت. ويمكن بالطريقة نفسها رسم رقم الأعمال المتراكم $y = CA \times m \div 12$ مع المستقيم الأفقي $y = SR$، فنقرأ الفاصلة نفسها.

السؤال العكسي: قد يعطي الموضوع تاريخ بلوغ العتبة ويطلب العتبة أو الأعباء الثابتة. بلوغ العتبة يوم 15/04/N يعني 3 أشهر و 15 يوماً، أي 3,5 أشهر، فتكون $SR = CA \times 3{,}5 \div 12$، ثم $CF = SR \times a$. مثلاً برقم أعمال سنوي 4 800 000 دج ومعدل هامش 40 %: العتبة $4\,800\,000 \times 3{,}5 \div 12 = 1\,400\,000$ دج، والأعباء الثابتة $1\,400\,000 \times 0{,}4 = 560\,000$ دج.

أخطاء شائعة

  • قراءة الجزء العشري أياماً مباشرة: 7,2 أشهر ليست «7 أشهر ويومين» بل 7 أشهر و $0{,}2 \times 30 = 6$ أيام.
  • نسيان أن 7 أشهر كاملة تعني أن العتبة تُبلغ في الشهر الثامن (أوت) لا في جويلية.
  • تطبيق القاعدة $SR \div CA \times 12$ على مبيعات موسمية معطاة شهراً بشهر.
  • عدّ الشهر المغلق ضمن أشهر النشاط عند توقف المؤسسة.

> ملاحظة للامتحان: اكتب النتيجة بثلاث خطوات: المدة بالأشهر (أو الأيام)، ثم تفكيكها إلى أشهر كاملة وأيام، ثم التاريخ في شكل يوم/شهر/سنة (مثلاً 06/08/N).

5. هامش الأمان ومؤشر الأمان: حسابهما وتفسيرهما

تعريف هامش الأمان

> هامش الأمان (Marge de sécurité، ورمزه MS) هو الفرق بين رقم الأعمال المحقق (أو المتوقع) وعتبة المردودية: $MS = CA - SR$. وهو المبلغ الذي يمكن أن ينخفض به رقم الأعمال قبل أن تقع المؤسسة في الخسارة.

يمكن التعبير عنه بثلاث وحدات:

| الصيغة | العلاقة | |---|---| | بالقيمة (دج) | $MS = CA - SR$ | | بالكمية (وحدات) | $q - Q_{SR}$ | | بالزمن (أشهر، مبيعات منتظمة) | $12 - PM$ |

  • إذا كان هامش الأمان موجباً، فرقم الأعمال أكبر من العتبة والنتيجة ربح.
  • إذا كان معدوماً، فالمؤسسة عند عتبتها بالضبط.
  • إذا كان سالباً، فرقم الأعمال أقل من العتبة والنتيجة خسارة.

مؤشر الأمان

هامش الأمان مبلغ مطلق لا يسمح بمقارنة مؤسستين مختلفتي الحجم. لذلك ننسبه إلى رقم الأعمال:

> مؤشر الأمان (Indice de sécurité، ورمزه IS) أو معدل هامش الأمان (ويُختصر في بعض المواضيع «معدل الأمان»): $IS = MS \div CA$، ويُكتب نسبةً مئوية. وهو النسبة التي يمكن أن ينخفض بها رقم الأعمال قبل بلوغ الخسارة.

لا توجد قيمة مرجعية رسمية، لكن القاعدة واضحة: كلما ارتفع مؤشر الأمان كانت المؤسسة أبعد عن الخسارة وأقل تأثراً بانخفاض مبيعاتها، وكلما اقترب من الصفر كانت وضعيتها هشّة: انخفاض بسيط في المبيعات يُدخلها في الخسارة.

العلاقة بين هامش الأمان والنتيجة

بما أن $R = a\,CA - CF$ و $CF = a\,SR$، نجد:

$ R = a\,(CA - SR) $

$ R = a \times MS $

> للحفظ: النتيجة هي هامش الأمان مضروباً في معدل الهامش على التكلفة المتغيرة. فالمبيعات التي تتجاوز العتبة وحدها هي التي تولّد الربح، لأن هامش المبيعات الأولى استُهلك في تغطية الأعباء الثابتة.

هذه العلاقة مفيدة جداً للتحقق، وللأسئلة العكسية ($MS = R \div a$).

مثال محلول: مؤسسة «الأطلس»

رقم الأعمال 5 000 000 دج (10 000 وحدة)، والعتبة 3 000 000 دج (6 000 وحدة)، ومعدل الهامش 40 %، ونقطة الصفر 7,2 أشهر.

  • هامش الأمان بالقيمة: $MS = 5\,000\,000 - 3\,000\,000 = 2\,000\,000$ دج.
  • بالكمية: $10\,000 - 6\,000 = 4\,000$ وحدة.
  • مؤشر الأمان: $IS = 2\,000\,000 \div 5\,000\,000 = 0{,}40$ أي 40 %.
  • بالزمن: $12 - 7{,}2 = 4{,}8$ أشهر، أي 4 أشهر و 24 يوماً من النشاط المربح (من 6 أوت إلى 31 ديسمبر).
  • التحقق: $R = 0{,}4 \times 2\,000\,000 = 800\,000$ دج، وهي نتيجة جدول الاستغلال التفاضلي نفسها.

التفسير: يمكن أن ينخفض رقم أعمال «الأطلس» بـ 40 % (أي 2 000 000 دج أو 4 000 وحدة) قبل أن تحقق خسارة. هامش أمان مريح.

مقارنة مؤسستين: أثر هيكل التكاليف

مؤسستان A و B لهما رقم الأعمال نفسه والنتيجة نفسها، لكن هيكل تكاليفهما مختلف:

| البيان | A | B | |---|---|---| | رقم الأعمال | 4 000 000 | 4 000 000 | | معدل الهامش | 50 % | 25 % | | الهامش | 2 000 000 | 1 000 000 | | الأعباء الثابتة | 1 600 000 | 600 000 | | النتيجة | 400 000 | 400 000 | | العتبة | 3 200 000 | 2 400 000 | | هامش الأمان | 800 000 | 1 600 000 | | مؤشر الأمان | 20 % | 40 % |

المؤسسة A أعباؤها الثابتة مرتفعة (آلات كثيرة مثلاً)، فعتبتها مرتفعة ومؤشر أمانها 20 % فقط؛ والمؤسسة B أعباؤها الثابتة منخفضة فمؤشر أمانها 40 %.

إذا انخفض رقم الأعمال بـ 25 % (إلى 3 000 000 دج):

  • A: $0{,}5 \times 3\,000\,000 - 1\,600\,000 = -100\,000$ دج: خسارة، لأن الانخفاض (25 %) تجاوز مؤشر أمانها (20 %).
  • B: $0{,}25 \times 3\,000\,000 - 600\,000 = 150\,000$ دج: ربح، لأن الانخفاض أقل من مؤشر أمانها (40 %).

وإذا ارتفع رقم الأعمال بـ 25 % (إلى 5 000 000 دج) فإن ربح A يصبح 900 000 دج وربح B يصبح 650 000 دج: المؤسسة ذات الأعباء الثابتة المرتفعة تربح أكثر عند ارتفاع النشاط، لكنها أكثر خطراً عند انخفاضه. هذه هي القراءة التي ينتظرها المصحح عند المقارنة.

سؤال عكسي من نمط البكالوريا

مؤسسة أعباؤها الثابتة 240 000 دج ومعدل هامشها 30 %، ومؤشر أمانها 20 %. أحسب العتبة ورقم الأعمال والنتيجة.

  • العتبة: $SR = 240\,000 \div 0{,}3 = 800\,000$ دج.
  • مؤشر الأمان يعني $CA - SR = 0{,}2\,CA$، ومنه $0{,}8\,CA = 800\,000$ و $CA = 1\,000\,000$ دج.
  • النتيجة: $R = 0{,}3 \times 1\,000\,000 - 240\,000 = 60\,000$ دج.
  • تحقق: $MS = 200\,000$ دج و $0{,}3 \times 200\,000 = 60\,000$ دج.

انتبه: لا نضرب العتبة في 1,2، لأن المؤشر نسبة من رقم الأعمال لا من العتبة ($800\,000 \times 1{,}2 = 960\,000$ دج خطأ).

بطاقة ملخصة للدرس

| المفهوم | العلاقة | |---|---| | العتبة بالقيمة | $SR = CF \div a$ | | العتبة بالكمية | $Q_{SR} = CF \div mcv$ | | نقطة الصفر (منتظمة) | $PM = SR \div CA \times 12$ | | هامش الأمان | $MS = CA - SR$ | | مؤشر الأمان | $IS = MS \div CA$ | | النتيجة | $R = a \times MS$ |

أخطاء شائعة

  • حساب المؤشر بالقسمة على العتبة بدل رقم الأعمال: $MS \div SR$ ليست مؤشر الأمان.
  • الخلط بين مؤشر الأمان ومعدل النتيجة: في «الأطلس» مؤشر الأمان 40 % بينما النتيجة 16 % من رقم الأعمال.
  • إهمال إشارة هامش الأمان: إذا كان رقم الأعمال أقل من العتبة فالهامش سالب، ويُفسَّر بأن المؤسسة في منطقة الخسارة.

> ملاحظة للامتحان: لا تكتف بالرقم؛ اختم بجملة تفسير: «يمكن لرقم الأعمال أن ينخفض بـ … % قبل أن تحقق المؤسسة خسارة».

6. تمارين محلولة بنمط البكالوريا

التمرين الأول: مؤسسة «الهضاب» الصناعية (السنة N)

المعطيات

تنتج مؤسسة «الهضاب» منتجاً واحداً P وتبيعه. خلال السنة N أنتجت وباعت 12 000 وحدة بسعر 750 دج للوحدة (خارج الرسم)، دون مخزون أول المدة ولا آخر المدة. استخرجت من محاسبتها التحليلية المعلومات الآتية:

  • كل وحدة تستعمل 2 كغ من المادة الأولية بتكلفة شراء متغيرة قدرها 120 دج للكيلوغرام.
  • كل وحدة تتطلب 0,5 ساعة يد عاملة مباشرة بـ 200 دج للساعة.
  • أعباء الإنتاج غير المباشرة المتغيرة: 35 دج للوحدة المنتجة.
  • أعباء التوزيع المتغيرة: 5 % من رقم الأعمال.
  • الأعباء الثابتة السنوية: 2 835 000 دج.
  • المبيعات منتظمة خلال السنة، والدورة تبدأ في 1 جانفي.

المطلوب

  • أعدّ جدول الاستغلال التفاضلي.
  • أحسب عتبة المردودية بالقيمة وبالكمية.
  • حدّد تاريخ بلوغ العتبة.
  • أحسب هامش الأمان ومؤشر الأمان، وتحقق من النتيجة بهما، ثم فسّر المؤشر.
  • اكتب معادلة مستقيم النتيجة، واذكر نقطتين لرسمه بالسُّلّم: محور الفواصل 1 سم ← 1 000 000 دج، ومحور التراتيب 1 سم ← 500 000 دج.

الحل

1) جدول الاستغلال التفاضلي

حساب أعباء الإنتاج المتغيرة: اليد العاملة $12\,000 \times 0{,}5 = 6\,000$ ساعة، أي $6\,000 \times 200 = 1\,200\,000$ دج؛ والأعباء غير المباشرة المتغيرة $12\,000 \times 35 = 420\,000$ دج؛ المجموع 1 620 000 دج (135 دج للوحدة). المادة المستعملة $12\,000 \times 2 = 24\,000$ كغ، أي $24\,000 \times 120 = 2\,880\,000$ دج. أعباء التوزيع $0{,}05 \times 750 = 37{,}5$ دج للوحدة.

| البيان | الكمية | ت.و | المبلغ | % | |---|---|---|---|---| | رقم الأعمال | 12 000 | 750 | 9 000 000 | 100 | | تكلفة شراء المواد المستعملة | 12 000 | 240 | 2 880 000 | 32 | | أعباء الإنتاج المتغيرة | 12 000 | 135 | 1 620 000 | 18 | | تكلفة الإنتاج المتغيرة للمنتجات المباعة | 12 000 | 375 | 4 500 000 | 50 | | الهامش على تكلفة الإنتاج المتغيرة | 12 000 | 375 | 4 500 000 | 50 | | أعباء التوزيع المتغيرة | 12 000 | 37,5 | 450 000 | 5 | | الهامش على التكلفة المتغيرة | 12 000 | 337,5 | 4 050 000 | 45 | | الأعباء الثابتة | — | — | 2 835 000 | 31,5 | | النتيجة | — | — | 1 215 000 | 13,5 |

التكلفة المتغيرة الكلية للوحدة $375 + 37{,}5 = 412{,}5$ دج، ومجموعها 4 950 000 دج (55 %). معدل الهامش 45 %.

2) عتبة المردودية

  • بالقيمة: $SR = 2\,835\,000 \div 0{,}45 = 6\,300\,000$ دج.
  • بالكمية: $Q_{SR} = 2\,835\,000 \div 337{,}5 = 8\,400$ وحدة.
  • تحقق: $8\,400 \times 750 = 6\,300\,000$ دج، و $8\,400 \times 337{,}5 = 2\,835\,000$ دج يساوي الأعباء الثابتة.

3) تاريخ بلوغ العتبة

$ PM = \dfrac{6\,300\,000}{9\,000\,000} \times 12 $

أي $0{,}7 \times 12 = 8{,}4$ أشهر: 8 أشهر كاملة (جانفي إلى أوت) و $0{,}4 \times 30 = 12$ يوماً من سبتمبر. نقطة الصفر: 12/09/N. (بالأيام: $0{,}7 \times 360 = 252 = 8 \times 30 + 12$.)

4) هامش الأمان ومؤشره

  • $MS = 9\,000\,000 - 6\,300\,000 = 2\,700\,000$ دج، أي $12\,000 - 8\,400 = 3\,600$ وحدة.
  • $IS = 2\,700\,000 \div 9\,000\,000 = 0{,}30$ أي 30 %.
  • تحقق: $R = 0{,}45 \times 2\,700\,000 = 1\,215\,000$ دج، وهي نتيجة الجدول.
  • التفسير: يمكن لرقم أعمال «الهضاب» أن ينخفض بـ 30 % قبل أن تحقق خسارة.

5) مستقيم النتيجة

$ R = 0{,}45\,CA - 2\,835\,000 $

| رقم الأعمال | النتيجة | الموضع بالسُّلّم | |---|---|---| | 0 | −2 835 000 | (0 سم ؛ −5,67 سم) | | 6 300 000 | 0 | (6,3 سم ؛ 0 سم) | | 9 000 000 | 1 215 000 | (9 سم ؛ 2,43 سم) |

يقطع المستقيم محور الفواصل عند 6,3 سم، أي عند العتبة 6 300 000 دج.

التمرين الثاني: فرع «الهضاب» التجاري (أسئلة عكسية)

المعطيات

أنشأت «الهضاب» فرعاً تجارياً يبيع منتجاً Q بسعر 500 دج للوحدة، والهامش على التكلفة المتغيرة للوحدة 175 دج. علمت أن عتبة مردودية الفرع بالكمية 6 000 وحدة، وأن مبيعاته منتظمة.

المطلوب

  • أحسب معدل الهامش وعتبة المردودية بالقيمة، واستنتج الأعباء الثابتة للفرع.
  • ما رقم الأعمال وعدد الوحدات اللذان يحققان للفرع نتيجة قدرها 350 000 دج؟
  • في هذه الحالة، حدد تاريخ بلوغ العتبة وهامش الأمان ومؤشره.

الحل

1) المعدل $175 \div 500 = 0{,}35$ أي 35 %. العتبة بالقيمة $6\,000 \times 500 = 3\,000\,000$ دج. عند العتبة الهامش يساوي الأعباء الثابتة: $CF = 6\,000 \times 175 = 1\,050\,000$ دج (أو $3\,000\,000 \times 0{,}35$).

2) نكتب المعادلة $0{,}35\,CA - 1\,050\,000 = 350\,000$:

$ CA = \dfrac{1\,050\,000 + 350\,000}{0{,}35} $

أي $CA = 4\,000\,000$ دج، و $4\,000\,000 \div 500 = 8\,000$ وحدة. تحقق: $8\,000 \times 175 - 1\,050\,000 = 350\,000$ دج.

3)

  • $PM = 3\,000\,000 \div 4\,000\,000 \times 12 = 9$ أشهر بالضبط: تُبلغ العتبة في نهاية سبتمبر (30/09/N).
  • $MS = 4\,000\,000 - 3\,000\,000 = 1\,000\,000$ دج (2 000 وحدة).
  • $IS = 1\,000\,000 \div 4\,000\,000 = 25$ %، وتحقق: $0{,}35 \times 1\,000\,000 = 350\,000$ دج.

ملاحظة: الخطأ الشائع هنا هو إضافة الربح المطلوب إلى العتبة ($3\,000\,000 + 350\,000$)، والصواب إضافته إلى الأعباء الثابتة قبل القسمة على المعدل.

التمرين الثالث: مبيعات موسمية مع توقف في أوت

المعطيات

مؤسسة «السهوب» لتعليب العصائر أعباؤها الثابتة السنوية 1 440 000 دج ومعدل هامشها على التكلفة المتغيرة 40 %. تغلق المؤسسة في أوت (عطلة سنوية)، وكانت مبيعاتها في السنة N (بآلاف الدنانير):

| الشهر | CA الشهري | CA المتراكم | |---|---|---| | جانفي | 300 | 300 | | فيفري | 300 | 600 | | مارس | 400 | 1 000 | | أفريل | 500 | 1 500 | | ماي | 600 | 2 100 | | جوان | 700 | 2 800 | | جويلية | 500 | 3 300 | | أوت | 0 | 3 300 | | سبتمبر | 500 | 3 800 | | أكتوبر | 400 | 4 200 | | نوفمبر | 500 | 4 700 | | ديسمبر | 300 | 5 000 |

المطلوب

  • أحسب عتبة المردودية والنتيجة السنوية.
  • حدد تاريخ بلوغ العتبة، وبيّن لماذا لا تصلح القاعدة $SR \div CA \times 12$ هنا.
  • أحسب هامش الأمان ومؤشره، وتحقق من النتيجة.

الحل

1) $SR = 1\,440\,000 \div 0{,}4 = 3\,600\,000$ دج. رقم الأعمال السنوي 5 000 000 دج، فالنتيجة $0{,}4 \times 5\,000\,000 - 1\,440\,000 = 560\,000$ دج.

2) المتراكم في نهاية جويلية (وأوت) 3 300 000 دج، وفي نهاية سبتمبر 3 800 000 دج: تُبلغ العتبة خلال سبتمبر. الباقي $3\,600\,000 - 3\,300\,000 = 300\,000$ دج من مبيعات سبتمبر 500 000 دج:

$ j = \dfrac{300\,000}{500\,000} \times 30 = 18 $

نقطة الصفر: 18/09/N. القاعدة $SR \div CA \times 12$ تفترض أن كل شهر يحقق $\frac{1}{12}$ من رقم الأعمال السنوي، بينما مبيعات «السهوب» موسمية وشهر أوت بلا مبيعات، فلا تصلح، ونعمل بالمتراكم.

3) $MS = 5\,000\,000 - 3\,600\,000 = 1\,400\,000$ دج، و $IS = 1\,400\,000 \div 5\,000\,000 = 28$ %. تحقق: $0{,}4 \times 1\,400\,000 = 560\,000$ دج. يمكن أن ينخفض رقم الأعمال السنوي بـ 28 % قبل الخسارة.

> ملاحظة للامتحان: في هذا النوع من المواضيع تُوزَّع العلامات على: الجدول التفاضلي كاملاً بالنسب، والعتبة بالقيمة وبالكمية، والتاريخ مع تفكيكه، وهامش الأمان ومؤشره مع التفسير، والتمثيل البياني بالسُّلّم. اكتب كل صيغة قبل التعويض.

الجزء الأول من الدرس مفتوح للجميع، وبقيته مع الاشتراك.

تمرّن على هذا الدرس

تمارين درس عتبة المردودية ونقطة الصفر وهامش الأمان (60 تمريناً) — تمارين مصحّحة، أوّلها مفتوح للجميع.

دروس أخرى في التسيير المحاسبي و المالي